（应用数学专业论文）二阶hamilton系统与椭圆共振边值问题.pdf

独创性声明 本人声明所曼交的学位论文怒本人在导师指母下进行的研究工作及取得的 繇究成采。据我繇稚，豫了文孛褥麓热良椽注霸致谢豹琏方舞，论文中不镪含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不觎含为获得中国工程物理研究院戏其他 教育梳擒鹣学位或_ i 正书使蠲过的誊孝瓣。与我一同工作静溺悫薄本礴究所骰豹任侮 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：懈 签字鼙赣：矽眵锣胃汐霞 学位论文舨权使用授权书 本学位论文 乍者完全了鳃并接受中国工程物璐研究院研究生郝有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被畿阅、僭阅和送交国家有关部门或机构，间时授 权中国工程物理研究貌研究生部可以将举位论文全部或郯分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名； 傀黼 导卿签名 惭才自之 签字目期：细彤肄了月妙目签字强期：饥辟；月形嗣 二阶h a m i l t o n 系统与椭圆共振边值问题 摘要 本文综合运用变分方法，临界点理论和隐函数理论等多种非线性 分析方法研究了二阶h a m i l t o n 系统的周期解和椭圆共振边值问题， 获得了一系列新的可解性条件和多重性结果可解性条件包括次可加 条件；次凸条件；局部强制条件；一类新的l a n d e s m a n - l a z e r 型条件 和次线性条件主要结果包括如下所述 首先考虑二阶h a m i l t o n 系统 瓮三辫! 蹴一a e t ) e ： 0 , e ( t 0 t ( 删 iu ( o ) 一u ( t ) = 也( o ) 一) = v 1 。 其中，t 0 ，f ：0 ，t 1 r | v r 满足 条件( a ) f ( t ，t ) 对每个z r 关于t 是可测的，对a e t 0 ，刀 关于z 是连续可微的，且存在n c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( 0 ，t ；r 十) 使得 i f ( t ，z ) i a ( i x l ) b ( t ) ，j v f ( t ，z ) 1 a ( i x l ) b ( t ) 对所有x r 和a e t 0 ，t 1 成立 设o 0 ，1 ) ，当v f 是q 一次线性的，即，存在，g l 1 ( o ，t ；r + 1 使得 l v f ( t ，z ) i f ( t ) l x l o + g ( t ) 对所有z r 及a e t 0 ，t 成立时，若条件( a ) 成立且 l x l - 2 。 1f ( t ，x ) d t 一+ 。c ( 或一。) ，当蚓一o 。， 则问题( h s ) 至少有一个解 设f ( t ，茁) 是局部强希1 j 的，即，存在册l 1 ( o ，t ) 和 o ，司的满足 r n e a s ( e ) 0 的子集e 使得 f ( t ，o ) 2g o ( t ) 对所有z r 和a e t ( 0 ，司成立，强当一o 。时，f ( t ，z ) 对 a e t e 趋节+ 。，筹条件( a ) 成盎，则阀题( i - i s ) 至少有一个解， 设f 满足条件( a ) 且誊 x | 一。时 f f ( 妇) d r 一协 若存在7 之1 使得f ( t ，x ) 对a i e # o ，明关于髫都是7 一次可加函数， 即， f ( t ，z + y ) s7 ( f ( t ，x ) + y ( t ，奶) ，觇，y r 则问题( h s ) 曩少有一个解 褥考虑半线性撼霹方程鳃d i r i c h l e t 边援遐题 f - - a u = a 钆+ g ( z ，u ) v z n 1 链= 0v 嚣8 q 其中qcr 。( 1 ) 是有界光滑区域， k 是特征值问题 一札= a 钍v z q ，札= 0v z a q ( d ) 的豢奄个苯弱的耱征值，g ：交冗一嚣是c a r a t h 6 0 d o r y 函数 设 窖。( 搿) 兰s u p i g ( x ，) ；t ；m 三产( q ) 对所有m 0 和某口21 满足j + ；1 = 1 ，且当n 3 时，2 p 鹅， 警n l ，2 对，2 p 0 ，及b ( q ) 使得 出i m 。i 。n f 铲剑鬻爷剑$ ) 对a e 茁q 一致地成立，英中歹1 + i = 1 粼溺题( d ) 在窘阉嘲( q ) 中鬣少有一个解 缎定g c ( r ，r ) 使得 o l i m i n f 螋 l i r as u p g ( t j 3 滋“ 0 弼一t 设h l 1 ( o ，7 r ) 满足 f ( 一。) fs i n x d f ( z ) s i n x d z 0 和2 芦。 0 ，m e a s x 纯i b ( x ) 0 ， 3 n ( ) 掣 0 s u c ht h a t f ( t ，z ) g o ( t ) b ra l lx r a n da e t f 0 ，t 1 ，a n dy ( t ，z ) 十。a sl z l o of o r a e t e t h e np r o b l e m ( h s ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n s u p p o s et h a tfs a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) a n d 。中 蓖f ( t 、x ) d t 一七o 。 潞| 算 叶o 。， a s s u m et h a tt h e r ee x i s t s7 1s u c ht h a tf ( t ，茗) i s7 一 s u b a d d i t i v ei nzf o ra e t 【0 ，t 1 ，t h a ti s ， f ( t ，+ y ) 一r ( f ( 亡，x ) + f ( t ，们) ，v x ，y 霓 t h e np r o b l e m ( h s ) h a s 氇tl e a s to n es o l u t i o n 。 n o ww ec o n s i d e rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h es e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n f - a u = a + g ( x ，“) v 童q 钍= 0娩8 q ( d ) w h e r eqcr 。v ( 1 ) i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i n ，a i st h ek - t hd i s t i n c t e i g e n v m u eo ft h ee i g e n v a l u ep r o b l e m 一= a u v z q ，u = 0v x 0 f i ， g ：n 兄_ ri sac a r a t h 6 0 d o r yf u n c t i o n s u p p o s et h a t g m ( z ) 垒s u p m x ，t ) ll t l ) l 9 ( n ) f o ra l lm 0a n ds o m e 21s u c ht h a tj + i i ，w h e r e2 p 鹊f o r n 3 ，2 p 0 ，a n db 扩( q ) s u c h t h a t 出) 诣i m 。i 。n ；铲g 鬻警g u n i f o r r e l yf o ra 息茗q ，w h e r e 尹i + ；= 1 t h e np r o b l e m ( d ) h a sa tl e a s t o l l es o l u t i o ni nh a ( n ) s u p p o s et h a t9 c ( r ，r ) s u c ht h a t 0 l i r a i n f 塑 l i ms u p 盟 3 一一o o t 一。t a s s u m et h a th 五1 ( o ，丌) s a t i s f i e s 罗( 一) fs i n x d 芝 f 毳擘) s i n x d 譬 0a n d2 p 2 n ( n 一2 1f o r n 3 ( 2 m ) 0 ，m e a s x a l b ( x ) 0 。( z ) 掣6 ( z ) f o ra l l0 0 ，f ： 0 ，t r 一r 满足 条件( a ) f ( t ，z ) 对每个z r 关于t 是可测的，对a e t o ，丁 关于z 是连续可微的，且存在neg ( r + ，r + ) ，bel i ( o ，t ；r 十) 使得 i f ( t ，x ) f 。( i z f ) 6 0 ) ，i v f ( t ，x ) i a ( j x l ) b ( t ) 对所有zer 和a e t 0 ，卅成立 早在1 8 9 2 年h p o i n c a r 6 【5 4 就开始用变分法研究二阶h a m i l t o n 系统，他考虑了n = 1 且f 自治( 即f 与t 无关) 的情况1 9 1 5 年 ll i c h t e n s t e i n 4 5 】考虑了n = 1 且f 非自治( 即f 与t 有关) 的情 况 用变分方法研究二阶h a m i l t o n 系统就是将求方程( 1 1 ) 的解的问 题转化为求泛函 出) = ；o 丁1 6 ( 驯2 d t + f f ( t , u ) 疵 ( 1 2 ) 在h i l b e r t 空间珥上的临界点的问题，其中 磷= 0 ( i l ，2 ，) 使得f ( t ，z ) 关于。的第i 个分量是五一弱期的，即 f ( t ，z + 噩e 1 ) = f ( t ，茹)( i = 1 ，2 ，) 对所有z r 对a e t 0 ，t 】都成立，这里 e 1 ，e 2 ，e n 是r 的 通常的称准正交基，燕 i 系统( 1 1 ) 至少有一个解使得妒达翻极小值 1 9 8 8 年p h r a b i n o w i t z 【5 8 在定理1 5 的条件下用畴数理论证明 了系统( 1 1 ) 至少有个解。接麓k 。c c h a a g 【2 4 ka q l i u 4 6 t ，x p 。w u p 5 1 考虑了f ( t ，茁) 关于茁的部分分量是周期的，而关于z 的另一部 分分量满足其它条件的情况 上面我们介绍了仅用极小作用原理获得的关于二阶h a m i l t o n 系 统震寰解存在性的某些缘果。还有一些综合遥j l 极小作凰爨理匆英它 方法的结果例如，对对偶作用泛函用极小作用原理的见j m a w h i n 和m ，w i l l e m 5 1 1 ；对泛函在予空阉上的限划泛函用摄小诈成原理的愿 y m ，l o n gf 4 7 极小作用原理是非线性分析中非常璧要而基本工具， 它在撼圆边值问题，一盼h a m i l t o n 系统和一维波方程等方面也有萋 广泛的应用，参见f 5 1 1 和它的参考文献 接下来我们霹矮一下瘸极小掇大方法替爨酌美雩二泠h a m i l t o n 系统的若干可解性结果 一、超二次条件及相关结果 定义主。l称f 满足超二次条件，如果存在弘 2 ，m 0 健謦 0 0 使得 f ( t ，z ) 0对所有6 和a , e t 【0 ，司成立 或 f ( t ，z ) 曼0对所有i x l 研n n t et 0 ，邪成立， 贝l j 二彤卜h a m i l t o n 系统 u - ( f o t ( ) t ) 一- 仳( b t ( ) t ) ：u ( 也t ) ( o = 1 一v f 血f ( t t , ) u ：( t 0 扎巳。 0 t ( 1 5 ) 1u ( o ) 一仳( t ) = 也( o ) 一血( t ) = 、 至少有一个非零解，其中b ( 曲是连续的对称阶矩阵 2 0 0 2 年文献 2 9 考虑了其它的超二次增长条件，获得了 定理1 9 ( f e ig u i h u a ，2 0 0 2 ，e l e c t r o n j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 9 ) 设 f c 1 ( 月r ，r ) 非负，在零点满足超二次条件，且 郭l 一矾掣一+ 。 ( 1 6 ) 对a _ et 0 ，t 】一致地成立若存在肛 2 ，a p 一1 使得 l i m s u o 。pf 例( t , ，z ) o ， 对。et nt 1 一致地成立 川一。 l z l “ 则系统( 1 4 ) 至少有一个非零解 二、次二次条件 定义1 3称f 满足次二次条件，如果存在0 0 及p o 1 使得 f ( t ，x ) a l 一a 2( 1 8 ) 对所有。r 及a 息t 0 ，t 】成立，则系统( 1 4 ) 至少有一个解 三、有界性条件 1 9 8 9 年j m a w h i n 和m w i l l e mf 5 1 得到了 定理1 1 1 ( j m a w h i n ，m w i l l e m ，1 9 8 9 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ， 5 1 ) 设f 满足条件( a ) 和( 1 ，3 ) 若存在g l 1 ( o ，t ；r + ) 使得 i v f ( t ，z ) i g ( t ) 对所有z 兄及a e t 0 ，刃成立，则系统( 1 4 ) 至少有一个解 文献 5 1 】推广定理1 3 和定理1 1 1 ，得到了 定理1 1 2 ( j m a w h i n ，m w i l l e m ，1 9 8 9 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，i s l ) 设f 满足条件( a ) 且v 日是有界的若当( o ，6 ) r 2 且j ( n ，b ) j o 。 时 f o t f ( ta c o s ”z u t + bs i n r a w t ) d t 一+ o 。 e 2 - 阶h a m i l t o n 系统 搿三二离鲶i ! 妊掣0 呲涎悯 ( 1 。) l 乱( o ) 一u ( t ) = 也( o ) 一i ( 丁) = 。 暑口 ：( ( 。t ) ) + 一k u 2 ( w t 2 ) u ：( t ) 血= ( 。) v f ( t , u ) ( t ：) ) f l ( t 0 a e 。 0 t 】 ( 1 1 。) lu ( o ) 一u ( t ) = 血( o ) 一) = “ 至少有一个解 1 7 1 2 半线性椭圆方程的d i r i c h l e t 边值问题 考虑半线性椭圆方程的d i r i c h l e t 边值问题 一u = a + f ( x ，u ) 一 ( z ) ，v z q ；u = 0 ，v x a n ， ( 1 1 1 ) 其中， qcr ( 1 ) 是有界区域，a k 是特征值问题 一u = “， v z q u = 0 ， v x a q 的第七个不同的特征值，：丽j r r 是c a r a t h 6 0 d o r y 函数，即， f ( x ，t ) 对每个t r 关于x 是可测的，对a e 茁q 关于t 是连续可徽 的，h l 2 ( q ) 称半线性椭圆方程的d i r i c h l e t 边值问题( 1 2 1 ) 为共振，如果 l i m 盟盟：0 l 引- 。t 对a e z q 一致地成立 对共振d i r i c h l e t 边值问题很多数学家都进行过研究，已得到了一 些可解性条件，例如：l a n d e s m a n l a z e r 型条件；符号条件；单调性 条件和周期性条件 一、l a n d e s m a n ，l a z e r 型条件 定理1 1 3设f c ( n ，r ) 有界，h l 2 ( q ) 使得 ，( + 。) 2 。l 里m o o f ( t ) ；，( 一o o ) 2 。l 里_ m o c f ( t ) ( 1 - 1 2 ) 存在若 ( 1 1 3 ) 如 出 一 一 u ，愚，如 + 一 “ 八 一 一 z z d d + + 副 ，瓜，血 池咖 一 托 + 八，抽八 对任意u e ( a k ) o ) 成立，或 ，( + 。) 厶 + d z 一，( 一o o ) 厶勘一d 。 n h v d x ，( 一。) 厶u 十d z 一，( + 。) 厶u d 茁 ( 1 1 4 ) 对任意u e ( 1 k ) o ) 成立，则问题 一a _ u = a k u + ，( “) 一 ( z ) ，v x q ；u = 0 ，v x 0 q ，( 1 1 5 ) 在日1 ( q ) 中至少有一个解 注1 1条件( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) ( 或( 1 1 4 ) ) 称为l a n d e s m a n l a z e r 条 件，它是l a n d e s m a n l a z e r 在文献 4 2 中引入的从此以后，很多数 学家做了大量的工作，主要在以下四方面： 1 对线性部分，有将一致椭圆算子从二阶推广到高阶的；精自伴 算子推广到非自伴的；将线性算子推广到拟线性的 2 对边值问题，代替d i r i c h l e t 边值问题，有考虑n e u m a n n 边值 问题的，周期边值问题的，甚至非线性边值问题的 3 ，对非线性项，有将，推广成与z 有关的，有将，从有界推广 到无界的，到线性增长的，到超线性增长的，甚至指数增长的，还有 将极限存在推广到上、下极限存在的，代替( 1 1 2 ) 以 ，( + o 。) = 1 i 删m ) ；，( 一o o ) = 1 卺翼他) ( 1 1 6 ) 此时，我们称条件( 1 1 6 ) 和( 1 1 3 ) ( 或( 1 1 4 ) ) 为l a n d e s m a n - l a z e r 型条 件 4 在l a n d e s m a n l a z e r 型条件不成立的情况下，寻求其它的可解 性条件，如广义符号条件、单调性条件和周期性条件 1 9 1 9 8 4 年a h m a d 1 考虑了两点边值问题 一u ”= u + ，( u ) 一 ( z ) ，u ( o ) = u ( 丌) = 0( 1 1 7 ) 其中f c ( r ，r ) ，h l 2 ( o ，丌) 定理1 1 4假定f c ( r ，r ) 使得 l i ms u d 塑 3 1 t i + o 。t 设h l 1 ( o ，丌) 满足 7 ( 一。) fs i n x d x 0 使得 卢幽m s u p 掣 0 ，存在坼l 1 使得i f ( x ，t ) l o ，( z ) ，v z ( o ，丌) ，v l t l r ，h l 1 ( o ，7 r ) 满足届 ( z ) s i n x d x = 0 若 f ( x ，t ) t 0v z ( 0 ，丌) ，t r 则问题 一u “= i t + f ( x ，u ) 一九( z ) ，u ( o ) = u ( 7 r ) = 0( 1 1 9 ) 在硎( o ，丌) 中至少有一个解 注1 3 进一步的结果见文献【3 9 三、单调性条件 定理1 1 7 ( m a w h i nj ，j r j r w a r da n dm w i l l e m ，1 9 8 5 ，p r o c a m e r m a t h s o c 5 2 ) 假定，是c a r a t h 4 0 d o r y 函数，且对任意r 0 ，存 在o ，l 1 使得l ，( z ，t ) l a r ( z ) ，v z ( o ，丌) ，v l tl r ，h l i ( o ，丌) 满 足届h ( x ) s i n x d x = 0 若，( z ，t ) 关于t 单调不减，则问题( 1 1 9 ) 在 础( o ，丌) 中有解的冲要条件是存在理r 使得 四、周期性条件 r 五f ( x ，as i n x ) s i n x d x = 0 定理1 1 8 设f c ( r ) 具有周期原函数，h 三2 ( q ) 满足 厶 妒如= 0 ，w e ( a ) ， 则问题( 1 1 5 ) 在硎( q ) 中至少有一个解 注1 4 1 9 8 6 年s o l i m i n i 6 3 在) 、是单重的条件下得到了此结果， 1 9 9 1 年文献 9 9 去掉了k 单重这个条件当n = 1 ，七= 1 时此结果 属于w a r d 9 2 ，其中，( t ) = as i n t 属于d a n c e r 2 6 2 1 五、强共振问题 1 9 8 3 年b a r t o l op ，v b e n c ia n dd f o r t u n a t o 【1 2 1 考虑了强共振问 题，得到了如下结果。 定理1 1 9 设，c 1 ( r ) ，且满足条件 ( f 1 )当l t l o o 时，t f ( t ) 一o ； ( f 2 )当t 一+ 。o 时，三。f ( s ) d s 一0 ( 妈) 韭。f ( s ) d s 0 ，v t r 则问题 锤= a k u + 歹( 程) ，v x q ；嚣= 0 ，v x 舀q ，( 1 2 0 ) 在嘲( q ) 中至少有一个解。 定理1 2 0 设，c 1 ( 兄) 满足( f 1 ) ，( f 2 ) ，( f 3 ) 且f ( 0 ) 一0 进一步， 菪 ，( 0 ) 一s u p f 7 ( 州t r ) ， 则问题( 1 2 0 ) 在嘲) 中至少有一个菲零解。 1 3 半线性椭圆方程的n e u m a n n 边值问题 考虑半线性椭圆方程的n e u m a n n 边值问题 一a u = p k u + ，( z ，u ) 一 ( 巩比q ；篆= o ，妇a q ，( 1 2 1 ) 其中，qcr ( 1 ) 是具有光滑边界和单位外法向量n ( x ) 的有界 区域，o u l o n = n ( z ) v u ，“是特征值问题 一u = 肌v z 呱塞- 0 ) v z 0 9 的第k 个不同的特征值，肛1 = 0 ，：豆r r 是c a r a t h 6 0 d o r y 函 数，即，( z ，t ) 对每个t r 关于z 是可测的，对a e x q 关于t 是 连续可微的h l 2 ( n ) 称半线性椭圆方程的n e u m a n n 边值问题( 1 2 1 ) 为共振，如果 1 i m 型：o 1 t l ，o 。t 对a e x q 一致地成立 对共振n e u m a n n 边值问题很多数学家都进行过研究，已得到了 一些可解性条件，例如：l a n d e s m a n l a z e r 型条件；符号条件；单调 性条件和周期性条件和多解结果 一、l a n d e s m a n l a z e r 型条件 一a u = m ) 一m ) v z q ，关= ov z m ( 1 2 2 ) 定理1 2 1 ( g u p t ac p a n dp h e s s ，1 9 7 6 ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 若 f c ( r ，r ) 有界，h l 2 ( q ) 使得 ，( + ) 2t 1 i m o f ( t ) ；，( 一。) 2 1 i m o o f ( t ) ( 1 2 3 ) 注1 5 定理蓊于文献【3 4 ，文献【9 i ，1 4 i ，【4 镯等散了遘一步妁箍广 二、符号条件 定义1 4称，( 茁，t ) 满足广义符号条件，如果存在m 0 使得 f ( x ，t ) t 0v 。q ，| t 1 m 定义i 5称歹t ) 是至多线蛀增长的，如果存在a ，b 0 使得 ，( z ，o ) l a t t 十b地q ，t r ， 定理1 2 2 ( c p g u p t a ，1 9 8 2 ，n a 3 3 ”假定，e ( 甄r ，r ) 满忍广 义符号套件，存在岛b 0 使得 f ( x ，) l 4 t l + b 比eq ，t r 2 - 掣矗 0 ，b 驴( n ) ( 整数p n 2 1 使缮 1 ，( z ，) 1 0 1 引+ b ( x ) v x q ，ter 著hep ( q ) 涟足志蠡h ( x ) d x = 0 ，刘阕题( 1 + 2 1 ) 在曩1 ) 孛至少有 一个解 孔 “ 啪懈泓肿 0 和整数南 0 使得 ；( + 1 ) 2 u 2 1 5 t 2 f ( t ，z ) f ( t ，0 ) 对所有x r 和o e t 0 ，t 】成立，且 f ( t ，z ) 一f ( t ，0 ) 一去七2 u 2 ( 1 + e ) l x l 2 对所有i x l 6 和o - e t 0 ，明成立，其中u = 擎则问题( 1 1 ) 至少 有两个不同的解 定理2 4 ( t a n gc h u n - l e i ，1 9 9 8 ，p r o c a m e r m a t h s o c 6 9 ) 假定 条件( a ) ，( 2 1 ) 和( 2 2 ) 成立设存在d 0 和整数七0 使得 一；( 七+ 1 ) 2 u 2 l z f 2 f ( z ) 一f ( ，。) 一；七。“2 i z l 。 ( 2 4 ) 对所有h d 和。- e t ( o ，引成立则问题( 1 1 ) 至少有三个不同口勺 解 注2 a 存在函数f 满足我们的定理而不满足文献【1 8 的定理7 及 其推广( 见文献【7 0 1 ) 例如，设 对所有t 0 ，t f z i 1 i x i 墨1 驴卵 + “= 、 扣一 球“护 川严+ t z 2 卜翻 胆u 一 一 = 甸 f 受文献1 5 1 j 葶梓文献i 6 9 的扇发，h a r t 3 5 j 进一步推广定理i ，1 2 ，得 到了 定理 设e 銎，1 ) ，f 满足条件( a ) ，且v f 是静次线蛀褥。若 当( a ，6 ) r 2 v 且fa ，驯一时 l ( 8 ，酗l 熟ff ( , a c o s m u + 6 s i n m w t ) d t 一+ 。o 则系统( 1 9 ) 和( 1 + l o ) 至少有一令解。 下面考虑更一般的盘阶h a m i l t o n 系统 踹：潞竺3 萧。u ( 漕t 翟0 涎盼f l ( 2 | 5 ) lu ( o ) 一乱( t ) = 吐( o ) 一) = 、“0 7 英中君是连续的对称玲怒簿。 定义2 。1 设盘f 0 ，1 ) ，称f 满足局部强制憾条件，存在h 1 ( o ，? ；置+ ) 使得 掣一九( ) 翻2 ”r 7 对所有z r v 和a et 1 0 ，t j 成立且存在 o ，t 】的满足m e a s ( e ) 0 镑子集e 使得当蚓一。时 f ( t ，x ) 万。十。 对a e t e 成立 最近，文献【8 0 】考虑了一般的二阶h a m i l t o n 系统( 2 5 ) 和( 1 5 ) 得到了 定理2 5 ( t a n gc h u n - l e ia n dx i n g - p i n gw u ，2 0 0 2 ，j m a t h a n a l a p p l )谖a f 0 ，1 ) ，f 满足条件( a ) 和洳局部强稍憾条件，且 v f 是次线性的，则系统( 2 5 ) 和( 1 5 ) 至少有一个解 注2 4 最近z h a o w u 考虑了线性增长的情况，见史献f l o o 和 1 0 1 勰 2 2 具有非一致强制位势的二阶h a m i l t o n 系统 假定位势函数f ( t ，z ) 对a e t 0 ，t 】关于x 是一致强制的，即，当l x l o c 时，p ( t ，z ) 对a e t 0 ，t 一致地趋于+ 。1 9 7 7 年m s b e r g e r 和 i v l s c h e c h t e r 1 6 证明了系统( 1 1 ) 至少有一个解( 见文献 1 6 】的定理 4 9 1 1 9 8 9 年j m a w h i n 和m w i l l e m 5 1 将其推广为 定理设n 满足条件( a ) ，且当一。时，f l ( t ，z ) 对 a e t 0 ，t 】一致地趋于+ 。若h l 1 ( 0 ，t ；r ) 的平均值为零， 即，仔h ( t ) d t = 0 ，则系统 f 讧( ) = v f l ( t ，札( t ) ) + h ( t ) a e t 0 t lu ( o ) 一u ( t ) = 也( o ) 一i t ( t ) = 0 至少有一个解 注2 5 令f ( t ，x ) = f l ( t ，x ) + ( ( t ) ，z ) ，当f 1 ( ，) 关于a e t 0 ，t 】是 一致强- 1 t j 时，f ( t ，) 关于a - e t 【0 ，t 不一定是一致强制的例如： f 1 ( t ，z ) = i n ( 1 + l z i2 ) ， ) = s i n a t ，u = 2 7 r t 1 9 9 6 年c l t a n g 6 6 进一步将其推广为 定理2 6 ( t a n gc h u n l e i ，1 9 9 6 ，j m a t h a n a l a p p l 【6 6 ) 设f = e l + f 2 满足条件( a ) ，f l 是一致强制的，且v f 2 是有界的若实数g 使得 门 nf 2 ( ，z ) d t c o 对所有x r 成立则系统( 1 1 ) 至少有一个解 注2 6 存在函数f 满足定理2 6 而不能表示为f ( t ，x ) = 最( t ，z ) + ( ( t ) ，z ) 这种形式，其中f 1 ( t ，z ) 一致强制，h ( t ) 的平均值为零例 如，设 日( t ，x ) = l n ( x 2 + 1 ) 加 础= 二黼ix 2 捌鼬反雏； 慰对t ( 0 ：t 2 ) 墨| x l o 。对f ( t 嚣) = 最蛾。) + 玛溆g ) 一一， 如果位势函数f ( t ，z ) 对a e t 0 ，卸关于茹是一致强制的，那 么f ( t ，x ) 一定是局部强黼的，即，存在g o l 1 ( 0 ，t ) 和【0 ，司的满足 m e a s ( e ) 0 的子集e 使得 f ( t ，z ) g o ( t ) 砖题毒茹r 和a 。e ，t 鼢t 】或立，豆醛吲一。对，f ( t ，x ) 对 a e t e 趋于十o 。 2 0 0 1 年c 。t a n g 和x 。p 。w u 8 2 】祷定理2 6 箍广为 定理2 。7 ( c 。l t a n ga n dx 。p w u 。2 0 0 1 ，j ，m a t h a n a l 。a p p l ! 剐) 将定理2 6 中的一致强制性条件换成局部强制性条件，定理的结论仍 然成立 注2 7 局部强制性条件界于半强制性条件与一致强制性条件之 阉，比半强裂，臻条件强，聂跑一致强割挂条件弱。鹭谓半强制犍条件 是指l i m i t i 一。mf ( x ，t ) = 。，它最早被文献【2 】用于椭圆方程d i r i c h l e t 网题的谚究。 注2 8 若f 满足条件( a ) ，则一致强制性推出局部强制性事实上， 若当吲一。时，f ( t ，z ) 一+ 对a i e t 【0 ，t l 一致成立，秘存在 m 0 使得f ( x ，t ) 0 对所有m 和a e t 毫 0 ，t 成立根据条 件f 我们有 乃( o ，t ) g o ( t ) 对所有r 和a e - t f 0 ，霸成立，其中 、 g o ( t ) = 一。m 0 0 和m e a s t f o ( t ) 一o ) o ，则，0 ( ) f ( 搿，t ) 局部强制，但不一致 强潮 定义2 。2函数g ：r 一霆n 做7 一次可糖的，如果存在7 之1 ，使 得 e ( x + y ) 墨 ( g 姆) + g ) ) 对所有x r 都成立1 一次可加函数简称次可加函数 定理2 8 ( t a n gc h u n l e i ，1 9 9 5 ，j ，m a t h a n a l a p p l 泌5 j )设f 满足 条件( a ) 及( 1 3 ) 若存在 1 使得f ( t ，z ) 对a 息t 【o t 1 关于x 都 是1 一次可加函数，烈系统( 1 1 ) 至少有一个解使得妒达到极小镳 注2 9 存在豢数p 满足该定理，怒不满足已有的结果( 琵 l 瑚，瞄o 】 5 1 ，【9 3 ) 例如，设 f ( t ，。卜t ( x 2 + 1 0 0 1 n ( x 2 + 1 ) ) 贱f 关于x 是j # 凸、非周期、j 一致强割的，薅 v f ( t ，。) 一2 x t + 2 0 0 z t ( z 2 + 1 ) 关于x 不是有界的 1 9 9 9 年x ，p 溉和c l ，t a n g 【9 6 j ； 入了次舀交数的概念，统一和 推广凸函数和次可加函数的概念及有关结果 定义2 3 ( 【9 6 )函数g ：r 一r 叫做( 船，6 ) 一次凸的，如果存在正 实数a ，b 使碍 g ( 血( z + 刭) ) b ( g ( z ) + g 白) ) 对鼹毒若r 零成立。 容易看密凸灏数是( ， ；一次凸苗，焉次可加函数是( 1 ，) 。凌 凸的存在非凸，非1 次可加的次凸函数，例如 g ( 。) 一e x p ( 1 x t 2 ) + 4 5 0l n ( 1 十2 ) 定理2 9 ( x p ，w ua n dc 。l 。t a n g ，1 9 9 9 ，3 。m a t h 。a n m 。a p p l ，) 。设 f 满足条件( a ) 及( 1 3 ) 若存在n ，o 0 使得f ( t ，茹) 对a + e ，t f 0 。t 1 关于z 都是( a ，6 卜次凸韵数若存在口l l ( o ，t ：竭，h l 2 ( o ，；胪) 满足廖h ( t ) d t = 0 使得 f ( t ，z ) ( ( ) 留) + z ( t ) 对a 息t f 0 ，t j 成立，弼系统( 1 1 ) 至少有一个解使得妒这剐极小值 1 9 9 8 年c l 。n g 7 0 】得到了 定理2 1 1 ( c l t a n g ，1 9 9 8 ，n a 7 0 1 )设f 满足条件( a ) 若存在 三1 ( o ，t ：r ) 满足穿e 蹴 0 及羧毒；次可加函数g ：r n 一霞使 得 1 搿裂列幻 对a e i t 【0 ，t 】一致地成立，则袁统( 1 1 ) 羹少有一个辫使冬妒达戴 极小值 2 3 关于次二次二阶h a m i l t o n 系统的注记 2 0 0 3 年文献 7 9 】将定理1 1 0 中的条件( 1 8 ) 减弱为局部强制性条件， 得到了 毒理2 1 2 ( t a n gc h u n l e ia n dx i n g p i n g w u ，2 0 0 3 j m a t h a n a l a p p l 7 9 )设f 满足条件( a ) ，次二次条件和局部强制性条件，则 系统( 1 4 ) 至少有一个解 件 当f 为( 卢，7 ) 一次凸时，其局部强制性条件可以减弱为半强制条 定理2 1 3 ( t a n gc h u n l e ia n dx i n g p i n gw u ，2 0 0 3 ，j m a t h a n a l a p p l 7 9 】)设f 满足条件( a ) ，次二次条件和半强制条件若f 为 ( 卢，7 ) 一次凸的，则系