（逻辑学专业论文）辛提卡IF一阶逻辑研究.pdf

辛提卡if 一阶逻辑研究 学科专业：逻辑学 指导教师：唐晓嘉 研究方向：现代逻辑 研究生：郭美云( 2 0 0 0 0 0 4 ) 中文摘要 雅各辛提卡( j a a k k oh i n t i k k a1 9 2 9 一) 是当今国际逻辑学界和哲学舞台上极 为活跃和富有影响的著名逻辑学家和哲学家。上世纪9 0 年代他在博弈论语义学 ( g a m e t h e o r e t i c a ls e m a n t i c s ) 的基础上提出并建立了i f 一阶逻辑 ( i n d e p e n d e n c e f r i e n d l y f i r s t o r d e rl o g i c ) ，并宣称它是真正基本的一阶逻辑， 由此将导致逻辑和数学基础研究中的一场杰佛逊意义上的革命j 。本文在古有第一手资 料的基础之上，运用现代逻辑的方法，主要从语形和语义两方面对i f 一阶逻辑进行研 究。 全文共四部分。 第一部分：从对量词的讨论入手，分析了i f 一阶逻辑与经典一阶逻辑在形式上的 区别和联系。 第二部分：介绍了博弈论语义学的哲学背景，并探导了博弈论语义学是如何用于 解释经典一阶逻辑和i f 一阶逻辑的，最后证明了i f 一阶逻辑的不完全性。 第三部分：在前面研究的基础之上，对i f 一阶逻辑展开一些讨论和评价。指出i f 一阶逻辑的真定义依然是二阶定义；i f 一阶逻辑上的有效式只是特定模型上的有效； i f 一阶逻辑无法建构起一个真正的逻辑系统；i f 一阶逻辑不是真正基本的一阶逻辑。 但博弈论语义学可以作为真之条件的语义分析工具，i f 一阶逻辑表达能力大大得到了 增强，并为一阶逻辑和二阶逻辑之间架起了一座桥梁。 第四部分：介绍了i f 一阶逻辑在认知逻辑和数学基础方面的一些作用。i f 一阶逻 辑可用于分析认知逻辑中的w h 一结构和证明选择公理是一有效的逻辑原则。 关键词：辛提卡：i f 一阶逻辑；经典一阶逻辑；博弈论语义学；疆形i 喜：b 。 、。乙、 a s t u d y o nh i n t i k k a si ff i r s t - o r d e r l o g i c m a j o r ：l o g i c s p e c i a l i t y ：m o d e ml o g i c s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rt a n gx i a o j i a a u t h o r ：g u o m e i y u n ( 2 0 0 0 0 0 4 ) ab s t r a c t j a a k k o h i n t i k k a ( 1 9 2 9 - ) ，o n e o f p h i l o s o p h y sp r e e m i n e n tl o g i c i a n s ， p r o p o s e d an e wb a s i cf i r s t - o r d e rl o g i c - - i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l yf i r s t - o r d e r l o g i c ( i ns h o r ti ff i r s t - o r d e rl o g i c ) a f t e rh i sg a m e - t h e o r e t i c a ls e m a n t i c s ( i n s h o r tg t s ) i n19 9 0 s h ea r g u e dt h a tt h ec o n c e p to ft r o t hc a nb ee x p r e s s e do n t h ef i r s t - o r d e rl e v e li nt h es a m e l a n g u a g ea n d i ti st h er e a lb a s i cl o g i cw h i c h w i l l p r e p a r e t h e g r o u n df o r t h en e x tr e v o l u t i o n ( i nj e f f e r s o n sr a t h e rt h a n l e n i n s ) i nt h ef o u n d a t i o no fl o g i ca n dm a t h e m a t i c s o nt h eb a s i so ff i r s t - h a n d d a t a ，t h i sa r t i c l em o s t l ye x p l o r et h ei ff i r s t - o r d e rl o g i cf r o mt h et w oa s p e c t so f s y n t a xa n ds e m a n t i c sw i t ht h em e t h o do f m o d e m l o g i c t h i sp a p e rc o n s i s t so f f o u r p a r t s t h ef i r s tp a r ta n a l y z e st h ed i f f e r e n c e sa n dc o n t a c t so ns y n t a xb e t w e e ni f f i r s t - o r d e r l o g i c a n dc l a s s i cf i r s t - o r d e r l o g i c a f t e rad i s c u s s i o na b o u t q u a n t i f i e r s p a r tt w oa i m st oa n a l y z eh o w t h eg t si su s e dt oe x p l a i nt h ef i r s t _ 。o r d e r l o g i c a t t h es a m et i m e ，t h i sp a r ti n t r o d u c e si t sp h i l o s o p h i c a lb a c k g r o u n da n d d e m o n s t r a t e st h ei n c o m p l e t e n e s st h e o r e m o f i ff i r s t o r d e rl o g i c p a r tt h r e eb a s e do nt h ep r o f o u n da n a l y s i sa b o v e ，i tb r i n g sf o r w a r ds o m e d i s c u s s i o na n da p p r a i s e m e n to nt h ei ff i r s t - o r d e rl o g i c i tp o i n t so u tt h a tt h e t r u t hd e f i n i t i o no fi ff i r s t - o r d e rl o g i ci s s t i l ld e f i n e do nt h es e c o n d - l e v e li n e s s e n c ea n di sd e f i n e do ns i n g l em o d e l ；t h a tt h ei ff i r s t - o r d e rl o g i ci sd e s t i n e d n o tt ob eas y s t e m ；t h a ti ti sn o tt h er e a lb a s i cf i r s t - o r d e rl o g i c h o w e v e r , g t s c a nb eu s e dt o i m p l e m e n t t h et r u t h - c o n d i t i o n a ls e m a n t i c s a n a l y s i s ； i f f i r s t - o r d e rl o g i cl i n k st ot h es e c o n d o r d e rl o g i cl i k eab r i d g e ；t h ee x p r e s s i v e s t r e n g t ho f i ff i r s t - o r d e rl o g i ci si m p r o v e d g r e a t l ya s a c o n s e q u e n c e p a r tf o u ri n t r o d u c e ss o m e u s e so fi ff i r s t - o r d e rl o g i ci ne p i s t e m i cl o g i ca n d i nt h ef o u n d a t i o n so fm a t h e m a t i c s i tc a nd e a l sw i t ht h ed i f f e r e n t w h c o n s t r u c t i o n si ne p i s t e m i cl o g i ca n dv i n d i c a t e sac o n t r o v e r s i a la x i o mi n a x i o m a t i cs e tt h e o r ) 哪ea x i o mo fc h o i c ea sa l o g i c a lr u l e k e yw o r d s ：h i n t i k k a ；i f f i r s t - o r d e r l o g i c ；c l a s s i c f i r s t - o r d e r l o g i c ；g t s ； s y n t a x ；s e m a n t i c s ； 文献综述 雅各辛提卡( j a a k k oh i n t i k k a ，1 9 2 9 ) 是当代著名的旅美芬兰籍逻辑学家和哲学 家，现任美国波士顿大学教授：他曾任或正任美国符号逻辑学会副会长，美国哲学会 太平洋分会会长，国际科学史和科学哲学联合会逻辑、方法论和科学哲学分会会长， 国际哲学学院副主席，世界哲学联合会副会长，以及国际性哲学杂志综合主编， 大型哲学丛书综合文库( 已出版2 7 0 多卷) 主编。他还是1 9 9 8 年在美国波士顿召 开的世界哲学大会组委会两主席之一。辛提卡在众多领域作出了重要贡献，是当今国 际逻辑学和哲学舞台上极为活跃且富有影响力的人物。2 0 0 0 年1 1 月波士顿大学科学 哲学研究中心专门召开了“辛提卡哲学现象”学术研讨会。 辛提卡的研究领域异常广泛，几乎涉及逻辑和哲学的所有领域。他从冯赖特的有 关思想出发，通过量词的层层深入得到了有穷一阶语言的分配范式，使分配范式成为 处理数理逻辑、哲学逻辑和哲学领域中许多不同问题的工具。他又在推广分配范式的 语义基础上发展了模型集( 现被称为“辛提卡集”) 技术，可以用它来证明一阶逻辑的 完全性。模型集还被用于研究模态逻辑，特别是道义逻辑和认知逻辑的语义学，为“克 里普克语义学”( 可能世界语义学) 的发现作出了重要贡献。辛提卡还进一步把分配范 式用于研究归纳逻辑的概率测度问题，提出了归纳方法的二维连续统k 维连续统、归 纳接受理论和归纳语义信息理论。他的一些学生继续和发展了他在归纳逻辑及其延伸 科学哲学方面的工作，形成了所谓的“归纳逻辑的芬兰学派”。在哲学史方面，他 对维特根斯坦、亚里士多德、皮尔士、胡塞尔等人也有着深入的研究。 辛提卡1 9 4 7 年进入芬兰赫尔辛基大学，主修数学。因为从中学起就对哲学非常感 兴趣，也受埃洛凯拉( e i n ok a i l a ) 的影响，决定以哲学作为辅修专业，就选了第二个 专业哲学来学习。在听哲学课的过程中又接触了逻辑，从此与逻辑结下了不解之 缘。在此期间，他听了冯赖特教授的许多课，经常受他指导并与他讨论，从冯赖特那 里，得到了这个领域的绝大多数训练，并激发了自己的独立思想。在冯赖特的指导下， 以有关一阶逻辑中分配范式的论文于1 9 5 3 年获得哲学博士学位。大约从5 0 年代初开 始，他逐渐意识到自己的才能在哲学中比在数学中更有用武之地，“我对数学和逻辑 结构非常着迷，但是当它们在一些具体媒介，比如几何学、物理实在人的行为或人的 意识中体现出来的时候，我处理起来更为得心应手。”【1 1 于是，他逐渐地把研究重心 先是移向逻辑，后则转向哲学。“我的哲学探索所关注的是人的行为和人的思想的结 构以及逻辑、语言与世界的关系。”t 2 1 芬兰哲学研究的特点之一是生动的历史感和对 哲学史以及一般的思想史的极其尊重。辛提卡也不例外，他花了很大精力研究历史。 然而，历史研究与某个专门课题上的建设性工作是相互促进的。新的理论或技术常常 意识到新的方面或新的特征，从而提高历史研究的精确性和质量。另一方面，从历史 研究中的所获得的洞见又反过来启发和促进专门问题上的建设性工作。在7 0 年代中 期，辛提卡开始进入逻辑，语言学和语言哲学之间的无人地带，对逻辑和语言学的语 义学进行新探索，发展出“博弈论语义学”。正是对康德和维特根斯坦的研究中，辛 提卡发展出自己视为在哲学方面主要工作的博弈论语义学。现在博弈论语义学已在逻 辑、哲学特别是语言学领域得到广泛的应用，并成为许多方法论讨论的基础。博弈论 语义学在逻辑方面的扩展和延伸是他创立的i f 一阶逻辑( i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y f i r s t o r d e rl o g i c ) ，并宣称“i f 一阶逻辑将导致逻辑和数学基础研究中的一场杰佛逊意 义上的革命”。 1 9 9 6 年，英国剑桥大学出版社出版了辛提卡的新著数学原理的重新考察。它 在介绍自己的i f 一阶逻辑的同时，挑战了逻辑和数学基础研究领域内许多公认的观念 和结果。他用i f 一阶逻辑证明：可以在一阶水平上表达同一语言中的真概念。所有普 通的数学理论都可以建立在一阶层次上，并且免除了有关集合和高阶实体存在性的所 有那些麻烦问题。认为真正的基本逻辑不是通常认为的一阶逻辑，而是他创立的i f 一 阶逻辑。 国内对于辛提卡的研究比较薄弱，只有西南师范大学唐晓嘉教授系统研究过辛提卡 在认知逻辑和语言博弈论方面的成果。在i f 一阶逻辑方面，自北京大学哲学系陈波教 授1 9 9 9 年介绍进来以后，据笔者所知，国内还没有人对它专门进行研究。而目前关于 数学原理的重新考察在国际性期刊已发表了6 一_ 7 篇评论，肯定的居多，也有评论 对它的许多基本观念提出了不同意见，并指出了其中某些技术性疏漏f 3 】。本文主要从 语形和语义两个方面入手，首先分析了i f 一阶逻辑公式在形式上与经典一阶逻辑公式 的区别和联系，继而考察了博弈论语义是如何用于i f 一阶逻辑的解释，然后在经典一 阶逻辑的基础上对i f 一阶逻辑的语形和语义进行讨论并作出自己的评价，最后探讨了 i f 一阶逻辑在认知逻辑和数学基础方面的一些应用。 2 i f 一阶逻辑的形式化讨论 1 关于量词的讨论 1 1 量词在谓词逻辑中的地位 命题逻辑是研究命题形式与命题形式之间推理关系的逻辑理论。它只分析到简单 命题即原子命题为止，只反映了一部分逻辑规律。有些逻辑规律如果依赖于命题的内 部结构，那么就不能在命题逻辑中得到表示。如以下正确的推理： 所有的偶数都能栊整除 1 0 是偶数 1 0 能被2 整除 就不能在命题逻辑中表示，与此类似的推理的正确性需要通过分析这三个命题的内部 结构才能得到。分析命题内部结构的逻辑形式从而得到的逻辑规律叫做谓词逻辑。 谓词逻辑的中心概念是谓词【4 】。与传统逻辑不同的是，现代谓词逻辑中的谓词不 仅包括表达单个事物性质和类别的谓词，还包括刻画多个事物间关系的关系词。在传 统逻辑中，只讨论如“所有的天鹅是白的”“地球是行星”等诸如此类的主谓旬，其 中“天鹅”和“地球”分别是这两个命题的主词，“白的”和“行星”分别是这两个 命题的谓词。但一些表达事物之间关系的句子，如“张三和李四是兄弟”，“点a 、 b 、c 在同一条直线上”，再用传统逻辑中只表达事物属性的主谓句就不能处理了。现 代谓词逻辑则不同，它把表达事物关系的关系词纳入谓词的范围之后，表达性质或属 性的谓词也成为一种特殊的关系词即一元谓词。用自然数n ( n 1 ) 表示谓词的元数，如 “白的”，是“行星”和“是运动”等就可以用一元谓词来刻画。因此一元谓词就是 原来狭义的谓词。n 元谓词来刻画n 个事物关系的词，如“是兄弟”和“是父亲” 都是二元谓词，“，在同一条直线上”是三元谓词，“和的积等于 和的积”是四元谓词。 现代谓词逻辑虽然把谓词作为自己的中心概念，并且与传统谓词逻辑相比在谓词 的分析上是一大进步。但不能由此认为谓词逻辑就是关于谓词的逻辑。因为现代谓词 逻辑分析命题的一个更重要的方面是分析出量词来。实际上如果谓词逻辑中没有量词， 只有个体词和谓词，则它反映出来的逻辑规律和命题逻辑没有本质的区别。 5 l 因为谓 词又称关系符，是非逻辑词【6 】，即它不是逻辑常项，而我们知道，逻辑是研究逻辑常 项( 如命题联结词和量词) 的逻辑性质的。事实上，在现代逻辑中，谓词逻辑可以看 作是命题逻辑基础上的量化扩张。因此，只有有了量词以后，得到的逻辑形式才和命 题逻辑有本质的不同。在这种意义上，谓词逻辑也可以称作量词逻辑。 1 2 量词依赖在二一阶逻辑中的作用 尽管一阶逻辑主要是研究量词的逻辑性质，但如果量词之间没有相互作用而相互 游离的话，那其实所有的量化式都只有两种，全称量化式和存在量化式。而这和传统 的亚里士多德三段论没什么两样，例如v x p ( x ) ，v ( x ) - e ( x ) ，3 x p ( x ) ，j ( z ) ，e ( x ) 分 别对应于传统逻辑中的a ，e ，i ，o 命题，并没能产生什么新东西。 经典一阶逻辑在对命题进行形式分析之前，须先定义一个一阶语言。 定义：l 是一类一阶语言，它有下列初始符号： 1 】个体变元：x ，y ，z ，； 【2 】命题联结词：一，v ，a ； 【3 量词，v ，了： 4 】标点符号】，( ，： r ? ，砖， 5 】对每一正整数，一集n 元关系符r 月? ，r i ：； r 1 ，砧 【l h 4 】都是逻辑符号，是任何一阶语言都必须具有的。、，v 和 分别称为否定，析 取和合取，v 和j 分别称为全称量词和存在量词。 5 】是非逻辑符号，关系符群中的上 标n 表示这个谓词的元数，衅，群都是n 元谓词。 注意不但谓词有无限多个，而且对每个n ，n 元谓词都有无限多个。它们和无限多 个变元一起，使我们有充分多的符号去表示任何复杂的命题。 由l 中符号构成的任意有穷可空的符号序列称为l 符号串。我们只对所谓的合式 公式l 公式感兴趣，下面给出定义： 定义：l 公式是按下列规则形成的l 符号串： 1 】如果r 是l 的一个n 元关系符，x l ，x 。都是个体变元，则 f ( x l ，x 。) 是l - 公式。 f 2 l 女 i 果a 是l 公式则( a ) 是l 一公式。 3 】如果a 和b 都是l 公式，则( a a b ) 和( a v b ) 是l 一公式。 4 如果a 是l 公式，x 是个体变元，则( ( v x ) a ) 是l 公式。 5 】只有按以上规则形成的才是l 一公式 有了上面定义的一阶语言之后，我们就可以表示一个命题的逻辑形式了。 一阶量词的真正表达力在量词之间的相互依赖关系。没有它，我们甚至不能表达 数学中变元间的相互依赖关系。例如： ( 1 ) 对任一自然数x ，存在一自然数y ，x 大于y 。 若用r ? 表示大于关系，则( 1 ) 在一阶语言中可表示为，v x 3 y r ? ( x ，y ) ( 1 1 ) 这是一个存在量词依赖于全称量词的闭语句，它显然不同于只带且单个量词的三 段论前提。可以说，没有诸如此类的依赖量词，一阶逻辑的表达能力将大受其影响。 如果没有它们，我们甚至不能在一个量化语言中表达任何的一个函数依赖关系。 一阶逻辑表达力的真正资源在于依赖量词这么一个概念，量词在现代逻辑中扮有 如此重要的作用，以至于现代逻辑的诞生是从弗雷格和皮尔斯对量词概念的发现开始 的。但是把阶逻辑称作量词逻辑只讲对了一半，因为如果你逐一使用相互无关的孤 立量词，您并不能得到一个什么新的逻辑，至多只不过是某种亚里士多德式三段论逻 辑的温和的推广一元谓词逻辑【7 】o 辛提卡一再强调指出，一阶逻辑的“秘密”就在于依赖量词。正是凭借这种依赖 量词，我们才能表述非常有意思的数学理论，例如不仅说每个东西怎样或有的东西怎 样，而且说对于每一个个体，至少存在一个什么样的个体以如此这般的方式与之关联。 也正是凭借这种依赖，我们才能把关系纳入一阶语言，凭借一阶逻辑去处理函数关系， 关系逻辑才成为可能。 1 3 独立量词 有依赖就有独立，两者犹如一个硬币的正反面，是一种关系的正反面，缺一不可。 要理解量词依赖，事实上也就是要理解量词独立的概念，后者与前者简直就是同一个 概念，只不过着上了不同的衣装。 在数学和自然语言中，量词的相互独立现象是大量存在的【8 j o 例如， ( 2 ) 每一位乡下人的某些亲戚和每一位城里人的某些亲戚相互憎恨。 ( 3 ) 每一位作者的某些书在每一位批评家的某些论文中被提及。 这里只考虑( 2 ) ，辛提卡认为，( 2 ) 不能表述为： ( v x ) ( j y ) ( v z ) ( j “) r ? ( x ，y ，z ，“) ( 1 2 ) 因为( 1 2 ) 等值于下述二阶语句： ( 3 f ) ( 3 9 ) ( q x ) ( v z ) r j 4 ( x ，z ，f ) ，g ( x ，2 ) ) ( 】+ 3 ) 而在( 2 ) 和( 3 ) 中，3 y 只在赖于v x ，独立于vz ，而j u 只依赖于v z 而独立 于v x ，若按经典的一阶逻辑，我们就得到两个线性序列： ( 4 ) ( v x ) ( jy ) ( v z ) ( 5 ) ( v z ) ( j u ) ( v x ) 而( 4 ) 和( 5 ) 显然是不相容的。这表明在传统的一阶逻辑中找不到一个公式表 达这种量词间的相互独立依赖关系。这样i f 一阶逻辑能够表达一部分经典一阶逻辑所 不能表达的公式。在这个意义上讲，i f 一阶逻辑是经典一阶逻辑的保守扩张。 若把量词( q l 独立于量词( q 2 x ) 记作( q i x q 2 x ) 。 给公认的一阶逻辑的概念装备增加斜杠记法的结果，就导致了被称为“友好独立 的一阶逻辑”( i n d e p e n d e n c e f r i e n d l y f i r s t o r d e rl o g i c ) ，简称i f 一阶逻辑9 1 。 则( 2 ) 和( 3 ) 都可表示为： ( v x ) ( v z ) o y v z ) ( j u v x ) r ：( x ，y ，z ，“) ( 1 4 ) 如果我们容许分叉而不仅仅是线性排列量词的话，那么( 1 4 ) 还可表示为： ( ( v 比x ) ) ( o j y “) ) l j r 鹏“) ( 1 5 ) 事实上，( 1 。4 ) 和它的等值式( 1 5 ) 所使用的这种结构的量词，就是亨金( l h e n k i n ) 早在1 9 5 9 年就提出的枝形或称偏序量词，现在叫做亨金量词( b r a n c h i n go rp a r t i a l q u a n t i f i e r ) 。从( 1 4 ) 和( 1 5 ) g n 看出，两者是等价的，只是表示方法的不同而己。与 亨金量词不同的是，我们有了量词的独立标记“”以后，就可以表达任意两个量词之 间的独立和依赖关系了，由此可见，i f 一阶逻辑公式的表达力大大地得到了增强。此 外斜杠记法显得更加灵活和方便。 1 4 联结词与量词的关系 在考察了量词与量词之间的相互关系之后，辛提卡继续考察联结词与量词之间的 关系。 虽然从表面上看，量词与联结词不同，量词作用的是个体变元，联结词连接的是 命题变元。但量词和联结词是有依赖关系的，我们知道全称量词试图断定的是一个条 件句，因此全称量词后面跟着的一般是蕴涵联结词。存在量词试图断定的是一个合取 式，它的后面跟着的是合取联结词。此外，在后面介绍的博弈论语义学中，全称量词 与合取联系在一起，而存在量词与析取联系在一起，由此可见，量词与联结词之间是 有联系的。 与亨金不同的是，辛提卡走得更远，他并不仅仅把独立现象局限于量词之间，而 且推广到联结词和量词之间， l o l 例如用x ，y ，z ，u ，v ，t 表示任一个体变元，s 和带 下标的s l ，s 2 表示任一关系，则 ( v x ) ( s l ( x ) ( v v x ) s z ( x ) ) ( 1 6 ) ( 1 6 ) 显然等值于( 1 7 ) ( v x ) s i ( x ) v ( v x ) s z ( x ) ( 1 7 ) 仅从这个例子看的话，好象并不能抓住什么有价值的东西，但是复杂一点的情况 就不一样了，例如： ( v x ) ( v z ) ( 3 y v z ) ( s l ( x ，y ，z ) ( v v x ) s 2 ( 工，y ，z ) ( 1 8 ) ( 1 8 ) 的二阶翻译是： ( 3 f ) ( j g ) ( 、口) ( 、口) ( ( s 。( x ，( x ) ，z ) a ( g ( z ) = 0 ) ) v ( s 2 ( x ，( x ) ，z ) a ( g ( z ) o ) ) )( 1 9 ) ( 1 4 ) 的二阶翻译是： ( 3 f ) o g ) ( v x ) ( v z ) s ( x ，厂( x ) ，z ，g ( z ) )( 1 1 0 ) 在二阶翻译水平上，( 1 4 ) 和( 1 1 0 ) 的量词结构是一样，从而证明( 1 8 ) 是无法 化归到经典一阶逻辑公式的。 因此在辛提卡的处理之下，不仅量词而且命题联结词也同样可以独立出来，从而 大大增强了一阶逻辑的表达能力。事实上，辛提卡的这种推广是合理的，因为首先， 命题联结词能够表现出与量词相同的独立现象。其次，即使量词的依赖和独立可以根 据偏序来处理，但对于其它概念如联结词的独立来说并非如此。因为一般而言没有任 何理由说逻辑记法的相互依赖是传递的。因此现在可知，“偏序( 分枝) 量词的逻辑” 只是i f 一阶逻辑的一个片断。 2 1 f 一阶逻辑形式与经典一阶逻辑形式的联系 为了达到i f 一阶逻辑，我们甚至并无必要引入任何象斜杠记法那样的新记法。所 需要做的全部事情就是比弗雷格和罗素更简便地表述有关括号( 辖城) 的规则。反思 一下就会发现，认为由配对的括号表达一量词的所谓辖域应该包括紧邻该量词并跟在 它后面的公式的一个连续的节段是绝对没有道理的。违背这一要求( 随之而来的是违 背形成规则) 的表达式同样能够有一个完全可理解的语义解释。辛提卡区分了括号的 两种功能，一个是顺序辖域( p r i o r i t ys c o p e ) 和约束辖域( b i n d i n gs c o p e ) 【1 1 】。即两种 辖域，顺序辖域指示语义分析的逻辑顺序。在经典的一阶逻辑中，它是通过量词和联 结词管理范围来表示的。约束辖域则是指明量词的约束范围。在经典的一阶逻辑中， 变元看作是一个不定代词，该不定代词的前边只有一个量词开头，它才能成为具有真 假意义的闭语句。 一旦作出这种区分，没有理由表明这两种辖域必然走到一起并且总是一致的。而 在经典的一阶逻辑中却统一地用一种括号表示。因此，弗雷格的错误在于混淆了括号 ( 辖域) 的这两种用法。 如果我们区分括号的这两种用法，用中括号“【，】”指示约束辖域，用小括号“( ，) ” 指示顺序辖域。( 1 4 ) 同样可以表示为： ( v x ) ( 3 y ) ( v z ) 】( 3 “) s ( x ，y ，z ，“) 】( 1 ，l1 ) 这里两个外层的方括号标明了( v x ) 的两个不连续的约束范围。在更复杂的情形 下，简便的括号记法是不直观以至是难以认读的。所以为了实用起见，辛提卡采用了 斜杠记法。 3 司寇伦函项在l f 一阶逻辑中的作用 诚如( 1 8 ) 、( 1 4 ) 分别可以翻译成( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 那样，一阶量化中的依赖 和独立现象可以借用二阶中的概念来表达。事实上，所有i f 一阶公式的二阶翻译都属 于二阶逻辑的一个子类，即以二阶存在量词开头后面紧跟一阶公式的特殊子类( 二阶 逻辑中的：公式) 1 1 2 l o 这样，约束变元问的依赖关系就可以通过明确的函项来表示。 例如： ( v x ) ( v z ) ( 3 y v z ) ( 3 u v x ) s ( x ，y ，z ，“)( 1 4 ) 的二阶翻译是：( j 厂) ( j g ) ( v x ) ( v z ) s ( x ，( x ) ，z ，g ( z ) ) ( 1 1 0 ) 而( 觇) ( 3 y ) ( v z ) o u ) s ( x ，y ，z ，u ) ( 1 1 2 ) 只能翻译成：( 3 f ) ( 3 9 ) ( v x ) ( v z ) s ( x ，厂( x ) ，z ，g ( x ，z ) ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 0 ) 和( 1 1 3 ) 中的f 、g ，被称作司寇伦函项。 于是，变元间相互的依赖和独立就可以通过对司寇伦函项变元集合中不同的变元选择 来加以呈现。 在( 1 4 ) 中，( 3 u ) 只依赖于( v z ) ，相应的，( 1 1 0 ) 中替换u 的函项g ( z ) 只以z 为唯的变元，而在( 1 t 2 ) 中的( j u ) 既依赖于( v x ) 又依赖于( v z ) ， 相应的，( 1 1 3 ) 中替换u 的函项g ( x z ) 把x ，z 都列为变元。 上面通过司寇伦函项反映量词间的依赖和独立关系的这一方法，对量词和命题联 结词之间的依赖和独立关系依然适用。例如： ( v x ) ( v y ) ( s ，( x ，y ) ( v v y ) s ( x ，助( 1 1 4 ) 的司寇伦函项式是：( 3 f ) ( v x ) ( v y ) ( ( 厂( x ) = 0 a s l ( x ，y ) ) v ( f ( x ) 0 a s 2 ( x ，j ，) ) ( 1 1 5 ) 事实上，只有将其推广到命题联结词上面，所有的独立和依赖关系才能被司寇伦 函项所全部反映。 象( 1 2 ) 那样以亨金量词开头的语句中，反映的是比经典一阶逻辑量词间更少的 依赖关系。但在i f 一阶语言中，甚至可以表达比经典一阶逻辑更多的依赖关系。例如： ( v t ) ( v x ) ( v y ) ( 3 z v x ) o u 、矿y ) ( ( x = z ) a ( _ y = “) s ( t ，x ，_ y )( 1 1 6 ) 在上面公式中变元x , y 之间是相互对称依赖的，这种对称依赖关系可以用它的二 阶翻译显示出来： ( 3 f ) ( j g ) ( v r ) ( 、口t ) ( 、咿) ( x = f ( t ，y ) a y = g ( t ，z ) 3s ( t ，x ，y ) )( 1 1 7 ) 和经典的一阶逻辑一样，i f 一阶逻辑的二阶翻译都是的形式，所不同的是， 所有：形式的二阶语句在i f 阶逻辑中都能找到相应的逻辑等值式，即逆向翻译照 样可以进行。 4 i f 一阶逻辑中的存在例示规则和全称例示规则 通常我们关于量词的替换解释在l f 逻辑中不再成立，因为它无法处理量词之间相 9 互依赖和相互独立。替换解释实际上是把量词解释成高阶谓词，如把( 3 x ) s ( x ) 这样的 句子理解为复合谓词s ( x ) 是非空的。替换解释的一种极端形式是把全称量词解释成 极大合取，而把存在量词解释为极大析取。但是当量词的依赖关系不再线性嵌套地排 列时，这种替换解释就明显地不再适用了。 按这类思路走下去，我们同样可发现通常的例示规则也存在问题。在对单个量词 进行替换解释的思路的影响下，例示规则只适用于以单个量词开头的那些公式。例如 把( j x ) s ( x ) ，例示为s ( b ) ，这里b 是一个新的个体常元。但实际上许多存在量词出现 在复合表达式的中间，并不必然在开头。若按传统的方式来处理，还必须得有另外一 个规则把量词移到句子前面，但这种做法并不自动地保留了( j x ) 对出现在它的辖域中 的全称量词的依赖关系。 i f 一阶逻辑的处理办法引入函项例示规则。如对存在量化公式( j x vz l v z 2 ) s ( x ) 出现在复杂公式s o 中的这样j 种普遍情形： s o = s o ( ( 3 x v z l ，比2 ，) s ( 砌( 1 1 8 ) 例示为：s o = s o ( s ( f f y l ，y 2 ，) ) )( 1 1 9 ) 其中( v y l ) ( v y 2 ) 是出现在( j x v z l ，v z 2 ，) 辖域中的除( v z i ，v z 2 ，) 以外 的全称量词。这样就明显地表达了存在量词对全称量词的依赖关系。 为保留量词之间的依赖和独立关系，在i f 一阶逻辑中，全称例示规则不得不重新 改写。例如从： ( v x ) 力( 砂i v z ) ( 3 u v 力s ( x ，y ，z ，“)( 1 2 0 ) 不是得到( v z ) ( j y v z ) ( j u ) s ( a ，y ，z ，“)( 1 2 1 ) 而是( v z ) ( 砂v z ) ( 3 u a ) s ( a ，y ，z ，“)( 1 ，2 2 ) ( 1 2 2 ) 明显比( 1 2 1 ) 强，因为( 1 2 2 ) 中在断定对u 的合适选择的可能性时依 据了比( 1 2 1 ) 更少的信息。后面在对i f 一阶逻辑公式的语义解释将能说明这一点。 二i f 一阶逻辑的博弈论语义学解释 1 博弈论语义学的哲学背景 句子与事实之间的关系，是可以放在语言和现实( 世界) 这个大背景下来考虑的。 l o 在语言中，名称词无疑是重要的，“我们先给事物命名，然后才能谈论它们”。”圳甚 至有人认为学习语言就是给对象命名。维特根斯坦在哲学研究中就试图用语言游 戏来分析名称和对象之间的这种指称关系。而他在自己早期的语言图式论中认为名称 与它所命名物之间的关系是最基本的因而不可分析。【1 4 】 但学习语言绝非象直接给对象一个名称那样简单： “我在向某个人说明国际象棋。开始，我指着一个棋子说：这是王，它可以 像这样走，等等。在这个例子中，仅当学习的人已经知道游戏中的一个棋子是 什么时，我才会说：这是王。( 或者“这叫做王) 这些词是一个定义， 也就是说如果他已经玩过别的游戏，或者看过别人玩而看懂了以及类似的事情。 进一步，也只有在这些条件下，他才能够在学习这种游戏的过程中恰当地问道： 你 把这叫做什么? 也就是，把游戏中的这颗棋予叫什么。” i s l 因此维特根斯坦认为语词的意义( 名称词与对象之间的指称关系) 只有放在各种 各样的语言游戏中才能得到理解。 虽然维特根斯坦强调只有在语言游戏的背景下才能理解语词的意义。至于语言游 戏究竟怎样决定这种关系，他并没有更明确的分析。在这方面，辛提卡走得更远，他 指出，同一个语词相关的语言博弈方式是围绕该词发生的那些具有代表性的、使语词 获得其意义的活动。【1 6 l 他分析到，对问题“什么活动组成一个词的自然环境”的回答 有时可修改为，“相关词同什么动词有特别密切的逻辑关系。”这样，如果一个动词 对运用特定语词的逻辑条件解释越清楚，它同该语词的逻辑关联越有价值，以至与此 相关的活动可以典型地代表与该语词意义相关的环境。就一阶语言而言，它的关键词 是存在量词“存在( 有) ”和全称量词“所有”，与这些量词相应的典型活动是寻找。 由此辛提卡把一阶语言的语言博弈叫做“寻找且找到的语言博弈( t h el a n g u a g e g a m eo f s e a r c h i n ga n df i n d i n g ) 。存在量词相当于“能够找到”，全称量词则相当于“不可能找 到非”。f 1 7 】 语义学是关于语言的形式表达式( 语词、语句或公式等) 与其对象或指称之间关 系的理论，或者更一般地说是关于语言表达式的意义的理论。 t g l 逻辑语义学与语言学 里的语义学并没有本质区别，不同的是它更注重关于真( t r u t h ) 的概念和理论，尽管 语言学家不会只限于推理形式而会改成其它什么样的形式，甚至还会把形式语言的表 达式改成日常语言的句子。逻辑语义学围绕着解决公式的有效性问题而提出。一个命 题形式本身只表现为一个符号序列，要考察它的有效性，必须将它与一定的对象相联 系，尽管这样的对象也许仍然是抽象的，比如命题变元p ，是只与抽象的真假相联系， 而无须通过具体命题与真假相联系。有效性是关于命题形式的性质，指凡具有这种形 式的命题都是真命题这样一种性质，它可以通过真来说明，因此真又成为一个更为基 本的语义学概念，于是形成了逻辑语义特别注重关于真的概念和理论的特点。 对真概念的关注引出了如何对真进行定义的问题，在塔尔斯基那里，真的定义是 通过t 框架来得以说明的。 t 框架：p 是真的当且仅当p 。 例如，雪是白的，如果是真的，那么它须满足t 框架，即雪是白的当且仅当 雪是白的。框架左边引号指称的是对象语言中的一个命题。t 框架的每个例示就构成 了真的一个部分定义。f 1 9 】 真定义的问题，在数学和逻辑基础中无疑扮演着十分重要的角色。塔尔斯基真定 义的一个重要缺陷是过于抽象了，在辛提卡看来它并没有把什么使得真关系成立的东 西揭示出来。特别是它没有与我们实际上证实和证伪一个句子的活动相关联。这也使 得它因而成为符合论者攻击的对象。辛提卡吸取了维物根斯坦的语言游戏的思想，认 为包含真在内的所有意义都必须放在某一特定规则支配的复杂人类活动中加考虑。 由此，辛提卡在不满塔尔斯基真定义的同时，在维特根斯坦语言游戏论的启发下， 进一步提出：与真这一概念相关的语言博弈当然是“寻找且找到”这样一种证实句子 为真的语言活动。以( 3 x ) s ( x ) ( 2 1 ) 这样一个存在量化式为例，很明显，要证实它为 真，只需找到一个体b ，使得s ( b ) 为真。命题联结词也一样，要证实( 蜀vs ，) 为真，只 需任选一个s l 或s z 证实为真。复杂一点的如要证实( v ) ( 砂) s o ，y ) ( 2 2 ) 为真，我必 须能够在任给的一个x 的值a 的情况下找到一个y 的值b 使得s ( 曲) 为真2 0 1 。 ( 2 1 ) 与( 2 2 ) 之间的唯一区别是相比于( 2 1 ) 而言，( 2 2 ) 中个体b 的选择必须依赖于 a 的选择。拿2 2 的一个具体例子来说， ( 1 ) 对任意个自然数x 而言总存在一个自然数y ，使得，y x 。 为了找到那个适合的b ，我们必须经受a 是在证实者看来最难最不情愿的方式下 给出的考验，这样不妨把a 的选择看作是对抗中的对手在这场博弈中作出的选择。这 种博弈在博弈论中称为典型的二人零和博弈，一个是证实者，另一个是证伪者，辛提 1 2 卡把这样的博弈称作语义博弈；把这种用既可针对形式语言语义又可针对自然语言语 义的方法称作博弈论语义学( g a m e t h e o r e t i c a ls e m a n t i c s 简称为g t s ) 1 2 1 o 对量词作出类似的解释，早在皮尔士那里就可看到。在他那里，量词的意义通 过指示一个包含解释者和回应者的二人博弈得以清楚地解释。数学逻辑学家也经常自 发地求助于博弈论语义学概念，尤其是当他们需要作出某些精确定义的时候。一个典 型的例子是定义极限或上( 下) 确界时用到的e ，6 语言，即无论给个，总可以找 到一个6 ，使得什么成立之类的论述方式。因此，诚如辛提卡自己承认的，量词的博 弈论语义解释与其说是一个大胆地创新，不如说它是我们长久以来自然而然使用方式 的整理。但他第一个把博弈论语义学整个用于解释一阶逻辑。 2 一阶逻辑的博弈论语义学解释 以经典一阶逻辑为例。假设已给定了一个一阶语言和一个l 的模型m 。m 是l 上 的模型意味着l 的所有非逻辑常元在m 上都有解释。这意味着任何原子公式在论域 d o m ( 幻中个体常元的作用下都有确定的真值。 现在考虑一个l 语言中这种形式的句子： v x 3 y s ( x ，y )( 2 2 ) 很明显，我必须能够在给出任何一个x 值，假设为a 的情况下，找到一个y 的值， 设为b ，使得s ( a ，b ) 是真的。与( 2 1 ) 不同的是，现在要寻找到的个体b 依赖于给出的x 的值a ，即使在最不情愿的情况下，证实者必须能够找得出一个这样合适的个体，才 能保证它始终为真。个体a 的选择，在笛卡尔那里，可以设想是一个魔鬼作出的，我 们这里设想为一个证伪者：自然界本身。何以保证y 的每次选择b 使得s ( a ，b ) 为真呢， 除非对证实者而言存在一个制胜的策略。 从上面这个例子推广开来，我们很容易定义出一个证实者和证伪者之间的二人语 义博弈。关于l 的语句s o 的语义博弈( 记为g ( s o ) ) 由两方来玩：一方是“我自己” ( m y s e l f