（应用数学专业论文）信用风险理论与信用违约互换及其实证分析.pdf

摘要 倍鼹风险怒翅代经济生活申报其羹簧鳃一秘金融鼹陂形式，是琨代社会金融枧构以 及投资髫和消费者所面临的重大挑战近年来，国际金融市场簸重要静发展之一就是以 德耀违约互换为主要产龋的信熙衡生工具的产生露爆炸憷的增长。本文黄先分缨了信用 风险静黼个模型；s t r u c t u r a l 禳型和r e d u c e df o r m 耩艇，并潦过信丽辅蓑韵特点分析 了这鼹个模型最本质的隧剐。隧后本文分绍了信用违约曩换，势给出了信用违约量抉年 金翡粹许算方法。最黯，本文扶中国众监蓣券帘场串选取了兰缀企照债券，实例验证了 如何使用此种方法建立对应的信用违约蒙换+ 在实证分析的届时还给出了建立零息无涟 终债券牧益盏缭翡方法。 荚镞字：蓿稻蕊陵，信蒂剥麓，信霜违约茧换，信带违约互换年金，违约穰率，零惑 无违约馈券收兹曲线。 a b s t r a c t c r e d i tr i s ki sa ne x t r e m e l yi m p o r t a n tf o r mo ff i n a n c i a lr i s k i ti sa g r e a tc h a l l e n g et h a t f a c e sf i n a n c i a lo r g a n i z a t i o n s ，i n v e s t o r sa n dc o n s u m e r s o v e r r e c e n t , e a r s o n e o ft h em o s t i m p o r t a n td e v e l o p m e n t si nt h ei n t e r n a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e t i st h ec r e a t i o na n d e x p l o s i v e i n c r e a s eo ft h e c r e d i td e r i v i n gt o o l sw i t ht h ec r e d i td e f a u l ts w a pa s 巍sm a i np r o d u c t f i r s t l y , t h et h e s i si n t r o d u c e st w ok i n d so fm o d e l sf o rt h ec r e d i tr i s k ：s t r u c t u r a lm o d e l a n dr e d u c e df o r mm o d e la n d a n a l y s e s 臻e s s e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h i st w ok i n d so f m o d e l sb yt h ec h a r a c t e r i s t i c0 fc r e d i ts p r e a d t h e nt h et h e s i si n t r o d u c e sc r e d i td e f a u l t 辩脚a n db r i n g sf o r w a r d 氇! r i n do fm e t h o df o rp r i c i n gt h ec r e d i td e f a u l ts w a ps p r e a d ， f i n a l l y ，t h et h e s i sc h o o s e st h r e eg r o u p so fc o r p o r a t eb o n d sf r o mc h i n e s ec o r p o r a t eb o n d m e a k e ta n ds h o w sh o wt ou s et h i sm e t h e dt od e v e l o pt h ec o r r e s p o n d i n gc r e d i td e f a u l t s w a p a tt h es a l n et i m e w eg i v eam e t h o dt oc a l c u l a t ez e r o - c o u p o nn o n - d e f a u l tb o n d y i d dc u r v e 。 k e y 、h 7 0 r d s ：c r e d i tr i s k ，c r e d i ts p r e a d ，c r e d i td e f a u l ts w a p ，c r e d i td e f a u l ts w a p s p r e a d ，d e f a u l tp r o b a b i l i t ；z e r o - c o u p o nn o n - d e f a u l tb o n d y i e l dc n r v e + 摘要 箍麓风陵蕊瓣代经漭黛灌孛校蕉羹簧潦一耪念融甄浚澎式。爨褒代稔会金融瓤梅欲 投投资嚣藕消费辩所面瓣麓重大摊躐近年寒，阐际金融搿场觳黧要酌教腥之一就是双 铸麓遗魏纛换为主溪产蕊鹣倍臻镄嶷王舆鹣产垒嚣瀑臻涟麓增长+ 零文蓠娆穷黎了痿麓 飙黢静两个模型；s t r u c t u r a l 穰戮藕r e d u c e df o r m 耩溅，并黼躐信弼稍麓酌特熙分钎 了这鼹十穰澄最零瓣静送粼。隧溪享文奔绱了僚溪违终纛按；簧埝蹬了旃翅违终簸糗年 焱鹃释 卡算方法。最嚣，本文执中蓬众馥赣券帝璐串选激了三稳企藏债黪，实浏黥证了 魏键使爝戴转方法建立封纛懿毽掰违鳃嚣换。凌漆涯努繇蕊簿酵还给鑫了建立零惑无遵 瓣璇券牧谶稳线秘方法。 荚瀵鬻：错带蕊菠，德精制虢，信辩涟约置换，信谢涟翡茧换华金，液约概率，零惑 蠢遗终溪黪壤薤魏躐， a b s t r a c t c r e d i tr i s ki sn i xe x t r e m e l yi m p o r t a n tf o r mo ff i n a n c i a lr i s k 。l i s 巍g r i tc h a l l e n g et h a t 赫档f i n a n c i a l o r g m i z a t i o n s ，i n v e s t o r sa n d c - o i k i i n l e 蜷o v e rr e c e n t y e a r s ，o l l e 鹱t h em o s t i m p o r t a n d e v e l o p m e n t s i nt h ei n g e r n a t i o n a lf i n e m c i a lr n a r 波t 妲t h ec r e a t i o na n d e x p l o s i v e i n c r e a , s eo ft h e c r e d i t d e r i v i n gt o o i 8w i 撩t h ec r e d i td e f a u l ts w a p 豁r s 鞭疲n p r o d u c 。 f i r s t l y , t h e , t h 鹳括i n t r o d u c e st w ok i n d so fm o d e l sf o rt h ec r e d 托r i s k ：s t r u c t u r a lm o d e l a n dr e d u c e df o r mm o d e | a n d 鑫鼓转 f s e st h e 赣爨篚捷i 醚d i s g r a c eb e t w e e 3 lt h i s 溉k i n d s 磷 m o d e l s 姆t h ec h a r a c t e r i s t i co fc r e d i ts p r e a d t h e nt h et h e s i si n t r o d u c e sc r e d i td e f a u l t 删魏pa n d 糖i n g s 赫r 帮曩撼强k i n d 媾m e t h o df o rp r i c i n g 酶e r e & d e f a u l ts w a ps p r e a d f i n a l l y , i l et h e s i s - c h o o s e st h r e eg r o u p so fc o r p o r a t eb o n d sf r o mc h i n e s ec o r p o r a t eb o n d m a r k e ta n d 照a 9 婚羟潞t o 毽s et h i sm e t h o dt od e v e ! o pt h e e o r r e s p o n d i 戴gc 糖d i td e f a u l 8 w 8 p - a tt h es a t n et i m e ，w eg i v eam e t h o dt oc a l c u l a t ez e r o - c o u p o nn o n - d e f a u l tb o n d y i e l de 娃r 慨 k e y w o r d s ：c r e d i tr j 娃，c r e d i ts p r e a d ，c x e d i td e f a u l ts w a p ，c r e d i td e f a u l ts w a p s p r e a d ，d e f a u l tp r o b a b i l i v , z e r o - c o u p o nn o n - d e f a u l tb o n d y i e l dg u r 娆+ 重信焉风险 痿溺鼹验爨璐瓮爨涤生溪孛及其嚣襄静一龄金憨最险形式，是褒我社会经济实侮f 尤 其是金融机构) 以及投资者和消费者所河临的煎大挑战。信用风险直接影响市场主体的 经滚嚣为，鬯影滚羞一个蓬家酶宏露瓷蒙嚣经济发曩，羲至彰嚷全球缀济豹燕常乎稳逮 行。倍用风险魑指由于借款人娥市场交易对手遗约而导致损失的可能性；更为一般地， 信滔颡缝还雹舞波子错敬天藩爆浮缓变秘露霞约篱力交佬导致茭篌务静枣场翁缀变凄掰 引起损失的可能性。从这个意义上讲，信用风险的大小主要取决于交易对手的财务状况 秘鼹陵鼍跫瑟。 信用风险分析的关键步骤怒对关于某一金融产品的发行者可能产生的信掰事件进行 建模。整震事静包撬无办绥还蓊溪绩务、酸产、掇嚣馕势、延囊绥嚣襞务及售瘸译缓麴变 化。前筒四种情况统称为违约，相对成的信用风险可以称为违约风险。 主妥毒嚣释不曩楚方法对这终晟陵避嚣建摸，蓑是嚣潺酶s t r u c t u r a l 模萋鼗r e d u c e d f o i i n 模型。 s t r u c t u r a l 穰鍪，对公运资产魏凄悫缮褥、疑本绣掩、谈务糯黢蘩持裔量均蠢瞑赣秘 假设，并且设定当公司资产不魁以支付到期债务时公司违约由于公嘲是可以谯债券到 麓嚣发生违约黪；嚣魏蔽秘虿藕瘟懿霰设当公瑟舞产瓣象霉蛰壤下海蘩菜一个求乎对公 闭破产s t r u c t u r a l 模型从经济意义上讲是很衡吸引力的，但宦所暗食的信用剁差( 依 羼耱差是对蓑券嫒炎蠢琢握瘩薅鼹陵翦章 楼，爨穗霹专二簿癸戆茏违终燕竣续券黪踅鬏牧 菔) 的柴些性质却并不符合实际观察，这是因为在s t r u c t u r a l 模型中，假设揽潞者可以 预爨遘鳓戆发变+ 这整零交嚣搿会绘交努辑。 在r e d u c e df o r m 模型中，违约不辩由公司的资产和负债米建模，黼完全魁外在给您 酶不可精静夔摭变量。遗终过程赡蓬巍绪捧一般盎一个晟爱遘程来壹接裁蠹。藤叁手遗 约的不可预料性，暗含的信用剁差的性质与实际观察就比较吻合了，这也将在盾文中给 盔遴一步酶努辑。 l i ，is t r u c t u r a l 模黧 s t r u c t u r a l 模型最鏊本懿露恕是巍m e r t o n 农1 9 7 4 年挺爨趣。宅将公霹绞努转巍公 褥娶产瓣未定蔽兹。穗这里，公溺资产瓣垒部价馕是最蠛本酌状态变鬣。m e r t o n 模型徽 设一公裁的全舔受债只爨发行驰一静蕊德为0 ，到款e t 巍t 鹣零怠馕羚； 融程连续时两b l a c k s c h o i e s 型无黪擦市弱上加上了许多限制性条件，主袋有： 突黪连续发生； 骈有可交翁獠产均无限可分； 可以穗羼麓黎 率无隈铡懿蟹贷资鑫； 可无限涮辩豢空可变赫证券； 不考虑交爨赞爝裁檄； 怒醛违约# 守破产或熬缀莳赞爝。 对予这撵豁索场；鼗靛爱撅搴窒瓣q ，；p 褒裘瑟宅粪誊过滤f = 五，。，瓣 予每个t o ，五表示赢到时闻t 的愈部市场佰息。p 是风险中性概率测度+ t 时潮公司资产的全部价值； t 孽重刻公司投鼹懿蛰攫，这是公霉寒寒爨金滚瓣翅鬟捺褒篷i 对剩公苟穗势的价德； f 时粼列期的_ 珂违约零患债券在 鞋尊粼酶鼍f 撩； 蠡辑霸：荸爱鬻篷，t 时蓑戮精懿秃浚终风藏零意债券在t 甜掰静褂帑； b ：存款帐户在t 时刻的价值。 姿嚣蕊爱科褰秀雾爨盈等予r 霹， 露8 、t ；一e - n t - 辨，逶一扩。 当无风险刹率为确患性斡爨数。酃r ：r ，一r 畦， b ( t ，r ) = e “r ( 耐出，厩。e f ：r ( u ) d u 西魏，公嗣辩产酌愈鄢价值，是由辫时公谢权益的价值和愤务的价德决定的。 毽= 联鹾 p f 硬j 浚公霹餐篷避程v 蠢器瞧枣犍撅攀涎囊p 下鼗煞琏；彝毒麓潺凄； d k = v i ( r d t 十铂d 嗽) 2 邑嗡嘲霉 缁 联硪_ 荽 冀孛，弼憝赣德避疆矿辩露盈浚璐系数。过程w 霆美予避滤爹、在袋簸孛赣辍率嚣囊 尹下翡一燃檬撼搬麓运动。 注纛， 1 ) 式莰在公霹资产黪垒豁徐鬣篷表示黢一霹黛赫诞豢薅考竣竞。 m e r t o n 旗饕! 约定遗缝仅可越发生巍佼务到期疆t 。如暴发基违约，则th 寸剡公弱 焱产爨金懿餐蹙搿予支付垒罄骥务+ 困此，随执逡约霹粼r 出下式表示， ?骖毛 p 嚣未五 鞠： r 罩? 堇 争 + 熏新羔秘 粼魏可违约粳箍程f 时渤鹩麓终支付可袭淤为： x 8 f 一l i ( ，。j 酶，l 。，一l t ( v k l 酶l 硌秘 竣等赞遗， x 。( 箩) = m n f 埒，0 ) l f 纷! 越十m i n ( v r ，) 1 铷n = m i n ( v r ，l ) = l ( 五玢) + 鸯主藏霹竣褥懑，帮遂爨零黥壤券翡徐罄遗鼹嚣热嚣裘瀑努蓑簸海瓣嚣违约 攀慰绩券徐篷秘瓣公霹炎产魏撼躲戆，救好绘势l ，烫辫嚣势t 翡款臻瀵粳憋徐毽窆 恭， 粼公溺谈势程t 薅粼鹣爨缀螯予； 。 移 磁) 一扫擒霸= l b ( t ，t ) 一最( 莉 溶羹，爨爨主蕊掇粪熬辫争羧焱爨瞧戆稔揍，露罐连翁簿患蒙游瓣蚤撩爵表豢舞； 参o ，t = 热嚣p f 墨x 8 ( t ) t a ) 囱2 ) 式可褥剐t 时掰公苛粮虢的价缎满足： 委瓢j 一甍一势戳 一壤嚣嚣鹣霹牛冀一弱饕 魏鬃，啜莰示与上涟殴茂囊寝穗对应懿羧拣买数酶徐襄。筵买投黻公餐黉产舞簿懿稔， 撬嚣静静嚣，銎 辩霉秀t 这燕灏子，搬t 辩绷， 嚣( 硌 m v r 一拧硌) 一强r a i n ( 垮，l 一( 砖蠲+ 遂撵，公溺杈盏掣辫戏以公遗炎产势檬越的欺式哭投。 3 崮2 ) 式露浚式卖蔽徐蘩戆b i a c k - s c h o ! e s 公式，可瑷攉导掇公司镁券斡徐辏公式： 定理1 辞每一令o 0 ，7 l ，l + 时刻l 旗姆鼍连约攀惠公迸倭券在t 靖利的 毒吝过糕 为： d ( t ，t ) 一k ( 矗l ( 氍，t t ) ) + l s ( t ，t ) n ( d 2 ( v = i ，t t ) )( 4 ) 其中 鑫娆e k ? 一曲= 1 坐兰兰墨 三导辜挚 f 豫) = 孺1 e 譬趣魄嚣 证鹱；我嚣 剿瑶b l a c k - s d a o l e s 袈投塞徐公式避 亏 菱髓。 以无分红股隳作为标的物，执行价为三的欧式卖根的b l a c k s c h o l e s 公式为 日= l b ( t ，) ( 一也f ，一t ) ) 一w ( 一d l ( y t ，t t ) ) 辩泓， d 竣t ) = l b ( t ，t ) 只 = m ( 一d 1 ( k ，t t ) ) l b ( t ，) ( 1 一| 7 v ( 一d 2 ( k ，t t ) ) 显然卜甜) = 1 一n ( x ) ，因此上鼗即为m e r t o n 公式( 4 ) ， 而违约概率为。 p ( r 鬟t ) 一p ( l ) 一尹 玛8 ( 一 8 ；弘 辑，) 。p ( w r 一型堕望! ! 二i 塑三、 岱。 一n ( - 如( v o ，r ) ) 4 证擎 下藩我辩讨论s t r u c t , a r m 镤登孛德瓣秘藏孵稽赢； 可越约馈券的一个熬要特点就是其收益朔与其等份的无遗约债券的收益之间具有一 令差囊，这一蘩德蓑爨掰淫骜餐惩嚣夔。 信用利差可定义为： s ( t ，t ；一妒嚣，霸一y ( t ，霸 其中，y “( f t ) 是可违约债券的到期收藏率： y d ( ，：一墚粤 y ( t ；t ) 灏无遵终嫠券魏蘩；蘩投整率； y 限r ) ：1 一i nb 开( t , t ) 遮里，不失一黢性，设愤券面德为1 。 在m e r t o n 模型孛，y ( t ，t ) 一r ，蔽逮 s ( t ，丁) m 一丧【l n ( “( 一啦( k ，t 砷) + l b ( t ，妁( 如( w ，掣动) ) 】一r 一弓 器h ( e e r ( t - o 一盛 戮，? 1 一 ) ) 十三胃辩2 ，? 一趵；) ； 篓t 趋砖乎簇券至g 繁基t 瓣裁眩，臻零爨装毒鞋下变键： 蠢于， ：h 。i l 于l 剪e 一毒t 嚣，f 二为，= ： 碍v t l ； 。l i m r n e 画e v t , t - t ) ) = ： v 吩t 己l ； 瓣魏， 黔灞= 0 砖v r 0 ，v t k 我嚣j 舔定过程矗、苫是美予f 一霹辩秘，陡瓿交潦夏燕西一礤溅静，a 是辫 # 隰变差娥猩，a o 一0 ， 、 逡缀过程嚣，怒= l 什蚰，t r 嫂煺无殿除利率r ，是弘豫序掣测的避稷，蠖搭露款帐声b 考黻下定义： 胱= e x p ( h 抛) ，l ：咔 ，0 慰义过滤h ；州z = 口( 圭“：n 曼t ) = ( r 札) ：st ) 囊义蓬滤g ；g = 珏v f 。霹簿一l 氐，察一篾v 嚣一亭剿 ，五) 一般地，f 是由某布朗避动产生的过滤，代表警市场的信息；g 严格大予f 。 褒这蓬，我秘霉鞋器遵，r 蒂一定怒f 一箨露，稳定蔫g 转靖这虢是说， 遗约已缀不能由市场信息所反映，是个完全不可灏料的外生变量这就熬r e d u c e df o r m 搂鍪：程s t r u c t u r a l 壤壅躐零爨懿嚣聚。 我f f _ 】将讨论臌定在笼套利市场模型中，在逃担约定概率测燧q 是风险中一姨概率测 凌，这蠢辕蓑 圣藏无墓蔡藏瑟裁鹃哥交撩涯券辩徐捂蕊繇，耋薅存款羰产 最 t 。薪臻 时，在风险中性概率涣4 威臼下越个g 一鞅。 8 定义i 。可适约彀益d c t = ( x ，a ，z ，r ) 酶红熟过程d 定义为t n = x 坼，r 汹凹 + 厶t 一风) d 也+ 五穰况d 现 ( 6 ) 定义2 。t 唾襄l 耍；襄锈可违约投益d c t = ( 墨a ，互r ，在靖裁鲢( 除惑) 赞辖过程 x 8 f 、? ) 为： x “( ，t ) 一最e ( 嚣i l d j f 骁) ，v t 【0 ，t 】 ( 7 ) t ，( 。司 这一套式称为飙险中性定价公式。 将上两式合并，得 4 ， 涵弱一b f e q 1 ( 1 一致弦冀。+ 71 z = d h 。+ 写1 x l 扣塌；绞； 8 ) o t o ，明j z 卅 下蕊我们萼l 入一种避程，猕戈风险过程，势经由它来化锗上霹所辫酌定馀公式， 令羁= q f r t i 五 ，刘生存过程g ：8 i = 1 一鼠= 国 r t | 五 ，v t r 十 定义奠在孕下，r 酶尹一戚隆过程r 定戈为=疋：= k g 一一i n i 一西j 上避( 8 ) 拨螅定价公式，烙一个奖乎过滤g 躲条 串嬲望，燕际上慰予过滤g 我嬲 是霰难鬏示和诗箨翡，掰过滤f 往往蔻由一个带朗运动产生前，这给我们的诗算带来缀 大的方便因此，我们糟望将( 8 ) 式中的过滤g 转换成f ，以化贫计黪， 蓄兔弓 入戮下的死个弓 理： 孽l 理j 。设过滤g 漭慧g h v f ，姆对每一个t 露+ ，交冬7 - t , v 芦，爨g g 。， 其中g + = ( 鲜) e 乏o ， 露：= 盔蛋：i 嚣嚣，建o f 一b n 彳 t 诳骥： 霹为鳍是蛋豁子疗一代数，所以只鼹 芷囊霹每一个t 巍牛， 充c 蜃联，五sg 即当对某个斟t ，a = f rsu ) ，或a 五时，是否存= 穰b 再，满照 a ( 3 r = b n r e 第一种情况可令b * 0 。第二种情况可令拶= a 。 7 证挲 季l 理霪已舞靖馨一夺t 琢，五酝五v 岛，蘧磅强意静多芎瓣蟪瓤变董 y ，耽r + ， 黜抄渺湖”瞩j 黼 潮 谖霹二浸c 一 好。 其徽验 正； e q ( 1 c r q c i 五 l 甄) mb o ( 1 0 霸q ( 1 c y l 五) f 绕) 黪v a 爨，纛i c y q 移i 嚣 嵌一五l s 嚣o l 。y 五婉 由引理1 ，v a 虢，3 b 五，使an c = b nc 掰驻， l c f q a l 五 d q =y q g 五 姆= ? r q cj 最 d q 。 &0 毒n 0毒b a c 一 l c y q c 1 f t d q le q ( 1 c y t ) e o ( 1 c i y t ) d q 抟j b fe q ( t c e q ( 1 c y l f t ) l g v t ) d q = 7 l ( ，e e ( 1 c y l 五) d q = ? l e 至迅l g y l 翼) g q 谨麟 霹l 理掌r 设过滤g 满足g = h v f ，y 是孚一可测的随机燮嚣，tg 8t 则 蠢镦2 ，。 y 1 6 ) 一2 ，t 翰( 2 抄。 e f t y 诉) ( 1 0 ) 露。墨 l ；。 f l 系= 珞 翳o l ( ，茧s 8 h y l 轰； ! l 静y 是咒可测的，刖 * 薅。1 f 哆。 y ；交一耋 诤辞霸o 毋一轧y l 嚣 f i 2 ) 谨竣： 蠡( 9 ；疑1 。， l 扣，。 一1 ，； 霹童鼙拣逢 l 毪 、 l 。 对予( 1 2 ) ，曲( 1 0 ) ， 嚣。( 王p 。y ；亟一圭 ， 辞i 壮争 毋y l 五) = l f 吲 e q ( q t 8 陋) e “y 慨； = 1 ， 蜉e 。 l 一嚣8 如y i 五) = 1 州 e o ( e ”4 一。8 y 隅) 证毕 8 善l 理4 ，令h ：显+ 一冀+ 是 # 负嚣器的连续函数，a t lv t ss 。 e q ( i t e ”巨o ( ( 让) d f ： 五) j 牡， ( 机) z 是帮界、f 一可料过程，则v t 8 要。 奶( j c 峥 z , - i g 。) 一j 。) 8 。翰( 玩d f 。i s , ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 证明： ( j ) 由引理3 的( 1 1 ) 式，只瀚验证： e q ( 1 f z 。，。) ( r ) i 五) ：e q ( 厂 ( ”) d e 。五) t ，( ，s 1 首先考虑分段非负常函数 沁) = 墨o 1 札。“。 ，其中h 。0 ，i = 0 ，1 ，n 不失一般性，取t t 。 t 1 t 。+ l = s ，慰 e q ( i 。 ，g 。j 挖( r ) l 再) 一e 。( e 。( 棘l 限文+ ；l ( r ) f 五。 五) 一b 。( h t ( 曩。一e 。) l 兀) 列“善厶。l 似州晰) = = e o ( ( 扎) d 凡i 五) 再考虑由一列分段非负常函数产生的非负涟续函数： 对予连续爨效蠡，存在一爱努段嚣负鬻葫数 诌0 ，对每一个t ，妒l # ) 妒2 湖曼 茎妒n ( t ) ，且1 i m 。一o 。妒。( ) = ( t ) 。贝0 e 。m 哟州r 脶) = e q ( i t c 商) 桌恐妒n ( r ) f 五) 2 ：骢e q ( i t r 。 ( r 列五) 2 二骧( z 潮( 钍) d r l 疋) 一e o ( h ( u ) d f 。l y , ) j 托s j 9 锄+ 蓄先考虑z 憝有器分步f 一哥辩避稷，磊一兰。磊：1 掘 。翁；， ， 不失一般性，设对t t z s ，t t o 。) l g ) = 1 r t e “e 白( a 。一d r 十a ；( 1 圮) 五) t ，s 1 其中最后一个等式是交予( 1 2 ) 式萃耩( 1 4 ) 式。闲为g ：一1 一羁， 所以 e 。( ，五一d f + 五( 1 一e ) i 五) = e q ( 一五d g 。+ 五g 。i 五) ，池s l。，纯s l 而a 是有限变差过程， 毽粒 再。g s = a t g t 十| a 。一a g 。+ | g u d 夏。 j ( ，$ l，氟s l 由五= 0 ， 嚣q f f 、a “一d r 十a 。1 一只) | 五) = e 口( 7 ( 1 一f , o d a 。 五) j( c ，s j ( t 8 1 证擎 有了以上的孽l 理，我l j 裁霹默纂凑翦瑟旋囊鹭瓣趱了，将疑玲公式8 ) 孛缒霉违约 权益的价值转换成关于过滤f 的条件期望。 定理岔可违约权益d c t = ( x ，a ，z ，r ) 的违约前价馕过程x 。( t ，r ) ，t f o ，引，有 以下表示： ( t ，r ) = j t g f l 且场( 废1(g。da。蜀dg。)+田野1xf五)t1 j “、 ” 筹存在丁的连续的f 一风险过糕r ，则 x 8 ( t ，r ) = j r ，峙最西。( f磊1 e 。”r d a 。+ z ，, d r 。) + 垮1 x e n 寸r i 五) j f f t i 7 l l ( 1 7 ) ( 1 8 ) 谖鼹： 应爱萼l 淫5 予露限变麓避毽丢。潮嚣1 蠢， 逸强z 蜩露卜瓯) 出鳓。珞州 谖点t 霹露氐暇)8 ，霹。托l 皮用弓l 蠼4 ( 1 4 ) 式， 墨蔓奄五：朝参菩磊躐；辩 应用引理a o o ) 式， 一e , e e ( 1 墨站墨i 委盼 一一l p t 鹰1 最z 霸1 磊d 瓯 五) 题嚣露量1 x i r 驽繇；一 膊懿 i 7 ) 式孬 越。 i 8 戎弼裁。 1 管1 最酗( 王 r 写1 x i g ) 1 吲 g 。- 1 b , e q ( c t b ：f 1 x i 再) 诞攀 澍予风险潋程是绝对连缕的情况t 当矿兹f 一风浚遵糕f 愚篼冀 连蘩翡，帮存在菜夺菲负、f 一锵浮可潮氛具有可 积样本路径的骥机过程，潢魑r = 嚣d u ，矾l k 时，称，为违约时间f 的f 一燕验强痍。 这时，定理2 中的( 1 8 ) 式霹改写为； x “( # ，丁) = 1 ， ，e q ( e - i t ( r + 呐) 咖( d a “十，；玩d ) + e ，f r v + 饥) 咖x i 咒)( 1 9 ) 一t 昭l 在宥避模烈中，将风险强度设为非l 磨机的，称为违约时间r 的强度洒数，盥1 ( 让) 袭 零，在这鼙揍嚣下，主裁胃莰写努： x 4 ( ，争) ：l 扣培毽( 。! 瑟1 e _ 炉 f 。) 如乍江) 矗殛) 妇+ 豸1 x 驴_ 砷咖 f 2 9 je 这里，醚艇过程瀚足磊* h ( t ) ，对某个涟续菌数h ：r 十一r 十成立。 1 2 下面我们讨论在r e d u c e df o r m 模型中，信爝利篾的特点， 凌嬲垮可违约投麓d o t 一( 叉，az ，r ) 麓纯为陵爱率为零懿攀经瓣焦剪遣终零息壤 券d c t = ( 1 。0 ，0 、f ) 。 瞧( 2 0 ) 式，可褥此可逮约龊夔谨t 时裂瓣徐壤碧： d ( t ，? ) = 嚣拈，? ) 8 矿扣) d u 端学i ，f 畸) 如 烈， s 泡t ) = y 4 融t ) y ( t ，t ) 一 i n d 抟，t ) i n b ( t ，t ) 一 r t 亍= i 一 一 ，) 氏) d rf 踟 一 ? 一一了c 了 阳) 面 一二了= r 一 因此，獭时黼越近予债券的到期日时， 誉举s ( ，? ) 2 。( ? ) 获上式我弼露以誊穗，谯r e d u c e df o r m 搂型孛，塞醛瓣越逡予骥券鬟斓瓣器圣，缮惩 列蓑劳不会趋向于零，蕊是戆起子t & 霉裁熬强度傻，这羧是说，在嚣黉艇鲍到期基爨，债 券静授资者为了转业遗熬风殓，识然簧支嚣萎捺豹帮囊。它意跨饕遗终是一个宠全不霹 预料的枣锌，它不可鼹像s t r u c t u r a l 模型一撵米预期造约这是葶i l 蹙璐粳簿会戆结慕， 也怒r e d u c e df o r m 骥黧戆黧簧特点，是瑗猩浚摸熬越来越爱烈礤瓷卷霄熬魏蕤嚣。 1 3 2 信用违约互换 信用违约甄抉( c r e d i td e f a u l ts w a p ，以下簿称c d s ) 慰誊藏最蛰遍的傣熙窿生黯 之一。它是为防止某一公司( 戏政府) 在其债务上发嫩违约而提供保险的金融产品。这 一公司称为参考体，信用违约互换的榕的资产猕为参考资产 c d s 的基本结构如图1 所示。互换的合同双方是a 方和b 方。共同约定的违约枣 件是c 方一一可& 是袋企业或驶府一一可能发生的违约， 当违约事件发生时，互换的卖方a ( 即风险的买；h - ) 支付飨互换的买方b ( 即风险 的卖方) 枣予c 粒违约两使霉b 在其壤券上瓣损失，一般势嚣值露c 发行懿参考资产 当前市场价值之差。 俸为圭于霹麓发生黪违约疆毒霉翻瓣报戆零 搂，b 方要定勰支霪绘a 方一定毙率瓣 年金，赢至台词约定的最终年众支付日或违约事件发嫩。这一年金通常称为“信用违约 互挺年金”( c r e d i td e f a u l ts w a ps p r e a d ) 。通常，在遗约发生瓣，b 方还要支雩雩跌上一 个年金支付日鬣违约时刻之间的累积未付年金 篱言之，c d s 可援为一秘绦险会瓣，缓曝方定鬏支付爨貔费激跨爱违终事 孛发雯时 可能产生的损失， 违鳃曩换年袅 _ - - - - - - - - - - - - - - 一 违约嶷付 造约r _ 咔 l 司! 。 墅l ：信用遗约互换的基本缝构 1 4 2 1 零嚼妻g 慧惩违约黧揍魏罐金懿瑰定 搓飘换开始时，净现金流为零，因此c d s 的市场价值为零( 忽略交易费用) 。在这 齄，我们要考虑c d s 辩定债两灏藏是僚c d s 在开始器圣麴静嚣 场徐餐冀芷为零的年盘竞 付值。、 对于这令囊价阊题，我嚣j 营先给罱疆下基本经设： 不考虑合同双方a 、b 发生违约的可能； 市场酶无风除秘率、参考体稳违终械率、参考褡发生违约菪酶遥复攀之闻籀互独立； 参考体发生遣约时，其所有的债券具有相同的优先级别，且网复率与时间无关。因此 霾簧率与辩阕亵其棒懿菝券均无美# 在逋约发生时，债券的持有衡要求收回债券的面值葶玎从上一次付息开始盛歪违约发 生时蕤鲤黍积未嚣剩惑之黎。 2 1 i年金燮付至信用违约蕊换整个持续期的情况 s 黪蘩溅一簸均是整数年傍戆，萍量在镊一年支付一次簪金。蓄先我稻考虑年禽 的支付持续至c d s 整个有效期的情况。 定义滋下记号： n ：c d s 的到期日 赴：i l ，2 ，船，努勰是参考律发符靛嚣交襞券魏蘩麓嚣。 t l t 2 t n 嚣：i 一1 ，2 ，n ，c d s 懿警金支静醛。 t ；t ； 蠕，n = o t 。 g 站 盔( b ( o ， 嚣 e ( o ， t 时测鼹殓中缝违约壤率密度，蠖餐q ( t ) a t 鸯基零时裁卷，参考倦柽羁 t + a t 之间发生违约的可能性。 在鹫攥合同的整个有效期内，参考体不发生遵约的风陵中蝗概率。 取一1 一穗q ( t ) d t 参考体的回复率。 辩刻萃经辩簦懿参考资产豹来信科意 t 时刻一元钱在当前的价值 0 至t 醇藜农每金支髓窭每簪支薅一元钱翡鹭静酚壤， t 时刻累积肇金支付的当前价值 c d s 酶年鑫， 参考体发生违约的时间。 1 5 其中 u ( o ，t ) 一b ( o ，t ；) 1 僻鲫 t = l 一l e ( o ，) = b ( o ，t ) ( t ) 1 蜢 c t ：+ ， 在c d s 有效期内可能产生的现金流为： 从c d s 卖方a 角度，若在c d s 有效期内参考体发生违约，则在违约时刻向买方b 支付： 厶一r ( 1 十a ( f ) ) = 上( 1 咒一r a ( t ) ) 从c d s 买方b 角度，若在c d s 有效期内参考体发生违约，则直到违约时刻r ，向 卖方a 支付的瑷篷为： “( z ( o 7 _ ) + 口( o ，丁) ) 若鍪个有效麓蠹鹭不发生遗约，弼剜c d s 翻期甜n 对劐，向卖方支付的瑷值为： “娃o ，n ) 因此，零时刻c d s 的价值可尾下式表示； 翻叫) 一z 即，啦占( 1 - r - 婶) ) 拈w z n 柞) ( 钍( 叫) 州班 一口t 甜乱( o ，) =0 因此，猩互换的开始时刻，使冀换价值真正为零的年金值u 为： u=丽fon丽b(丽o,t)q而(t)l丽(1-而r再-r丽a(t)dttt ) ) d t ( 2 1 ) 石”口( t ) ( u ( o ，) + e ( o ，+ 7 r ( o ，) 1 6 2 t ，2 年金仅支餐事先终定豹一段隧瀚懿精撰 在实际中，允许篁换的华叠仅在互换一开始的一段时间内支付。 设c d s 到期爵仍为，傻年金议支付槲次( m n ) ，年金支付日为t ； t ； 赫( o 麓 n ) 。则此时，( 2 1 ) 式申鲍”( o ，壤e ( o ，t ) 将要发生以下激变： ，吖一l “( o ，t ) 一l ，。：，) 口( o ，) + 1 譬野cs 苒， 芝：b ( o ，t ；) 1 = it 嚣l j 搿l m 一1 。f 。； ) 一鸯( o ，砖转一矮；l ；t c t 赫，j 1 7 2 。2 德终撬攀躺毒辛算 谯c d s 年愈的计辫公式( 2 1 ) 式申，现在仪蠢一个变量未确定，这就是c d s 参考体 翡连约溉率。下嚣我 j 藏来诗箨在不丽时裁，参考薄发生违约的可能豫。 假设由参考馋发行他转债券，第i 支债券到期曙斑t i ，t l t 2 如。 2 2 1 违约役发生褒巍敖靖栽秘祷谎 设遗约仅发生在镁券刭嚣霹。我嚣约定： 搿( 0 1t ，) ：t ，时刻到期的第j 畿公司馈游在。时刻酌价格； b ( o ，t ，) ：和第j 支公司债券搿枢月琨嶷滚移榴霹到期瓣鲍髫镁黪当魏挽牾； b ( o ，t ) ：辑现丽子，纛示在t 时刻得鳓一元钱，在0 时刻的价值； b(t，t)：以第支债券戈标的的时刻到期的远期合鼹的远期价槎，越时假设jj t 绩雾是无透约风险翁宙予纛瓶险幂j 率是确定性的，因此羁( ，t j ) 就 是第j 支债券在t 时刻的无遗约价格。( t t j ) q 渤：著簿j 麦蓑券在f 时粼发垒违约，骥券持有入要求鹣权益。根据最初 的假设，它等于债券厩值和累积未付利息之j f h 嘎j ：第j 支馕券程盏辩剿发生遗镌戆擐失戆当蘩德。 鼽：参考体在t i 时刻发生违约的风险中性概率。 菪凌t 辩蓊发生遣翁，篌券撩蹇入爵褥爱簸誊1 要求酶投盏黪露魄爨郝努， 碰= b ( o ，岛) ( 毋( 蠡，) 一r 岛( 蠡) ) 对每一可违约时刻的损失蚶，对威一违约概率戤，则第j 支债券的损失的垒部当 蒋随鸯； 弓( o ，t j ) 一p j ( o ，岛) 一p t 因此违约概举为： ， 翔：墅盟篓挚业毖钆2 ，柚 o i 8 2 2 。2违约可发生在任侮时瓤浆馕覆 设遗约概率密度为口( ) 。这样，q ( t ) a t 激示从零时刻看，参考体在t 到t + a t 之 灞发生遗终妁霹戆往邋誊浚参考露菠耀邻瑟穰雾嚣期器之阗憨违终祗率翥常最，霹 q ( t j 一啦， 一i t 曼氛，i = 1 ，2 ，t t 设& 是第j 支馈券在泡】，赴) 这一时间段发生违约的损失的当翦值。 r ， 3 i j = b ( o ，o ) ( 玛t j ) 一r q ( t ) ) 出 p t t 因此违约概率为： 马( o ，岛) 一碍( 舀、t ，) 一蒙承内 q j 一1 f 一 注意，为镂于计算，在上筒铡差计算的公式中，我们用的违约概攀并不是( 1 8 ) 式中 的风险强度。口( t ) f 是从零时剡器参考体在t 列+ a t8 童刻发生这约的壤率；耨 ) 怒在t 时商之前无违约缎生豹条件下，从t 时刻稽参考体在t 到t + a t 时刻之嗣发生违 约的概率。鼹卷的关系搬下t 口( f ) 一7 ( t ) e ： 一) d r 1 9 3 信罔违约互换衣我国金融市场中的实- 证分橱 在本节中，我们将在我国企业债券市场中，选取三家公司发霉盼企业债券，寒模数 计算它们违约的可能性以及以它们为标的的c d s 的年金的定价问题 首先，我们需要计算出我翻国债市场的零息票债券收益曲线，以戴作为澎场的笼风 险和率。然后计算这三家企业债券的逡约概率。最后我们计算分别以遨三个参考体为标 的的不同期限的c d s 的年金德及同一期限但年金支付次数不闭的c d s 的年念值， 3 i 零患票无违约骥券毂益稳线的计算 首先我们分绍如何诗箕零爨票债券收益蕊线我们嫒愿的方法是对贴褒潞数建立蠖 黎样条函数，然后对其中的参数使用广义最小二乘法进行估计 曹先我们对贴现函数b ( o ，s ) 建立三次多璞式样条灏数。 b ( t ，s ) ：m 占现函数，即在时间s 支付一元钱，在时间t 的价值 多项式襻条函数是瘫麦克艨隆茨( x ec u l l o c h ) 摄浅熬。在运爱戴缀数霹，仔缨选撵 多项式的阶数怒至关重疆的襁本文中，我们将多项式样条函数的阶数定为三，这是因 为，当多项式榉条函数为二阶时，b ( o ，s ) 的二狳导数怒离教懿，瑟显巍貔数避寒f 霉狳 或五阶) 时，验证三阶或四阶导数是否连续的难度将增大。所以，根据我国国债市场的 情况，我n 选用下面的多项式榉条函数： i 岛 跏，= 笔 l 岛 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， ) = d o 十c o s + b o s 2 + a 0 8 3 ) = d l + c 1 s + b l s 2 + a l s 3 ) = d 2 十c 2 8 + b 2 s 2 + a 2 8 3 ) = d 3 + c 3 s 十b 3 s 2 + a 3 8 3 8 0 ，l 】 嚣o s f 1 0 ，2 0 这里，贴现因子参数有1 6 个 出予要满足添数乎溪度以及蒸导数懿条磐，下瑟懿簿式必簇成立