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随机波动率下障碍期权的近似定价 论文摘要 带有障碍特征的期权称为障碍期权，它取决于在期权有效期间障碍是否被碰 到，被认为是一类最简单的路径依赖期权。障碍期权的出现是为了满足那些精明 的投资者的需要，因为障碍期权的出现给那些风险管理者们提供了更合算的方 法，让他们不必为他们认为不可能到达的价格支付费用了。 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型假设股票价格遵循具有常数波动率的几何布朗 运动，因此任何将来时刻股票价格的概率分布都是对数正态分布。但是大量的 实证研究表明，常数波动率的假设与现实情况相违背，于是人们开始考虑将波动 率是常数的假设放宽。人们发现随机波动率模型是描述隐含波动率“期限结构” 的有效模型，同时可以解释“波动率微笑”现象。在实证中，我们发现波动率具 有自回归、均值回复的特性，为了描述这一特性，本文用几何o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程来描述随机波动率，同时保证了波动率为j 下值。 随机波动率的存在使得由复制组合方法所得的定价方程变得更加复杂，并且 没有封闭的解析解，只能采用近似算法。所以，本文采取把解函数按波动率回复 r 厂： 时间占2 q a 作幂级数展开，并求解一系歹u p o i s s o n 方程的方法来寻求定价 公式的近似表达。 本文以向下敲出欧式买入期权作为研究对象，得出其在非完全市场下的近似 表达式。 关键词：随机波动率；快速均值回复；障碍期权。 随机波动率下障碟期权的近似定价 a b s t r a c t o p t i o n sw i t ht h ef e a t u r eo fb a r r i e ra r eb a r r i e ro p i n i o n s ，d e p e n d e n to nw h e t h e r s o m eb a r r i e r sa r eb r e a c h e dw i t h i nt h el i v e so ft h eo p t i o n s ，i sr e f e r r e da sak i n do f s i m p l e s tp a t h - d e p e n d e n to p t i o n s b a r r i e ro p t i o n sa r eg e a r e dt ot h en e e d so f s o p h i s t i c a t e di n v e s t o r s ，b e c a u s et h e s eo p t i o n sa r ec r e a t e dt op r o v i d er i s km a n a g e r s w i t hc h e a p e rm e a n st oh e d g et h e i re x p o s u r e sw i t h o u tp a y i n gf o rt h ep r i c er a n g e st h a t t h e yb e l i e v eu n l i k e l yt oo c c u r t h eb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n ge q u a t i o nf o ras t o c ka s s u m e st h a tt h es t o c k p r i c ef o l l o w st h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o na n dt h ev o l a t i l i t yo f t h es t o c kp r i c e r e m a i n sc o n s t a n to v e rt h el i f eo ft h eo p t i o n a l t h o u g ht h el a t t e rm a yb eav a l i d s i m p l i f y i n ga s s u m p t i o nf o rs h o r tm a t u r i t yo p t i o n s ，i tb e c o m e sl e s si n c r e a s i n g l y p l a u s i b l ea st h em a t u r i t yi n c r e a s e si ne m p i r i c a ls t u d i e s s om o r ea n dm o r es t u d i e s c o n c e n t r a t eo nh o wt oe x t e n dt h i sa s s u m p t i o n n o to n l yd os t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l s e x p l a i nt h eb a s i cs h a p e so fs m i l ep a t t e m s ，b u tt h e ya l s oa l l o wf o rm o r er e a l i s t i c t h e o r i e so ft h e “t e r ms t r u c t u r e ”o f i m p l i e dv o l a t i l i t y i no r d e r t og e n e r a t eap r i c i n g f o r m u l at h a ti sa p p r o p r i a t ef o rt h ec a s ew h e r ev o l a t i l i t yf o l l o w sa na u t o r e g r e s s i v ea n d m e a n - r e v e r t i n gs t o c h a s t i cp r o c e s s ，al a r g ea n dg r o w i n gl i t e r a t u r es u g g e s t st h a tt h i s c a s ei se m p i r i c a l l yr e l e v a n t ；w eu s et h ef u n c t i o no fo m s t e i n - u h l e n b e c k p r o c e s st o d e s c r i b es t o c h a s t i cv o l a t i l i t y a tt h es a m et i m ew ec a nm a k es u r et h a tv o l a t i l i t yi s p o s i t i v e n o w ，i tw i l lm a k et h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp r i c i n gb e c o m em o r e c o m p l e xa n d h a s n ta n yc l o s e d f o r ms o l u t i o n s ow ew i l ld e r i v ea na p p r o x i m a t e s o l u t i o no ft h i se q u a t i o na st h ep r i c ef o r m u l ao fb a r r i e r o p t i o n su n d e r t h ei n c o m p l e t e m a 伙e tb yu s i n gt h es 。1 u t i 。nf h n c t i 。ne x p a n s i 。na c c 。r d i n gt 。；= a n dt h e m e t h o d so fs o l v i n gp o i s s o ne q u a t i o n s t h es t u d ys u b j e c to ft h et e x ti sd o w n o u tc a l l sw h o s e a p p r o x i m a t ep r i c i n g i v 随机波动率- 卜障碍期权的近似定价 f o r m u l ai nt h ei n c o m p l e t em a r k e ta r ew o r k e do u ti nt h et e x t k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ；f a s tm e a n - r e v e r t i n g ；b a r r i e ro p t i o n s v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：徐雅 加矽年占月5 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ) 作者签名：输、船 日期：口8 年6 月5e t 导师签名：吉财专u 期：b 壮6 月乡曰 随机波动率卜障碍期权的近似定价 第一章引言 第一节期权的基本概念 期权是最基本的金融衍生产品之一。金融衍生工具又称金融衍生产品，是一 种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产 ( u n d e r l y i n ga s s e t ) 的价格。这就是说金融衍生产品的价值是由其标的资产价值 衍生( d e r i v e d ) 而得到的。其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币 等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生产品本身。从金融工 程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生产品。市场上 还存在的其它衍生产品，如掉期( s w a p s ) 、按揭抵押债券( m o r t g a g e b a c k e d s e c u r i t i e s ) 、结构化债券( s t r u c t u r e ds e c u r i t i e s ) 等都可以看作上述三种基本衍生 工具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。金融衍生产品市场是一个非 常巨大的市场，这个市场发展极其迅猛，也对全世界的经济走势产生了极其深远 的影响。从原理上来讲，金融衍生产品市场首先是规避风险的工具，通过交易使 得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。 期权( o p t i o n ) ：是一种选择权，持有者有在约定时问以约定价格向期权提供者购 买或售出某种资产的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。 多头( 1 0 n gp o s i t i o n ) ：买方。 空头( s h o r tp o s i t i o n ) ：卖方。 标的资产( u n d e r l y i n g a s s e t ) ：期权合同中多头行使权力时买入或卖出的资产。 可供选择的标的资产有股票、债券、货币、利率等金融资产，也可以是黄金和其 他一些商品。 敲定价格( s t r i k ep r i c e ) ：期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。敲定 价格在签订期权合同时就已经固定，不再随标的资产的市场价格变化而变化。 看涨期权( c a l lo p t i o n ) ：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲 定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的 义务。 1 随机波动率下障碍期权的近似定价 看跌期权( p u to p t i o n ) ：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲 定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的 义务。 到期日( e x p i r a t i o nd a t e ) ：期权合同所规定的有效期限或合同多头方行使权力的 时间。根据多头在期权有效期内行使权力自由度的不同，期权有可以分为美式期 权( a m e r i c a n s t y l eo p t i o n ) ，即多头可以在到期同前任何一天行使权力；欧式期 权( e u r o p e a n s t y l eo p t i o n ) ，即多头只能在到期日行使权力，本文中仅研究欧式 期权。 可行市场：研究金融市场有一个基本的假定，就是无套利原则，也称套利原则， 这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会( 套利的粗略含义是，在开始时 无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的( 随机) 资金，而且有正资金的 概率为正) 。因为在出现套利机会时，大量的投机者就会涌向市场进行套利，于 是经过一个相对短的时期的“混乱”后，市场就会重返“正常 ，即回复到无套 利状态。在金融衍生证券的定价理论中，并不讨论这段短混乱时期，因此，在研 究中普遍地设置无套利假定，这样的市场也称为可行市场。 套期：粗略地说，以持有某些有价证券组合来抵消某种金融衍生证券所带来的风 险，称为套期，这种套期事实上是完全套期。如果只抵消了部分风险，则称为部 分套期。 以某种证券为标的资产的欧式看涨期权，是指在t = o 时甲方( 一般为证券公 司) 与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一个权利，能在时刻t 以价格x ( 敲 定价格) 从甲方买进一批这种证券，如果时间t 时的市场价格o r 低于x ，乙 方可以不买，而只要时间t 时的市场价格o r 高于x ，乙方就得利。综合起来， 乙方在时刻t 净得随机收益为g = m a x ( o ，品一x ) 。因为乙方只能在最终时刻t 做出选择，所以这种期权是欧式期权。此外，乙方希望o r 尽量大，以便有更多 的获利。也就是有选择权的乙方盼望股票上涨，这就是看涨期权，或者买权。由 2 随机波动率下障碍期权的近似定价 于这个合约能给乙方带来g = m a x ( o ，s t x ) 的随机收益，就需要乙方在t ：0 时刻 用钱从甲方购买。这个合约在t = o 时刻的价格，称为它的贴水或保证金( p r e m i u m ) 。 第二节障碍期权简介 障碍期权算是比较早的奇异期权，它的场外市场也比较大。其收益依赖于标 的资产价格是否在一段时期内达到了某个合约事前约定的特定水平，该水平也被 称为障碍水平。根据标的资产价格达到障碍水平后期权的存在与否，障碍期权可 以分为敲出期权和敲入期权两种。对于敲出期权而言，当标的资产价格达到障碍 水平时，该期权就作废；对于敲入期权而言，当标的资产价格达到障碍水平时， 该期权得以存在。障碍水平既可以在执行价格以下，也可以在执行价格以上。根 据看涨期权和看跌期权的分类，障碍期权可以进一步分为好几类，如下表 障碍水平在执行价格以下 障碍水平在执行价格以下 看涨期权下降敲出看涨 下降敲入看涨上升敲出看涨上升敲入看涨 期权期权期权期权 看跌期权下降敲出看跌下降敲入看跌上升敲出看跌上升敲入看跌 期权期权期权期权 下降敲出看涨期权是指标的资产价格下降到障碍水平从而使该期权作废的 看涨期权。通常情况下，当期权被敲出后，期权持有者会收到部分期权费的退回， 这在合同中会事先约定。其他几种敲入、敲出期权的定义与此相似，只要弄清楚 障碍水平是在执行价格以上还是以下、到达障碍水平后期权是敲入还是敲出、是 看涨期权还是看跌期权这三个关键特征就可以了。 这些敲入期权和敲出期权之间存在一些数量关系。譬如，一份标准看涨期权 的价值等于一份相应的下降敲入看涨期权价值和一份下降敲出看涨期权价值之 和，即+ = c 。同样，一份上涨敲出看涨期权价值与一份上涨敲入看涨期 权价值之和也等于一份标准看涨期权价值，即e 。+ 巳= c 。对于看跌期权，也 有这样的关系，即屹+ 吃= p ，。+ p f = p 。 3 随机波动率卜j 障碍期权的近似定价 第二章b l a c k s c h o l e s 期权定价理论 第一节b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型假设 期权定价方面最经典文献之一是b l a c k 和s c h o l e s 于19 7 3 年在j o u r n a lo f p o l i t i c a le c o n o m y 上发表的题为“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b l i t i e s ” 一文。该文提出了我们现在熟知的著名的b s 期权定价公式。同年，m e n o n 发 表了“t h e o r yo f r a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ”，在若干方面做了重要推广，使期权定价 理论取得了突破性的进展。因此，b s 又被称为b s m 模型。在b s m 模型的 一系列的假设下，可以推导出期权价格变化的随机微分方程，即期权价值方程( 又 称b s 方程) 。由于它与物理学中的热传导过程的微分方程的形式类似，而后者 的解已由物理学家给出。因此，b l a c k 和s c h o l e s 很快就找到了上述方程的解析 解。我们首先看看模型的假设条件。 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的八个假设条件如下： ( 1 ) 期权标的资产为风险资产( 在b l a c k s c h o l e s 期权定价模型中为股票) d s ：“出+ 仃d z 当前时刻市场价格为s 。s 遵循几何布朗运动，即s 。 其中：d s 为股票价格瞬时变化值；d t 为极短瞬间的时间变化值；d z 为均 值为零，方差为d t 的无穷小的随机变化值( d z = e , a t ，称为标准布朗运 动，s 代表从标准正态分布中取的一个随机值) ；为股票价格在单位时 间内的期望收益率( 以连续复利表示) ；盯则是股票价格的波动率，即证 券收益率在单位时间内的标准差。和盯都是已知的。 简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动( 即收 益) 来源于两个方面：一是单位时间内己知的一个收益率变化u ，被称为 漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即o d z ，可 以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。 ( 2 ) 在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。 4 随机波动率下障碍期权的近似定价 综合假设条件l 和2 ，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的， 不存在突然的跳跃。 ( 3 ) 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部 因素。 综合假设条件2 和3 ，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而 没有其他影响因素。 ( 4 ) 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。 ( 5 ) 在期权有效期内，无风险利率为r 常数，投资者可以此利率无限制地进行 借贷。 ( 6 ) 期权为欧式看涨期权，其执行价格为x ，当前时刻为t ，到期时刻为t 。 ( 7 ) 不存在无风险套利机会。 ( 8 ) 标的资产价格波动率已知且恒定，这一假设是期权定价模型中的关键条 件。 第二节b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式推导思路 b l a c k 和s c h o l e s 构造了一个包含一单位衍生和证券单位标的证券多头的投 资组合。若数量适当，标的证券多头盈利( 或亏损) 总是会与衍生证券空头的亏 损( 或盈利) 相抵消，因此在短时问内该投资组合是无风险的。在无套利机会的 情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。根据这个思路，导 出b l a c k 。s c h o l e s 期权定价公式，求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。 1 引理 推导b l a c k s c h o l e s 期权定价公式之前，我们首先介绍一下在b l a c k s c h o l e s 期权定价公式推导中需要用到的 d 引理。 假设c 是依赖于s 的衍生证券( 期权) 的价格，则变量c 一定是s 和t 的 某种函数，我们将其写为c ( s ，t ) 。我们感兴趣的是s 和t 的变化对期权价值有什 么影响。根据泰勒级数展丌，依赖于两个变量的函数c ( s ，t ) 对应的c可以展 开为： 5 随机波动率卜障锝期权的近似定价 韶：笙您+ 箜国+ 三驾程z + ! 磐国z + 塑黝+ 三 a sa t2a s 22a t 2a s a t ( 1 2 1 ) 假定s 遵循一般的露5 过程，则：栅= 以( s ，t ) d t + b ( s ，t ) d w ( 1 2 2 ) 犯：箜峦+ 丝衍+ ! 堡b z d t 当d s 和d t 趋于0 时，有： a sa t2a s 2 ( 1 2 3 ) 这就是f o 引理。 根据之前对股票价格分布的假设：d s 2 p s d t + t r s d w ( 1 2 4 ) 因此，根据i r a 引理，将式( 1 2 4 ) 代入式( 1 2 3 ) 中，c 遵循的过程为： 犯：( 丝筇+ 丝+ ! 鸳t r 2 s 2 ) d t + 箜仃s d w 、瓠。研2 掰2a s ( 1 2 5 ) 式( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 的离散形式分别为： a s = t u s a t + t r s a w ( 1 2 6 ) a c ：( 丝s + 笙+ 三磐c r 2 s 2 ) f + 笙仃s a w 、a s 。a t2a s 2 7 a s ( 1 2 7 ) 上式中，s 和t 遵循的布朗运动相同，即两式中的a w 相同，所以选择某种股票 和衍生证券的投资组合可以消除布朗运动。 2 b l a c k s c h o l e s 期权定价公式推导 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性影响，若匹配适当， 这种不确定性就可以相互抵消。下面我们构造一个包含一单位衍生和证券单位标 的证券多头的投资组合。若数量适当，标的证券多头盈利( 或亏损) 总是会与衍 生证券空头的亏损( 或盈利) 相抵消。 a c 设有投资者卖出1 份期权，同时买入数量为帮的股票，则定义证券组 合的价值兀为：i i = - c + a 瓠c s 6 ( 1 2 8 ) 随机波动率下障碍期权的近似定价 出时间后，投资组合的价值变化为 ：i - i = - a c + a 瓠c a s ( 1 2 9 ) 根据前式可得：n _ ( 一百c 3 c 一等鳓址 ( 1 2 1 0 ) 因为上式不含a w ，经过a t 时间后投资组合的价值必定没有风险。当a t 无限短 时，该投资组合的瞬时收益率与其他短期无风险证券收益率相同。当不存在无风 险套利机会时，应该存在下列等式：兀= r i - t ( 1 2 11 ) 其中，r 为无风险利率。 将式( 1 2 8 ) 和( 1 2 1 0 ) 代入( 1 2 11 ) 化简可得： 望+ 心箜+ 一1 一a 2 c 仃2 ) , 2 ：，ca t8 s28 s ( 1 2 1 2 、) 式( 1 2 1 2 ) 便是b l a c k s c h o l e s 微分方程。此方程有多个解。其中对于欧式看涨 期权的边界条件是：当t = t 时，c = m a x ( s x ，o ) 。 式( 1 2 1 2 ) 中的变量为股票当前价格s 、时间t 、股票价格波动标准差盯和无风 险利率r ，而不包括股票的预期收益a ( a 值依赖于风险偏好) 。也就是说，该 方式不包含任何受投资者的j x l 险偏好影响的变量，风险偏好对f 不产生影响。为 了简化分析，b l a c k s c h o l e s 模型假定所有的投资者都是风险中性的，在这种假设 条件下的定价称为风险中性定价。 在风险中性世界中，欧式看涨期权到期目的期望价值为：e m a x ( s r x ，o ) 其中，应表示风险中性的期望值，s t 为t 时刻的股票价格，t 为期权的到期时 间。欧式看涨期权的价格c 是期望值应以无风险利率贴现的结果，即： c = e - r r ； m a x ( 品一x ，o ) 】 ( 1 2 1 3 ) 假设股票价格运动是几何“布朗运动”，运用随机变量函数的一些定理，可 以得到股票价格的自然对数l i l s 服从正态分布，具有下列概率分布： 随机波动率下障碍期权的近似定价 i n s r 妒【l n s + ( ，一要) r t o 厅】 通过积分对( 1 2 1 2 ) 右边求值，可以得到欧式看涨期权的b l a c k s c h o l e s 定 价公式如下：c = 斛( 4 ) 一x e n ( d z ) ( 1 2 1 4 ) l n ( s x ) + ( ，+ 要) 7 1 其中，4 = _ 产，吐= 4 一盯厅。 式中每个符号的含义如下： c ：当前t 时刻的看涨期权价格； s ：当前t 时刻的股票价格； t ：期权到期时间； x ：期权执行价格； r ：无风险利率； n ( d ) ：标准正态分布下小于d 的累积概率，其值介于0 和l 之间； 盯：股票连续复利收益率的标准差。 第三节b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式的局限性 b l a c k s c h o l e s 模型建立在一些严格的假设之上，但这些假设通常也使模型产 生一定的局限性。我们在此对b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的局限概括如下： ( 1 ) 股票价格波动率不变。b l a c k s c h o l e s 模型假设波动率不变。然而，假设股 票价格与波动率j 下向相关，那么当s 较大时，分布的右尾将比较厚，分布 的左尾相对较薄。因此可以说b l a c k s c h o l e s 公式对实值和虚值( 平均期 权是指如果期权立即执行，持有者的现金流为零，即x = s e ，( r 叫) ；实值期 权是指如果期权立即执行，持有者具有正的现金流，即x s e r ( ，叫) 。) 的 期权定价出现错误。这些由错误波动率造成的定价误差将随到期时间的变 长而增大。 r 随机波动率f 障碍期权的近似定价 股票价格服从对数正态分布。b l a c k s c h o l e s 公式的一个关键假设是在已知 今天价格的条件下，股票的未来价格是服从对数正态分布的。因此，如果 真实分布不同于对数f 态分布，甚至经常是不连续的变化，即出现跳跃性 变化，那么市场价格将与b l a c k s c h o l e s 的定价不同。例如，一个处于深 度虚值的看涨期权只有当价格有大幅上升时，才会有正的价值，因此只有 分布的右尾才影响期权的价格。分布的右尾越厚，期权的价格越高，在此 情况下b l a c k s c h o l e s 公式得到的结果将低估该期权。 借入和贷出的利率是一样的，且在期权持续期内是不变的和已知的。显然， 这个假设是不可能成立的，因为借入利率比借出利率要高。这个假设对 模型的影响是期权价格位于用两种利率从模型中推导出的价格之间。 没有税收和交易成本。现实中必然存在税收和交易成本。 复制策略的时效。b l a c k s c h o l e s 公式内含复制策略，但是在现实世界中， 这种策略不会在一个长的时间内奏效。因为在下一年有多于两种可能的股 票价格。股票可能出现的价格状态越多，复制策略就越难奏效。 9 ) ) ) ) 2 3 4 5 ( ( ( ( 随机波动率卜障锝期权的近似定价 第三章。波动率改进 第一节波动率改进模型 在最初m e r t o n 所提出的模型中，假设资产价格的波动率是一个无法直接观 察得到的常数，并由此得到相关的衍生证券的定价公式：b l a c k s c h o l e s 公式。 但实证研究表明4 1 ，我们利用相关证券的市场实际价格的历史数据，依据b s 公 式，采用叠代算法倒推回去所得到的波动率，即隐含波动率，却并非是常数。这 说明常数波动率模型并不完全符合真实市场的实际情况。因为如果模型是完备 的，那么资产价格的隐含波动率对所有与资产价格有关的衍生证券而言应该都是 相同的。从而，我们有必要对m e r t o n 模型的常数波动率假定作一些改进。为此， 人们通过进一步研究，在实践中发现波动率还有以下几个特点： 1 隐含波动率与相关衍生证券的期限有关，即存在“期限结构 ，而且往往期 限短的隐含波动率较高。 2 隐含波动率与标的资产价格( 公司价值) 有关，往往资产价格高时，波动率 倾向于下降，即与标的资产价格存在负相关的关系。 3 隐含波动率与衍生证券的执行价格也有关，即存在“波动率的微笑”。研究 发现，当股票期权处于非平值状态( 即若期权立即执行，则持有者的现金流不为 零) 时的波动率比期权处于平值状态( 现金流为零) 时的隐含波动率更大。此时 若使用b s 公式计算则会与实际结果有偏差，实践者必须不断调整波动率参数。 4 随着时间增长，在长期的变化规律中，波动率还存在着均值回复的现象。为 此，人们陆续提出了如下几种常见的波动率改进模型、方法。不过必须要特别指 出的是，若采用改进波动率的资产价值模型来计算期权价格，则在大多数情况下 没有解析解，需要使用数值方法或其它方法来近似计算。 一 局部波动率模型 d u p i r e ，d e r m a n 和k a n i ( 1 9 9 4 ) 提出，让波动率随资产价格和时间变动的模型： 拿：出+ 仃( 洲d 彬 s 。 。 l o ( 1 3 1 ) 随机波动率下障碍期权的近似定价 即资产价格的波动率仃( s ，t ) 由时间t 和资产价格s t 唯一确定。我们可以根 据市场历史数据分析，在不同的资产价格下，局部波动率对不同的衍生证券种类 所产生的不同的影响效果，从而确定合适的波动率函数o 。该类模型有以下两个 典型模型： ( 1 ) 时间依赖波动率模型： 等= z d t + o r ( t ) d i 形, 3 固 这个模型可以拟合不同期限的具有相同标的股票和交割价格的期权价格，而 且定价简单【6 】。但是该模型无法解释具有不同交割价格和赔偿条款，而其它条件 相同的期权价格的差异。 ( 2 ) 常数弹性波动率模型：， 堕s t = z d t + 蚋彬 ( 1 3 3 ) 当r l = 1 时，上式所表示的是几何布朗运动。为了更好地描述资产价格与波 动率之间的关系，一般取r l l ，这样当波动率变大时，资产价格下跌，相比上一 个模型而言，较为符合实际情况中二者负相关的现象。该模型可以算出解析解。 故这个模型也很容易应用，但不幸的是，该模型允许资产价格为负值是它的一大 缺点。 总的来说，局部波动率模型的优点在于该模型只存在一个风险源，债券定价、 风险评估仍可保持在完全市场中，所得到的价格与投资者的偏好和预期无关，所 以仍可以得到解析解，可以用改进的二又树模型( 隐含树图) 定价。其主要缺点 是该模型只可与今天市场上的波动率微笑和波动率期限结构相吻合。然而，由于 该树图本身也隐含了未来的某个波动率微笑和波动率期限结构，它们可能与今天 市场上所观测到的这些值很不相同。所以当一笔交易依赖于未来某个时刻所观察 的波动率时，用局部波动率模型定价可能有偏差。 二随机波动率模型 随机波动率。卜p 早 o r 口t f l 期权的近似定价 由于波动率难于预测和估计，却又对资产价格建模有重要影响，所以很自然 的想到用随机波动率模型来描述。随机波动率模型是指真实的波动率是随机的， 而非单纯用时间和股票价格来解释。因此我们需要构造另一个随机过程来描述波 动率的变化。这种模型的般性描述为：在实际的概率测度p 下，资产价格过程 s t ，o t - t n - - t 口下的二维i t 。公式来表示： 啦a 二剐衍+ 二譬誓2 7o r r ，( 彤，必) ：p 斫 iy , = a ( t ，y , ) a t + 6 ( ，以) 皿 u ” 叫 ( 1 3 5 ) 其中常数是标的资产( 如股票) 的期望收益率，即漂移率，盯( y r ) 是资产 的波动率，它是另一个随机过程y t 的函数， 彬，z ，是w i e n e r 过程，户为它们 的相关系数，反映的是资产价格与其波动率之间的关系，这种关系是局部波动率 模型中所重点描述的。在此，如果我们仍然想保留这一特性，则设p 0 。而且 根据现实中资产价格与其波动率变化的负相关关系，一般设p s ( 1 3 1 7 ) 显然由此，我们可以得到如下几个关于算术o u 过程 z ，o 的结论： 1 稳定分布。 当t 专时，耳必定在均方意义下收敛于某一个以m 为均值，服从稳定分 布的随机变量y ，即： 1 舰耳_ 。y 一( 脚，2 ) ( 1 3 1 8 ) l i - ，( y - m ) 2 可见，o u 过程z 的稳态分布为矽( y ) = 1 ；e zv - ，而且m 是长期均值。这符合 v - ，r 实际观察到的波动率所具备的均值回复的特性。而且口的值越大，其收敛( 或说 回复到稳定分布) 的速度越快。因此我们不妨可以把口看作是巧回复到均值水 平的速率。这也是为什么在设口远大于。的条件下，称上述定义的过程 z ，7 o 为 快速均值回复的o u 过程的原因。 2 相关性。 当s 一悯时，c o v ( y 7 ，y s ) - - o ( t s ，也就是距离起始时刻足够远的两 个时点s 、t 所对应的随机变量所，儿之间的相关系数将趋于零。 1 6 随机波动率下障碍期权的近似定价 第四章随机波动率下的定价方程及近似求解 第一节定价方程的推导 本章以向下敲出欧式买入期权作为研究对象。向下敲出欧式买入期权是指当 障碍是从上向下碰上的，一旦资产价格接触障碍( 或敲出价) 时，期权在到期同 之前失效。在b l a c k s c h o l e s 公式中，我们通常假设标的资产的波动率为常数或 为确定性函数。但通过研究了解到，标的资产的波动率一般不是常数，也不是确 定性函数，而是一个随时间t 变化的随机变量，而且是一个各态历经的随机过程， 可以用快速均值回复的o r n s t e i n u n l e n b e c k ( 简称o u ) 过程来描述p ，。由于随机性 波动率对应的风险无法通过构造对冲证券组合而消除，因而对应的衍生证券市场 是非完全市场，对应的衍生证券定价问题与完全市场相比较要复杂许多。 本章采用文吲中的思想，将波动率是快速均值回复o u 过程情况下的向下敲 出欧式买入期权的价格函数展开为均值回复时间长度的幂函数，通过求解一系列 p o i