（应用数学专业论文）交通流模型的渐近解分析与数值模拟.pdf

上海人学硕l j 学位论艾 第i 页 摘要 本义运用渐近分析理论及现代数值方法研究交通流模型，侧重于宏观高阶加粘模型解析 理论的研究。通过对模型进行非线性分析，着重讨论宏观高阶加粘模型的宽幅集簇解( w i d e c l u s t e rs o l u t i o l l ) 和孤立波解( s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ) ，研究特。z u 爹姒, 可。i - - 口里f = i y 偎i i - 生- i i 上芯 的 影响。在严格的理论分析的基础上，得到更加精确的渐近解，并运用数值模拟加以验证。同 时将上述解析方法应刖于微观跟车模型的渐近解研究。伞文的主要工作如下： 一、对宏观高阶交通流模型进行基于长波假设的线性稳定性分析和波阵面追踪的非线性稳 定性分析，为细致地分析密度波解作理论上的准备。 针对宏观高阶交通流模型的统一方程，运用长波法埘模型的甲衡解进行线性稳定性分 析，得到的结果与采用运动学波和高阶波理论相一致。对无粘性项的情况，运用波阵而法进 行非线性稳定性分析。即始终追踪扰动在波阵面上的发展，并通过t a y l o r 展开保留一定的非 线性项，平衡方程中小量的各阶幂次项的系数，得到了火于速度在波阵面上的发展的伯努力 方程，给出模型方程的非线性稳定性范同。 二、从渐近分析的角度给出描述宏观高阶加粘模型宽幅集簇解的一般方法，得出宽幅集簇 形成的充分条件，并且建立了宽幅集簇的渐近解理论和弱解理论之间的联系。 运用渐近分析理论中的边界层方法，研究交通流宏观高阶加粘模型宽幅集簇解，得出形 成宽幅集簇解的充分条件以及解的特征参数方程组。将该充分条件应用于现存的一些宏观 高阶模型，对其能否形成宽幅集簇进行判定。并且采用五阶精度有限差分加权木质无振荡 ( w e n o ) 格式进行数值模拟，结果显示与解析分析一致。我们从渐近分析的角度表明方程 不同守恒形式对模型件态具有本质1 牛影响。这与运刖弱解理论而得的结果一致，同时建市 了渐近解理论和弱解理论之间的联系。 三、i 垂f t t a y l o r 展开对具有松弛项和扩散项的a w - r a s c l e 模型进行k d v 孤立波解分析， 同时运用渐近分析理论中的约化摄动法求解宏观高阶加粘模型的k d v 孤立波渐近解，发现 约化摄动法可以得到更加精确的孤立波解。 对具有松弛项和扩散项的a w r a s c l e 模型在小扰动下进行t a y l o r 展开并忽略扩散影响， 上海人学硕：i j 学付论义 第i i 页 推导m k d v 方程。平衡其非线性项和耗散项后，得到稳定的孤立波解。但是由于所选择的尺 度偏大，所以得到描述交通拥堵的卜游波峰面不合理地接近j j ：激波。我们运用渐近分析理 论中的约化摄动法选择较为合适的小尺度，得到了更加精确的渐近解。并且运用w e n 0 格 式进行数值模拟，与解析结果相互验证。 四、在微观车辆跟弛模型中考虑前方和后方车辆状态对研究车辆的影响，提出了考虑相对 速度的后视优化速度模型，并进行线性稳定性分析以及非线性m k d v 密度波分析。 在微观车辆跟弛模型的加速度方程中考虑前方和后方优化速度，以及前力车辆相对速 度的影响，提出了考虑相对速度的后视优化速度模型。运用长波法得到线性稳定区域，结合 数值结果农明：适当考虑后方优化速度和前方车辆相对速度的敏感度可以提高交通系统的 稳定性态。我们采用渐近分析理论中的约化摄动法对模型进行非线性分析，得到小扰动。卜 描述交通拥堵的m k d v 扭结一反扭结密度波解，并且讨论控制参数的取值范围，最后用数值 模拟加以验证。 最后，对本文的工作进行总结，并对未来的研究进行展望。 关键词：交通流，宽幅集簇，孤立波，边界层方法，约化摄动法，w e n o 格式 上海人学硕：i j 学伊论义第i i i 页 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ea s y m p t o t i ct h e o r ya n da d v a n c e dn u m e r i c a lm e t h o d sa r ea p p l i e dt o t r a f f i cf l o wp r o b l e m s ；i np a r t i c u l a rt h ea s y m p t o t i cs o l u t i o no ft h eh i g h o r d e rm o d e li sd i s c u s s e d t h r o u g hn o n l i n e a ra n a l y s i s ，t h ew i d ec l u s t e rs o l u t i o na n dt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n o ft h em o d e la r ei n d i c a t e d ，a 8a r et i l er e l a t i o nb e t w e e ns o l u t i o np r o p e r t i e sa n dt h ec h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r s ，a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e s ep r o p e r t i e sa n dt h es e l e c t e dc o n s e r v a t i v e s o l u t i o nv a r i a b l e s w ed e r i v em o r ea c c u r a t ea s y m p t o t i cs o l u t i o n sb a s e do nr i g o r o u st h e o r e t i c a la n a l y s i s ，w h i c ha g r e ew e l lw i t hs i m u l a t i o nr e s u l t st h r o u g hc o m p a r i s o n t h ea n a l y t i c a l t o o l sa r ea l s oe x t e n d e dt od e r i v ea s y m p t o t i cs o l u t i o no ft h em i c r o s c o p i cc a r f o l l o w i n gt r a f f i c f l o wm o d e l t i l ec o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ea r r a n g e di nf o l l o w i n g ： i t h el i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i st h a ti sb a s e do nt h el o n g - w a v eh y p o t h e s i sa n dt h e n o n l i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i st h a ti sb a s e do nw a v e - f r o n tc a p t u r i n ga r ea p p l i e dt o t h ed i s c u s s e dh i g h e r - o r d e rm o d e l s t h e s es e r v ef o rt h e o r e t i c a lp r e p a r a t i o nf o r t h ed e t a i l e da n a l y s i so fd e n s i t yw a v e s i nt h ed i s c u s s i o n a l lh i g h e r o r d e rm o d e l st h a tc a nb ef o u n di nl i t e r a t u r e sa r ew r i t t e ni u au n i f i e df o r m ，a n dt h el o n g - w a v em e t h o di sa d o p t e dt od e r i v et h el i n e a rs t a b i l i t yc o n d i t i o a s f o rt h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o no ft h em o d e l t h e s ec o n d i t i o n sa r ee x a c t l yt i l es a m ea st h o s e d e r i v e db yt h et h e o r yo nk i n e t i ca n dh i g h e r o r d e rw a v es p e e d s f o rt h ei n v i s c i dm o d e l ，t h e w a v e f r o n tm e t h o di sa p p l i e dt op r o c e e dan o n l i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i s t h a ti st ot r a c kt i l e e v o l u t i o no fp e r t u r b a t i o no i lt h ew a v e - f r o n t ，r e s e r v ep r o p e rn o n l i n e a rt e r m si nt h et a y l o r e x p a n s i o n ，a n db a l a n c et h ec o e f f i c i e n to ft h es m a l lp a r a m e t e rb yt h eo r d e r w ed e r i v et h e b e r n o u l l ie q u a t i o nt h a td e s c r i b e st h ee v o l u t i o no fv e l o c i t yo nt h ew a v e - f r o n t m o r e o v e r ，t h e n o n l i n e a rs t a b i l i t yc o n d i t i o n sa x eo b t a i n e d i i b a s e do nt h ea s y m p t o t i ca n a l y s i s ，w ed e s c r i b eas t a b l ew i d ec l u s t e rs o l u t i o n i nh i g h e r - o r d e rm o d e l s ；s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nt oe n s u r et h ee x i s t e n c eo f t h es o l u t i o n t h i se s t a b l i s h e sal i n kb e t w e e nt h ea s y m p t o t i ca n dw e a ks o l u t i o n 上海人学硕l j 学付论艾 第i 、页 t h e o r i e s t h eb o u n d a r y - l a y e rm e t h o do fa s y m p t o t i ct h e o r yi s a p p l i e dt os o l v eaw i d ec l u s t e r s o l u t i o no ft h em o d e l u n d e rt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，as e to fa l g e b r a i ce q u a t i o n so ft h e c h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e dt od e t e r m i n et h es o l u t i o n a sa p p l i c a t i o ne x a m p l e s ， t h e s es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ea p p l i e dt op r o v eo rd i s p r o v et h ee x i s t e n c eo ft i l ew i d ec l u s t e r s o l u t i o ni nm a n yw e l l k n o w nh i g h e r - o r d e rm o d e l s w ea p p l yt h ef i v e o r d e ra c c u r a c yf i n i t e d i f f e r e n c ew e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y ( w e n o ) s c h e m ef o rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ， a n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t sa r ei ng o o da g r e e m e n tw i t ha n a l y t i cs o l u t i o n i l lt h ed i s c u s s i o n ， t h ee s s e n c eo fc o n s e r v a t i o nf o r mi sa l s oi l l u m i n a t e d a ut h e s ec o n c l u s i o n sa r ec o n f o r m a b l e t ot h o s em a d et h r o u g ht h ew e a ks o l u t i o nt h e o r y t h i ss u g g e s t sa ni n t r i n s i cl i n kb e t w e e nt h e a s y m p t o t i ca n dw e a ks o l u t i o nt h e o r i e si se s t a b l i s h e d i i i f o rt h ea w - r a s c l em o d e l ，w h i c hh a st h er e l a x a t i o na n dd i f f u s i o nt e r m s ， ak d vs o l i t a r yw a v es o l u t i o ni sd e r i v e dt h r o u g ha n a l y s i sb a s e do nt h et a y l o r e x p a n s i o n i nt h em e a nt i m e t h er e d u c t i o np e r t u r b a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt o a l s od e r i v eak d vs o l i t a r yw a v es o l u t i o no fv i s c i dh i g h e r o r d e rm o d e l si ng e n e r a l t h i sl a t t e rm e t h o da sw e l la st h es o l u t i o ni si n d i c a t e dt ob em o r ea c c u r a t e b yu s i n gt h et 烈v l o re x p a n s i o no fas i n a l lp e r t u r b a t i o na n dn e g l e c t i n gd i s s i p a t i o ne l - f e c t ，ak d ve q u a t i o no ft i l ea w r a s c l em o d e l ( w i t ht h er e l a x a t i o na n dd i f f u s i o nt e r m s ) i s o b t a i n e d b yb a l a n c i n gt h en o n l i n e a ra n dd i s p e r s i v et e r m s ，as t a b l ek d vs o l i t a r yw a v e8 0 - l u t i o ni sd e r i v e d b e c a u s et h ea d o p t e ds c a l i n gi sn o ts m a l le n o u g h ，t h eu p s t r e a mf l o n to f t h es o l u t i o nt h a td e s c r i b e st r a f f i cj a m si su n r e a s o n a b l yv e r yc l o s et oas h o c k o nt h eo t h e r h a n d ，a p p l y i n gt h er e d u c t i o np e r t u r b a t i o nm e t h o ds u g g e s t sa na p p r o p r i a t es m a l ls c a l i n g ， w h i c hr e a s o n a b l yg i v e sr i s et oam o r ea c c u r a t ek d vs o l i t a r yw a v es o l u t i o no ft h em o d e l a g a i n ，w ea p p l yt h ew e n os c h e m et od e r i v eh i g hr e s o l u t i o nn u m e r i c a lr e s u l t s ，w h i c ha r e i na g r e e m e n tw i t ht h ea n a l y t i cs o l u t i o n i v an e wm o d e lw i t hb a c k w a r dl o o k i n go p t i m a lv e l o c i t ya n dr e l a t i v ev e l o c i t y e f f e c ti sp r o p o s e db yc o n s i d e r i n gb o t hf o r w a r da n db a c k w a r dv e h i c l e se f f e c t s 上海人学硕 j 学伊论文 第v 页 t h el i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i sa n dn o n l i n e a rm k d vd e n s i t yw a v ea n a l y s i sa r ep r o - c e e d e d w et a k ei n t oa c c o u n tb o t hf o r w a r da n db a c k w a r do p t i m a lv e l o c i t i e sa n dt h er e l a t i v e s p e e do ft i l ep r e c e d i n gv e h i c l e a c c o r d i n g l y , an e wb a c k w a r dl o o k i n go p t i m a lv e l o c i t ym o d e l w i t hr e l a t i v ev e l o c i t ye f f e c t ( b l r vm o d e l ) i sp r o p o s e d t h es t a b i l i t yc o n d i t i o ni so b t a i n e d u s i n gt h el o n g w a v el i n e a ra n a l y s i st h e o r ys i m i l a r l y t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a t ，t h e p r o p o s e db l r vm o d e lc a ng r e a t l ys t a b i l i z et h et r a f f i cs y s t e mi nt h a tt h eb a c k w a r dl o o k i n g e f f e c ti sc o n s i d e r e da n dt h es e n s i t i v i t yo ft h er e l a t i v es p e e di sa p p r o p r i a t e l ys e t u s i n gt i l e r e d u c t i o np e r t u r b a t i o nm e t h o do fa s y m p t o t i ca n a l y s i st h e o r y ，t h ek i n k a n d a n t i k i n kd e n s i t y w a v es o l u t i o no ft h em o d i f i e dk d ve q u a t i o ni sd e r i v e du n d e ras m a l lp e r t u r b a t i o n t h e r e g i o n so fc o n t r o lp a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e da n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t sa g r e ew e l lw i t ht h e a n a l v t i cs o l u t i o n t h ef i n a lp a r tc o n c l u d e st h et h e s i sw i t ht h ep r o s p e c to fm a n ya s p e c t sf o rf u t u r es t u d i e s k e y w o r d s ：t r a f f i cf l o w ，w i d ec l u s t e r ，s o l i t a r yw a v e ，b o u n d a r y l a y e rm e t h o d ，r e d u c t i o np e r t u r b a t i o nm e t h o d ，w e n os c h e m e 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：量缝日期：避支，珥 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：燧 导师签名：翌坠型立日期：巫选盘。珥 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 变通运行状况足国家现代化程度的重婪标志之一，现代空避对同家经济发展的作用越 来越受到世界各国的重视。在经济快速发展的今天，诸多国家困于凶交通发展滞后靖经济发 展造成的瓶颈之中。据估计，美国每年凶交通堵塞造成的经济损失达7 8 0 亿美元，问接经济 损失更是接近1 0 0 0 亿美元：英国伦敦每周为交通堵塞浪费的生产力价值高达2 9 0 美元：欧 盟每年由于交通堵塞造成的经济损失已达其国内生产总值的2 ；我国香港每年由此造成的 经济损失也高选3 亿多美元1 1 。2 0 0 3 年9 月1 5 口我国北京八达岭高速公路发生历史上最严重 的大堵车。当时，上万辆大货车旨尾相连，连绵4 0 多公里，从北京境内的居庸关附近，一直 堵到了河北省境内，堵车时间长达1 3 天。单就司机运输费用这一项进行简单估算，经济损必 就达到t 8 千万元f 1 1 。图1l 是几张实拍的国内大城市的交通拥堵图片。 上海人学碗l 学仲论立 第一章培论第2 面 出ll 拥堵小堪的l q 内大城币车辆交通 另外，交通废气的排欣是城市空气污搬的币蔓部分，缚年各国因交通对环境污址造成的 损失巨人。由于机动车排污是低空排放所以对人体健康造成极大的危害。而在交通拥堵的 情况r ，汽车息车状态所释放的废气是行车叫的十倍以上，这更加剧了空气污染2 j 。据国家 环保总局统计，2 0 0 5 年我田机动车尾气排放的污染物( 如一氧化碳、碳氢化台物、氩氧化物 等) 在城市人气污染巾约占7 0 3 1 。2 0 0 5 年9 月1 日欧洲航天局公巾的卫星图像轻示，世界上 最大的二氧化氮污染团悬浮在北京和十国东北部上窄，这些二氧化氯主要来自几乎末经过 滤的汽车尾气4 1 。同年世界银行发布的报告显示；中国肺病发病率存过去3 0 午翻了一番。因 空气污染导致的医疗成奉增加以及丁人生病丧失生产力使得中国g d p 的5 被抵消掉，除 此之外，由变通拥挤所带来的交通事故更是触目惊心，所造成的财产与生命损失尢法估幕。 据统训，2 0 0 7 年全国共发生道路变通事故3 2 万多起，造成8 万多人死亡、3 8 万多人受伤，直接 财产损失1 2 亿元i x l 。 各国的实践经验表明：单纯靠改善交通设施解决变通问题，不仅成本昂贵，而且收诎并 不理想。而对交通现象的深入研究和应用有助于节省费用投资减少经济损失。例如，在上 世纪六十年代纽约市连接曼哈颧与新泽西州交通要道林肯隧道因交通流量的不断增大己 u 趋拥挤。交通科学家和交通工程师通过理论分析h 是对隧道入口处交通灯管理晕新设 训使隧道交通一直处于高流量的弧稳状态，从而使出 流量提高t 2 0 ，进而缓解了交通 拥堵节省了重新修筑新隧道的费用2 1 。总之，小容乐观的交通现状迫切需要寻求科学的变 通坪论、发展先进的交通科学技术。 本义通过对交通流宏观高阶模型渐近解的深入研究对集簇现象特性和孤立波现象进 行了1 f 线性分析。同时，借助现代数值方法对交通流进行直观再现和演化规律预测- 为探讨 优化和调整道路变通流量的时空分拈策略提供理论依据。木文的工作将有助于发展先进的 上海人学硕ij 学位论文第一章绪论第3 页 交通技术，解决现实中的交通问题。 1 2 国内外研究概况 交通流问题的研究始于2 0 世纪三十年代，由于当时车辆数较少、车速较低，基本上采用 概率i 仑方法进行研究。五十年代后，随着汽车工业的飞速发展，交通流问题的研究开始活跃 起来。l i g h t h i l ls h w h i t h a m ( 1 9 5 5 ) 6 1 与r i c h a r d s ( 1 9 5 6 ) 7 1 分别提出了交通流流体运动学模 型( 即l w r 模型) ：p i p e s ( 1 9 5 3 ) 8 】提出芷 ：午：模型：p r i g o g i n e ( 1 9 7 1 ) 9 】提出动力论模型。以他 们为代表划分了交通流模型的三大类型：基于流体力学的宏观模型、基于白驱动粒子珲论 的微观模型与基于气体动力论的介观模型。 1 2 1交通流宏观模型 交通流宏观理论将车流视为一维可压缩流体，分别以_ p ( z ，t ) 、v ( x ，t ) 和q ( x ，t ) 表示交通 流在t 时刻位于z 处的车流密度、平均速度和流量，研究车辆的集体行为。 i l w r 模型1 9 5 5 年，l i g h t h i l l 和w h i t h a m 6 提卅了第一个交通流宏观模型一运动学模 型。随后，r i c h a r d s 也独立提出了类似的模型 7 】。这一模型的流体力学连续性方稗为 裳+ 等= 0 2 a a z 、7 假设了一个平衡的速度一密度关系 v = v e ( p ) ，( 1 2 2 ) 从j n 使模型方程封闭。l w r 模型的主要特点是能够描述交通激波的形成及交通拥堵的消 散。由于其特秆速度小于宏观交通流速度，l w r 模型正确描述了交通流各项异性的特点。然 而，l w r 模犁假定了速度和密度相始终处在一条固定的曲线卜( 平衡态) ，没有考虑动力学 过程，所以无法描述物理相变以及所产生的走走停停波等非平衡态交通流。 i i p w 模型七十年代后，交通流建模由运动学单方程模型f 句动力学多方程模型发展。 在考虑车辆守恒的同时，动力学模型还考虑j ，对车流加速度的描述，所得模型也被称为高阶 上海人学硕i j 学付论文第一章绪论第4 页 连续性模型。高阶模犁首先由p a y n e ( 1 9 7 1 ) 1 0 】和w h i t h a m ( 1 9 7 4 ) ( p w 模犁) 1 l 】给m ，其 加速度方程为 窑- 4 - 祟：丛丛! - 4 l - ! 关， ( 1 2 3 )一? t 一= 1 上二oj a 。a z7 -丁pa z 、 7 其中右端第一项为松弛项，描述调节驾驶速度以达到平衡速度的过程；第j ：项为预期项，描 述驾驶员根据下游交通状况对速度的调整。其中，f 0 被称为弛豫时间，7 0 为期望指 数。平衡速度函数和其它参数一般通过对所考察的道路实测和参数辨识来确定。p w 模型 由于考虑了动力学效应，可以正确描述现实交通中的许多非平衡态现象。然而，由于模型方 程的一个特征速度大于交通流速度，扰动将同时向上游和下游传播，存在各项同性的“类气 体行为”，在某些条件下可能会出现不合理的车辆倒退行奠j 1 2 ，1 3 1 。这类模型也被称为“符 项同性”模型。 i i i k i h n e 模型a - t - n - n ，k f i h n e ( 1 9 8 4 ) 1 4 】在模型中引入粘性项，其作用可以 i t ! p a y n e 模型中的激波具有一定的光滑性，使得当车流经过激波时4 i 至于出现无穷大的加速 度。k i h n e 模型的加速度方程为 瓦o v + u 瓦o v = 丛譬! 一譬塞+ 象， ( ，2 4 ) 其中 0 为粘件系数，c o 是等效音速。 i v k k 模型k e r n e r 和k o n h i u s e r ( 1 9 9 3 ) 1 5 】改进了k 锄n e 模型，其加速度方程为 瓦o v + u 瓦o v = 丛譬型一鲁塞+ 万# 丽0 2 v ， ( ，2 5 ) 其中“ 0 为粘性系数。k k 模型引入了与k 洫n e 模型不i 一的粘性系数。这两个模型仍然存在 各项同性的“类气体行为”。 v a w r a s c l e 及其改进模型为了避免上述各项i 刊性模型所存在的类气体行为，a w $ 1 1 r a s c l e ( 2 0 0 0 ) 1 3 1 在加速度方程l f j 考虑用“压力”的对流导数替代其空问导数，结合方程( 1 2 1 ) ， 得到具有“符项异性”的a w - r a s c l e 模型。r a s c l e ( 2 0 0 2 ) 1 6 在后来的改进模型中增加了松驰 项。为了研究渐近解的需要，我们引入粘性项，使其加速度方程为 了0 i v + p ( p ) + t 掣：业生+ 丝凳 ( 1 2 6 ) 上海人学硕：l ：学位论文 第一章绪论第5 页 关于高阶模犁的建模，还可参考z h a n g ( 1 9 9 8 ) 1 7 ，n a g a t a n i ( 1 9 9 9 ) 1 8 ，b e r g 等( 2 0 0 0 ) 1 9 1 ， x u e 等( 2 0 0 3 ) 2 0 。 为了本文研究的需要，我们将宏观高阶交通流模型的加速度方程写成如下统一的形式： 塞+ v - 瓦鼬z ：丛譬型型塞+ c ( p ) 宝+ 1 p 和) 象， ( 1 2 7 ) 一 = 一_ 十c l 正，j _ 十 l j 焉，上二j 疣丁a z ”7 a z 。 ”7 a z 2 、 其中c 0 ( p ) ，c ( p ) 0 ；( p ) = p 口，p 为常数，口= 0 ，1 分别对应守恒变量2 ，；手f l p z ，。常见的几 个宏观高阶交通流模型加速度方程对应的c ( p ) ，c o ( p ) i f l l u ( p ) i l 总于表1 1 。 表1 1 常见的几个宏观高阶交通流模型的加速度方程对麻的c ( p ) ，c o ( 纠承i p ( p ) ，其中丁( p ) = t r 1 + e ( j + p p 。) 】，“ 丁( p ) ， 常数c 。c o ，e ，t ，f ， ，p 。0 。 1 2 2 交通流微观模型 交通流微观模型研究个体车辆的运动，在空间方向是离散的。将车辆视为“自驱动”粒 子，微观模型着重描述相邻车辆之问相互作用所产生的动力学效应。微观模型主要包括跟 车模型和元胞自动机模型。 1 2 2 1 跟车模型 跟车模型可以被认为是种质点系动力学模型。它将交通流视为南分散的粒子组成，以 单个车辆作为描述对象，主要描述每辆车受剑前方车辆位置和运动状态的影响，从而建立前 车与后车的相互关系。在模型巾假设每辆印必须与前下保持一定距离以免碰撞，后车的加 速度一般取决于自i 车。 上海人学硕j j 学似论文第一章绪论第6 页 i p i p e s 模型较早的跟车模犁m p i p e s ( 1 9 5 3 ) 8 提出，每辆车的加速度方程为 予n ( ) = 掣， ( 1 2 8 ) 其中左端项为加速度项，有端为阻尼项，z n + ”z 。分别表示前、后车的位置。模型方程基于 以下的基本假设：若前车速度大于后车，则后车加速；若前车速度小于后车，则后车减速。 i i b a n d o 模型 白p i p e s 模型之后，陆续出现新的模型。其b a n d o 等( 1 9 9 5 ) 2 1 提出的 优化速度模型在近期影响较人且与实际交通符合较好。其每辆车的加速度描述女卜- 如( t ) ：坐业攀 ( 1 2 9 ) 优化速度v ( a z 扎( t ) ) 通常取为 v ( a z n ( ) ) = 半陋a n h ( a z 。一h 。) + t a n h ( h 。) 】，( 1 2 1 0 ) 其中为最大车速，h 。为车辆问的安全车头问距，车头问距z n = x 。+ 1 一x 他。当z n _ 0 时，v ( a x 佗) _ 0 ，以避免车辆碰撞：当z 。_ o 。时，v ( a z 竹) _ t ) ，车辆畅礼：。 i i i 广义力模型考虑相对速度对刹车减速和加速过程的不同作用，h e l b i n g 等( 1 9 9 8 ) 2 2 】 提出了广义力模型 如( t ) ：坠些一a v h ，( a v ) e - 掣， ( 1 2 1 1 ) 其中y ( s 。，v , o = v o ( 1 一e 一生并掣) ，s 佗= a x 。一f 。+ 1 ( n + l 表示前车的车长) ，s ( ) = d n + 瓦，a v n = v n + l v n 表示研究车辆与前车的相对速度，日为h e a v i s i d e 阶梯函数( 即： 当z 0 时，h ( x ) = 0 ；当z 0 时，h ( x ) = 1 ) ，为加速时间，为刹车时间，r 为加速距 离，磁为刹车距离，u ：为期望速度，如为最小车间距，r 为反应时间。该模型能较好地符合 实测结果。 i v 智能驾驶模型考虑到对于前车相对速度的反应，t r e i b e r 等( 2 0 0 0 ) f 2 3 】提出了能够再 现复杂交通现象的智能驾驶模型 锄细叩一( 秽( 等掣) 2 】， ( 1 2 1 2 ) 上海人学硕i ：学位论义第一章绪论第7 页 其中s 。为车间距，s 为期望车间距。可以建立该模型与宏观气体动力论模犁的对应关系，从 而较好地理解宏观和微观模型之间的联系。 此外，考虑到研究车辆的运动状态| 一样受到后方车辆的影响，一些具有后视效应的跟车 模型也相继出现 2 4 ，2 5 ，2 6 。 1 2 2 2 元胞自动机模型 随着计算机的广泛应用，八十年代，元胞自动机被运用到交通流问题的建模。由于其规 则简单灵活和易于计算机模拟等特点，元胞自动机模型得到迅速发展。元胞自动机是一种 数学模型，它以离散的形式来描述一个动力学系统的演化过程。其基本思想是：采用离散的 时空和状态变量，规定车辆运动的演化规则，通过仿真和大量的样本平均，来揭示交通过程 的规律。1 8 4 号元胞自动机模型是最早也是最简单的运用于交通流问题的模型，它能较好地 反映出交通流的+ 系列复杂的非线性行为。经典的元胞自动机模型有。卜述三种。 i n a s c h 模型作为1 8 4 号模型的推广，n a s c h 模型( 1 9 9 2 ) 2 7 z j i 入因驾驶员行为与不 确定因素向形成的车辆减速的随机慢化可能性，考虑了车辆加速和减速过程。假设存长度 为l 的一维格点链卜分布的n 辆车，速度v n ( n = l ，2 ，n ) 的取值范围是0 ，1 ，2 ，眦， 记厶= z n + 1 一z n 表示第n 辆车与前而第n + 1 辆车之问的间距。在每个时问步t t + 1 ， 演化规则依次如下 ( i ) ：加速过程_ m i n ( v n + 1 ，秒撇霉) ( i i ) ：减速过程一r a i n ( v , , ，如一1 ) ( i i i ) ：随机慢化过程一m a x ( v n 一1 ，0 ) ( 以延迟概率p ) ( i v ) ：位置更新z 凡_ + v n 每辆车按上述演化规则进行随机加速或随机减速的运动，每辆车的速度和位置同时更 新。该模型能较好地再现高速公路上车辆畅行和阻塞形成的基奉特征。 i i f i 模型f i 模型( 1 9 9 6 ) 【2 8 】将n a s c h 模型的演化规则( i ) 和( i i i ) 作了如下简化 ( i ) ：加速过程一v m a x ( i i i ) ：随机慢化过程 ( = 。) 一懈一1 ( 以延迟概率矽) 该模型也能较好地再现高速公路卜车辆畅行和阻塞形成的基本特征。 上海人学硕i j 学化论义第一章绪论 第8 页 i i i b m l 模型为了描述j ：维交通网的性态，b i h a m 、m i d d l e t o n $ 1 l e v i n e 提m 了一个 理想化模犁，称为b a i l 模型( 1 9 9 2 ) 2 9 】。该模型的车辆行驶规则相当。j ：用红绿灯来控制城市 街道路1 2 1 的交通，给m 车辆不可重叠和沿两个交叉方向流动的特征。 1 2 3 交通流介观模型 交通流介观模型主要是气体动力论模型，它介于微观模型和宏观模型之间，是基于统计 物理中的b o l t z m a n n 方程，采朋气体动力论的手段来描述交通流。这类模型主要包括 i p r i g o g i n e h e r m a n 模型p r i g o g i n e h e r m a n ( 1 9 7 1 ) 9 首先提出运用气体动力论方 法建立交通流模型的思想。其模型假定7 和u 为车辆的位置和速度，得到相窄问密度p 所满 足的方程 鬈+ 掣+ 瓦0 ( p 瓦o v ) = ( 裳) r e z + ( 筹k h ( 1 2 1 3 ) 其中( 裳) 州为弛豫项，( 裳) 泐为相互作用项。 i i p a v e r i - - f o n t a n a 模型p r i g o g i n e - h e r m a n 模型的基础卜，考虑到驾驶员的个体 行为而不是集体的弛豫过程，p a v e r i - - f o n t a n a ( 1 9 7 5 ) 3 0 x j + 模型提出了改进，得到下述方程 害+ 掣吲i ) p 瓦o v h 。7 0 v 。o ) _ ( 鼽+ ( 孰t ， ( 1 2 朋) 其中u o 为驾驶员的期望速度。该模型与实测较为符合。 i i i g k t 模型h e l b i n g ( 1 9 9 6 ) 3 1 囊) n 个体驾驶员行为以及车辆的加速和相互作用，构 造了一个气体动力论模型( g k t 模型) 。 驾掣+ 掣+ 嘉 半价 纠= 丢业铬趔+ ( 驾掣k “ ( 1 2 1 5 ) 其巾d 。，为扩散常