（应用数学专业论文）保险实务中两个问题的研究.pdf

摘要 文章分析了在保险实务中涉及到的两个问题：意外伤害保险产品的损失率的 分析和保险代理人的薪酬激励机制的设计研究。 个人意外伤害保险是人身保险的一种，历来是保险公司业务的重要组成部分 之一。然而目前保险市场上意外伤害险尤其是其附加健康险的损失率居高不下， 对保险业的进一步发展形成了阻碍。本文在某保险公司多年的实际业务数据的基 础上，利用时间序列模型对损失率( 包括按首续年、性别、年龄组等) 进行统计 分析和预测，力图揭示损失率的某些趋势和特征，并提出了一些针对意外伤害险 及其附加健康险产品的改善建议。 文章第二部分对保险代理人的薪酬激励机制作了研究。保险公司和保险代理 人之间是典型的委托代理关系。文章在经典委托代理模型的基础上，引入代理人 的薪酬激励机制，分析了保险公司应该如何制定恰当的基于首年度佣金的激励函 数，并着重研究了激励函数为线性形式下参数的确定。文章最后比较了实践中两 种分段线性形式激励函数的优劣及其对代理人的吸引力和对保险公司成本控制 的影响。 关键词：个人意外伤害保险损失率时间序列效用函数 8 7 t h er e s e a r c ho f 下w op r o b l e m si ni n s u r a n c ep r a c t i c e a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n t a i n st w op a r t s ：t h ea n a l y s i so ft h el o s sr a t i oo fi p a p r o d u c t sa n da g e n c yc o m p e n s a t i o no fi n s u r a n c ec o m p a n y i n d i v i d u a l p e r s o n a l a c c i d e n ti n s u r a n c ei so n et y p eo fl i f ei n s u r a n c e p r o d u c t s ，a n di t i sa l w a y so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o m p o n e n t so fi n s u r a n c e c o m p a n yb u s i n e s s h o w e v e r , t h ec l a i me x p e r i e n c es t u d yo fi p ap r o d u c t s ， e s p e c i a l l yt h eh e a l t hr i d e r s ，i n d i c a t e st h a tt o s sr a t i oi sh i g h e rt h a ne x p e c t e d b a s e do nt h ep r a c t i c eb u s i n e s sd a t ao fo n ec e r t a i ni n s u r a n c ec o m p a n y ，w e a n a l y s i sa n d f o r e c a s tt h el o s sr a t i o ( i n c l u d i n gb yd u r a t i o n 、b yg e n d e ra n db y a g el e v e l ) u s i n gt i m es e r i e sm o d e l ，t r y i n gt od i s c l o s et h et r e n da n ds o m e c h a r a c t e r i s t i c so fi p al o s sr a t i o f u r t h e r m o r e ，w es t r a i g h tf o r w a r ds o m ea d v i c e t oi m p r o v ei p a p r o d u c t s w h i c ha t eu s e f u lt oi n s u r a n c ec o m p a n y t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ei n s u r a n c ec o m p a n ya n dt h ea g e n t si so n eo f t h et y p i c a lr e l a t i o n s h i p sb e t w e e n p r i n c i p a la n da g e n t i nt h es e c o n dp a r to f t h i s t h e s i s ，o nt h eb a s i so fc l a s s i c a lp r i n c i p a l - a g e n tm o d e l ，w ea n a l y s i st h a th o w t h ei n s u r a n c ec o m p a n ys h o u l dd ot od r a w u ps u i t a b l ei n c e n t i v ef u n c t i o nw h i c h i sb a s e do nf y c ( f i r s ty e a rc o m m i s s i o n ) ，a n dh o wt od e c i d et h ep a r a m e t e r s 0 ff h e 忆n c t i o nu n d e rt h es c e n a r i ot h a tt h ef u n c t i o ni sl i n e a r a tt h ee n do ft h i s p a r t w ec o m p a r e t w ot y p e so fl i n e a ri n c e n t i v ef u n c t i o n si np r a c t i c e k e y w o r d s ：i n d i v i d u a lp e r s o n a la c c i d e n t t i m es e r i e s ： l o s sr a t i m u t i l i t yf u n c t i o n 前言 2 0 0 2 年起，我曾在某保险公司精算部实习，其间学到了不少有用的东西。 而在实践过程中，我也发现在保险实务中有许多问题值得进一步探讨和研究。本 文即试图应用数学理论和方法对其中的两个问题进行分析研究。因此本文的结构 分成两个部分，分别分析这两个问题。 第部分是综合个人意外伤害保险产品及其附加健康险( 以下简称p a 类产 品) 的理赔经验分析( e x p e r i e n c es t u d y ) 和风险管理。保险业在中国的兴起和发 展不过短短十余年的时间，而意外险及健康险产品则更短。在历史数据匮乏的情 况下，理赔经验分析对保险公司的发展起着至关重要的作用。损失率是保险公司 考核其保险业务发展状况的重要指标之一，损失率分析则是保险公司进行保险产 品理赔经验分析的一个重要方面。目前意外伤害保险市场上少数险种尤其是附加 健康险面i 临着高损失率的问题，这将对保险业的发展不利。意外险产品的主要风 险是被保险人所从事的职业，目前保险公司所做的损失率分析没有考虑首续年、 性别和年龄等因素。本文试图分别按以上的因素对损失率进行分析。从下文的分 析我们可以看到，首年和续年之间、男性和女性之间以及不同年龄组之间的损失 率有着显著差异。因此，本文提出，意外险产品的费率厘定不但要考虑被保险人 的职业，还应当考虑首年续年、性别和年龄等其他因素。另外，保险公司作经验 分析时，从未用过时间序列模型的方法，本文尝试应用时间序列模型对一定时期 内的意外险损失率进行分析，建立数学模型，力图揭示损失率随时间的变化趋势， 并对未来的损失率进行预测，得到了较好的效果。 第二部分研究代理人的薪酬激励机制。自从上世纪九十年代初保险代理人的 营销方式引入我国以来，我国的保险业发展迅猛。保险代理人为保险理念在中国 的普及做出了重大的贡献。保险产品的主要销售途径是通过代理人，因而对保险 公司而言，如何制定合理的薪酬激励机制既要能刺激代理人积极展业，又要 使公司的成本不能过高是与保险公司的生存和发展密切相关的问题。对此， 前人在经典的委托代理模型的基础上，将代理人的业绩分成新单保费收入、旧单 保费收入和增员三方面，并应用效用函数理论，确定了保险公司应该给予代理人 的分别对应以上三方面的佣金比例( 见文献【5 ) 。然而，由于历史和体制原因， 各种保险产品( 包括寿险、意外险和健康险) 的佣金率在各保险公司之间差别不 大。对代理人而言，保险公司对其吸引力的差异主要在于基于首年度佣金的各种 津贴和业绩奖金的水平。因此设计代理人的激励机制的关键在于设计一种合理 的、恰当的基于首年度佣金的奖金津贴机制。已有成果都是研究如何确定佣金的 比例，而对基于首年度佣金的激励函数的研究甚少。本文假设佣金水平是固定的， 利用委托代理理论，在线性激励函数形式下得到对保险公司最优的参数解。文章 最后比较了目前保险公司常用的两种基于首年度佣金的激励函数的形式，分析其 对保险代理人的吸引力及其对保险公司成本控制的影响。 p a r ti p a 类产品的经验分析与风险管理 风险管理是以最低费用使企业经营活动中可能发生的各种风险保持在最低 限度的一种管理体系。风险按其性质区分可分为动态风险( 亦称“投机风险”) 和静态风险( 亦称“纯粹风险”) 。前者既有损失的可能又有获利的机会，后者只 有损失的机会而无获利的可能。静态风险才是保险公司的承保对象。对保险公司 而言，p a 类产品的主要风险在于其出险赔付高于预期。因此，恰当的风险管理 是必要的。承保控制是进行风险管理的第一个重要步骤，系指保险公司在承保业 务选择基础上采取的积极展业措施。由于承保业务中情况复杂，保险条款也无法 规定得那么严密所以必须通过承保控制来防止依赖保险和产生道德风险。此外 也可以通过对理赔经验数据的分析来达到风险管理的目的。 本文即旨在通过对p a 类产品的理赔经验分析，加强保险公司的风险管理。 第一章引言 1 人身意外伤害保险简介 人身意外伤害保险( p a ) 简称意外伤害保险，是指被保险人在保险有效期 内，因遭受外来、突然、剧烈的意外事故，致身体蒙受伤害而残疾或死亡时，保 险公司按照保险合同的规定给付残疾保险金，或死亡保险金，或医疗保险金的保 险。 意外伤害保险虽然归类于非寿险，但因为它承保的保险标的( 人的身体或 生命) 具有人寿保险的性质，所以，许多国家和地区虽然在保险法中规定人寿保 险和非人寿保险不得混合经营，但对人身意外伤害保险例外，无论人寿保险公司 还是非寿险公司均可经营。我国目前也属于这种情形。 意外伤害保险的保险期间较短，一般为1 年，最多3 年或5 年，有些极短 期意外伤害保险的保险期间往往只有几天、几个小时，甚至更短时间，如旅游保 险，索道游客意外伤害保险，火车、飞机、轮船旅客意外伤害保险等。 意外伤害保险费率的厘定一般不需要考虑被保险人的年龄、性别等因素。 因为被保险人所面临的主要风险不因被保险人的年龄、性别不同而有较大的差 异。被保险人遭受意外伤害事故的概率多取决于其职业、工种或所从事的活动。 在其他条件相同的情况下，被保险人的职业、工种或所从事活动的危险程度越高， 应交的保险费越多。因此，费率厘定时不需要以生命表为依据，而是根据损失率 来计算。一般的意外伤害保险不具有储蓄性，保险费率较低，仅为保险金额的千 分之几，投保人只要交纳少量保险费，就可以获得较大的保障。 人身意外伤害保险可分为：( 1 ) 普通意外伤害保险；( 2 ) 特种意外伤害保 险：( 3 ) 特别约定意外伤害保险，如特技飞行意外伤害保险、渔民出海意外伤害 保险，运动员意外伤害保险等等。 本文主要分析普通意外伤害保险，不涉及其他两种。 目前保险市场上p a 类产品尤其是其附加健康险的损失率居高不下，已经对 意外险业务的发展造成了一定的阻碍。本文试图利用实际业务数据的经验分析， 通过对p a 类产品的损失率的分析和预测，就如何作出适当的应对措施、加强p a 类产品的风险管理提出意见和建议。 2 数据情况说明 本文数据取自某保险公司多年的实际业务数据。下面就本文涉及到的p a 类 产品做一简要说明。 本文的主要分析对象是综合个人意外伤害保险及其附加健康险( 下文统称 p a 类产品。事实上p a 类产品还包括儿童意外伤害保险及其它特定的意外伤害 保险及其附加健康险，为方便起见下文提到的p a 类产品特指本文将要分析的综 合个人意外伤害保险及其附加健康险) 。产品性质如下： 主险为综合个人意外伤害保险，主要保险责任为意外身故、烧伤及残疾保 险金给付：附加合同包括意外伤害医药补偿附加合同( 以下简称附加险a ) 及附 加健康险：附加每日住院给付收入保障附加合同( 以下简称附加险b ) 、附加手 术费补偿医疗保险( 以下简称附加险c ) 、附加住院费用补偿医疗保险( 以下简 称附加险d ) 。 产品的承保年龄为1 8 至6 0 周岁，最大可续保年龄6 4 周岁，保险期限一年， 每年可续保。意外险保费缴纳方式为按职业等级年缴，不分性别、不分年龄。附 加健康险的缴纳方式按不同年龄段、不分性别和职业年缴。 本文以下的分析内容主要包括： p a 类产品的损失率分析： p a 类产品按首年和续年的损失率分析； p a 类产品分性别的损失率分析： p a 类产品分年龄段的损失率分析： p a 类产品的改善建议 第二章p a 产品的损失率及其趋势分析 1p a 类产品的损失率 理赔经验分析是指保险公司定期对各种保险产品的理赔经验数据进行统计 分析。作为产品管理的一个重要组成部分，理赔经验分析不仅为管理层提供信息 参考，也是开发新产品的重要依据。 理赔经验分析的一个重要方面是根据过去一段时间内的业务发展情况，计 算各险种的损失率( l o s sr a t i o ，或称赔付率，c l a i mr a t i o ) 。 损失率指保险公司某一业务年度或一定时期内赔款支出总数与同期保费收 入总数的比率。损失率是保险公司考核其保险业务发展状况的重要指标之一。 而对于意外险产品来说，保险公司需要计算意外险损失率，以监测意外险 产品理赔率的走势，并辅以盈利性研究，从而为意外险产品设计、定价及核保提 供数据基础。 意外险损失率的计算方法是： ( 1 ) 对于保障期不低于1 年的产品 过去1 2 个月意外险损失率= 塾圭笔当笋 其中，已赚保费= 过去1 2 个月所收取的保费一准备金 准备金= 本评信月准备金一上一年度该评估月准备金 当月意外险损失率= 砉黼 其中，当月已赚保费= 当月所收取的保费一准备金 准备金；本评估月准备金一上一评估月准备金 ( 2 ) 对于保障期低于1 年的产品 过去t z 个月意外险损失率= 簧萋碧笔2 暮器过去1 个月现金保赞 当月意外险损失率= 耋昌器 由于过去1 2 个月意外险损失率可以降低由于保险业务的波动所带来的影 响，比当月意外险损失率指标更能反映实际情况，因此保险公司多采用前者来做 经验分析。若无特别说明，下文所计算的和提到的损失率均指过去1 2 个月意外 险损失率。 以上公式中的准备金的提取方法均为2 4 分法。2 4 分法是保险公司针对保障 其为一年以下的险种提取保单准备金时最常用的一种方法。它是基于大数定律和 新单的进入服从均匀分布的假设，即针对大批保单，假设过去一年中新保单的签 发在每个月是均匀分布的，而风险也是均匀分布的。这样，假如一张过去一年中 第一个月签发的傈单，当时缴纳的保费有2 3 2 4 可以计入当前时点的已赚保费 ( e a r n e dp r e m i u m ) ，只需提取剩下的1 2 4 作为准备金。类似的，第二个月签发 的保单可以为当前贡献2 1 2 4 的已赚保费，3 2 4 计入准备金，第十二个月 即刚过去的那个月所签的保单必须将2 3 2 4 的保费提入准备金。 现有数据自1 9 9 8 年1 2 月至2 0 0 2 年1 1 月，跨度4 年整。由于提取准备金 时需要用到前一年的保费数据，因此损失率从2 0 0 0 年1 2 月开始计算，每月做一 次损失率的分析，共有2 4 个时点。应该指出的是，由于某些附加保单( 如附加 险c 和附加险d ) 开始销售的时间晚于主险和其他附加保单，得到的数据不是 很完整，因此0 1 年度( 0 0 年1 2 月至0 1 年1 1 月) 损失率的数据的质量要低于 0 2 年度( 0 1 年1 2 月至0 2 年1 1 月) 。而总的来说，随着时间推移，保单数量不 断增加，所计算出的损失率的可信度应该越来越高。 以下是以上方法计算得到的p a 类产品从0 0 年1 2 月至0 2 年1 1 月( 包括按 附加保单分类) 的损失率。的图表： 损失率( ) - - 7 、。气 p - r r 矗 ， 声。 r ，i l d 髓- j a n - f 曲- m f - f - m 廿j u j d - 啕s 单- o d n * o a c - j m - f 由m - 廿m a y - nj d u 口s e o c t - n * d 1 o i 们们0 1 研0 10 1叭m们位位位位 图ip a 类产品总体的损失率 。由于保密的需要，数据均经过适当的修改。下同。 昭引柏盯帖n引鲇 1 3 0 1 2 5 1 2 0 1 1 5 1 1 0 1 0 5 1 0 0 9 5 损失率()厂。 1 l 卜一 、 k i ，。 _ r o e = - j f e b - m ，- m 廿j u mj u l - 岫s 单一o 牛n * d e c - j e t - f bm 蕾- k a r - m e t - j u n - j u l “0 s i n - o c l - n 0 10 1们m矾们仇mo m们位位皿瞳 图2 附加险a 的损失率 损失率( ) 入 尸 i 、 、 - 、l p h 卜 。 d a mj e n - f bm 扣 f 肆j u n - j 嶂- s e po c t - n 舡0 j a n - f e b - m a t = f m 舻j 西j 山a 岣3 峰o c t - n * 0 00 1 们0 1制翻0 们矾们们们们皿位9 2 图3 附加险b 的损失率 损失率( )厂一 产 广 入 k 厂 d e c - j a nf e b - m f - p - m b y - j u n - j u t - ，u - s e p - o c t - n o + d e c - j a n - f e b - m ， t m 8 pj i r 卜j u - 田沸o c t - n * 0 0 0 1 0 1 0 10 1 0 10 10 10 10 1们0 1啦0 2位0 2皿g 2位 图4 附加险c 的损失率 8 ”；弘舛拉引 们g；盯；g；引蹭盯 损失率( ) - 、 卜q r ， i 。i 一 一 厂， d j i m - h 睁m r - f tm a - t j u n - j d - 凡q 一蹄o e l - n 种口j a - f e b - m a - 椰r - i d i , pj t m - j 痒 岫s p0 辛b l o c - 0 00 1 们0 10 1 0 10 10 1g l 们0 10 1 0 1 啦皿皿位位越位 图5 附加险d 的损失率 由以上诸图可见，尽管总体损失率尚在合适的水平( 图1 ) ，但附加险b ( 图 3 ) 、c ( 图4 ) 和d ( 图5 ) 面临着高损失率的闯题( 一般而言，由于佣金和营 运费用的存在，损失率超过6 5 ，即说明该险种处于亏损状态) 。尤其是附加险 c 和d 。都超过了1 0 0 。 表1损失率随时问的趋势分析 对以上损失率随时间变化的关系作趋势分析( 结果见表1 ) ，可以发现：总 体、附加险a 、c 和d 的损失率都呈现出显著上升的趋势，而附加险b 的损失 率则呈现出显著下降的趋势。 ， 下面我们用时间序列模型来分析损失率随时间的变化趋势，并对未来的损失 率作预测。 时间序列模型反映某个变量过去的变动规律，并利用这个规律来预测未来变 化。在某种意义上时间序列模型是一个高级的外推方法，有时它是进行预测的有 效工具。 对于离散时间序列0 ，其中y ，代表第一期观察值，蜥代表第t 期 观察值，我们的目标是对序列抄r 建立模型并利用它预测最后观察值y ，之后的 仲 5 ； 阳 儿。 假设序列涉0 是( p ，d ，g ) 阶综合自回归一移动平均过程( a ni n t e g r a t e d a u t o r e g r e s s i v e m o v i n ga v e r a g e p r o c e s so fo r d e r ( p ，d ，g ) ，详细定义请参考文献 【3 ) ，简记为a r i m a ( p ，d ，g ) 。我们可以利用序列，) 的样本自相关函数 凤) 和 样本偏自相关函数妇。 的性质来确定参数p 、d 、q 的值，从而确定最终的模型 并用来预测未来的值。 我们定义滞后期为k 的样本自相关函数 p k ) 为： r - k 一 ( y ，一y ) ( + t j ，) a = 型f 一 窆( m 一- ) 2 而样本的偏自相关函数 纵 n n 尤勒- - n 3 9 ( y u l e - - w a l k e r ) 方程组 p i = 珐+ 2 p l + _ + 砟p ，一l p 2 = 西n + 疵+ 丸p l + + p p p 一2 p p = 祷p ，1 + 破岛一2 + 一+ 砟 解出( 将 a 代入) 。方法是： 首先假设p = l ，则五= a ，记五为吼。； 其次假设p = 2 ，解出矗、磊，记五为p ： 假设p = k ，解出五记为 则 纵) 即为所求的扣| ) 序列的偏自相关函数。 自相关函数和偏自相关函数刻画了时间序列的性质。若自相关函数溉 截 尾，可断定p = 0 ，d = 0 ，即。) 为q 阶移动平均模型( q 为截尾处的k 值) ；若偏 自相关函数和。 截尾，可断言d - - o ，q = o ，即协 为p 阶自回归模型( p 为截尾 1 0 薤懿k 篷) 。 为了判断 成 和勋。) 是否截尾，蒲检验某些成和妒。是否为0 。为此我们利 用b a r t l e t t 的缩果，他证明了如果时间序列由囱噪声( w h i t en o i s e ) 过程生成， 粼撵本塞穗关避数近儆缀麸鸷徨为0 、方差毙 ，方( 善为序期褒察毯熬个数) 的正态分布。因此我们可以在艋著性水平5 下通过考察见和妒奴的绝对值是磷 大于1 9 6 7 1 来检验儿和妒。楚否显蔫地不为0 。 下鬻我们靛蔫戳上鲍方法对p a 类产鑫总体的按失攀逶行分掇： 将2 0 0 0 年1 2 月作为t = l ，2 0 0 1 年1 月作为t = 2 ，2 0 0 2 年1 1 月为t = 2 4 。 对应的损失率记为儿( 写成百分数形式，如4 7 记为4 7 ) ，将 ，t = - i ，2 ，2 4 甏为一个蘧撬霹霹彦裂模型。 首先计算扣， 的样本自相关函数 a ) 见下袭 kl234567891 01 11 2 磊 融8 9o 7 60 6 30 ，5 l0 。4 00 2 6o + 1 3o + 0 3一o ，0 51 42 3句3 0 利用这些数值计算样本偏自相关系数勋。) 的值：蟊。= a 。0 8 9 3 9 ， 众2 = - 0 1 8 1 3 ，晚3 = - 0 0 4 3 3 ，痧* - 0 0 5 0 8 ，织5 = 一0 0 6 4 0 ， 蟊6 = - 0 。1 8 7 5 ，。 由于t = 2 4 ，在显鬻牲水平5 下，个偏照相关系数不为0 当且仅当其绝对 值大予1 9 6 甄：0 4 0 。而以上计算出的滞后期大于2 的偏自相关系数的绝对值 都，l 、予这个数。这说翻辩阀彦麓， 的样本编鑫糖关系数截尾。峦魏我稻露彗主褥 到结论：轨 必玲数不超过2 豹自固烟过程。( 事实上，| 如l 即小于0 4 0 ，但为 保守起见，我们把a r ( 2 ) 也包括进去考虑) 。 确定了模麓静粪掰嚣，我 f j 来 骞诗参数静馕。 。详细诞明请参见文献【4 】。 。参冕m s ，b a r t l e t t ，“o nt h et h e o r e t i c a ls p e c i f i c a t i o no f s a m p l i n gp r o p e r t i e so f a u t o c o r r e l a t e d t i m es e r i e s ”t j o u r n a l o f t h e r o y a l s t a t i s t i c a l s o c i e t y ，s e r 8 ，v 0 1 2 7 1 9 4 6 一、鬻扫f 趸a r ( 1 ) 遘覆 y t = 巍y + t + 吾s i 由于单纯囱回归模型可以窟接用线性回归方法来估计参数，首先用o l s ( 营 逶最，j 、二乘法) 彳砉诗蠢参数蕊： 破= o 9 2 8 ，占= 3 7 9 4 。 其次验证模型的确认正确与否a 第一步先计算出模拟序列侈f ( 模型生成的 序歹1 ) 浆鑫鞠关函数，并与原j 擎列豹释本鑫藕关函数逡符院较，鲡下鬻： + o o p k十原序判 o 8 0 i 一_ o o 4 0 o ，2 0 o g e 02 0 一1 234s 87 8 、n - o ，4 0 糕6 原孝蒯蠢摸搂痒列耱鑫耀美基数耽较 可以看出两个自相关爵数没有驻著差异，我们转而分析模型的残差佾) ，其中 善。= 多，一只= 五只。+ 考一只。 褥残蓑静样本鑫穗关舔鼗记尧允，箕计算公式蔻： ；。 舻专万 由于已经假定窝际过程中的随机误差颈是独立的正态分布，因丽如果模型确认疆 续，残差麓 藏该健表个塞爨声痔判。夏虽辫子较大缒涝螽鹚k ( 铡躲，怼甄 阶模型k 5 ) ，残差自棚关函数允互不相关，鼠近似地服从均使为0 方差为1 t 的正态分布( t 是时间序列的观察值个数) 。可以利用这一事实来对以上得到 的模型做诊断检验。考虑由前k 个残差自相关系数尹。，尹：，靠组成的统计量q ( 对于低阶模型，k 取1 5 或2 0 是足够的) o = r 露 则q 是均值为0 方差为i t 的独立正态随机变量的平方和，因而近似地服从z 2 分 布。b o x 和p i e r c e 证明了此近似程度非常高，而且统计量q 服从自由度为k p q ( 对一般模型a r m a ( p ，q ) 。此处有p = l ，q = o 。) 的z2 分布。因而模型准确性 的假设可以通过比较q 统计量和z 2 分布表的临界值来进行。 对上文的序列涉0 ，我们取k = 1 5 ，根据样本序列y ，) 和模拟序列眵。 得到对 应的q 统计量为1 8 2 8 ，而自由度为k p = 1 4 的z 2 分布的1 0 显著性水平的临界 值为2 1 0 6 1 8 2 8 ，因而不能拒绝残差项是白噪声的假设，本模型( a r ( 1 ) ) 被接 受。但是还必须对a r ( 2 ) 进行诊断，如果a r ( 2 ) 也获得通过，则须附加一检验以 确定最佳。 二、若侈， 是a r ( 2 ) i t 程 y i = 破y 卜l + 识y i 2 + 占+ s 同样的，我们先用o l s 估计出参数： 氟= 0 5 4 1 ，疵= o 3 4 7 ，艿= 5 8 9 3 ， 并计算模拟序列的自相关函数，与原序列的样本自相关函数进行比较后亦无显著 差异。 而对于模型的残差忙| ) ，当k = 1 5 时计算得对应的q 统计量为 a = 9 0 8 2 对。 令沙一，= 0 ，= 1 ，记虮= ；l 阶，+ 是虬一：，k o 。则t + ，期的预测误差为； e r ( 1 ) = y n f 一多r 箨) = 矿。g + ，+ y l 矗+ “+ 妒h 矗“。 由于已经假定每个随机扰动项s 题由白噪声生成的零均值独藏同分布的藏 态涟夔变鬣，嚣魏霹在意麓t ，五瓴 = o ，暑留) 。霹，显怼轾慧戆未0 郡饔 占( q 5 。) = 0 。由此我们可以估计预测议差的方差和预测的置信隧间。首先对扰 动顼懿方差司避牙绩计。这个 砉计逻瓣七辕赖于参数继诗翡残蓑乎方和s ，郧： 班击：娶 于是t + f 期鹃预测误差的方差为： e 露( ，) 】= ( 妒：+ 矿? + + 妒二1 ) 毋；。 瓢瑟t 鬈睽溅筑9 5 爨麓嚣淘为： c 0 9 5 = 多r ( ，) 1 9 6 ( y j + f ，? + + 矿三】) “2 6 - 。 这样，对本文中的损失率数据序列轨) ，计算得多2 。( 1 ) = 5 0 5 9 ，即预测2 0 0 2 年1 2 月p a 类产品总体的损失率为5 0 5 9 ；萝2 。( 2 ) = 5 0 5 8 ，即预测2 0 0 3 年1 月p a 类产品总体的损失率为5 0 5 8 。 事实上该保险公司2 0 0 2 年1 2 月的实际损失率为5 0 4 3 ，2 0 0 3 年1 月的实 际损失率为4 9 9 3 。可见预测值与实际值还是很接近的。 由于五+ 五= 0 8 8 8 ( 1 ，因此当z 趋于无穷大时，预测值将收敛于 忉洲，。蠢专2 州n 可见i p a 总体的损失率随时间的变化将稳定在5 2 6 1 6 左右。这说明总体的 损失率尚在一个正常的水平。 扰动项的方觏班南= 篙= 罢- 0 3 7 5 5 。从翮噼 y 善? 1 2 月的损失率的预测误差的方差为：e 艺( 1 ) 】- 妒：彰= 0 3 7 5 5 ；预测的9 5 置 信区间为：c 0 9 5 = 多2 4 ( 1 ) 1 9 6 9 ，o 子。= 5 0 5 9 1 2 0 ，目p 4 9 3 9 ，5 1 7 9 。 以上我们利用时间序列模型的方法对损失率建立时间序列模型并反复测试， 最终得到p a 类产品的总体损失率是二阶自回归过程，并用于预测未来的损失率， 取得了较好的效果。目前保险公司作损失率分析时仅限于经验估计，从未用过时 间序列模型。而通过上文的分析，时间序列模型可以对时间数据( 如每月、每季 度、每年) 进行趋势分析并作出预测，对保险公司而言是一个较好的监测损失率 的手段。由于篇幅所限，本文只对p a 类产品总体的损失率作了时间序列分析。 事实上对于其他附加保单的损失率，甚至下文即将分析到的按首年续年的损失 率、分性别的损失率以及分年龄段的损失率等均可按照上述类似的步骤来处理， 最终对损失率的走势作出分析并且预测未来的损失率的值。本文不一一赘述。 2 按d u r a t i o n 的损失率 按d u r a t i o n 的损失率，即保单首年( d u r a t i o n = 0 ) 和续年( d u r a f i o n o ) 的损 失率的概念。我们将保费数据和理赔数据按保单首年和续年分别统计，应用与上 一节相同的公式，可计算出自0 0 年1 2 月至0 2 年1 1 月的p a 类产品( 包括按附 加保单分类) 的首年损失率和续年损失率。结果如以下诸图( f y 即首年，f i r s t y e a r ，r y 即续年，r e n e w y e a r ) ： 损失率( )l + f y + 科l u ，。一。 一一- “h h 。+ + h - 、_ + 1 h | _ r h 一一 图7p a 类产品总体的损失率( 按d u r a t i o n ) 损失率( )l + f y + r y 一 一一 - j - 一一 图8 附加险a 的损失率( 按d u r a t i o n ) 1 6 5 ； 阳 加 损失率( )+ f y + 刚i 、，。 、y i 。 。1 1 | _ 1 k _ _ - | p p 一1 d j e - j _ f m b - m a r - f m a y - j u n - j d - 呻。踊p 口睁n 抖d j a i l - r 厶m a t - - f 。m a pj m j u 一 蜩一s o po c t - n 种 0 00 10 10 10 10 10 t0 10 10 1们0 1 0 1 垃0 2 位位 图9 附加险b 的损失率( 按d u r a t i o n ) 由以上三图可以看出，续年的损失率要明显高于首年损失率。对于附加险c 和d ，由于上节提到的原因，其续年数据更不完整，只能从0 1 年1 2 月开始计算 续年损失率。而即使从这些数据来看，附加险c 和d 的续年损失率也明显高于 首年损失率。 之所以出现这种情况，是因为首次投保时，核保过程会把许多危险因素排 除在外，而续保时核保不如首次投保时严格，因而导致续年损失率高于首年。 表3 损失率随时间的趋势分析( 按d u r a t i o n ) 同样的，我们对首年和续年的损失率随时间的变化分别作趋势分析如表3 ， 可以看出：1 除附加险b 的首年和续年损失率都呈明显下降趋势外，总体和其它 附加险的损失率都呈首年明显上升、续年明显下降趋势( 除附加险a 的续年损 失率趋势不明显外) 。 同上一节得到的结果比较，可以得到：总体损失率的上升主要是由于总体首 年赔付率的上升，因为其续年赔付率反而是下降的；同理，附加险c 和d 的损 失率的上升也主要归因于其首年损失率的上升。保险公司应该注意这一趋势。 拗 瑚 伽 仰 伽 伽 3 损失率与性别的关系 分别对男性和女性的投保和理赔进行损失率分析，应用第一节中公式分别计 算男性和女性的损失率，得到以下图表： 损失率( )l + l e 十f e n 甚b i 广。、 r 、 。一 k 、1 户- ，i ，t 1 、h r t + 1 d e c - j a r l - f e b - m a r 船m a y - j u n - j l i - 岫- s o - o c t - n 弹d z c - j m - f e b - m i r - a p t - m a y - j 叶j u f - 岫鲫- o c t - n 脚 们州州0 10 1们们o 0 10 10 1 0 1位瞳0 2呢 图1 0 总体的损失率( 分性别) 损失率( )l + m as e + f e m a l e | 1jj 。 一o 一 b 名矿畔一 k 一、：k 、 d e c j a n - f e b - m 小灯m a y - j u n - a u g s e p - 船n 甜d e c - j a - - - f e b - m 8 f 咐- m a , - 忡j u l - a u g , s e p - o c t - n o v - 0 0 0 10 1 0 1 0 1们o o 们们 0 10 1饥位位皿陀吧 图1 l 附加险a 的损失率( 分性别) 码 为 鲇 弱 拈 们 弱 帖 巧 2 3 0 2 0 0 1 7 0 1 4 0 1 1 0 8 0 5 0 1 5 0 1 0 0 o 1 6 0 1 4 0 1 2 0 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 损失率( ) - - , ! - - m a l e 一f e m a l e 弋 h ，。 - 、，t 。，t 、 、一， d e c j i n - f e b - m i - f m 廿j m - j d - 蛔8 咿o c t - n * d e c - j i n - f i b m 8 1 - - m 舯j u n j u l a u g s 咿o c l - n * 们0 1们们mm 啪们口l 位砬盘0 2 0 2 图1 2 附加险b 的损失率( 分性别) l 损失翠一一- 广，、卜_ - 叫卜_ 一 ， 厂 厂 一一i l 一 。1 j | r d e c - * f e b - m 小a p t m a pj u mj t a 柚脚o c t n o v - d e c - j a mf = b - m j r - 啊m a y j u n j u l 岫- 湃噼n o v - 0 10 1们仇0 1们0 10 1 0 10 1m位0 20 20 2 位 图1 3 附加险c 的损失率( 分性别) d e j f 由- m p pm 时j u n - j u - 岫- s 日po 冉n o v d a mj a n * f e b * m 一 矿- m 晔j u t j u l a u g s e p - o c l - n o v - 0 t 0 10 10 1 0 10 10 1们州d 10 10 2 瞳位位瞳 图1 4 附加险d 的损失率( 分性别) 9 可见除附加险a 外，总体和其他附加险的女性的损失率明显高于男性损失 率。对附加险a 的男、女损失率数据作c h i - s q u a r e 检验，得到z 2 统计量为 0 9 9 9 3 图1 6 附加险a 的损失率( 分年龄组) 约 耱 的 o 1 5 0 1 2 0 9 0 6 0 、f 、，v ，一1 0 埘卜d 5 蚂i 一5 0 - 5 4 - 一5 5 + 气 n h 、 ， 人、s 乏謇：。 、潞3 、。量奄弓、卜- 聋= 墅o 课哇_ 卫l = = o ：二毒：二： _ ：= j 一、 ：二i 一- - - _ i 羞t - l ：i 聋 1 l 1- _ _ - _ 一 一 d 。j 。f e b - m m - 哥m 旰j u n - j l , i 一 q s , p - o * n o v - d e c - j a n - f , i b - m r - 矿m a y j m - j u 啪- s 肇- o d - n o v - 们们0 1们m们们m们们删 位位位位位 图1 7 附加险b 的损失率( 分年龄组) 、f 、。，_ 一4 0 , 4 4 讲一m 岫- 卜5 4 翻一5 5 + 、_ ，- z ，* r r h 盛 州垆二占瞎豢：一 翰反矿 一一 羲旷：jjj j 鼍= 圪尘# 牟车辩：； ；善b 圹一 d e c - j _ nf _ b m a r - f - m , z y - j u r l - j u l 岫s e p o c t n a + d e c - j hf 曲- m a r - p m i v - j l nj , j - 岫s po c t * n 忡 们m们们0 10 1 们仉位皿 图1 8 附加险c 的损失率( 分年龄组) 乒歹弋 乏岳穷璺 7 缓髫箨毫： 臣臣，一。 d e 十j 目f 出m w - 矿- m 廿j u j u l s e po c t - n o v - o e c - j a n - f e b - m ，- p 口- m 廿j u j u - - s po c t n 驰 0 1们 0 0 10 1们仇0 1 0 1 0 1 0 1 位皿瞳 图1 9 附加险d 的损失率( 分年龄组) 珊瑚m伽们伽m们5；为 季| 喜； | 暑 瑚 仰 伽 o 可见除了附加险d 的按年龄组的损失率没有明显规律外，总体和其它附加 险的损失率都随着年龄的上升而上升( 除附加险a 中2 4 这一年龄段外) 。年龄 因素对损失率的影响还是很明显的。目前意外险产品的费率制定主要是依据被保 险人的职业等级，而附加健康险的费率依据的虽然是被保险人的年龄，但是只分 了四个段，即：3 0 周岁以下，3 0 至3 9 周岁，4 0 至4 9 周岁，5 0 周岁以上。而从 以上的分析结果来看，不但有必要将被保险人的年龄也作为厘定保费必须考虑的 重要因素之一，而且有必要将年龄段更加细分，因为以5 岁一个年龄段的分析表 明差别还是很明显的( 如图1 8 ) 。 5 本章的结论和p a 类产品的改善建议 根据以上对经验理赔数据的研究分析，我们可以得到以下的结论： 1 除了附加健康险b 的损失率呈下降趋势外，总体和其他附加险都呈上升 趋势。进一步的分析表明，尽管总体的损失率呈上升趋势，然而随着时 间的变化将稳定在5 2 6 2 左右； 2 无论是总体还是附加险，续年损失率都高于首年损失率。这说明了逆选 择的存在。事实上由于每年可续