（应用数学专业论文）伪压缩映象迭代算法的收敛性.pdf

摘要 在这篇论文中，首先，受c e c h i d u m e 的启发，我们给出一个新的定义一完全 渐近伪压缩映像，在b a n a c h 空间中，证明了完全渐近非扩张映像和完全渐近伪 压缩映像下隐格式迭代序列的收敛定理该结果改进与推广了s s c h a n g ， o n t h ec o n v e r g e n c eo fi m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sw i t he r r o rf o raf i n i t ef a m i l yo f a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，j m a t h a n m a p p l 3 1 3 ( 2 0 0 6 ) 2 7 3 - 2 8 3 】 的结果 接着，在实b a n a c h 空间的闭凸子集中，证明了完全渐近非扩张映像下的多 步隐格式迭代强收敛定理该结果改进与推广了c e c h i d u m e ， a p p r o x i m a t i o n o fc o m m o nf i x e dp o i n t sf o rf i n i t ef a m i l i e so ft o t a la s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s ，j m a t h a n a l a p p l 3 3 3 ( 2 0 0 7 ) 1 2 8 1 4 1 】的相应结果 然后，在一般的实b a n a c h 空间上，研究了一类强伪压缩映射的m a n n 迭代序 列在一定条件下的收敛性，该结果改进与推广了c e c h i d u m e ， c o n v e r g e n c eo f t h em a n ni t e r a t i o nm g o r i t h mf o rac l a s so fp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g s ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，( 2 0 0 7 ) 1 的结果，最后，在h i l b e r t 空间中，证明了 修正的m a n n 迭代序列，在k 严格渐近伪压缩映射下收敛定理 关键词：完全渐近伪压缩，完全渐近非扩张，隐格式迭代，m a n n 迭代，弱收敛， 强收敛 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y , e n l i g h t e n e db yc e c h i d u m e ，w eg i v ean e wd e f i n i t i o n t o t a la s y m p t o t i c a l l yp s e u d o c o n t r a c t i v e ，a n dt h e nw ep r o v ec o n v e r g e n c et h e o r e m s i nb a n a c hs p a c e ，w h e nti st o t a la s y m p t o t i c a l l yp s e u d o c o n t r a c t i v ea n dt o t a l a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e t h i sr e s u l te x t e n d sa n di m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n go n e so fs s c h a n g o nt h ec o n v e r g e n c e o fi m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sw i t he r r o r f o raf i n i t ef a m i l yo fa s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，j m a t h a n a l a p p l 3 1 3 ( 2 0 0 6 ) 2 7 3 2 8 3 】 s e c o n d l y , i nar e a lb a n a c hs p a c ew h i c hh a san o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs u b s e t ， w ei n t r o d u c et h ec o m p o s i t ei m p l i c i ti t e r a t i o ns c h e m e s ，a n dp r o v es t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rt o t a la s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v es e l f - m a p p i n g s t h i sr e s u l t e x t e n d sa n di m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n go n e so fc e c h i d u m e ， a p p r o x i m a t i o n o fc o m m o nf i x e dp o i n t sf o rf i n i t ef a m i l i e so ft o t a la s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s ，j m a t h a n a l a p p l 3 3 3 ( 2 0 0 7 ) 1 2 8 1 4 1 】 f i n a l l y ，i nar e a lb a n a c hs p a c e ，t h el i m i to ft h es e q u e n c ex n ) d e d u c e db y m a n ni t e r a t i v ei se x i s t ，i fs a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s ，t h e n 茁n ) i sc o n v e r g e n c e t h i s r e s u l te x t e n d sa n di m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n go n e so fc e c h i d u m e ， c o n v e r g e n c e o ft h em a n ni t e r a t i o na l g o r i t h mf o rac l a s so fp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g s ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，( 2 0 0 7 ) 1 f i n m l y ，w ep r o v eac o n v e r g e n c et h e o r e m o f 咒一s t r i c ta s y m p t o t i c a l l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g si nh i l b e r ts p a c e ， k e y w o r d s ：t o t a la s y m p t o t i c a l l yp s e u d o c o n t r a c t i v e ，t o t a la s y m p t o t i c a l l yn o n - e x p a n s i v e ，i m p l i c i t yi t e r a t i o n ，m a n ni t e r a t i o n ，w e a k l yc o n v e r g e n c e ，s t r o n g l yc o n v e r g e n c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文不包含任何其他个人己 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞望王些丕堂或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：南伟 签字日期：7 。作月俘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津工业大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后应适用本授权说明) 论文作者签名： 莎筠 签字日期：撕年f 月7 钿 导师签名：7 铁xi ： 签字日期：2 川年f 月侈日 学位论文的主要创新点 一、受c e c h i d u m e 提出的完全渐近非扩张映像的启发，本文给出一个新的 定义完全渐近伪压缩映像，并且证明了在完全渐近伪压缩映像和完全渐近非扩 张映像下迭代的收敛定理 二、在一般的实b a n a c h 空间上，研究了强伪压缩的一类m a n n 迭代序 列 z 。) 在一定条件下的收敛性 三、讨论了在实b a n a c h 空间的闭凸子集中，我们定义了一个新的迭代格 式一多步隐格式迭代，并且证明了在完全渐近非扩张映像下的强收敛定理 第一章引言 1 1 背景知识 近一个世纪以来，人们从事不动点定理的研究经久不衰，并取得了重要的成 果，特别是在代数方程、微分方程以及积分方程的求解问题中，通常要把所求的 解归结为度量空间中映射的不动点问题，并且用逐次逼近的方法来计算出不动 点，这是方程论中的一个十分重要的方法最近三十年来，由于实际工作的推动 和数学工作者的不断努力，这门学科的理论及应用的研究取得了重要进展，并日 臻完善人们使用各种各样的迭代方法去逼近非线性映射的不动点，以解决数 学、物理学、工程以及金融数学等领域的某些实际问题 迭代逼近的研究是不动点理论的重要组成部分，特别是近年来计算机技术 的发展，使这一研究更接近于应用 本文进一步研究关于一类完全渐近伪压缩映像的迭代收敛定理，证明了一 些有趣的结论，也推广了若干已有的结果 设c 是距离空间或线性赋范空间x 中一闭集，丁是一个映象，称下面迭代 为p i c a r d 迭代格式 ! x o 印，( p 妇d ) ix n + 1 = t x n ，礼0 1 9 5 3 年，m a n n 三j i 入了一种e l p i c a r d 迭代更有效的迭代格式“m a n n 迭代” 三：j 兰。一q 。，z 礼+ q 。丁z 礼，佗。 c m 8 扎钆， 其中，( q n c 【0 ，1 】 1 9 7 4 f ，i s h i k a w a 弓l 入的比m a n n 迭代更一般的“i s h i k a w a ：迭代” 一风) z n + 风? z n ， ( i s h i k a w a ) ( 1 一) z n + q n 丁 e q l l i l h ) i 1 铷 孙 ，、-【 第一章引言 其中， q n ) ， 风) c 0 ，1 】- 1 9 9 1 - 年，j s c h u 】在m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的基础上，提出了修改了 的i s h i k a w a 迭代序列和修改了的m a n n 迭代序列： 礼 0 其中， q 佗) ， 风) c 【0 ，1 ，此时，称 z 。，为修改了的i s h i k a w a j 迭代序列特别地， 如果风= 0 ，则称 z n ) 为修改了的m a n n 迭代序列 1 9 9 5 生g ，l s l i u 在文献】中提出了具误差的修改了的m a n n 迭代序列 $ 1 1 1 s h i k a w a ：迭代序列 几 o 其中， 口n ) ， 风) c 【0 ，1 】， “n ) ， ) ce f t f i 饥n | | o 。，i i v i i 0 ，其 中奴( g ) 为x 的凸性模，被下式定义： 奴地f 1 一掣训训 l 例 味e ( 0 2 】 e j i 理2 1 设 n 。) 为非负实数序列满足： n 。+ l ( 1 7 札) n 。+ ( ，扎o ， 如果 c ( 0 ，1 ) ， 如) c1 1 跫，且满足下列条件： ( i ) l i m 一= 0 ，。n - - o = c o ； ( i i ) ，三i 矗l 十。或l i m s u 。o o 亟 y n 0 n = u 那么当n o 。和_ o 。时，得l i mn n = 0 引理2 2 设 ) 和 是b a n a c h 空间中e 的两个有界实数序列， 7 孔) c 【0 ，1 】且 0 l i m i n f 7 l i r as u p 1 n 一 n _ o o 假设z n + l = z 佗+ ( 1 7 n ) 纨，对所有的n 0 暑# - 1 l i ms u p ( t l y n + l 一| | 一l i z 。+ 1 一 z n l j ) 0 ，则l i mjj z 竹一y nj j = 0 n o o o 6 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 3 1前言 近年来，寻找隐格式迭代非线性算子不动点的问题被许多作者所研究 2 0 0 1 年，x u 和o r i l 36 j 引入了下面隐格式迭代 互，拦1 是h i l b e r t 空间上非扩 张映射： z n = o l n x , i 一1 十( 1 一乜n ) 死z n ，n l 瓦= 瓦m d d 并且证明了弱收敛定理 在2 0 0 2 年，z h o uj f l c h a n gm 】在b a n a c h 空间中介绍了下面隐格式迭代 互) 鉴1 并且证明了收敛定理 z n = o l n x n 一1 + ( 1 一a n ) 蹋。dn ) x n ( 3 1 1 ) t h e o r e m1 1 1 9 ，t h e o r e m3 1 ，p 3 5 4 】设k 是b a n a c h 空间中一个非空闭凸 子集 死：i ) 是k 上n 个渐近拟非扩张自映像，u i n f o o 。) ( i ei l 珂z z 川( 1 + u i n ) l l x z 孙比k ，z ；f ( t ) ) ，满足墨1 札饥 ，v i n ， f = nf ( t i ) 仍，x 0 k ，o r 佗，c ( s ，1 一s ) ，s ( 0 ，1 ) 则隐格式迭代产生的序 - j x n ) 强收敛到 死：i ) 的公共不动点当且仅当l i m i n f 。o 。d ( x n ，f ) = 0 t h e o r e m2 1 1 9 ，t h e o r e m3 3 ，p 3 5 5 】设k 是一致凸的b a n a c h 空间中一个非 空有界闭凸子集， 正：i ) 是k 上个一致l l i p s c h i t z i a n 渐近拟非扩张自 映射，系数满足“饥 0 ，。) ，且墨17 2 i n 0 ， i i 优+ ( 1 一c ) v l l l 一2 m i n c ，l c ) 6 e ( i l “一u l i ) 0 c x 且l l u l l ，i i v l l 1 t o o l3 3 设 n n ) k ) 是非负实序列，如果墨lk n o ，a n + l a n + b n ，贝j j l i m n a 几存在 t o o l3 4 设e 是一致凸b a n a c h 空间，b ，c 是两个常数，满足0 b c 1 ， 如是在【6 ，c 】中的实数序列， z 珏) i 是e 中的序列，满足 il i 瑚h 。| | 厶z 扎+ ( 1 一t n ) y n l f = d ， l i m s u p n 一i i x n | i d ， il i m s u p 。一。i l | i d ， 则得到1 i m n 。o 。f | z n 一鼽l | = 0 定理3 1 设e 是一个实b a n a e h 空间，k 是e 闭凸子集， 正，墨1 是k 上有限 族完全渐近伪压缩自映射，满足f = n 丝l f ( 五) 0 并且是闭的设黑1 鳓 0 满足九( 九) 蟛九，i = 1 ，2 ，n ，设 z n ) 定义如下： z n = q n z 竹一l + ( 1 一q n , - p 。k ( 。n ，z n vn 1 佗= ( k ( n ) 一1 ) n + i ( n ) 如果 。) 满足q 竹( 0 ，1 ) 并i 1 0 a q n 1 ，a 是实数，则 z n ) 强收 敛到 正) 些l 的公共不动点当且仅当l i m i n f 。一o 。d ( x 。，f ) = 0 ，这里d ( z n ，f ) = i n f 掣e f | | z 。一可l j ，礼21 证明首先证明坳f l i m o 。| | z n 一圳存在 9 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 z 。一硎2 = 0 满足对任意的咒n i ，d ( x 。，f ) i ，墨。 0 矛盾，所以p + 是死，i = 1 ，2 ，、v 的公共不动点，证毕 定理3 2 设e 是一个实一致凸的b a n a c h 空间，范数是f r 6 c h e t 可微的设k 是e 的闭凸子集，【正) 墨l 是k 上n 个 弱( l i p s c h i t z i a n 完全渐近伪压缩伪压 缩自映像，满足f = n 墨1 f ( 正) 仍是1 0 ，满 足也( a f ) 蟛九，对任意的九舰，i = l ，2 ， z ) 定义如下： z 。= q 。z n 一+ ( 1 一q 。) 露翁z 。 v 扎1 ，扎= ( k ( n ) 一1 ) n + i ( n ) 如果 a 。) 满足q 竹( 0 ，1 ) 且l i m i n f n 。q n o ，则 z n ) 弱收敛到 正) 墨1 的公共 不动点 证明首先证明却f l i m 。i i z n p | i 存在 1 1 + m 斟 + f n zd2 ，凡= ( 七( 佗) 一1 ) n + i ( n ) ，由于n 一；( ( 七( 佗) 一1 ) 一1 ) n + i ( n ) = ( 后( n 一) 一1 ) n + i ( n 一) ，i ，e ， k ( n n ) = k ( n ) 一li ( 佗一n ) = i ( n ) 所以得到： ，t k 。( n ，一1 z n 一2 ：! _ 1 z n 一l i = t u k 。( n ，卜1 z n t i k 、( n ，卜1 z n 一i i l i i z n z n 一4 并且： | i z 妻曼；- 1 z 竹一一z ( n 一) 一ll i = l l t t i k ( 竹( n 一- n ) z n 一一z ( n 一) 一li i = 吼一 从而 l i z n l 一死z n | i o n + l 2 f i z n x n - n i + l a n n + l i f z n n 一1 一x n i l 所以 ： l i m | | z 。一1 一兀z n l = 0 且 。l 。i m 。f i z n 一z n | i = o = 1 ，2 ，当n o o ， z n t n + j x n i f i | z n z n 卅f i + i i x n 卅一兀卅z n 旬l i + i i 瓦钾z n 打一t n + j x n ( 1 + l ) l l x n z n + i i l + l l z n + t t n + i z 。+ t i i _ 0 1 3 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 我们得到： l i ml i x n t z x 。i | = 0 ，v l = 1 ，2 ， n + o o 由于e 是一致凸的，则e 的每个有界子集是弱紧的由于 z 竹) 是k 上的有界序 列，则存在一个子序列 z n 。 c z n 满足 z 。) 弱收敛到q k 所以得到 l i ml i z 。k t l x 。k | | = 0 v l = 1 ，2 ， n o o 由t o o l1 ，得到( ，一t 1 ) q = 0 ，q f ( t t ) ，由2 1 ，2 ，) 的任意性，可 得q f = n 丝1f ( t 1 ) 下面我们证明 z n ) 弱收敛到g ，用反证法，假设不收敛到q ，则存在一个 子y , j z 。，) c z 竹) 满足 z 唧) 弱收敛到9 1 k 并且9 1 q 同理，我们证 明t q l f = n 丝1f ( t i ) 让p = q ，p = q 1 同上，下面的两个极限存在， l i m 乱。o 。i | z 凡。一q l i = d l ，l i m 佗。o 。| i z n 。一q l | | = d 2 这罩d l ，d 2 是两个非负实数 由o p i a l 条件，得到： 这与前面的证明矛盾所以g = q l ，得到 z 乱) 弱收敛到g 证毕 巨蔓兰算“ 吼吼州 一 一 一 唧 咖 彬 埘 _ f 1 - _ k 巧 q 融氏m u u u m m m ， h h h d = = g n z 1 _np usmh = d 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 2 0 0 7 年，谷峰【4 ( 】提出了下面的隐格式迭代： ：二乏二意：麦蓑麓鼽 在这篇文章中，受以上作者的启发，构造了一种新的隐格式迭代形式： x 0 舡 z n = ( 1 一口n ) z n 一14 - q n 野z t l ，i ，m = 1 ，n 1 ， x 0 k ， z n = ( 1 一q n ) z 。一1 + q n 矸y l n ， y l n = ( 1 一q t l ) 一1 - i - o l n 珂y 2 ，l ， 秒( m 一2 净= ( 1 一& 。) z 。一l + q 住z 麓一l 可( m l m ， y ( m l 犰= ( 1 一q n ) z n 一1 + & n 2 焉z 。，i ，m ，2 ，珏l ( 3 3 ) 定义3 4 ：映射t ：k k 被称为完全渐近非扩张如果存在一个非负实 序列 ) 和 k ) ，n 1 ，并且，k o ，并且存在一个严格增加的连续函 数西：r + _ 冗+ 且( 0 ) = 0 满足对任意的z ，y k ， t n z t n 可i isl i x 一可l i + n ( 1 l x 一可1 1 ) + l n ，n21 ( 木木) 注：如果( 入) = a ，则( 木牛) 变为 l i t x p 秽i | ( 1 + 弘乱) l l x 一掣l i - 4 - l 竹 此外，如果k = 0 对任意的n 0 ，则完全渐近非扩张映射形同于渐近非扩张映 射，如果= 0 ，k = 0 对任意的佗之1 ，由( 牛木) 式可以得到一组推广了的非扩张 映射， 定义3 4 综合了一系列的非扩张映射，包括渐近非扩张映射，和推广了非扩 张映射，证明完全渐近非扩张映射下的收敛定理将适用用以上的非扩张映射 1 5 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 定理3 3 设e 是一个一致凸的b a n a c h 空间，满足o p i a l 条件k 是e 的非空 闭凸子集， 互) 鉴1 是k 上有限族完全渐近非扩张映射，满足f = n 些l f ( 正) 仍 设? k o o ，墨1 咖 o o ， x n ) 定义如下 z n = q 竹z n 一1 十( 1 一q nt 、k 。( n z n 扎1 ，n = ( 南( 俺) 一1 ) n + i ( n ) 如果 q 。) 满足q n ( a ，1 ) 0 n ，n = ( k ( n ) 一1 ) + z ) ，由于礼一= ( ( 尼( 他) 一1 ) 一1 ) n + i ( n ) = ( k ( n 一) 一1 ) n4 - i ( n 一) ，i ，e ， 七( n n ) ：忌( 扎) 一1 ，i ( n n ) ：z ( 佗) 所以得到： ”t 搿i k ( n z n 一档1 址1 i = | lk 、( n ，h z n 一瑶扩1 江, - n i i l i z n 一孙 并且： i i t 几n k 一( n j v ) - 1 z n 一一x ( n - n ) 一1i | = t 。l k n ( 扎一- v m jx n 一一z ( n 一) 一l | l = 一j v 从而 。 l j z n l 一瓦z 。| l o n4 - l 2 i i x n x _ n i i + 己一n4 - l i i x n n 一1 一x n | l 所以 l i mf i z 。一1 一t n x 。i | = 0 17 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 且 l i ml i x 。一z 。| | = 0 n + 。 v j = 1 ，2 ，当n 一， i i z n 一死+ j z 竹i i i l z n x n + j i + i i x n + j 一死+ j z n + jl i + i i t + j z n + j r + j z 。| i ( 1 + l ) l l x n z n + t l l - 4 - i l z 。+ i 一矗+ t z n + t l i + 0 我们得到： l i mi i z 几一t , z n i l = 0 ，v l = l ，2 ， 由于e 是一致凸的，则e 的每个有界子集是弱紧的由于 z n ) 是k 上的有界序 列，则存在一个子序列 z n 。) c z n ，满足 z 。) 弱收敛到g k 所以得到 l i mi i z n 。一t t x n 。i = 0 v l = 1 ，2 ， 由t o o l1 ，得到( ，一t t ) q = 0 ，q f ( t t ) ，由f l ，2 ，) 的任意性，可 得口f = n 些1f ( t t ) 下面我们证明 z n ) 弱收敛到g ，用反证法，假设不收敛到q ，则存在一个 子列 z 唧) c 【z n ) 满足 z 唧) 弱收敛到9 1 k 并且q 1 q 同理，我们证 明t q l f = n 丝lf ( t t ) i l ：p = q ，p = q 1 同上，下面的两个极限存在， l i r a n i i x 竹。一q l i = d zl i m 竹。o 。l i x n 。一q l l l = d 2 这里d 1 ，d 2 是两个非负实数 i 扫o p i a l 条件，得到： d a = l i ms u p n 。i l z n k q l i l i ms u p n k 。l i z n k q l = l i m s u p 几j o 。i i z 唧一q z l i m s u p 唧。i | z 一q l i = d z 这与前面的证明矛盾所以g = q l ，得到 z n ) 弱收敛到g 证毕 1 8 第三章隐格式迭代伪压缩自映像收敛定理 定理3 4 设e 是一个实的b a n a c h 空间，设k 是e 的一个闭凸子集， 瓦) 罂1 是kj ：m 个完全渐近非扩张自映射，满足f = n 銎l f ( t i ) 仍假设墨lp l n o o ，呈1z t n o 。i = l ，2 ，m ，并且 n ) 满足a 。( 0 ，1 ) ，0 q n a 1 ，a 是实数，r ( 也) 有界，则 z n ) 由以下定义出来的序列： x 0 k ， x t i = (