（应用数学专业论文）亚式期权定价研究.pdf

北方工业人学硕士学位论文 摘要 随着金融市场的不断发展，期权作为一种最基本的金融衍生工具，起着越来越重要 的作用。近年来，国际金融衍生市场除交易广为熟悉的欧式、美式等标准期权之外，还 涌现出大量由标准期权变化、组合、派生出的新品种，亚式期权就是其中的一种。期权 定价是人们关注的热点问题，尤其是对于定价比较复杂的亚式期权，定价研究具有十分 重要的意义。 本文主要是提出了一种新型三叉树方法研究亚式期权的数值解，全文分五章。 第一章介绍期权基本知识，包括期权的概念，分类，作用，价格，影响因素，发展 历史等。 第二章介绍b s 定价模型、b s 定价模型扩展及修正和其它一些定价方法。 在b s 定价模型和二叉树模型的基础上，利用原点矩和中心矩的关系提出新型三叉树模 型定价公式，该模型克服了原有二叉树模型的缺陷，并证明了该三叉树模型定价公式与 b s 模型定价公式的关系，并用具体例子欧式和美式期权对该定价模型进行验证。 第三章采用上述新型三叉树模型对欧式和美式几何平均亚式期权进行求解，从而解 决了因亚式期权本身固有的复杂性而带来的计算上的困难，并举例验证了该方法的有效 性和收敛性。 第四章重点讨论亚式期权在债券合约中的应用，举例进一步验证已有结论。 关键词：期权，亚式期权，b s 模型，二叉树，三叉树 北方工业大学硕士学位论文 s t l l d yo na 5 i a no p t i o np r i c i n g a b s 仃a c t w i t ht l l eg r a d u a jd e v e l 叩m e n to ff i i l 卸c i a lm 砌毗o p t i o i l s 弱t l l em o s tb a s i cd e d v a 曲e s e 训t i e sp l a ym o r e 锄dm o r ei i i l p o r t a i l tr o l e i i lt l l er e c 锄ty e a l l s ，i i l t e m a t i o n a l 血m c i a l d e r i v a t i v em a r k e t1 1 0 to i 埘t r a d ee u r o p e a na n da m 面c a i ls t a n 枷o p t i o l l sw l l i c ha r ef a m i 缸 w i t l lp e o p l e ，b u ta l s 0a p p e a raq u 柚t i t i e so fn e wk i i l d sw l l i c ha r ec h 锄g e d 、c o m b i i l e d 自0 mt l l e s t 柚捌o p t i o i l s ，o n e0 ft l l e mi sa s i a no p t i o n t h e r c f b r e ，o p t i o i l sp d c i i l gi sp o p u l 缸i s s u e ， p a n i c u l a r l yt oc o m p l i c a t e da s i a no p t i o n ，i t sp r i d n gh 蕊av e 巧i i l l p o r t a n ts i g 脚c 锄c c n et e x tp 吣f o n a r dai l e wt 血o m i a l 骶em o d e lt os t u d yt l l es o l u t i o no f 赴i 卸o p t i o n t h e t c x t i l s i s t so f5c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei i l t r o d u c et l l eb a s i co p t i o nt 1 1 e o r y ，i l l d u d i i l gc o n c i p t i o 呜d a s s i f i c a t i o 玛 f i l i l c t i o 玛p r i c e ，i i l l p a c t i i l gf a c t o r ，l l i s t o 巧a n ds 0o n h lc h a p t e r2 ，w ei i 啪d u c eb - s 州c i n gm o d e l 、e x p a j l d i l l g 柚dr e v i s ：i i l go fb - s 叫d n g m o d e l 锄ds o m en 啪e r i 踟m e t h o d s o i lm eb 弱i so f b - sm o d e la i l dan e w t y p eo f b i n 伽i a l 雠e m o d d ，an e wt y p e 缸1 0 m i a l 仃优i s i l s t m c t e db ym e 柚0 fc 0 i l i l e c t i o n0 f0 r i g i l lm o m e n t 卸d c c n 缸a lm o m e n t t h en e wt y i ) e 血o m j a l 仃e em o d e l0 v e 瑚m e st l l ed e f & ：t so ft l l eb i i l o m i a l 仃c e m o d e l ni sp r o v e dt l l a tt i l ee q u a t i o no fo p t i o nv a l u el l i l d e rt r i n o m i a l 峨m o d e l 加db - s e q u a t i o i li sr e l a t i v i t y m e a i l w 蛐e ，it a k ee u r o p e 锄o p t i o n 柚da l e d c a i lo p t i o l lf o re x a m p l et 0 i d e n t i f ) ，t l l et 血o m i a l 缸删c i n gm o d e l i nc h a p t e r3 ，、耽砷础c ct l l ep r i c i i l gf o m u l ao f 州m m e t i ca v e m g ea s i 锄o p t i o n 锄d g e o m e t r i ca v e r a g ea s i 锄o p t i o n 卸dt l l e n 叩p l yt h en e w 曲o m i a l 仃e e 珊0 d e lt oe u r o p e a i l 锄d a m e r i c a i l 目m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n ，w i 血c hn o t0 1 1 l ys o l v e da s i 锄o p t i o ni i l l l e r e n t c o m p l e x i t y 锄dt l l em f 丘c u l t yo fc a l c u l a t i o 玛b u ta l s 0v 耐f i e de f 6 c i e n c y 锄dc o n v e r g e n c e 的m e x 锄p l 髓 hc ：h a p t e r4 ，w ep u te m p h a s i s 加d i s c i l s 血gt l l ea p p l i c a t i o no f 舡i 锄o p t i o ni i lb o n d c o n 删卸di 1 1 d e n t 匆e x i s t e ds o m ec o n c l u s i o n sb ye x 锄p l e s k e ”o r d ：o p 6 0 珊，a s i 舳o p t i 蚰，b - sm o d e l b i n o n l i a l 白【1 睫，t r i n 咖谢t 瞅 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 匕友王些太堂或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名魏珐签字日期确年j 月衫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j 匕虚王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权j 匕友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 靴做储獬：挑 签字日期：斛j 月彤日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 一名：& l 刳 签字日期：d 8 年妨z 妇 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 1引言 1 1 研究背景 随着金融市场的不断发展，期权作为一种最基本的金融衍生工具，起着越来越重 要的作用。所谓金融衍生工具，是一种风险管理工具，它的价值依赖于其它更基本的原 生资产的价格变化。这里所依据的资产是指货币、债券、股票、汇率等基本金融工具。 这种派生交易合约是通过对传统金融工具的组合，并嵌入到其他的金融工具之中，演化 出了各种复杂的金融工具。特别是过去1 0 多年，国际金融市场上金融衍生工具种类层出 不穷。金融衍生工具具有以下几个显著特征：( 1 ) 创新品种随着国际经济金融环境变化而 变化；( 2 ) 交易量巨大，发展迅速，但交易风险呈上升趋势；( 3 ) 商品化、标准化趋势明 显；( 4 ) 由于高杠杆率，越来越多的衍生合约交易需求呈现投机倾向。金融衍生工具不仅 增加了金融产品的品种范围，而且发展了认识、估量和管理金融风险的更为精确的方 法。常见的金融衍生工具有：远期合同( 】阳n a r dc o n 乜砸s ) 、期货阿t l 鹏s ) 、期权( 0 l p t i o i l s ) 和互换( s w a p s ) 等【1 。3 】。在衍生工具的定价中，期权是比较重要的一种，它于1 9 7 3 年首次 在有组织的交易所内进行交易，此后期权市场迅猛发展。目前，世界各地的不同交易所 都有期权交易。期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、债券、商品和期货合约 等，为了对这些标的资产进行风险管理，人们相应的就设置出了股票期权、债券期权、 货币期权和商品期权等。所谓期权是一种选择权，投资者在支付了一定金额的权利金后 就拥有在预先规定的时间或该时间之前按预先规定的价格购买或出售一定数量标的资产 的权力，预先规定的时间称为期权的到期日，预先规定的价格称为期权的执行价格，支 付的权利金即为期权价格。 1 1 1 对于标准期权按照不同的分类方法划分如下： 期权按照合约中购入或销售标的资产来划分： 看涨期权( c a l lo p t i o n ) 是一张在确定的时间，按确定价格有权购入一定数量和质量 的标的资产的合约。看跌期权( p u to p t i o n ) 是一张在确定的时间，按确定价格有权销售 一定数量和质量的标的资产的合约。 设k 是执行价格，z 是到期日，s ，是表示标的资产在到期日f z 的价格，则在到 期日期权的收益( 期权的价值) 阼： kt ( s ，一k ) + ( 看涨期权) 北方工业大学硕士学位论文 咋= ( k s 丁) + ( 看跌期权) 看涨期权 略 j r f 看跌期权 期权按照合约中有关实施的条款来划分： 欧式期权( e u m p e 柚o p t i i m s ) 只能在合约规定的到期日实施。 美式期权( a m e r i c a i lo p 曲i l s ) 能在合约规定的到期日以前( 包括到期日) 任何一个 工作日实施。 在交易所中交易的大多数为美式期权，但是欧式期权比美式期权更容易分析，并且 美式期权的一些性质都是以欧式期权为起点的。但是，美式期权在权利行使日期上比欧 式期权更具有弹性，一般情况下，美式期权的价格要比欧式期权贵一些。 期权按照交割的标的资产划分： 按照交割的标的资产分为期货期权、外汇期权、指数期权和利率期权等。 期货期权：是指以商品期货合约为标的资产的期权形式，在实际交割时并不是期货 合约所代表的商品，而是期货合约本身。 外汇期权：是指以外汇为标的资产的期权形式。 指数期权：是指以股票指数为标的资产的期权形式，但到期日不进行实物交割，而 是直接用现金结算。 利率期权：是指以国库券等债券作为标的资产的期权形式，这类债券主要有国库 券、政府债券、大额可转让订单等。 1 1 2 期权的基本作用 期权的基本作用可归结为投机和保值r 7 1 。所谓投机，如某人认为某只股票会上涨， 可以先购买该股票，如果该股票果然上涨，他就可以从中获利，如果股票下跌，他就遭 受损失，这就是一种投机行为。但如果他在认为股价会上涨时，是以低得多的价格买的 - 2 北方工业人学硕士学位论文 该股票的看涨期权，处于多头位置，如果股价果然上涨，他获取的利益要大的多，即使 股票下跌，他的损失最多是期权费，并不大。相反，如果认为股价会下跌，可以购买看 跌期权，即所谓的做空，也可以达到投机的目的。但期权更重要的作用是保值，所谓保 值就是让某人的资产不受价格变化的影响，可以通过基础资产和期权的组合以减少风 险，使得自己的财富处于无风险状态。如果一个人能够以比期权实际价格大的价格卖出 期权，而又能在期权的剩余时间里通过保值将风险转移出去，他就能获取有保证的无风 险利率。 1 1 3 期权价格 期权价格由内涵价值和时间价值两部分构成。期权的全部价值为内涵价值和时间价 值的和。 内涵价值( i n 缸塔i cv a l u e ) 是零和立即执行期权合约时所具有的价值这两者之中的 最大值。 期权分为实值期权、平值期权、虚值期权。实值期权是指如果期权立即执行，持有 者拥有正的现金流，平值期权是指如果期权立即执行，持有者拥有的现金流为零，虚值 期权是指如果期权立即执行，持有者拥有负的现金流。 设执行价格为k ，股票价格为s ，对于看涨期权存在如下关系： s ks = ks 厂( s ，f ) ；= 二一j 。v 7 ：。二：二。- 二 lc l n s p 矽f 几何平均 一 以 【l n s ( f ) 儿伺半均 将， ，f ) 代入( 3 1 ) 式得到亚式期权的定价模型： 算术平均亚式期权的定价模型：在定解区 0ss ，os ， ，os fs n 上，求解 定解问题： 业+ s 坐+ 立s z 蜂+ 心业一，y ，o 一2 2 北方工业大学硕士学位论文 y ，丁) ； ( 事一k ) + 具固定敲定价格看涨期权 ( k 一手) + 具固定敲定价格看跌期权 一事) + 具浮动敲定价格看涨期权 ( ；一s ) + 具浮动敲定价格看跌期权 几何平均亚式期权的定价模型：在定解区 0ss ，os ， ，osf 墨日上，求解 定解问题： 坐“s 坐+ s z 氅+ 心里一，y ：o a ta i2a s 。a s y ( 5 ，丁) = 三 忙r k ) + 具固定敲定价格看涨期权 三 僻一p r ) + 具固定敲定价格看跌期权 ， ( s p 亍) +具浮动敲定价格看涨期权 三 0 r s ) + 具浮动敲定价格看跌期权 3 2 算术平均亚式期权定价 通过引入适当的组合自变量，亚式期权的定价问题都可以转化为一维问题，而且 几何平均亚式期权的定价可以得到解析解。由于算术平均亚式期权满足分布的特殊 性，所以它的定价问题未找到满意的解析解，但是人们提出了许多实际的近似方法。 各有利弊最常见的有三种：( 1 ) 假设算术平均价格也服从对数正态分布，因此可以套用 上述的几何平均期权定价公式。但是，有关研究表明【删，这种近似计算将低估算术平 均价格买权的价值，同时高估算数平均价格卖权的价值。( 2 ) 直接用b s 模型对算术平 均亚式期权进行定价【2 9 1 ，这种近似方法的精确度与已经开始的平均期长度有关。平均期 开始的时间越长，所计算出的标的资产价格平均就越能代表整个平均期内的平均价 格，用b s 模型得到的结果就越精确。( 3 ) t l 衄b u 和w a l ( e m a n i 则用调整后的仃2 ，6 以 及其他参数( ，丁一f 和算术平均价格) 代入b s 模型，也可以得到算术平均亚式期权的 价格。接下来我们看一下通过适当变换得到的算术平均亚式期权定价公式【7 】。在连续 算术平均的情况下，亚式期权的价值决定于s ，f 三个因素，通过适当的相似变换， 一2 3 北方工业大学硕士学位论文 可以将算术平均亚式期权由三维变量减为二维变量。令尺专j ：s p y 可，利用变量分 离法，假定：y p ，尺，f ) ；舛职，f ) ，尺= ，s 并代入方程 坐+ s 坐+ s ：芝+ 心里一，y ；o+ j + 5 。_ + 玲一，y = u a ta i1 z8 s a s 则得到h 满足以下方程： 警+ 譬r 2 豢+ o 一旭，豢= o 以2 a 尺2 、 a 尺 如果是美式亚式期权，只需要将”= ”改为”墨”号。下面我们求一下欧式算术平均执 行价格看涨和看跌期权定价公式。 欧式算术平均执行价格看涨和看跌期权的支付函数分别为： m a x 岱一知s 矽z ，o ) 和m a x ( ；r s p 矽f s ，o ) 则到期执行的支付函数为： s m a x ( 1 一只丁，o ) 和s m a x 俾丁一l 0 ) 由嬲2 肛眺+ 刎w o ) 和尺2 砉j ：s 矽百可得： 积；一捌w + ( 1 一( 仃2 一) 尺) d t 再结合边值条件： h ( o o ，f ) 一0 ，尺 ( 3 2 ) 塑+ 塑。o ，r _ o( 3 3 ) 砸d r 结合上述条件日满足的方程可以求解。 接下来，我们构造一个欧式平均执行价格看涨期权的多头和一个欧式平均执行价格 看跌期权空头的期权组合。该组合在到期日的支付函数为： s m a x ( 1 一尺丁，0 ) 一sm a x ( r z l 0 ) 恒等于s r s 丁 也就是说，这一组合的价值等于一个基础资产的价值s 和一个金融产品的价值 一r s | to 为找到这一产品的价值，利用上述满足的条件可假设h 的解为： 日( 尺，f ) = 口o ) + 6 0 ) 尺且口( r ) = 0 ，6 ( 丁) ；一1 r ( 3 4 ) 把( 3 4 ) 代入日满足的方程及终边值条件( 3 2 ) 和( 3 3 ) 式可以得到： - 2 4 - 北方工业大学硕士学位论文 删= 砉m - 1 ) 一；p - ，( ) 矿叫砉一1 ) 一手e - ，( 根据看涨和看跌期权的平价关系可以求得看跌期权定价公式： p ；y s 叫砉( e - ，( n ) 一1 ) + ；p - ，( r _ r 上d f 其中分别y ，尸为算术平均执行价格亚式期权看涨和看跌期权的价值。 3 3 几何平均亚式期权定价 对满足几何布朗运动的欧式几何平均价格亚式看涨期权，我们通过以下步骤可以得 到它的解析解： ( 1 ) 将欧式几何平均价格亚式期权到期日的支付函数中的两个变量化为一个变量即： 矿岱，丁) = q ( ，) ( 2 ) 对于前面己给出的模型：詈地s 詈+ 譬s 2 等+ 心尝一，y oc l rc zd 6 一d j 再结合支付函数仅为，的函数，可以找到上式形如c ，f ) 形式的解。其中： ，+ ( 丁一f ) l ns 工= 1 一 z ( 3 ) 将x 代入后化简得到： 鲁+ 丢c 竿，2 等小一却c 孚，善一r c = o秕2 、丁7 缸2 、 2一丁7 缸 这是一个抛物型偏微分方程，结合初边值条件可以求出显示解。 从上述模型可以看出表达形式和b _ s 模型基本相似，因此我们可以通过对比b _ s 模 型方法适当的做一些替代去求解。 三 ( 1 ) 让标准期权的b s 方程具有和亚式期权一样的支付函数，即用e r 代替s ，边值 三 条件用m a x r e ，o ) 代替m a x 一e ，o ) ，用屹代替期权的值。 ( 2 ) 将下式代替仃2 。 毛亡0 2 挚t ( 3 ) 将下式代替，。 2 5 北方工业大学硕士学位论文 匀卜争f ( 4 ) 将最终结果乘以下式。 e x p ( 0 ( ，- 竿( ，_ 譬m 当为，口为常数时上式变为 e x p ( 一昙( 仃2 + ( ，一譬) ( 丁+ f ) ( 丁一f ) ) ( 5 ) 用下式替代s 。 三l 业 e ts t 对于几何平均亚式期权再采用一种离散的方法一新型三叉树方法去求数值解。考虑 一个不支付股息的几何平均亚式期权的估值，将期权有效期分为疗个时间间隔为缸的时 间段。“，优，d 分别表示标的资产上乘，中间，下降乘子，a ，p ：，岛分别表示标的资产上 乘，中间，下降的概率。设当前f ；0 时刻标的资产的价格为s ，则址时刻，标的资产的 价格有三种可能：心，m s ，豳。在2 址时刻，标的资产的价格有六种可能分别为： 砌2 ，勋历，删，锄2 ，。锄d ，尉2 。则甩出时刻，标的资产价格为： 瓯j ，z 鼬1 历d 1 一f = o ，1 ，七；| = 0 ，l ，七；0sf + s 七；七= 1 ，2 ，咒 由于几何平均亚式期权标的资产的几何平均为：g 醒一( s 。s ：s 。) “。如果节点x 的股票价格是跏臃d 州，那么对于几何平均亚式期权到达节点x 的最大平均值g 一 和最小平均值g 曲分别为： g m p 木甄幸木瓤宰鼬朋水砌所2 掌宰勋肌7 宰鼬胁d 木砌聊d 2 幸木鼬m7 d 4 一一7 ) 棚 g f - i i a 一 木尉幸木尉木驻历书跗朋2 宰宰黝m 宰黝柳7 “宰跏，l h2 宰宰鼬m7 “州一) 州 ( f = 0 ，1 ，靠；j = 0 ，1 ，力；0sf + j s 玎) 对于几何亚式看涨期权其边界条件为： m a x ( g 眦一，0 ) 对于几何亚式看跌期权其边界条件为： m a ) ( 但一g t i l i 。，0 ) 接下来利用前面提到的新型三叉树定价模型的参数进行求解即： - 2 6 - 北方工业大学硕士学位论文 p 1 = 1 6 p2 = 2 3 p3 1 6 “：口+ 口西 ，咒；口；p 一7 & d ；口一仃西 结合三叉树的求解公式： p i j ，j 2 e ”血0 1 p “1 + 1 ，+ p 2 p “1 ，+ 1 + p 3 p t + u ，j ) 其中f = 0 ，l 2 ，七；_ = o ，l 2 ，七；0sf + s 七；os 七s 珂一1 。 由以上条件就可以求得几何平均亚式期权的值。 例1 ：欧式几何平均亚式看跌期权 假设这种期权是不支付股票红利且为欧式看跌期权。其中股票的初始价格为 s = 1 0 ，k 一1 0 ，期权的有效期为3 个月，6 个月，9 个月，1 2 个月，无风险利率r 一0 1 5 ， 波动率为仃= 0 3 。下表给出了取不同时间步长出= z ，l ，利用上述参数及模型得到的 结果。 表3 1 新型三叉树下欧式几何平均价格亚式看跌期权 t 挖= 3 0，l = 5 0甩t7 0疗= 9 0刀= 1 1 0，l = 1 3 0 38 6 6 8 7 68 6 6 8 7 68 6 6 8 7 78 6 6 8 7 78 6 6 8 7 88 6 6 8 7 8 68 3 4 9 78 3 4 9 7 18 3 4 9 7 18 3 4 9 7 18 3 4 9 7 2 8 3 4 9 7 3 98 0 4 2 3 88 0 4 2 3 98 0 4 2 3 98 0 4 2 48 0 4 2 48 0 4 2 4 1 27 7 4 6 3 87 7 4 6 3 87 7 4 6 3 97 7 4 6 3 97 7 4 6 47 7 4 6 4 从以上表格可以看出，通过用新型三叉树方法对欧式几何平均亚式看跌期权进行 定价得到了较好的结果，随着咒的增大，新型三叉树的计算结果是高度收敛的，且趋 于稳定。 例2 ：美式几何平均亚式看跌期权 假设这种期权是不支付股票红利且为美式看跌期权。其中股票的初始价格为 s = 1 0 ，执行价格k = 8 ，期权的有效期为3 个月，6 个月，9 个月，1 2 个月，无风险利 率厂= o 1 ，波动率为仃= 0 2 。下表给出了取不同时间步长4 = r ，利用上述参数及 模型得到的结果。 一2 7 北方工业大学硕士学位论文 表3 2 新型三叉树下美式几何平均价格亚式看跌期权 t甩= 5 0 n = 7 0 玎= 9 0咒= 1 1 0甩= 1 3 0，l = 1 5 0 36 8 3 0 5 96 8 2 9 6 26 8 2 9 0 86 8 2 8 7 46 8 2 8 5 46 8 2 8 3 4 66 6 6 5 2 8 6 6 6 3 3 86 6 6 2 3 26 6 6 1 6 56 6 6 1 1 96 6 6 0 8 6 96 5 0 3 9 66 5 0 1 1 86 4 9 9 6 46 4 9 8 6 56 4 9 7 9 8 6 4 9 7 4 8 1 2 6 3 4 6 5 5 6 3 4 2 9 36 3 4 0 9 26 3 3 9 6 46 3 3 8 7 66 3 3 8 1 1 从以上表格可以看出，通过用新型三叉树方法对美式几何平均亚式看跌期权进行 定价得到了较好的结果，随着珂的增大，新型三叉树的计算结果是高度收敛的，且趋 于稳定收敛于小数点后两位数。 3 4 小结 本章介绍算术平均和几何平均亚式期权定价公式，将上述新型三叉树模型对欧式和美 式几何平均亚式期权进行求解，从而解决了因亚式期权本身固有的复杂性而带来的计算 上的困难，并举例验证了该方法的有效性和收敛性。 一2 8 - 北方工业大学硕士学位论文 4 亚式期权的应用 亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权，其特点在于其价格并 不依赖于标的资产在期权到期日的价格大小，而是与期权在整个生命周期的平均价格有 关，而平均价格和标的资产所走的路径有关。因此，亚式期权不能像常规期权一样用 b s 公式去求解，只能用类似于前面提到的数值方法或近似公式去求解。下面我们介绍 一下亚式期权定价的若干方法及其在期股激励中的应用，并将亚式期权应用到债券合约 中，通过具体实例说明它的优越性。 4 1 亚式期权定价的若干方法 目前比较成熟的亚式期权定价方法有以下几种【3 1 】：( 1 ) m o n t ec a l l o 模拟( 2 ) 几何平 均近似法( 3 ) 二阶矩近似法( 4 ) 偏微分方程法( 5 ) 条件期望下限法等等。它们适用范围不 同，各有利弊。下面我们详细介绍一下：几何平均近似法、二阶矩近似法、偏微分方程 法。 4 1 1 几何平均近似法 v 删引入新的变量： 1 仃) ；e 。m a x ( g 仃) 一k ，0 ) 其中g 叮) = ( 兀s ( 1 ) ) 榭，用几何平均g 仃) 来近似 l - l 代替算术平均彳( t ) 。几何平均期权价格是对数正态分布的，可以解析地表达。缈仃) 有 以下特性： ( a ) 形仃) 与s ( 1 ) 相关； ( b ) 缈口) 是期权价格的较好近似； ( c ) 形仃) 的期望值e ( 形仃) ) 易于解析地表达。 、b r s t 分三步计算算术平均期权的近似解析解： ( a 1 ) 用m o n t ec 柚。模拟估算出几何平均期权和算术平均期权的价格； ( a 2 ) 求出几何平均期权的模拟价格与解析计算价格的差额； ( a 3 ) 根据差额调整算术平均期权的m o n t ec a u r l o 模拟值。 此方法的缺点是系统得高估看跌期权，致使信号错误，而导致动态套期保值无效。 4 1 2 二阶矩近似法 2 9 - 北方工业大学硕士学位论文 算术平均亚式期权没有解析定价公式，因为一系列对数正态分布没有可解析处理的 特性，我们采用近似解析方法。它包括精确地计算算术平均亚式期权的概率分布的头两 项，然后再假定算术平均的分布是具有相同头两项的对数正态分布。定义如下： m ：盟 1 ，( 丁一f ) m 2t 瓦了而i 孬矿万+击r 高一等， 在时期r 内，在0 时刻开始观祭算术半均的第一i 贞和第二i 贞是跗。和s 2 m ：，1 段定 该算术平均亚式期权的分布与某对数正态分布的前两阶矩相同，将其看作一个具有红利 率为吼，标准差为吼的常规期权。 其中 e 7 一“一m l ， 砂一劬) + 一= m 2 嘴： ”卜半咖半- 2 ( 爿) 由此可以得到算术平均亚式期权定价公式： 巳= & 嘞卜 一1 ) 一膨”r 一2 ) 其中“；型鼍差掣型 d 4 l f “：型鼍亲善型呐。一厉 d 爿22 z i = i 。2 l 一2 口彳1 一4 l f o l l t 4 1 3 偏微分方程法 r o g e r s 和s l l i 根据比例缩放的性质，将亚式期权的价格计算简化为解一个二元抛物 线偏微分方程( p d e ) 。对于约定执行价格为k ，期限为t ，结算期为【f ，丁】( 0 f 丁) 的亚式期权价格为： e 。r ，? p ( s d x 弦伊( f ，七z ) 其中 伊+ ，9 + 三口z 亭z 妒。一( 岛+ ，亭) 驴：。，皇：竺三_ 二毛手! 竺兰竺 - 3 0 - 北方工业大学硕士学位论文 概率度量值的密度分布为肛，且在区间【f ，丁】( 0 f r ) 上为均匀分布。根据上述 方程可以求得函数妒o ，) ，从而计算出期权价格。 4 2 亚式期权应用综述 亚式期权的结算价格是由一段时间内的平均价格决定的，比常规期权难以操纵。正 是由于他的特殊性，它被广泛应用于各部门，以国际贸易部门为例，如：一个在本国公 司进口外国厂商生产的产品，货款用外国货币结算，但产品在本国销售，取得的是本国 货币，如果本国公司每月向外国公司支付外币，而本国公司每年结算一次企业的损失。 因此，本国公司面临一个汇率变动带来的风险。为此，可采取两种措施： ( a ) 按每月支付货款额，买1 2 张期权锁定汇率。 ( b ) 按一年应付的总金额，买一张一年到期的算术平均亚式期权，锁定汇率。 通过具体实例比较可知，这两个方案都能达到预期目的，但花的代价不同，方案( b ) 比 方案( a ) 要节省一部分期权金，充分说明了亚式期权在外汇套期保值中的益处【2 7 1 。 此外，亚式期权已被成功应用于期股激励制度，并得出如下一些有效的结论【3 2 】。 ( 1 ) 采用亚式期权作为经理股票期权报酬机制有利于增强经理努力工作提供股票价格 的激励。这是因为用“平均价格 代替“时点价格 削弱了市场噪音对股票价格的影 响，具有相对稳定性，能够给经理带来稳定收益。 ( 2 ) 亚式期权的引入有利于抑制经理的冒险行为，亚式期权( 几何) 的“波动效应” 是标准期权的1 3 。 ( 3 ) 延长期权期限，亚式期权的引入有利于抑制经理的操纵行为，也可能降低对经理 的激励的作用。 4 3 亚式期权在债券合约中的应用 在债券市场中引入亚式期权定价条款可以增加债券持有者分配公司利润的合理性。 若标准欧式期权的标的债券的价格在期权到期前一直很低，而在到期日突然很高，公司 将无法拿出足够的收益向期权所有者支付大量的现金。在这种情况下，用亚式期权可以 保证公司所支付的平均价格低于最低价格，以减少现金支付量。 为了利用b l a c k s c h o l e s 期权定价模型计算债券合约的价值我们做以下假设： ( 1 ) 债券合约是一种欧式期权； ( 2 ) 没有交易费用和税收； ( 3 ) 在债券有效期内没有红利支付； 一3 1 北方工业大学硕士学位论文 ( 5 ) 无风险利率，为常数； ( 6 ) 债券价格遵从几何布朗运动； ( 7 ) 债券交易是连续的，允许使用全部所得卖空债券。 基于以上假设我们设初始f = 0 时的债券价格为s ，无风险利率为，到期日为r ， 执行价格为k ，债券价格波动率为仃，则根据b s 期权定价模型可得债券合约看涨期权 的价值为： c - s ：( d 1 ) 一五一7 r 可( d 2 ) 其中小竺翌型 如型竺! 二! 掣坠生d ，一仃再 口，昌7 = = 三：一= 一= 口1 一仃吖一f ) 为标准正态分布变量的累积概率分布函数。 因此，我们可以得到了欧式看涨债券期权的价格公式。 接下来我们将亚式期权引入债券合约定价中，分两种情况讨论其定价公式。 ( 1 ) 若是几何平均价格亚式期权，标的债券期权价格s 服从对数正态分布，且s 删是 s 的几何平均值。因为一系列对数正态分布的变量的几何平均仍是对数正态分布，在风 险中性世界中，一定时期的几何平均数的概率分布仍等于该时期末某个债券的概率分 布，此债券期权的预期增长率为吾( ，一口一仃么) ，标准差为；，红利率为 吾( r + g + 盯名) 。因此几何平均亚式期权可按一种常规期权来处理，即吼= 盯；。由 此，可得几何平均价格亚式期权定价公式如下： c ；& 一；州+ 口么 ) 一救- ，( r 卅 2 爿) ，1 n ( 洲) “三( 一仃名) 一么 i f ) 九。i 万亍一 屯：竺型迁霉丝丝型吨呜厉 d z 一2 l ：乏- = 7 1 手鼍三_ i d u 一仃一丁一 一3 2 - 北方工业大学硕士学位论文 最后我们结合一个具体例子来求一下标的资产是欧式债券看涨期权的价值。 考虑一个1 年到期标的欧式债券看涨期权，债券现价为$ 4 0 ，执行价格为$ 4 0 ，无 风险利率为0 1 ，波动率为o 3 。即s 一$ 4 0 ，k = $ 4 0 ，= 0 1 ，盯= o 3 ，f = 1 我们分三种情况计算以上债券期权的价格 若债券期权是标准欧式看涨期权： 由公式c = 州 1 ) 一救”卜 2 ) d ，；! ! ! 兰! 茎! 二尘；= 兰丝! 竖二! ! ；o 4 8 3 3 3 3 “，昌7 = = = ：_ 一兽u 叶o j j j j 如! 型竺：! 譬幽。d ，一口再- 0 1 8 3 3 3 3 口，= 芦= = = 一l “1 一u 上一兰u 上o j j j j 。) 一o 6 8 4 4 ， 2 ) 一o 5 7 1 4 c ；4 0 奉0 6 8 4 4 4 0 宰p o 1 木0 5 7 1 4 ：6 7 0 若将几何平均价格亚式期权引入债券合约中。由以下公式可得 c ；& 一i 7 + 9 + 4 么 ) 一- ，( r - r 纠) 叱。竺型迁! 二丝竺丝坠! 。3 3 研6 d u 。竺：_ = 7 1 手= = i 一2 o 3 31 9 7 6 屯；竺粤鬟塑 1 ) 一0 6 2 9 3 ，( d 2 ) 一0 5 6 3 6 一d 一仃爿亍_ = 了= o 1 5 8 7 7 1 c ：4 0 木e 一了宰0 6 2 9 3 4 0 乖e o 1 謇0 5 6 3 6 。3 3 7 若将算术平均价格亚式期权引入债券合约中。由以下公式可得 m l = 1 0 5 1 7 1 ，m 2 = 1 1 4 0 9 0 1 吼，一半| 0 0 4 9 5 8 3 j ：半一2 ( r 一吼) ；o 4 3 0 9 8 3 ，则吼：o 1 7 6 0 2 。 c 一& 劬 ) 一。卜 2 4 ) - 3 3 北方工业大学硕士学位论文 九；竺竺生：二垡么坠4 4 4 2 九= t 再i l 却3 7 4 4 4 2 屯；竺竺毒篓塑竺吨呜厉。螂4 4 2 d ：_ 2 生：z - 了亍乏i 二；d u 一仃丁一= o 1 9 8 4 4 2 ( d l 一) 一0 6 4 4 3 ， 2 ) 一0 5 7 9 3 c ；4 0 丰p - 0 0 4 9 5 8 3 幸0 6 4 4 3 4 0 木e - 0 1 宰0 5 7 9 3 。3 5 6 从上面计算结果可以看出： ( a ) 不论是几何平均价格亚式期权还是算术平均价格亚式期权都比标准期权便 宜。 ( b ) 几何平均价格亚式期权比算术平均价格亚式期权便宜。 理由如下：由于标的资产价格在一段时间内的平均值的波动率比特定时间价格 的变动副度小，所以减小了期权风险并降低了其时间价值，导致亚期权的价格 低于标准期权，又由于( 丌s ) ) “s 三s 也) 成立，从而说明上面的计算结果是 一 几1 0 1 合理的。 4 4 小结 本章主要对亚式期权的应用进行研究，简要介绍它在金融市场上的重要作用，重点讨 论了它在债券合约中的应用。通过具体例子进一步验证以下结论，并通过合理的理论给与 说明。 ( a ) 不论是几何平均价格亚式期权还是算术价格亚式期权都比标准期权便宜。 ( b ) 几何平均价格亚式期权比算术平均价格亚式期权便宜。 - 3 4 北方工业大学硕士学位论文 5 结论 本文研究了亚式期权的定价问题，主要结论如下： 1 在b s 定价模型和二叉树模型的基础上，利用原点矩和中心矩的关系得出新型三 叉树模型定价公式，并证明该三叉树模型定价公式是b s 定价公式在& 上的一阶近似， 用具体例子证明了该定价模型对于欧式期权收敛于b s 计算的真实值，对于美式期权计算 结果比二叉树稳定且收敛速度比二叉树快，计算精度高。 2 将新型三叉树模型对欧式和美式几何平均亚式期权进行求解，解决了因亚式期权 本身固有的复杂性而带来的计算上的困难，并举例验证了该方法的有效性和收敛性。 3 重点讨论亚式期权在债券合约中的应用。通过具体例子进一步验证。 ( a ) 不论是几何平均价格亚式期权还是算术价格亚式期权都比标准期权便宜。 ( b ) 几何平均价格亚式期权比算术平均价格亚式期权便宜。 在本文中，我们只将该新型三叉树模型应用于亚式期权，一些问题有待于进一步的 研究诸如： ( 1 ) 对于亚式期权，将新型三叉树模型应用到股票价格比较复杂的过程，如有交易费 用、随机波动率模型等。 ( 2 ) 将新型三叉树模型应用到其它路径依赖型期权( 回望期权、障碍期权等) 。 3 5 北方工业大学硕士学位论文 【1 】 【2 】 【3 】 【4 】 嘲 网 【刀 嗍 【9 】 o 】 【1 1 】 【1 2 】 【1 4 】 【1 5 】 【1 6 】 【1 刀 【1 8 】 参考文献 j o l l i lch u u 期权、期货和其它衍生产品张陶伟译北京：华夏出版社，2 0 0 0 茅宁期权分析一一理论与应用南京：南京大学出版社，2 0 0 0 g a l i t z ，l 编著金融工程学，唐旭译北京：经济科学出版社，1 9 9 8 m a r s h a l l ，j f ，b a i l s a l l ，v k 金融工程，宋逢明等译北京：清华大学出版，1 9 9 8 b l a c kf ，s c h o l e sm t h ep d c i l l g0 fo p t i 0 璐锄d0 0 r i ) 0 r a t el j a b i l i t i e s 【j 】j o 啪a l0 f p o l i t i c a le c o n o m y ，1 9 7 3 ，8 1 ( 3 ) ：6 3 7 - 6 5 9 瞿卫东，金融工程核心工具一期权上海：文汇出版社，1 9 9 8 陈舜，期权定价理论及应用【m 】北京：中国金融出版社，1 9 9 8 8 m e n o nr c a p p u c a l i o no fo p t i o np r i 血g ：1 n h e o r ) rt w e n t yf i v ey e a r sl a t e r t h e a m e d c 锄e c o n o 血cr e v i e w ，1 9 9 8 8 8 ( 3 ) c 0 xj ，r 麟st h ev 山a t i o n0 fo p t i o i l sf o ra l t e m a t i v es t o d l a s t i cp r o c e s s c s 叨j o 岫a lo f f 协卸c i a le c o n o r n j c s ，1 9 7 6 ，3 ( 2 ) c o xjc ，r 0 s ssa ，r u b i r 眦i l lm o p l i o np r i 血g ：as i l i l p 丘e da p p m a c h 【j 】j o 啪a lo f f 铀锄c i a le c o n o r i l i c s ，1 9 7 9 ，9 ( 7 ) ：2 2 9 - 2 6 3 p p b o y l e o p t i o n s ： am o n t ec a r l o a p p l i c a t i 0 1 1 j o 啪a lo f陆a n c i a l e c o n o 面q 1 9 9 7 ，4 ( 3 ) ：3 2 3 3 3 8 g e r a l dw b u c t o w ，j