（应用数学专业论文）亚式期权定价的差分方法.pdf

乙 北大学硕士学位论文文才 亚式期权定价的差分方法 中 文 摘 要 期权是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买和出售标 的资产的权利。自1 9 7 3 年在美国首次进行场内交易以来， 期权市场的发展十分 迅猛。现在，作为一种重要的金融衍生产品，期权在世界各地的不同交易所中 都有交易。 亚式期权是由标准期权派生的一种新型期权，目前在场外市场上交易非常 活跃。亚式期权的价值依附于标的资产在某段时间上的平均值。它可以分为平 均执行价格期权和平均价格期权两类。本文我们主要讨论平均执行价格期权。 亚式期权是路径依赖型期权，它的数学模型是一个具有三个自 变量的抛物 型方程的终值问题。虽然大多数亚式期权都可以 通过引用适当的变量代换降低 维数， 但是只有几何平均亚式期权的定价可以 得到b l a c k 一 s c h o l e s 类型的封闭 形式解。 对于算术平均亚式期权的估值很复杂， 要得到一个如 b l a c k 一 s c h o l e s 那样的 封闭形式解就相当困难。因此， 通常使用数值方法为算术平均亚式期权 估值。目 前比较成熟的数值方法有:蒙特卡罗方法，二叉树方法，有限元和有 限差分方法。本文用有限差分方法为亚式期权定价。 本文第一章首先介绍了期权基本理论和b l a c k 一 s c h o l e s 公式; 第二章介绍 了亚式期权的基本概念， 并且推导出在连续和离散情形下亚式期权的定价模型; 第三章将讨论如何通过相似变换把亚式期权的定价问题从三维降为二维;第四 i n- 乙 北大学硕士学位论文a b s t r a c t f i n i t e d i f f e r e n c e me t h o d s f o r p r i c i n g a s i a n o p t i o n s ab s t r a c t a n o p t i o n i s a c o n t r a c t w i t h t h e c o n d i t i o n s t h a t , a t a p r e s c r i b e d t i m e i n t h e f u t u r e , t h e h o l d e r o f t h e o p t i o n m a y p u r c h a s e o r s e l l t h e u n d e r l y i n g ass e t f o r a p r e s c r i b e d a m o u n t . s i n c e 1 9 7 3 w h e n o p t i o n s o n s t o c k s w e r e f i r s t t r a d e d o n a n o r g a n i z e d e x c h a n g e , t h e r e h a s b e e n a d r a m a t i c g r o w t h i n o p t i o n s m a r k e t s . n o w , a s a n i m p o rt a n t f in a n c i a l d e r i v a t i v e p r o d u c t , o p t i o n s a r e t r a d e d o n m a n y e x c h a n g e s t h r o u g h o u t t h e wo r l d . a s i a n o p t i o n s a r e s o m e s o rt o f e x o t i c o p t i o n s d e r i v e d f r o m s t a n d a r d o p t i o n s . a t p r e s e n t , t h e y a r e t r a d e d v e ry a c t i v e l y i n t h e o v e r - t h e - c o u n t e r m a r k e t a s w e l l a s o n e x c h a n g e s . a s i a n o p t i o n p r i c e d e p e n d s o n t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t s o v e r a c e r t a in t i m e in t e r v a l . i t c o n s i s t s o f a v e r a g e s t r i k e o p t i o n s a n d a v e r a g e r a t e o p t i o n s . i n t h i s p a p e r , w e d i s c u s s a v e r a g e s t r i k e o p t i o n s a s i a n o p t i o n s a r e p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s . t h e i r m a t h e m a t i c a l m o d e l i s a fi n a l v a l u e p a r a b o l i c p r o b l e m w i t h t h r e e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . t h o u g h m o s t a s i a n o p t i o n s p e r m i t a r e d u c t i o n in t h e d i m e n s i o n a l it y o f t h e p r o b l e m b y u s e o f a s i m i l a r i t y v a r i a b l e , w e c a n o n l y o b t a i n e x p l i c i t s o lu t i o n f o r t h e p r i c e o f g e o m e t r i c a v e r a g e a s i a n o p t i o n s b y a n a p p r o p r i a t e b l a c k - s c h o l e s m o d e l . i t i s c o m p l i c a t e d t o o b t a i n a n e x p l i c it s o l u t i o n f o r t h e p r i c e o f a r it h m e t i c a v e r a g e a s i a n o p t i o n s u s in g t h e b l a c k - s c h o l e s m o d e l . s o , n u m e r i c a l t e c h n i q u e s a r e p r e f e r a b l e . a t p r e s e n t , t h e m o s t c o m m o n l y u s e d me t h o d s i n c l u d e : mo n t e c a r l o me t h o d s , b i n o m i a l t r e e , f i n i t e e l e m e n t a n d f i n i t e d i ff e r e n c e m e t h o d s . i n t h i s w o r k , w e u s e f i n i t e d i ff e r e n c e m e t h o d s f o r p r i c i n g t h e a s i a n o p t i o n s . i n c h a p t e r o n e , w e i n t r o d u c e t h e b a s i c o p t i o n t h e o ry a n d t h e b l a c k - s c o l e s m o d e l . i n c h a p t e r t w o , w e in t r o d u c e a s i a n o p t i o n s a n d d e d u c e t h e b a s i c m o d e l f o r t h e i r v a l u a t i o n , i n c l u d in g t h e c o n t i n u o u s l y a n d d i s c r e t e l y s a m p l e d a v e r a g e s . we r e d u c e t h e o p t i o n p r o b l e m f r o m t h r e e t o t w o d i m e n s i o n s b y u s e o f a s i m i l a r i t y v a r i a b l e , i n c h a p t e r t h r e e . f i n a l l y , i n c h a p t e r f o u r , w e d e m o n s tr a t e t h e f in i t e d i ff e r e n c e m e t h o d s f o r p r i c i n g a s i a n o p t i o n s b y d i s c r e t i s i n g t h e m o d e l s f o r t h e e u r o p e a n a n d a m e r i c a n a v e r a g e s t r i k e s . k e y w o r d s : a s i a n o p t i o n s , s i m i la r i t y v a r i a b l e , a v e r a g e s t r i k e o p t i o n s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , f in i t e d i ff e r e n c e i f 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究 成果除加以标注和致谢的地方外， 不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果， 也不包括本人为获得其它学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 作 者 签 “ : 巴 寒 日期: 2 0 -15 -4仗 2 1 0 9 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的 规定:即学校有权保留并向国家有关部门和机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名;否则视为不同意。 ) 学位论文作者签名 签 字日 期 : 2 时 哗: 巴 塞 2. o 8 导师签名 签字日期: c , f / z 。 乡 乙 一 乙 北大学硕士学位论文ch a n t e r on e c h a p t e r o n e i n t r o d u c t i o n 1 . 1 b a s i c o p t i o n c o n c e p t s t h e s i m p l e s f f i n a n c i a l o p t i o n , a e u r o p e a n c a l l o p t i o n , i s a c o n t r a c t w i t h t h e c o n d i t i o n s t h a t , a t a p r e s c r i b e d t i m e i n t h e f u t u r e , t h e e x p i r y d a t e , t h e o w n e r o f t h e o p t i o n m a y p u r c h ase a p r e s c r i b e d a s s e t , t h e u n d e r l y i n g , f o r a p r e s c r ib e d a m o u n t , t h e s t r i k e p r i c e . a e u r o p e a n o p t i o n i s o n e w h i c h m a y o n l y b e e x e r c i s e d a t e x p i ry , w h e r e as a n o p t i o n w h i c h m a y b e e x e r c i s e d a t a n y t i m e p r i o r t o e x p i ry i s c a l l e d a n a m e r i c a n o p t i o n . t h e o p t i o n t o b u y a n ass e t i s k n o w n a s a c a l l o p t i o n ; t h e r i g h t t o s e l l a n a s s e t i s k n o w n a s a p u t o p t i o n , a n d h a s p a y o f f p r o p e r ti e s w h i c h a r e o p p o s i t e t o t h o s e o f a c a l l . wh e r e a s t h e o w n e r o f a c a l l o p t i o n w a n t s t h e a s s e t p r i c e t o r i s e -t h e h i g h e r t h e a s s e t p r i c e a t e x p i ry t h e g r e a t e r t h e p r o f i t , t h e o w n e r o f a p u t o p t i o n w a n t s t h e a s s e t p r i c e t o f a l l a s l o w a s p o s s i b l e a p o r tf o l i o t h a t o n l y c o n t a i n s a s s e t s f a l l s w h e n t h a t a s s e t p r i c e f a l l s , w h i l e o n e t h a t i s a l l p u t o p t i o n s r i s e s . s o m e w h e r e i n b e t w e e n t h e s e t w o e x t r e m e s i s a r a t i o a t w h i c h a s m a l l m o v e m e n t i n t h e a s s e t d o e s n o t r e s u l t i n a n y m o v e me n t i n t h e v a l u e o f t h e p o r t f o l i o . t h i s r a t i o i s i n s t a n t a n e o u s l y r i s k - fr e e . t h e r e d u c t i o n o f r i s k b y t a k i n g a d v a n t a g e o f s u c h c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e a s s e t a n d o p t i o n p r i c e m o v e m e n t s i s c a l l e d h e d g i n g . i f a m a r k e t m a k e r c a n s e l l a n o p t i o n f o r m o r e t h a n i t i s w o r t h a n d t h e n h e d g e a w a y a l l t h e r i s k f o r t h e r e s t o f t h e o p t i o n s l i f e , h e h a s l o c k e d in a g u a r a n t e e d , r i s k - fr e e p r o f i t . 1 . 2 a s i m p l e mo d e l f o r a s s e t p r i c e s s u p p o s e t h a t a t t im e t t h e a s s e t p r i c e i s s c o n s i d e r a s m a l l s u b s e q u e n t t i m e i n t e r v a l d t ，d u r i n g w h i c h s c h a n g e s t o s + d s.we a tt e m p t t o m o d e l t h e co rresp o n din g return 。 th e a sset, 警 t h e com m 。 一 、 m o d el d eco m p o ses th is r e t u rn i n t o t w o p a r t s . o n e i s a p r e d i c t a b l e , d e t e r m in i s t i c r e t u rn a k i n t o t h e r e t u rn o n m o n e y i n v e s t e d i n a r i s k - fr e e b a n k . i t g i v e s a c o n t r i b u t i o n ,u d t to th e return 譬 ，w h ere 。 is a m easu re of th e av erag e rate o f grow th o f t h e a s s e t p r i c e , a l s o k n o w n a s t h e d r i f t . t h e seco n d co n trib u tio n to 譬 m o d e l s t h e r a n d o m c h a n g e i n t h e a s s e t p r i c e i n 乙 北大学硕士学位论文ch a n t e r on e c h a p t e r o n e i n t r o d u c t i o n 1 . 1 b a s i c o p t i o n c o n c e p t s t h e s i m p l e s f f i n a n c i a l o p t i o n , a e u r o p e a n c a l l o p t i o n , i s a c o n t r a c t w i t h t h e c o n d i t i o n s t h a t , a t a p r e s c r i b e d t i m e i n t h e f u t u r e , t h e e x p i r y d a t e , t h e o w n e r o f t h e o p t i o n m a y p u r c h ase a p r e s c r i b e d a s s e t , t h e u n d e r l y i n g , f o r a p r e s c r ib e d a m o u n t , t h e s t r i k e p r i c e . a e u r o p e a n o p t i o n i s o n e w h i c h m a y o n l y b e e x e r c i s e d a t e x p i ry , w h e r e as a n o p t i o n w h i c h m a y b e e x e r c i s e d a t a n y t i m e p r i o r t o e x p i ry i s c a l l e d a n a m e r i c a n o p t i o n . t h e o p t i o n t o b u y a n ass e t i s k n o w n a s a c a l l o p t i o n ; t h e r i g h t t o s e l l a n a s s e t i s k n o w n a s a p u t o p t i o n , a n d h a s p a y o f f p r o p e r ti e s w h i c h a r e o p p o s i t e t o t h o s e o f a c a l l . wh e r e a s t h e o w n e r o f a c a l l o p t i o n w a n t s t h e a s s e t p r i c e t o r i s e -t h e h i g h e r t h e a s s e t p r i c e a t e x p i ry t h e g r e a t e r t h e p r o f i t , t h e o w n e r o f a p u t o p t i o n w a n t s t h e a s s e t p r i c e t o f a l l a s l o w a s p o s s i b l e a p o r tf o l i o t h a t o n l y c o n t a i n s a s s e t s f a l l s w h e n t h a t a s s e t p r i c e f a l l s , w h i l e o n e t h a t i s a l l p u t o p t i o n s r i s e s . s o m e w h e r e i n b e t w e e n t h e s e t w o e x t r e m e s i s a r a t i o a t w h i c h a s m a l l m o v e m e n t i n t h e a s s e t d o e s n o t r e s u l t i n a n y m o v e me n t i n t h e v a l u e o f t h e p o r t f o l i o . t h i s r a t i o i s i n s t a n t a n e o u s l y r i s k - fr e e . t h e r e d u c t i o n o f r i s k b y t a k i n g a d v a n t a g e o f s u c h c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e a s s e t a n d o p t i o n p r i c e m o v e m e n t s i s c a l l e d h e d g i n g . i f a m a r k e t m a k e r c a n s e l l a n o p t i o n f o r m o r e t h a n i t i s w o r t h a n d t h e n h e d g e a w a y a l l t h e r i s k f o r t h e r e s t o f t h e o p t i o n s l i f e , h e h a s l o c k e d in a g u a r a n t e e d , r i s k - fr e e p r o f i t . 1 . 2 a s i m p l e mo d e l f o r a s s e t p r i c e s s u p p o s e t h a t a t t im e t t h e a s s e t p r i c e i s s c o n s i d e r a s m a l l s u b s e q u e n t t i m e i n t e r v a l d t ，d u r i n g w h i c h s c h a n g e s t o s + d s.we a tt e m p t t o m o d e l t h e co rresp o n din g return 。 th e a sset, 警 t h e com m 。 一 、 m o d el d eco m p o ses th is r e t u rn i n t o t w o p a r t s . o n e i s a p r e d i c t a b l e , d e t e r m in i s t i c r e t u rn a k i n t o t h e r e t u rn o n m o n e y i n v e s t e d i n a r i s k - fr e e b a n k . i t g i v e s a c o n t r i b u t i o n ,u d t to th e return 譬 ，w h ere 。 is a m easu re of th e av erag e rate o f grow th o f t h e a s s e t p r i c e , a l s o k n o w n a s t h e d r i f t . t h e seco n d co n trib u tio n to 譬 m o d e l s t h e r a n d o m c h a n g e i n t h e a s s e t p r i c e i n 东北大学硕士学位论文ch a n t e r on e r e s p o n s e t o e x t e rn a l e f f e c t s , s u c h a s u n e x p e c t e d n e w s . i t i s r e p r e s e n t e d b y a r a n d o m s a m p l e d r a w n fr o m a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n z e r o a n d a d d s a t e r m rr d a 一 he r e r 日i e t 丁i sme asu r e s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e r e t u r n s . e r m, t h e v o l a t i l i t y , w h i c h d x i s k n o wn a s awi e n e r p r o c e s s , a n d h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : ( i )c l x i s a r a n d o m v a r i a b l e , d r a w n fr o m a n o r m a l d i s t r i b u t i o n ; ( i i ) t h e m e a n o f d x i s z e r o ; ( ii i ) t h e v a r i a n c e o f d x i s d t . p u tt i n g t h e t w o c o n t r i b u t i o n s t o g e t h e r , w e o b t a i n t h e s t o c h as t i c d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n (l.1) d s 之o a x + e u t t , s w h i c h i s t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f o u r s i m p l e r e c i p e f o r g e n e r a t i n g a s s e t p n c e s . 1 . 3 i t o s le mma i t o s l e m m a i s t h e m o s t i m p o r ta n t re s u l t a b o u t c h a n g t h e ma n i 闷 a t i o n v a r i a b l e s t h a t wer e q u i r e . f u n c t i o n o f o f r a n d o m a r a n d o m a .m i t r e l a t e s t h e s ma l l v a r i a b l e t o t h e s m a l l c h a n g e i n t h e r a n d o m v a r i a b l e i t s e l f . i t s t a t e s t h a t 、 一 条 dx (df = os d dx + i es d + 1 a 2sz zd sz 卜 ( 1 . 2 ) w h e r e f = f ( s ) i s a s m o o th f u n c t io n o f s , a n d , w i th p r o b a b il it y o n e , t h e r a n d o m d x z - 4 d t a s d t -* 0 . r e s u l t ( 1 .2 ) c a n b e f u rt h e r g e n e r a l i z e d b y v a r i a b l e s a n d o f t im e , f ( s , t ) . w e c a n _ ( 1 .3 ) c o n s i d e r i n g a f u n c t i o n o f t h e e x p a n d f ( s 十 d s , t + d i ) i n a t a y l o r s e r i e s a b o u t ( s , t ) t o g e t df 一 器 ds + 哥 告 令 ds 2 u s i n g o u r e x p r e s s i o n s ( 1 . 1 ) f o r d s a n d ( 1 .3 ) f o r d y e ， w e f i n d t h a t t h e n e w e x p r e s s i o n s f o r d f i s dt 以一次 、 一 、 of dx ps af5 + ( 85 十 工 a 2 s 2( 1 .4 ) 2 2 东北大学硕士学位论文ch a n t e r on e r e s p o n s e t o e x t e rn a l e f f e c t s , s u c h a s u n e x p e c t e d n e w s . i t i s r e p r e s e n t e d b y a r a n d o m s a m p l e d r a w n fr o m a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n z e r o a n d a d d s a t e r m rr d a 一 he r e r 日i e t 丁i sme asu r e s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e r e t u r n s . e r m, t h e v o l a t i l i t y , w h i c h d x i s k n o wn a s awi e n e r p r o c e s s , a n d h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : ( i )c l x i s a r a n d o m v a r i a b l e , d r a w n fr o m a n o r m a l d i s t r i b u t i o n ; ( i i ) t h e m e a n o f d x i s z e r o ; ( ii i ) t h e v a r i a n c e o f d x i s d t . p u tt i n g t h e t w o c o n t r i b u t i o n s t o g e t h e r , w e o b t a i n t h e s t o c h as t i c d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n (l.1) d s 之o a x + e u t t , s w h i c h i s t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f o u r s i m p l e r e c i p e f o r g e n e r a t i n g a s s e t p n c e s . 1 . 3 i t o s le mma i t o s l e m m a i s t h e m o s t i m p o r ta n t re s u l t a b o u t c h a n g t h e ma n i 闷 a t i o n v a r i a b l e s t h a t wer e q u i r e . f u n c t i o n o f o f r a n d o m a r a n d o m a .m i t r e l a t e s t h e s ma l l v a r i a b l e t o t h e s m a l l c h a n g e i n t h e r a n d o m v a r i a b l e i t s e l f . i t s t a t e s t h a t 、 一 条 dx (df = os d dx + i es d + 1 a 2sz zd sz 卜 ( 1 . 2 ) w h e r e f = f ( s ) i s a s m o o th f u n c t io n o f s , a n d , w i th p r o b a b il it y o n e , t h e r a n d o m d x z - 4 d t a s d t -* 0 . r e s u l t ( 1 .2 ) c a n b e f u rt h e r g e n e r a l i z e d b y v a r i a b l e s a n d o f t im e , f ( s , t ) . w e c a n _ ( 1 .3 ) c o n s i d e r i n g a f u n c t i o n o f t h e e x p a n d f ( s 十 d s , t + d i ) i n a t a y l o r s e r i e s a b o u t ( s , t ) t o g e t df 一 器 ds + 哥 告 令 ds 2 u s i n g o u r e x p r e s s i o n s ( 1 . 1 ) f o r d s a n d ( 1 .3 ) f o r d y e ， w e f i n d t h a t t h e n e w e x p r e s s i o n s f o r d f i s dt 以一次 、 一 、 of dx ps af5 + ( 85 十 工 a 2 s 2( 1 .4 ) 2 2 东北大学硕士学位论文 ch a n t e r on e 1 . 4 t h e v a l u e o f a n o p t i o n w e d e n o t e b y v t h e v a l u e o f a n o p t i o n ; v = v ( s , t ) . t h e v al u e o f t h e o p t i o n a l s o d e p e n d s o n t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s : a， t h e v o l a t i l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t ; e, t h e e x e r c i s e p r i c e ; t , t h e e x p 时; a n d r , t h e i n t e r e s t r a t e t h e v al u e o f t h e c a l l o p t i o n c ( s , t ) a t e x p i r y i s g i v e n 勿 c ( s , t ) = m a x ( s 一 e ,o )( 1 . 5 ) a n d f o r a p u t o p t i o n p ( s , t ) , t h e p a y o ff a t e x p i ry i s p ( s , t ) 一 m a x ( e 一 s ,0 ) a l t h o u g h c al l a n d p u t o p t i o n s a r e ( 1 . 6 ) s u p e r f i c i a l l y d i ff e r e n t , i n f a c t t h e y c a n b e c o m b i n e d i n s u c h a w a y t h a t t h e y a r e p e r f e c t l y c o r r e l a t e d . t h i s i s d e m o n s t r a t e d b y t h e f o l l o w in g a r g u m e n t s u p p o s e w e h a v e l o n g o n e a s s e t , l o n g o n e p u t a n d s h o r t o n e c al l . t h e c a l l a n d t h e p u t b o t h h a v e t h e s a m e e x p i ry d a t e , t , a n d t h e s a m e e x e r c i s e p r i c e , e . d e n o t e b y r t h e v al u e o f t h i s p o r tf o l i o . we t h u s h a v e r i =s+ p一 c, w h e r e p a n d c a r e t h e v a l u e s o f t h e p u t a n d t h e c a l l r e s p e c t i v e l y . t h e p a y o ff f o r t h i s p o r t f o l i o a t e x p iry i s s + m a x ( e 一 s ,0 ) 一 m a x (s 一 e ,o ) . t h i s c a n b e r e wr i tt e n a s s + ( e 一 s ) 一 0 = e i f s _ e . wh e t h e r s i s g r e a t e r o r l e s s t h a n e a t e x p i ry , t h e p a y o f f i s a l w a y s t h e s a m e , n a m e l y e. n o w w e a tt e m p t t o f i n d o u t h o w m u c h w e w o u l d p a y f o r a p o r t f o l i o t h a t g i v e s a g u a r a n t e e d e a t