（应用数学专业论文）格函数及其对称性.pdf

y ：i i i ii i1i i iii i iii i i ii il | y 17 9 7 9 7 3 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的e p , 昂u 本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 厶哆1 乞 ，r 伊g 年罗月哆p 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 气毛之 口客年罗月弓口日 摘要 摘要 格置换及格函数由数学家pa m a c m a h o n 在他的著作组合分析 1 5 】中首次 提出并命名，它与许多组合对象及组合理论有密切联系本论文主要综述了格置 换与标准杨表及它们的统计量之间的关系，格函数和平面分拆生成函数的关系， 以及s c h u r 函数的特殊化和标准杨表的统计量d e s 。m a j 的生成函数的关系此外， 文章的最后总结了格函数的一些性质，例如形为长方形的子格函数的中心对称性 质和它的最高阶同时给出了一个证明格函数对称性的代数组合方法 本文的第一章给出了格置换，格函数的定义及它们和标准杨表及平面分拆的 关系第二章利用p 一分拆和拟对称函数给出了标准杨表的统计量d e s ，m a j 的生 成函数第三章总结了格函数的一些性质并给出了格函数对称性的一个证明 关键词格置换格函数标准杨表平面分拆对称性 一一一 a b s t r a c t a b s t r a c t l a t t i c ep e r m u t a t i o n sa n dl a t t i c ef u n c t i o n sa r en a m e da n dt r e a t e db yt h eg r e a tc o r n - b i n a t o r i a l i s tpa m a c m a h o ni nh i sb o o k 1 5 t h e s et w oc o n c e p t sa c l o s e l yr e l a t e d t om a n yc o m b i n a t o r i a lo b j e c t sa n do fg r e a ti m p o r t a n c ei nc e r t a i nt h e o r i e si nc o m b i n a - t o r i c s i nt h i st h e s i s ，w ep r e s e n tas u r v e yf o rt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nl a t t i c ep e r m u t a t i o n sa n ds t a n d a r dy o u n gt a b l e a u xa sw e l la st h er e l a t i o nb e t w e e nc e r t a i ns t a t i s t i c s a l s o ，t h i st h e s i si n v o l v e st h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nl a t t i c ef u n c t i o n sa n dt h eg e n e r a t - i n gf u n c t i o n so fp l a n ep a r t i t i o n sa sw e l la st h o s eb e t w e e nt h es p e c i a l i z a t i o no fs c h u r f u n c t i o n sa n dt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n so ft h es t a t i s t i c sd e sa n dm a jo ns t a n d a r dy o u n g m b l e a u x f u r t h e r m o r e ，w es u m m a r i z es o m ep r o p e r t i e so fl a t t i c ef u n c t i o n ss u c ha st h e c e n t r i c a l l ys y m m e t r i c a lp r o p e r t yo f s u b l a t t i c ef u n c t i o n sa n dt h eh i g h e s to r d e ro fs u b l a t - r i c ef u n c t i o n si nar e c t a n g u l a rs h a p e f i n a l l y , w ep r e s e n taw a yt ov e r i f yt h es y m m e t r y p r o p e r t yo fl a t t i c ef u n c t i o n sb a s e do nc o m b i n a t o r i a la n da l g e b r a i cm e t h o d s t h ef i r s tc h a p t e ro ft h e 廿l e s i si n t r o d u c e sl a t t i c cp e r m u t a t i o n s 。1 a t t i c ef u n c t i o n sa n d t h e i rc o n n e c t i o n sw i ms t a n d a r dy o u n gm b l e a u xa n dp l a n ep a r t i t i o n s b yu s i n gt h e p - p a r t i t i o nt h e o 巧a n dq u a s i s y m m e t r i cf u n c t i o n s ，t h es e c o n dc h a p t e rg i v e st h eg e n e r - a t i n gf u n c t i o no fs t a t i s t i c sd e s ，m a jo na l ls t a n d a r dy o u n gt a b l e a u x t h et h i r dc h a p t e r p r e s e n t ss o m ep r o p e r t i e so fl a t t i c ef u n c t i o na n dg i v e saw a yt op r o v ei t ss y m m e t r y p r o p e r t y k e yw o r d sl a t t i c ep e r m u t a t i o n , l a t t i c ef u n c t i o n , p l a n ep a r t i t i o n ，s y m m e t r y 目录 目录 摘要i a b s t r a c t - i i 符号说明i v 第一章格函数1 1 1 格置换1 1 2 格函数4 1 3 格置换与标准杨表6 1 4 格函数与平面分拆7 第二章标准杨表统计量的生成函数1 8 2 1 反向的尸分拆和拟对称函数1 8 2 2 标准杨表统计量d e s ，m a j 的生成函数2 3 第三章格函数的性质3 0 3 1 分拆转置后格函数的不变性 3 0 3 2 子格函数的性质3 1 3 3 格函数的对称性3 6 致谢4 0 参考文献4 1 个人简历4 3 符号说明 符号说明 n非负整数的集合 p正整数的集合 z整数的集合 q有理数的集合 m 集合 1 ，2 ，几) ( a l ，o 七) 集合( a l ，n 知) r ，其中0 1 o 七 q m 】系数在q 里关于z 的形式幂级数n o 矿构成的环 第一章格函数 第一章格函数 1 1 格置换 格置换这一概念由组合学家pa m a c m a h o n 在他的著作组合分析【1 5 】中 首次提出并命名它与许多组合对象比如标准杨表，平面分拆，c a t a l a n 数，投票 问题，s c h u r 函数，超几何级数，对称群的不可约特征等都有密切关系它的主指 标的生成函数格函数及其分解内格函数，外格函数与组合分析中的许多理论， 例如平面分拆等有重要联系，所以被m a c m a h o n 详细研究格置换是一种满足特 殊条件的重集上的置换 设入= ( 入1 ，入2 ，入m ) 是一个分拆，定义一个与之相关的由数字1 ，2 ，m 组成的重集m x = 1 h ，2 k ，m k ) ( 简记为m ) 这个集合上的一个置换a l a 2 o l a 被称为是形为a 的格置换( 1 a t t i c ep e r m u t a t i o n ) 如果它满足：对于它的任何一 个左因子a l a 2 a j ，( 歹) ，对所有的1 i m 一1 ，i 出现的次数至少和 i + 1 出现的次数相等我们把集合m 上所有的格置换的集合记为( m ) 显然有 ( m ) c6 ( m ) ，其中g ( m ) 是集合m 上所有置换构成的集合 例如：形为( 3 ，2 ) 的所有格置换为 1 1 1 2 2 1 1 2 1 21 1 2 2 11 2 1 1 21 2 1 2 1 格置换这一名称源自m a c m a h o n 最初对它的定义方法首先，m a c m a h o n 定 义格集合( 1 a t t i c ea s s e m b l a g e ) 是一个具有字母顺序z 1 x 2 q 2 尾 这两种大小关系没有公共部分，因为或0 2 角或防 0 2 对于第一种情况 设 尻= 侥+ a ，0 ：2 = 尾+ a + b ，0 1 = 尾+ a + b + a 其中4 ，b ，c 是任意非负整数，我们有 q 啦帕2 怕帕= 产+ 3 斛2 卧g 因为尾，a ，b ，c 是任意非负整数，从而 矿m 2 柏怕= 产+ 3 斛2 卧c5 赢 对于第二种情况设 0 2 = 岛+ a ，角= 忍+ a + b + 1 ，0 1 = 岛+ a + b + c + 1 ， 其中a ，b ，c 仍是任意非负整数，因此有 俨慨柏+ 励= 产+ 3 a + 2 b + c + 2 - - - - 丽q 2 对以上两种情况求和可得到形为( 2 ，2 ) 的平面分拆的生成函数 1 + 9 2 1 面丽丽酉2 面丽 另一方面，当我们对比条件 0 1 o r 2 岛之岛 0 1 胁 0 2 恳 和形为( 2 ，2 ) 的格置换 1 1 2 2 1 2 1 2 时发现前一个式子出现严格大于号时正好是后一个式子出现下降的位置，并且每 一种情况给出了计数函数 r ( m ) g 叫霄 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) l ( 2 ，2 ) ( 口) ：= = ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 第一章格函数1 0 的一部分 再考虑一个复杂一些的情况，当入= ( 2 ，2 ，2 ) 的情形，设位于平面分拆六个 方格的非负整数为 5 1q 2 0 lp 2 饥蚀 这些数字在平面分拆中可以有如下五种递减关系 口1 q 2 芝9 1 尾7 1 7 2 a 1 a 2 历m 尾 7 2 q l 阮q 2 仍饥讹 a 1 胁a 2 m 尾仇 q 1 角饥q 2 岛 7 2 但是这五种关系中有重复，通过去掉重复的部分，得到以下五种新的大小关 系易知平面分拆中六个数必然满足下列关系之一，并且没有公共部分 根据平面分拆从左到右从上到下的递减关系，以上每种关系中元素的出现顺 序也必然沿着从左到右，从上到下的顺序于是，通过顺次取每个数字在平面分 拆中所处的行号，可以得到形为( 2 ，2 ，2 ) 的五种格置换，即 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 ( 1 7 ) 1 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 仔细观察可以发现格置换中下降的位置恰好是关系( 1 6 ) 中严格大于号 发 生的位置 如果取出这五种关系中的任意一种，发现它的生成函数是计数函数 e 丌( m ) g 叫( 霄三( 2 ，2 ，2 ) ( g ) ( 1 ) ( 2 ) ( 6 )( 1 ) ( 2 ) ( 6 ) 的一部分 回 l ，l 仇他蚀饱蚀 一一一一一 饥恳饥愚尾 一一一 仍饥尾饥眈 一一一一 风风毗眈饥 一一一 2 2 l l l 毗勉风防风 一一一一一 m m m m m 第一章格函数 要证明这一点，设严格大于号 发生在第8 和第8 + 1 个数之间，且 第8 个数= 第8 + 1 个数+ + 1 类似于前一个例子，这个1 会一直保留在这个不等关系的前8 个数里，当我们把 所有的六个数加起来时，就会有8 个1 相加，整数8 也就会出现在分子部分口的 指数中，像前一个例子的第二种情况一样于是，在第8 个数之后的严格大于号 将贡献8 给分子中口的指数，恰好对应这个不等关系相应的格置换的下降位置 总而言之，一个不等关系的所有严格大于号 将贡献一个数给分子中g 的指数， 而这个数恰好是不等关系对应的格置换的主指标因此当取遍所有不等关系并把 得到的生成函数求和后即得 丌( m ) g m 幻( 丌)l ( 2 ，2 ，2 ) ( g ) ( 1 ) ( 2 ) ( 6 )( 1 ) ( 2 ) ( 6 ) 在上述例子中易得格函数为 1 + ( 9 2 + 口3 + 9 4 ) + 矿， 所以有 g 2 舳) = 将 显然，这种证明方法可以推广到形为入的任何平面分拆上，从而完成了定理 的证明 口 从某种角度上看，定理的证明过程提供了一个求平面分拆生成函数的方法 由定理1 3 1 可以把定理1 4 1 重新写成 定理1 4 2 若入是一个分拆，则有 删炉两者， 其中t 取遍所有形为入的标准杨表，并且g f ( a ) = q l 霄i ，求和取遍所有由非负 元素构成的形为a 的平面分拆 1 4 2 最大部分有限制的平面分拆的生成函数与格函数 定理1 4 1 阐述了元素大小没有限制的平面分拆的生成函数和格函数之间的 关系，但是当对平面分拆的大小有限制时，可不可以得到类似的结果，此时的格 函数又具有什么样的形式? m a c m a h o n 在【1 5 】中给出了详细的说明 第一章格函数 1 2 定义1 4 1 对任意形为入的杨表，定义 p l a ，n ( g ) = ( 佗+ 1 8 ) ( n + 2 8 ) ( 佗+ p , i 一8 ) l i ( g ) ， 其中p = m a x 【d e 8 ( 丌) 1 7 r ( m ) ) ，及 l i m ( g ) = ( 他+ 1 8 ) ( 钆+ 2 8 ) ( 住+ l 入l 一8 ) l 支( g ) 则有 p l 枷( g ) = 氓n ( 口) s = o 把厶，札( g ) 和l 复m ( g ) 也分别称为格函数和子格函数 m a c m a h o n 在【1 5 】中证明了下述定理成立 定理1 4 3 对形为入的杨表，我们有 g 砌，唰= 赢簪， 其中g f ( a ，佗) 是由0 ，l ，n 构成的形为入的平面分拆的生成函数，即 g f ( a ，他) = q l 剥， 其中求和遍历所有形为入且最大部分至多是n 的平面分拆兀 证明我们仍以例子久= ( 2 ，2 ，2 ) 的情况来阐述证明设平面分拆的最大部分不超 过竹它的六个元素为 q l q 2 厨尾 饥讹 五种不等关系 ( 1 ) ：o r l o t 2 尻仍饥仇 ( 2 ) ：0 1 1 o r 2 尻饥 仍仇 ( 3 ) ：口l 角 0 1 2 忍饥仇 ( 4 ) ：0 l l 历 口2 饥 尾仇 ( 5 ) ：q 1 风之饥 口2 尾仇 第一章格函数 1 3 分别给出了五种矿+ 口：+ 历+ 危竹1 怕的形式 1 p 加+ 5 a + 4 b + 3 d + 2 d + e r ，t + 融+ 佃+ 船+ 2 d + e “ 1 孓、r 加+ 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e + 2 r ，t + 5 a + 4 b + 船+ 2 d + 脚6 1 p 枷+ 5 a + 4 b + 3 口+ 2 d + e + 3 厶y 我们以第( 1 ) 个关系为例来阐述如何得到第一种形式设 所以 7 1 = 讹+ a ，侥= 7 2 + a + b ，历= 7 2 + a + b + g 口2 = 7 2 + a + b + c + d ，q 1 = 劬+ a + b + c + d + e ， 矿1 + a 2 懒怕竹1 慨= 产州枷+ 3 伽d + 曰 此外，因为q 1 不能超过n ，所以他+ a + b + c + d + e 不能超过钆因此有 产榭瑚制+ 2 d + e 其中仇，a ，b ，c ，d ，e 可以是任意非负整数，并且满足条件饱+ a + b + c + d + e 这等价于最大部分不超过6 且部分数不超过n 的线性分拆的生成函数，即 倪+ a + b + c + d + e ng 嘞+ 5 a + 4 b + 3 g + 2 。+ e = 6 ：佗 ( n + 1 ) ( 住+ 2 ) ( n + 6 ) 2 可页矿1 万一( 1 ) ( 2 ) ( 6 ) = l 0 2 ，2 ，2 ) ( g ) 对不等关系的第( 2 ) 种情况，类似可得到 阮= 他+ a ，饥= 仇+ a + b + 1 ，岛= 仇+ a + b + c + 1 ， a 2 = 饱+ a + b + c + d + 1 ，0 t l = 仇+ a + b + c + d + e + 1 ， 且q 1 = 仇+ a + b + c + d + e 不超过竹一1 ，因此 产+ “枷+ 叼+ 2 d + e “= 9 4 倪+ a + b + g + d + e f l l 产+ 5 州b + 3 c + 2 d + e 能+ a + b + g + d + e n 一1 = q 4 5 卅 = 9 4 继赢铲 第一章格函数 1 4 与第( 2 ) 种关系类似，第( 3 ) ，( 5 ) 种关系对应的格置换中也只有一个下降，它 们也要求口1 = 7 2 + a + b + c + d + e 不超过n 一1 ，因此第( 3 ) ，( 5 ) 种不等关 系分别得到： ，譬+ a + b + g + d + e n l 和 1 嶝+ a + b + c + d + e n 一1 g 咖+ 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e + 2 。q 2 = 9 2 能+ a + b + c + d + e n 一1 5 + n i 佗 j g 咖+ 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e 继赢斟产 9 6 4 r 2 + 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e + 3 = 9 3 = q 3 1 2 + a + b + c + d + e n 一1 f - 5 + n 【 礼 j 口6 1 2 + 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e - 9 3 继赢擀 从而由关系式( 2 ) ，( 3 ) ，( 5 ) 得 盥垡掣尝笔6 磐堕塑：2 ) ( 口) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 弋“”动h 7 在第( 4 ) 种不等关系中有 ( n ) ( 礼+ 1 ) ( 钆+ 5 ) 5 1 = 饱+ a + b + c + d + e + 2 由口1 n 有能+ a + b + c + d + e 不超过佗一2 ，因此 捡+ a + b + c + d + e s n 一2 所以 口+ 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e + 62q 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 6 ) g + 5 a + 4 b + 3 c + 2 d + e 1 2 + a + b + c + d + e n 一2 卅旧 _ 9 6 坠器群 = 2 ) ( g ) 譬雒铲 c f ( ( 2 ，2 ，2 ) ，n ) 一 第一章格函数 1 5 - - _ - _ - _ - i - - - i _ _ 一一 ! ! 兰! ：! 竺! ! 堡墨2 ) ( 钆) ( 礼+ 5 ) l 2 ，2 ，2 ) + ( n 一1 ) ( n + 4 ) l i 2 ，2 2 ) 一弋硕万1 可一 一l ( 2 ，2 ，2 ) ，n = - - - - - - - - - - 二- - - 二- - - 一 ( 1 ) ( 2 ) ( 6 ) 。 对于任意形为入的杨表，我们给出一个更一般的描述首先，可以把平面分 拆中个元素分成若干种不相交的递减关系，且每种关系对应着一个形为a 的 格置换，如定理1 4 1 的证明中( 1 6 ) 和( 1 7 ) 那样不妨设这个递减关系为 a l a r l 嘶l + 1 嘶2 2 + 1 a r , 。+ 1 口l 入 即它在从左到右的第r 1 ，r 2 ，个位置是严格大于号因此这个递减关系对应 的格置换7 r 在第r 1 ，仡，个位置是下降的从而m a j 何) = ：1 心令 n t = ：乏+ 1 ， 从而，所有的a t ) 型1 均可由集合s = 。帅b 1 ，b 一1 ) 中的元素表示且集合s 中所有元素都是非负的此外，还有关系 i , x l 一18 啦= i x l 口i a l + 池+ n i = 1 i = 1i = 1 成立于是有 g f ( , k ，札) = q l a 口1 竹 = g ”瞥1 啦+ t 8 瑟譬箸叩i + 残型f 1 呦 = 口叫霄 g 卅型f 1 瓴 8 薹譬普 吣i + 紫毛s 1，1， 伽 吃 您 n q r t r j l 譬 口p z 果果如如 s 十 玩 谢 + 入 口=口和 q 活 g = 第一章格函数 1 6 = 莩丌三，渺r = 莓。蒹n 一) 丛生嗡幕湍型型 8 ，r ( m ) 、“7” = p ( g ) 丛生每稿幽 l a ，n ( 口) ：= ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 至此完成了该定理的证明 口 由定理1 4 3 容易得到下述定理，它揭示了( m a j ，d e s ) 在格置换集合上的联合 分布与平面分拆的生成函数之间的关系 定理1 4 4 对形为入的杨表有 薹g 脚肛高筏高 证明由定理1 4 3 ，我们有 g 脚) = 坠生斋高产趔 上式两边乘以俨并令佗从0 到o o 求和可得 薹g f ( 入川俨= 薹矿塞堕土立堕蔷忘粤青爿幽 =壹参坠生迎赢者斋必n=0s = 0 i、，、一，、。- ， = 薹塞俨丛生等籍崭乒幽 = 薹薹矿丛生等蒜铩产业型 第一章格函数 1 1 = 争她， 8 堕型糍高拶 2 擎职( g f 耵昔而 丌( m ) g m j ( 耳) t 蛔( 丌) 2 酉习百i 可厕 定理得证 口 由定理1 3 1 可以把定理1 4 4 重新写成 定理1 4 5 若入是一个分拆，则有 妻g 脚肛高篙篇， 竹= 0 、7 、 、一 其中t 取遍所有形为入的标准杨表 第二章标准杨表统计量的生成函数 1 8 第二章标准杨表统计量的生成函数 由定理1 4 2 和1 4 5 我们得到了平面分拆的生成函数和标准杨表的统计量 c m a j ，r i s 的生成函数之间的关系考虑到平面分拆和半标准杨表，统计量( c m a j ， r i s ) 和统计量( m a j ，d e s ) 之间分别具有的“相反 关系，s c h u r 函数8 a ( 1 ，q ，q 2 ) 和标准杨表的统计量m a j ，d e s 的生成函数足( 口) ，足( 口) ，最( 口，t ) 之间必然也存在 着某种关系本章我们将给出这些结果 2 1 反向的p - 分拆和拟对称函数 2 1 1 偏序集和反向的p - 分拆 定理2 1 1 令c 是一个链且有n n 对任何函数f ： n 】一a 有唯- - 的j t 换7 r = 7 r 1 6 n 满足 j ，( 7 r 1 ) f ( ，r 2 ) ，( 7 k ) ， 2 ，( 吼) 丌+ 1 ， 则称，是反向7 r 相容的 证明该定理的证明类似于r es t a n l e y 在【1 9 】中定理4 5 1 的证明，在此忽略口 定义2 1 1 对一个偏序集只映射盯：p n 称为一个保序映射如果在p 中 i 歹，可以得到在n 中矿( t ) 盯( j ) 映射仃：p n 称为一个严格保序映射如果 在p 中i 歹，- - t 以得到在n 中盯( t ) 口u ) 定义2 1 2 一个反向的p 分拆是一个保序映射仃：p p 我们用( p ) 表 示所有反向的p 分拆的集合 定义2 1 3 如果p 是集合 叫上的一个偏序集，并且假设p 与 叫上通常的 序相容，即如果在p 里i 歹，则有在z 里i j 此时我们称p 是集合m 上的 一个自然偏序集 第二章标准杨表统计量的生成函数 1 9 定义2 1 4 如果i 尸i = 则一个保序映射盯：p _ 【叫的原象的置换0 - 1 ( 1 ) ， 0 - 1 ( 佗) 被称为是p 的一个线性扩张p 的所有缌j 生扩张的集合被记为髟( p ) ，并 被称为p 的j o r d a n h o l d e r 集 例如：当p 是如下所示的偏序集时， 3 4 2 有2 ( p ) = 1 2 3 4 ，2 1 3 4 ，1 2 4 3 ，2 1 4 3 ，2 4 1 3 定义2 1 5 定义偏序集p 的一个标号是一个一一映射u ：p _ m 定义2 1 6 一个反向的( p u ) 一分拆是一个映射0 - ：p _ n 满足以下两条： j 如果在p 里有8 t 则有0 - ( s ) 0 - ( 0 换言之，盯是保序的 2 如果在p 里有s u ( 亡) ，则有仃( s ) 0 - ( 0 令符号( p u ) 表示所有的反向的( 只u ) 一分拆的集合 反向的( 只u ) - 分拆是一个加了由u 限定的条件的反向的p 一分拆例如，若u 是保序的，一个反向的( 只u ) - 分拆就是一个反向的p 一分拆另一方面，如果u 是 反序的，则一个反向的( p ，u ) 一分拆就是一个严格反向的p - 分拆 定义2 1 7 令c ( p ，u ) 表示所有置换7 r = 7 r 1 7 i i n 6 n 形成的集合使得由 凹一1 汛) ) = i 定义的映射硼：尸_ 【叫是一个p 的线性扩张 例如：如果( 尸，u ) 由下图给出 4 2 则c ( p ，u ) = 5 2 1 4 3 ，5 2 4 1 3 ，2 5 1 4 3 ，2 5 4 1 3 ，2 4 5 1 3 ，5 2 1 3 4 ，2