（应用数学专业论文）关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文研究了一些组合序列以及与组合序列有关的矩阵，主要内容概括如下： 第一章介绍了组合序列及矩阵相关理论的发展，而后两章则是本文所得的结果。 第二章对一些组合序列进行了研究，这一章的内容分为两个部分 第一部分研究了a p o s t o l - b e r n o u l l i 多项式与a p o s t 0 1 e u l e r 多项式。在这里，我们得到 了广义a p o s t o l b e r n o u l h 多项式与广义a p o s t o l e u l e r 多项式的关系式，并给出了a p o s t 0 1 b e r n o u l l i 多项式与a p o s t o l - e u l e r 多项式乘积之和的确切表达式 第二部分研究了指数型部分b e l l 多项式和s h e f f e r 序列我们首先利用指数型部分 b e l l 多项式给出s h e f f e r 序列的两个刻画，接着用相伴序列和s h e f f e r 序列替换b e l l 多项式 中的变量x 1 ，z z ，从而导出许多一般的恒等式 在第三章，我们研究了与组合序列有关的矩阵，这一章的内容也分为两个部分 第一部分给出了b e l l 矩阵和迭代矩阵的分解，由此为许多在组合学中出现的下三角 矩阵提供了统一的分解方法。 在第二部分，我们建立了广义r i o r d a n 阵理论：在这里，我们不仅研究了广义r i o r d a n 阵的基本性质，而且还研究了广义r i o r d a n 阵与广义s h e f f e r 序列的关系，并证明了r i o r d a n 群与s h e f f e r 序列构成的群是同构的。基于这一事实，我们由s h e f f e r 序列得到了许多特殊 的r i o r d a n 阵。此外，我们还讨论了r i o r d a n 阵的元素满足的递归关系、r i o r d a n 阵的分 解、反演关系问题以及连接常数问题 关键词：组合恒等式；特殊组合序列； b e r n o u l l i 多项式；e u l e r 多项式；b e l l 多项式； s h e f f e r 序列；迭代矩阵；p d o r d a n 阵 s o m er e s u l t so nc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e sa n d r e l a t e dm a t r i c e s ab s t r a c t t h em a i no b j e c to ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d ys o m ec o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e sa n d r e l a t e d m a 舡i c e s t h ec o n t e n t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1 i n t r o d u c e s t h ed e v e l o p m e n t so ft h et h e o r i e so fc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e sa n d m a t r i c e s ，a n dt h ef o l l o w i n gt w oc h a p t e r sa r et h e - r e s u l t s - o ft h ep r e s e n tt h e s i s c h a p t e r2c o n t a i n sd i s c u s s i o n s o ns o m ec o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e sa n dc a nb ed i v i d e di n t o t w op a r t s t h ef i r s tp a r to fc h a p t e r2i sd e v o t e dt ot h e e u l e rp o l y n o m i a l s i nt h i sp a r t ，w eo b t m nt w o a p o s t 0 1 一b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n d t h ea p o s t o l - r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h eg e n e r a l i z e da p o s t o l - b e r n c i u l l ia n da p o s t 0 1 e u l e rp o l y n o m i a l s ，a n dg i v et h ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h es u m so f p r o d u c t so ft h ea p o s t 0 1 b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n do f t h ea p o s t o l - e u l e rp o l y n o m i a l s i nt h es e c o n dp a r to fc h a p t e r2 ，w eh a v eas t u d yo np a r t i a le x p o n e n t i a lb e l lp o l y n o m i - a l sa n ds h e f f e rs e q u e n c e s b ym a k i n gu s eo ft h eb e l lp o l y n o m i a l s ，t w oc h a r a c t e r i z a t i o n so f s h e f i e rs e q u e n c e sa r ep r e s e n t e df i r s t ，a n dt h e nb ys u b s t i t u t i n ga s s o c i a t e ds e q u e n c e sa n ds h e h f e rs e q u e n c e sf o rt h ev a r i a b l e sx l ，2 ；2 ，o ft h eb e l lp o l y n o m i a l s ，m a n yg e n e r a li d e n t i t i e sa r e d e r i v e d c h a p t e r3a i m st os t u d yt h em a t r i c e sr e l a t e dt os o m ec o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s ，a n dt h e r e a r et w op a r t si nt h i sc h a p t e ra l s o t h ef i r s tp a r to fc h a p t e r3g i v e st h ef a c t o r i z a t i o n so ft h eb e l lm a t r i c e sa n d t h e i t e r a - t i o nm a t r i c e s ，w h i c hp r o v i d eu n i f i e da p p r o a c h e st ot h ef a c t o r i z a t i o n so fm a n yl o w e rt r i a n g u l a r m a t r i c e si nc o m b i n a t o r i e s i nt h es e c o n dp a r to fc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ht h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dr i o r d a na r r a y s b e s i d e st h eb a s i cp r o p e r t i e s ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ng e n e r a l i z e dr i o r d a na r r a y sa n dg e n e r a l i z e ds h e f i e fs e q u e n c e sa r es t u d i e d ，a n di t i ss h o w nt h a tt h ep d o r d a ng r o u pa n dt h eg r o u po f s h e & rs e q u e n c e sa r ei s o m o r p h i c b a s e do nt h i sf a c t ，f r o mt h es h e f f e rs e q u e n c e s ，m a n ys p e c i a l r i o r d a na r r a y sa r eo b t a i n e d m o r e o v e r ，t h er e c u r r e n c er e l a t i o n ss a t i s f i e db yt h e e l e m e n t so ft h e r i o r d a na r r a y s ，t h ef a c t o r i z a t i o n so ft h er i o r d a na r r a y s ，t h ei n v e r s er e l a t i o n sp r o b l e m a n dt h e c o n n e c t i o nc o n s t a n t sp r o b l e ma r ea l s od i s c u s s e d k e y w o r d s ：c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ；s p e c i a lc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s ；b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ； e u l e rp o l y n o m i a l s ；b e l lp o l y n o m i a l s ；s h e f f e rs e q u e n c e s ；i t e r a t i o nm a t r i c e s ；r i o r d a na r r a y s i i 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：至兰整圭日期：型! 壁垒篁笪兰1 日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文 版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 导师签名： 1 0 1 大连理工大学博士学位论文 1 引言 1 1 选题及国内外研究概况 在组合数学中有许多特殊的序列，例如二项式系数、f i b o n a c c i 数、l a h 数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、s t i r l i n g 数以及b e r n o u l l i 多项式、e u l e r 多项式、b e l l 多项式等等这些特 殊序列均满足大量的恒等式，并且在组合学、数论、数值分析等领域都有广泛的应用 研究这些特殊序列历来是组合数学的主要课题之一，具有重要的意义 对于这些特殊的组合序列以及与组合序列相关的矩阵，我们不仅需要研究它们本身 所具有的性质以及它们的相互关系，还需要研究这些序列和矩阵的共性，从而找到统一 的理论或工具来处理它们 1 1 1 有关组合序列及组合恒等式的研究 早在1 9 6 8 年，j r i o r d a n 就在其专著f 6 6 1 c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s 一书中系统地 阐述了研究组合序列、发现并证明组合恒等式的理论他运用的方法有递归关系、反演 关系、发生函数、算子方法等等1 9 7 2 年，h w g o u l d 在其著作【3 1 】c o m b i n a t o r i a l i d e n t i t i e s 中列举了5 5 0 个恒等式，为人们提供了一个方便查阅的公式表1 9 9 4 年，徐 利治先生 1 0 3 】也总结了组合恒等式发现与证明的方法，即利用超几何级数推导组合恒等 式、利用积分表示法和留数计算处理组合和、哑运算方法以及嵌入反演方法而从上世 纪9 0 年代初开始，d z e i l b e r g e r 、h s w i l f 等人提出并发展了组合恒等式证明的机械 化方法( 参见【6 5 ，9 2 ，9 5 ，9 6 ) ，为组合序列及组合恒等式的研究开辟出一条崭新的道路。 在这里我们先介绍一下与哑运算理论密切相关的s h e f f e r 序列。s h e f f e r 序列是从众 多特殊组合序列中抽象出来的，在文献中也有几个相似的概念上世纪4 0 年代，i m s h e f f e r 【7 8 ，7 9 研究了具有如下形式发生函数的多项式序列s n ( z ) ： o 。 a ( t ) e x h ( 2 ) = s k ( x ) t 豇， ( 1 1 1 ) k = o 其中a ( t ) = 墨oa k t 血，o o 0 ，h ( t ) = 墨1h k t 七，h i 0 这样的序列被称作s h e f f e r a - t y p ez e r o 序列j f s t e f f e n s e n 【8 7 也于同一时期研究了这一类型的序列，并称之为 p o w e r o i d s 序列。在【2 9 】中，这种序列又被称作广义a p p e l l 型序列。 从上世纪7 0 年代开始，g c r o t a 与s r o m a n 等人【7 l ，7 3 ，7 4 】发展了现代哑运算理 论并利用这一理论系统地研究了s h e f f e r 序列，包括其发生函数、展开式、递归公式、转 1 关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果 移公式等等需注意的是，r o t a 与r o m a n 考虑的s h e f f e r 序列与上面提及的略有区别， 他们定义的s h e f f e r 序列8 nx ) 满足 邵，e x h ( t ) ：薹掣 根据定义，鼽( z ) 是s h e f f e r 序列当且仅当8 n ( z ) n ! 是s h e f f e ra t y p ez e r o 序列许多著名的多 项式序列均为s h e f f e r 序列，例如l a g u e r r e 多项式、第二类b e r n o u l l i 多项式、p o i s s o n - c h a r l i e r 多项式等等。特别地，如果发生函数中出现的形式幂级数a ( t ) = l ，这样的s h e f f e r 序列就 称作相伴序列或者二项式序列( 参见 5 7 ) ，例如多项式序列妒、( z ) 凡、( z ) n 以及g o u l d 多项式、a b e l 多项式、指数多项式等均为二项式序列，这里( z ) 九：= x ( x 1 ) ( z 一几+ 1 ) 是降阶乘多项式，而( z ) 佗：= z ( z + 1 ) ( z + 几一1 ) 是升阶乘多项式；如果发生函数中出现 的形式幂级数h ( t ) = t ，这样的s h e f f e r 序列就称作a p p e l l 序列，例如h e r m i t e 多项式、 广义b e r n o u l l i 多项式、广义e u l e r 多项式均为a p p e l l 序列 更多的满足定义的序列可以在 7 1 ，7 3 ，7 4 中找到。因为大量的多项式序列均为s h e f f e r 序列的特例，所以通过对s h e f f e r 序列的研究，我们就可以得到具体的多项式序列所满足 的性质 比s h e f f e r 序列更一般的抽象序列也早已得到研究在1 9 5 6 年，r p b o a s 和r c b u c k 【1 0 最先研究了具有如下形式发生函数的序列鼽( z ) ： o 。 a ( t ) 妒( z ( t ) ) = s 七( z ) 矿， k = o 其中矽( t ) = 7 _ - oc k t 七并且对任意有饥0 这样的序列也被称作广义a p p e l l 型序 列。r o m a n 在8 0 年代初发表的一系列文章 6 8 7 0 ，7 2 进一步推广了【7 1 中论述的哑运算 理论特别地，在 6 8 中，他系统地研究了由发生函数 k 似啪= 薹掣t 七 ( 1 1 2 ) 定义的抽象序列s 。( z ) ，其中岛( t ) = 是ox k t 七c 尼是一个广义指数级数( 如果c k = 后! ， 则( t ) = e 武) 在本文中，我们称这样的序列为广义s h e f f e r 序列由定义可知，如果 饥= l i c k ，则序列s 克( z ) c 即为b o a s 和b u c k 定义的广义a p p e l l 型序列通过魄的选 取，r o m a n 研究了q - b e r n o u l l i 多项式以及一些与g e g e n b a u e r 多项式、第一类c h e b y s h e v 多项式、第二类c h e b y s h e v 多项式、j a c o b i 多项式相似的特殊多项式在 6 9 ，7 0 中， r o m a n 定义并研究了更为一般的序列 其他一些学者如j w b r o w n 、j l g o l d b e r g 以及m k u c z m a 等也对s h e f f e r 序 列以及广义a p p e l l 型序列做过研究 1 2 一1 5 近年来在这一领域的一些进展可以参见h n i e d e r h a u s e n 5 9 ，6 0 以及l v e r d e - s t a r h m s r i v a s t a v a 【9 1 的文章 接下来，我们介绍一下b e l l 多项式b e l l 多项式( 或者更明确地，指数型部分b e l l 多项式) 是关于无穷多个变量x l ，z 2 ，的多项式b n ，七= b n ，k ( x l ，x 2 ，z n j c + 1 ) ，其发生 2 大连理工大学博士学位论文 函数为( 参见【2 4 ，s e c t i o n3 3 】) ： 击侄z 仇硝= 驴惫筹一叭忍 对变量x 1 x 2 ，取特殊值，我们就可以得到s t i r l i n g 数、l a h 数和幂等数： b n ，k ( 1 ，1 ，1 ，) = s ( 仃，南) ，( 第二类s t i r l i n g 数) ， 刚1 f ，2 f ，3 f ，) = ( ：二：) 鲁叫，耽( l 址数) ， 既，( o ! ，l ! ，21 ，) = s ( n ，危) ，( 第一类羌符号s t i r l i n g 数) ， 岛“l ，2 3 ，) = ( z ) 七俨七，( 幂等数) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 许多特殊的序列可以通过这种方法由b e l l 多项式得到，请参见【1 7 ，c h a p t e r1 1 】以及 f 6 6 ，c h a p t e r5 】关于q 的b e l l 多项式既，惫= 磁砖( ，尼，) 由发生函数n k f ( t ) 七= 。 k 巩，知q n t n 定义，并且是b e l l 多项式的自然推广，这里的q 几是一个固定的序列并满 足q n 0 ，而厶是f ( t ) = n 1q 礼厶扩的系数。当q n = 1 时，若f ( t ) = t ( 1 一矿，则 b 础= ( n 。一- - ，1 ) ，也就是说二项式系数可以由关于q 的b e l l 多项式得到 为了使b e l l 多项式的研究更有意义，我们需要知道哪些序列可以由b e l l 多项式取特 殊值得到m a b b a s 和s b o u r o u b i 仔细考虑了这一问题。在【1 】中，他们采用两种方法 研究了b e l l 多项式，一种基于l a g r a n g e 反演，而另一种利用二项式序列，由此得到两个 一般的恒等式，从这两个一般的恒等式能够发现大量的可以由b e l l 多项式得到的组合序 列紧接着，s 1 y a n g 9 3 】和m m i h o u b i 【5 6 分别推广了a b b a s b o u r o u b i 的结果并得 到了更多的有关b e l l 多项式与二项式序列的恒等式 有关b e l l 多项式的研究还有许多方面。例如，l c o m t e t 在( a d v a n c e dc o m b i n a - t o r i c s 有关恒等式及展开一章 2 4 ，c h a p t e r3 】中用很大篇幅论述了b e l l 多项式的理论， 其中包括f 辘d ib r u n o 公式、反演、迭代矩阵等等。其它系统论述b e l l 多项式的理论与 应用的文献有 1 7 ，c h a p t e r1 1 】以及 6 6 ，c h a p t e r5 】有关b e l l 多项式及相关理论发展的 历史，请参见 1 7 ，p 4 4 7 ， 除 1 ，5 6 ，9 3 】外，近年来还有很多关于b e l l 多项式的研究，可以参见s z r i d a 、a m a e 1 一s a y e d 、r s c h i m m i n g 、p e r i c c i 、a b e r n a r d i n i 、p n a t a l i n i 、s n o s c h e s e 以及c b c o l l i n s 等学者的工作【8 ，9 ，2 3 ，2 8 ，5 8 ，6 3 ，7 5 】， 1 1 2 矩阵方法在组合学中的一些应用 下面介绍矩阵方法在组合学中的一些应用对于两个矩阵a = ( a i ，) m 。和b = ( j ) 。n ，我们知道按矩阵乘法法则，a b = c = ( 龟，j ) m n 等价于c i ，j = ；：1a i ，k b k ，j 更 进一步，对于两个无穷下三角矩阵a = ( a i ，j ) o g t 和b = ( b i ，j ) o g t ，a 与b 互逆 等价于m ，k b k ，m = ，n ，其中m ，礼= 0 ，1 ，2 ，n 为k r o n e c k e r 记号。这样，给 定两个序列z n 和y n ，如果y n = 饕o a n , k x k 则有z n = 廷o b n ，k y k ，反之亦然这说明 3 关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果 矩阵可以应用到恒等式以及反演的研究上，我们可以利用矩阵理论来研究组合序列的性 质，建立反演关系，发现和证明组合恒等式。 例如著名的杨辉三角( p a s c a l 三角) 实际上就是无穷p a s c a l 矩阵p = ( ( ：) ) ，通过这 一矩阵，我们可以直接得到二项式系数的些性质( 参见 2 4 ，p 1 2 ) 。 这一方面的研究工作有很多。在1 9 8 4 年，j g k e m e n y 3 6 引进了矩阵导数的概念， 并利用矩阵导数研究了无穷矩阵，提出了一个发现和证明组合恒等式的方法在1 9 7 7 年 和1 9 8 6 年，p r v e i nf 8 9 ，9 0 】也系统地研究了与特殊组合序列有关的无穷下三角矩阵。 他研究的矩阵有两种类型，一种与l a g u e r r e 、h e r m i t e 、b e r n o u l l i 、e u l e r 以及b e s s e l 等 多项式相关，而另一种与s t i r l i n g 数、e u l e r i a n 数等相关通过研究，v e i n 建立了许多关 于矩阵的恒等式及一些组合反演关系 要介绍矩阵方法在组合学中的应用就必须提及r i o r d a n 阵理论这一理论不仅可以 系统地研究组合序列、证明和发现组合恒等式，也与组合数学的其它研究领域密切相关， 如格路问题、渐近问题等等。在1 9 7 8 年，d g r o g e r s 6 7 首先引入了r e n e w a l 阵的概 念，这一矩阵是p a s c a l 、c a t a l a n 及m o t z k i n 下三角矩阵的推广接着，s g k e t t l e 【3 7 利用r e n e w a l 阵的理论研究了其它类型的组合下三角矩阵，特别是那些在格路问题中出 现的矩阵在1 9 9 1 年，l w s h a p i r o 等人【7 7 进一步推广了r e n e w a l 阵的概念并称之 为r i o r d a n 阵，他们在【7 7 】中给出了很多r i o r d a n 阵的应用。r s p r u g n o l i 【8 1 ，8 2 】也研 究了r i o r d a n 阵并且借助发生函数方法与l a g r a n g e 反演公式展示了r i o r d a n 阵理论在处 理组合和式以及证明组合恒等式时的巨大作用。有关r i o r d a n 阵的工作还有很多，例如 【1 9 ，2 5 ，2 7 ，4 7 ，5 0 _ 5 5 ，6 4 ，7 6 ，1 0 0 ，1 0 2 】从这些工作中，我们可以看到r i o r d a n 阵理论确实是 研究组合和式与特殊组合序列的有力工具。 矩阵的分解以及由此建立相应的组合恒等式也是近年来研究的热点之一。在1 9 9 2 年，r b r a w e r 与m p i r o v i n o 【1 1 】利用递归关系研究了p a s c a l 矩阵r 的分解问题， 而g s c a l l 与d j v e l l e m a n 1 6 】在1 9 9 3 年又引入并研究了广义p a s c a l 矩阵r m = ( ；) 一j ) 接下来，有关p a s c a l 矩阵的研究不断深入，张之正、赵熙强、m b a y a t 、 h t e i m o o r i 、p m a l t a i s 、t a g u l l i v e r 、y y a n g 、c m i c e k 等国内外学者都对此作 过研究【6 ，7 ，4 9 ，9 4 ，9 7 - 9 9 ，l o i ，此外，谭明术研究了l a b 矩阵【8 8 】；g s c h e o n 与j s k i m 2 0 ，2 1 研究了s t i r l i n g 矩阵，并将s t i r l i n g 矩阵与p a s c a l 矩阵、v a n d e r m o n d e 矩阵以 及b e r n o u l l i 数、e u l e r i a n 数等很好地联系起来；k i m 还与g y l e e 、s 一h c h o 以及 s - g l e e 等研究了与f i b o n a c c i 数有关的矩阵的性质，包括矩阵的分解、特征值以及与 p a s c a l 矩阵、s t i r l i n g 矩阵的联系等等3 8 _ 4 1 】 上述工作为我们展示了矩阵方法在组合数学研究中的重要作用 1 2 本文的主要内容 下面对本文的内容作一些介绍。 本文第二章研究了一些组合序列，这一章的内容分为两个部分 在2 1 节中，我们研究了( 广义) a p o s t o l - b e r n o u u i 多项式与( 广义) a p o s t o l - e u l e r 多项 4 大连理工大学博士学位论文 式。这两类多项式分别是( 广义) b e r n o u l l i 多项式与( 广义) e u l e r 多项式的推广，并且在 最近得到了大量的研究。在这一节，我们首先给出了广义a p o s t 0 1 b e r n o u l l i 多项式与广义 a p o s t o l - e u l e r 多项式的两个关系式，可以看到在已有文献【1 8 ，4 6 ，8 5 中出现的很多结果均 为这两个关系式的特例。接着，我们证明了几个恒等式并给出a p o s t 0 1 b e r n o u l l i 多项式与 a p o s t 0 1 e u l e r 多项式乘积之和的确切表达式。 2 2 节以及2 3 节将对指数型部分b e l l 多项式以及s h e f f e r 序列、相伴序列等特殊序 列进行研究我们首先建立了刻画s h e f f e r 序列的两个定理，接着将b e l l 多项式中的变量 z 1 ，z 2 ，用s h e f f e r 序列替代并得到几个一般的恒等式在此基础上，我们进一步将b e l l 多项式中的变量z 1 ，x 2 ，用与相伴序列或s h e f f e r 序列有关的而且更为复杂的表达式替 代，从而导出了更一般的结论，利用这些结论可以得到一系列关于b e l l 多项式的一般恒 等式可以看到，在文献 1 ，5 6 ，9 3 中出现的大部分结论都是我们所得结论的特例 本文第三章研究了与组合序列有关的矩阵，这一章的内容仍分为两个部分 在1 1 2 节中，我们介绍了矩阵分解问题的研究概况事实上，有一种统一的方法可 以用来处理该节中提及的p a s c a l 矩阵、s t i r l i n g 矩阵和l a h 矩阵。我们知道s t i r r i n g 数、 l a b 数均可由b e l l 多项式取特殊值得到，而二项式系数( 2 二；) 也可以由关于q 的b e l l 多 项式得到。这样，通过研究b e l l 多项式组成的矩阵，或者更一般地，研究关于q 的b e l l 多项式组成的矩阵( 称为迭代矩阵) ，我们就可以得到s t i r l i n g 矩阵、l a h 矩阵以及p a s c a l 矩阵的性质。基于这一发现，在3 1 节我们研究了b e l l 矩阵以及迭代矩阵的分解，从而 为一大类无穷下三角矩阵的分解提供了统一的方法 在3 2 节至3 4 节中，我们引入了广义r i o r d a n 阵并对其做了系统的研究我们首先 介绍了广义r i o r d a n 阵及r i o r d a n 群的定义并给出了一些性质根据定义可以看到在3 1 节研究的b e l l 矩阵及迭代矩阵仅仅是广义r i o r d a n 阵的特例，而且由迭代矩阵组成的集 合是r i o r d a n 群的一个子群。接着，我们研究了广义r i o r d a n 阵与广义s h e f f e r 序列的关系 并且证明了r i o r d a n 群与s h e f f e r 序列组成的群是同构的。在此基础上，我们利用s h e f f e r 序列得到了一些特殊的r i o r d a n 阵最后，我们建立了r i o r d a n 阵的元素满足的递归公 式，给出了r i o r d a n 阵的分解式，并利用广义r i o r d a n 阵讨论了反演问题以及连接常数问 题。通过广义r i o r d a n 阵这一概念的引入，我们就能够将经典组合学中的r i o r d a n 阵、 s h e f f e r 序列、迭代矩阵、b e l l 多项式、广义s t i r l i n g 数对等诸多概念紧密地联系起来 我们还对组合恒等式的机器证明以及特殊序列发生函数的自动求解进行了研究并得 到了一些成果，但是考虑到本学位论文的主题和篇幅，我们将不在论文中介绍它们，对 此感兴趣的读者可以直接来信向我们索取相关的文章 5 关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果 2 一些组合序列 2 1 a p o s t o l b e r n o u l l i 多项式与a p o s t o l e u l e r 多项式 2 1 1 定义与性质 对任意实参数或复参数q ，广义b e r n o u l l i 多项式b 妒( z ) 与广义e u l e r 多项式爵( z ) 由如下发生函数定义( 参见 4 2 ，s e c t i o n2 8 】以及 8 4 ，s e c t i o n1 6 】) ： ( i t i 7 r ) 显然，通常的b e r n o u l l i 多项式玩( z ) 与e u l e r 多项式玩( z ) 可以定义为 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) b n ( z ) ：= b 磐( z ) ，e k ( z ) ：= e 9 ( z ) ，( 礼n ) ，( 2 1 3 ) 其中n ：= o ，1 ，2 ， 此外，b e r n o u l l i 数b n 与e u l e r 数玩可以定义为 玩：= 玩( 0 ) ，晶：= 2 n 磊( 三) ，( n en ) ( 2 1 4 ) 这些多项式和组合数在组合学、数论以及数值分析等学科中均有重要的应用，因此 得到了广泛而深入的研究，它们的基本性质可以在 2 ，3 2 ，3 5 ，4 2 ，4 8 ，6 2 ，s 4 中找到。 在这里我们将研究( 广义) a p o s t o l b e r n o u l l i 多项式和( 广义) a p o s t o l - e u l e r 多项式， 它们分别是( 广义) b e r n o u l l i 多项式和( 广义) e u l e r 多项式的自然推广这些多项式的定 义如下( 参见【4 3 ，4 5 ，4 6 】) 定义2 1 1 对任意实参数或复参数q 与入，广义a p o s t o l b e r n o u l l i 多项式磐乎( z ；a ) 与 广义a p o s t o l - e u l e r 多项式匹乎( z ；a ) 由如下发生函数定义： ( 志) 口 ( 南) q 6 ( i t + l o ga l 2 丌) ， ( i t4 - l o ga i o 、 下面将建立广义a p o s t o l e u l e r 多项式与广义a p o s t 0 1 b e r n o u l l i 多项式的另一个关系 式为方便起见，我们需要介绍一个引理 引理2 1 8 定义s ( 磨，j ；a ) 为 ；炉责毫c 矿m ( 三) 肭七一 幻删， 则s ( k ，歹；爻) 的指数发生函数为 跗曩入) 蔷= 扣。_ 1 ) (2123)k0