（应用数学专业论文）非线性奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题多重解的存在性.pdf

摘要 本文给出了下面带脉冲的奇异三点边值问题 fy + q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，t t k ，t ( 0 ，1 ) ， - - a y 化：t 。= 氏( 可( ) ，k = 1 ，2 m ， ly ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 白( c ) ，0 f 1 ，0 c 1 的两个正解的存在性结果，其中g ( ) 允许在t = 0 处具有奇性；非线性项，允许在 y = 0 处具有奇性；厶： 0 ，o 。) _ 0 ，。o ) 连续不减；可化：“= 可7 ( t k + 0 ) 一y l ( t k o ) ，其中 y 他k + 0 ) ，可他知一0 ) ) 分别是y 他) 在t = t k 点的右极限和左极限 存在性结果主要用到l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择定理和锥不动点定理 关键词：奇异边值问题；脉冲微分方程；l e r a y - s c h a u d e r 抉择；锥不动点定理；多重 正解的存在性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，e x i s t e n c et h e o r yf o rt w op o s i t i v es o l u t i o n si sp r e s e n t e dt os i n g u l a r t h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m y + q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，t t k ，t ( 0 ，1 】， - a y 化：“= 厶( 耖( 缸) ) ，k = 1 ，2 m ， y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 白( c ) ，0 f 1 ，0 c 1 t h ef u n c t i o nq ( t ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0a n dt h ef u n c t i o n ，m a yb es i n g u l a ra ty = 0 k ：【0 ，。) 一【0 ，) i sc o n t i n u o u sa n dn o n d e c r e a s i n g ，a y i 扛“= y 7 ( t k + 0 ) 一y ( t k o ) ， w h e r ey l ( 奄+ 0 ) ( r e s p e c t i v e l yy l ( t k o ) ) d e n o t et h er i g h tl i m i t ( r e s p e c t i v e l yl e f tl i m i t ) o f y 讹) a tt = t k p o s i t i v es o l u t i o n si so b t a i n e dv i at h el e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v ea n dt h e 舣e dp o i n t t h e o r e mi nc o n e s k e yw o r d s ：s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；i m p u l s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ； l e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s ；m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的 成果据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说 明本声明的法律结果由本人承担 私 学位论文作者签名：生堕!日期：丝2 ：竺：! ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即：东北师 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编本学 位论文同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库( 中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等 数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盔塑指导教师签名：刍匿皇兰缉 学位论文作者毕业后去向s 工作单位： 通讯地址： 玉川、s 专| 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章引言 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学，边界层理论，反应扩散过程，生物学等 应用学科中，是微分方程理论中一个重要的研究课题自上世纪以来，奇异常微分方程 经常出现在许多应用学科的数学模型中，由于奇异边值问题在应用中的地位越来越重要， 近四十年来，数学工作者开始系统地研究这类问题，得到了一些完整的一般性结果 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的近 年最新科技成果表明，这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学，医 学、经济领域均得到重要应用 近几十年来，奇异方程形式发展成各种各样，方程的奇性不仅仅产生于自变量也产 生于相变量同时奇异方程的应用越来越广泛，例如天体力学中的n 体问题、边界层理 论、反应扩散理论，非n e w t o n i a n 流理论、非线性流体理论等等此外，奇异常微分方程 与其它数学分支也有联系，例如求椭圆方程( 组) 径向解以及偏微分方程( 组) 平衡解问 题往往转化为奇异常微分方程总之，奇异方程已经成为常微分方程中的一个重要分支 根据实际问题的不同要求，各种定解条件的提法是多种多样的，因此在奇异常微分方程 边值问题中，边值条件的提法是多种多样的奇异二阶常微分方程包括二阶周期边值问题 和奇异二阶d i r i c h l e t ( 或d i r i c h l e t n e u m a n n ) 边值问题虽然奇异常微分方程很早就从 应用中产生，但由于奇异方程本身带来的困难，早期大多数研究都局限于特殊形式的初 值问题和边值问题，其系统研究只有四十年的历史 许多作者通过l e r a y - s c h a u d e r 理论，l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择或不动点理论研究 更一般的非线性多点边值问题 马如云【8 】运用s c h a u d e r 不动点定理，获得了二阶三点边值问题 j 让+ 口( ) ，( u ) = 0 ，0 t 1 ， i 札( o ) = 0 ， u ( 1 ) 一q 仳( 叼) = b ，0 7 7 1 ，0 乜叼 1 正解的存在性结果其中a ： 0 ，1 】_ 【0 ，+ 。) 连续，： 0 ，+ o 。) _ 【o ，+ o o ) 连续 马如云【1 0 】通过锥不动点理论证明三点边值问题 ju + 6 ( ) 夕( u ) = 0 ，0 t l ， iu ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = q u ( 叩) ，0 7 1 ，0 o l ； 的正解的存在性这里b 0 和g 0 是超线性或次线性 】 东北师范大学硕士学位论文 最近，一些作者利用s c h a u d e r 不动点定理和l c r a y - s c h a u d e r 非线性抉择理论研究 d i r i c h l c t 边值问题，例如，见 4 】 r p a g a r w a l 和d 0 r c g a n 考虑下面两点边值问题 j 矿+ q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，0 0 存在 o ，1 】上的连续函数妒h ，在( o ，1 ) 上妒日 o ，且在 ( 0 ，1 ) ( 0 ，h 】上f ( t ，u ) 妒日( ) ； ( 风) 存在一个常数r 0 使得 再1 ”，o 务 成立，其中 = m a x 2f ot ( 1 - t ) q ( t ) d t , 2 1 t ( 1 - t ，q c t ，出) ， 则边值问题至少存在一个解y c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ，在区间( 0 ，1 ) 上y 0 ，且i y l o r 祖力等【17 】利用上述结果研究了下列带脉冲的奇异二阶微分方程两点边值问题 fy + q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，t t k ，t ( 0 ，1 ) ， - - a y ，i t ：t 。= 厶( 剪( 缸) ) ，k = 1 ，2 m ， 【y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = o ， 其中非线性项，允许在y = 0 处有奇性，q 允许在t = 0 或t = 1 处有奇性 在本文，我们研究下面带脉冲的奇异三点边值问题 f 旷+ q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，t t k ，t ( 0 ，1 ) ， 一a y 化砘= i k ( y ( t k ) ) ，k = l ，2 m ， 【! ，( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 可( c ) ，0 1 ，0 c 1 东北师范大学硕士学位论文 其中口( ) 允许在t = 0 处具有奇性，非线性项，允许在可= 0 处具有奇性 本文主要运用l e r a y - s c h a u d c r 非线性抉择定理和锥不动点定理 本文安排如下：第二节运用l e r a y - s c h a u d c r 非线性抉择和s c h a u d e r 不动点定理给 出了一般的存在性原则；第三节利用第二节的结论给出了奇异边值问题至少一个正解存 在性的证明；第四节在第三节的基础上给出了奇异边值问题两个正解存在性的证明；最 后，举例说明了主要结果 3 东北师范大学硕士学位论文 第二章存在性原则 f 矿( t ) + f ( t ，( ) ) = 0 ，t j o ， - a y 化：t 。= 厶( ! ，( 七) ) ，忌= 1 ，2 仇， ( 2 1 ) l 可( o ) = a ，y ( z ) 一曲( c ) = b ，0 l ，0 c 0 ，存在k l k ( o ，1 ) 满足 詹tk ( ) d t i a l + 1 6 i ，使得对满足方程 fy + a ，( ，y ) = 0 ，t 户， - a y ，i t ：t 。= 入厶( y ( 如) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 2 5 ) 【y ( o ) = a ，y ( 1 ) 一可( c ) = b ，0 1 ，0 c 1 的任意解y p c i j , r 】nc 2 【，捌，以及对任意的a ，都有 i y l o = s u pl ! ，( ) i m ，( 2 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 则( 2 1 ) 有一个解y 满足l y l o ， ( 1 1 ) 假设 ! 存在皇l k ( o ，1 ) ，满足詹t h ( t ) d t 。， ( 2 7 ) i 对任意t ，可r ，有i i 厂( t ，y ) i 危( ) ， 、7 则( 2 1 ) 有一个解 证明( ，) 我们首先证明( 2 5 ) a 的解等价于下面方程的解 ( t ) = n + 警铲抖入詹g ( t , s ) 邝，( s ) ) d s + 入丕r ng ( 厶( 可( 枞 ( 2 8 ) a 其中g ( t ，8 ) 是三点边值问题- y = 0 ，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 可( c ) 的格林函数，并且 当0 8 c 时， g 小= 甭s 1 - t - f ( c - t ) l 譬 当c 8 1 时， m 小一j 坐蹩幽，sg 以瓦s 卜2t 癌_ 赢 即 一 fn + 笔铲+ 入后止篙掣m ，剪( s ) ) d s + a t i l - s 。- 吨( c - s ) ，( s ，( s ) ) d s i+ 入r 可t o - s ) f ( 8 ，y ( s ) ) 如+ a 萎a ( t ，“) , r k ( u ( t 七) ) ， o c ， “幻21 。+ 百b - a ( 1 - f ) t + a 连笋邝删) d 5 + k - - 1 ar 可s ( 1 - t ) + f c ( t - s ) m 蒯) d s i+ 入r 兰( 1 1 - 一曲cl ” 8 ，y ( s ) ) d 5 + a 曼a ( t ，如) i k ( y ( t 知) ) ， c l 如果y p c i j , 捌n 俨 一，嗣满足( 2 8 ) x ，可得出y 7 l 1 】，并且 因为g ( jt k ) = 0 ，t 坟， s ：秒( s ) ) d s + af 生菩产，( s ，y ( s ) ) d s ! ，( s ) ) d s + a g ：( ，t k ) 以( 秒( j ) ) ，0 t c ， 庇= 1 舢( s ) ) d s + af 甓f ( 8 ，y ( s ) ) d s ! ，( 5 ) ) d s + a g 她t k ) i k ( y ( t k ) ) ， c t 1 k = l y ( t ) = 入二；芝兰警，( ，可( ) ) = 一入，( t ，y ( ) ) ，t ， y 仉：“= 可7 ( 如+ o ) - y 7 ( t 七- 0 ) = 州g ：( 如+ o ，t k ) 一g ，( “- 0 ，如) ) ( 可( t 知) ) = 一a 厶( 可( “) ) 5 “k 爿韭c，dc， 她h垃炉一h且 c后口。 警 警 y吖 东北师范大学硕士学位论文 对他) 从0 到z ( z ( 0 ，1 ) ) 积分，交换积分次序，可得 后矿( ) d t = 后d y ( t ) = y ( x ) 一y ( o ) = n + 掣z + 入詹c ( x ，s ) f ( s ，( s ) ) d s + a a ( x ，t k ) i k ( y ( t k ) ) 一y ( o ) 盯“) 出= 石( 掣+ 入片e l ( 如) ，( s ，可( 枷幽+ 入墨g 船，厶( 可( ) ) 出 = 掣z + 入片【g ( z ，s ) 一g ( o ，s ) ，( s ，可( s ) ) d s + 入 c ( x ，t k ) 一a ( o ，玩) 】厶( ( 如) ) = 警z + 入詹g ( z ，s ) ，( s ，可( s ) ) d s + a ，耋g ( z ，如) 厶( 可( t k ) ) 所以y ( o ) = a 类似地，对剪他) 从z ( z ( 0 ，1 ) ) 到1 积分，变换积分次序，可得 y ( 1 ) 一耖( c ) = b 因此，如果y p c i j , 嗣nc 2 j o ，矧满足( 2 8 ) n ，那么y 是( 2 5 ) 的 解 定义算子n ：c o ，1 】_ c o ，1 】为 n y ( t ) = n + 铲+ 詹c ( t ，8 ) f ( 8 ，可( s ) ) d s + 至a ( t ，如) 厶( 可( 南) ) ( 2 9 ) 那么( 2 8 ) a 等价于不动点问题 y = ( 1 一入) p + any ，其中p = o + 鬻 ( 2 1 0 ) a 设u = 乱c o ，1 】：l u i o m ) ，k = e = c o ，1 1 下面我们证明：可一 c o ，1 】在【0 ，1 】上是全连续的 不失一般性，我们假设a = 0 ，b = 0 1 ( 可) ( ) l = l g ( 亡，s ) ，( s ：可( s ) ) d s + g ( ，t k ) i k ( y ( t k ) ) l ( 2 1 1 ) ，0 k = l c ( t , s ) l f ( s ，y ( s ) ) ld s + g ( t ，t k ) l l 知( y ( t k ) ) l ou k = l 冬a ( t , s ) h m ( s ) d s + g ( t , t k ) s u pi ik(jo k = l i x l s m z ) i ：= y ( ) ，t z 其中y ( t ) 是下面方程的解，并且y p c i j , 捌n c 2 【，同 fy + m ( t ) = 0 ，t d o ， 一y 化：“= s u p i 正i ml l k ( x ) l ， ( 2 1 2 ) 【r ( o ) = 0 ，y ( 1 ) 一f y ( c ) = 0 ，0 毒 1 ，0 0 ( 不依赖于可) 0 6 1 ，t l ，t 。( 5 1 ，1 】，使得 i ( 可) ( t ) i ；，t 0 ：2 耻 ( 2 1 3 ) 另一方面， i ( y ) 他) i = l g 她s ) ，( s ，秒( s ) ) d s + g 她t k ) 厶( y ( “) ) i ，0= f 后i 等i i f ( s ，y ( s ) ) id s + f t 。掣i ( s ，y ( s ) ) l 幽 l+ r 蔫i ( 8 ，y ( s ) ) id s + i g ：( 亡，t k ) i i 厶( y ( 如) ) i ，0 t c ， 1 片i 掣，( s ，小) ) i d s + ci 是k ，= l ( s 洲s ) ) ld s ( 2 j 4 ) 【+ 正1 慧小) ) i 如+ 薹i g 冰 川协) ) i ， c 1 f 后i 掣lh m ( s ) d s + 丘掣( s ) d s rc|咄一齐，景懈dms+一。gsup蚓以功l，0坯c：琊邙1，1】，d 21 i 等l ( s ) s + i 跨i h m ( s ) d s u 廿几代p 1 叫 【+ j ? 巧1 - - 8h m ( s ) d s + g s u p ! mi 厶( z ) i ， c t 1 这里由于i g ：( t ，t k ) i 有界，故lg ，( ，t k ) i g 所以( n u ) 他) 在【6 1 ，1 】上有界，即 l ( 秒) 讹) i l ，t 【以，1 】，t t k ，k = 1 ，m ( 2 1 5 ) 如果t = t k ( k = 1 ，2 ，m ) ，那么 i ( 可) 7 ( 如+ o ) i5i ( 可) 7 ( t k o ) i + s u p i 。i s ml 厶( z ) i l + s u p i 。i mi i k ( x ) 1 所以( n y ) 心) 在【6 l ，1 】上有界，不妨记i ( 可) 他) i l 令如= 矗，那么对任意的t ，8 f j l ，1 】，f t 一8 f 如，有 l ( 可) ( t ) 一( 可) ( s ) l l i t s i ( 2 1 6 ) 令5 = m i n s x ，如】，由( 2 1 3 ) ，( 2 1 6 ) 得：对任意的t ，s 0 ，1 】，i t s i 0 ( o 5 1 ) ，使得 ( n y n ) ( t ) 一( j 7 v 可) ( t ) l e ，t 【0 ，6 1 】( 2 1 9 ) 另一方面，由，的连续性，当礼_ o o 有 ( n y n ) ( t ) 一( 可) ( t ) i 一0 ，t 5 1 ，1 】 ( 2 2 0 ) 结合( 2 1 9 ) ，当n _ ( 3 0 时，i ( n y 。) ( t ) 一( 可) ( ) i o _ 0 因此n ：可_ c o ，1 】是全连续的 根据l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择定理 1 4 】，有一个不动点，即( 2 8 ) 入至少存在一 个解 ( ，) 类似于( j ) 结论易得 8 东北师范大学硕士学位论文 第三章奇异脉冲三点边值问题一个正解的存在性 本章我们将给出下面方程解的存在性定理 fy + q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，t j o ， - - a y 化：“= 厶( y ( 如) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 1 ) ly ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = y ( c ) ，0 毒 1 ，0 c 1 ， 其中q ( ) 允许在t = 0 处具有奇性，非线性项，允许在y = 0 处具有奇性 要证明( 3 1 ) 至少存在一个解y p c i j , 嗣nc 哆 j o ，捌，首先根据定理2 1 ，我们选 定一个足够大的礼来修正问题 fy + q ( t ) f ( t ，y ) = 0 ，t j o ， - - a y 化：坟= 厶( ! ，( 如) ) ，七= 1 ，2 m ， ( 3 2 ) n 【可( o ) = 五1 ，可( 1 ) 一可( c ) = 里茅，0 f 1 ，0 0 ，存在【o ，1 】上连续的函数妒日，。出 i 并且在( o ，1 ) 上，妇 0 ，在( o ，1 ) ( 0 ，h 上，f ( t ? u ) 2 妇( ) ； 、7 。 l j o i 3r o , 使得z 嵩 其中b o + 蚴g ( r ) j + 杆e i k ( r ) t q ( t ) d t 则( 3 1 ) 至少存在一个解y p c i j , 嗣nc 2 j o ，嗣，在( 0 ，1 ) 上，y 0 ， 并且i y l o 0 ，并且詹tq ( t ) d t 0 0 ，则边值问题 豫篙0 嚣m 篇k 0 二 1 ，0 c 1 9 ， i ( o ) = ， y ( 1 ) = f 可( c ) ， f ， c 至少存在一个解y ，满足 y ( t ) k t l y l o ，t ( 0 ，1 】， 其中 七= 等 0 掣t 掣1 等掣1 ，一 一 c 一 价胁( 1 ) 坠等掣拣m ) 当t 【c ，1 】时，有 等掣0 掣t 掣0 棚掣华， c 一 一 一 。 c t 绯) 掣捣m ) 从而。当t f 0 ，1 1 时，有 m ) 竿芸i m i 掣t0 型烨10 ，即3 ( t ) ( 可( 1 ) 一可( o ) ) t ， 一 一 一 ，- 口、，一， 揶m ( 1 ) 臀湘i 。 容易验证哗警 1 所以，存在七= 等警 0 且g r 满足 菥d u 群州1 + 羚 埘 选取n o 1 ，2 ，) 满足丽1 ，令0 = n o ， t o + 1 ，) 为证明( 3 2 ) n ，n n o 至少 存在一个非负解，我们将考虑下面的修正方程 fy + q ( ) r ( t ，y ) = 0 ，t ， 一a y 7 i 矧。= h ( y ( t ) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 1 1 ) ” 【可( o ) = 击，可( 1 ) 一可( c ) = 三茅，0 1 ，0 c 1 ，n n o 其中 r c t ，u ，= ；譬茎j ：? 主耋五c u ，= 乏：葛：三拿 我们首先考虑方程 fy + a q ( t ) r ( ，y ) = 0 ，t ，0 入 1 ， 一a y 7 i t = “= 入元( 剪( 缸) ) ，七= 1 ，2 m ( 3 1 2 ) 爻 【y ( o ) = 丢，秒( 1 ) 一秒( c ) = 等，0 1 ，0 c 1 ，礼n o 假设可是( 3 1 2 ) 2 的解，那么在( 0 ，1 ) 上，y 0 在【0 ，1 】上，y ( t ) = 石1 + a 詹g ( t ，s ) g ( s ) r ( s ，秒( s ) ) d s + + a 量g ( “知) 厶( 秒( ) 元1 令3 ，( ) = m 蚝a j x ，y ( 班由于 y ( o ) = 元1 ，y ( 1 ) 一元1 = f ( ! ，( c ) 一元1 ) 可( c ) 一元1 ，所以存在7 n ，在( 0 ，t n ) 上，矿0 5 在( r n ，1 ) 上，y 7 0 事实上秒( 一0 ) 0 ，可7 ( + 0 ) 0 因为y 0 ( t j o ) ，所以 y 7 在以上是单调不增的假如t l ，t 2 如是( 0 ，) 的脉冲点，那么我们有 y l ( ) y 7 ( 一0 ) 0 ，t ( t p ，) ， a y ，i t ：t p = 一a 易( y ( p ) ) 0 所以 y ( t v ) = y ( t p 一0 ) y ( t p + 0 ) y ( r n 一0 ) 0 类似地y 他) 0 在如，五，矗一1 ，上成立，所以在( 0 ，) 上y 讹) 0 同理在( 7 n ，1 ) 上! ，讹) s0 同时注意到 f k ( ，y ) 9 ( y ) + ( y ) ，t j o ， 于是对z ( 0 ，1 ) 有 训妪咖) 1 + 粼 ( 3 1 3 ) 一丕i 垦! 坐垫奎兰堡主兰堡丝茎 对上式从( o t ) 到积分得 瑚-0h心+0)一t量t蛳砘阳湫啪1+黜)，如，k h o 、口、，o 所以我们有 以抖岖以- 0 ) + t 芝t 蝴枷吲绯)1+嬲，h咖k j 、口、，j 因为y l ( + 0 ) 一y l f 一0 ) = 一厶f ”f ) ) 所以 以外。) 纠( + 0 m m 训+ t 邑t蝴枷蚓绯)l+嬲)zh如k 0 ，并且在( o ，1 ) ( o ，r 】上 f ( t ，u ) 协( ) 利用g r c e n 函数表示( 3 1 1 ) n 的解为 孙( t ) = 去+ f 0 1g ( ，z ) q ( z ) ，( z ，鲰( z ) ) 如+ 妻g ( ，“) 厶( 鼽( “) ) 1 2 东北师范大学硕士学位论文 从而 鼽( t ) 詹g ( t ，s ) q ( 8 ) 协( s ) d x ：= 啡( ) ( 3 1 6 ) 其中蚌( ) 满足 j 西：( t ) + c r ( t ) = 0 ，0 t 1 ， i 圣，( o ) = 0 ，圣r ( 1 ) = 西，( c ) ，0 f 1 ，0 c 1 由引理3 1 可得 圣，( ) k t l o ，i o ：= k t 从而y n ( t ) k t ，即( 3 1 5 ) 成立 下面证明 ) n 0 是 0 ，1 】上有界的等度连续族( 3 1 7 ) 返回到( 3 1 3 ) ，用代替y ，可得 堋班妣( 瑚 ) 积分得， 瓮群莆e k ( r ) + + 器) 如，如 东北师范大学硕士学位论文 群+ g ( r ) j o 如吲枷 2 2 ， 由( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 和( 3 2 2 ) 得 揣it 莆e k ( r ) + 1 + 黔艇， 2 3 ， 其中 钉( ) = q ( x ) d x 注意v l 1 【0 ：1 】 定义b ：【0 ，) _ o ，o 。) 为 刖= o 。而d u 注意到b 是 0 ，o o ) 到【0 ，0 0 ) 上单调递增的映射( 因为g 0 在( 0 ，o 。) 上不增，故 b ( 。) = 。) 则有，对任意的a 0 ，b 在【0 ，口】上连续对任意的t ，8 【0 ，1 】，有 m c 删：i 。揣l 0 取定t ( 0 ，t 1 ) ，有 嘶，= 鲰( ) + 必( ) x - - ) + c m w 删如印 卜 因为对8 有k ss ( s ) r 由( 3 2 2 ) ，有 蚺c 吲群州鹕) ) 1 + 丽h ( r ) 1 t l 如 l 以( ) i 9 ( 鼽( 虿) ) 丝羡矿+ 9 ( ( ) ) t 1 + 贺万，厶q ( z ) 如 蚓警，群吲撕+ 鬟婚州一， 东北师范大学硕士学位论文 所以 必( ) ，n n 是有界序列，于是 比( 譬) n 存在收敛子列，为方便起见，仍用 如( 每) ) 表示此子列，并且令r o r 表示其极限则对上面固定的t ，在上，令 礼一o o ( 我们注意到f 在紧子区间 m i n - 争，t ) ，m a x 拿，圳( 0 ，r 】上一致连续) ，对每 个t ( 0 ，t 1 ) 得 们h ( ) h ( t 一) + c s 叫如m s 州圳缸 则矿( t ) + q ( t ) f ( t ，可( t ) ) = 0 且同样方法取极限易得 j - a y 化：“= 气( 可( 知) ) ，k = 1 ，2 m ， l l y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = y ( c ) ，0 1 ，0 c 1 ， 参照文献【2 9 】，我们可以证明y ( ) 在t = 0 和t = 1 时的连续性 类似地，我们可以在( t l ，t 2 ) ，( t 2 ，t 3 ) ，( t m ，1 ) 得封相同的结果并且显而易见 l y t o r ( 否则，如果i y l o = r 则由( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 可以得到矛盾) 1 5 东北师范大学硕士学位论文 第四章奇异脉冲三点边值问题两个正解的存在性 本章我们给出下面奇异二阶带脉冲三点边值问题两个正解的存在性定理 f 矿( ) + q ( t ) 夕( 可( ) ) + ( 可( 洲= o ，t j o - a y ，l t ：“= i k ( y ( t k ) ) ，k = 1 ，2 m ，( 4 1 ) 【y ( 0 ) = 0 ，y ( 1 ) = 白( c ) ，0 f 1 ，0 c 1 其中非线性项9 + h 允许在y = 0 处具有奇性 在证明主要结论之前，先给出不动点定理 定理4 1 设e = ( e ，1 1 1 i ) 是b a n a c h 空问，kce 是锥，常数r ，r 满足0 r r 假设a ：面nk k ( 这里q r = z e ：忙l i 0 ，| k 【o ，当z 如q rnk 时，z a ( x ) + 6 ( 4 3 ) 成立则a 在kn 0 ，| k 【o ) ，当z 如q ri 1k 时，z a ( z ) + 6 ( 4 3 ) 则a 在kn z e ：r 忙0 r ) 上也有一个不动点 定理4 2 设e = ( e ，i i 0 ) 是b a n a c h 空间， 增的此外，常数r ，r 满足0 7 i i x l i( 4 5 ) + 则a 在kn e ：7 l i x l l r ) 上也有一个不动点 现在令e = ( p c i j , 用，i i o ) 这里i u l o = s u p t i o 1 1l u ( ) l ，u p c i j , 嗣) 为b a n a c h 空间定义j 中的锥如下( 其中k 1 ) k = y e 尸c z 捌：秒( t ) o ，tej ；秒( ) k t l lyi t ，te o ，1 】，；y ( t ) 在 o ，l 】上是凹函数 ( 4 6 ) 定理4 3 假设下列条件成立 g c ( 。，1 ) ，在( 。，1 ) 上q 。，并且f o tq ( ) 出 o k ( 0 ，。) 上连续且单调不增；( 4 8 ) o 在 0 ，o 。) 上连续，鲁在( 。，) 上单调不减； ( 4 9 ) j 例，使得z 嵩 其中 莆ei k ( r ) + 1 + 器) 瓶矿岫t h 端，成立， 6 0 = z 1 吲舭 ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 则( 4 1 ) 至少存在一个解y p c i j ；同n 俨【户，嗣，在( 0 ，1 ) 上，有y 0 ，并且l y l o r 满足 r 刮酬1 + 黼) 小叫) g ( 蛐s + 喜晰蝴阎； ( 4 1 2 ) 其中c ( t ，8 ) 的定义见第二章，并且0 盯1 满足 上g ( 叩) 如) d s2 潞1zg ( 铀) q ( s ) d s ， ( 4 1 3 ) ，工，l 东北师范大学硕士学位论文 于是( 4 1 ) 至少存在一个解y p c i j , 捌nc 2 j o ，同，在( 0 ，1 ) 上，有可 0 ，并且 r 0 且 r 使得 7 矿d u 群+ 1 + 耕 令n o 1 ：2 ，) 给定且满足而1 ，击 k a r ，且0 = n o ，n o + 1 ，) 为证( 4 1 ) 有一个满足r l y l o r 的非负解y p c i j , 捌nc 2 ，捌，我们将证明 f 矿( t ) + q ( t ) b ( 秒( ) ) + ( y ( 洲= 0 ，t j o ， - - a y 化：t 。= 死( ! ，( t 七) ) ，七= 1 ，2 m ， ( 4 1 5 ) ” 【s ，( o ) = 丢，秒( 1 ) 一y ( c ) = 与芋，0 1 ，0 c 石1 并且r i y l o r 为证明对每个佗n o ，( 4 1 5 ) ”有解，看下面的方程 f ( ) + q ( t ) 妒( 秒( ) ) + ( 可( 洲= 0 ，t j o ， 一a y 7 i 矧。= 厶( 可( 知) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 4 1 6 ) n 【可( o ) = 丧，y ( t ) 一可( c ) 寻等，0 荨 l ，0 c 1 ， 其中 。 矿c u ，= ；镤；，孑妻妻 去五c 乱，= 乏 高：u u 。o 注释4 3 当u 0 时，有旷( 让) 9 ( u ) 固定n n o ，令e = ( p c i j , 捌，i 1 0 ) 且( 其中后1 ) k = 让p c ( 【z 捌，( 一o o ，+ o 。) ) ：u ( t ) k t l l u l l ，t 【0 ，1 】，u ( t ) 在 o ，1 上是凹函数 ( 4 1 7 ) 显然k 是e 中的锥令a ：k p c j , 捌有如下定义 删= 元1 + f og s ) g ( s 肌m m 洲d s + 喜g 埘础枷， ( 4 1 8 ) 则a ：k _ p c i j , 同连续且一致连续 下面证明a ：k _ k 如果u k ，那么当t 0 ，1 】时，有a u ( t ) 之o ；注意到：在 ( 0 ，1 ) 上，( a u ) ( t ) 0 ，a u ( o ) = 元1 ，a u ( 1 ) 一f a u ( c ) = 警，所以在【0 ，1 】上，a u ( t ) 是 凹函数利用引理3 1 有， a 似( o ) 一去= o ，a 钍( 1 ) 一丢= f ( 以仳( c ) 一元1 ) a u ( c ) 一去 东北师范大学硕士学位论文 a u ( ) 一丢舰i ia u 一丢| l 七( i i a 训i 一元1 ) ， 于是a u ( t ) k t l ia u1 1 因此，a u k ，从而a ：k _ k 令 q 1 = u p c j , 捌：i u i o r ) ，q 2 = u p c i j , r 】：i u l o r ) 首先证明 当a 0 ，1 ) 且y kna q l 时，y a a y 成立( 4 1 9 ) 若不然，则存在y k n a q l 和入【0 ：1 ) 满足y = a a 可不妨假设入0 因为y = 入a 可， 有 f ( ) + 入q ( t ) 扩( 可( ) ) + h ( 可( 洲= 0 ，t j o ， - a y 乍：“= ) q k ( y ( t k ) ) k = 1 ，2 m ， ( 4 2 0 ) n i ly ( o ) = 嘉，暑( 1 ) 一白( c ) = 警，0 1 ，0 c 1 因为在( o ，1 ) 上，y ”0 ，所以y 是凹函数，并且在【0 ，1 】上y ( t ) 磊1 由于秒( o ) = 元1 ，可( 1 ) 一元1 = ( 可( c ) 一元1 ) y ( c ) 一磊1 ，如前讨论，存在t o ( 0 ，1 ) ，在( 0 ，t o ) 上，可他) o ； 在( t o ，1 】上，秒他) 0 ，并且y ( t o ) = l