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摘要 在研究带有1 个或2 个滞量的，具有某种对称性的微分方程的特定周期解的 存在性问题时，k a p l a n y o r k e 方法是一种很有效的工具本文应用和推广k a p l a n - y o r k e 方法，研究含两个不同滞量的时滞微分方程周期解的存在性及含参量的时滞 微分方程周期解的存在性通过定性分析证得方程( 2 1 1 ) ( ( 2 1 2 ) ) 的周期为t = 3 r t ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) ( 3 1 ( 3 k i 一4 ) = a 2 ( 3 k ：一2 ) ) 的周期解的存在性可 由相应的常微系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 的周期为t 的周期解的存在性来得到，给出了含 参量时滞微分方程( 2 1 1 6 ) 存在周期为3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) 的周期解的条 件最后利用由文献 1 5 】和 1 6 】提出和发展的方法，即利用广义h o p f 分支定理和 闭轨族周期函数的展开式给出了含参量时滞微分方程( 2 1 1 6 ) 由h o p f 分支和鞍结 点分支产生周期为3 r l ( 3 k l + 4 ) 的周期解的条件 关键词时滞微分方程；周期解；k a p l a n y o r k e 方法；h o p f 分支；鞍结点分支 a bs t r a c t f o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ho n eo rt w od e l a y sa n ds o m ek i n d so fs y m m e t r y , t h e k a p l a n - y o r k em e t h o d i sa ne f f e c t i v et o o li nt h es t u d yo f t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n s w i t hs o m ep a r t i c u l a rp e r i o d s b ya p p l y i n ga n de x t e n d i n gk a p l a n y o r k e sm e t h o d , t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ee q u a t i o n sw i t h p a r a m e t e r sa n dt w od e l a y si sc o n s i d e r e d b a s e do nt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i s ，i ti sp r o v e d t h a tt h ee x i s t e n c eo f ( 3 r 1 ( 3 k l + 4 ) ) - p e r i o d i cs o l u t i o n ( r e s p ( 3 r l ( 3 k i 一4 ) ) 一p e r i o d i c s o l u t i o n ) f o r ( 2 1 1 ) ( r e s p ( 2 1 2 ) ) c a nb eg u a r a n t e e db yt h ee x i s t e n c eo f t h ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m t h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o f ( 3 r l ( 3 k l + 4 ) ) 一p e r i o d i cs o l u t i o n so f e q u a t i o n ( 2 1 1 6 ) w i t hp a r a m e t e r sa l ea l s og i v e n a tl a s t ，b yu s i n gt h em e t h o di n i t i a t e da n dd e v e l o p e d b y 15 】a n d 16 ，t h a ti s ，t h eg e n e r a l i z e dh o p f b i f u r c a t i o nt h e o r e ma n dt h ee x p a n s i o no f t h ep e r i o d i cf u n c t i o no f c l o s e do r b i t s ， c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f ( 3 r l ( 3 k 1 + 4 ) ) 一p e r i o d i cs o l u t i o np r o d u c e db yt h eh o p f a n ds a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n sa r ed e r i v e df o re q u a t i o n ( 2 1 16 ) k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；k a p l a n y o r k em e t h o d ； h o p fb i f u r c a t i o n ；s a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：幺鱼墨纽日期：翌盟：! 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：幺鱼盘纽 导师签名： 日期：鲨! 墨：i ! 堡日期： 第一章引言 1 7 5 0 年，e u l e r 提出了一个古典的几何问题：是否存在一种曲线，它经过平 移、旋转运动以后能与其渐缩线重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论这个问题，导出 了已知的、历史上第一个泛函微分方程此后一个世纪中，许多著名的数学家，如 b e r n o u l l i ，l a p l a c e ，p o i s s o n 以及b a b b e g e 等都提出过类似的方程但鉴于此类方程的 复杂性，在七八十年代研究成果收效甚微2 0 世纪以来，自然科学与社会科学的 许多学科中提出了大量时滞动力学系统问题，其数量庞大，形式较为规整，这类方 程比起上述的复杂泛函微分方程更接近于经典微分方程的种种性质，其系统理论构 成了迄今为止的泛函微分方程理论的主体 1 近年来，许多学者利用多种方法对时滞微分方程非平凡周期解的存在性做了深 入广泛的研究 1 9 7 4 年，美国马里来数学家j a y o r k e 和他的学生j l k a p l a n 在 。j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ”上发表了产生时滞微分方程 周期解的常微分方程一文，他们对一类具有1 个或2 个时滞的微分差分方程，利 用具有某种对称性的常微分方程的周期解来产生时滞微分方程的周期解 2 】在该文 中，他们发展了一种用构造性方法研究微分差分方程周期解的新技巧：对一些具体 类型的r d d e ( 滞后型时滞微分方程) 确立了与它相应的某种常微分方程( 组) ，通过 这种常微分方程( 组) ，进而判断这个r d d e 周期解的存在性 3 他们研究的方程是 圣( t ) = 一【，( z 一1 ) ) + f ( x ( t 一2 ) ) 】， ( 1 0 1 ) 其中，为奇函数他们给出了方程( 1 0 1 ) 有一个6 周期解的充分条件此后，一 些中外数学家继续发展并推广了k a p l a n y o r k e 的技巧，得到了许多有关相应的时滞 微分方程周期解存在性的新结果 3 18 文献 9 给出了( 1 0 1 ) 的( 6 ( 1 + 6 ) ) 一周 期解存在性和唯性的条件，其中为非负整数文献 1 0 找到了方程 圣( t ) = 一 ，( z ( 一r - ) ) + ，( z ( t r 2 ) ) 】，( 1 o 2 ) 华东师范大学硕士论文 具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 其中6 r 1 ( o r e l + 1 ) = 6 r 2 ( 6 m 2 + 2 ) ，存在( 6 r i ( 6 m i + z ) ) - 周期解的条件文献 13 研究了时滞微分方程 圣( t ) = 士( 一1 ) 阶】f ( x ( t n ) ) ，( 1 l 凡一1 ) ( 1 o 3 ) i = 1 多重周期解的存在性文献 1 4 给出了方程 和 圣( t ) = 一f ( x ( t r 1 ) ) g ( x ( t 一耽) ) 一f ( x ( t r 2 ) ) 夕( z ( t r 1 ) )( 1 o 4 ) 圣( t ) = f ( x ( t r 1 ) ) g ( x ( t 一咆) ) + ，( z ( t r 2 ) ) 9 ( z ( 一r 1 ) )( 1 o 5 ) 有6 r j ( 6 m x + i ) - 和6 r i ( 6 m 2 - i ) - 周期解的条件，其中在( 1 0 4 ) 中r i = ( 6 m 1 + i ) 肛l ，在 ( 1 o 5 ) 中n = ( 6 m 2 一i ) p 2 ，i = 1 ，2 ，m l ，m 2 为非负整数文献 1 5 】研究了方程 e ( t ) = f ( z ( ) ，x ( t r ) ，x ( t 一2 r ) )( 1 o 6 ) 周期解的存在性文献【1 6 】研究了方程 e ( t ) = - f ( x ( t ) ，x ( t r 1 ) ，x ( t r 2 ) ) ( 1 o 7 ) 6 r i ( 6 k i + i ) - 周期解的存在性( i = 1 ，2 ) 文献 1 7 中研究了方程 圣( ) = ，( z ( ) ，x ( t 一， ) ，z ( t 一2 t ) )( 1 o 8 ) 2 r ( 2 k + 1 ) - 周期解的存在性而文献 1 8 中也使用了相同的方法研究如下的分别 具有3 个和n 1 个滞量的时滞微分方程 e ( t ) = a f ( x ( t r 1 ) ) 9 ( z ( t r 2 ) ) + b f ( x ( t r 1 ) ) 夕( z 一功) ) 一a f ( x ( t r 2 ) ) g ( x ( t r 1 ) ) + c f ( z ( 一r 2 ) ) 夕( z ( t r 3 ) ) ( 1 o 9 ) 一b f ( x ( t 一您) ) 夕( z ( t r 1 ) ) 一c f ( x ( t 一) ) 夕( z ( t 一7 2 ) ) 和 圣( t ) = ，( z ( t n ) ) + f ( x ( t n ) ) ( 1 o 1 0 ) i = 1i = k 的周期解的存在性问题 2 华东师范大学硕士论文 具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 分支问题起源于18 世纪对弹性力学、流体力学、天体力学和对非线性振动中 失稳现象的研究长期以来，分支研究主要是在应用领域中进行直到上世纪7 0 年代，在动力系统和非线性微分方程等方面数学研究的推动下，分支的理论研究才 有了迅速发展 1 9 2 1 ，从而对物理学、化学、生物学、控制、工程技术以至经济学 和社会学等都产生了重大的影响 分支理论是针对依赖于参数的系统研究当参数在某一特定值附近作微小变化 时，其性质发生本质变化的情况在微分方程的分支理论中，我们主要研究当参数 在某一临界值附近发生变化时奇点个数的变化、奇点稳定性的变化、周期解个数的 变化等问题本文主要涉及局部分支中的h o p f 分支和鞍结点分支 常微分方程和泛函微分方程中的局部h o p f 分支理论都有了比较完善的结果， 但用h o p f 分支定理结合k a p l a n y o r k e 方法研究时滞微分方程周期解是在近几年才 提出的2 0 0 1 年，c i m a 等人在文献【1 4 】中用广义的k a p l a n - y o r k e 方法研究方程 ( 1 o 4 ) 和( 1 0 5 ) 时，首先提出用哈密顿值确定其对应常微分方程组周期解的周期， 进而给出时滞微分方程周期解的存在性条件，但并未引入分支理论2 0 0 3 年，文献 1 5 】在用k a p l a n y o r k e 方法研究时滞微分方程周期解的存在性时，首次提出用分支 方法研究其相应常微分方程周期解的存在性，且首次提出了方程( 1 0 6 ) 存在鞍结点 分支的条件该文在假设方程( 1 0 6 ) 存在一族周期为t ( a ，h ) 周期解的前提下，研 究了方程( 1 o 6 ) 周期解的鞍结点分支文献 1 6 推广了文 1 5 】的思想，给出了方 程( 1 0 7 ) 的周期为6 r f ( 6 k , + i ) 的鞍结型分支周期解存在的充分条件 本文主要研究含两个不同滞量的时滞微分方程( 2 1 1 ) e ( t ) = - f ( x ( t ) ，x ( t r 1 ) ，z ( t 一仡) ) 的3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) - 周期解的存在性和分支问题，以及方程( 2 1 2 ) 圣( t ) = f ( z ( ) ，x ( t r ：) ，x ( t 一疋) ) 的3 r i ( 3 k ：一4 ) = 3 r 2 ( 3 k ：一2 ) 周期解的存在性和分支问题我们推广文献 1 5 】、 1 6 】中的技巧和思想，利用h o p f 分支定理给出其相应常微分方程组具有一定周期 的周期解的条件，以判断时滞微分方程具有相同周期的周期解的存在性，且通过研 究小振幅周期解族的周期函数的展开式，给出所研究方程的周期为3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 , ( 3 k 2 + 2 ) 和3 r i ( 3 k i 一4 ) = 3 r 2 ( 3 k ：一2 ) 的鞍结点分支周期解的存在性 3 华东师范大学硕士论文具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 本文的其余部分安排如下：在第二章的第一小节中，我们首先建立时滞微分方程 与其相应的常微分方程组周期解之间的关系，给出了引理2 1 1 ，引理2 1 2 通过定性 分析得到方程( 2 1 1 ) ( ( 2 1 2 ) ) 的周期为t = 3 r , ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) ( 3 r l ( 3 k i 一 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 2 ) ) 的周期解的存在性可由引进的3 维常微系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 的周 期为t 的周期解的存在性来得到( 见定理2 1 1 ，定理2 1 2 ) 同时给出了一个相应的 具体例子( 例2 1 1 ) 接下来给出了含参量时滞微分方程( 2 1 1 6 ) 存在3 7 1 ( 3 k 1 + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) 周期解的条件( 见定理2 1 3 ，定理2 1 4 ) ，同样还给出了一个具体应用 的例子( 例2 1 2 ) 第- - d , 节则先利用广义h o p f 分支定理、隐函数定理和闭轨族周期 函数的展开式给出了相应常微分方程组由h o p f ：分支和鞍结点分支产生周期解的条 件，再利用定理2 1 1 进而得到方程( 2 1 1 6 ) 存在相同个数和相同周期的周期解的结 论( 见定理2 2 1 ，定理2 2 2 ) 4 第二章周期解分支 2 1 周期解的存在性 考虑标量时滞微分方程 圣 ) = 一f ( z ( t ) ，z ( t r 1 ) ，z 一r 2 ) ) ，( 2 1 1 ) 和 士 ) = f ( z ( t ) ，z ( t r ：) ，z ( t t ) ) ，( 2 1 2 ) 其中f ：( x ，y ，z ) _ f ( x ，y ，z ) 是c 。函数( z 3 ) ，n ，r ： 0 ，i = 1 ，2 假设存在非负整 数k i ，七：，i = 1 ，2 使得3 r 1 ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) ，3 r l l ( 3 k ：一4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 2 ) 本节研究方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 周期解的存在性，为此我们引进下列3 维常微系 统： 圣( ) = - f ( x ，y ，z ) ，y ( t ) = - f ( y ，z ，z ) ，三( t ) = 一f ( z ，z ，矽) ， ( 2 1 3 ) 死心) 5 华东师范大学硕士论文具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 引理2 1 1 若妒( t ) = ( z ( ) ，秒( ) ，z ( ) ) 是系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 的周期为丁的周期解， 则曩妒( ) ( f = 1 ，2 ) 也是系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 的周期为丁的解 由( 2 1 6 ) 式可知g ：x + y + z = 0 同时为( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 和死的一个不变平 面下证 引理2 1 2 假设( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 成立若系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 有一个从( 0 ，一7 ，7 ) g 出发，在g 上围绕原点逆时针旋转( 顺时针旋转) 的t - 周期轨线l ：( z ，y ，z ) = ( z ( ) ，可( ) ，4 0 ) ，0 t t ，则下列公式( 2 1 7 ) ( ( 2 1 8 ) ) 成立： z ( ) ：y ( t 一孕) ，可( ) ：名( t 一要) ，z ( ) ：z ( t 一孕) ， ( 2 1 7 ) )t )j u ( t ) ：x ( t 一孕) ，4 t ) ：u ( t 一弩) ，z ( 亡) ：z ( t 一孕) ( 2 1 8 1 ) =一等) ，) =一等) ，z ( 亡) =一等) ( 2 8 ) ooj 证明由引理2 1 1 ，我们知道妒( t ) 和( i o l ( t ) = t 3 妒( t ) 都为系统( 2 1 3 ) 的解，其 中妒( ) = ( z ( ) ，( ) ，z ( ) ) 用三和l 1 代表相应的轨线由妒( ) g 可得t 3 妒( t ) g ，因此l 和l l 都在g 上围绕原点，且易知对任意t 有i 妒( t ) l = i t 3 妒( t ) 1 进而可 得l 和l l 有公共点由解的唯一性，知l = l 1 因此，存在t l r ，使得对所有 的t 成立 t 3 q o ( t ) = 妒( t + t 1 ) ( 2 1 9 ) 因为妒是丁一周期的，不失一般性，我们假设t l 【0 ，丁) 由( 2 1 9 ) 可知 霹妒( t ) = t 3 ( t 3 妒( t ) ) = 乃( 妒0 + t 1 ) ) = 妒( t + 2 1 ) ， ( 2 1 t o ) 故有妒( t ) = t 乳o ( t ) = 妒( t + 3 1 ) 从而，3 t x = k t , 尼为整数，r o k 0 故在如图1 中，当t 增加时轨线l 在第 四、八卦限中是从点a ( o ，一7 ，7 ) 走到点b ( 7 ，0 ，一，y ) y 圈1 系统( 23 ) 的不变平面和周期轨线 f i g 1i n v 绷a n p l a n ea n dp e r i o d i co r b lo f 科岛e m ( 2 两 注意到a = 妒( o ) ，b = 妒( 等) ，故妒( 吾) 一定属于l 上的a b 段，这与妒( 吾) = ( 一7 ，y ，0 ) 矛盾! 因此，k = 2 ，t l = 了2 t 由( 2 1 9 ) 式易得结论( 2 1 7 ) 类似地，我们可以证明对于系统( 2 1 4 ) ，( 2 1 8 ) 式成立 证毕口 利用以上这两个引理，我们可以得到下列定理 定理2 1 1 假设( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 成立，则系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 有一个经过点( 0 ，一，y ，7 ) ， 在不变平面g 上围绕原点逆时针旋转( 顺时针旋转) ，周期为t = 3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) ( 3 r 1 ( 3 k i 一4 ) = 3 r 2 ( 3 k ：一2 ) ) ，整数七1 ，乜o ( k l ，呓之0 ) 的周期轨 线l 当且仅当方程( 2 1 1 ) ( ( 2 1 2 ) ) 有一个周期为t 的周期解z ( t ) ，满足对某t o ，( x ( t o ) ， x ( t o 一4 t 3 ) ，x ( t o 一9 t 3 ) ) = ( 0 ，- 7 ，y ) 7 华东师范大学硕士论文 具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 证明我们只考虑括号外的情况，估号内的情况口j 英似地让明 必要性：假设妒( ) = ( z ( ) ，( t ) ，z ( ) ) 是系统( 2 1 3 ) 的周期为t = 3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) 的解由引理2 1 2 有 绯) = 邢一警) = 邢一等) ，础) = 雄一等) 故 可( t ) ：z ( 一等) ：z ( t k i t 一冬) ：z ( t - r i ) ， 6o 荆) ：z ( 一孥) ：z ( t - 七2 t 一孕) ：z ( t 咱) ， oj 础) = 雄一等) = 邢一詈) = 邢一2 南- t 一等) = 邢一2 ， x ( t ) = z ( 一2 t ) = z ( t r l r 2 ) ， 绯一( t 一等一( 一2 k 2 t 一等阳( 川r 2 ) 因此，z ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个周期为t = 3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) 的解又因 为妒( t ) 经过点( 0 ，一，y ，7 ) ，所以存在某t o ，使得( x ( t o ) ，y ( t o ) ，z ( o ) ) = ( 0 ，一7 ，y ) ，故z ( t ) 满足( z ( o ) ，z ( t o 一4 t 3 ) ，x ( t o 一2 t 3 ) ) = ( 0 ，一7 ，y ) 充分性：假设方程( 2 1 1 ) 有一个非平凡的周期为t 的解z ( ) 令可( t ) = z ( 一 7 1 ) ，z ( t ) = x ( t r 2 ) ，则可得到 z ( t - r 2 一( 一2 r 2 ) = z ( t - 2 3 k 2 3 _ + 2 t ) 叫叼一等) = z ( t - 等一( 。t 一等一( t - - r i ) 刮巩 可( t - - r 2 ) ：z ( t r l r 2 ) ：z ( t 一兰鱼；坐t 一3 k ；+ 2 t ) j v = z ( t k i t k 2 t 一2 t ) = z 一2 t ) = z ( t ) ， ( t - r i ) 叫川叫t 一等向( 。t 一等一( 刊刮班 故( z ( t ) ，可( t ) ，z ( t ) ) 是系统( 2 1 3 ) 的t - 周期解注意到z ( ) + z ( t o 一等) + z ( 一孕) = 0 ，故( x ( t o ) ，y ( t o ) ，z ( t o ) ) g 因此，( z ( t ) ，耖( t ) ，z ( t ) ) 是系统( 2 1 3 ) 在不变平面z + + z = 0 上的周期轨线，且经过点( 0 ，- 7 ，y ) 又因为( 2 1 5 ) 成立，f ( o ，一7 ，7 ) 0 ，因此此周期轨线绕原点逆时针旋转 华东师范大学硕士论文具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 证毕口 注2 1 1 若把条件( 2 1 5 ) 改为条件( 2 1 5 ) ：f ( o ，一7 ，7 ) 0 ，并假设存在非负 整数k ，七：( i = 1 ，2 ) 使得3 r 1 ( 3 k 1 + 2 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 1 ) ，3 r ；_ ( 3 k i 一2 ) = 3 7 ：( 3 七：一 1 ) 则定理2 1 1 变为： 假设( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 成立，则系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 有一个经过点( 0 ，- 7 ，y ) ，在g 上 围绕原点顺时针旋转( 逆时针旋转) ，周期为t = 3 r l ( 3 k l + 2 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 1 ) ( 3 r i ( 3 研 一2 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 1 ) ) ，整数幻，k 2 o ( 后i ，k ：之0 ) 的周期轨线l 当且仅当方程 ( 2 1 1 ) ( ( 2 1 2 ) ) 有一个周期为t 的周期解z ( ) ，满足对某t o ，( z ( t o ) ，x ( t o 一2 t 3 ) ，x ( t o - t 3 ) ) = ( 0 ，- 7 ，y ) 利用这个定理，我们可以得到如下结果 定理2 1 2 假设( 2 1 6 ) 成立，且系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ”有一族周期轨线“，h jc r ，使得( 0 ，一1 ( ) ，7 ( h ) ) l h ，h 正f ( o ，一7 ( ) ：1 ( ) ) 0 令q = i n f s 死，p = s u p ，t h ，其中死代表如的周期则当存在整数后1 ，k 2 0 ，使得3 r f f ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) ( 3 r 1 ( 3 k 1 一4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 。一2 ) ) ( q ，卢) 时，方程( 2 1 1 ) ( ( 2 1 2 ) ) 有 一周期解，其周期为3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) ( 3 r l ( 3 k l - 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 。一2 ) ) 注2 1 2 由条件( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，在不变平面g 上，我们可以把系统( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) ) 降为一个2 维系统，并由此来估计死 例2 1 1 考虑时滞微分方程： 奎( t ) = s i n ( 2 x ( t 一7 1 ) ) 一s i n ( 2 x ( t r 2 ) ) ，( 2 1 1 2 ) 其中r 2 = a 3 七k 2 1 + + 4 2r l ，k l ，乜20 ，k l ，z 相应的常微系统为： 9 ( 2 1 1 3 ) z z 可 2 2 2 n n n 吼 5三 5墨 一 一 一 秒 z z 2 2 2 咖 舌i 璺 = = l l 、，、，、j t t ，i、 z 可 z ，-iii，、-i【 华东师范大学硕士论文具有两个滞量的时造塑坌查堡笪旦塑竖坌塞 显然，系统( 2 1 1 3 ) 有两个首次积分z + y + 石= c 和s i n 2 z + s i n 2 y + s i n 2 z = h 因 此，系统( 2 1 1 3 ) 在不变平面g ：x + 可+ z = 0 上有一族周期轨线 l h ： z v ：( x , 一y z ) - - 一s 秒i ，n 2 z + s i n 2 可+ s i n 2 名= 。 愚 危0 c 2 - - 4 ， 其中h o 为一待定常数注意到 m a x s i n 2x + s i n 2y + s i n 2 ( - - x - - y ) ) _ 2s i n 2 三+ s i n 2 等= 兰 则当h 。= 互9 时，闭曲线l 。有限存在，并且包含个奇点( 号，号) 因此， t ( 危) 2 。o 周期函数t ( h ) 满足 q 。o i h n f h or ( ) h l i - - - , m o + r ( ) = 二v i _ 3 ， p = s u pt ( h ) l i mt ( h ) = c o ( 2 1 1 5 ) o h 0 ，使得对所有的a i 成立 f ( 0 ，一7 ( n ) ，7 ( n ) ，a ) 0 ，h j ( n ) ，使得 ( 1 ) 对每个a i ，系统( 2 1 1 8 ) 有一族周期轨线l ( a ， ) ，对( 0 ，一7 ( o ， ) ，7 ( n ， ) ) l ( a ， ) ，h ，( 口) ，f ( o ，- r ( a ， ) ，7 ( n ，九) ) 0 成立； ( 2 ) 对a i + ，令q ( o ) = i n f h e j ( d ) t ( a ，九) ，p ( o ) = s u p h c j ( 。1t ( a ， ) ，其中t ( a ，h ) 代 表l ( a ，h ) 的周期 则当存在整数后1 ，k 2 0 ，使得3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k ：+ 2 ) ( q ( 口) ，p ( 口) ) 时， 对任一a i + ，方程( 2 1 1 6 ) 有一周期解z ( t ，o ) ，其周期为t = 3 r 1 ( 3 k 1 + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 + 2 ) 例2 1 2 考虑时滞微分方程： 茎量三三誉三至三主誊三兰；! ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) 华东师范大学硕士论文具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 由( 2 1 2 2 ) ，容易看出( z + y + 名) = 0 ，即c ( x ，y ，z ) = z + y 4 - z 为首次积分特 别地，平面z + y + z = 0 是不变的，故( 2 1 2 2 ) 可变为： i 圣= a 2 z + 2 a 2 y y 3 一( z + 可) 3 ， i 雪= 一2 a 2 z a 2 y + 。3 + ( z + 剪) 3 ， 即可写成： 拈姒铲卅) ( 2 1 2 3 ) l 雪= 一也a 2 一日) ， 其中h = z 2 + x y + y 2 令a = a 2 ，容易看出( 2 1 2 3 ) 有一族闭轨 l h ： 竺芝例 仁心4 ， 易得 q 卜。骥a t ( n ，危) 2 l i m t ( 。，危) 2 意， 防= s u p t(a，)2imat(a0h a ，l - “ 由定理2 1 4 ，如果r l 6 3 k 西l + s 丌，则系统( 2 1 2 2 ) 有两个周期解，周期t = 舞靠；如 果0 0 设a 为- - + 参数，b 为非常接近b k 的数，则 f ( z ，y ，z ，o ，b ) = b y b z + a ( y z 2 一z x 2 ) + a 3 0 3 一名3 ) + a 3 2 ( y 3 2 2 一z 3 x 2 ) + a 1 4 ( u z 4 一z x 4 ) + a 5 0 ( ! ，5 一z 5 ) 由于b k 0 ，容易看出存在较小的，y 0 ，使得f ( o ，一7 ，y ，a ，b ) = - 2 5 7 一( a + 2 a 3 0 ) ，y 3 一( a 3 2 + a 1 4 + 2 a 5 0 ) 7 5 0 对l b 一巩l + l a l e 1 成立相应的常微系 统是： = 一b ( y z ) 一a ( y z 2 一z x 2 ) 一a 3 0 ( y 3 一z 3 ) 一a 3 2 ( 可3 2 2 一z 3 x 2 ) 一a 1 4 ( y z 4 一z z 4 ) 一a 5 0 ( y 5 2 5 ) ， 雪= 一b ( z z ) 一a ( z x 2 一x y 2 ) 一a 3 0z 3 一x 3 ) 一a 3 2 ( z 3 x 2 一x 3 y 2 ) 一a 1 4 ( z x 4 一x y 4 ) 一a 5 0 ( z 5 一z 5 ) ， 三= 一6 ( z y ) 一a ( x y 2 一y z 2 ) 一a 3 0 ( z 3 一y 3 ) 一a 3 2 ( z 3 y 2 一y 3 2 2 ) 一a 1 4 ( x y 4 一y z 4 ) 一a 5 0 ( z 5 一剪5 ) 容易看出( z + y + z ) 7 = 0 把z = 一z y 代入( 2 2 2 ) 的前两个方程中，得到如下平 面系统： 1 3 华东师范大学硕士论文 具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 圣= 一b x 一2 b y 一( a + a 3 0 ) z 3 一( 2 a + 3 a 3 0 ) z 2 可 一( 2 0 + 3 a 3 0 ) x y 2 一( a + 2 a 3 0 ) 可3 一( a 1 4 + a 3 2 - 4 - a 5 0 ) x 5 一( 2 a 1 4 + 3 a 3 2 + 5 a 5 0 ) z 4 y 一( 4 a 1 4 + 3 a 3 2 + 1 0 a 5 0 ) z 3 y 2 一( 6 a 1 4 + 2 a 3 2 + 1 0 a 5 0 ) z 2 y 3 一( 4 a 1 4 + 2 a 3 2 + 5 a 5 0 ) z y 4 一( a 1 4 + a 3 2 + 2 a 5 0 ) ! ，5 ， ( 2 2 3 ) 雪= 2 b x + b y + ( a + 2 a 3 0 ) z 3 + ( a + 3 a 3 0 ) z 2 y + ( a + 3 a 3 0 ) x y 2 + a 3 0 y 3 + ( a 1 4 + a 3 2 + 2 a 5 0 ) z 5 + ( a 1 4 + 3 a 3 2 + 5 a 5 0 ) z 4 y + ( 4 a 3 2 + 1 0 a 5 0 x 3 y 2 + ( a 3 2 + 1 0 a 5 0 ) z 2 y 3 + ( a 1 4 + 5 a 5 0 ) x y 4 + a 5 0 y 5 注意到系统( 2 2 3 ) 的原点总为细焦点，我们有 定理2 21 2 a 1 4 a - a 3 2 o ，则存在一c 1 函数l p ( 口) = “+ 砸+ o ( 0 2 ) ，使当口 ( 2 a 1 4 4 - a 3 2 ) 0 ，b = 妒( o ) 且i a i 1 时，对任何满足3 r l ( 3 k l + 4 ) = 3 r 2 ( 3 k 2 - 4 - 2 ) = 2 丌( 向k ) 的非负整数k 1 ，k 2 ，方程( 2 1 1 6 ) 有一个周期为t = 3 r l ( 3 k l + 4 ) 的周期 解 证明令z l = ( 2 x + v ) 面，z 2 = y ，则系统( 2 2 3 ) 变为 一倔。一扣一知务学( a + 2 a 3 0 ) 毋。一学( n 埘) 建一三( a 1 4 仙。) 霹一等( a 1 4 + a 3 2 - 4 - 1 0 a s o ) z ；z 2 一( 3 a 1 4 - a 3 2 ) z 溺一3 ( 1 3 a 1 4 + 1 3 a 3 2 + 1 0 a m ) z 翻 + 静4 州。胁乒等黧+ 7 a 3 2 - i - 2 2 a 5 0 ) x 口l ， ( 2 2 4 ) 驴俪- + - ( a + 2 a 3 0 ) z + 警( a + 2 a 3 0 ) 叩；一知z 2 、 一百3 吨3 + 西9 、，3 【, a 1 4 + a 3 2 + 2 a 5 0 ) z i 一9 ( 3 a 1 4 - a 3 2 ) z ；z 2 + 等( a 1 4 + a 3 2 + 1 0 a 5 0 ) 粥；+ 3 ( a 1 4 - 7 a a e ) z 翻 + 若( 1 3 钆+ 1 3 a 3 2 + 1 0 a 5 。) 邓；一姜( 5 钆+ 如) z 参 华东师范大学硕士论文具有两个滞量的时滞微分方程的周期解分支 令z = x l + i x 2 ，乏= z 1 一i x 2 ，贝0 三= 一( b ( 一学如一学蝴办 - ( ( 弘+ 而3 蚓州一竿钆一譬如一警删办z - ( ( 一缸+ 缸( 一誓缸一誓害6 3 a s o ) ) 痧 因此，由 1 9 ，p 2 5 3 中的公式，得到( 2 2 2 ) 在原点处1 阶、2 阶焦点量分别为； 龇6 ) _ 一譬，酏6 ) ：一丛生坠当些