（应用数学专业论文）关于退化时滞微分系统解的表示与周期解.pdf

摘要 在研究物理，生物，工程等实际问题中有很多要利用数学模型来解决，这就牵涉 到解决数学模型的技巧问题一个普通的电线回路问题，就是一个模型设计问题，就 是一个状态空间对称系统而标准对称系统的研究成果已相当成熟例如，对称系 统的结构性质可以通过g r a m i n 矩阵来分析 同样在上述实际问题中含有退化和脉冲的现象也是较普遍的为此，很多数学 学者从事该课题研究，并得到了很多有用的结论，对具体问题应该准确描述出时滞 对系统的影响因此研究此类问题具有重要的现实意义 本文首先介绍了广义的奇异对称系统，广义系统的研究比较困难，因为该系统 中含有奇异矩阵我们可以利用矩阵的广义逆来讨论这类系统解的问题由于对称 矩阵的特殊性质，利用群逆，可以得到一个对称广义系统的显解，当广义对称系统 满足正则条件时，可以将其通解形式表出，从而推广了广义系统解的表示形式 其次考虑了一类具体的中立型积分微分方程的周期界存在性的充要条件，推广 了相关文献的主要结果本硕士论文主要有三部分组成 第一章主要详细介绍了广义系统的相关名称，与常微分系统比较所具有的不同 特性以及其研究状况；接着阐述了本文所作的主要工作 第二章利用广义逆矩阵的特殊性质与退化微分系统解的相关理论，讨论了连续 型对称广义系统解的表示形式 第三章利用矩阵测度和泛函分析中不动点理论研究了一类具体的中立型积分微 分方程的周期界存在性的充要条件 关键词：退化时滞微分系统；对称系统；d r a i n - 逆；解；正则；中立型；周期 解；k r a s n o s e l s k i i 不动点定理；矩阵测度 a b s t r a c t o n et e c h n i q u ef o rs t u d y i n gp h y s i c a la n d e n g i n e e r i n gp r o b l e m sc o n s i s t so ft h e d e s i g no fp r o c e s s i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l s ac o l d , l i o nm o d e li nt h ed e s i g no fc i r c u i t p r o b l e m si sas t a t e - s p a c es y m m e t r i cs y s t e m s y m m e t r i cs y s t e m si nt h es t a n d a r dc a s e h a v eb e e ns t u d i e db yd i f f e r e n ta u t h o r s f o ri n s t a n c e ，s t r u c t u r a lp r o p e r t i e sf o rt h e s e s y s t e m sh a v eb e e na n a l y z e db yu s i n gg r a m i a nm a t r i c e s a l s o ，i ns u c hm a n yp r a c t i c a lf i e l d s ，d e g e n e r a t ea n di m p u l s i v ep h e n o m e n aa r e e x i s t i n ge x t e n s i v e l y a n dt h i sp h e n o m e n o nh a sa t t r a c t e dm a n ys c h o l a r s a t t e n t i o n a n dl o t so fa v a i l a b l ea n di m p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d w en o t i c et h a t ，i n m a n yp r a c t i c a ls y s t e m s ，i no r d e rt od e s c r i b l et h es y s t e mm o r ea c c u r a t e l y , w em u s t t a k et h ei n f l u e n c eo fd e l a y s o ，i ti si m p o r t a n tp r a c t i c a lm e a n i n g st os t u d yi t f i r s t l y , w ei n t r o d u c es y m m e t r i cs i n g u l a rs y s t e m sa sag e n e r a l i z a t i o no ft h e 髟f f n - m e t r i cs t a n d a r ds y s t e m s s i n g u l a rs y s t e m sp r e s e n tc e r t a i nd i m c u l t i e sb e c a u s et h e m o d e li n v o l v e ss i n g u l a rm a t r i c e s t h es o l u t i o nt ot h e s es y s t e m sc a nb eg i v e nb yg e n - e r a h z e di n v e r s e s s o m es p e d a lp r o p e r t i e so ft h em a t r i c e so ft h es y s t e mp e r m i tu s t oo b t a i nt h es o l u t i o ni na ne a s i e rf o r m u s i n gt h eg r o u pi n v e r s e ，a ne x p l i c i ts o l u t i o n t oas i n g u l a rs y s t e mi sd e s c r i b e d t h eg e n e r a le x p l i c i ts o l u t i o ni sd e r i v e dw h e nt h e s y m m e t r i cs i n g u l a rs y s t e ms a t i s f i e st h er e g n l a r i t yc o n d i t i o n s e c o n d l y , t h ee x i s t e n c et op e r i o d i cs o l u t i o n st on o n l i n e a rn e u t r a le q u a t i o n so f o n ef o r mi sc o n s i d e r e d ，c e r t a i ns o m et h e o r yo ft h ef o r ma r ep r e s e n t e da n dv e r i f i e d i nc h a p t e ro n e ，s o m ed i f f e r e n tn a m e so ft h eg e n e r a ls y s t e m sa r ei n t r o d u c e di n d e t a i l a n dt h e n ，s o m ep r o p e r t i e sd i f f e r e n tw i t ho r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r e p r e s e n t e d ，a n dt h eg e n e r a ls i t u a t i o no fr e s e a r c h i n gs i n g u l a rs y s t e m sa r eb r i e fs u m m a - r i z e d t h em a i nw o r kd o n ei nt h i sp a p e ri si n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，u s i n gt h es o l u t i o nt h e o r yo fg e n e r a l i z e ds y s t e m s ，t h r o u g ht h e t r a n s f o r m a t i o na n dt h ei n v e r s eo ft h em a t r i c e s t h es o l u t i o no ft h ec o n t i n u o u ss y n 卜 m e t r i cs i n g u l a rc o n t r o ls y s t e mi sd e r i v e da n dv e r i f i e d i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n gt h et h e o r yo fm a t r i xm e a s u r ea n dt h em e t h o do f p o i n tt h e o r e mo ff u n c t i o n a la n a l y s i s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tg u a r a n t e et h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fs y s t e m sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hd e l a y s ；s y m m e t r i cs y s t e m s ； d r a i n - i n v e r s e ；s o l u t i o n s ；r e g u l a r ；n e u t r a l ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；k r a s n o s e l s k i i sf i x e d p o i n tt h e o r e m ；m a t r i xm e a s u r e l v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导。f 进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得垂谨参啦其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：务蝌签字日期：- 卯7 年争月拗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解要铝多走攀有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授提要组彼势以将学位论文的金部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：弘蝌 签字日期：) 司年q 月弧日 导师签名 缸我 签字疆期： 砌7 年午月乃。日 ， 工作单位：店撇炉乜电话：。萝一二删7 通讯地址：蓖帆辫j 7 黟乃所断皂邮编：2 夕乃z 2 学报绵搏钎 第一章绪论 第一章绪论 1 1 刍议广义系统 由于对广义系统的研究发展很快，并且有不同领域的学者分别从不同的侧面去 发现，认识和研究其特征和规律，因而广义系统主要有以下十多个名称【1 】： ( 1 ) 奇异系统- - s i n g u l a rs y s t e m s ( c a m p b e u ，1 9 8 0 ；l e w i s ，1 9 8 5 等) ； ( 2 ) 描述器系统- - d e s c r i p t o rs y s t e m s ( l u e n b e r g e r ，1 9 9 7 ；c o b b ，1 9 8 3 等) ； ( 3 ) 半态状系统- - s e m i s t a t e ss y s t e m s ( n e w c o m b ，1 9 8 2 ；m i l i ca n d b a j i c ，1 9 8 6 等) ； ( 4 ) 广义状态空间系统- - - g e n e r a l i z e ds t a t es p a c es y s t e m s ( v e r g h e s e ，e t c ，1 9 7 9 等) ； ( 5 ) 微分代数系统- - d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i cs y s t e m s ( b r a y t o n ，1 9 7 2 等) ； ( 6 ) 奇异奇摄动系统- - s i n g u l a rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s ( o m a l l e y , 1 9 7 9 等) ； ( 7 ) 受限系统- - c o n s t r a i n e ds y s t e m s ( o w e n se t c ，1 9 7 8 等) ； ( 8 ) 隐系统- - i m p l i c i ts y s t e m s ( l e w i s ，1 9 9 2 等) ； ( 9 ) 退化系统- - d e g e n e r a t es y s t e m s ( f a v i n i ，1 9 8 0 ；p a n d i f i ，1 9 8 1 等) ； ( 1 0 ) 扩展的状态空间系统- - e x t e n d e ds t a t es p a c es y s t e m s ( k a r c a n i a s 等) ； ( 1 1 ) 具有代数约束的微分方程( l o t s e d t 等) ； ( 1 2 ) 流形上的微分方程- - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no i lam a n i f o l d ( r h e i n b o l d t 等) ； ( 1 3 ) 非标准系统- - n o n - c a n o n i cs y s t e m s 与常微分系统相比，广义系统具有很多独特的性质： 。( 1 ) 从系统模型的特性来看，广义系统具有静动态混合型； ( 2 ) 从对系统初始值的要求来看，广义系统需要考虑相容条件； ( 3 ) 从对控制函数的要求来看，广义系统需要更强的条件； 1 张永军：关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 ( 4 ) 从状态变量的自由度来看，广义系统没有完整的自由度； ( 5 ) 从解的结构来看，广义系统的解可能含有脉冲项和控制导数； ( 6 ) 广义系统不具有传统的因果性； ( 7 ) 广义系统既有有穷极点，又有无穷极点； ( 8 ) 广义系统的传递函数包含多项式矩阵，而常微分系统的传递函数只有真分 式矩阵； ( 9 ) 广义系统的渐近稳定性既要考虑其正则性和吸引性，又要考虑其无脉冲性 这些与常微分系统不同的特性，给广义系统的研究带来了很多困难，使广义系 统成了难度很大的课题；但另一方面，这些特性又为广义系统增添了很多特色，从 而使广义系统成为一个十分诱人的研究领域 对于广义系统问题的研究，虽然早在2 0 世纪6 0 年代就已有关于电路模型和奇 摄动的便宜控制等问题但是，2 0 世纪6 0 年代末至7 0 年代初，对微分代数系统 感兴趣的主要是在数值界，并且仅仅是针对特殊形式的具体系统，并未发现它所具 有的新特性，因而未能引起人们的重视 1 9 7 4 年b o s e n b r o e k 在研究复杂电路网络系统中首先正式提出了广义系统的问 题，1 9 7 7 年l u e n b e r g e r 发现了经济系统中的列昂惕夫动态投入产出模型，以及具 有快慢变生产过程的冯纽曼模型也属于广义系统，从而使广义系统开始引起了人 们的注意 真正引起控制界，数学界和数值界对广义系统广泛兴趣的是7 0 年代后期开始 的从7 0 年代末期开始，人们越来越多的发现，在工程，社会，经济和生物等很多方面 的实际问题中广泛存在着广义系统的形式；而且广义系统理论在一些实际问题中得 到成功的应用另一方面，广义系统理论对网络分析，时间序列分析，奇摄动问题，最 优控制问题，大系统理论和指定输出等问题的理论分析具有重要的促进作用，因而 2 第一章绪论 广义系统很快成了很多人共同感兴趣的课题随着控制理论中对广义系统研究的深 入和发展，人们已逐渐认识到广义系统是现实世界中的基本系统( c a m p b e l l ，1 9 9 0 ) 从7 0 年代末期开始，广义系统成了控制界的一个热门课题，国内外有关学者很快从 不同的专业，不同的角度把正常控制系统中的能控性，能观性，镇定性和反馈控制 器，最优次优调节器，动态补偿设计和滤波等一套理论推广到了广义系统，并逐渐 发现了广义系统的很多特性及其解决方法与此同时，稳定性和镇定性也就自然成 了人们的研究对象有关学者把常微分系统的稳定性问题推广到广义系统，从而出 现了很多有关广义稳定性方面的概念这些成果对广义系统稳定性的研究起着很好 地推动作用但是，由于国际上对广义系统研究的时间还不算长，而且多是仿照微 分系统的有关结果，从控制系统入手的，加之人们对广义系统的有关问题人有不同 的提法，因而广义系统的成果显得非常零碎和分散，也尚未形成一套系统的稳定性 理论以至连广义系统的稳定和渐近稳定都尚未有统一的严密定义，从而出现了某 些概念的混淆，以及概念与定理之间的不一致例如，初始条件是否应相容至今仍 有两种截然不同的提法另一方面，由于线性广义系统的解已可能出现脉冲形式， e 6 ( 。) 的意义是什么也没弄清楚，因而非线性广义系统解的存在唯一性问题尚未得到 解决因为广义系统本身的复杂性，其稳定性特性尚未为人们所共识，所以除了一 些微分一代数系统和一些特殊类型的实际系统外，非线性广义系统的稳定性仍为得 到根本解决因此，对广义系统的研究不仅具有广泛的实际意义，而且其理论价值 也具有广阔的发展前景 3 张永军t 关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 怯篡鬻眺， ，c 士( t ) = a ( t ) x ( t ) + g ( t ，s ) x ( s ) d s + g ( t ，z ( t ) ) + 6 ) j 一 第一章绪论 的周期解的存在性和唯一性问题本文在第三章中讨论了一类更加广泛的积分微分 系统，即一类中立型积分微分系统 爰+ 9 ( 拈( 汁) ) + b ( 铀) 。( s ) d s 】 = a ( t ，z + ) ) 。( t ) + ，( t ，z 0 + ) ) + b ( t ) 的周期解的存在性问题 5 张永军t 关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 第二章连续型对称广义线性控制系统的解 5 2 1 引言 系统控制理论和实践被人为是2 0 世纪中对人类生产活动和社会生活发生重大 影响的科学之一线性系统理论是线性控制理论的一个最为基础和成熟的分支系统 存在于自然界和人类社会的一切领域中，系统是系统控制理论所要研究的对象【1 5 | 而对系统的解的问题的研究成果已相当成熟了 1 6 , 1 7 , 1 s 其中文献 2 】给出了离散时 间广义系统相应的解的形式，文献【4 ，5 ，6 ，7 ，8 】主要讨论了退化时滞微分系统的解的 指数估计和解的表示问题及其解的性态本文主要基于上述理论的基础上，以连续 性时间广义系统为对象，研究了连续型对称广义线性控制系统的解的形式，从而扩 大了线性系统的解的结果及其理论发展 在本章中，我们首先给出一些预备知识；然后再给出相关的定理及证明 6 第二章连续型对称广义线性控制系统的解 2 2预备知识 牌篡嚣吲。， 皿。 三羔崖： 此时称a 的d 一逆为群逆，记为 当a 为对称矩阵时，存在 1 s l 7 张永军z 关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 2 3显解形式 ，e。2(t：)=cza。x(，t)+b乱)， m t l 响。三二主嚣 + ( ，一a 乞a 2 2 ) w ( k ) 髋郇) ，吲。， 皿s 第二章连续型对称广义线性控制系统的解 令窑( t ) = ( 荔( t ) ，磊( t ) ) r ，磊( t ) 兄t - “，磊( t ) 月n 一“，) ”，则有豆= 尸丁e p a = p r a p = ( 三二三二) ， d 。1 瓦o ) = a 1 1 酉l ( t ) + a 1 2 钙2 a 2 2 瓦( t ) + b 1 缸( t ) ， ( 2 3 2 一a ) 0 = a 2 1 叠 - f ( t ) + a 2 2 瓦( t ) + b 2 u ( t ) u ( t ) = c 1 瓦( t ) + q a ；2 瓦( t ) ( 2 3 2 一 ( 2 3 2 一c ) 恿嚣麓篡蔓三= 1 呐鸦商m 巩s 渤 则系统( 3 ) 是标准系统。 依据标准系统的解【1 5 1 瓦。) = c a ( t - t o ) + t o t e a ( t - t ) b 缸( r ) 打，t 如 9 张永军：关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 再利用( 2 3 2 一b ) 式得 瓦( t ) = a ；2 ( 一a 2 1 z t ( t ) 一岛u ( t ) ) + ( i a ；2 a 2 2 ) w ( k ) ( 南) 为任意向量 即可求得 z i ( t ) = a ；2 卜a 2 1 ( e a ( t 一幻) + 。e o r ) b 乱( 7 - ) 出- ) 一b 2 u ( t ) 】+ ( ，一a 乞a 2 2 ) 仰( 后) j t o 再运用变换t 与尸即可求解系统( 2 2 1 ) 的解 注： ( 1 ) 上述所求得的解不是系统( 2 2 1 ) 的通解，因为矩阵t 可能为非奇异的； ( 2 ) 当d 。，是单位矩阵时，子系统( ，才，剪，虿，- ) 是对称系统 1 0 第二章连续型对称广义线性控制系统的解 2 4通解形式 下面再建立一个新的等价于系统( 2 2 1 ) 的系统，利用它再求得连续型对称广义 系统的通解，在此说明文后所有的奇异系统中，都假设满足正则条件 考虑对称系统( e ，a ，b ，e ) ，因为满足正则条件， 所以刍q c ，使得d e t ( m e + a ) 0 所以，( m e + a ) - 1 存在 故可令 因为 五= ( a e + a ) a ，豆= ( 口e + a ) 一1 e 寺五= ，一。豆 ( m e + a ) 一1 a = ( a e + a ) 一1 【( a e + a ) 一m e = i 一( a e + a ) 一1 a e = ，一a 雪， 当e a = a e 时很容易证明豆是对称矩阵 所以存在正交矩阵t ，使得 t 豆矿= d i a g ( d ，0 ) ， 此时n l = r a n k ( e ) ，且d 。是对角非奇异的 令 q = d i a g ( d = ，厶一。，) r ( q e + a ) ，p = t 一1 1 1 张永军t 关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 愫裂? 眨a 富= q e p = d i a g ( i , 。，o ) ，a = q a p = 出0 9 ( d = 一q 厶。，厶一。) ， 雪= q b = ( b 1 ，b 2 ) t ，0 = c p = ( a ，q ) ， z ( t ) = t 一1 【芦盈矿勖( o ) + z 尹砷) f - 虱( o ) d o 一( 卜营) 万凰( t ) 】 第二章连续型对称广义线性控制系统的解 证明：对系统( e ，a ，b ，c ) ，因为e a = a e ，所以该系统等价于系统( 2 4 1 ) 因 为系统( 2 4 1 ) 满足正则条件，即：| 卢c ，p d f ，i = 1 ，2 ，n 其中也是 d 0 一口厶，主对角线上的元素 满足 ( 卢营一a ) = ( - - 1 ) ”一1 - i ( 卢一也) 0 ， i = 1 此时系统由( 面，_ 百，虿) 给出，其中； 茸= 童一a ) 一1 营 才= ( p 亩一a ) 一1 a ； 百= 豆一a ) 一1 蜃； c = c 由参考文献 2 】中定理得到： 童( t ) ：，盈矿勖( o ) + f 。尹j ( f - 口) 矿凰( 8 ) 硼一( ，一丽) h - 1 ( 砑) 虱( t ) 0 0 函 此时h = i n d ( - e ) ，叠( o ) 满足初始条件 因为面和万的指标为1 ，所以f ，万+ 存在 观察西，有矿= 西，所以f ：窗 此时矿= 豆( 卢雪一固= d i a g ( f l i ，一百i ，o ) 再观察五因为r a n k ( a 2 ) = r o 以( a ) ，所以i 谢( 两= 0 或1 若a 可逆，则 ( 卢豆一a 一1 ) 勾+ = 出叼( p 础一厶，一厶一。，) ，否则i n d ( a ) = 1 即a = d i n 9 ( 面，五，磊) 1 3 张永军，关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 其中 玉= 圭 0 ， 画0 也= 0 也是a 对角化矩阵中的元素，所以万是对角阵 满足初始条件( o ) 的系统解为 荆= 芦无- f - g 窑( o ) + ，尹j ( m ) 矿瓦( 目) 硼一( ，一豆) 万矾( t ) j 0 再运用变换 x ( t ) = p 奎( t ) 和尸= t ， 所以连续型对称广义系统的通解为 z ( t ) = t 一1 卢盈亨戡( o ) + f 尹再( 枷) f 凰( 目) d p 一( j 一豆) 万瓦( t ) 】 j 0 。 定理2 证毕 1 4 第三章一类中立型积分微分方程的周期解 第三章一类中立型积分微分方程的周期解 3 1 引言 随着现代科学技术的发展，人们研究的微分方程中出现了时滞，因而对于泛函 微分方程( 时滞微分方程) 的研究一直是热门课题，特别对于泛函微分方程周期解的 存在性问题的研究，受到很多数学家的重视( 见 2 0 - 3 5 ) 文献 1 0 - 1 3 分别研究了周 期系统 圣( t ) = ，( t ，z ( t ) ) 圣0 ) = a ( t ，z ( t ) ) z ( t ) + b ( t ，z 一r ) ) ， ，t 圣 ) = a ( t ) x ( t ) + e ( t ，s ) x ( s ) d s + g ( t ，z ( t ) ) + 6 0 ) j - - 0 0 的周期解存在性问题，其中：( t ，z ) ，g ( t ，z ) c ( r x r ，彤) ，a ( t ，z ) ，c ( t ，8 ) 为连续的 函数矩阵，且f ( t ，z ) = ，( t 十z z ) ，a ( t ，。) = a 0 + e z ) ，b ( t ，z ) = b ( t + t ，z ) ，c ( t ，8 ) = c ( t + t ，s + t ) ，t 0 ，r r 近年来，很多学者致力于用线性系统指数型二分性理论讨论微分方程的周期解， 获得了一些较好的结果如文献【2 1 ，2 2 】中讨论了周期系统 e ( t ) = a ( t ，。( t ) ) z ( t ) + f ( t ，既) ， 圣( t ) ：a ( t ，。( t ) ) z ( t ) + - c ( t ，s ) z ( s ) d s + 壹吼( t ，x ( t 一几( t ) ) ) + b ( t ) 圣( t ) = ，。( t ) ) z ( t ) + ， + 吼( t ， 一几( t ) ) ) +) j 一 i = 1 的周期解的存在性和唯一性问题 张永军：关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 最近，文献【1 4 】利用矩阵测度等理论结合泛函分析的方法讨论了周期系统 圣o ) = a ( t ，z + ) ) z ( t ) + y ( t ，x ( t + ) ) 的周期解的存在性和唯一性问题受到上述学者工作的影响，我们讨论一类更加广 泛的积分微分系统，即中立型积分微分系统 哥dz ( t ) + g ( 扣( 抖) ) + b ( 如) 如) d s l ， = a ( t ，z + ) ) x c t ) + f ( t ，( + ) ) + 6 0 ) 的周期解的存在性问题 1 6 第三章一类中立型积分微分方程的周期解 和 考虑周期系统 3 2 预备知识 害= 邱) z 塞= ) 蚪) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 其中：a ( t ) = ( o 玎( t ) ) 。是r 上的n 礼连续函数矩阵，( t ) 是r 上的n 维连 续函数向量且a ( t ) ，( t ) 关于t 是b 周期的 记x ( t ，t o ) 是方程( 3 2 1 ) 满足x ( t o ，t o ) = 的基本解矩阵 h 表示彤中任一向量范数，对于a j “，i i a i i 是由向量范数导出的矩阵范 数，p ( a ) 是由向量范数定义的相应的矩阵测度 若分别取 m = k = 1 2 = z | 。= m o x i 戤 则有p ，( a ) 2 甲 + 吾i m p z ( a ) = a 一【学】， o o ( a ) = m a x a i + i n 巧) ， ， l ， 这里a 。( b ) 表示矩阵b 的最大特征值，4 丁为a 的转置 1 7 婶 张永军t 关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 有 引理3 2 1 ：( 【1 4 )设x ( t ，t o ) 是方程( 3 2 1 ) 的基本解矩阵，则对任意t t o x ( t ，t 。) i e x p ( 。p ( a ( s ) ) d s ) ，i x t o。1 ( t ，如) l 唧( j ( 。p ( 一a ( s ) ) d s ) 耐，r j j o 引理3 2 2 ：( 1 4 1 )对于方程( 3 2 2 ) ，若a ( t + t ) = a ( t ) ， + t ) = ，( t ) ， d e t ( x ( t ，0 ) 一，) 0 ，则方程有唯一t 周期解 。( t ) = ( ，一x ( z o ) ) ，。t t + t x + es ) ，( s ) 如 引理3 2 3 ：( 2 3 1 ) ( b a n a c h 不动点定理一压缩映象原理) 设( x ，p ) 是个完备 的距离空间，t 是( x ，p ) 到其自身的一个压缩映射，则t 在x 上存在唯一的不动 点 引理3 2 4 ：( 2 4 1 ) ( s c h a u d e r 不动点原理) 设d 是e 中有界凸闭集( d 不一定 有内点) ，a ：d d 全连续，则a 在d 中必具有不动点 引理3 2 5 ：( 1 2 5 1 ) ( k r a s n o s e l s l d i 不动点定理) 设k 是一个b a n a c h 空间x 的 一个有界凸闭集，映射f ：k 一和g ：k k 满足下列条件： ( 1 ) 对于任意的钍，口k ，有f u + g v k ， ( 2 ) f 在k 上是全连续的，g 在k 上是压缩的， 则映射f + g 在k 上至少有一个不动点 证明：v v k ，定义t u = g 钆+ f u ，则t ：k k 是压缩的，所以方程 u = g u + f v 在k 内又唯一解从而 i t = ( i g ) - 1 f v k 1 8 第三章一类中立型积分微分方程的周期解 根据引理3 2 3 ，算子 ( ，一g ) - 1 f ：k _ 是全连续的从而由引理3 2 4 ( s c h a u d e r 不动点原理) 知，( ，一g ) - 1 f 在k 中有 不动点”o ，即 证毕 ( ，一g ) f r o = 珈= ( f + g ) v o = v o ，v 0 k 1 9 张永军：关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 3 3 主要结果 考虑下面积分微分方程 驴d ( t ) + g ( 柚( 汁) ) + b ( 抽) z ( s ) d s 】 = a ( t ，z 0 + ) ) z ( ) + f ( t ，z ( t + ) ) + 6 ( t ) ，( 3 3 1 ) 其中；z 肝，t r ，z 0 + ) ( r ，f p ) ，z + - ) ( s ) = 茁 + s ) ( r ，形) 表示由r 到形的有界连续映射集合 a ( t ，z + ) ) ：r ( r ，彤) 一形”及 g ( t ，z 0 + ) ) ；( t ，z 0 + ) ) ：rx ( r ，舻) 一酽是连续映射将有界集映成有界 集，并存在t 0 ，使得v ( t ，x ) 冗( r ，形) ， 有 a ( t + t ，z ) = a ( t ，z ) ， g ( t + z z ) = g ( t ，z ) ， f ( t + z z ) = f ( t ，z ) ； b ( t ) ：r j p 连续；6 0 + t ) = 6 ( t ) ， s ( t ，8 ) = 【b i j ( t ，s ) 】。是rxr 上的n xn 连续函数矩阵 记c r = 仳( r ，f p ) ：u 0 + t ) = “ ) ，t 兄) ，l i u | i = s u pl u ( t ) l ，贝0 ( c ，0 i i ) 0tr 是一个b a n a c h 空间 定理3 3 1 ：如果方程( 3 2 1 ) 满足以下条件： 2 0 第三章一类中立型积分微分方程的周期解 ( 1 ) ：设存在不恒为零的连续d 周期函数q ( t ) ，有 e x p ( f o t a ( s ) d s ) = 七 0 ，便得v t 【0 ，i j ，有 ( i ) l g ( t ，) lsq l l ，其中q 1 ，咖c r ( m ) ， ( i i ) 存在常数f ，0 f 1 ，使得v t r 有。i i b ( t ，s ) 1 d s ( 1 1 1 ) 击口e x p ( 。 + 7 - ) 打) t t e s u c t o m ) 1 ，o + 8 ，u + s + ) )() - a ( t + s ，“( t + s + ) ) b ( t + s ，u o + s + - ) ) + b ( t ，s ) x ( s ) d s + b ( t + s ) l d s ， j - - 0 0 ( 1 一k ) o 一口) ， 这里c r ( m ) = “c r ：ij u l l m ) ，则方程( 3 2 1 ) 存在t 一周期解 证明：对v u c r ，考虑下列微分积分方程； 丢) + g ( 驰( 泓) ) + b ( t , s ) 如) 删 = a ( t ，u ( t + ) 净o ) + f ( t ，u ( t + ) ) + 6 ( t ) ，( 3 3 2 ) 令 q ( t ) = z ( t ) + g ( t ，乱0 + ) ) + b ( t ，s ) x ( s ) d s ， ，t ，- - 0 0 则方程( 3 3 2 ) 变化为： 。 丢俄圳= 卸，“( t + ) ) ) + m 州t + ) ) - a ( t ，u ( t + ) ) 曲( t ，u ( t + ) ) + b ( t ，s ) z ( s ) d s 】+ 6 ( t ) ，( 3 3 3 ) ，t ，- - o o 张永军，关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 假设五。( t ，8 ) 是方程 q ( t ) = a ( t ，仳0 + ) ) q ( t ) 的祷足爿“【s ，s ) = 的基本解矩阵， 由定理条件和引理3 2 1 可知 f j ，( t ，s ) i e x p ( a ( 7 - ) 打) ，s t ， ，t j b 即有 i x ：( t , o ) i _ e x p ( a t q ( 丁) 打) = 七 1 ， 于是有( j 一五。( l 0 ) ) - 1 存在， 且有l ( ，一五( t ，o ) ) - 1 f 击 则由定理条件和引理3 2 2 可知方程( 3 3 3 ) 有唯一周期解 吼( t ) = ( ，一五( l o ) ) ，j ( 。t t + t 五( 抖l s ) ，( s ，让( 舛) ) 一a ( s ，u ( s + - ) ) 0 ( s ，( s + ) ) + b ( t ，s ) x ( s ) d s ) + b ( s ) d s ，一 从而 五( t ) = q 。0 ) 一b ( t ，u ( t + ) ) + 。b ( t ，s ) z ( s ) d s 】 = ( i - 五( t ，。) ) 一1 _ t t + t 五o + 正8 ) 【，( s ，乱。+ ) ) - a ( s ，“( s + ) ) 0 ( s ，“( s + ) ) + b ( t ，s ) x ( s ) d s ) + b ( s ) d s ，一 一 一g ( t ，u ( t + ) ) 是方程( 3 3 2 ) 的唯一的周期解 今定义算子如下；f ：c 一c ， 第三章一类中立型积分微分方程的周期解 f u ( t ) = u 一玩( t ，o ) ) 一1 丘+ 丁甄0 + t ，s ) ( ，( s ，“( s + ) ) 一a ( s ，“( s + ) ) 9 ( s ，“( s + ) ) + b ( t ，s ) 。( 5 ) d s 】+ 6 ( s ) ) d 3 ，( 3 3 4 ) j - - o o k ：c _ c r ， k u ( t ) = 一夕( t ，乱 + ) ) 一b ( t ，s ) x ( s ) d s ，v u c ，( 3 3 5 ) 一【 易见，映射f + k 的不动点就是系统( 3 3 1 ) 的b 周期解 下证映射f + k 在b 中至少有一个不动点 可以利用上述k r a s n o s e l s k i i 不动点定理来证明 为讨论方便，由定理3 3 1 中条件( 2 ) - ( i i ) ，我们取m a x ( i f _ 。b ( t ，s ) z ( s ) d s ) = f ( i ) ：对于任意的让， c ，( m ) ，有f 壮+ 胁c r ( m ) 事实上， 号拶扣一五( 删) - 1 i 厂i x 。( t + 驯 ，( s 州s + ” - a ( s ，u ( s + ) ) 0 ( s ，“( s + 。) ) + 0 + 6 p ) 】f d s + 云i 夕( ，移o + ) ) + f i s 耐与z 件re x p 。r 。t + t 嘶) d f ) j f ，( 舭( 删 一j 4 ( s ，钍( s + ) ) ( 夕( s ，u ( s + ) ) + f ) + b ( s ) l d 8 + q = 顽呙z 丁e x p ( f f a ( t 川圳【，( 抖舭( 抖s + ) ) 一a ( t + 8 ，u ( t + s + ) ) 0 0 + s ，u ( t + s + ) ) 张永军，关于退化时滞微分系统解的表示与周期解 + ) + 6 0 + s ) 】i d s + q 志o r 酬一m m s u p ，( 州m + ) ) 一a ( t + s ，“ + 8 + ) ) 0 0 + 8 ，u ( t + s + ) ) + f ) + 6 + s ) l d s + q 1 而( 1 - k ) ( 1 一q ) m + 9 2 1 ， 因此，对任意的“，可c t ( m ) ，有f u + k v c t ( m ) ( i i ) ：f 在c ( m ) 上是全连续的 事实上，根据已知条件可知存在l 1 ，l 2 和厶，有 a ( t ，u ( t + ) ) i l 1 f ( t ，u ( t + ) ) is 厶 6 ( t ) i l 3 v ( t ，u ) r c r ( m ) ，v t r 根据( 3 3 4 ) 和五。( t ，s ) 的性质，对v u c r ( m ) ，有 掣叫蝴+ ) ) 删+ ，( 螂+ ) ) 一a ( t ，u ( t + ) ) b ( t ，0 + ) ) + 胡+ 6 ( t ) ，( 3 3 6 ) 2 4 第三章 一类中立型积分微分方程的周期解 所以，