（应用数学专业论文）多尺度分析在图像处理中的应用研究.pdf

摘要 小波分析由于具有时一频局部化特点和多尺度特性，在图像处理领域得到了广 泛应用，它已成为新的静态图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 的核心技术。图像去噪是信号 处理中一个受关注的问题，由于小波变换的能量压缩特性使其成为目前图像去噪 中主要采用的方法。多尺度几何分析是近年来计算调和分析发展出的一系列新的 分析方法的总称。本论文主要围绕多尺度分析及其在图像处理中的应用来进行研 究。主要进行了以下几个方面的工作： 1 讨论了小波图像去噪的原理和各种阈值方法的选取与评估，并对小波系数 的统计模型迸行了分析比较。提出一种将自适应阈值和空域滤波相结合的去噪方 法。实验结果表明将频域和空域的方法结合使用能得到比单一的方法更好的去噪 效果。 2 讨论了多小波的平衡及其在去噪方面的应用。多小波的平衡处理就是对低 通滤波器e ( c o ) 选择正交矩阵r ，使得常数信号成为平衡后低通滤波器的特征信号。 对o p t f r 多小波进行了一阶平衡，然后对分解后的高频分量采用了基于子带的自 适应阈值处理，得到了比其它几种多小波更好的去噪结果。 3 在研究对偶树复小波变换( d t - c w t ) 特性的基础上，提出了基于d t - c w t 的图像去噪算法。d t - c w t 具有近似的平移不变性和良好的方向选择性，与此同 时，它还具有完全重构特性。d t - c w t 在每一层产生六个具有方向选择性的子带， 去噪时采用双变量的阈值收缩函数，实验结果表明这是一种高效的去噪算法。 4 提出了一种基于d t - c w t 的图像融合方法。首先将待融合图像分别进行对 偶树复小波变换，利用d t - c w t 具有的平移不变性和方向选择特性，在频域对复 系数的模进行融合，最后进行对偶树复小波变换的逆变换。结果得到了清晰的融 合图像。其融合效果优于p c a 方法、小波变换法和l a p l a c i a n 塔型方法。 5 讨论了图像的稀疏逼近问题。包括f o u r i e r 非线性逼近，小波非线性逼近， 不同的多尺度几何分析方法的逼近性能比较。小波分析比f o u r i e r 分析能更“稀疏” 地表示一维分段光滑或者有界变差函数，而新的多尺度分析方法在高维空间中对 多变量函数的稀疏表示具有较小波分析更好的逼近性能。 6 提出了一种基于b r u s h i e r 变换和二进小波变换的纹理分类方法。该方法从 矩特征和方向信息特征出发，结合b r u s h l e t 变换的方向检测特性和二进小波变换的 边缘检测特性，最后利用支撑矢量机对纹理图像进行分类。本算法对b r o d a t z 纹理 库中所有纹理都进行了识别，并给出了详实的实验数据。 7 讨论了脊波和曲线波在图像处理中的应用。脊波能够有效地表达二维以及 高维空i 司e p 的直线状奇异性。提出了一种基于单尺度脊波变换的图像融合方法， 其效果优于小波变换的融合效果。对具有曲线奇异性的目标，曲线波能对其进行 稀疏表示。对曲线波的变换系数进行简单的阈值处理，就得到超过般小波变换 采用复杂的阈值函数去噪的结果。 关键词：小波变换，多尺度分析，多小波，多尺度几何分析，图像去噪。图像融 合，纹理分类 a b s t r a c t w a v e l e t sh a v ef o u n dw i d e a p p l i c a t i o n s i n i m a g ep r o c e s s i n g d u et ot h e t i m e f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o na n dm u l t i s c a l ed e c o m p o s i t i o np r o p e r t y i th a sb e e na d o p t e d a sak e yt e c h n i q u ei nt h en e ws t i l l i m a g ec o m p r e s s i o ns t a n d a r dj p e g 2 0 0 0 t h e d e n o i s i n go fan a t u r a li m a g ei s ac l a s s i cp r o b l e mi n s i g n a lp r o c e s s i n g t h ew a v e l e t t r a n s f o r mh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o o lf o rt h i sp r o b l e md u et oi t se n e r g yc o m p a c t i o n p r o p e r t y t h em u l t i s c a l eg e o m e t r i c a n a l y s i s ( m g a ) i s n a m ef o rf ln u m b e ro f i n d e p e n d e n td e v e l o p m e n t si nc o m p u t a t i o n a lh a r m o n i ca n a l y s i s m u l t i s c a l ea n a l y s i sa n d i t s a p p l i c a t i o ni ni m a g ep r o c e s s i n ga r ei n v e s t i g a t e di nd e t a i l i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h e m a i nw o r kc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 f o ri m a g ed e n o i s i n g ，t h eb a s i cp r i n c i p l e sa n da l lk i n d so fs h r i n k a g ef u n c t i o n s s e l e c t i o na n de v a l u a t i o na r ed i s c u s s e d a d e n o i s i n ga l g o r i t l m a b a s e do n a d a p t e d s h r i n k a g ef u n c t i o nc o m b i n e dw i t hs p a t i a lf i l t e r i sp r o p o s e d e x p e r i m e n t sr e s u l t ss h o w t h ec o m b i n e dd e n o i s e ri ss u p e r i o rt ot h es i n g l ew a v e l e t b a s e dd e n o i s e r 2 t h eb a l a n c e dm u l t i w a v e l e ta n di t s a p p l i c a t i o ni ni m a g ed e n o i s i n ga r es t u d i e d f o rl o w - p a s sm a t r i xf i l t e r p ( c o ) ，t h eo r t h o g o n a lm a t r i xri s s e l e c t e dt oe n s u r et h e c o n s t a n ts i g n a la sac h a r a c t e r i s t i cs i g n a lm a t r i xf i l t e ro fb a l a n c e dl o w - p a s sm a t r i xf i l t e r a sa n a p p l i c a t i o n ，t h eo p t f r m u l t i w a v e l e ti sb a l a n c e d ，t h e ne m p l o y a d a p t i v e 、s u b b a n d d e p e n d e n tt h r e s h o l dt o t h ed e t a i ls u b b a n d s c o m p a r e dw i t ho t h e rm u l t i w a v e l e t s ，t h e p r o p o s e d m e t h o dp r e s e n t e dh e r eg i v e sab e t t e rr e s u l t 3 a d e n o i s i n gm e t h o d b a s e do nt h ed u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e t t r a n s f o r m ( d t - c w t ) i sp r o p o s e d t h ed t - c w t p o s s e s s e sa p p r o x i m a t es h i f ti n v a r i a n c ea n dg o o d d i r e c t i o n a l s e l e c t i v i t y , a tt h es a l t l et i m e i tc a i ib ep e r f e c tr e c o n s t r u c t e d e a c hs c a l eo ft h e2 - d d t - c w tt r a n s f o r m g i v e sr i s e t os u b b a n d so r i e n t e di ns i xd i s t i n c td i r e c t i o n s ，t h e d e n o i s i n gm e t h o da d o p tab i v a r i a t es h r i n k a g ef u n c t i o n e x p e r i m e n t sr e s u l t ss h o wt h a t t h ep r o p o s e dm e t h o di sa ne f f e c t i v em e t h o d 4 am e t h o db a s e do nt h ed t - c w tf o r i m a g e f u s i o ni s p r o p o s e d f i r s t ，t h e r e g i s t e r e di m a g e sa r et r a n s f o r m e dt o w a v e l e td o m a i nu s i n gd t - c w t t h e nas i m p l e “m a x i m u ms e l e c t i o n ”s c h e m ei sa p p l i e dt ot h em a g n i t u d eo ft h ed t - c w tc o e f f i c i e n t s t og e n e r a t et h ec o m b i n e dc o e f f i c i e n tm a p f i n a l l y , t h ei n v e r s ed t - c w ti sa p p l i e dt ot h e c o m b i n e dc o e f f i c i e n tm a pt op r o d u c et h ef u s e di m a g e t h i sf u s i o nm e t h o dg i v e sb e t t e r r e s u l tt h a np c a m e t h o d ，w a v e l e tf u s i o na n dl a p a c i a np y r a m i dm e t h o d 5 t h es p a r s ea p p r o x i m a t i o nf o ri m a g ei s d i s c u s s e d ，i n c l u d i n gf o u r i e rn o n l i n e a r a p p r o x i m a t i o n 。w a v e l e tn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n ，a n dt h ea p p r o x i m a t ep e r f o r m a n c e c o m p a r i s o na m o n gv a r i o u s m u l t i s c a l em e t h o d s w a v e l e t a n a l y s i s c a n g i v e m o r e “s p a r s e ”e x p r e s s i o n t h a nf o u r i e r a n a l y s i s i n p i e c e w i s e s m o o t h s i g n a l o rb o u n d e d v a r i a n c ef u n c t i o n n e wm u l t i s c a l em e t h o d sc a n g i v e b e t t e r p e r f o r m a n c e i n a p p r o x i m a t i n gm u l t i v a r i a t ef u n c t i o ni nh i g h d i m e n s i o ns p a c et h a nw a v e l e ta n a l y s i s 6 am e t h o df o rt e x t u r ec l a s s i f i c a t i o ni sp r e s e n t e db a s e do nb r u s h l e ta n dd y a d i c w a v e l e t t h i sm e t h o du s e st h ei d e a so fm o m e n ta n da n i s o t r o p i ci n f o r m a t i o nd e t e c t i o n ， c o m b i n e dw i t hi n f o r m a t i o nd e t e c t i o nc h a r a c t e r i s t i co fb r u s h i e ra n de d g ed e t e c t i o n c h a r a c t e r i s t i co f d y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r m l a s t l y ，t h es v m s i su s e dt oc l a s s i f yt e x t u r e i m a g e s a l lt h et e x t u r e si nb r o d a t z i sc l a s s i f i e db yt h i sm e t h o da n dag r o u po fd e t a i l e d e x p e r i m e n t a ld a t a i sg i v e ni nt h et h e s i s 7 t h e a p p l i c a t i o n o fr i d g e l e ta n dc u r v e l e ti ni m a g ea p p l i c a t i o n i sd i s c u s s e d r i d g e l e tc a ne f f e c t i v e l yd e a lw i t hl i n e - l i k ea n dh y p e r p l a n e l i k es i n g u l a r i t i e s am e t h o d b a s e do nm o n o s c a l er i d g e l e t sf o ri m a g ef u s i o ni sp r o p o s e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w t h er e s u l ti ss u p e r i o rt ot h a to fw a v e l e t s f o rs i n g u l a r i t i e sa l o n ec u r v e s ，c u r v e l e t sc a n g i v es p a r s er e p r e s e n t a t i o n b ys i m p l et h r e s h o l d i n gr u l e ，t h ec u r v e l e td e n o i s i n gr i v a l s s o p h i s t i c a t e dt e c h n i q u e so f t h ew a v e l e td e n o i s i n g k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i s c a l ea n a l y s i s ，m u l t i w a v e l e t ，m u l t i s c a l e g e o m e t r i ca n a l y s i s ，i m a g ed e n o i s i n g ，i m a g ef u s i o n ，t e x t u r ec l a s s i f i c a t i o n 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作过的同志对本研究工 作所作的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本人签名由亟瞌r 期：垂竺：堡 关于论文使用授权的声明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密 后遵守此规定) 本人签名：违! 圣碴 导师签名 日飙堕牛陟 日期： 第一章绪论 第一章绪论 所谓小波分析，从数学角度去看，它属于调和分析的范畴，从事计算数学的工 作者把它认为是一种近似计算的方法，用于把某一函数在特定空间内按照小波基 展开和逼近。正交小波基理论的发展在逼近论与信号处理之间架起了一座新的桥 梁。从工程角度去看，小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继f o u r i e r 分析 之后的又一有效的时频分析方法。与f o u r i e r 分析类似，在小波分析中，也存在积 分小波变换、小波级数和离散小波变换。小波分析与f o u r i e r 分析的本质区别在于： f o u r i e r 分析只是考虑时域和频域之间的一对一映射，它咀单个变量( 时间或频率) 的函数表示信号；小波分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号。小波分 析从根本上克服了f o u r i e r 分析只能以单个变量描述信号的缺点。并且通过尺度变 化，小波变换能有效地检测瞬变信号。 近年来，调和分析主要沿着下面的方向发展：即寻求新的基，用基中较少数目 的向量的线性组合更好地表示函数，如小波分析、小波包、b r u s h l e t 、r i d g e l e t 、 c u r v e l e t 等。在一维时，小波对分段光滑的信号具有稀疏表示；而在高维情形，小 波表示通常不是最优的，这是因为它们不适应信号奇异性的几何特征。最近提出 的多尺度几何分析方法就是希望对多变量函数进行稀疏表示。 本文主要围绕多尺度分析及其在图像处理中的应用来进行研究。在讨论具体的 内容之前，本章首先对小波分析理论、小波图像去噪以及多尺度几何分析的发展 历史和研究现状进行回顾，然后介绍自己在攻读博士学位期间的主要工作和本文 的章节安排。 1 1 小波理论及应用发展概况 任何理论的提出和完善都有一个发展过程，小波分析也不例外。小波的历史 源于f o u r i e r 级数的发展。1 9 1 0 年，h a a r 提出了一组规范正交基，用来替代f o u r i e r 变换中的三角基，当时并没有出现“小波”这个词。1 9 3 6 年，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论。1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换，使得对信号的表示具有时频局部化性质，但并没有彻底弥补f o u r i e r 变换的 不足。此后，许多数学家对各类函数空间给出了“原予分解”。六十年代，f f t 的 提出是f o u r i e r 分析走向实用的一个里程碑。 1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t 首先提出了“小波”( w a v e l e t ) 这一概念。 g r o s s m a n 和m e y e r 同样认识到小波和逼近论之间的联系。1 9 8 5 年，m e y e r 首次提 一2多尺度分析在图像处理中的应用研究 出光滑的小波正交基( m e y e r 基) 。这一时期，l e m a r i e ，s t r 6 m b e r g ，b a t t l e 都为创造 新的基函数做出了贡献。 八十年代后期，是小波发展的一个重要时期，其中法国数学家d a u b e c h i e s 和 m a l l a t 的工作是促使小波从理论进入应用研究的主要推动力。1 9 8 8 年，d a u b e e h i e s 构造了具有紧支集的光滑正交小波基d a u b e c h i e s 基m ，她的工作已成为小波 研究的经典文献之一。1 9 8 9 年，m a l l a t t 3 】提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s m r a ) 的概念，给出了构造正交小波基的般方法；同时给出了小波快速算法 m a l l a t 算法( f w t ) 【4 j j ，它在小波应用中的作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t 。 1 9 9 0 年，m e y e r 出版的小波与算子 6 1 ( 共三卷) 是小波这新兴学科诞生的重要 标志。 9 0 年代初期，小波理论和应用研究进入高潮。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造 了最小支撑的线性相位的样条小波族【7 月j ：同一时期，w i c k e r h a u s e r 和c o i f m a n 等 提出了“小波包”概念 9 , 1 0 】。它对频带的划分突破了小波分析等o 划分的限制，拓 宽了小波信号分析的适用范围，但要解决的问题是最优基选择和信号的自适应最 优表示。在这一时期，国内的小波研究也开始起步，并出现了一些成果f | 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 】。 1 9 9 5 年，s w e l d e n s 1 6 m 提出了通过提升方法( 1 i f t i n gs c h e m e ) 构造第二代小波 的新思想。利用这种方法可以构造非欧空间中不允许伸缩和平移、从而f o u r i e r 变 换已不再适用的情形下的小波基，使小波的构造摆脱了对f o u r i e r 变换的依赖性。 同时也为在实直线上或曲面上实时构造与信号自适应的小波系统提供了可能，从 而成为构造第一代小波的有力工具。利用提升过程实现小波变换有一些优点：可 以提高变换速度，实现定位运算，无需辅助存储单元，整数到整数的小波变换， 逆变换代码可以由正变换很容易得到。 g o o d m a n 等在1 9 9 4 年基于r 元多分辨分析建立了多小波的基本理论框架【18 , 1 9 1 ， 并给出了样条多小波的例子。1 9 9 6 年，d o n o v a n ，o e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 【2 0 ，2 ” 将分形理论中的迭代函数系统用于双尺度差分方程组，再次利用分形差值构造了 所谓的d g h m 多小波。另外，x i a 和s u t e r 还将多小波发展为信号处理中的向量滤 波器组，从而促进了对多通道信号之间复杂的多尺度相关结构的分析和多小波的 应用。1 9 9 8 年，j i a n g 2 2 , 2 3 】给出了具有正交性、正则性、对称性和紧支撑的多小波 的参数表达式。由于多小波能同时拥有紧支性、实对称性、正交性和高阶消失矩 等性质，而这些对单小波来说却是不可能的；另外，多小波的构造也比单小波更 加灵活，因此多小波已经成为近年来小波研究中的一个热点【2 4 】2 ”。 1 9 9 8 年，为了解决小波处理高维奇异性所带来的问题，c a n d 6 s 2 6 1 在他的博士 论文中首次提出了“脊波”( r i d g e l e t ) 的概念。脊波是用一系列脊函数的叠加来表示 第一章绪论 相当广泛的函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交”的脊函数框架。脊波 的理论框架是由c a n d e s 2 7 l 和d o n o h o 2 s 完成的，它能够对高维空间中的直线状和超 平面状的奇异性进行很好的逼近。但对一般的目标函数，它们的奇异性通常不是 直线型的，因此用脊波表示的系数也不是稀疏的。为此，c a n d 6 s 提出用单尺度脊 波【2 9 】来表示曲线奇异性，即在一个基准尺度s 上进行脊波变换。对应于单尺度脊 波，c a n d 6 s 和d o n o h o 构造了“曲线波”p 叫( c u r v e l e t ) 或称为多尺度脊波，它是在 所有可能的尺度上进行脊波变换。对于具有光滑奇异性曲线的目标函数，曲线波 提供了稳定、高效和近优的表示。近几年，新的分析工具不断涌现：如b r u s h l e t ， w e d g e l e t ，b a n d e l e t 3 】，c o n t o u r l e t 3 2 1 等。这些新的变换方法为寻求高维函数的最优 表示提供了有效的工具，统称为多尺度几何分析。 小波理论是由科学家、工程师和数学家们共同创造的，反映了各学科之间互 相综合、渗透的趋势。小波理论来自f o u r i e r 分析，克服了f o u r i e r 变换的一些缺点。 它被认为是继f o u r i e r 分析之后，调和分析发展史上的又一里程碑。在小波理论发 展的同时，小波应用的研究工作也在不断的开展。它的应用范围主要包括：小波 在其它数学分支中的应用，如求微分方程、函数逼近、分形、非线性分析等：小 波对信号的检测、识别及去噪；小波在图像处理中的应用，其中包括图像数据压 缩、去噪、数字水印、模式识别等；小波在通信中的应用，如c d m a 、自适应均 衡、扩频通信、分形调制等。经过许多学科领域十多年的共同探索研究，重要的 数学形式已经建立，理论基础更加坚实，同时得到了广泛的应用，成为众多研究 领域的交叉点，这些研究成果正在推动着小波理论不断地丰富完善，应用更加广 泛深入。 1 2 小波图像去噪综述 随着传感器的普遍使用和计算机功能的日益强大，科学家们能够更好地收集 和分析数据。在许多领域中，如天文、医学图像和计算机视觉方面，采集到的数 据常常是含有噪声的，噪声可能来自获取数据的过程，也可能来自自然现象( 如 空气干扰) 。在数据进行处理以前必须首先将噪声尽可能地去除。 根据实际图像的特点，噪声的统计特征和频谱分析的规律，人们提出了各式 各样的去噪方法，其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像 频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波的方法来进行去噪，例如 滑动平均窗滤波、w i e n e r 线性滤波、中值滤波等。近年来，小波理论得到了非常 迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，因而实际应用非常广泛。在去噪 多尺度分析在图像处理中的应用研究 领域中，小波理论受到了许多学者的重视，他们应用小波去噪，并获得了非常好 的效果。 小波去噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点：( 1 ) 低熵性，小波 系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵变低；( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨 率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；( 3 ) 去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势， 所以小波域比时域更利于去噪；( 4 ) 选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变 换基，从而对不同的应用场合，对不同的研究对象，可以选择不同的小波母函数， 以获得最佳效果。 从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度 上小波去噪可以看成是低通滤波，但由于在去噪后，还能成功地保留图像特征， 所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见，小波去噪实际上是特征提 耿和低通滤波的综合，其流程框图如图1 1 所示。 图1 1小波去噪框图 重建信号 - 1 9 9 5 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 3 3 , 3 4 , 3 5 提出了利用小波去噪的软、硬阈值方法， 推导出通用阈值公式。并从理论上证明了此方法在b e s o v 空间中可得到最佳估计 值，而任何其他线性估计( 包括核估计、近邻估计以及局部多项式估计) 都达不 到与此相同的估计效果。因此，闽值去噪的方法引起了国内外很多学者的注意。 在随后的几年中，出现了大量关于小波去噪的文章。c o i f m a n 和d o n o h 0 1 3 6 1 提出了 平移不变小波去噪。b r u c e 和o a o 【 】将软、硬阈值法进行推广，提出s e m i s o f t 阈值 方法，推导出最小最大闽值，并给出阈值估计的偏差、方差的计算公式，同时还说 明了s e m i s o f t 阈值方法比硬阈值方法连续性好，比软阈值方法有更小的偏差等优 点。 j o h n s t o n e l 38 】等人于1 9 9 7 年给出一种去除相关噪声的小波闽值估计器。同年， j a n s e n l 3 9 , 4 0 】等人采用g c v ( g e n e r a l i z e d c r o s sv a l i d a t i o n ) 估计器来去除图像中的相关 噪声。c r o u s e l 4 1 1 等于1 9 9 8 年提出一种新的框架：用小波域的隐m a r k o v 模型( h m t ) 来捕获小波系数间的统计相关性。2 0 0 0 年，c h a n g 4 2 , 4 3 】等人提出一种针对图像的空 域自适应小波闽值去噪算法，所选阈值可随图像本身的统计特性而自适应地改变。 2 0 0 2 年，s e n d u r 等人基于贝叶斯估计理论，提出了双变量阈值的收缩函数，其去 第一章绪论 噪结果较h m t 模型有进一步的提高。 目前，基于小波去噪方法的研究仍然非常活跃，国内在这方面的文章也很多 4 4 , 4 5 , 4 6 。本文在分析这些结果的基础上，提出了一些新的算法，并且对阂值去噪的 众多方法进行了归纳比较，总结出各算法的优劣，以便实际使用时参考。 1 3 多尺度几何分析发展概述 小波作为一种逼近的工具，在处理一维和二维的具有点状奇异性的目标时，体 现出良好的性能。在高维情况下，例如二维，对图像来说，通过边缘的不连续性 是按空间分布的，因此这种奇异性影响了小波级数展开中的许多项。所以小波展 开的系数不是稀疏的，因而限制了其逼近的误差。 考虑一个简单的二维图像模型： 圈l2 具有光滑边缘的图像模型 图1 2 表示了一类具有曲线奇异( 包括直线) 的二维函数，这种函数，除了在 二维平面中的曲线r 外，都是c 口光滑的，而且奇异曲线r 本身也c 5 光滑。 实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等许多领域中一个非常核心的问 题。对于模型( 1 2 ) ，正交基所能达到的最优逼近应该有g ：( m ) = i 厂一九旷c m 。的 形式 4 7 】。然而，小波变换的非线性逼近误差只能达到肼。的衰减级。之所以如此， 一个重要原因是二维可分离小波基只具有有限的方向，即水平、垂直和对角，方 向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何特性。 神经生理学家的研究结果表明，哺乳动物的视觉皮层的接受场具有局部、方向、 带通的特性。o l s h a u s e n 和f i e l d l 48 】的实验结果说明，视觉皮层的接受场特性使得人 类的视觉系统只用最少的视觉神经元就能“捕获”自然场景中的关键信息这相 当于对自然场景的最稀疏表示，或者说是对自然场景的最稀疏“编码”。 根据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，优秀的图像表 示方法应该具有如下的特征”9 】： 1 ) 多尺度：能够对图像从粗尺度到细尺度进行连续逼近，即“带通”性； 多尺度分析在图像处理中的应用研究 2 ) 局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是局部的： 3 ) 方向性：“基”应该具有许多方向，随尺度加细方向应该增多。 在此之前，f o u r i e r 分析、g a b o r 分析、小波分析曾被认为能解释人类视觉系统 早期阶段的功能。但这几种方法都不能同时满足上述三条。为了能充分利用图像 的几何正则性，我们希望基的支撑区间表现为“长条形”，以达到用晟少的系数来 逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称 这种基具有“各向异性( a n i s o t r o p y ) ”。 2 0 0 3 年春季，在洛杉矶召开的纯粹与应用数学会议上提出了“多尺度几何分 析”( m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 的概念。图像的多尺度几何分析方法分为自 适应和非自适应两类。自适应方法以e l ep e n n e c 和s t e p h a n em a l l a t 提出的 b a n d e l e t i3 。】为代表。自适应方法一般先进行边缘检测，再利用边缘信息对原函数进 行晟优表示。与之不同，非自适应的图像多尺度几何表示方法并不要先验地知道 图像本身的几何特征，其代表为c u r v e l e t 变换 3 0 】和c o n t o u r l e t 变换0 2 】。多尺度几 何分析的目标就是对高维空间中的数据进行检测、表示和操作，这些数据的重要 特征又集中体现于其低维子集中( 如曲线，片状面等) 。这一系列的研究成果正在 共同推动着这一领域的迅速发展。 在这方面s t a n f o r d 大学以d o n o h o 为首的一个学术群体着重研究脊波和曲线波， 并且其相关算法已申请专利；b a n d e l e t 已成功应用在商业软件中。目前，多尺度几 何分析的应用主要包括：目标识别、物体检测、图像去噪、图像增强以及天文数 据处理等方面。 图像的多尺度几何分析是一个非常前沿的研究领域，理论和算法还处在发展当 中，但所取得的初步结果已给人们留下深刻印象。它在微粒物理数据分析、计算 机视觉、天文数据分析方面已有令人鼓舞的应用。 1 4 本论文的主要工作 小波分析和其它多尺度分析方法在图像处理领域得到了广泛的应用。本文主 要研究三个方面的应用：图像去噪、纹理分类、图像融合。基于小波的图像去噪 在第二节已作了介绍。纹理是描述图像内容的一种基本特征，对于包括自然场景、 遥感数据以及生物医学形态的分析、识别和解释有着重要的意义。在过去的三十 多年里，人们在纹理分析方面作了大量的研究工作，但纹理分析仍然是图像分析 领域一个感兴趣却也是很困难的问题。这主要因为真实世界中的纹理由于在方向、 尺度或其它视觉纹理特征上的变化而很难统一。近年来，基于多分辨分析的方法 箜二童堕笙 ! 在纹理分析中得到了广泛的关注。小波变换在纹理分析中的应用是m a l l a t 首先提 出的，随后人们提出了许多基于小波变换的纹理分类方法。为克服传统的分类方 法不能满足频率划分的精细性的缺点，本文提出一种利用b r u s h l e t 变换进行纹理分 类的新方法，获得了很好的分类效果。 图像融合是一项综合同一场景多源图像信息的技术。来自多个传感器的多源 图像能够提供互补或冗余的信息。利用冗余信息可以改善信噪比并获得更为可靠 的结果，同样，利用互补信息可使获得的融合图像包含更丰富的细节及更全面的 信息。因此，融合图像比任何单一源图像都更全面。图像融合通常在以下三个不 同层次上进行：象素级融合、特征级融合和决策级融合。本文利用对偶树复小波 变换的近似平移不变性和方向选择特性，提出了一种基于此的图像融合方法，其 融合效果优于其它几种融合方法。 本论文的部分工作得到陕西省自然科学基金( 2 0 0 0 s l 0 2 ) 和国防预研基金项目 ( 5 1 4 8 7 0 2 0 2 0 3 d z 0 1 0 3 ) 的资助，主要研究小波闽值去噪和几种多尺度方法在图像处 理中的应用。具体的章节和内容安排如下： 第二章首先概括介绍了小波分析、小波变换、多分辨分析和离散小波变换的 基本理论与相互关系；然后详细地讨论了小波阈值去噪问题，包括噪声的模型、 去噪问题的动机、阈值的评估、及小波去噪中常用的小波系数模型和其它系数选 择方案。并将各种阈值去噪方法通过实验进行了比较，从不同角度分析了这些方 法的性能，以便根据实际情况选择使用。 第三章在原有算法的基础上，提出一种基于图像上下文内容的自适应的去噪 方法，实验证明该算法去噪效果显著，同时也说明几种去噪方法的综合可以取得 比单独一种方法更好的去噪效果。概括介绍了多小波分析及平衡的基本理论，提 出一种利用o p t f r 多小波进行去噪的新算法，取得较其它几种多小波更好的去噪 效果。 第四章首先介绍了对偶树复小波变换的构造和特性。对偶树复小波变换具有许 多优良的特性：近似的平移不变性、良好的方向选择性、有限的冗余和高效的阶 数为的计算，与此同时，它还具有完全重构特性。对偶树复小波变换在每一层 产生六个具有方向选择性的子带。简要介绍了一种新的双变量的阈值收缩函数， 然后将对偶树复小波变换与其相结合，应用于图像去噪，取得了非常好的去噪效 果。与前几章中的去噪方法进行了比较，再次证明了建立准确的统计模型对于图 像去噪的重要性。 提出了一种基于对偶树复小波变换的图像融合方法。该方法首先将待融合图像 分别进行对偶树复小波变换，利用对偶树复小波变换具有的平移不变性和方向选 多尺度分析在图像处理中的应用研究 择特性，在频域对复系数的模进行融合，最后进行对偶树复小波变换的逆变换。 由于对偶树复小波变换具有平移不变性和方向选择特性，可以更好地保持图像的 边缘和纹理信息a 实验结果表明，本章提出的方法可以得到清晰的融合图像，其 融合效果优于p c a 方法、小波变换法和l a p l a c i a n 塔型方法。 第五章讨论了图像的稀疏逼近。首先说明了图像与奇异性的关系以及非线性 逼近所能达到的误差。众所周知，小波分析成功的一个关键原因在于：小波分析 比傅立叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。然而，小波 分析在一维时所具有的优异特性并不能简单地推广到二维或更高维。目前多尺度 几何分析相对于小波分析逼近性能的提高，其意义，丝毫也不亚于小波分析相对 于傅立叶分析逼近性能的提高。 第六章主要研究b r u s h l e t 变换在纹理图像分类中的应用。图像可以看作是不 同纹理区域的组合，而纹理识别在计算机视觉的许多领域是最基本的问题。研究 了h u 不变矩和l e g e n d r e 矩在方向信息上的特点，结合b r u s h l e t 的方向检测特性和 二进小波变换的边缘检测特性，提出了一种利用支撑矢量机分类纹理图像的新方 法。本算法对b r o d a l z 纹理库中所有纹理都进行了识别，并给出了详实的实验数据， 为后续纹理检索的工作提供了重要的参考。 第七章研究脊波、曲线波的发展现状及在图像处理中的应用，并指出数字实 现时的有关问题。脊波对于具有直线奇异的多变量函数有良好的逼近性能。但是， 对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能只相当于小波变换。将单尺度脊波变 换应用于图像融合，得到的融合效果优于小波变换的融合效果。曲线波能对曲线 奇异进行稀疏表示。对曲线波的变换系数进行简单的阙值处理，就得到超过一般 小波变换采用复杂的闽值函数去噪的结果。 最后对全文进行总结，阐述了下一步将要继续努力的工作目标。 第二章小波分析与小波闽值 第二章小波分析与小波阈值去噪 小波理论是一门发展相当迅速的新兴学科，一开始就引起了数学家和工程界人 士的高度重视。经过十多年的探索研究，重要的数学形式已经建立，理论基础更 加坚实。与此同时，小波在众多领域得到了广泛应用。这种新的理论揭示了新的 观点，为许多应用领域带来了新的处理方法。其中应用小波进行图像去噪始终是 一个热点课题。本章较全面地讨论了与小波图像去噪相关的问题。 本章在2 1 中首先介绍连续时间域的小波分析及小波变换：2 2 介绍多分辨分 析的概念和离散小波变换，以及图像的二维m a l l a t 算法；2 0 从几个方面详细讨论 了小波闽值去噪方法：首先讨论噪