（应用数学专业论文）偏序集理论在拟阵论中的应用.pdf

巾文摘要蘧着瓣学按拳魏滋劳特亵燕诗爨嘏游诞生鞍靛曩，起溪予2 0 毽纪3 0 颦伐豹拟阵理论，其原有的结构已不熊满爝新的要求，粥广原有的拟阵结构势在必杼，拓广戆途缝多耱多撵，簸臻名魏簸誊戴袋犍熬：楚将按簿定义舱熹集趱德潦集骛我丽产垒的稿謦巢羧酶，二是满髭掇阵酮公理静窝序形裁懿集念一广义羧箨辩歪今强，二喾爨在不鼓发靛。肤撤阵的发展历史w 戬看出，藏燕融子从不两的蔫度出发嵌研究撼阵，才使褥搭簿在黧广麴藏爨巍褥鬟瘟臻。麓麓，在穰掺爨羧簿论彝广义瓤薄谂瓣产滚、菠展的道路t ，也显示滋俪序集臻论所扮演韵重簧角色谶忿，举文采雨与前天不雨靛思维方裁，利躁偏捧集理论，崔擦持拟箨某魑愿有性质豹基蠹出上，对两种新理论给予变实靼宠饕。霜射瓣论两转掰瑗论兹区别每联系。由予爱藏黪怒与缀簿“对立”髓一釉广义撤簿，掰戳在考虑广义援簿麴缓漩辩，必举珂少礁成必考虑帮研究慰蒙此舭，这熙还将拟髅鲍方法运掰到崔数据撼掇和数撼分拼巾非常露效的数学王其之穰惫掺上，海概念臻甄磺襄提爨了赣瓣薅罄瑟方渡。本文溅要缩果如下；f 1 ) l 茧f 簿孛有关截斑、延彀、终浆释收缩速趱耪子运算分裂巍德鐾菸骥锩憔矮豹基磴主教捺广副臻黟煞羧薄骥谂，到爝它们谤谂了镶黪集羧海瓣连避性；它键与箕它葵予努蠲霞冀予游耱藜食，橼密穰彦案羧瓣舞广爻攘簿褥爱之不然黪貔谂，( 2 ) 擞将拟阵自同构的概念摊广鬣偏序集拟降、反拟阵和广义拟阵之后，利用群论豹方法涯零：穰侉熊攘蓐苓愚鬟撼薄静捺广，孬爨阵与爱羧薅逛嚣耍麴毽客荚系缡金( 1 ) ，涟一疹邋鞠广冀瓣簿毽鸯穰痔集激辫。绉) 菔编枣熬理谂熬发蛊发，逡一劳搽谤了穰廖集援簿善广义攘簿翡蓑聚，诞明偏序熊拟阵为区间广义拟阵而反之不然鬟镳黪鬃毽论绘惑了淫谂不爨类广义羧箨乏鬻关系懿方法( 缀然拟阵f 礤巨靛射的穰念可维广蕈n 偏序熬拟阵、反拟陴釉广义拣阵，饭艇接簿阕强潦袈其骞夔凳按定理在三赣对应夔毪葳主帮爱沃不弱t 宅耋】均苓瑟有交换定理t-熬瓣，霪缭定骜一个菱羧薄茨广义攘辫，英强获麓熬，誊裳豁霉蓥蘩謦豢壤谂支持下找到多种方法麓炎袋臻，器管蔽揪簿闼麴强跌掰为嚣驶射，燕发之不然，但爱拟蹲阅的弱映射是不能取代强映射的这可以从二者对交换定理的反映上看出。此结论也表明研究强映越的必要性由于区间广义拟阵是广义拟阵中应用广泛的一个大家族，故文中专门给出了关于它的囱同构的刿定方法( 5 ) 运用先分类、后分鹰的办法，对给定有限巢上的全体拟阵掇出了一种构造方法：借助偏序集理论，建立起给定有限集上全体拟阵与嬲论中树的联系，从丽得到了另一种寻我给定有黻集上全体叛阵的构造方法这两种方法使得拟阵可以运用到寻找概念格的研究中，也使褥拟阵理论与概念格理论的关系更为密切关键词：偏序集群拟阵偏痔黛毅簿广义拟阵i la b s t r a c tm a t r o i d sw e r ei n v e n t e da r o u n d1 9 3 0 u n f o r t u n a t e l y ，t h ec l a s s i c a ln o t i o n so fm a l r o i d sa r en o ts m t e dt ot h ec o n t e m p o r a r yc o m m a n d sw i t ht h ea d v e n ta n dd e v e l o p m e n to fs c i e n t i f i ct e c h n o l o g ye s p e c i a l l yc o m p u t e rs c i e n c e b a s e do nt h i s ，t h ew o r ko ft h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lm a t r o i d si si m p e r a t i v e t h i sw o r ki sd o n ei nm a n yw a y s ，t h em o s tf a m o u sa n dr e p r e s e n t a t i v ea r ct h ef o l l o w i n g , o n ei sp o s e tm a l r o i dt h a tc o m e sf r o mr e p l a c i n gt h eu n d e r l y i n gs e to fam a t r o i db yap a r t i a l l yo r d e r e ds e t ；a n o t h e ri sg r e e d o i dd e f i n e aa sac o l l e c t i o ns a t i s f y i n ga no r d e r e dv e r s i o no ft h em a t r o i da x i o m s e v e nt o d a y t h en e wt w ot h e o r i e sa r cd e v e l o p i n gc o n t i n u o u s l y al o o ka tt h eh i s t o r yo f m a t r o i d sm i g h tl e a dt ot h ec o n c l u s i o nt h a t j u s ts t u d i e df r o md i f f e r e n td i r e c t i o n s ，m a t r o i dt h e o r yh a sb e e nr i c hi nc o n n e c t i o n sw i t hp u r ea n da p p l i e d ,d e e p l yr o o t e di nt h eu t m o s tr e a c h e so fe x p e r i m e n t a lt h i n k i n g i na d d i t i o n ，f o rt h et h e o r yo fb o t hp o s e tm a l r o i d sa n dg r e e d o i d s p o s e tt h e o r yw a so n eo ft h ek e ys o b r c e s s oi ti sn o ts u r p r i s i n gt h a t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w i t ht h eh e l po fp o s e tt h e o r y ，t h et w on e wt h e o r i e sa r ep o l i s h e da n dr e f m e di nd i f f e r e n tm e t h o d st h a ta r ed i s t i n c tf r o mf o r m e rs c h o l a r s a tt h es a m et i m e ，s o m ep r o p e r t i e so fm a t r o i d sa r ee x t e n d e di nm a n yw a y sw i t h o u tl o s i n gs o m eo ft h es t y l ea n df e a t u r e so ft h e s ec o n c e p t s s o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h et w on e wt h e o r i e sa r ed i s c u s s e dt o o a l lt h e s ea p o l i s h i n ga n dr e f i n i n go nt h en e wt w ot h e o r i e s a n t i m a t r o i d sa sac l a s so f 蓼e e d o i d sa r ci nm a n yr e s p e c t s a n t i p o d a l ”t om a t r o i d s t h u si ti sn a t u r a lt oc o n s i d e ra n ds t u d yo na n t i m a t m i d sw h e nr e s e a r c hi n t ot h ep r o p e r t i e so f g r e e d o i d s b e s i d e s ，i ti sk n o w nt h a tc o n e e p tl a t t i c ei so n eo f a l le f f e c f i v em a t h e m a t i c a lt o o lf o rt h es t u d yo fd a t am i n i n ga n dd a t aa n a l y s i s t h ea p p l i c a t i o no f m a l t o i dt h e o r yi n t oi ti san e wi d e aa n dan e wm e t h o di nt h er e s e a r c ho f c o n c e p tl a t t i c e t h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ( 1 ) f o u rs u b m a t r o i d s t r u n c a t i o n ，e l o n g a t i o n ，r e s t r i c t i o na n dc o n t r a c t i o na r ee x t e n d e df r o mm a t r o i d st op o s e tm a t r o i d sr e s p e c t i v e l yw i t h o u tl o s i n gs o m eo ft h ev a l u a b l ep r o p e r t i e so f t h e m i na d d i t i o n ，c o m b i n i n gw i t ho t h e ro p e r a t o r ss u c ha sc l o s u r eo p e r a t o r s ，t h en e wf o u rs u b p o s e t m a t r o i d sa r ea p p l i e di n t ot h ed i s c u s s i o na b o u tt h ec o n n e c t i v i t yi np o s e rm a t r o i d sa n dg i v eac o n c l u s i o nt h a te v e r yp o s e tm a t r o i di samg r e e d o i d , b u tn o tv i c ev e f 黯，( 2 ) t h ec o n c e p t so ft h ea u t o m o r p h i s m so fap o s e tm a t r o i d ，a na n t i m a t r o i da n dag r e e d o i da l ec o r r m o ng e n e r a l i z a t i o n so ft h a to fam a t r o i d b yd i n to fg r o u pt h e o r y ，s o m er e s u l t sa r eo b t a i n e d ：o n ei st l l “p o s e tm a t r o i d sa r en o tt h ee x t e n s i o no fa n t i m a t r o i d s ；a n o t h e ri st h a tt h ei n c l u s i o n 嘲a t i o n sb e t w e e nm a t r o i d sa n da n t i m a t r o i d sa r en o te x i s t e d c o m b i n i n gw i t ho n eo ft h er e s u l t si n ( 1 ) ，i tf o l l o w st h a tt h ef i e l do fg r e e d o i d so w n e di sl a r g e rt h a nt h ep a r to f p o s e tm a t r o i d s ( 3 ) p o s e tt h e o r yh a sg i v e nr i s et oac o m p r e h e n s i v ev i e wo ft h er e l a t i o nb e t w e e np o s e tm a t r o i d sa n dg r e e d o i d sd e e p l y t h ec o m p r e h e n s i o ni st h a tp o s e tm a t r o i d sa r ei n t e r v a lg r e e d o i d s , b u tn o tv i c ev 窃瓿h e r e ，f o rd i f f e r e n tc l a s s e so fg r e e d o i d s ，am e t h o df o rd e a l i n gw i t ht h er e l a t i o n sa m o n gt h e mc o n i e si n t ol i f eb yp o s e ra a e o r y +( 4 ) o n eo f t h em o s tb e a u t i f u lr e s u l t so f m a t r o i d si se x c h a n g et h e o r e mr e l a t i n gt h es t r o n gm a p sb e t w e e nm a t r o i d s ：h o w e v e r , t h ec o r r e s p o n d e n tr e s u l ti sn o t 扭粥f o rp o s e tm a t r o i d s ，a n t i r n a l r o i d sa n dg r e e d o i d sr e s p e c t i v e l y e v e nt h e ns o m em e t h o d sf o rs e a r c h i n gt h es t r o n gm a p so fag i v e na n t i m a t r o i da n dag i v e ng r e e d o i da r ef o u n do u tu s i n gp o s e rt h e o r y t h o u g hs t r o n gm a p s o f a na n t i m a t r o i da r ew e a ka n dn o tt h ec o n v e r s e , f o r t u n a t e l y ，s t r o n gi sn o tt ob er e p l a c e db yw e a ki nv i r t u eo f t h e i rd i f f e r e n ta t t i t u d e st ot h ee x c h a n g et h e o r e m t h i sr e s u l ts h o w st h ei m p o r t a n c et on o t i c et h es t r o n gm a p s s o m ed e c i s i o nm e t h o d sa r eg i v e nf o rt h ea u t o m o r p h i s m so fi n t e r v a lg r e e d o i d st h a ta r eav e r yl a r g ec l a s so f g r e e d o i d s ( 5 ) ac o n s t r u c t i v ew a yi s 蛮v 搬f o ro b t a i n i n gt h ew h o l em a t r o i d sd e f i n e do nt h es a m ef i n i t eg r o u n db yc l a s s i f y i n gn r s ta n ds t r a t i f y i n gs e c o n d a f t e rb u i l d i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nat r e ea n dt h ef a m i l yo fm a t r o i d sd e f i n e do nt h es a m ef i n i t eg r o u n d , a n o t h e rw a yi sp r e s e n t e dt oo b t a i nt h ef a m i l yo f t h em a t r o i d sd e f i n e do nt h es a l n ef m i t cg r o u n dw i t ht h eh e l po fp o s e rt h e o r y 。u s i n gt h et w ow a y s , m a t r o i di sa p p l i e di n t of o u n d i n gc o n c e p tl a t t i c e s t h i sa p p l i c a t i o nd e e p e n st h ei n t i m a t er e l a t i o nb e t w e e nm a t r o i dt h e o r ya n dc o n c e p tl a t t i c et h e o 哆k e y w o r d s p o s e tg r o u pm a t r o i dp o s e tm a t r o i dg r e e d a i di v刽新性声骥本入声明所量交的论文是稳个入夜箨师指静下进行的研究王作及漱得的研究戏票。尽我掰知，赊7 文中特别加以橡注和致滋中所罗列的内容以辨，论文中不包含其他入已缀发表或撰写遥的研究成采；氇不包含为获得西安电子褥技大攀或其熟教育枫构鹪学位诞书露使髑过豹材料。与我一同工圣# 豹同意对本研究所馓的任何贡献均已猩论文中做了瞬确的谎翡并表示了谢意。本人签名牟关于论文使建授权妻孽说骥本人完全了解西安电子科披大学有荧保留和使用学位论文的揽定，即：学校脊粳缳塞送交论文熬复露髂，竞谗套阕鞍疆霾论交；学校霹滚公柱论文豹全部或帮分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制学段保存论文。( 保密的论文在解游蓐遵守j 迦褒定)本人签名：墨肇导筛签名；塑塑嚣瓤塑璺：兰!鼙期卜笙翌：堡第一章绪论攘海理论起添于键纪3 e 零代1 9 3 5 年，w h i t n e y 在“关于线健程关熬攮象性质”一文中第一次提出了拟阵的概念，并在该文中叙述了拟阵的公理系统该文戏先关予羧簿款嚣裁缝文欺。b k k h o f f m a c | a n e 零d i l w o r t h 等人磺究了投阵戆尼彝问题以及拟阵与格论的关系等等赢到2 0 馓纪6 0 年代，t i l t 【e 发表了“关于拟阵的游演”文。才使羧阵理论褥到了进步皎发展特别是e d m o n d s 秘m i n t y 等人便拟阵在组合优化，整数规划，附络流及电网络理论中有了广泛的殿用w e l s h 研究了拟降的结构、拟阵与格论的关系等现在拟阵中新的公理系统仍在不断涌现撤阵在数学理论巾可谓独树一帜然磁。随着科学技术的进步特别是计算机的诞生和发展原有的拟阵结构已不能满怒赣豹要求，拓广艨有豹孝簸箨缭掏努在茹孽亍拓广的途径派如拟阵起源过獠一样可以多种多样如p e z z o f i 予1 9 8 2 年左右撵密豹褥援藩定义懿底豢蠲编序繁替畿嚣产生熬簇寝集援黪( p o s g tm a c o i d ) ，以及由k o n e 和l o v a s z 于1 9 8 1 年提出的将拟阵的独立豢公理系统条件减弱而产生的广义掇阵f 舭幽i d ) 等等。广义掇阵是提出蓐褥裂数学爨戆迅速畹应，农1 9 8 4 8 5 年闯涌现了大璧的研究论文，并提出了多种广义拟阵，使得广义拟阵家族中不断增添新成员可是偏序煞撤阵虽然皂诞生乏目起，b l 起了诲多人的关注，织直到1 9 9 8 年才由b a m a b e i 等人利用偏序集理论( 特别是格论) ，在公理系统方面对偏序集揆阵进行了较为详细的讨论所肖这些新理论现在仍需完簿从b a m a b e i1 9 9 8 年的论文中珂戬着到t 损阵静一些公疆系统在僚用编侉集理论之后，被推广到了偏序集拟阵巾。那么自然要问，拟阵的其它一始性质如子运算。连邋牲等是褥氇可获裕广翻褊净巢攒箨串? 窝答是- 并# 羧簿懿菠骞毯矮葬可以保持+ 如子遮算可以推广，并可以利用子运算对连通憔的某些性质进行讨论，霹是援辫瓣耀毽簿予帮不蕤缣持囊 镶亭集攘薄孛。k o n e 和l o v a s z1 9 9 1 年在 g r e e d o i d s 一书中指出广义拟阵不仅是拟阵和复数阵( 张妇l a 黝鹚鹣撬广，露量还广泛覆蓬了大爨的其它缀合结构这其中驰反拟阵就怒在许多方面与拟阵“对立”的一种组合结构，它起源于d f l w o r t h1 9 4 0 年鲢工终。蔼b o y d 积f 趣洳于1 9 9 0 每将反擞阵特征化，贝4 袭明了禁蹙算法一如贪心算法( g l e e d ya l g o r i t h m ) 不仅限于拟阵结构，从而开创了这一算法的新领域从这里也可以看出反拟阵在广义拟阵中的重簧地位所以，在研究将原商的拟阵理论拓广到广义掇薄中时，必不可少韵耍考虑反拟阵尽管美于广义织阵的研究取得了重要进展，但存在的问题依然不少如关予拟障的映射，多年来受到广泛的关注w e l s h 和k u n g 等已分别对拟阵的强映射羊h 弱汝射进行了详细豹讨论，可燕这些淤辩新其有的一些超好性瘊，铡如强映射闻的交换定理，怒如何反映在新理论中昵? 还有w e l s h1 9 7 6 年在 ( m a t r o i dt h e o r y 一书中讨论熬羧阵鑫嗣耱鑫藏擒这令蓍钕麓萃豹绩梅，并未弓| 越蔡些入鹣关注。然葱，正是这个结构却架超拟阵到群的一鹰桥梁既然如此，具有众多公理系统的拟阵是辩舞疼宅瓣公理系绞反骧赛叁霜构辫熬公瑾系统孛2 臻序集羧阵垂瘸擒群、爱接阵自同构群、广义拟阵自同构群又如何昵? 弱外利用这些群是否可以讨论一些广义搬阵族元之闻骢关系因为广义熬阵是一个大家族，成员| 、曩有骜予丝万缕的联系。搞清他们的关系对研究广义拟阵的性质是至荚照要的当然，可考虑建立广义拟阵族上的偏序荚系以讨论族元闻的联系，作为拟阵的两种拓广一偏序集拙阵和广义拟阵之间关系鲡何昵，本论文将从不同的角度一利用偏序集性质、群论对该问题给予回答，得到偏序集拟阵是广义扳簿，但葳之不然麴结论，关于强映射和弱映射在偏序集拟阵和广义拟阵中是如何反映的呢本文说明僚垮集熬箨主麓强漩瓣掰冀有鹁交换毪震，黠反叛簿润熬强浚藜不存在羧簿翔静强映射的交换定理当然，广义拟降也不具备该交换定理反羧簿上三大浚瓣闼懿关系舞t 每令强浃射必秀器获瓣，爱之不然；当藏集上的映射为最换时。自同构强映射、弱映射三者等价对予及拟阵上鲍强殃瓣潮弱映射，扶它髓匏交羧性质上霹知弱映瓣不可取代强映射这一结论也说明研究强映射的必要性做为广义拟阵盼一个大家族一区间广义拟阵，冀自同构的刿定方法也基予偏序集理论税文中专门给出从拟降理论的发展来者，它是伴随着计算机科学的发展而不断进步的那么在计算抗领域中氇受饿入关注昀数据挖掘与掇阵有何联系昵? 众所皆知数据挖掘依据的数学理论之一是概念格，将拟阵应用予求概念榱中。无疑将有益于概念格的鼍拜究从偏序集拟阵论和广义拟阵论的产生、发展来肴，偏序粲理论一赢扮演重要蹩熟。本论文戆主簧嚣熬是麸绱睾集理谂穗专剩是格论) 瀣发，将羧薄毽论孛若予霪要性质推广到偏序集拟阵论和广义拟阵论中，这是对两种新理论的充实和完善本论文共分七耄，第一章为缝论第二章必预备鳃谖，食缁拟阵、德穿集拟晦、广义拟阵簿与后续内容有关的一些熬本知识，特别是研究它们的工具一偏序集理论葶b 群论懿一些预冬知识第三章是偏序集拟阵上的运算及其皮用，讨论子运算和闭包算子夜偏序集拟阵中的反映，以及子运算应用于讨论偏序集拟阵的连通性；此外还刹用予运算和闭包算予讨论了偏序集拟阵与反拟阵、偏序集拟阵与广义拟阵的关系第四章讨论自同构群的公理系统及其应用，利用拟阵、偏序集拟阵、反拟阵、广义拟阵的公理系统建立起四者分别对应钓自同构群的公理系统，并利用这些公理系统讨论四者之间的一些关系第五章讨论广义拟阵的偏序集结构，利用偏序集拟阵的偏序集性质，得知偏序集拟阵为区间广义拟阵此外，还建立广义拟阵族的偏序结构，从而达到讨论族元之间关系的目的第六章涉及强映射，将拟阵理论中有关映射特别是强映射理论反映到偏序集拟阵，反拟阵和广义拟阵上，并且还讨论了强映射与其它映射如弱映射、自同构在这些组合结构上的一些关系，得到一些简便易行的判别方法第七章讨论拟阵之求法及其应用最后为结束语，列出了若干有待进一步探讨的问题需要说明的是，也可以利用其它方法，如直接利用定义得到本论文中的某些结果。但是从拟阵理论发展的历史中得知，正是由于从不同的角度出发去研究拟阵，才使得拟阵无论在数量上还是在结构上，其公理系统之多在数学上是少有的；也正因为如此，才使得拟阵在组合优化、整数规划，网络流理论与电网络理论等中有了广泛的应用所以这里采用与前人不同的方式，利用偏序集理论等去研究拟阵理论，以使拟阵论能在更广的范围内发挥更大的作用本论文中除第七章有关内容的特别声明外，文中其它讨论均在有限范围内进行第二章预备知识本牵介绍后续内容中所需的赡基本知识首先介绍偏序集理论( 2 1 节) 和群论辖2 节) 之后，奔绥鸯援箨论( 2 + 3 繁) ，绱彦集羧箨谚2 4 节) 黟广义掇瘁谂辖5节) 有关的预备内容最后引进所需的图论及有关知识( 2 6 节) 2 。1 与镶痔集蘧论畜关魏一蓬颈备絮谈定义2 1 。1 8 7 - 2 1 1 设p 是一个集合，其上定义了一个= 元关系“蔓”，如聚对任何蕾y ，z p 有：( p 1 ) x x ；2 ) x y 且y - x 等工强( p 3 ) x - y 且y s z j j 茎z 则称p 熄一个偏序集在p 上，若gb e p , a 或b a ，荧舔露，6 霹魄否剐稳先不霹魄。若p 上，若任两个元不可眈，姗称p 为非序的对于n ，b e p ， 靠，6 】- 扛p ：d 溆 6 ) 叫p 的个x e f 日q 对予垤，y p ，蓉x 9 或者_ ，救至少有一成嶷，贝q 称p 为一个链( 或顺序集，线性集) 在p 上，若b a 且不存在x e p 使b x a ，则称a 覆盖6 ，记为b d p 戆基数引称是p除( o r d e r ) 拣鸯舅除的偏摩豢为有穷偏澎集。蓿q 笋0 且q p ，对于4 ，醅q ，定义a q b 当且仅当口魏捌称( q ( q 娥简单地( q ，) ) 为p 的一个子偏序集若c 玟c 警o ，嚣终巍子德枣祭，c 隽菲序雏，剃称c 为p 内的一个反链偏序集p 的对偶p + 是在p 上定义的反偏序关系，即在p 上x y 甘在p + 上x y 辩偏旁集p 串每个元蓑郝爨小蹑潮表示，当虽仅当a 覆燕b 时，垂一象从瘫处a 爨低处b 斡线段，爨4 这样褥裂魏圈豫为p 鲮示强，也# p 的h 站s e 示图，n 元有穷链豹长被定义为# 1 偏栉集p 的长被溆义为p 的链之长的最小上群一个包含0 的有穷长的偏序祭p 内，x e p 的高hc c ) ( 或维) 定义为在0 与x 之间翡链0 。x 0 z ( z 隽熬数豢，且z 为巍然痔) 瀵盟国y x 辛g 垮菩0 ) l弦等菪0 g o 。+ 1 粼称编黟集p 簸g 分款( g r a d e ) 这辩秣p 淹分敬编绺巢。 设p , q 终两个辆序集，殛数，：p - o q 满蹩善髟瞥曩磷式朔，粼豁，为豫痒的若为保序的双射且，( x ) ，( ”蝴x 争，则称，为同构映射，鼠称p ，q 为闷构的，谜受秘q 。当p = q 怼，稼，麦枣嚣撼；l 联2 1 。i i t 7 - 2 1 o 瞧网构意义下，镁一个霄斑褊序集与它的h a s s e 示嬲之阅是一一对威的经餐套穷分次镲簿集满足下述j o r d a r ，d e d e k i n d 链袭 孛：凌绘定懿嚣游点之阊的魇肖极大镳青稽黼的有穷长，令p 表示有最小元的任一个偏序鬃，在其中所有的链是宵掰长的那么p满是j o r d a n - d e d e k i n d 链条释当虽仅当它被嵩函数h 分次。定义2 1 。2 t 1 舐1 1 , 1 2 竣p 菇一令编露集羞a 警敬善，y 嚣，& 觳拶气必寄x 尊a成立，则称a 为p 的个滤子( f i l t e r ) ，滤予全体记为c ( p ) 对偶蛾，糟b g p , x 。y sp ，搀且x g 段菇蠢举8 躐裒，裂稼磬舞p 翡一个理憋枣翻l 玲e l 惫叫递减集奉论文中，对a 茧p 稽为一个偏序集) ，记m a x ( a ) = 砸a ：x 为a 孛横穴嚣 ；m i n ( a ) 一枷c a ：x 为a 中极小元 弓l 毽2 1 。2 眦1 1 l 镬 莓a ，s 鲻n c ( p ) ，必鸯却嘴，a u b e l n c ( p ) 游a e i n c ( p ) 鼠x e m i n ( a ) ，鲥a h e l n c ( p ) 定义2 。l 。3 1 1 7 - 2 1 1 设p 为一个缡黪繁，x 三辑辟e若对于任何x e x ，均有j 如，则称a 为x 的一个上界最小上舞是一个上器置含于每个上赛，弼1 u b ，( 或s u p x ) 表示。对偶地，可定义最大下界“b ( 或i n 闽1 若偏序集l 中任两个元工，y 均有1 u b 嗣x v y 表示，n q 辫f ( i o i n ) ) 和g 1 b ( 用j “y 裘示，翻交( m e e t ) ) ，砖称l 菇一个揍糟x l 且对于v a , 6 x ，有a v b ，a a b e ) ( ，则称x 为l 的予格一个辏l 孛，萋 壬意x k 在内骞蜮移s u p x , 簧l 躲l 务竞备的。一个格l 中，对所有x ，y ，= l 有j o ，z ) = ( x 一) 讲，岱 破则称l 为分配的若善繇有x v ( ya z 声- ( x v y ) a z 成立，则称l 为模的 一个含有最小元0 的格l 中，若0 - 饿l , 则x 叫徽l 的一个原- 子( a t o m ) 若l 含露最大元l ，则x e l , x - l 被称为l 的对偶原予( d u a l a m m ) 若绱痔集审经两元魏交( 势) 存在，翔穆为交( 秘半辕在格l 中，若j ，凰薯，二者均攫菇五必有爿v ，覆盖j 及，则称l 为半横格慧半模格l 中的每个元都是原予的并，则祢l 为几何的莰，：q 强辏l 委潞q 鹣一令双射纛满足：f ( x vy 产八x ) v ，( 力，f ( x ay ，= f ( x ) ，( ”，1 l j f 称为圈构映射，基称l q 为弼稳鲍，记茺l z - q 。引理2 1 3 设p 为一个偏序集0 若x e l n c ( p ) ，x e m a x ( p 目，则x u x e l n c ( p ) 菪x e t n c ( p ) ( e c e r ) , 刚隔h l c 飞# 袅) 涞趣娜对于x 2 9 ，p 孛必有包含x 静最小滤予证明( 1 ) 易得成立( 2 ) 设x e l j a x a , x y s p , 那么至少存在o c o 莓r 使得x e x 。又x a o e i n c ( p ) ，故y x u 淑。朝w * a x l e i n e ( p ) 如果x n “a ) 镰，z y e p ，则幽x e x a e i n c ( p ) ( v a e t ) ，有，x a ( v a e a ) ，即y n a e a x a ，所以n d e h x a e l n c ( p ) ( 3 ) 由及p h l c ( p ) 可知成立引理2 1 4 1 1 7 - 2 1 1 偏序集p 的对偶p 关于反偏序关系为一个偏序集一个格的任何区间为子格一个半模格的任何区间仍是半模格几何格的任何区间为几何的格l 为非模的充要条件是l 含有一个子格l 1 兰n 5 ( n 5 的示图见图2 1 ) 格l 为分配格的充要条件是l 不含子格同构于n 5 或m 3 ( m 3 的示图见图2 2 、图2 1图2 2m 3 的h a s s e 示图任一个模格必为半模格一个格l 为半模的充要条件是l 满足j o r d a n - d e d e k i n d 链条件且它的高函数h 满足：v x , y l ，而( 州y ) 锄( 矾y ) 劲柏任何有穷格均为完备格定义2 1 4 1 3 0 , 3 1 , 3 2 1 如果偏序集( w ，9 的任一非空子集n 都( 在n 中) 有最小元则称w 是一个良序集a 上的一个二元关系* 如果适合以下条件：( i ) v a e a ：d d ；( i i ) v 口，bc a ：口6 = 6 口；( i i i ) v a , 魏e a ：( a - b ) 掇( 矗a 。) 冲拄。则被称做a 上的一个等价关系谈* 是集合a 懿一个等贽美系，拦毫矗，套二= 茗：x a x “a ；，粼二是a 翡个j 空子煞，称三必a 岭个等价元素类，或抒魇狂等价类设鼬o ， 觚i 毫 蕊a 瓣一令予集簇潢避：a 庐彩c e i l 0 ；k da - - a ；a 广舻彩 黟羚，拖，则称 a f ：l i ) 为a 的一个划分( p a r t i t i o n ) 霉l 理2 1 。菩溉越，嚣浚s ，蹩一个菲窆抟镶彦集，它翡镁 窆簿劳子集都有上界，则s 含商檄犬元( 鼗黪琢理) 任掰释密集合均龌巍亭俄，、设a 喾o ，剡f ：。_ a 岛定义了一个在a 上盼等玲关誉与a 的所骞划分之间的双射俪为a 上的等价关系) 2 。2 群谂定义2 2 + l p 承琏铺稼赣空集会g 鸯一个群，懿粟在g 串定义了一个二元运算，叫做乘法，对任何以b ，# 岳g 它濒怒( 1 。1 ) ( a b 为= 口( 6 囝；( 1 2 ) 襻在i a g 使l a = a l = a ；( i 3 )眷在矗一芒g 谈a a 一1 = 稃a = l ，设g 为一个裂， ，k g 规遨臻k 蛉桊戡强i - r k = h 女：h e 臻k g k ) ，臻一 h 一：舞辩 。称群g 的非空子集h 为g 的予群，如果h 2 露h ， r 1 警h ，设( g ，峨云，o ) 燎嚣令群。蓍存在g 戮否上瓣双骞重，劳晨辍挎运算，鼯f ( a e a ) - - f ( a ) o f ( 6 ) ，( v a , 6 g ) 。则说，是g 剥g 上盼个磷橡映射。并说g ，g 爨间鞫鲍，记为g 兰g瓣g 到翻嘉的司擒称为群g 酌秘闻构弼a u t ( g ) 表示g 韵众体臼同构缀成韵集合一个有限或无限集合到自身上的双射叫做集合的变换有限集合的变换称为置换引理2 2 1 3 0 j 5 , 4 2 j 定义2 2 1 中的a u t ( g ) 关于映射的乘法构成一个群该群叫做群g 的自同构群集合a 的全体变换依映射的乘法组成一个群该群的任一子群为a 的一个变换群有限集合的变换群称为置换群任一群都同构于一个变换群引理2 2 2 格l 的自同构全体关于通常意义的映射合成做成一个群，称该群为l 的自同构群，记为a u t ( l ) 证明易证2 3 拟阵定义2 3 1 1 1 3 , 2 4 , 2 l 2 9 l 设e 为有限元素的集合，i c 2 8 i e ，为e 的子集族，满足下列条件( f d ) o e i ；( i l ) x e i 且y x j y t( 髓) x ，y e i 且i x i i y i j 3 y y 、) ( 使x w 工则称( e ，刃为一拟阵，记为m = ( e ，- 1 3 对x 2 8 ，若x ，则称x 为m 的独立集否则称为相关集极大独立集称为m 的基极小相关集称为圈若x e 含m 的一个基，则称x 为m 的支撑集拟阵的秩函数是一个函数p ：2 e _ 才( 非负整数集) ，使v a e 2 8 有tp ( a ) = a 】【 1 ) ( | ：x c ：a ，x e i p ( e ) 称为m 的秩，通常记为p ( m ) = p 若a 2 8 且对任意的x e e k a 有p ( a u x ) = p ( a ) + 1 ，则称a 是m 的闭集( 也称平坦( f l a t ) )若h o e 是m 的闭集且不存在h ，c e 是m 的闭集，使h c h ，则h 口q 拟阵m的超平面即是极大真闭子集若对x e 和a 篓e 有p ( a u x ) = 0 ( a ) ，则说_ 与a 相关，并记为x a 拟阵的闭包算孑是一个函数a ：2 e _ 2 8 ，使a ( a 声囊：p a ，x 墨e 设m i 娟，1 0 ，m 2 = 0 i 2 ，磊) 均是羧阵。菪存在双麓，：嚣l 呻岛满足条耱。( x 量e l 且x 矗) 僻( ，( ) 睚e 2 鼠，o 难如) 则说m l 每m 2 是两构戆，记为醚l 麓m 2 。设m i = m 2 = 氆，刚同构映射耳也叫做m 的自嗣构设，力是拟阵若e e 互则称( 段d 为自由拟降若黏 e 是醚瓣程关集，剩称盖是m 戆瑶。若x , y e 不是m 的环，但是协y 是一个相关集，则称x , y 是m 的平行元素，篱称必鹾鲍平纾元。没有环帮平行嚣酌叛阵称为麓攀掇阵。引理2 3 1 1 1 3 , 2 4 , 2 6 , 2 7 , 2 9 i 设嚣e 2 8 当是e 的一个拟阵的基粲当且仅当垡糊足：( b 1 ) v b t ，b 2 嚣= 冷| b l 险l ；d ) 2 ) k ，避e 殛簸x e b l = ，3 y 鞔使零l k 沁涔艿t设，2 8 腻e 的一个拟阵的独立集族当且仅当下述条件同时成立定义2 3 | 孛0 0 ) ，g j ) 窝( 口) v a e ，a 中所有属于，的极大子集有间栉的基数一个函数o ：2 e - 才是关于商限集e 上个 ! ：c 阵的秩函数当且仅当对往意熬x 式嚣，韩埏毛下嚣粒条箨残支( r 1 ) p ( 刀瑚；( r 2 ) p p 。( u y 垮p ( x 卜l ；( r 3 ) p 幻力却p ( u 疹= p 岱净p ( ) o 罗u 旁节( 粉t或；一个函数p ：2 e - 才是关于有限集e 上个拟阵的秩函数当且仅当对任意的x 强下面的条伟成立，( r l7 ) 鲢p 0 泌 x l ；( r 2 ，) x y = p c k ) 墨p ( y ) ；( r 3 ) p ( x u y ) + p ( x n y ) p ( x 卜p ( y ) o ：2 e - 2 8 是e 上某拟阵的闭包算子当且仅当对任意的x ，y c ：e ，工y e ，下面的条件成立( s 1 ) x o ；( j 2 ) y x 穹o ( y e o ( 均；0 j ) o ( 均；a ( 0 0 0 ) ；o 句y a ( ) ( ) 且ye o ( x w x ) jx o o ( l 功c _ c 2 8 是e 上某拟阵的圈集当且仅当( c 1 ) ，( c 2 ) 成立( c 1 ) c i ，c 2 e c 且c i ：c 2 j c t 旺c 2 ；( c 2 ) c 1 ，c 2 ec c 1 c 2 且z e c i c 、c 2 j3 c 3 e c 使c 3 ( c i u c 2 弛纠2 8 是e 上某拟阵的超平面集当且仅当下面的条件成立( 1 1 1 ) h 1 ，h 2 甜且h l h 2 j h i 仨h 2 ；( 1 1 2 ) h i ，h 2 爿且x 仨h i k d h 2 看3 h 3 e q q 使( h l n h 2 ) h 3 设m = ( e ，刃是一拟阵。则下面的说法等价( i ) h 是m 的超平面( i i ) h 的秩是p 回1 且它是秩为p ( e ) - i 极大子集引理2 3 2 1 1 3 ，2 4 , 2 7 , 2 9 l 若x ，y 是拟阵m 的闭集，则x n y 也是m 的闭集设。是拟阵m = 饵，刃的闭包算子。则0 0 p 是含x g e 的最小闭集设m = ( e ，d 是一拟阵，召是m 的基集，则召= b ：b + 惦，b 霉) 是关于p 的一个拟阵m 的基集，称m 是m 的对偶拟阵引理2 3 3 f 1 3 2 5 ，”1 设m 为一个拟阵m 的闭集全体j r ( h d 关于集合的包含序化构成一个几何格，其中a a b = 嘧a v b = n x ：糙z ( 岣，a u b c x = o ( a u b ) ，( v a ，b _ c 0 田) 设l 为一个有穷几何格，a 为l 的原子全体，h 为l 的高函数，定义x c _ 凡p ( 驴 ( v ) ( ) ，则p 为a 上的一个拟阵m 的秩函数在格同构的意义下，l _ z o 订( l ) ) 上述定义的映射i 。- m ( l ) 为有穷几何格与简单拟阵间的一个双射，且在拟阵同构意义下，对于任给的一个简单拟阵m 有m 釜m c ( m ) ) 在匏意义下，几何楱的黠偶骧子必拟阵的趣平嚣，反之亦然。一个简单拟膝之闭集的秩为箕对应的几何格的简 m 的自同掏全体在通常意义的映射含成下做成一个群，称该群为m 的自同构群，记为a u t ( m ) 镪绘一个有限群h 都存在一个拟阵m 使h - = a u t ( m ) 经给一个蠢限群h 都存在个冗俺格l 使h - - - a u t ( l ) 2 4 穰痔集攒阵定义2 4 1 1 1 m 1 i 设p 为一个偏序集，霉2 轴“一适含下述条件0 0 ) 霹o