（应用数学专业论文）二阶多点边值问题系统的正解.pdf

摘要 非线性常微分方程边值问题的研究是一个具有持久生命力的课题近年来，非 线性二阶微分方程多点边值问题的正解受到了人们的广泛关注，所用的工具有锥拉 伸与压缩不动点定理( 或称为g u o - k r a s n o s e l s 妊不动点定理) ，s c h a u d e r 不动点定理 和小动点指数理论等 本文由三章组成： 第一章简述了问题产生的背景和本文的主要工作，并给出了本文用到的一些预 备知识 第二章考虑了奇异二阶m 点边值问题正解的存在性首先利用二阶两点边值问 题的格林函数得到了二阶m 点边值问题的格林函数，在此基础之上，运用迭代法给 出上述边值问题存在正解的若干充分条件 第三章考虑了非线性二阶m 点边值问题系统正解的存在性及多解性首先，构 造出了相应的线性边值问题的格林函数；其次，给出了关于格林函数的一些性质； 最后，利用锥拉伸与压缩小动点定理建立了上述系统正解的存在性及多解性准则 关键词：二阶边值问题；格林函数；锥；不动点；奇异 n a b s t r a c t t h es t u d yo f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e 觚o r d i n a 叮d i 雎r e n t i a le q u a 广 t i o n sh a sa t t r a c t e dp e o p l ef o ral o n gt i m ea n dt h er e s e 盯c hi nt h i sf i e l di ss t i l lv e 叮 a u e t i v e f k c e n t l y ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n do r d e rm u l t i - p o i n t b o u n d a d ，v a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i h e r e n t i a le q u a t i o n sh a sr e c e i v e d r n u c ha t t e n t i o n t h e1 1 s e dt o o l sa u r et h ef i x e dp o i n tt h e o r e i no fc o n ee x p a n s i o na n d c o m p r e s s i o n ( o rc a l l e dg u o - k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ) ，s c h a u d e r 舨e dp o i n t t h e o r e m ，t h e 丘x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n ds oo n t h i st h e s i sc o n 8 i s t so ft h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o m l do fp r o b l e m sw h i c hw i l lb e i i e s t i g a t e d i na d d i t i o n ，w 它l i s ts o m ep r e l i m i n a r yk i l o w l e d g ew l l i c hi sn e e d e di n t h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w r ec o n s i d e rt h ee l x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nt os i n g u l a rs e c o n d o r d e rm p o i n tb o u n d a r y 、，a l u ep r o b l e m f i r s t ，g r e e n sf u n c t i o nf o rs e c o n do r d e r p p o i n tb o u n d a uv a l u ep r o b l e mi so b t a i n e db yu 8 i n gt h a tf o rs e c o n do r d e rt w 0 - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a n dt h e n ，s o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee ) 【i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a rs i n g m a rs e c o n do r d e rm p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e ma r e 西v e nb yi t e r a t i v em e t h o d i nc h a p t e r3 ，w ei i l v l 粥t i g a t et h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s t os y s t e mo fi l o n l i n e a rs e c o n do r l e rm p o i n tb o u l l d a l r yv a l u ep r o b l e r 璐 f i r s t ， g r e e n sf u n c t i o nf o ra s s o c i a t e dl i n e rb o u n d a uv a l u ep r o b l e mi sc o 璐t r u c t e d a n d t h e n ，s e v e r a lu s e f mp r o p e r t i e so ft h eg r e e n sf u n c t i o n 村eo b t a i n e d f i n a l l y ，s o m e e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yc r i t e r i ao fp o s i t i v es o l u t i o 璐a r ee s t a b l i s h e db yl l s i n gt h e w e l l 一k n 嗍l 叙e dp o i n tt h e o r e m so fc o n ee 印a n s i o na n dc o m p r e s s i o n k e yw o r d s ：s e c o n do r d e rb o u n d a 叮v a l u ep r o b l e m ；g r e e n sf u n c t i o n ；c o n e ；f i x e d p o i n t ；s i n g u l a r 兰州理大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：j 薹嫡莹日期：，以，夕年6 月j ；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：喜婉茧 日期：2 筇年占月b 日 剔币签钰0 小文辛 日期少。7 年6 月i 岁日 l 1 1引言 第1 章引言及预备知识 随着科学技术的进步与发展，气体动力学、流体力学、物理学、种群动力学和医 学等许多自然科学和边缘学科领域都提出了大量由微分方程描述的具体数学模型 微分方程是用来描述自然现象变化规律的一种强有力的工具由于寻求其通解十分 困难，故从理论上探讨解的存在性及其性态一直是近年来研究的热点常微分方程 边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题近年来二阶及高阶微分方程边值 问题受到了广泛关注，参见 1 ，2 ，3 ，6 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 3 ，2 9 ，3 0 ，3 2 ， 3 7 ，3 9 ，4 4 ，4 6 1 常微分方程多点边值问题不仅在理论研究中占有非常重要的地位， 而且在应用数学和物理领域中有着极为广泛的应用背景例如，在利用分离变量法 解线性偏微分方程的经典问题中，人们遇到了含有几个参数的满足关于几个点的条 件的微分方程；工程学中由n 部分不同密度构成的金属支索丝一致截面的振动问 题；弹性稳定性理论的许多问题也可由微分方程多点问题来处理此外经济学与生 物学等众多领域中的许多实际问题都与相应的常微分方程多点边值问题密切相关 对线性二阶常微分方程多点边值问题的研究是由文献 1 1 】开始的受文献【1 1 】的启 发，g u p t a 5 研究了非线性二阶微分方程三点边值问题自此，许多作者研究了更一 般的非线性二阶多点边值问题，参见【7 ，9 ，1 6 ，2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，3 5 ，3 6 ，4 2 ，4 3 】 格林函数在讨论常微分方程边值问题时起了很重要的作用它的概念、重要性 以及发展参见文献f 4 1 】线性常微分方程边值问题的解能够用它的格林函数表示出 来而非线性微分方程边值问题能够被转化为以相应的线性边值问题的格林函数为 核心的非线性积分方程然后，通过研究格林函数的性质能够解决此积分方程，参 见文献【2 1 ，3 1 ，3 3 ，4 5 ，4 7 】但现有文献对于格林函数的讨论大都局限于两点边值问 题随着对多点边值问题研究的深入，需要讨论更广泛的线性边值问题的格林函数 l 二阶多点边值问题( 系统) 的下解 及相应的表示式，参见文献【3 8 特别地，2 0 0 8 年，z h a o 3 4 】运用待定参数法给出了一些线性二阶常微分方程三 点边值问题的格林函数，并且在合适的条件下给出了非线性奇异二阶三点边值问题 钆( 亡) + 厂( 亡，u ( 亡) ) = o ，亡( o ，1 ) ， 钆( o ) = 后乱( 叼) ，乱( 1 ) = 0 的迭代解，其中叩( o ，1 ) ，尼( 1 一叩) 1 受文献 3 4 】的启发，在本文的第二章中我们来探讨奇异二阶m 点边值问题 u ( 亡) + 厂( 亡，钆( 亡) ) = o ，亡( o ，1 ) ，( 1 1 ) 钆( o ) = 刚( 锄，u ( 1 ) = o ( 1 2 ) 正解的存在性，其中o ( = 1 ，2 ，m 一2 ) ，o 答2 锄( 1 一锄 1 ，o 毒1 已 一2 o ，q 叩 1 最近，w - e i 和s u n 3 1 】运用锥拉伸与压缩不动点定理研究了常微分方程边值问 题系统 j ，二三勰嚣 l 端三篇蒜淼 正解的存在性和多解性，其中，9 c ( ( o ，1 】矿，r + ) ，9 ( 亡，o ) 三o ，亡 o ，1 】， 叩( o ，1 ) ，0 p q 1 硕士学位论文 受文献 3 1 ，3 4 】的启发，本文的第三章讨论常微分方程边值问题系统 i u = ，( 亡，u ) ，亡( o ，1 ) ， 卅2 g ( 亡，乱) ，亡( o ，1 ) ， ( 1 3 ) l “( o ) = 答2 u ( 铀，u ，( 1 ) = o ， 、 。 i ( o ) = 答2 q t 口( 铀， ，( 1 ) = o 正解的存在性和多解性，其中，9 c ( o ，1 】矿，矿) ，9 ( 亡，o ) 三o ，亡【o ，1 】， 吼o = l ，2 ，m 一2 ) ，箸2 啦 1 ，o 矗 已 岛一2 1 1 2 预备知识 定义1 2 1 4 】设x 为实b a n a c h 空间，k 是x 中的非空凸闭集，如果它满足 ( 1 ) 若z k ，a 0 ，贝i ja z k ； ( 2 ) 若z k ，一z k ，则z = p ( 口代表x 中的零元) ， 则称k 是x 中的一个锥 定义1 2 2 4 ，2 2 】设a 是度量空问x 的子集，如果对于4 的任何一族开覆盖，都 有有限的子覆盖，则称a 是紧的；如果a 的闭包才是紧的，则称a 是相对紧的或 者致密的 定义1 2 3 设x ，y 是线性赋范空间，t ：x y ，如果t 是连续的，且将x 中的 有界集映成y 中的相对紧集，则称t 是全连续的 定理1 2 4 1 7 ，4 0 】设( e ，州i ) 为b a n a c h 空间，p 为e 中的锥令q 1 、q 2 都为 e 中的开子集并且使得o q 1 ，瓦1cq 2 ，再令t ：pn ( _ 2 q 1 ) 一p 为全连续的， 如果有如下条件之一成立： ( i ) 讹pnp q l ，l i t “j i i i u l i ，v 也pna q 2 ，i i 丁饥| | l i 让i | ； ( i i ) 讹尸na q l ，i i t u i i i i 他i i ，帆pna q 2 ，l i t u | | l l 乱i | ， 则t 在尸n ( _ 2 q 1 ) 中至少存在一个不动点 定理1 2 5 1 7 ，4 0 】设( e ，i | | 1 ) 为b a n a c h 空间，p 为e 中的锥令q 1 、q 2 、q 3 为 e 中的开子集并且使得o q 1 ，瓦1cq 2 ，_ 2cq 3 ，再令t ：pn ( _ 3 q 1 ) 一p 为 全连续算子，如果下列条件成立： 3 二阶多点边值问题( 系统) 的正解 ( i ) i i t 训l l l 钆i i ，讹pna q l ； ( i i ) i t 扎l i l l u l i ，t 让钍，讹pna q 2 ； ( i i i ) l l t 钆0 l l 钆l i ，v 钆pna q 3 ， 则t 在pn ( - 3 q 1 ) 中至少存在两个不动点u 1 ，钆2 ，并且满足u 1 pn ( _ 2 q 1 ) ， u 2 pn ( _ 3 q 2 ) 定理1 2 6 1 7 ，4 0 】设( e ，j ) 为b a n a c h 空间，p 为e 中的锥令q 1 、q 2 、q 3 为 e 中的开子集并且使得o q 1 ，豆1cq 2 ，或cq 3 ，再令t ：pn ( 璐q 1 ) _ p 为 全连续算子，如果下列条件成立： ( i ) | i t u i i i i u i i ，讹pna q l ； ( i i ) | | 孔l | ，孔u ，帆尸na q 2 ； ( i i i ) l i t 钆i i l i 钍i l ，讹p n a q 3 ， 则t 在pn ( _ 3 q 1 ) 中至少存在两个不动点u 1 ，钆2 ，并且满足“1 pn ( _ 2 q 1 ) ， 乱2 pn ( q 3 q 2 ) 4 第2 章奇异二阶m 点边值问题正解的存在性 本章讨论奇异二阶m 点边值问题 钆( 亡) + ，( 亡，钍( 亡) ) = o ，亡( o ，1 ) ，( 2 1 ) m 一2 u ( o ) = 喇( 勘，钆( 1 ) = o ( 2 2 ) 扛：1 正解的存在性，其中q t o ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ，o 苫2 啦( 1 一毛) 1 ，o 荨1 已 知一2 1 首先利用二阶两点边值问题的格林函数得到了二阶m 点边值 问题的格林函数，在此基础之上，运用迭代法给出上述边值问题存在正解的若干充 分条件 2 1预备引理 引理2 1 1 假设答2q t ( 1 一鳓1 且可c 【o ，1 ，则线性二阶m 点边值问题 “( 亡) + 可( 亡) = o ，芒( o ，1 ) ， u ( o ) = a t 仳( 鳓，钆( 1 ) = o 有唯一解 让( 亡) = g ( 亡，s ) 可( s ) d s ， 其中 g s ) = m ) + 还赫争蚴) 称为边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的格林函数，这里 k c 亡，s ，= 嚣：二：；： 兰三；三三三： ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 二阶多点边值问题( 系统) 的正解 为二阶两点边值问题 的格林函数 钆”( 亡) + 可( 亡) = o ，亡( o ，1 ) ， 钆( o ) = o ，钆( 1 ) = o ( 2 7 ) ( 2 8 ) 让目月：议训为边值l 刚越( 2 7 ) 一( 2 8 ) 的解，则易知 川) = z 1 邵s ) 小) d s ( 2 9 ) 且 泖) = 咖( 1 ) = 咖( 已) = 1 k ( 鼬) 小) 烈江1 ，2 ，棚_ 2 ) ( 2 1 0 ) 令边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的解为 乱( 亡) = 训( 亡) + c + 出，( 2 1 1 ) 其中c 和d 是待定的常数 由式( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 可知 u ( 0 ) = c ， 乱( 1 ) = c + d ， 钆( 靠) = 叫( 已) + c + 心( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ， 将其代入边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 中的边界条件并由刍2 ( 1 一锄1 可得 一 苫2 叱伽( 已) 仁于蓖韵 j答2q t 叫( 锄 “一号基嚣尚， 再结合式( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 可得边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的解为 邮) = z 1m m s + 还蠡1 喜q 聪s m s ) d 3 ， 因此，边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的格林函数g ( ，s ) 如式( 2 5 ) 所示 硕士学位论文 因此 假设钞也是边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的一个解，即 令 ( 亡) + 可( 亡) = 0 ，亡( o ，1 ) ， l 一2 u ( o ) = 掣( 锄，钞( 1 ) = o t = 1 允( 亡) = u ( t ) 一乱( 亡) ，亡 o ，1 】 由边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) ，( 2 1 2 ) 一( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) 得 ”( 亡) = 秽”( 亡) 一”( 亡) = o ，亡 0 ，1 】， ( 亡) = a 亡+ q ，亡 o ，1 】， 其中a 和q 是待定的常数 由边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) ，( 2 1 2 ) 一( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) 得 由式( 2 1 5 ) 得 ( o )= u ( o ) 一u ( o ) m 一2 = q t ( 鳓， z 一 、一7 = l ( 1 ) = u ( 1 ) 一钆( 1 ) = o ( 0 ) = q ， ( 1 ) = g + q ， 九( 已) = g 邑+ q ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 由式( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 得 由式( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) 得 c 1 + q = 0 7 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 伤 + &g 僦 一汹 = q 二阶多点边值问题( 系统) 的正解 因为占2 叱( 1 一已) 1 ，所以关于未知数a 和q 的线性方程组( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 有唯一解 g = q = 0 ， 因此亡 o ，1 】时尼( 亡) 恒等于零，故 移( ) = 钆( 亡) ，亡 0 ，l 】， 即钆( 亡) = 詹g ( 亡，s ) 秒( s ) d s 是边值问题( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的唯一解 2 2 主要结果 令 j = ( o ，1 ) ，= o ，1 】，矿= o ，+ ) ， d = z c ( ，) j o m z 尥，使得m 茁( 1 一亡) z ( 亡) 尥( 1 一舌) ，亡j ) 关于函数厂假设下述条件成立： ( g ) ，( 亡，钆) 在j r + 上非负连续； ( q ) 对固定的亡了，厂( 亡，u ) 关于钍单调递增； ( 岛) | g ( o ，1 ) 使得，( 亡，r u ) r 口厂( 亡，饥) ，v o r 1 ，( 亡，他) j r + ( 2 2 3 ) 定理2 2 1 假设( q ) 一( g ) 成立，o 答2 锄( 1 一铀 1 且 。 z 1 ，( 亡，1 一亡) 班 + o o ， ( 2 2 4 ) 则非线性奇异边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在c ( ，) nc 2 ( j ) 中存在正解z ( 亡) 对任意的初 始函数( 亡) o ( 不恒等于零) ，亡，构造函数列 姒亡) = 1 ，彬( s k “s ) ) 峨竹= 1 2 ， ( 2 2 5 ) 则 k ( 亡) ) 在，上一致收敛于z ( 亡) 且收敛速度为 1 学m 亡) 一z ( 芒) i = d ( 1 _ 口”) ， ( 2 2 6 ) 其中0 1 与初始函数危o ( ) 有关，g ( 亡，s ) 如式( 2 5 ) 所示 硕士学位论文 证明：令 尸= 。l z c ( j ) ，z ( ) o ，亡j ， ，1 f z ( t ) = g ( 亡，s ) ，( s ，z ( s ) ) 如，比d ( 2 2 7 ) ，0 对比d ，| 0 o f z o ( ) ( f 危o ) ( 亡) ，亡，) ， l 。= i n f l o i ( f 忍o ) ( 亡) l 允o ( 亡) ，亡，) ，( 2 3 4 ) m = m i n ( 1 ) ( k ) 南) ， m = m a x ， 让o ( 亡) = m 危o ( 亡) ，伽( 亡) = m o ( 亡) ， u 竹( 亡) = f u n l ( 亡) ，u n ( 亡) = f t 一1 ( 亡) ，n = o ，1 ，2 ，( 2 3 5 ) 由式( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 以及算子f 的递增性得 u o ( 亡) 让1 ( 亡) 钆礼( 亡) ( 亡) 移1 ) 伽 ) ，亡，( 2 3 6 ) 对亡o = 等，由式( 2 2 7 ) 和( 2 3 5 ) 得 让n ( 亡) ( 亡o ) g ”( 亡) ，亡，礼= o ，1 ，2 ，一( 2 3 7 ) 由式( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 得 o u n + p ( 亡) 一钆n ( 亡) ( 亡) 一钆n ( 亡) ( 1 一( 艺o ) 9 ”) m o ( 亡) ，v n ，p ，( 2 3 8 ) 故| z ( 亡) d 使得 ( 亡) _ z ( 亡) ，( 亡) 一z ( 亡)( 2 3 9 ) ( 在，上一致连续) 且 乱佗( 亡) z ( 亡) ) ，亡，竹= o ，1 ，2 ，( 2 4 0 ) 由算子f 的递增性和式( 2 3 5 ) 得 钆竹+ 1 ( 亡) = f u 扎( 亡) f z ( 亡) f ( 亡) = + 1 ( 芒) ，佗= o ，1 ，2 ， 再由式( 2 3 9 ) 以及极限的唯一性知z ( 亡) 满足式( 2 3 2 ) ，因此z ( 亡) c 1 ( ，) nc 2 ( 了) 是边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的一个正解 由式( 2 2 5 ) 和( 2 3 5 ) 以及算子f 的递增性得 乱。( 亡) 危n ( 亡) ( 亡) ，亡j ，n = o ，1 ，2 ，( 2 4 1 ) 1 0 硕士学位论文 这样，由式( 2 3 8 ) ，( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 得 i 九竹( t ) 一z ( 芒) i i 九n ( ) 一心n ( 亡) i + l u n ( 亡) 一z ( 亡) 2 1 ( 亡) 一u n ( 亡) i 2 ( 1 一( 亡o ) q ”) m o ( t ) ， 故 z 学m 亡) 一z ( 亡) i 2 ( 1 _ ( 舻”) mz 学 。( 亡) ， 因此，式( 2 2 6 ) 成立 第3 章非线性二阶m 点边值问题系统的正解 本章讨论非线性常微分方程边值问题系统 i u = ，( 亡，钉) ，亡( o ，1 ) ， 卅2 9 ( 亡( o ，1 ) ， ( 3 1 ) l 钆( o ) = 沓2 u ( 鳓，u ，( 1 ) = o ， 、 l ( o ) = = 2 秒( 鳓，移，( 1 ) = o 正解的存在性及多解性，其中，9 c ( o ，1 】冗+ ，冗+ ) ，9 ( 亡，o ) 三o ，亡 o ，1 】， o ( = 1 ，2 ，m 一2 ) ，箸2 锄 1 ，o 1 已 一2 1 。首先，构造 出了相应的线性边值问题的格林函数；其次，给出了关于格林函数的一些性质：最 后，利用锥拉伸与压缩不动点定理建立了上述系统正解的存在性及多解性准则 对于函数 c ( 【o ，1 】冗+ ，冗+ ) ，我们做如下记号： = l i m o + i n 铂o ，1 l 掣， 。= l i 珈乜。i n f t 【0 ，1 】丛， 胪= l i 砜。o + s u p t 掣， 。o = 1 i h k 。s u p t 【o ，1 】丛 3 1预备引理 引理3 1 1 对于任意给定的可研o ，l 】，二阶两点边值问题 一钆= 可( 亡) ，亡( o ，1 ) ，( 3 2 ) u ( o ) = o ，u 7 ( 1 ) = o( 3 3 ) 1 2 硕：e 学位论文 的格林函数为 k c 亡，s ，= l ：三；主二霎三j c 3 4 ， 引理3 1 2 设答2 锄1 ，则对于任意给定的矽研o ，1 】，二阶m 点边值问题 一乱= 秒( 亡) ，亡( o ，1 ) ，( 3 5 ) 乱( o ) = 叱u ( 鼢，钆7 ( 1 ) = o ( 3 6 ) 有唯一解 ，1 u ( 亡) = g ( 亡，s ) 秒( s ) d s ， t ，0 其中 g ( 屯s ) ：斛铀) + 去喜叱斛矗s ) ( 3 7 ) 被称为边值问题( 3 5 ) 一( 3 6 ) 的格林函数，k ( 亡，s ) 如式( 3 4 ) 所示 证明：设删为边值问题( 3 2 ) 一( 3 3 ) 的解，则易知 泖) = 1 即，s ) 小) d s 且 叫( 。) = 。，叫7 ( 1 ) = 。，叫( 鳓= 1k ( 毛，s ) 可( s ) d s ( z = 1 ，2 ，m 一2 ) 令边值问题( 3 5 ) ( 3 6 ) 的解为 乱 ) = 叫( 亡) + c + 班， 其中c 和d 是待定的常数，则 u 7 ( 亡) = 叫7 ( 亡) + d 由式( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 可知 仳( 0 ) = c ， u 7 ( 1 ) ：d ， 、，、l，、l，、l， 8 9 0 1 ( ( 3 3 f，f 二阶多点边值问题( 系统) 的j 下解 乱( 已) = 叫( 已) + c + 心( z = 1 ，2 ，m 一2 ) ， 将其代入边值问题( 3 5 ) 一( 3 6 ) 中的边界条件并由答2 锄l 可得 忙声 再结合式( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) 可得边值问题( 3 5 ) 一( 3 6 ) 的解为 比，= 和抽m 踟s + 还蠹z 1 争蛳m s 油， 因此，边值问题( 3 5 ) 一( 3 6 ) 的格林函数g ( 亡，s ) 如式( 3 7 ) 所示 很明显，( 乱，口) c 2 o ，1 】c 2 o ，1 】是边值问题系统( 3 1 ) 的解当且仅当( 牡，仃) c o ，1 】c o ，1 】是积分方程系统 j ，u ( 亡) = g ( t ，s ) 厂( s ，钉( s ) ) d s ，亡( o ，1 ) ， 、可( 亡) = 詹g ( 亡，s ) 9 ( s ，钆( s ) ) d s ，亡( o ，1 ) 的解，其中格林函数g ( 亡，s ) 如式( 3 7 ) 所示 积分方程系统能被转化为非线性积分方程 牡( ) = z 1g ( 亡，s ) 厂( s ，z 1g ( s ，r ) 9 ( r ，u ( r ) ) 咖) d s ，亡( 。，1 ) 引理3 1 3 令7 ( o ，1 ) 是一个常数，则格林函数k ( 亡，s ) 具有如下性质： 以，) k ( 亡，s ) o ，o 亡，s 1 i 俐k ( 亡，s ) k ( s ，s ) ，o z ，s 1 ； 俐k ( t ，s ) 1 ，o 亡，s 1 ； 似，k ( 亡，s ) 7 - k ( s ，s ) ，7 - 亡1 ，o s 1 引理3 1 4 令6 = f 彘假设銮2 1 ，则格林函数g ( 芒，s ) 具有如下 性质： 以夕g ( 亡，s ) o ，o 亡，s l j 俐g ( 芒，s ) g ( s ，s ) ，o 亡，s 1 ； 例g ( 亡，s ) 6 ，0 亡，s 1 ； “) g ( 亡，s ) 7 g ( s ，s ) ，7 - 亡1 ，0 s 1 硕士学位论文 故 证明：( 1 ) 由o ( t = 1 ，2 ，m 一2 ) ，= 2 啦 0 1 0 g ，s 0 0 g ，s 1 ( 2 ) 由g ( s ，s ) = k ( s ，s ) + f 彘箸2q i k ( 已，s ) 和引理3 1 3 知 一i = 1u 4 g ( 芒，s ) g ( s ，s ) ，0 亡，s 1 ( 3 ) 由o ( z = 1 ，2 ，m 一2 ) ，啬2q t 1 和引理3 1 3 知 g ( 亡，s ) m ，+ 杀喜q 洮s ， 1 + 恐 1 一答2q 6 ，0 ，s 1 ( 4 ) 由丁( o ，1 ) 和式( 3 1 2 ) 知 击蠹争蛳胁还蠹 再由引理3 1 3 知g ( t ，s ) 7 - g ( s ，s ) ，7 - 亡1 ，o s 1 引理3 1 5 假设可c 0 ，1 】且可o ，则边值问题( 3 4 ) 一( 3 5 ) 的唯一解u 满足 钆( 亡) o ，亡 o ，1 】 令e = c o ，1 对于u e ，定义i i 钆| i = m 躏t 1i u ( 亡) i ，则( e ，) 是一个 b a n a c h 空间 再令 p = 乱e 忡) o ，亡 o ，1 】，骢u ( 亡) 7 ) ， 显然p 为e 中的一个锥对于u p ，我们来定义算子t ：p - e t u = z 1 s ) m ，z 1 g ( s 咖( 删( 州训d s ，亡 o ，1 】， 一 s 一 0s & k口 一沮 二阶多点边值问题( 系统) 的j 下解 竺! 竺! ! = ! ! ! ! ! 竺! ! = = = = = ! ! ! ! ! ! 竺! = ! 竺! 竺= ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! - - ! ! ! ! ! ! ! ! 因此我们知道，边值问题系统( 3 1 ) 有一个正解u ( 亡) 当且仅当钆( ) 是算子方程 钆( 亡) = 丁u ( 亡) 的解 在本章的后半部分，我们总是假设答2q t 罢氇t u ( 芒) 。罂琶t 上g ( 亡，s ) ，( s ，上g ( s ，r ) 9 ( r ，乱( r ) ) 打) d s 丁z 1g ( s ，彬( s ，1g ( s 咖( 叫( 州办) 矗s 7 _ i l t 钆i l ， 因此，t ：p _ p 进一步容易证明t ：p _ p 是全连续的 3 2 主要结果 为了讨论边值问题系统( 3 1 ) 正解的存在性和多解性，我们做以下假设： ( a 1 ) ，。 6 ，其中62 习- 玎毒骊； 1 6 硕士学位论文 得 得 ( a 5 ) ，( 亡，u ) ，g ( 亡，u ) 关于乱都是非减的，且存在常数 o 使得 心，小州s ) o 使 厂( s ，z 1g ( r ，r ) 9 ( r ，a 彳) 办) 7 ( 1 7 - ) s 7 - ，1 】； ( a 7 ) 厂( t ，让) 关于饥是非减的，9 ( 亡，u ) 关于u 是非增的，且存在常数 o 使 厂( s ，z 17 - g ( r ，r ) 夕( r ，v 矿) 咖) 7 - ( 1 7 ) s 7 ，1 】 定理3 2 1 假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，则边值问题系统( 3 1 ) 至少存在一个正解 ( 乱，u ) 有 因此 证明：由条件( a 1 ) ，那么我们选择皿( o ，1 ) 使得对于v ( 亡，u ) o ，1 】 o ，玩) ， 厂( ，乱) g ( 亡，钆) 这样，若u p 且i i 钆| i = 粤，那么 z 1 g ( s ，r ) 夕( r ，让( r ) ) d r t 乱( 亡) o 扎 n u 。1g 咖咖 叫l 皿 2 研，s 0 ，1 】， 1g ( 亡，s ) 厂( s ，1g ( s ，r ) 9 ( r ，扎( r ) ) d r ) d s 1g ( s ，s ) 厂( s ，z 1g ( s ，r ) 9 ( r ，u ( r ) ) d r ) d s nl l “i lz 1 g ( s ，s ) 。1 g ( r ，r ) d r d s = l ，t 【o ，1 】 1 7 一 0 满足 妒rg ( 字，s ) d s 2 ， 矽丁2 g ( s ，s ) d s 1 因此对于u p ，有 其中 孔( 半) = 1g ( 半 s ) m ，1 g ( s ，咖时渺) d s 小半，s ) mg h 咖小渺娟 d s = 妒1g ( 字，s ) 1 g ( s 咖嘶) ) d 珧 一g 小半，s ) 如 卿小半，s ) 脚s 嘶渺d s 一妒q z 1g ( 孚，s ) 和s 批 一g 1g ( 半，s ) d s 妒1g ( 孚，s ) 如 一妒qz 1 g ( 半，母 一g 1g ( 半s ) d s 20 u | | 一岛， g ( r ，r ) u ( r ) 打 g ( r ，r ) d 7 d s g = 妒q 和半，s ) z 1g 州础+ a 小半，s ) 叔 1 8 。 硕士学位论文 从而，当i i 饥l l _ 时有 酬i 孔( 孚) 我们再令 q 2 = 钍e ：i | o 充分大，有 i i t u | i i i u | l ，v 钆pna q 2 ( 3 1 4 ) 从而，由式( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 及定理1 2 4 我们可知算子t 在pn ( _ 2 q 1 ) 中有一 个不动点 定理3 2 2 假设( a 3 ) 和( a 4 ) 成立，则边值问题系( 3 1 ) 至少存在一个正解( 扎，秽) 证明：由条件( a 3 ) ，那么存在d ( o ，1 ) ，使得对于v ( 亡，钆) 【o ，1 】 o ，d 】，有 厂( 亡，乱) 6 饥， 9 ( 亡，u ) 阮 据9 ( 亡，o ) 三o ，亡 o ，1 】及9 ( 亡，u ) 的连续性可知，存在一个充分小的风( o ，d ) 使得 鲍m 丽蒜m u ) 0 1 0 捌 这样，若钆p 且i i 饥| i = 风，则有 从而 1g ( s ，r ) 9 ( r ，乱( r ) ) d r z 1g ( s ，r 了孑靠d r d ，s 【0 ，1 】， 孔( 孚) = z 1g ( 半，s ) 帕，1 g ( s 哟时) ) d 州s 1g ( 半 s ) 6 1 g ( s ，帆抛 丁2 l | 6 1g ( 孚) s ) 6 小v 炒如 1 9 二阶多点边值问题( 系统) 的正解 ! ! ! - ! ! ! ! ! ! ! 竺! ! = = = = = = ! ! ! = = ! ! ! = ! ! ! ! ! ! ! = = ! ! ! 竺! = = = ! = ! ! ! ! ! 兰 恻1 再令q 3 = u e ：l i u i i 0 满足 入z 1g 岫丢 这样我们可知，对于u p 有 t 婶) = z 1g s ) m ，z 1 g ( s ，咖( 州) 刎d s z 1g ( s ，s ) 入z 1g ( r ，r ) 9 ( r ，u ( r ) ) d r + a d s 入z 1g ( s ，s ) d sz 1g ( r ，r ) 【入u ( r ) + c 】d r + c 鼍z 1 g ( s ，s ) d s 扣乱l | + g ，亡【o ，1 】， 其中 瓯= ( a 既1 g ( n r ) 打+ 西) z 1 g ( s ，s ) 如， 那么就有当i i u i i _ o o 时，i i 孔| | | | 成立 再令q 4 = u e ：f l u f l o ) ，有 f f t 饥i l l 仳l i ，v u p n a q