（应用数学专业论文）具有临界增长指数的阻尼波动方程的吸引子和核截面的维数.pdf

上海师范大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位，波动方程是一类很重要的无穷 维动力系统，而全局吸引子和核截面是无穷维动力系统的中心内容之一对吸引子和核截 面的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，二是在其存在的前提下研究其几何结 构，如维数 本文首先简单介绍了动力系统的发展历史和与本论文有关的一些基础知识、基本的函 数空间和一些常用的不等式如y o u n g 不等式、h 况d e r 不等式、g r o n w a u 不等式，以及本文 的主要工作 本文的研究工作由三章内容组成 第二章，主要考虑具有临界增长指数的非线性波动方程，证明该方程所确定的解半 群产生全局吸引子第三章，考虑具有临界增长指数的强阻尼半线性波动方程全局吸引子 的h a u s d o r f f 维数的上界估计，运用全局吸引予在高正则空间范数下的有界性，来改进该 方程在非临界增长指数时的全局吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界估计式，并指出该估计式 也是临界增长指数时的全局吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界估计第四章，考虑一类具有临 界增长指数的非自治波动方程，利用该系统存在渐近正则解，从而得到它的核截面也是 渐近正则的，并给出核截面的h a u s d o r f f 维数估计 关键词：全局吸引子，波动方程，核截面，i 临界增长指数，h a u s d o r f f 维数 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e ，n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o ni sak i n do fv e r yi m p o r t a n ti n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s t h e r e s e a r c ho nt h ea t t r a c t o rl i e si nt w o a s p e c t s o n ea s p e c ti st h ee x i s t e n c eo ft h ea t t r a c t o r , t h eo t h e r i st h eg e o m e t r yp r o p e r t i e so ft h ea t t r a c t o ru n d e rt h ee x i s t e n c eo ft h ea t t r a c t o r , s u c ha sh a u s d o r f f d i m e n s i o n t h i sp a p e rf i r s t l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ts u r v e ya n dm a i nr e s e a r c hd i r e c t i o n so fd y n a m i - c a ls y s t e m sa n dp r e l i m i n a r yr e s u l t sa n dd e f i n i t i o n s ，t h eb a s i cf u n c t i o ns p a c e sa n df r e q u e n t l yu s e d i n e q u a l i t i e ss u c ha sy o u n g si n e q u a l i t y , h b l d e r si n e q u a l i t ya n dg r o n w a l l si n e q u a l i t y , t h e n ，t h e a u t h o r b r i e f l yi n t r o d u c et h er e s e a r c hw o r ko ft h i sp a p e r t h er e s e a r c hw o r ko ft h i sp a p e rc o n s i s to ft h r e ec h a p t e r i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h es e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o nw h e nt h e r ei san o n l i n e a rd a m p i n ga n d t h en o n l i n e a r i t ys a t i s f i e st h ec r i t i c a lg r o w t he x p o n e n t ，w ep r o v et h a tt h es e m i g r o u po ft h ee q u a t i o n c a np r o d u c eag l o b a la t t r a c t o r i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee s t i m a t eo ft h eu p p e rb o u n do fh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h e9 1 0 b a la t t r a c t o rf o rs t r o n g l yd a m p e ds e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hc r i t i c a l g r o w t he x p o n e n t b yu s i n gt h eb o u n d e d n e s so ft h eg l o b a la t t r a c t o ri nh i g hr e g u l a r i t ys p a c e ，w e o p t i m i z et h ee s t i m a t eo ft h eu p p e rb o u n do fh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h eg l o b a la t t r a c t o rw i t hn o n - c r i t i c a lg r o w t he x p o n e n t ，a n ds h o wt h a ti ti sa l s ot h ee s t i m a t eo ft h eu p p e rb o u n do fh a u s d o r f f d i m e n s i o no ft h eg l o b a la t t r a c t o rw i t hc r i t i c a lg r o w t he x p o n e n t i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rak i n d o fn o n o a u t o n o m u sw a v ee q u a t i o n sw i t hc r i t i c a lg r o w t he x p o n e n t , u s i n gt h es y s t e mw i t ht h ea s - y m p t o t i c l yr e g u l a rs o l u t i o n ，w eo b t a i ni t sk e r n e ls e c t i o n sa r ea l s oa s y m p t o t i c l yr e g u l a r , m o r e o v e r , w es h o wt h ee s t i m a t eo fh a u s d o r f fd i m e n s i o no fk e r n e ls e c t i o n s k e yw o r d s ： g l o b a la t t r a c t o r , w a v ee q u a t i o n ，k e r n e ls e c t i o n s ，c r i t i c a lg r o w t he x p o n e n t , h a u s d o r f fd i m e n s i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：丘4 l j l 丑盆l 日期：上匹孚l 里一 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：。珥卣晷盛佥导师签名： 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 1 1 动力系统 文兰在1 3 6 1 中概括了动力系统的含义：动力系统就最广泛的意义来说是研究系统演 化规律的数学学科这里，演化的直接含义是就时间而言的因此动力系统又被简称为时 间的科学时间可以是连续的，如经典的微分方程定性理论；也可以是离散的，如迭代 论演化的进一步含义是就系统的空间而言，比如向量场的扰动与映射的扰动动力系统 的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体流动动力系统常可以看成是微分方程的化 身，其思想是不通过微分方程的显示解而直接研究解的几何和拓扑性质 动力系统数学研究的目的是为了了解自然界中各种随时间而变化的发展现象的规律， 自然界中观察到的发展现象归结为两大类的动力体系：一是无摩擦的力学体系或称为守 恒体系，比如天体力学，特别是太阳系中星球的运动；二是把某种形式的能量转化为热 的耗散体系，如经典力学一守恒体系的研究- 仓! i 始于牛顿，在自然科学的发展中扮演了 主要的角色经典力学的重要性在于存在着不简单的守恒体系天体力学中的体系可以 在理论上和实验观测上作极为精密的研究耗散体系具有不亚于守恒体系的兴趣，数学 上它比守恒体系更为一般，物理上它遍布于各处，反映了花样繁多的自然现象，不幸的 是，耗散体系并不像天体力学那样高度精密地服从简单的规律，它们通常是连续体系， 需要用无穷多个参数来描述，体现了无穷维的特征，正是由于有这些和其他一些困难， 近年来引起了入们对无穷维耗散体系动力学行为的广泛研究 今天的动力系统大致可分为微分动力系统、哈密顿系统、拓扑动力系统、复动力系 统、遍历论、随机动力系统等若干方向，其界限并不严格，很多相互交叉，动力系统理论 成果能广泛运用到经济数学、气象预报、数值计算、统计力学等领域里 1 2 无穷维动力系统 粗略地说，常微分方程可以看成是有限维连续动力系统，偏微分方程可以看成是无穷 维连续动力系统，而拓扑和几何中微分流形上的方程可以看成是微分流形上的动力系统 偏微分方程中的动力系统一般为无穷维动力系统。一个著名的经典问题一流体力学 中的湍流问题就属于无穷维动力系统的范畴无穷维动力系统具有某些重要特征：首先 是存在空间上的混沌现象，即在某个区域产生混沌、湍流，而在另一些区域则不出现， 然而有限维动力系统仅研究时间上的混沌现象；其次，在空间的某个部分可能产生奇性 l 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 集例如在三维空间的流体运动中，速度u 的旋度r o t u 可能在区域q 的某个部分变成无穷 大j l e r a y 在1 9 3 2 年就预言此时产生湍流最近物理上已经发现一大批具有孤立子的非线 性发展方程为混沌现象这些都说明对无穷维动力系统的研究势在必行，同时也是对有限 维动力系统研究的进一步深入和发展由于无穷维动力系统广泛地运用到如流体力学、大 气科学、生命科学等领域，使得它成为目前一个十分活跃的研究课题 数学上，在有限维动力系统研究中，s s m a l e 关于吸引子的工作，d r u u e 和e t a k e n s 建 议的湍流解释机制都是一些了不起的成就在他们以及j m o s e r 和m e l n i k o v 的工作基础 上，b m a n d e l b r o t ( 曼德尔勃罗特) 提出了分形集的概念，相关领域中，我们可以提出 有关混沌的k o l m o g o r o v - a r n o l d - m o s e r 理论以及h a m i l t o n 系统的不可集成性；区间【0 ，l 】上 映射的双周期机理以及m f e i g e n b a u r n 发现的相关数在无穷维动力系统的研究中，郭柏 灵【3 5 】，o a l a d y z h e n s k o y a ( 莱迪察斯科娅) 【1 9 ，j k h a l e ( 赫尔) 【1 7 ，r t e m a m ( 特 马姆) 【2 4 】，m i v i s h i k ( 维斯克) 【2 5 】，b a b i n 和m v i s h i k 3 等人已对某些具有耗散效应 的非线性发展方程的整体吸引子、惯性流形的存在性，它们的h a u s d o r f f 维数、分形维数 的上下界估计、吸引子的动态结构、近似惯性流形、非线性的g a l e r k i n 方法等问题进行了 多方面的研究，得到了一系列的重要结果数学上，现已建立了无穷维动力系统的重要数 学理论，提出了理论研究和数值计算方法 从偏微分方程定性研究的角度来看，最关键是要建立对定解问题的解关于时间亡大范 围的一致先验估计，无穷维动力系统关注的是偏微分方程所描述系统的解的存在性、正 则性、稳定性、全局吸引子的存在性及其几何拓扑结构从动力系统的角度来看，目前动 力系统的基本理论已经建立，但是还不够完善，我们对它的理解还很肤浅，特别是全局 吸引子的几何拓扑结构，因此，对它的研究也为非线性偏微分方程的研究提供了新的课 题当然无穷维动力系统是相当复杂的，使得对吸引子的几何拓扑结构的描述仍是非常困 难的问题，这包括无穷维系统的吸引子的维数、不变流形、惯性流形、分支以及一些特 殊解的构造等复杂的问题，这些都有待于进一步研究 1 3 全局吸引子及其维数 法国数学家昂利庞加莱在当时首先提出了相空间概念所谓相空间就是用状态变量支 撑起来的抽象空间这样一来，在系统的状态和相空间的点之间就建立起对应关系相空 间的一个点表示系统在某一个时刻的一个状态，相空间里状态变化的相点的连线，就构 成了点在相空间的轨道，即相轨道相轨道表示了系统状态随时间的变化相空间可以是 有限维的，也可以是无穷维的 2 圭查师范奎学硕士学位论文 第一章前言 对动力学系统而言，人们最关心的往往是其状态的最终归宿不消耗能量的保守哈密 顿系统遵从刘维尔定理，它的运动总是周期或准周期的，耗散系统则不然，它在演化过 程中其相体积不断收缩，即相空间中的任何相轨道最终将被吸引到一个维数比原始空间 低的极限集合：吸引子，吸引子表征了动力系统当t 叶( 2 0 时的渐近行为由于动力系统总 是对应着一个物理问题，因此我们可以建立相空间，把一个物理问题转化为一个几何问 题来处理庞加莱的一大创新结果就是使动力学可借助被称为吸引子( a t t r a c t o r ) 的几何形状 来加以直观化，系统长期的动力学特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类 型的动力学特征例如，趋向于定态的系统，它具有的吸引子是一个点趋向于周期性地 重复同样行为的系统，它具有的吸引子是一个闭环对于保守的哈密顿系统，由于没有能 量耗散，运用状态在演化过程中可以随时间改变，但其在相空间中体积始终不变因此， 在足够长的时间以后，系统有可能回到离初始状态任意近的地方，这就是所谓的“庞加 莱循环”对于耗散系统，由于能量的耗散，在演化过程中相体积将不断收缩，耗散系统 的运动最终将趋向维数比原来相空间维数低或体积小的极限集合，而不会再回到原来状 态，当演化时间亡一时，系统所达到的极限集合成为“吸引子 例如单摆运动，如 果没有摩擦或其他消耗( 保守系统) ，单摆将周而复始地无限期地摆下去，运动永不停 止如果有摩擦( 耗散系统) ，振幅将逐渐减小，最终将停止在中间位置，这个状态( 不 动点) 就是吸引子耗散运动最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上 用动力学揭示系统长期发展的动力学性质和基本动力学特征无疑是非常重要的，从数 学上来说就是要了解系统解的全局渐近特征，需要用微分方程全局定性理论来研究全局 分析是研究系统所有可能的初值在任意长时间的整体特征和全局行为，特别是时间无穷 时的终态情况非线性动力系统的状态的长时间行为一般是很复杂的，仅靠简单计算或纯 粹直观是难以弄清楚的一个从特殊状态出发的动力系统，当时间充分大后，它是趋于静 止或某个简单平衡状态，还是经历一系列的分支过程而达到周期状态或拟周期状态或完 全混沌状态，这是不易预料的为此，人们引入了全局( 整体、最大) 吸引子的概念动 力系统的全局吸引子是状态空间中吸引所有轨道的最大有界不变集它包含所有平衡点 及平衡点的不稳定流形，它还包含所有周期轨，同、异宿轨以及更为复杂的分形或仿分 形的不变集由此可见，系统状态的长时间行为完全可以由全局吸引子来描述全局吸引 子研究系统的整体特征和全局行为，它不仅可以指出系统中各种物理量之间最本质的联 系，而且能够简明清晰的阐明外源强迫对运动的基本影响，从而揭示出系统中最基本的 运动规律 设e 是一个b a n a c h 空间，考虑具有初始条件的自治的发展方程 羔三掣 n 3 m 其中f ( u ) 把e 映射到自身，如果( 1 3 1 ) 的整体解存在，其所有解构成一个自治系统， 我们关心的是当t _ o 。时，解u ( ) 的渐近行为现设对任意u o e ，系统( 1 3 1 ) 存在 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 整体解u = u ( t ，咖) c ( r + ，e ) ，则由解可以定义算子族【s ( t ) ) t 之o ，其中s ( t ) ：u o _ s ( 亡) = 豇( t ) ，e _ e 定义1 3 1 半群如果上述算子族| ( s ( t ) ) t o 满足； ( 1 ) s ( o ) = ，( 恒等算子) ； ( 2 ) e _ e ，s ( t + 丁) = s ( t ) s ( 丁) ，耽，7 0 ， 那么就说 s ( t ) ) 。 o 是一个算子半群若s ( t ) ：e _ e ，t o 为连续映射，则称( s ( ) ) t 0 为 连续算子半群 算子半群是研究无穷维动力系统的一种重要的工具和方法 1 6 ，2 2 ，2 s 定义1 3 2 全局吸引子设e 为一个b a n a c h 卒_ 间， s ( 芒) ) t o 是e 上的连续算子半群，如 果集合4ce 满足： ( 1 ) 紧性，4 是紧的：若以，则存在序列 ) 的一个子序列 。) 和口a ，使 得- 一t ， ( 2 ) 不变性，即在半群 s ( t ) ) t o 作用下为不变集：s ( t ) 一4 = a ，觇0 ( 3 ) 吸引性，4 吸引e 中的一切有界集，即对任何有界集b e 有 战时( s ( t ) b ，4 ) = s 善u b p ：醪i i s ( t ) z yi l e o ，亡_ o o 特别地，当t 一。o 时，从任意点伽e 出发的轨线s ( t ) 铷收敛于4 ，即有 d i s t ( s ( t ) u o ，么) 一0 ，t _ o o 那么，集合4 称为半群 s ( t ) ) t o 的全局吸引子 定义1 3 3 有界吸收集设e 是一个b a n a c h 空间 s ( t ) ) 。 o 是e 上的半群，对于有界 集b 0 e ，如果对于任何有界集b e ，存在t o ( 玩，b ) 0 ，当t t o ( b o ，b ) 0 时， 有s ( o b b o ，则称岛为半群的有界吸收集 定理1 3 1 吸引子的存在性定理i 设e 为一个b a r m c h 空间， s ( t ) ) t o 是e 上的连续算 子半群，设算子半群 s ( t ) ) 。 o 满足以下条件： ( 1 ) 算子s ( 0 对充分大的t 是一致紧的即：对任意的有界集b ，存在t o = t o ( b ) ，使 得阢 t o s ( t ) b 在e 中是相对紧的 ( 2 ) 存在e 中的有界吸收集至珐 则半群 s ( 亡) ) t o 存在全局吸引子4ce ，4 = u ( 岛) = a 、委u s ( t ) 一b o ，其中闭包取于e 中 定理1 3 2 吸引子的存在性定理设e 为一个b a n a c h 空间，算子半群 s ( t ) ) t o 是连续 的，设存在一个有界集bce ，使得b 在e 中是吸收的，又设满足下面的条件： s ( t ) = 品( 亡) + 岛( t ) ，其中算子& ( ) 对充分大的t 是一致紧的，算子岛( t ) 为连续映射，岛( t ) ： e e ，且对每个有界集bce ， r e ( t ) = s u pi l 岛( t ) 妒怯_ 0 ， 妒8 4 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 则b 的u 一极限集a = u ( b ) 是全局吸引子 一般地，非线性发展方程的全局吸引子的结构是很复杂的，除了包括确定系统的简单 平衡点仳。，f m 。) = 0 ( 可能是多重解) 外，还包括时间周期的轨道，拟周期的轨道，以及分 形吸引子，奇异吸引子等 维数是描述物体复杂程度以及所占空间规模的重要指标，所以关于全局吸引子维数估 计的研究是一项极为重要的课题对于自治和非自治方程的吸引子的维数估计也有一些文 献结果【7 ，3 3 ，3 4 ，4 1 1 这里的维数主要是h a u s d o r f f 维数和f r a c t a l 维数，本文着重讨论的 是h a u s d o r f f 维数的上界估计 定义1 3 4h a u s d o r f f 维数令e 是一个度量空间，且y 是e 的一个子集，给 定d 矿，e 0 ，设p 日( d ，e ) = i n f 銎砰，其中，上式右边是对y 在e 中的所有半径小于 或等于，即n e 的球( 最) 涮覆盖求下确界显然，p 日( d ，5 ) 是一个关于s 的非增函数且 p 日( d ) 2 姆肛日( y ；删= s 。u p 。p n ( y , d ，e ) 【o ，+ o 。】 称d h ( y ) = d o = i n f dlp 日d ) = o ) 为目的子集合y 的h 肌s d o m 维数 1 4 核与核截面 对于非自治动力系统，其状态不仅依赖于初时也依赖于终时，这与自治动力系统不 同，状态只依赖于时间间隔，自治动力系统可以决定一个一维的映射族 s ( 亡) 半群， 那么非自治动力系统呢? 通常说，非自治动力系统决定了一个满足余圈性质( c o c y c l e p r o p e r t y ) 的双参数的映射族 u ( 亡，丁) ) ，t 7 - ( 过程) ，丁为初始时间，吸引子是描述自治 动力系统渐近行为的个很有用的工具，如何将其推广以便研究非自治动力系统的渐近 行为呢? 抛开初始时间不讲，许多耗散的非自治动力系统所决定的过程，也满足吸引子 的两个条件：一是过程是吸收的，二是过程是紧的或是一致渐近紧。但问题是如果假设 其吸引子存在，这个吸引子和初始状态到底有什么关系? 初始状态又是如何决定吸引子 的结构变化的? 吸引子本身的结构和性质已经是很难理解的了，如果再加上初始状态的 作用，很难让人清楚其动力学行为所以沿用吸引子在半群中的定义是不合适的，必须总 结出吸引子定义中有用的部分，考虑初始状态的作用，定义一个新的类似于吸引子的定 义，为此，v c h e p y z h o v 和m v i s h i k 7 ，8 】引进了核和核截面的概念，同时也给出了估计核 截面h a u s d o r f f 维数的一种基本方法 自治系统不依赖于初始状态，而依赖于发生的时间段，非自治系统则对初始状态有很 强的依赖性，但是许多性质是对自治系统的延伸和发展 定义1 4 5 设日是一个b a n a c h 空间，u = u ( t ，7 - ；咖) 是相空间日中的一个元素，满足初 5 第一章前言 上海师范大学硕士学位论文 始时间1 的值为u o h ，如果满足： ( 1 ) u ( r ，丁；u o ) = u o ， ( 2 ) u ( t ，s ；u ( s ，丁；) ) = 缸 + s ，7 - ；如) ， 则称 u ( t ，r ；伽) ) 是一个非自治系统 考虑一个非自治发展方程 j 掣= f ( u ( 亡) ，t ) ， ( 1 4 2 ) 【让i 衙= 珏r 如果( 1 4 2 ) 的解存在，其所有解构成一个非自治系统 根据非自治系统的特点，我们引入过程( p r o c e s s ) 的概念，它是半群概念的发展和延伸 定义1 4 6 过程设e 是一个b a n a c h 空间， u ( t ，r ) ，t r ，r 珊是一个映e 到自身的 含两个参数的算子族，如果满足： ( 1 ) u ( r ，r ) = i ， ( 2 ) u ( t ，8 ) u ( 8 ，7 - ) = u ( t ，r ) ，v t s r ，r r ， 则称 ( t ，丁) ，t l 丁r ) 是e 上的一个过程 有了过程的定义，定义( 1 4 5 ) 中的u ( t ，7 ；) ，通常写成u ( t ，丁；u o ) = u ( t ，下) 锄 定义1 4 7 过程的吸收集若岛是e 中的一个有界集，对于计r ，任意有界 集bce ，存在t o = t o ( r ，b ) ，使得当t t o ( 7 ，b ) 时，有u ( t + 7 ，r ) b b o ，则称玩为 过程 ( t ，7 ) ) 的一个有界吸收集 一个集合pce 被称为过程u ( t ，r ) 的一个一致吸引集当且仅当对任意有界集bc e ，有 s u p d i s t m ( u ( t + a - , r ) b ，p ) _ o ，( t _ o o ) 1 r 定义1 4 8 一致渐近紧设e 是一个b a n a c h 空间，如果过程 u ( t ，r ) ) 在e 中具有一个紧 的一致吸引集，则称该过程在e 中是一致渐近紧的 若映射u ( t ，7 ) ：e e 是连续的，则称过程【u ( t ，7 ) ) 是连续的 定义1 4 9 核与核截面过程 矽( t ，7 ) ) 的核是m u ( t ，7 ) ) 的所有有界完全轨道构成： k = u ( ) it ( ) = u ( t ，丁) 坼，v t l 下r ，i l 让( s ) i i e 瓯，s r ) ， 在时刻s r 处的核截面：k ( 8 ) = _ 【u ( s ) iu ( ) k ) 定理1 4 3 核截面存在性定理设e 是一个b a n a c h 空间， u c t ，7 ) ) 是e 中一个连续且一 致渐近紧的过程，尸ce 是过程 u ( 亡，7 ) ) 的一个紧的一致吸引集，那么过程 u ( t ，7 ) ) 的 核k 是非空的，每个核截面k ( s ) ，s r 都是紧的，且k ( s ) p 附注1 4 1 如果过程 汐( t ，7 i ) ) 是由半群 s ( t ) ，t o 产生的，吕p u ( t ，r ) = u ( t l0 ) = s ( t 一丁) ，k i t 丁，1 r ，那么，核k 是由这个半群的所有有界完全轨道u ( s ) ，s r 所构成 的，其中s ( t ) u ( s ) = u ( 8 + t ) ，v t s ，s r 在这种情形中，核截面k ( s ) 不依赖于s ，那 6 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 么k ( s ) = k ( o ) 如果半群还满足连续的，渐近紧的条件，那么k ( o ) 与半群 s ( ) ，t o ) 的 整体吸引子a 是一致的在一般过程 u c t ，7 - ) ) 的情形中，核截面k ( s ) 依赖于s r 1 5 函数空间与不等式 下面介绍本文要用到的函数空间和一些不等式，可以参见文献 2 4 ，3 7 _ 4 0 】等 定义1 5 1 0 连续的实函数空间c ( a ) c ( q ) 表示在有界开区域q 上的连续的实函数空间，c ( q ) 上的范数定义如下： 0ui i o = i lu 敝n ) = s u plu ( z ) i z q 空间c 七( q ) ，k n 是由q 上的七次连续可微函数的全体组成的，其上的范数定义如下： 心i i c - = l l 札l i c t ( n ) = m a x l l 俨ul i c ( n ) lo t z 军，io ti 后) ， 其中，多重指标q = ( o q ，o r 2 ，o t n ) ，( o q z + ) ， iqi = q 1 + + q n ，矿= 沪1 沪2 沪“ 定义1 5 1 1 可积实函数空间妒( q ) ( 1 p 0 0 ) 护( q ) ( 1 p 。) 表示使如下的范数是有限的q 上的可测函数的全体， oul | 0 ，p = ouil l , = ( _ iu ( x ) i p 如) m ，2 l ( q ) 表示q 上的本性有界函数的全体，其范数为 u i i o ，= i i 乱i - - - - - e 8 8s u p iu ( x ) l lz q ) 定义1 5 1 2s o b o l e v 空间w 七p ( q ) ，忌z + ，1 p o o s o b o l e v 空间w 七p ( q ) ，k z + ，1 p 的范数定义如下： u 叫n ) - ( i l 沪乱( z ) 忆) 1 加 i a l k 如果p = 2 ，则这个s o b o l e v ：空i f i 就是h i l b e r t 空间日七( q ) ，即就是日知( q ) = w k , 2 ( q ) ， 的内积定义为 7 ( 1 5 3 ) 且日七( q ) 第一章前言 上海师范大学硕士学位论文 ( u ，口) = c 铲u ( x ) i ) a v ( x ) d x 1 函j n 空间w k 护( q ) 就是c 七( q ) 按范数( 1 5 3 ) 的完备化皤( q ) ，w o k , p ( q ) 分别表 示卵( q ) 在h 七( q ) ，w 七p ( q ) 中的完备化 日- k ( q ) 表示空间璐( q ) 的对偶，范数定义为 忆l - k - s u p 黜lt ，磁( q 加o ) 定理1 5 4s o b o l e v 嵌入定理让1 0 ( 1 6 5 ) i 牡( z ，o ) = 铭o ( z ) ，锃t ( z ，0 ) = 牡l ( z ) ，z q 证明了该系统所确定的解半群是渐近紧的，得到它的全局吸引子的存在性 第三章，考虑如下的强阻尼半线性波动方程： ， l 地t 一口地一u + ，( u ) = g ，z q ，t 0 牡( 2 ，右) | 善鲫= 0 ，t 0 ， ( 1 6 6 ) iu ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，魄( z ，0 ) = t l ( z ) ，z q ， 在非线性项，( u ) 具有临界增长指数时全局吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界估计，运用全局 吸引子在高正则空间范数下的有界性，改进了非临界增长指数时已有的上界估计，并指 出该估计也是临界增长指数时的全局吸引子的h a u s d o f f f 窒e 数的上界 第四章，考虑阻尼的非自治波动方程： ， i 锄t q 盹一“+ ，( u ) = 9 ( z ，t ) ，z q ，t 7 ，7 r u ( z ，0 1 z a q = 0 ，t 7 ， ( 1 6 7 ) iu ( z ，丁) = ( z ) ，毗( z ，7 ) = t , 1 r ( z ) ，z q ， 在非线性项，( u ) 具有临界增长指数时，利用该系统具有渐近正则解，从而得到该系统的 核截面也是渐近正则的，改进了核截面的h a u s d o f f f 宝e 数已有上界估计 1 0 上海师范大学硕士学位论文 第二章具有临界增长指数的强阻尼波动方程的全局吸引子 第二章具有临界增长指数的强阻尼波动方程的全 局吸引子 2 1 准备工作 设q 是r 3 中的一个有界开子集，且边界a q 充分光滑，考虑下面具有临界增长指数的 强阻尼波动方程的初边值问题： i 也t + h ( u t ) 一q 饥一a u + - 厂( t 上) = 9 ) ，z q ，亡 0 u ( x ，t ) l 。a n = 0 ，亡 0 ( 2 1 1 ) i 让( z ，0 ) = u o ( x ) ，啦( z ，0 ) = t l ( z ) ，z q 其中u = u ( x ，亡) 是q 0 ，+ o 。) 上的一个实值函数，口 0 称为强阻尼系数，h c 1 ( r ；r ) ，g ( x ) l 2 ( q ) ，非线性项，c 1 ( r ；r ) 具有临界增长指数，且，( o ) = 0 设c ( u ) = 片f ( r ) d r ，设函数，g ，危满足如下条件： 门，。、 ( 五h ) 华mi 他，= 兰：笋0 ，v u r i 。| + i u 。 ( 凰) 存在常数c 1 0 ，使得z j mi n f u f ( u ) - - 。c l g ( ? 2 , ) 0 ，讹r 1 u i + 0 0 u 一 ( 日3 ) 存在常数c 2 0 ，使得i ，7 ( u ) l c 2 ( 1 + i u l p ) ，0 p 4 ，帆r ( 凰) h ( o ) = 0 ，0 0 ，存在t = t ( b o ，e ) 和如c ( b ) ，使得对任意的z ，y 岛，有 l is ( t ) x s ( t ) yl i + 如p ，y ) ， ( 2 2 2 ) 则_ s ( 亡) ) t 0 是渐近紧的 证明：设 z n ) 器1 是x 中的一个有界序列，t n 0 满足当n _ 0 0 时，t n _ 0 0 ，我们 只需证 s ( t n ) z 住) 袅1 在x 中是列紧的最p - i 下面通过对角线法，证明| 【s ( t n ) z 竹) 黯1 有一个c a u c h y 子列 设m 0 ，当m o o 时，一0 由( 2 2 2 ) 知，对1 0 ，存在丑= 五( e 1 ) ，1 c ( 风) 使得对任意z ，y b o ，有 0s ( 丑) z s ( 正) yi l e 1 + 1 ( z ，) ， 对固定的丑，k 0 0 ，假设t n 五，使得s ( k 一五) 乓s o ，n 设鲰= s 一五) z n ，由( 2 2 3 ) 得 ( 2 2 3 ) 0s ( t n ) z n s ( t m ) 0 = i is ( 五) s ( “一五) 一s ( 噩) s ( k 一正) z mi i ( 2 2 4 ) = 0s ( 互) 蜘一s ( 丑) 0 e 1 + 1 ( 蜘，) 由c ( b o ) 的定义和多1 c ( s o ) 可知，存在 ) 甚1 的一个子序列 站。) 篷1 ，使得 鼻m!im咖1(蜊，嘏)鲁c - 0 0 , v - - - c k ) 1。 z 1 2 ( 2 2 5 ) 圭海师范大学硕士学位论文第二章具有临界增长指数的强阻尼波动方程的全局吸引子 l i r a 则s u p i is ( 蛾p ) 一s ( 亡婴) z 辨i i 1 i r as u p l i m s u pi i s ( k ) z ) 押一s ( 、t 州( 1 h ，x 川o ) i i i c o op e n t - - o o 。 + 1 i r as u p l i m s u pi i s ( 婴) z 婴一s ( 壤) 蝎i i 。- - b c ol- - - o o 15 自+ 走l 。i r a 口s u p l i m 咖e n i - * o o1 ( 站p ，蛾) + l + k z - i - m o o l z - t 仇o o 1 ( 螂! 靖) ，矗。p 。 一。 结合( 2 2 4 1 ( 2 2 5 ) 得 恕磐i is ( ) z 一s ( 螂) 。辨i i _ 0 ，对e 中任意有界集b 。存在死( b ) 0 ，使得 对妒( 0 ) b 系统( 2 3 。7 ) 的解妒( ) = ( 让( 善) ，钞( t ) ) r 满足： 1 1 妒( t ) i l p ，e = ( pi iu ( t ) 0 ；+ i iv ( t ) 1 1 2 ) r o ，v _ t t o ( s ) 0 证明：设g ( t ) = 厶g ( u ) d x ，用垆= ( u ，u ) r 与方程( 2 3 7 ) 两边作内积( ，) p ，e ， 三爰( 1 i 妒。三，e + 2 _ ( u ) ) + ( 人( 妒) ，妒) p e + e ( ，( t ) ， ) = ( 夕( z