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阶梯形变幅杆的有限元仿真及其在局部共振研究中的应用 王敏慧 摘要超声加工的核心超声振动系统，一般由换能器、变幅杆和工具等组成。 按照传统的半波振子设计理论，各个部分的尺寸必须满足一定频率方程，才。能保 证振动系统作为一个整体谐振在某一频率上。工具头的尺寸只能在很小范围内变 化，使超声加工的应用受到一定的限制。范国良等人研究了种新型的超声加工 深小孔的工具系统，提出了超声复合振动系统中的局部共振现象。虽然这种现象 已经许多实验证实并获得应用，但它的机理仍在探讨之中，至今未有定论。由于 阶梯形变幅杆和局部共振系统有着相似的结构特征存在截面处应变和应力的 跃变，因此研究阶梯形变幅杆的振动特性对于探讨局部共振的机理具有一定的意 义。张大安等人研究了粗细端直径比小于4 时两端等长阶梯形变幅杆的固有频 率的变化规律，给出了修正频率的经验公式，但对于大于4 的情况和变截面处 的具体振动形式，则未见有研究报道。本文以有限元分析为主，同时采用实验测 量和理论计算进行验证，分析研究了阶梯形变幅杆变截面振动特性( 包括谐振频 率、放大系数、振幅分布等) 。在此基础上，用有限元方法和阶梯形变幅杆模型对 局部共振进行研究，探寻了各个参数对局部共振的影响，讨论了超声振动系统局 部共振现象的机理，提出了局部共振的产生条件。这些工作对于完善超声振动理 论和推动局部共振的实际应用都具有一定意义。 论文的主要研究内容及创新点主要有以下几个方面： 1 、对粗细端截面积比不同的两组阶梯形变幅杆进行了研究，用有限元软件分 析了它们前三阶振动模态的谐振频率、放大系数、粗细端分界面的振动情况和位 移节点位置。发现随着阶梯形变幅杆粗细端截面比的改变，谐振频率具有抛物线 状变化规律，呈现先下降后上升的趋势。在l n n 2 = 2 4 附近，等长杆的频率的仿真 值与理论值相差最大，位于曲线的谷底。大约在1 n 2 = 3 5 附近，不等长杆频率曲 线达到谷底。发现频率最小值的偏移与粗细端长度比有关。通过与实验值理论值 的比较发现：在粗细端截面积比大到1 0 0 的范围里，a n s y s 仿真的位移振幅放大 系数与截面积比成正比。这一规律不受解析法条件( 截面积比小于5 ) 的制约，对 任意阶梯形变幅杆均适用。用a n s y s 动画模拟振动时，发现变幅杆粗端与细端的 分界面近似做受牵引的薄膜振动而非活塞振动，变幅杆的细端相当于粘在薄膜上 的牵引棒。通过变橱杆轴向相对位移分布图，找到了变幅杆位移节点的位置，发 现对于两组变幅杆的第、三阶纵振模态，变幅杆的变截面处与位移节点非常接 近，可以近似地认为变截面处就是位移的节点即应力的波腹；而对第二阶纵振来 说，只有两端等长变幅杆的截面突变处才。正好是位移的波幅，应力的节点。 2 、在研究局部共振时，采取“由简单到复杂”的方案，用两端不等长阶梯形 变幅杆的振动模拟局部共振实际的振动系统。这样做可以使实验参数简化而并不 会影响局部共振的本质。通过对四组两端不等长阶梯形变幅杆的有限元仿真，结 合实验测试和理论计算，找出了截面比和工具杆长度对局部共振的影响。通过对 阶梯形变幅杆的拓展研究进行了局部共振现象的理论探索，验证了局部共振可以 看成是d 系统与工具杆之间的耦合振动，发现局部共振系统的维恩图是一种由多 对耦合曲线构成且有曲线相互交叉的图形，这是在多阶频率相互耦合作用和多个 “振予”相互影响的环境中造成的。在进行局部共振条件探讨的变幅杆有限元模拟 时，发现对于粗细端长度比不同的阶梯形变幅杆，其频率比随面积比的变化曲线 不同。最终结合前入对局部共振理论的解释，得出局部共振的两个条件，即粗细 端的直径比应大于3 且长度比在0 5 和1 2 之间，工具杆的厂r 应避开d 系统的岛。 关键词：局部芙振谐振频率振幅变截面有限元耦合振动 f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s o nt h es t e p p e du l t r a s o n i ct r a n s f o r m e r a n di t sa p p l i c a t i o n st os t u d yo nl o c a lr e s o n a n c e w a n g m i n h u i a b s t r a c t ：t h eu l t r a s o n i cv i b r a t i o ns y s t e r n ，c o m p o s e do ft r a n s d u c e r , t r a n s f o r m e r a n d t o o l ，i s t h ec o r eo fu l t r a s o n i c m a c h i n i n g e q u i p m e n t s a c c o r d i n g t ot h e h a l f - w a v e l e n g t h - v i b r a t i o nt h e o r y ，t h es i z eo f t h es y s t e m se a c h p a r tm u s t h a v et h es a m e r e s o n a n c ef r e q u e n c yt og u a r a n t e et h es y s t e mw o r ka saw h o l e t h el e n g t ho ft h et o o li s o n l ya l l o w e d t o v a r y w i t l l i nav e r ys m a l lr a n g e ，m a k i n gt h eu l t r a s o n i c m a c h i n i n g a p p l i c a t i o nl i m i t e d t oi m p r o v et h i ss i t u a t i o n ，f a ng u o l i a n ge ta 1 s t u d i e dan o v e lt o o l s y s t e mf o ru l t r a s o n i cm a c h i n i n go fd e e p ，s m a l lh o l e sa n dp r o p o s e d s oc a l l e d “l o c a l r e s o n a n c e ”i nt h eu l t r a s o n i cc o m p l e xv i b r a t i o ns y s t e m a l t h o u g ht h ep h e n o m e n o no f “l o c a lr e s o n a n c e ”h a sb e e nv e r i f i e db yan u m b e ro fe x p e r i m e n ta n da p p l i c a t i o n ，i t s m e c h a n i s mj ss t i l lu n d e rd i s c u s s i o na n dt h e r ei sn of i n a lc o n c l u s i o ns of a r b e c a u s ea s t e p p e du l t r a s o n i ct r a n s f o r m e ra n da l o c a lr e s o n a n c es y s t e mh a v et h es i m i l a rs t r u c t u r e ， i e t h e y b o t hh a v ea l l a b r u p tc h a n g e i nc r o s s s e c t i o n ，as t u d y o nt h ev i b r a t i o n c h a r a c t e r i s t i co ft h es t e p p e dt r a n s f o r m e rw i l lc e r t a i n l yh a v er e a l i s t i cm e a n i n g sf o r p r o b i n gt h e m e c h a n i s mo f “l o c a lr e s o n a n c e ”z h a n gd a a l la n do t h e r ss t u d i e dt h e v a r i a t i o nl a wo ft h er e s o n a n c ef r e q u e n c y , w h e nt h ec r o s s - s e c t i o nr a t i on 4h a sn o tb e e ns t u d i e d t h i sa r t i c l er e l i e sm a i n l yo nf e m ，a d o p tt h e e x p e r i m e n tt om e a s u r ea n dt h e o r e t i cc a l c u l a t et ov e r i f ya t t h es a l n et i m e ，a n a l y z ea n d r e s e a r c ht h ev i b r a t ec h a r a c t e r i s t i co ft h es t e p p e dt r a n s f o r m e ri nc r o s s - s e c t i o n ( i n c l u d i n g t h er e s o n a n c ef r e q u e n c y ，a m p l i f i c a t i o nc o e f f i c i e n ta n da m p l i t u d ed i s t r i b u t i o n ) o nt h i s b a s i s ，l o c a lr e s o n a n c ei s s t u d i e db yf e m ，t h ei m p a c to ns o m ep a r a m e t e rt ot h a ti s s o u g h t a n dt h em e c h a n i s m a n dt h e p r o d u c t i o n c o n d i t i o no fl o c a lr e s o n a n c eo f u l t r a s o n i cv i b r a t i o ns y s t e mi sd i s c u s s e d t h e s ew o r k sf o rp e r f e c t i n gt h eu l t r a s o n i c v i b r a t i o nt h e o r ya n d p r o m o t i n gt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no f h a v e i m p o r t a n tm e a n i n g i nd e t a i l ，t h et h e s i si n c l u d es e v e r a la s p e c t s ： 1 、t w o g r o u p so f t h es t e p p e dt r a n s f o r m e rw i t hd i f f e r e n tc r o s ss e c t i o na r es t u d i e d ， a n dt h er e s o n a n c ef r e q u e n c y ，a m p l i f i c a t i o nc o e f f i c i e n t ，v i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c si nc r o s s s e c t i o na n dl o c a t i o no fd i s p l a c e m e n tn o d ea r ea n a l y z e dw i t hf e ms o f t w a r e w i t ht h e i c h a n g e o fc r o s ss e c t i o nr a t i oo f s t e p p e dt r a n s f o r m e r ，t h ep a r a b o l ar e g u l a t i o n o f r e s o n a n c ef r e q u e n c yi sf o u n d a b o u ti n n 2 = 2 4 w h e nt h et w op a r t so ft r a n s f o r m e ri s e q u a l 。t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ev a l u e o ff e ma n dt h a to ft h e o r yi sb i g g e s t ，a n dl i ei n t h ev a l l e yb o t t o mo ft h ec u r v e a b o u ti n n z = 3 5 ，w h e nt h el e n g t ho ft w op a r to f t r a n s f o r m e ri s u n e q u a l ，t h ed i f f e r e n c e i s b i g g e s t f i n d i n gt h em o v eo ft h ef r e q u e n c y m i n i m u mv a l u eh a sr e l a t i o n s h i pw i t ht h er a t i oo ft w op a r t sl e n g t h a c c o r d i n gt ot h e c o m p a r a t i v ed i s c o v e r y w i t ht h ev a l u eo f t h e o r ya n de x p e r i m e n t ：w h e nt h e c r o s ss e c t i o n r a t i oi ss m a l l e rt h a n1 0 0 , a n s y sa r t i f i c i a ld i s p l a c e m e n ta m p l i t u d ev st h ec r o s s s e c t i o n r a t i o r e p r e s e n t s t h ed i r e c tr a t i o a n dt h i sl a wi sn o tr e s t r i c t e d b yt h ec o n d i t i o no f f o r m u l a ( t h ec r o s ss e c t i o nr a t i o 5 ) ，w h i c hc a nb e 印p l i e dt oa l ls t e p p e dt r a n s f o r m e r w h e nt h ev i b r a t i o nw i t ha n s y si ss i m u l a t e d ，t h em e m b r a n ev i b r a t i o nb yt r a c t i o n r a t h e rt h a np i s t o nv i b r a t i o no nt h eb o u n d a r yo ft w op a r t so ft r a n s f o r m e ri sd i s c o v e r e d ， t h et h i n p a r t o ft r a n s f o r m e ri s r e g a r d e d a st h et r a c t i o nb a r g l u e d a tm e m b r a n e a c c o r d i n g t ot h eg r a p ho f d i s p l a c e m e n td i s t r i b u t i o n ，t h en o d a ll o c a t i o no fd i s p l a c e m e n t i sf o u n d ，a n df o rt h ef i r s ta n dt h et h i r dm o d eo ft w o g r o u p s o ft r a n s f o r m e r , t h eb o u n d a r y o fc r o s ss e c t i o na n dt h en o d a lp o i n ti sv e r yc l o s e 。i tc a nb er e g a r d e dt h a tt h eb o u n d a r yi s t h el o c a t i o no fn o d a lp o i n t ，a n dt h ea n t i n o d e so ft h es t r e s s b u tt ot h es e c o n dm o d eo f l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o no ft h et r a n s f o r m e rw i t he q u a lp a r t s i nl e n g t h ，t h eb o u n d a r yo f c r o s ss e c t i o ni se x a c t l yt h ea m p l i t u d eo fd i s p l a c e m e n t ，t h en o d eo ft h es t r e s s 2 、t h ea r t i c l ei sw h i l es t u d y i n gl o c a lr e s o n a n c e ，t h es c h e m e “f r o ms i m p l e st o c o m p l i c a t e d ”i sa d o p t e d ，t h ep r a c t i c a l v i b r a t i o ns y s t e mo fl o c a lr e s o n a n c ei ss i m u l a t e d b yt h ev i b r a t i o no ft h es t e p p e dt r a n s f o r m e rw i t hu n e q u a lp a r t si nl e n g t h i nt h i sw a y c o u l dm a k et h ee x p e r i m e n tp a r a m e t e rs i m p l i f y ，b u tt h ee s s e n c eo ft h el o c a lr e s o n a n c e w i l ln o tb ei n f l u e n c e d f o u rg r o u p so ft h es t e p p e dt r a n s f o r m e rw i t hu n e q u a lp a r t si n l e n g t ha r es t u d i e db yf e m ，c o m b i n i n gw i t ht h ev a l u eo fe x p e r i m e n ta n dt h e o r y ，t h e e f f e c to ft h ec r o s ss e c t i o nr a t i oa n dt h el e n g t ho ft o o lt ol o c a lr e s o n a n c ea r ef o u n d t h e o r e t i cd i s c u s so fl o c a lr e s o n a n c ei sp r o c e s s e db yc a r r y i n go nt h ef u r t h e rs t u d yo ft h e s t e p p e dt r a n s f o r m e r l o c a lr e s o n a n c e c a nb er e g a r d e da st h ec o u p l i n gv i b r a t i o nb e t w e e n t h ed r i v e r s y s t e m a n dt h et o o li s v e r i f i e d ，t h ew e i e nc h a r to f l o c a lr e s o n a n c ei s c o m p o s e do fm a n ym u t u a l l y c r o s s e da n dc o u p l i n gc u r v e s ，w h i c hi sc a u s e db yt h ea c t i o n o ft h ef r e q u e n c ym u t u a lc o u p l i n ga n dt h ei n f l u e n c eo fm a n yv i b r a n tu n i t s t h ea r t i c l e s i m u l a t e st h es t e p p e dt r a n s f o r m e rb yf e mf o rp r o b i n gi n t ot h el o c a lr e s o n a n c e w h e n t h e l e n g t hr a t i o o ft r a n s f o r m e rv a r i e s ，t h ed i f f e r e n ti nt h ec h i v et h a tr e p r e s e n tt h e f v f r e q u e n c ya n d t h ec r o s ss e c t i o nr a t i oo ft h e mw i l lb ef o u n d a t l a s t ，c o m b i n i n gf o r e f a t h e r s e x p l a n a t i o n t ol o c a lr e s o n a n c e t h e o r y ，t w o c o n d i t i o n so fl o c a lr e s o n a n c ei sp u tf o r w a r d ： t h ed i a m e t e rr a t i o no ft w o p a n ss h o u l dl a r g e rt h a n3a n dt h el e n g t hm t i o ns h o u l d b e t w e e n0 5a n d 1 2 ，t h ef r e q u e n c yo ft o o ls h o u l da v o i dt h ef r e q u e n c yo fd r i v i n g s y s t e m k e y w o r d s ：l o c a lr e s o n a n c e r e s o n a n c e f r e q u e n c ya m p l i t u d e c r o s s s e c t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d c o u p l i n gv i b r a t i o n v 学位论文独创性声明 y7 2 8 2 本人所里交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。 作者签名：垒越；整日期：i 噬蕴生8 学位论文使用授权声明 本人完全了解陕西师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被杳阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定， 学位论文作者签名：五勉盈 = l 期：d 璺( 聋盘】9 第一章绪论 1 1 选题背景及研究意义 1 - 1 6 l 超声加工和超声处理在工业、民用、国防科技产品的制造等方面有着广泛的 应用。功率超声加工是将超声振动能量使物质的某些物理、化学特性或状态发生 瞬间变化的原理应用到机械加工的技术。该技术已经在很多方面得到应用，例如 超声切削、雕刻、切割、研磨、焊接、钻孔等。它的核心是超声振动系统，一般 由换能器、变幅杆和工具等组成。按照传统的设计理论，各个部分的尺寸必须满 足一定的频率方程，才能保证振动系统作为一个整体谐振在某一频率上。 超声变幅杆作为超声振动系统的重要组成部分，主要用于振幅放大和阻抗匹 配。阶梯形变幅杆是一种由两段粗细不同的均匀杆所构成的变幅杆，由于其易于 加工，变幅比大，可以与各种形状的过渡杆组合成复合形变幅杆，所以在实际中 应用很广【h ”。在对阶梯形变幅杆进行分析时，在其粗细端直径比n = d d ( 5 的条 件下，通常是将均匀细杆的波动方程分别用于粗端和细端，再利用截面变化处力 连续的边界条件，就可以得到阶梯形变幅杆的频率方程、放大系数和节点位置 1 , 9 , 1 4 】，此时认为分界面近似作活塞运动。由于这种方法忽略了截面跃变对应变， 应力的连续性的影响，解出的谐振频率高于实际测量值【1 叭，给实际的设计和应用 带来了一定的误差。虽然p 腼 不太大( 例如 小于5 ) ，则可近似认为力是连续的，即乱= 踽飘利用这咚件，由 式( 1 4 ) 得： s l b l 一s 2 8 2 ( 1 8 ) 没有负载即z 。；o 时，以式( 1 5 ) ，( 1 6 ) 代入( 1 - 8 ) 得放大系数： m ，= 詈= i s a 丽s i n k a ， 4 由上式可以看出，当口= 6 = 兰4 时( 一波长) 放大系数达到最大，此时波节点在 z ；0 的地方。 m ，一妻；肥c a = 。= 三， c l ，。， 1 2 2 3 输入力阻抗 如果输入端不是自由的，将边界条件一s t e 堕o xf 一。2 f l 代入式( 1 4 ) 得： 只一一矾s s i n k a + b ic o s k a ) ( 1 1 1 ) 再利用边界条件：l 。t 氛乙得爿，= 爿：。同时将式( 1 8 ) 和( 1 6 ) 代入式 ( 1 1 1 ) 得到输入力阻抗： z ，t ，妻z 。m i z l ( s t n 妇嘣n 勋一砉c o s 肠c o s 拍) 一s i n 妇c o s 勋一去c o s 加s i n k b (112)n z 式中z 。，- 最肛，为粗杆的特性力阻抗。 1 2 3 自由边界条件下的频率方程 两端自由时的边界条件为： 剿堕f 。o 缸f 一。o x l 乙= 彘k s - 剽。峨剥。 代入式( 1 4 ) 可以得到阶梯形变幅杆在两端自由时的频率方程： s 1 t a n k a + s 2 t a n k b = 0 根据已知的s i ，a 和& ，b 即可计算出变幅杆的谐振频率。 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 1 3 超声复合振动系统中局部共振现象 1 3 1 超声加工简介 9 , 1 4 , 1 6 , 1 7 , 1 8 超声加工包括超声钻孔、超声切割、超声套料、超声振动车削、超声研磨、 超声抛光等，它是利用加工工具作超声振动并通过磨料冲击被加工工件来碎除材 料的技术。超声加工对玻璃、石英、陶瓷、铁氧体、半导体、硬制合金等硬脆材 料特别有效。超声加工设备主要由超声波发生器、换能振动系统、磨料供给系统、 加压系统和工作台等部分组成。加工时，换能器产生超声振动，由变幅杆将振动 位移放大后传输给工具头。工具头做纵向振动时，冲击磨料颗粒，磨料颗粒又冲 击加工表面，超声加工重要是利用磨料颗粒的“连续冲击”作用。超声加工有很 多优点如：不受材料能否导电的限制，特别适合于加工硬脆材料；加工形状不限 于圆孔，可以直接加工出复杂形状的孔型、型腔、深孔等；对工件的宏观作用力 小，热影响小，不会产生残留应力，因此得到较广泛的应用。 超声加工方法按其加工工艺特征，大致可分为两类，一类是采用磨料( 包括 散粒磨料和固着磨料) 的超声磨料加工；另一类主要是采用切削刀具，如车刀、 冲头、压头之类工具，或利用超声波在介质中传播的某些特性，与其他加工方法 相结合形成的超声复合加工。 超声加工所需要的声能量密度较大，约在1 0 2 w c m 2 以上，工作频率集中在 1 5 6 0 k h z ，个别频率也可达1 m h z 。在早期的超声加工中主要采用磁致伸缩换能 器，它虽然具有较强的机械强度，但效率较低，目前主要采用夹心式的压电换能 器。在超声加工中，换能器的位移振幅一般在l o 1 0 0 2 m 之间，振幅大，加工速 度快。为了提高机械q 值，超声波振动波形应取等幅正弦波。在大功率超声波发 生器中，为了使发生器的频率与振子频率一致，常采用自激式振荡器或p l l ( 锁 相环) 等频率跟踪电路。 1 3 2 局部共振现象简介1 5 筇d 1 】 在超声加工中，加工工具大多是一根等截面杆( 见图1 3 ) 。通常换能器和变 幅杆系统的长度为半波长的整数倍。当连接加工工具时，如果工具较短，大多数 情况下把它作为变幅杆的组成部分考虑。如果工具较长，就按半波长整数倍叠加。 这时，工具长度应满足指定的要求，不能变化太大，否则就会导致工具磨损较大， 需要经常更换工具。当加工很深的小孔( 如直径5 r a m 、深2 0 0 r a m ) 时，工具如果 按半波长叠加，长度可能远大于要求的孔深，因而会给工具的制造增加困难。 图1 - 3 超声加工振动系统 l 一换能器2 一变幅杆3 一工具杆 1 9 8 2 年我国学者范国良、应崇福、林仲茂等人在国内外首次报导了超声复合 振动系统中的局部共振现象。他们观测了具有等截面细长杆的复合振动系统的频 率特性和工具系统的振动模式，得出了工具杆局部共振的结论，并初步探讨了产 生这种共振的条件及其形成机理，指出局部共振现象的表现是：在一定条件下， 超声振动系统的工具部分可以独立于换能器和变幅杆组成的驱动部分，按照自身 的谐振频率振动。工具杆和变幅杆的连接处总是位移节点，工具杆的自由端总大 概是位移腹点，在这两点之间会有整数的位移节点。共振时杆端的位移振幅可以 大于单独的d 系统中变幅杆输出端的位移振幅。局部共振的产生条件是：工具杆 的直径甚小于与之相接的交幅杆的输出端直径，即直径比约小于0 1 0 。在实验中， 采用不按半波长整数倍设计的细长工具，在工具部分的长度因磨损等原因发生较 大变化时，只需要调节超声波发生器的振荡频率，使之与工具部分按一端固定， 端自由方式单独谐振的谐振频率一致，工具便会重新谐振，并且可有相当大的 位移振幅，可以始终保持良好的加工效果，这使得超声振动系统的设计可以大为 简化，工作效率可以大大提高。这一发现，使得细长工具的设计摆脱了按半波长 整数倍叠加的概念，也使得振动系统的调谐工作方式不限于常用的“全谐振”方 式。 一端自由，端固定的均匀细棒的谐振频率可由棒的纵振动方程推出【1 6 】。设 细棒长为f ，材料的杨氏模量为e ，密度为p ，棒的纵振动方程为： 堕1 一韭( 1 1 5 ) 舐2c 2 o t 2 i 式中 为质点位移函数，c = ( ) j 为纵波在细棒中的传播速度。 由式( 1 。1 5 ) 解得棒的振动位移分布为： 一( ac o s 舡+ b s i nk x ) ( 1 。1 6 ) 7 假设x = o 端固定，x = l 端自由，此时可以写出边界条件： 堕l ：0 缸 ，。( 1 - 1 7 ) 纠。；0 由此可以求得棒的自由一固定谐振频率为： ，n = ( 2 n + 1 ) c 4 l( n = 1 ，2 ，3 ，)( l 1 8 ) 1 3 3 局部共振现象在超声加工中的应用 1 、超声钻孔中的局部共振t 1 6 , 1 9 l 超声钻孔技术起始于5 0 年代初，它是将超声波加于钻头上，加工中钻头在作 旋转运动的同时，兼作轴向超声频振动，形成所谓旋转超声振动钻削。它的工作 过程实际上并不是钻而是凿。作为磨光剂，可以使用一种钻孔碳化物在水中或其 他液体中的悬浮液。超声钻孔主要用于宝石、玉石、大理石、玛瑙、硬制合金等 硬脆物件的加工，以及异形孔或细深孔的加工。例如，用超声可以直接打出方形 孔或五角形孔等。我国学者通过长期的实践研究，在超声振动系统设计中取得了 发明成果。范国良等人正是在利用超声加工深小孔过程中发现了局部共振现象。 工具杆最初的应用只限于最简单的等截面细长直杆和直管工具。 1 9 8 5 年林仲茂和范国良，采用局部共振，设计了较复杂的“深盲孔超声清洗 装置”，并获得国家发明专利。1 9 8 7 年范国良和张维贤，利用局部共振原理解决了 直径4 m ml o m m 、长度6 0 m m 1 5 0 m m 的激光晶体捧的成形加工；1 9 9 6 年罗有 成、杨立华和张维贤在范国良、蔡常礼前期工作的支持下，利用局部共振研制成 “精密数控超声旋转加工机”。 2 、超声切削系统中的局部共振【1 啦明 超声切削主要用于硅、锗单晶的切片，刀具用铜焊连接到变幅杆上，刀具不 仅必须焊牢、尺寸精确，而且要求加热后不能形变。另外，加工时的接触压力也 必须适当，不能过大或过小。接触压力过大，刀具易变形，同时易出现切碎、崩 边等现象：接触压力过d , n 影响切削效率。一般情况下，接触压力的大小是根据 切片面积、刀具多少来调整，常用的范围是5 0 6 0 9 m m 2 。 赵继、王立江等人在1 9 9 2 年应用局部共振的原理来设计超声切削系统中的弯 曲振动刀杆【3 9 】，如图1 - 4 所示。压电陶瓷换能器的下端与喇叭式集中变幅杆相连， 这种变幅杆既可以保留某些复杂轮廓曲线变幅杆的优点，又便于加工。这一切削 振动系统中的弯曲振动刀杆有它独特的局部共振模式，不再是简单的细长杆的一 端固定、一一端自由的形式，但刀具照样可进行局部共振。超声振动刀具系统中的 变幅杆和刀杆可以单独设计，然后组成系统，从而大为简化了整个超声切削系统 的设计和操作。 图1 - 4 超声振动切削系统 1 换能器2 变幅杆3 弯曲刀杆 3 、超声珩磨中的局部共振1 6 0 1 j 1 , 4 2 , 4 8 , 4 9 1 在煤矿生产中广泛使用的液压支架、单体液压支柱等，液压油缸是其关键零 件。为了提高生产效率和加工质量，采用高效先进的加工工艺是一种有效措施。 超声珩磨是加工淬硬材料精密深孔的有效方法之一。在同样条件下超声珩磨比普 通珩磨单位宽度磨粒刻痕数多得多，在整个表面上布满了均匀致密的珩磨交错网 络，且超声珩磨刻划的沟槽较深，底部平而宽，其宽度数值几乎等于超声振动的 振幅值，在沟槽底部很少观察到破碎。而普通珩磨不仅大量的破碎产生在磨粒耕 犁的隆起部分，并且在沟槽的底部可以看到大量的破碎凹槽。 在超声珩磨振动系统中，相连接的元件的截面积比小到一定程度时即可作为 一个单独的体系独立共振。1 9 9 8 年赵波等人将这种现象归结为局部共振，指出加 工零件表面的纹理特性与局部共振特性密切相关。这里的工具“杆”是一种形状 较复杂的纵振动工具系统，即图1 5 中的“挠性杆一油石座”。赵波等人借助于频 率计及改装的自动频率跟踪和自动振幅跟踪系统进行了大量的实验测试，发现超 声珩磨振动系统中，同样存在与超声钻孔相类似的局部共振现象，即挠性杆一油 石座振动子系统可以作为一个单独的振动体系进行设计，并总结出超声振动珩磨 传声系统的局部共振条件。 图1 5 超声珩磨传声系统 1 一换能器2 变幅杆3 振动圆盘 4 一挠性杆5 油石座6 一油石 除此之外，1 9 9 5 年刘世清等人从扭转振动波动方程出发，推导了具有“类圆 锥”过渡段的复合阶梯形扭转变幅杆的频率方程和放大倍数的解析表达式 “。通 过实验和理论分析，证明了复合振动系统中“局部扭转共振”现象的存在，并得 到了其产生条件。他们还提出：与纵振动局部共振相比，局部扭转共振更容易发 生。这些实验研究不但证明了局部共振现象的客观存在，而且表明了它的应用价 值：它不仅在相当程度上改变了超声振动系统的传统观念，而且使超声复合振动 系统的性能获得迸一步改善。 从己实现的些应用情况来看，局部共振现象应用的特点大致可以归结为以 下二点j ： 一、工具系统的设计可以和驱动系统的设计几乎完全脱钩。驱动系统的重要 功能是提供足够频带宽度的驱动能量，工具系统便可以按自身的规律进行共振设 计；工具系统的共振频率自然应在驱动系统的频带之内，不过工具系统的存在可 能有助于驱动系统频带的拓宽。 二、工具可以在工作时连续受到磨损，却在相当大的磨损范围内不必更换。 只需要调整驱动系统的驱动频率，便可使工具在6 0 3 5 0 m m 的长度范围内，在其 自由端都能有较大的位移振幅。利用局部共振工具系统可在玻璃板上加工出直径 为6 m m 、深2 8 0 m m 的孔。用一根工具杼就可以完成多个深孔的加工，累计加工深 度达2 0 0 0 3 0 0 0 m m 以上而不需要更换工具。 这两个特点，一方面大为简化了工具系统的设计，另一方面可以简化加工过 程中的操作。关于局部共振现象能够适用到哪些种类的工具系统问题，目前似乎 还看不到有什么限制。但实用时有不确定因素，是由于当前对局部共振现象的理 论解释还不完善，因此在试图用到新的对象时，需要用实验来摸索，比较麻烦， 显然需要在理论上给予引导。 1 0 1 4 本文的研究任务 本文将有限元分析方法引入对阶梯形变幅杆和局部共振的研究当中。针对自目 面所述的阶梯形变幅杆中截面跃变对应变和应力的连续性造成影响，以及局部共 振现象还没有完善的理论解释这两个问题，本论文进行了以下研究： 1 、用有限元方法对阶梯形变幅杆的振动特性( 包括频率、放大倍数、振幅分 布等) 进行系统的研究。 2 、用有限元分析为方法、阶梯形变幅杆为模型对局部共振进行深入研究，探 寻各个参数对局部共振的影响，确定其产生条件，完善理论解释。 第二章a n s y s 仿真模型的建立 2 1 有限元法简介m 捌1 有限元法是一种采用电子计算机求解结构静、动态力学特性等问题的数值解 法。在机械结构的动力学分析中，利用弹性力学有限元法建立结构的动力学模型， 进而可以计算出结构的固有频率，振型等模态参数以及动力响应( 包括响应位移 和响应应力) 。由于有限元法具有精度高，适应性强以及计算格式规范统一等优点， 所以已广泛应用于机械、宇航航空、汽车、船舶、土木、核工程及海洋工程等许 多领域，已成为现代机械产品设计中的一种重要工具。特别是随着电子计算机技 术的发展和软、硬件环境的不断完善以及高档计算机和计算机工作站的逐步普及， 现在已经有许多著名的有限元程序( 如a n s y s 、a n d i a 、n a s t r a n 、s a p 等) 可用，从而为有限元法在机械结构动态设计中的推广应用创造了更为良好的条件， 并将展示出更为广阔的工程应用前景。 有限元法的基本思路是： 1 、将复杂结构拆分为若干个形状简单的单元，这些单元一般要小到可以用简 单的数学模型来描述特性参数在其中的分布，这一步骤称为离散。 2 、通过对单元的研究来建立各特性参数之间的关系方程，这一过程称为单元 分析，在弹性力学中，单元分析的任务是：建立联系应变与节点位移分量的方程， 联系应力与节点位移分量的方程，同时研究单元的节点力与节点位移之间的关系， 以及把作用在单元中间的外载荷转化成节点载荷。 3 、在单元分析基础上，利用平衡条件和连续条件，将各个单元拼装成整体结 构。对整体在确定边界条件下进行分析，从而得到整体的参数关系方程组，即矩 阵方程。这一过程称为整体分析。 4 、解这样的矩阵方程，即可得到各种参数在整体结构中的分布。 2 2 有限元法分析弹性体固有振动特性的基本方程 2 2 - 2 4 】 固有振动特性分析是通过研究无阻尼的自由振动，得到振动系统的自然属性， 即固有频率和振型。首先建立系统的动力方程。根据达朗伯原理，只要引入相应 的惯性力，就可以将弹性体的动力问题化为相应的静力问题，即化为弹性体的平 衡问题来处理。将弹性体分割成有限个元素，因为位移和时间有关，以仁( f ) r 表示 元素e 上的节点位移列向量，它是时间t 的函数。利用所给定的位移插值方式，元 1 2 素e 中任意一点的位移 ，( f ) 可以用下面的矩阵方程来表示 ，o ) j = i n 】缸o ) ，。 其中 是形函数矩阵。 在元素e 上的应变向量为： 忙( f ) r ，陴】缸( f ) 。 其中 召】为联系应变与节点位移的矩阵，称几何矩阵。 因此，在元素p 上应力为： 盯( f ) ，； d 】 f p ) ) 。= d 儿b 】缸9 ) ) 。 d 为弹性矩阵，亦称为材料矩阵。 而元素e 上的元