（应用数学专业论文）关于一个二阶非线性微分方程组的可解性.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：巡 指导教师签名： 签名日期：z o l1 年如p 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文研究了如下一个二阶非线性微分方程组 l 【口o ) ( x 0 ) + 6 ( f ) x ( f o ) ) ) 】+ 厂( f ，x ( 啊 ) ) ，x ( 魄o ) ) ，y ( 嵋( f ) ) ，y ( w k o ) ) ) = c o ) ，t o l 【p o ) ( y ( f ) + g o ) 少( c r ( f ) ) ) 】+ g ( f ，x ( s ( f ) ) ，x ( s k ( r ) ) ，y ( v l ( f ) ) ，y ( ，i ( f ) ) ) = ，( f ) ，t t o 第一章论述了上面的方程组研究的重要性在某些非线性函数取特殊的线性函数时 上面的方程组可以包含文献【1 2 0 】所研究的方程或者方程组然而在6 ( f ) = 1 ，q ( f ) = 1 的 情况下，上面的方程组是新的，由于技术上的原因文献【1 2 0 没有讨论 第二章约定了本文所要用到的符号和给出了相关定义 第三章在6 ( f ) = 1 ，q ( t ) = 1 ，一1 6 ( f ) 1 和一l g ( f ) l 的情况下研究了上面的方程 组借助于b a n a e h 不动点定理和相关的技术，本文建立了这个微分方程组分别在 6 ( f ) = 1 ，q ( t ) = l ，一l b ( t ) 1 和一l t o ，f o ，q ，吒o ，尸，q l ，q ，h c ( t o ，叫，r ) 通过使用r i c c a t i 技术，文献 4 】得到了 下面二阶非线性中立时滞微分方程的某些振动性准则 p o ) ( x ( f ) + p ( t ) x ( t f ) ) 】+ q ( t ) f ( x ( t 一回) = 0 ， ( 1 4 ) 其中f - - - t o ，f 和万是非负常量，p ，q e c ( t o ，o d ) ，r ) ，f c ( r ，尺) 文献【5 】给出7 - - 阶中立时 滞微分方程( 1 4 ) 的振动性准则，并修正了以前的某些结果借助于s c h a u d e r 不动点定理和 一些相关技术，文献 6 】考虑了下面二阶中立微分方程正解的存在性 【，( f ) ( z o ) 一p ( t ) x ( t f ) ) 】+ q o ) 厂( x o - o r ) ) = 0 ，t t o ，( 1 5 ) 其中，- t o ，f 和万是非负常量，p c ( 【f o ，o o ) ，r ) ，q c ( r ，( o ，) ) ，f c ( r ，r ) 应用b a n a c h 不动点定理，文献【7 】给出了下面带有正负系数的二阶非线性中立时滞微分方程非振动解 存在性的充分条件 p o ) ( x o ) + 尸( f ) x p f ) ) 】t + q o ) ( x o 一磊) ) 一q 2 ( t ) g ( x ( t - t r z ) ) = 0 ，( 1 6 ) 其中t t o ，f 0 ，吼，c r 2 0 ，尸，q l ，q ，c ( t o ，) ，r ) ，f ，g c ( r ，r ) 通过使用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，文献【8 】研究了下面带有正负系数的二阶非线性中立微分方程有界正解的存 在性 x p ) 一p o ) x ( f ( f ) ) 】”+ z ( f ，x ( q ( f ) ) ) 一六( f ，x ( 吒o ) ) ) = 0 ， ( 1 7 ) 关于一个二阶非线性微分方程组的可解性 和带有力迫项的相应方程 ( x ( f ) 一p o ) x ( f ( f ) ) ”+ z ( f ，z ( q o ) ) ) 一a ( t ，x ( a 2 ( r ) ) ) = g o ) ， ( 1 8 ) 其中t - t o ，p ，f ，t r , c ( f 0 ，o o ) r ，r ) ，e c ( t o ，) r ，r ) 和l ，i m 。r ( t ) 21 驷q ( f ) = ，= 1 ，2 利 用广义r i c c a t i 技术，平均值技术和某些相关方法，文献【9 】给出了下面二阶中立非线性微分 方程的振动性准则 【j ，p ) + p p ) y ( 矿( ，) ) + 吼o ) 彳( y ( 巧o ) ) ) = o ， ( 1 9 ) i - i 其中t - t o ，以是1 个整数，t l r ，t ，p ，g f c ( t o ，o o ) ，r ) ，c ( r ，r ) ，待l ，2 ，刀通过利用 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，文献【10 】下面二阶非线性中立微分方程非振动解的存在性 p o ) ( x o ) + 尸o ) x ( f f ) ) 】+ q , ( t ) f ，( x ( t - t r y ) ) = o ， ( 1 1 0 ) i = 1 其中t t o , m 是1 个整数，f 0 ，q 0 ，尸，q c ( t o ，o o ) ，r ) ，z c ( r ，r ) ，f = 1 ，2 ，聊文献 1 l 】研究了如下一阶微分方程 【x o ) + c ( f ) x o f ) 】+ 厅o ) 厂( x o q ) ，x o c r 2 ) ，x ( t 一吒) ) = g ( f ) ， ( 1 11 ) 俄 其中f f o ，c ，h ，g c ( t o ，佃) ，r ) ，f o ，q 矿，f l ，七) ，f c ( 彤，r ) 通过使用s c h a u d e r 不动点定理和k r a s n o s e l s k i i 不动点定理他们建立了上面方程的不可数个有界非振动解的 恕 存在性在没有传统的假设对于充分大的ixi ，“办( x ，y ) 0 和ig ( x ) d x = 佃，文献【1 2 】 6 给出了下面微分方程组的解的有界性和极限周期的存在性的充分条件 j 出7 d t 2 p ( y ) ， ( 1 1 2 ) ii 1 二j 【d y d t = - q ( y ) 厅( x ，少) 一g ( x ) ， 、7 其中p ( y ) ，9 ( y ) ，g ( x ) f 【l h ( x ，力对于所有参数值是连续的利用k n a s t e r 不动点定理， s c h a u d e r 不动点定理和某些相关技术，文献 1 3 1 得到了下面微分方程组的振动性准则 j x k 口( ) ，( y ) ， ( 1 1 3 ) 【yt - 一6 ( f ) g ( x ) ， 、 其中t - t o ，口，b c ( 【o ，o o ) ，r ) ，f ，g e c ( r ，r ) 文献【1 4 】给出了下面带有对角时滞的线性微 分方程组零解是渐近稳定的充分必要条件 j x u ) 一a x ( t - f ) - b y ( ) ，( 1 1 4 ) l y o ) = 一c x ( t ) - a y ( t f ) ， 、 辽宁师范大学硕士学位论文 其中口，b ，c 是实数和f 是一个正数通过使用某些比较技术和国极限集的不变性，文献 1 5 】 研究了下面的中立泛函微分方程组，并给出了该方程组在初始条件下每个有界解的国极 限集是( + 眨) 一周期解紧的 二警笳曩器：嚣湍： 5 ， 【( 艺o ) 一五o 一) ) = 一五( 屯o ) ) + g 2 ( 五( ，一) ) ， 、 7 其中 o ，巧，g f c ( r + ) ，待1 ，2 文献 1 6 】考虑的下面中立泛函微分方程组 j ( 删一c 2 j c 2 ( ”名一五( 五( ) ) + g i ( 恐( 7 一怫 ( 1 1 6 ) 【( 恐o ) 一c l 五o 一) ) = 一五( 恐( f ) ) + g 2 ( x i ( t 一) ) ， 、7 其中，； 0 ，q 【0 ，1 ) 和，g c ( r + ) ，f _ l ，2 文献【1 7 】研究了下面一阶带有2 个参数的中立 泛函微分方程组的( - 0 周期解的存在性和不存在性 i 兰 x o ) 一c x ( f 一回】= a i ( t ) g 。( z o ) ) x ( f ) 一五6 i o ) 彳( x o q ( f ) ) ，少。一届( f ) ) ) ， ?( 1 1 7 ) i - 兰 = q ( f ) ( y ( f ) ) y ( f ) 一 ， ，,y(t)-cy(t-ty) f l b 2 ( t ) f 2 ( x ( t - r 2 ( t ) ) y ( t - p 2 ( t ) ) ) i “i 其中兄 o ， 0 ，c 和万是常量且i c i 1 文献 1 8 】考虑了下面一类2 维二阶非线性微分方程 组 jx 飞) = 口彬 ( ) ) ，( 1 1 8 ) 【y v ) = 6 0 ) g ( x o ) ) ， 、7 其中口o ) 和6 ( f ) 是连续的实值非零函数，满足对于f - t o o ，a ( t ) 0 和b ( t ) 0 ，f 和g 是在 实直线尺上的连续实值递增函数，满足对于x 0 ，x f ( x ) 0 ，x g ( x ) 0 通过使用s c h a u d e r 不动点定理，l e b e s g u e 控制收敛定理和一些相关的技术，他们根据渐近大小给出了上面非 线性微分方程组正解的分类方案和提出了这些解的存在性的充分必要条件文献 1 9 】研 究了下面的二阶非线性时滞微分方程组 x v ) + 口( ) x ( f f ) + ( 蚺x t ( f ) ) = o ，t o ，( 1 1 9 ) 【x ( t ) = 矿( f ) ，t o f r t o ；x ( t o ) = y o 、7 和 x ”( ) + i 60一”)xo)du+(x(f)，xt(f)=0，t-tojl-g ， ( 1 2 0 ) i，i 【x ( t ) = 缈( f ) ，t o f r t o ；x ( t o ) = y o 利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理和一些相关技术，文献【2 0 】研究了下面的二阶中立时滞微 分方程组的正解的存在性 关于一个二阶非线性微分方程组的可解性 j z 。u ) + o t f ( t ，x ( t 一) ，y ( t 一乞) ) = 0 ， ( 1 2 1 ) l y l ( t ) + f l g ( t ，x ( t q ) ，y o 一乞) ) = o ，0 0 ， 、 其中口，是正实参数 受到以上文献的启发和激励，本文研究了具有下面形式的二阶非线性微分方程组 i 【口o ) ( x 9 ) + 6 0 ) x ( f o ) ) ) - 】+ o ，z ( 扛o ) ) ，x ( ( f ) ) ，y ( w l o ) ) ，y ( o ) ) ) = c o ) ， ，、 【p ( f ) ( y o ) + g ( f ) y ( 仃( f ) ) ) 】+ g ( f ，x ( 墨( f ) ) ，x ( s 。o ) ) ，y ( m ( f ) ) ，y ( k ( f ) ) ) = ，( f ) ，、 。 其中 r ， 口，b ，c ，p ，g ，c ( 阮，佃) ，r ) 且对于 t t o ，a ( t ) 0 ，q ( t ) 0 ，f ，g c ( t o ，+ ) r 2 k , r ) ，f ，口，吻，w ，m c ( t o ，+ ) ，r ) 且 l i mf ( ，)l i mc r ( t ) = l i r a 吻( f ) = l i r am o ) = l i m o ) = l i r a 巧p ) ，( 1 ，2 ，七) 通过使用 t - - ! h ，卜憎，卜啪卜帕，卜 ，卜m b a n a c h 不动点定理和某些新的技术，本文得到了方程组( 1 2 2 ) 不可数个有界正解的存在性 结果，并且提出了一些m a n n 迭代序列，给出了一些在迭代逼近和有界正解之间的误差估 计特别指出，方程( 1 1 ) ( 1 1 0 ) 和方程组( 1 1 8 ) 、( 1 2 1 ) 在形式上是方程组( 1 2 2 ) 的特殊情况； 在b ( t ) = l ，q ( t ) = 1 r ( t ) 和盯( f ) 是非线性的情况下，文献【1 - 2 0 均未研究和讨论过 辽宁师范大学硕士学位论文 2 符号约定和预备知识 全文假设r = ( ，佃) ，r + = 【0 ，佃) ，足= ( - - o o ，0 ) ，n 和0 分别代表正整数集，非负整 数集， _ ，= 刀：玎n o r n n o ， 其中n o n o ， = i n f r ( t ) ，矿o ) ，h i ( t ) ，w ，o ) ，o ) ，v ( f ) ：f t o ，l ，k ) ， f ，仃：【f o ，佃) 一是非减的， 1 - j ( f ) 和盯一。( f ) 表示对于f 0 ，r ( t ) 和c r ( t ) 反函数的次复合函数 本文x 指在 屈佃) 上的全体连续有界函数带有如下范数构成的b a n a c h 空间 0 x i i - s u p i f ( ，) i ，对于x = x ( t ) x ， f 口 q ( d ，d ) = x = x ( t ) x ：i i x - d i i d ) ，对于d 量d x ，d 0 对于任何一个谚，口r + o ) 且z 善吐x 和， l ，2 ) ，q ( 吐，d 1 ) q ( 吐，2 ) 是一个赋 予范数i i ( x ，y ) m = m a x l i x y i j ：( x ，y ) x x x ) b a n a c h 空间的非空有界闭凸子集 本文定义方程组( 1 2 2 ) 的一个解为存在一个正整数t l + t o + 和一个偶对函数 ( x ( ，) ，y ( f ) ) ) 伽，对于所有f t ， ( f ) ，y ( f ) ) ) ，易满足方程组( 1 1 ) ，并且x ( f ) + 6 ( f 弦( f ( f ) ) ， 口( f ) ( x ( f ) + 6 ( ，) x ( f ( f ) ) ) ，y ( f ) + g ( f ) y p ( ，) ) 和p ( f ) ( y ( ，) + g ( ，) y p ( f ) ) ) 。在【丁，+ ) 上是连续可 微的 关于一个二阶非线性微分方程组的可解性 3 不可数个正解的存在性结果 下面本文研究方程组( 1 2 2 ) 不可数个有界正解的存在性，并且给出一些m a n n 迭代序 列，讨论了在迭代逼近和有界正解之间的估计下面定理3 1 研究b ( t ) = q ( t ) = - 1 定理3 1 假设存在常数- - - t o ，吐，畋，d 1 ，d 2 r + 0 ) 和4 个非负函数u ，v ，f ，g c ( 【f 0 ，佃) ，r + ) 满足如下 吐 q ，一1 ，r f ( l i mf 一砸) = 佃，v f t l ； ( 3 1 ) 吐 皿，g ( f ) = 一1 ，t 盯( f ) ，l + i m 。仃一7 ( f ) = 悯，v t _ t l ； ( 3 2 ) i 厂( f ，”，“：，“：) 一厂( f ，五”，五t ，材：，甜：) i u ( t ) m a x fu t u ti ，l 彳一z i ：1 ，j i ， g ( f ，“，彳，甜：) 一g ( t ，五- ，五t ，讲，：) i ( 3 3 ) sv ( t ) m a x l 坼- - u ii , iz - u 7i ：l ，七) ， v o ，u t ，u t ，西，斫) 心【吐- d , ，4 + q 】2 【畋- d , ，吐+ d 2 】2 ，1 z 七； if ( t ，甜；，z ，u ：) l av ( t ) ，ig ( t ，地，砧t ，“：，“：) i g ( f ) ， ( 3 4 ) v ( f ，“，彳) 【4 - d , ，4 + q 】【吐一d 2 ，畋+ d 2 】，1 - l 七； 、 缸。，志j f o m 岬( 鼽i 蚓州纠獭 佃； ( 3 5 ) 喜k ，志j f o m 郴( 跏( 渺( 纠瑚 佃 ( 3 6 ) 那么 ( a ) 对于任何一个( 厶，岛) ( 吐- d , ，西+ d 1 ) ( 吐- d , ，畋+ 皿) ，存在护( o ，1 ) 和t l + + l i 满足对于任给一个( 而，y o ) q ( 4 ，d i ) q ( 吐，d 2 ) ，下面定义的m a n n 迭代序列 ( ，虼) ) 。n 辽宁师范大学硕士学位论文 和 + l ( f ) = + l o ) = ( 1 咆m f ) + 善l 丽1 【f f 厂( 善，( 拓( 孝) ) 9 * - o ，( ( 孝) ) ，虼( w l ( 善) ) ，( ( 孝) ) ) 一c ( f ) 】d 孝幽) ，r ，所“， ( 3 7 ) ( 1 一) 靠( d + a l t + 艺p = ik 丽1 一 n ( 孝，( 甥( 善) ) ，( 魂( 孝) ) ，( w ( 孝) ) ，儿( ( 孝) ) ) - c ( 孝) d c a s ，f t ，聊o ( 1 一尾) 虼( f ) + 尾 厶+ 萋e 砸，雨1 i 【g ( 善，j c o ( 墨( 孝) ) ，j c o ( ( 孝) ) ，) o ( h ( 多) ) 9 - 9 ) ，肼( ，；( 孝) ) ) 一，( 孝) 】d 酗) ，r ，朋n o ， ( 3 8 ) ( 1 一f 1 ) y a d + 尾 厶+ i = 1l 而1 n g ( 孝，( 置( 孝) ) ，( & ( 孝) ) ，( b ( 孝) ) ，( ( 毋) ) 一，( 孝) 】d 孝凼) ，t t ，m n o ， 其中 ) 。和 尾) 。0 在 o ，1 】里和 m i n a m ，成) = 佃 ( 3 9 ) 收敛到方程组( 1 2 2 ) 的- - 个有界正解，并且有如下误差估计 i l ( 。，虼+ 。) 一( z ，y ) 1 1 。p 一( 1 句) 二面n q a i i ( x o , y o ) 一( 五y ) 1 1 。，v 所o ； ( 3 1 0 ) ( b ) 方程组( 1 2 2 ) 在n ( 4 ，d , ) x n ( d x ，d 2 ) 中有不可数个有界正解 证明：令( 厶，厶) ( 吐一q ，4 + d 1 ) ( 以一d 2 ，破+ d 2 ) 根据式( 3 5 ) 和式( 3 6 ) ，存在 秒( 0 ，1 ) ，t l + t 。+ l p l 满足如下 秒= 一i 艺，f - ，而1f 吣蚴喜l 志j f o 附矽触) ；( 3 1 1 ) 喜志j f o ( 形m 删善炽驯厶刮； ( 3 1 2 ) 关于一个二阶非线性微分方程组的可解性 喜l 志脾绀删善出 d 2 一 l 2 - 吼 ( 3 1 3 ) 令 儿缸南j f o 吣矽鼢 ( 3 1 2 ) 1 9 l 2 善l 志j f o 附矽触 ( 3 1 3 ) 定义三个映射气，气：q ( 4 ，d 1 ) q ( 吐，砬) 专x ，黾，岛：f l ( d i ，d i ) x d ( d 2 ，d 2 ) - - x x x 如 下：对每一个阮 ，) q ( 吐，d ) x q 似，及) 以( x ( f ) ，y ( f ) ) = 。气( x o ) ，y o ) ) = 厶+ 善l 去 点v ( 孝，x ( 啊( 鼽，x ( 魂( 鼽y ( w l ( 跳，y ( ( 孝) ) ) 一c ( 孝) 】d 善凼，f t ，m n o ， 以( x ( 丁) ，y ( 丁) ) ，f r ，聊n o ， 厶嘻l 去 i g ( f ，x ( & ( 孝) ) ，双& ( 孝) ) ，j ，( v l ( 孝) ) ，y ( 咋( 孝) ) ) 一r ( 2 j ) d 孝d s ，t ，”n o ， 吃( x ( 丁) ，y ( r ) ) ，f 丁，朋n o ， ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 屯，岛( x ，y ) = ( a 4 ( x ，y ) ，气( x ，少) ) ( 3 1 8 ) 下面本文证明 气( f 2 ( d , ，q ) q ( 畋，b ) ) 9 2 ( d , ，q ) ，气( q ( 4 ，d i ) x d ( d 2 ，d 2 ) ) q ( d 2 ，砬) ， ( 3 1 9 ) 屯，如( q ( 4 ，d 1 ) q ( 吐，d 2 ) ) f l ( d l ，d 1 ) q ( 如，b ) ( 3 2 0 ) 由式( 3 4 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 、( 3 1 6 ) a 和( 3 1 7 ) 得到对任一个( x ，y ) q ( 吐，d 1 ) q ( 也，砬) ，t t l 以( x ( f ) ，y o ) ) 一曲i 爿厶一4 + 喜l 丽1 f 叭和( w ) ) ，必吣) ) ，y ( 吣) ) 以( 锄) 一c ( 掌) 】d 孝c 西l 驰刮+ 缸志肌绀m 删善幽 - l 厶一4i + d l l 厶一4i 辽宁师范大学硕士学位论文 2 q ， i 气( x ( f ) ，y ( ，) ) 一吐i 刊厶一吐+ 喜l 丙1 脑如( 珊) ) ，“北) ) ，盹( 鼽，y ( 吣) ) ) 一，( 孝) 】d 孝豳i 訇厶吲嘻l 南m 卅洲渺 i 乞一吐i + d 2 一l 厶一畋i = d 2 ， 上式蕴含着式( 3 1 9 ) 成立容易看出式( 3 1 8 ) 、( 3 1 9 ) 蕴含着式( 3 2 0 ) 下面本文证明下式 j | 气( x ，y ) - 气( ；，多) t l - - 0 m a x l x xi i , i iy 一训) ， ( 3 2 1 ) | i 气( x ，y ) 一气( 王，歹) i i 鼠m a x l l x x i ，i i 少一歹i i ) ， i i 屯，岛( x ，y ) 一s t , 。岛( x ，y ) i i , 9 i i ( x ，y ) 一( x ，y ) ij l ， ( 3 2 2 ) 其中( x ，y ) ，( ；，多) q ( 4 ，4 ) q ( 也，砬) 根据式( 3 3 ) 、( 3 1 1 ) 、( 3 1 4 ) ( 3 1 8 ) ，本文得到对任给 ( x ，y ) ，( x ，y ) n ( a l ，d 1 ) q ( 畋，b ) t f l t t l 气( z ( f ) ，y ( f ) ) 一气( ；o ) ，歹o ) ) i 叫羔j = l ( f ) 丽1 f l 厂( 孝，z ( 扛( 鳓，。( ( 孝) ) ，y ( w i ( 孝) ) ，y ( 比( 孝) ) ) 一( 善，i ( 啊( 孝) ) 9 019 ；( 嚏( 孝) ) ，多( w l ( 孝) ) ，多( w l ( 孝) ) ) 】蝣凼i 善k 志f 吣) 懈舭( 孵) ) _ 弧( 跳i y ( 吣) ) - 她( 锄l l - l - k 彤豳 0 m a x i lx ii l ，i ly 一歹l j ) ， i 哆k ( 工o ) ，y o ) ) 一占己( ；( ，) ，歹( f ) ) i 爿喜l 丙1 脑缸 ( 鼽如( 册( 咐) ) ，以嘶) ) ) 一g ( 孝，虱_ ( 孝) ) ，；( & ( 孝) ) ，歹( u ( 告) ) ，歹( 屹( 孝) ) ) 】d 孝d ，i 嘻k 南j f o 附) m a x ( 鳓矗删| ，| 北( 纠颤吣) ) | ：l 姚圳触 关于一个二阶非线性微分方程组的可解性 良m a x i x x l i ，| i y y 1 1 ) ， l l s 4 ，岛( x ，y ) 一s z , ，岛( x ，y ) m - 0 1 1 ( x ，y ) 一( x ，y ) l l , = m a x l la l , ( x ，y ) 一气( ；，多) i i ，i i 气( x ，y ) 一气( ；，多) i i ) = m a x s u pa t , ( x o ) ，y o ) ) 一气( x ( f ) ，y ( f ) ) i ，s u pi 气( 工( f ) ，y o ) ) 一气( x o ) ，y o ) ) 1 ) ，己芦，z p _ t p | ( 1 一成) 虼( d + 尾 岛+ 善e ( ，高s j i i v p ij i 【g ( 善，( s 。( 孝) ) ，( & ( 孝) ) ，( ( 善) ) ，虼“( 孝) ) ) 一，( 善) 】d ；出) - y ( t ) i ) m a x ( 1 一a m ) i i 一x i i + 口a m m a x i i 靠一x l i ，l | 儿一y i i ) ， ( 卜尾) | i 虼一y i l + 岔尾m a x i i 一x 虼一y | | ) ) m a x ( 1 - 0 一卿) ，( 1 - 0 一秒) 尾) m a x i i 一x 一y 舱 腓收 敛到方程组( 1 2 2 ) 的有界正解( x ，y ) 令 ( 厶。，岛。) ，( 厶。，厶：) ( d l 日，4 + q ) ( 吐一b ，吐+ d 2 ) 且 m a x i 厶，一厶：l ， i 厶，一厶：i 0 类似地，本文得到对每一个，1 ，2 ) ，存在常量易，彰，岔，e ( o ，1 ) ， 互l + f 。+ i 夕i 和满足式( 3 1 1 ) 一( 3 1 8 ) 的映射 ，：f l ( d i ，d i ) x d ( d 2 ，d 2 ) 专x 和 黾以，：q ( 吐，q ) q ( 吐，d 2 ) - x x x ，其中口，矿，最，t ，厶，厶， ，b 2 和屯，岛分别地被q ，劈， 只，乃，厶，厶， ，b 屯，和屯儿，替换，并且屯心，有一个不动点( x 7 ，y 7 ) q ( 4 ，q ) q ( 破，岛) ， 是方程组( 1 2 2 ) 的一个有界正解， 关于一个二阶非线性微分方程组的可解性 - 厶，+ 喜l 丽1j f o 叭知b ( 跏，以w ) ) ，八吣) ) ，( 吣) ) ) ( 3 2 3 ) 一c ( 善) 】d 孝幽，v t 乃， 1 ，2 ) ， y 亿) 咆+ 喜l 丽1 脑刊( 孵) ) ，舢劂巾( 鼽，y h ( 锄) ( 3 2 4 ) 一，( 孝) d 孝幽，v t 乃， l ，2 ) f 1 3 x 式( 3 3 ) 、( 3 11 ) 、( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 本文得到对每一个f m a x t 1 ，互) x 1 ( t ) - - x 2 ( f ) l 捣- 厶2 + 喜l 丽1 j f o 叭缸( 跏，“吣) ) ，八吣) ) ，( 嵋( 锄) 一( 孝，x 2 ( 矗( 孝) ) ，x 2 ( 魂( 孝) ) ，y 2 ( w l ( 善) ) ，y 2 ( 咋( 孝) ) ) d 孝出 i 1 , - 驯一牡，高j f o 吣) ( 3 2 5 ) x m a x lx i ( 局( 孝) ) 一x 2 ( 呜( 孝) ) i , iy l ( w ，( 善) ) 一y 2 ( w ，( 孝) ) i ：l z k d 孝d s i1 1 , - 引一喜f = 楠，丽1 j f o u ( 孝) a c d s m a x l l x 1 _ x 2i i ，1 1y l _ y 2i i - - i 厶。一厶：i - m a x o , * ，绣) i i ( 一，y 1 ) - ( x 2 , y 2 ) 忆 ly 1 ( f ) 一y 2 ( f ) i 捣+ 喜l 丽1 脑础水鼽出嘶) ) ，y 1 ( 吣) ) ，( 吣) ) ) 一g ( 孝，x 2 ( q ( 孝) ) 9o * 9 x 2 ( & ( 孝) ) ，y 2 ( h ( 孝) ) ，y 2 ( k ( 孝) ) ) 】d 孝凼 惭讣牡，南阳 。2 6 , , m a x i x l ( 墨( 孝) ) 一x 2 ( 置( 孝) ) i ，i y l ( v ，( 善) ) 一y 2 ( u ( 善) ) i ：1 ，七 d 孝凼 到厶。一厶：i 一妻i = 1e 褐，而1 f y ( 孝y 秘m a x 训x i _ x 2 y l - - y 2 i i - 1l 2 l l 2 2i - m a x o , ，鼠， l l ( 一，y 1 - - ( x 2 , y 2 ) 1 1 1 式( 3 2 5 ) 、( 3 2 6 ) 蕴含下式成立 0x i , y 1 ) 一( x 2 ，y 2 ) m = m a x s u px i ( f ) 一x 2 ( f ) l ，s u py 1 ( t ) - y 2 ( f ) i ) m a x s u px i ( t ) - x 2 ( f ) l ，s u py l ( f ) 一y 2 ( f ) i ) t m a x f 7 ：r ，t m a x 兀t ， 辽宁师范大学硕士学位论文 m a x l 厶l 一厶2i - m a x 0 , ，绣 l l ( x 1 ，y - - ( x 2y 2 ) i i l ， 厶。一厶2i - m a x a ，鼠，) i i ( x 1 ，y 1 ) - - ( x 2y 2 ) 咐 m a x i 厶i 一厶2l ，i 厶l 一厶2l - m a x 0 l ，岛 l i ( 一，y 1 ) - - ( x 2 ，y 2 ) 忆 上式蕴含着 i i ( x l , y ) _ ( x 2 , y 2 川，型焦铲 o ， 那就是说( z 1 ，y 1 ) ( x 2 ) y 2 ) 因此方程组( 1 2 2 ) 在q ( 吐，d 1 ) q ( 吐，皿) 里有不可数个有界正 解证毕 定理3 2 假设存在常数f 1 t o ，4 ，畋，d l ，d 2 r + 0 ) 和4 个非负函数u ，矿，g c ( t o ，佃) ，r + ) 满足式( 3 3 ) 、( 3 4 ) 和如下 4 d 1 ，b ( t ) = 1 ，t f ( ，) ，l i r a , - j ( f ) = 佃，v t t l ； ( 3 2 7 ) ， 畋 d 2 ，g ( f ) = l ，t o - ( t ) ，l i r a 盯吖o ) = 4 - 0 0 ，v t f l ； ( 3 2 8 ) e 。志f 一帅( 钏川纠螂似； ( 3 2 9 ) c 。南f m a x g ( 孝) 廿( 到，孵) ) d 触 帆 ( 3 3 0 ) 那么 ( a ) 对于任何一个( 厶，l 2 ) ( 吐- o , ，碣+ d 1 ) ( 畋一岛，吐+ d 2 ) ，存在口( 0 ，1 ) 和t l + 一+ i p i 满足对于任给一个( ，y o ) q ( 4 ，q ) q ( 吐，b ) ，下面定义的m a n n 迭代序列 ( ，) ) 。n 和 + l ( f ) = ( 1 一m + 厶一虹l = lj r - 2 m 薯( t 丽1 【l 厂( 孝，矗( 扛( 孝) ) ，( ( 孝) ) ，虼( w i ( 毒) ) ，虼( ( 善) ) ) 一c ( 鲫孝凼) ，丁，坍“， ( 3 3 1 ) ( 1 训们m 卧喜意丽1 一 x f 【( 孝，( ( 孝) ) ，( 魄( 善) ) ，虼( w l ( f ) ) ，虼( ( 孝) ) ) 一c ( 孝) 】d 孝凼 ，f ，f 丁，聊m o ， f 3 3 2 ) ( 1 一尾) 虼( d + 尾 l 2 - 喜护r - 2 1 ( t r ) ，而1 n g ( 孝，x m ( s i ( 善) ) ，( & ( 孝) ) ，( h ( 善) ) ，e - 9 ( ( 孝) ” 一r ( 毒) 1 d 孝c 凼) ，t t ，m n o 收敛到方程组( 1 2 2 ) 的一个有界正解，并且有式( 3 1 0 ) 误差估计，其中 ，。o 和 尾) 。e n o 在 【0 ，1 】里满足式( 3 9 ) ( b ) 方程组( 1 2 2 ) 在q ( 西，d 1 ) q ( 破，d 2 ) 中有不可数个有界正解 证明：令( 厶，l 2 ) e ( d l 一日，儡+ d 1 ) ( 4 - d ：，攻+ 0 0 根据式( 3 2 9 ) 和式( 3 3 0 ) ，存在 矽( 0 ，1 ) ，t 1 + f l + l f l l 满足如下 1 9 = m a x 忙志j f o 吣矽触f 丽1j f o 吣矽酗，； ( 3 3 3 ) s u p ( 喜，k - 2 , 。, o ，丽1 肌绀陬删孝出， d l - l 厶刮； ( 3 3 4 ) 磐倦成厕1 脾绀驯赋凼， d 2 - | 厶吲- ( 3 3 5 ) 令 肚s u p 【喜a ，t 2 , 。, ( , ，而1f 吣舭，； ( 3 3 6 ) 1 9 l = 眢僖成丽1 肌v 孝凼 ( 3 3 7 ) 定义三个映射气，气：q ( 4 ，q ) n ( 4 ，d 2 ) 专x ，屯，岛：q ( 吐，q ) n ( 4 ，d 2 ) 专x x 为式 f 3 1 8 1 和如下：对每一个( 矗) ，) q ( 4 ，d 1 ) x q ( 吐，皿) 辽宁师范大学硕士学位论文 丸( x ( f ) ，y ( f ) ) = 气( x ( f ) ，y ( f ) ) = 厶一喜氐志 上【厂( 善，x ( 啊( 鼽，x ( 吃( 吼y ( w l ( 纵，y ( 峨( 孝) ) ) ( 3 3 8 ) 一c ( 孝) 】d f 凼，t ，m 0 ， 以( x ( r ) ，少( 丁) ) ，f l _ t t ，m o ， 厶- ；| ；成而1 点【g ( 善，x ( s ，( 矶，x ( 唧( 国)