（应用数学专业论文）二阶泛函微分方程边值问题的正解.pdf

曲i 师范大学硕f ：学位沦文 摘要 泛函微分方程边值问题来源于物理和控制问题中的实际应用，因其能很好的解释自 然界中各种现象而受到国内外数学界的霞视，足目前非线性泛函分析中最为活跃的研究 领域之一滞后砸泛函微分方程和超前型泛函微分方程又冈其与控制f 口】题的紧密结合而 成为近年来讨论的热点，是泛函微分方程研究中卜分霞要的领域这类i 口j 题目i _ i j 已经有了 广泛的研究，见f 2 8 】其c j 【2 】通过l c l 。a y s c h a u d c l 非线性抉择研究了二阶滞后型泛函微 分方程解的存在性f 3 】通过上下解的方法研究了一阶超前和滞后型泛函微分方程解的存 在性f 6 】通过不动点理论研究了一阶滞后型泛函微分方程f l o q u e t 边值问题，证明了多个 正解的存在性 f 4 】通过不动点理论研究了二阶滞后型泛函微分方程 l ，丁”( ，) 十厂( f ：f ) 一0 0 ， o ：可测函数i l k ：( 0 11 一瓞+ 增函数，k ：r + 一酞+ 使得 ( ，驴) ( ，) ，( 1 1 ，i i j 。) t 1 0 l 】，妒畔临a 七= 1 【5 】也通过不动点理论研究了二阶滞后型泛函微分方程 rz ( ) + f ( t ，锄) = 0 ，0 0 且满足片c ( s ，s ) - z l l l d s + a 1 1 1 本文在f 5 】的基础上利用锥理论进一步讨论- 厂超前莲! ! 二阶泛函微分方程，给出。r 几种 不同的边界条件并依次证明了其征解的存在，陀推广了1 5 1 的= i 要结果并f i 在第六节中 对奇异性进行了讨论 曲单师范大学硕f ：学f 在沦文 本文前几节讨论了二阶泛函微分方程j ：( t ) - i - 厂( ，) = 0 在儿种不同边界条件f ：正 解的存在问题第三节讨论了在 繇纛 这种条件下二阶泛函微分方程三点边值问题正解的存在性，其中0 k 1 ，1 【0 7 】| 这推广了【5 1 对局部问题的主要结果，并将其结论应用到了超前型泛函微分方程 第四节讨论了在 ，灯邓 【z ( o ) = 七。m 。) 这种条件下二阶泛函微分方程m 点边值问题正解的存在性，其中0 。t n ：- - 1 2k 。1 碾 f 0 r l ，将泛函微分方程边值问题的研究范隔从三点扩展到了门7 点 f 即= 9 ， h o ) ：一( s ) 荆( f s 这种条件下二阶泛函微分方程积分边值问逮正解的存在性，其中0 仃m ( s ) d s l l i i t , t + , i ， 使得对v t ( 0 1 】t ，口：l lul l i t 丁川c l 有f ( g f ) l l 1 1 1 r r + d 其中 。s ( c l 一妒( 7 1 ) ) ( 7 一f ( ，厂一- r ) ( r ) f ，丁) 吣可可专高t m o ) d 丁t 7 1 2 c l ( 7 + _) 第六节在第丘节的基础上考虑了如下二阶泛函微分方程 r 上( ) + f ( 州( f ，z ，) = 0 、 k 【3 ( o ) ：了1 ，n ( s ) 。( s ) d s 积分边值问题正解的存在性，其中”z ：( o 7 ) 一f 0 + 。) 连续，并且o 詹m ( s ) d s 1 ； ：( o 丁) 一f 0 + o 。) 连续，可在t = o 和t = t 处奇异k o 露h ( s ) d s + 。 关键词：锥；泛函微分方程；正解：边值问题；不动点定理 熊电师范大学硕l ：学位沦史 a b s t r a c t 泫溉：”h ， f ( t 咖) ( ) l k ( 忡，t ( 0 1 1 ，驴e 口l i ， 三；三三：。z 。= 。 。 0 a n d 舒s ) f ，lr 趴+ 。4 1 1 1 i nt h i sp a p e r w ea r cc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o l k i n d so fn o n l o c a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sc o n c e r n i n gt w o - o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i tha n t i t i p a t i o nb yt h eu s i n go ff i x e dp o i n tt h e o r e mo nt h e1 ) a s jo f 卧w ca r ea l s oi n t e r e s t e d i nt h es i n g u l a rf l l n c t i o x l a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si l ls e c t i o n6 i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u ti o n sf o rk i n d so fb o u n d a r yv a l u e p r o b h ，i l l s 【、i ) 1 1 ( v r n i n gf w e o r c l e rf l n u t i c m a ld i f f e r m i t i a le q u a t i o n s ：州f ) + f ( t _ f ) 一0 h is e c t ，i o i l3 w es t u d k 、dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w o - o r d e rf u n c t i o n a l d i f f e r e n ti a le q u a t i o n su n d e rt h r e ep o i n t sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ： fx t = i ， 【x ( 0 ) = 妇( 7 7 ) w h i c h0 k 1 r l 【0 丁】w cn o to n l yi m p r o v et i l er e s u l t si n 5 】b u ta l s oa t ) p l yt i l e m a i nr e s u l t st of u n ( 1 t i o n a ld i f f e r e n ti a ie q u a t i o n sw i t ha n t i c i p a t i o n i ns e c t i o n4 ，w es t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w o - o r ( 1 e i t i m e ! i o n a l d i f f e r e n ti a le q u a t i o n su n d e rm p o i n t sb o u n d a r yv a h l et ) r o b l e m s ： ，z r 邓“ 、加) = 如( ，7 。) w h i c h0 ：；2k t 1 ，琅 0 丁1 t h i sh a de x p a n d e dt i l er a n g eo fb o u n d a r yf r o m t h r e ep o i n t st o ”1p o i n t s 1 ns e c t i o n5 w es t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w o - o r d e rf l l n c t i o n a l d i f f e r e n ti a le q u a t i o n su n d e rt h ei n t e g r a lb o u n d a l yv a l u ep r o b l e m s ： fx t = 9 ， ) ：tm ( s ) a ( s ) d s w h i c h0 层”j ( i f ) “一 i i 妒l l i t 。丁+ r 1 ，f o rv t 0 ，1 1 f ，( ，：i if t l l l t 丁+ ，l c 1 t h a t f ( t 三i i ，i l 丁r + ，1 w h i c h 0 e 6 ( c ，9 ( 丁) ) ( 丁一舒( 丁一下) 川( 丁) 打) t 2 c i ( t + 舒丁，n ( 丁) d 丁)( + 片丁，n ( 丁) d 丁) 曲q 师范大学硕 ：学他沧文 i ns e c t i o n6 ，w es t u d i e dt h ce x i s t e n c eo fp o s i ti v es o l u t i o n sf o , t w o - o r d e rf u n c li o n a l d i l t b l + t l l | me q u a t i o n st m t l c l t h ei n l e g l a lb o u n d m yw d u cp i 。o b h - m s 瞄= 二 k e y w o r d s ： c o n e ；f u n c l ，i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a l ，i o n s ；l o s i t i v ( ，s o l u t i o n s ；b o , m d a r y v a l u ep r o b l e m s ；t h ef i x e dp o i n tt h e o r e m v 曲铎师范大学硕f ：学位沦文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑雨声明：此处所提交的硕士论文二阶泛函微分方程边f f f l h j 题的e 解，足本 人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论 文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出最要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承 担 作者虢蒋兰兰u 期t 唧6 j 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 二阶泛函微分方程边值问题的正解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期问，在 导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲晕师范大学所有，本论文的研 究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，】丁以公开发表 论文的全部或部分内容 t 、， ， 作者签名：褐兰三 日期： 导师签名：捌匀h 期： 2 z 唧b 、弓 础易牛 jf 曲啦师范大学硕i ：学化论艾 1 引言 泛函微分方程边值问题来源于物理和控制问题中的实际应用，因其能很好的解释自 然界中各种现象而受到国内外数学界的重视，足目前非线性泛函分析中最为活跃的研究 领域之。滞后型泛函微分方程和超前型泛函微分方程又因其与控制问题的紧街结合而 成为近年来讨论的热点，足泛函微分方程研究中f 4 分晕要的领域 这类问题目前已经有了广泛的研究，见【2 8 】，其中 2 】通过l c r a y - s c h a u d c r 非线性抉 择研究了二阶滞后型泛函微分方程 ( t ) = a ，( f ，z f x i ( ) ) ，f 【0 丁】a f 0 1 】 = 矽， t ) = a 解的存在性【3 】通过上下解的方法研究了一阶超前和滞后型泛函微分方程 z ( ) = f ( t ，z ( ) ，z x t ) ， 2 r t o = 砂o ， 解的存在性 【4 】通过不动点理论研究t - 阶滞后型泛函微分方程 0 7 0 t = 1 2 ，0c ：，i r 2 r 。= r ；可测函数u k ：【0 ，l 】_ r + ；增函数l k ：r + 一r 。使得 f ( t 。妒) t l k ( t ) l k ( 1 l 圳以) t 【0 1 m 口| l a ， 七= l 【5 1 也通过不动点理论研究了二阶滞后氆泛函微分方程 o t t o 0 = l | d ，、 ，l u 一 ， 6 + “ + | | ，iii-，kll【 | l 七 、， l 上，is 、l， 5 ， ，ip us i l 以 v ”32 l l 七 、l ， 七 r一 七 r 一 | i 以 0 r 一 | 1 1 ， j 1 申互其l n，j门 a + l i i | n 0 ，l z z z ，-ili-，、il_-一 第一节引言 i 三三三二。z 。= 。， 。 2 0 且满足 a ( s ，s ) e l t l d s + a h 1 0 ( 6 1 通过不动点理论研究了一阶滞后型泛函微分方程 f ：f t ( f ) = 巾_ f ) ，0 f t ， 【a j ：【) 一y t2 妒 f l o q u e t 边值问题，证明了多个正解的存在性 本文在【5 】的基础上讨论了超前型奇异二阶泛函微分方程非局部解的存在性，给出了 几种不同的边界条件并依次证明了其正解的存在性，推广了【5 】的事要结果 2 曲阜师范大学硕 ：学位论文 2 预备知识 定义2 1 设函数，( 3 ) 在 上连续，若v x l z 2 ，0 f 1 恒有 f ( t x l + ( 1 一t ) x 2 ) t f ( x 1 ) + ( 1 一t ) f ( x 2 ) ， 此时杯_ ( z ) 为 上的巴j 函数 定义2 2 1 1 1 设e 是一个实b a n a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸闭集，满足条件： ( 1 ) z p a 0 辛牖p ；( 2 ) z 只一z 尸辛z = 0 ( 0 表e 的零元) ，则称尸是e 中一个锥 设“( f ，s ) 是边值问题 卜( ，) = 0 0 0 ，1 一g ( s s ) d s o ； ( 2 ) 妒口= 乒m 丁+ r 】) 0 , t i t , t 刊 妒( 7 1 ) 2 即i n a + r l x 凇 ( 爿3 ) ，：( 0 ，t j c 一【0 + ) 足连续两数； ( ，4 ) 。 f “, = 蚝舒岫i i m l i l t 叫圳i i 一赫tt 笔+ r ； t c ，： 丁+ ，l 一f ，l ( 风) 边值问题的正解z ( f ) 是指z c f o ，t + 7 j f - 1c 2 f o t l 满足边界条件且当f 【0 t + r 】时z ( t ) 0 ，又在【0 ，7 1 上不恒为0 的函数； ( c ；) = y ec o 丁+ r 】ls ，o ，y 在 0t 1 上足凹函数) 对妒c ? 定义范数 i i 妒i l i t r + ，1 _ s u p i 妒( f ) | ， 3 第_ 二节预备知识 显然( ? 是b a n a c l l 宅问对任意连续函数，：i o ，7 1 斗r l r 、v f i 【l ”、定义( ? _ 中元 素z 如下： z t ( u ) ：x ( u 一) u i t ，t + r 1 ( f 2 1 ) 引理2 1 1 5 l 存在常数7 ( o ，1 ) ，使得对忱：凡，7 h 丁一盯】 都有1 1 1 ：rl i f t ：r 4 , 1 - 7l l i i o ，t i 证明首先证明下式成立： r a 卜i n ，j lz ( ) 之训z i i i o , t i ， 其中上是1 0 ，丁】上的凹函数设 f = i n f o o 丁1l = _ f ( 甘) = ”叭 下面分三种情况证明：( i ) f i 【o ，乩( i i ) f ，= f 1 一叩】( j i i ) f 【，一”，卅一这三种情形则蝈类 似，所以只证明( i ) ：当【o ，7 1 时成立，由z 在【o t i 上是凹函数知对f e 意h 7 一r 】 确 以f ) z + 雩掣( _ m i n f 钋，f 一，j l 7 | | z ，t i 4 曲ih 师范大学硕l ：学位沦史 定理2 1 1 1 l 设f 足b a n a c h 空问，h 。ce 足其中的锥s2 卜s2 2 足中的自界开集且 有0 ，q lcq 2 ，t ：kn ( q 2 s 2 i ) 一凡令连续如果满足条件 ( 1 ) f l t ui l | ：，：i l z kn ? 越2 l ； l l 7 f fl i l l ：ft i ：，：kn ? 题2 2 ； 或 ( 2 ) i l t uj i | i 3 ：| 1 z kna q l ； it u | lsf fz | i x 人。na q 2 那么丁在kn ( q 2 s2 1 ) 中必有不动点 定理2 2 1 2 5 】( a s c o l i a r z e l a 定理) 设f = ，( ) ) 是定义在n t 了1 - 的一致有界 且同等连续的实值( 门，维) 向量函数族，则从f 中必可选取一个在r t t 上一致收敛 的函数列 ( f ) ) ( 7 = 1 ，2 ，) 5 第- 三节泛甬微分方程：三点边值n 题的l j ：解 3 泛函微分方程三点边值问题的正解 本节考虑如下二阶泛函微分方程三点边值问题 z ( ) + ( x t2 妒， x ( 0 1 = 后o f ) = 0 ，0 t ， ( 3 1 ) 正解的存在性，其中叩 0 ，7 】，0 0 满足 弼揣t g s ) d s + ( 7 - ； ( 月2 ) 氏= 0 0 关于f ( 0 ，t 】一致； ( 1 3 ) 存在常数g 使得对v c ? 四：i it ，l i t , ，厂+ ，l g 有 f ( t ， ) mm a x i lf ，i i t t 7 + r l ，妒( 7 ) 其中常数m 0 满足 一y ，g ( 叼s ) d s 1 ； ( 。1 4 ) k = 0 关于【0 t 】一致 6 曲阜师范大学硕i ：学 证沦史 引理3 1 s ：k 一 - 全连续 证明经验证人，是c 0 t + r 】上的锥，s ( 凡) k 设口是c 0 t + ， 1 上的有界了： 集由a s c o l i a r z e l a 定理，我们只需证明s ( ，；) 在c o t + ，】_ 卜一致有界 等度连续t 1 w , i 由( 2 1 ) 知，( z d z b ( 0 7 1 在g 中关于f f 0 7 1 一致有界，v i j g 0 满足 m a x i 厂( s 2 - ，) i 陋b ，s 【0 7 1 】) c o 结合( 3 2 ) 可得s ( 8 ) 在c ( o ，t + r 】上有界下设j ：b ，f 1 t 2 【0 t + r 1 “ 2 如果0 l 2 t ，那么 i ( s z ) ( 2 ) 一( s z ) ( 1 ) l 。 叭s + 粼吵_ 州s f + l 黼驯 z rl g ( c z ，s ) 一g ( t - ，s ) l ，( s z 。) d s + o 丁l 粼lg ( q ，s ) ，( s 3 。) d s + l 粼刮 如果7 t l f 2 t + ，那么 ( s z ) ( c 2 ) 一( s z ) ( 1 ) = lp ( t 2 ) 一妒( f 1 ) 如果0 t 1 0 ，只要i t 2 一t l l 6 就有i ( s z ) ( 2 ) 一( s a - ) ( t 1 ) l 5 ，因此s ( b ) 等 度连续 7 第二三节泛函微分方程一三文边f f i 问题的正解 定理3 1 设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，那么( 3 1 ) 至少有一个正解 证明设z k ，i izi i i o r + ，l = c l ，令q l = 上c l o 7 + r 1 ii | 卫i i i o 7 1 + 叫 c 1 ) 则对 v ：r kn l2 h 由( 3 1 ) ，( 1 1 1 ) 以及| | zi l i t 丁+ ，j i l - ；i l i o 丁+ ，l 可得 羽 【9 ( ) ) + 端 g c 叩s ，l ，c s ，z 。，d s + l ；粼i 妒c 丁，。丁， 丁 i t 十， g c s ，s ，l 厂c s ，_ ，d s + l ；揣i 妒c 丁，。，7 。 ( ? ( s ，s ) i ，( ) 以+ 了1 t 7 + 7 。 f ( ，厂) 0 t 丁 r 0 满足 ，7 o i z g ( i 删瞳l 令q 2 = 扛c o ，t + r 】li izi i i o 7 + r l c 2 则对kna q 2 ，由引理2 1 以及( 3 1 ) 式 可得 8 、，一- 丁一“褊 一丁 卜 曲0 i g 0 丁 d r r 0 、：q鼢厂厶“ ，、【 = 粼 丁 z “ ，、，、l 一 一 一 一 = 第二i 节泛函微分方程二点边假n ，j 题的正解 由此知i i 圳| 0 丁+ r 1 2 啡l l l r t x 川协( 协( 7 7 ) i 孙j | | o 7 + r 下面对，有界和无界的情况分别进行讨论 情况1 如果，有界，即对v t 【0 ，1 】，u 钟有lf ( t ，) i n 此时取 r r l m a x l 丁+ 后 7 1 一k ( 7 1 7 7 ) 那么对v a ：k ，忪i i o ，丁+ r j = ，? 1 有 陋r ，i t 0 i ：f z 阻5 h 【，( f ) 鲫 一【妒( ) r 1 k ( t f ) t k ( t 一7 1 、 知s n d s + c 丁叫 ，e s 了，d s + l 粼 ，r 7 1 ，。rs 丁 7 f 7 + 妒( 丁) 0 f t t f 7 7 ， g ( s s ) l 。( 5 ，。) d s + i j 糍ff ( 丁) 。z r ( ? ( s s ) n d s + ( 7 1 ) 0 f t 7 1 f 7 + ， 7 t 0 满足 ，( u ) i l l ，i i 【丁丁+ 小 幽揣小s 蚺耵h 屯 1 0 、l， s 叩 ，f 1 j ( 剥 丁一丁 r d厂厶“ 一们等 一r z “ 那么对v k ，l i ? ：i i f o 丁+ r l = r 2 由( 3 2 ) 以及| | z 7 1 川i | j ：| i f 0 ，厂+ 叫可得 ip ( ) j 州 一【妒( ) f ? 2 c 7 c ，s ，l ，c s ，了。，d s + i 端lp c 丁，。，丁， 7 1 t + r g ( s ，s ) + 端g ( s ，s ) l ，( s ，z 。) d s + i 揣l 妒( 7 1 ) 。，7 丁t 丁+ r 瑞岛啪籼阳。l 端啬舛 7 l t - - t - r ， 7 1 + k q k ( r 一叩) c ( s ，s ) ei | z 。i l l v 7 + ，id s + 妒( 丁) ，0 t r t 冬f t + r 令c 4 = m a x l ，r 2 ) q 4 = z c i o j r + r j | l z | | | 0 7 + ， g ) ，那么对v x k n 0 1 2 , 有 i | s z | | 1 0 - 7 1 + ，j l ixl i o 丁+ ，l ，由定理2 1 可得s 有一个不动点奠：。凡，c 0 i iz l i l o ，r 十，j sc ：1 ， 即r ( ，) 是( 3 1 ) 的一个解 、l，一- 禹 丁一“篙 曲 i g r ， o 、= 1阶厂厶以 一丁 r ”z 爿，、【 一 第四节泛函微分方程r ，点边值f h j 题的止解 4 泛函微分方程点边值问题的正解 本文考虑如下二阶泛函微分方程，n 点边值问题 f ，( ) + f ( t ，z t ) = 0 ，0 t t ， x t = 妒， m 2 z ( o ) = 七( 协) f = l ( 4 1 ) 正解的存在性，其中7 7 i 【0 ，t i ，0 扭7 7 l - l - 2 惫i 1 容易验证边值问题( 4 1 ) 等价于如下积分方程 j ，( f ) f r ( g c r ，s ，+ ! ；三 三辫) 一rc s z ，d s + ；三 三粼f r 7 1 ， 2 1 o 0 j 仇满足 1 ， g ( 7 7 t s ) d s 1 ； ( 4 4 ) 氏= 0 关于t 【0 ，t 】一致 1 2 曲自师范大学硕f ：学位论文 引理4 1 s ：一h 全连续 证明易知人，是c o t + r 】中的准且s ( k ) ，、设b 是c 0 7 + r 】中的香界子集 由a s c o l i a r z c l a 定理，我们只需证明s ( ，) 在c o t + ，i 上一致有界月等度连续即可 由( 2 1 ) 知， x t x b t 【0 7 】) 在g 中关于【0 t 1 一致有界且 岛 i j 满足 s u p if ( s ，z 。) l | z 口s f 0 t j ( ：0 ， 结合( 4 2 ) 可得s ( e ) 在c o ，t + r 】上有界下设3 ：b ，l ，t 2 f 0 ，7 + r 】，l t 2 如果0 t l 2 t ，那么 i ( s ：t ) ( f 2 ) 一( s z ) ( t 1 ) i c7 卜z 姗+ 与莲霈掣卜扎w s + l 号糌卵) | 等z 丁m ，小g 川，) f ，一+ ! 三搿竺掣八h n m 一 + 亍一= = 一芝妄妒c 丁，+ l 摹毛；主桊l 妒c 丁， 如果t t l f 2 t + ，那么 i ( s z ) ( ，2 ) 一( s _ ) ( z 1 ) l = ：i ( 2 ) t 一( 2 ) 如果0 1 0 ，使对妇1 3 和任意的t 1 2 f 0 ，7 + r 】只要 ，2 一f i | j 就有 l ( s ，) ( ，2 ) 一( s ) ( f 1 ) l e ，因此s ( ，) 等度连续 第四节泛函微分方程t t i 点边值n d 题的正解 定理4 1 设( 月1 ) ，( 以2 ) 成立，那么( 4 1 ) 至少有一个j e 解 证明设z k ，l | zl i o ，+ r | = c l ，令q l = z c o 丁+ r 】j | izf i i ( j ， ，l c l 则对 乩 n 挑2 l ，由( 4 2 ) ，( 1 1 1 ) 以及i izi 恼r + r j j i f 怕丁+ ， 可得 s j ( t ) 俐唧+ 锱系搿l l # ( f ) ， 州+ i 【( ) m ) d s + l 箍蠹鹄旧， 0 i t 7 t 7 1 4 - r 邝以叫箍虢溉 0 f t 7 t 1 + 7 z7i；：二i粼(歹(5s)(5，j：s)tfs+lj；_：i!粼f：!?， 0 且j 碾满足 ，7 一叮 t a t i g o t 。s ) d s 1 j 口 令q 2 = j ：f ? 【o t + ，】j 7 + r | l l 了i | i c l l 7 1 + r 高2 詹。( 7 1 妒( 7 1 ) 因此由定理2 1 知s 有一个不动点x 0 人，c l j j 7 ；0l l f ( j 丁+ ，l q 故z 【，( f ) 足( 4 1 ) 的一个解 定理4 2 设( 1 3 ) ，( 。l d ) 成立，那么( ，1 1 ) 有一个正解 证明设z 凡1 1 z 。l i l o ，丁+ r l = c 0 令q ： = ：p c o 7 1 + ，】li i ri | | 【) 了 l 一 = 第阴节泛函微分方程n z 点边值m 题的正解 s 。：( 仇) f o o 7 g ( q l ，s ) + g f ( ，7 。s ) + ( 丁一) 一z - - - 2 七。g ( ，f s ) 丁一，r f ：i - - 1 2k i ( 丁一吼) ( 丁一c ) 当2 七。g ( 7 7 。，s ) 丁一 ：l r ：l - 1 2k i ( t 一7 , ) 丁一，i t i - - 1 2 也( 一讯) 丁一一i = 1 2 南。( 丁一叩。) g ( t i ：，s ) ，( s ，z 。) d s g ( t i ，s ) f ( s ，z 。) d s + f ( s o ) d s ，( s ，z 。) d s ( ，? 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