（光学专业论文）注入锁定理论的延拓及其动态行为分析.pdf

叫川 ，坝i ：学位论史 注入锁定理论的延拓及其动态行为分析 专业：光学 研究生：冯振中导师：陈建国 摘要 从传统意义上讲，以半导体激光器为对象的注入锁定理论包括主一从式 注入和外腔注入( 自注入) 两种，对它们的研究是从在上世纪七f 年代丌始的。 就应用而言，它们已广泛应用于提高光束质量，提高光功率，改变光束特性等 方面；近年来，建立在主、从式注入系统混沌基础上的保密通信引起了人们极 太韵关注。 对注入锁定的研究已经宽泛的涉及了激光器锁定的静惫、动态、噪声等 诸多特挣，研究深入而富有成果。本文所研究的交叉注入系统是从外腔l d a 锁相实践中提取出来的，它是一个非常新的课题，各方而的研究还远4 i 及注入 锁定。 最简单的交叉注入系统由两个激光器或者l d a 的两个发光单元组成， 通过某种装置( 如直接注入或者外腔反射镜注入等) 使两个激光器相互作用， 经过复杂的动力学过程，两激光器最后进入锁定、或者陷入周期性、混沌等状 态。目前，所有用来描述这类系统的模型都含有六个方程。毫无疑问，该系统 比传统的只需要三个方程来描述的注入锁定系统复杂很多。 求解这个由六个方程构成的方程组的稳态解析解是比较困难的，目前还 没有相关报道，在两个激光器的自由振荡频率相同的情况下，我们找到了一组 描述系统的方程组的稳态解，求得系统稳定锁定的范围。研究表明，系统稳定 锁定的范围比主一从式锁定系统大了将近一倍，锁定后两激光器的频率可能会 发生移动。 我们使用四阶龙格一库塔方法分析了系统的动力学行为，通过分析光强 心1 1 人学删i 学位论义 随时i 喇的变化、激光器输出光谱及归一化光强与载流子数密度组成的干h 矧来j 4 j 1 i 印证! 确定动态行为的类型，分析得出系统随着耦合系数的幅值和棚角的取值 一；同 | ；现混沌、周期性、分佾等非线性动力学现象，系统是通过- - 啦 1 1 - “1 夫分翁道 路走向溉沌的，此时，两激光器并无延迟等效应。周期振荡激光器的光潜不仁t j 现了其它文献描述的现象，而且还出现了些由某种非线性参量过程产生的 新现象。 根据现有的实验条件，我们还设计了实现交叉注入锁定初步的实验装置。 关键词：交叉i i - _ 入模型，速率方程组，非线性动力学，交义注入实验 l l 叫川人擘坳i 学位论文 t h ee x t e n s i o no fi n j e c t i o n l o c k i n gt h e o r ya n di t s d y n a m i c a lb e h a v i o ra n a l y s i s m a j o r ：o p t i c s p o s t g r a d u a t e ：f e n gz b e n z h o n gs u p e r v i s o r ：c h e nj i a n g u o a b s t r a c t t r a d i t i o n a l l ys p e a k i n g ，i n j e c t i o nl o c k i n gt h e o r yf o c u s i n go ns e m i c o n d u c t o r l a s e r s ，i n c l u d i n gm a s t e r - s l a v ea n de x t e r n a l - e a v i t yl o c k i n g ，h a sb e e ns t u d i e de v e r s i n c e1 9 7 0 s t h e yh a v eb e e nu s e dt oi m p r o v eb e a m q u a l i t y , r a i s eo u t p u tp o w e r , a n d c h a n g eb e a mc h a r a c t e r so fl a s e r se t c i nr e c e n ty e a r se n c i p h e r e dc o m m u n i c a t i o n s b a s e do nm a s t e r - s l a v ei n j e c t i o nh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n a tp r e s e n t ，s t u d i e so ni n j e c t i o nl o c k i n gh a v ec o v e r e dm a n ys t a t i o n a r y , d y n a m i c sa n dn o i s ep r o p e r t i e so fl a s e r s t h e r eh a sb e e nm u c hi n - d e p t hp r o g r e s s m a d ei nt h ef i e l d 1 1 1 es t u d yo nc r o s s - 两e c t i o nl o c k i n gi nt h i st h e s i si se x t r a c t e d f r o mt h ee x p e r i m e n to ne x t e r n a lp h a s e - l o c k i n go fl d a t h i si sav e r yn e wt o p i c a n dr e l e v a n ts t u d i e sa r ef a rl e s st h a ni n j e c t i o n l o c k i n g t h es i m p l e s tc r o s s i n j e c t i o nl o c k i n gs y s t e mc o m p r i s e so ft w ol a s e r so rt w o u n i t so fl d a ，t h e yi n t e r a c tw i t he a c ho t h e rv i as o m em e c h a n i s ms u c ha sd i r e c t i n j e c t i n go re x t e r n a l - r e f l e c t i n gi n j e e t i o n a f t e rac o m p l e xd y n a m i cp r o c e s s ，t h et w o l a s e r sc o m ei n t os t a t e so fl o c k i n gp e r i o d i co rc h a o s c u r r e n t l y , a l lm o d e l s d e s c r i b i n gt h i ss y s t e mc o n t a i ns i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti sn od o u b tt h a tt h a t s y s t e mi sm u c hm o r ec o m p l i c a t et h a ni n j e e t i o nl o c k i n gd e p i c t e db yt h r e ee q u a t i o n s t oa c q u i r ea n a l y t i c a ls o l u t i o n st ot h es i xe q u a t i o n si sah a r dt a s ka n dt h e r ei s n or e p o r t e dr e s u l tt i l ln o w w ef i n das e to fs t e a d ys o l u t i o n sw h e nt h et w ol a s e r s h a v et h es a m ef r e e - r u n n i n gf r e q u e n c yb e f o r el o c k i n ga n do b t a i nt h es y s t e ml o c k i n g r a n g e 1 1 1 es t u d ys h o w st h a tt h es t e a d yl o c k i n gr a n g ei sa p p r o x i m a t e l yt w i c et h a n t h a to fm a s t e r - s l a v el o c k i n gs y s t e ma n dt h ef r e q u e n c yo ft h el o c k e dl a s e r sm a y s h i f t w eu s ef o u r - o r d e rr u n g e k u t t at oa n a l y z et h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h e s y s t e m b ys t u d y i n gt h ev a r i a t i o no fo p t i c a li n t e n s i t yv s t i m e ，o u t p u ts p e c t r aa n d n i j 1 1 人学蟛ii 擘位论文 p h a s em a po f n o m i n a li n t e n s i t ya n dc a r r i e rd e n s i t y , t h ed y n a m i c a lb e h a v i o rc a nb e c o n f i r m e d w i t hd i f f e r e n tc o u p l i n gm a g m t u d e sa n dp h a s e s ，t h es y s t e ms h o w ss o m e n o n l i n e a rd y n a m i c ss u c ha sc h a o s p e r i o da n db i f u r c a t i o n t h es y s t e me x p e r i e n c e s ah o p fb i f u r c a t i o nr o u t et oc h a o s ，a n dt h ec h a o s h a sn ol a g t h ep e r i o d i c a i o s c i l l a t o r so u t p u ts p e c t r u mn o to n l yp r e s e n t ss o m er e p o r t e dp h e n o m e n a , b u ta l s o h a ss o m en e wf e a t u r e sd u et oc e r t a i nn o n l i n e a rp a r a m e t e rp r o c e s s w i t hc u r r e n te x p e r i m e n tf a c i l i t i e s , w ep r e l i m i n a r i l yd e s i g nas y s t e mt o r e a l i z ec r o s s i n j e c t i o nl o c k i n g k e yw o r d s ：c r o s s - i n j e c t i o nm o d e l ，r a t ee q u a t i o n s ，n o n l i n e a re l y n a m i c s ， c r o s s - i n j e c t i o ne x p e r i m e n t i v 川人学坝i 学位论文 第一章绪论 1 i半导体激光器历史 1 9 5 8 年t o w n e s 和s c h a w l a w 提出了利用丌放式光谐振腔来实现激光器的 构想1 1 1 。在此理论的指导下，发明了红宝石激光器【2 i 和h e n e 激光器【3 l 。1 9 6 1 年巴索夫( n gb a s o v ) 等人提出了将载流子注入半导体p - n 结中实现注入 激光器的理论1 4 j ，并且论证了在某些高度简并的p - n 结中实现集居数反转从 而产生激光的可能性，同年伯纳德( m ga b e r n a r d ) 与杜拉福格( g d u r a f f o u r g ) 利用准费米能级概念推导出实现集居数反转的条件1 5 1 。基于上述 的理论基础，1 9 6 2 年四个实验室 6 - 9 1 几乎同时报道了研制出g a a s 同质结半导 体激光器，但此时的阂值电流极高，1 9 6 3 有人提出了异质结结构i l 叫”，它可 分为单异质结和双异质结结构，1 9 6 9 年出现了室温运转的单异质结脉冲半导 体激光器【1 2 - 1 3 ，这种结构的激光器的阀值电流比同质结激光器降低了一个数量 级。1 9 7 0 年，室温下可连续运行的双异质结激光器也研制成功了l l “6 1 ，其阈 值电流密度比单异质结又下降了很多倍，在3 0 0 k 下约为2 3 x 1 0 2a c m2 l ”1 此时的有源层厚度也降到了一o 1 l z m ，它包括折射率导引型和增益导引型晶 体外延生长的新工艺，包括分子束外延( m b e ) 金属有机化学气相沉积 ( m o c v d ) 和化学束外延( c b e ) 等不断取得长足的进步，这也直接推动了 半导体激光器的迅猛发展：室温下，半导体激光器的连续输出功率已由毫瓦级 发展到目i ； 的瓦级，工作波长由最初的o 8 o 9 z m 向长波长和短波长两个方 向发展，目前o 5 7 p r o 到1 6 z m 波长范围都有室温连续工作的、功率较大的激 光器。通过改变有源层和包层的材料，出现了d f b ( 分御反馈布拉格) 激光 器，d b r ( 分布布拉格) 激光器，以及量子阱、多量子阱激光器，这些激光 器通过各种工艺实现单频、窄线宽、波长可调。 半导体激光器体积小、寿命长，通常又是电流泵浦，并且工作电压和电 i ，l l 川人学颤卜学位论文 流与集成电路是兼容的，所以它可以直接与电子产品集成，目前町以获得商达 几卜g h z 的岛速调制的激光，这使它在激光通信、光存储、光陀螺、光雷达 筲方面得到广泛的应用i 刀。 1 2半导体激光器列阵( l d a ) 简介 受半导体激光器的腔面损伤阈值的限制，单管的半导体激光器最高功率 只能达到瓦级f i ”，很明显，通过叠加单管的办法可以提高整个的输出功率。 多个规格一致的半导体激光器等日j 距的排列在一起，形成周期性结构就形成了 l d a ，多个l d a 进行二维堆叠就构成了面阵。对l d a 的研究足比较早的 1 9 - 2 1 l ， 进入9 0 年代后，市场对l d a 在激光加工、激光泵浦等方面的广泛需求使高 功率l d a 逐渐成为研究的热点1 2 2 - 2 3 1 ，目前，l d a 的输出功率已经可以达到几 百瓦以上的连续输出1 2 3 1 ，二维面阵的输出功率已经达到千瓦量级，我国在高 功率二级管激光器件的制造方面已经接近世界水平了，可以生产出4 0 0 w 和 5 k w 的准连续二维面阵1 2 4 l 。为了实现更高功率的要求，人们把更多的l d a 堆叠在一起，在2 0 0 1 年美国已经制作出输出功率达到1 0 0 k w 的面阵。 1 3半导体激光器的注入锁定 从光场满足的麦克斯韦方程组出发，考虑激光器单模运行，忽略载流子 扩散及自发辐射，假设腔内光场处处相等( 即平均场近似) ，得出描述半导体 激光器的速率方程【2 5 l ： ，jl 三= 寺( 1 一i c t ) g c n 一j ) 爿 ( 1 1 ) i d n = 一一【“+ g ( ，一心) l p ( 1 2 ) 其中p 是光子数，( 户) 乃方毛砒- - i a i ，a 为电场的缓变量，方缈为光子能 量；岛为真空介电常数；为模折射率；以为群折射率。乙为光子寿命，实 际上，它与激光器的损耗密切相关，z 为载流子寿命，它与载流子数有大的联 系，五= 4 ，+ b 胆+ c h 2 其中4 表征无辐射复合，口为辐射复合系数，c 表征 俄歇复合过程，它主要是在长波长情形时考虑。而在此方程组中，假设乙正均 为常数，g ，为微分增益，虬为阈值载流子数，口是谱线增宽因子，q 是电子 电量，d 是有源层厚度。( 1 1 ) 可以分离实部虚部即可以分解为关于电场振幅和 p q 川人学嘲f 学位论文 付相的两个方程，在这三个方程中，描述位相的方程与另外两个方程足解耦的， 即另外两个方程的求解不依赖于位相。 在两个激光器例加一个隔离器，保证光的单向传输就可以形成圭从式注 入锁定系统了，理论上在式( 1 1 ) 中加入注入项：f ，| 。只e x p ( - i v t ) 2 s i ( 其中 ，= 。一是从激光器频率与主激光器频率国。的频率之差0 是光在从激 光腔内的往返时f h j ) ，与( 1 2 ) 联立就可以得到描述主、从式注入锁定的方程组 了 主从式注入常应用在用一束功率较小、但窄线宽、单模运转、频率稳定 的激光器束控制一个高功率和动态调制激光器( 往往线宽较宽、频率不稳) 的 光束质量它与可达到同样目的的光放大技术相比，具有功率转换效率高、装 胃较小等优点，注入锁定还可以用于控制激光器模式的相位特性或空删特性， 如用一低功率的锁模激光器注入调q 激光器中就可以获得极高的峰值功率。 主从式锁定在l d a 锁相中也有应用，不过它对l d a 有源层的尺寸和注入角 度都有定的要求，整个光学系统需要有较高的调节精度。当然，在实际应用 中，注入也可能会引起某些有害影响，要尽量避免。茹 在激光器外加反射镜或者光栅就可以构成外腔式或自注入的激光系统 了，理论上，在式( 1 1 ) 中加自注入项( f 一) e ) 【p ( 记v p ) ( 为延迟时日j ， r 。为反馈率) ，与( 1 2 ) 联立就可以得到描述自注入锁定的方程组了 ； 自注入锁定方式具有装置简单，结构紧凑、设备廉价等优点，它能提供 单纵模、窄光谱、频率稳定的输出光，并且光波长可调节，但是此方式对光腔 长度等因素非常敏感，所以它对装置的调节精度要求较高。 主从注入及自注入方式中，光子数p 、载流子数n 、光的相位为系统的 三个动，奈变量，它们描述了非线性系统的动态过程，系统出现了一些新的非线 性动力学现象，使它们成为多年的研究热点 2 5 - 3 s 1 1 4本文研究的目的和意义 我们实验中采用的外腔l d a 锁相系统具有以下特点：由互相独立的激 光器列阵发光单元组成，通过某种装置( 外腔反射镜) 发生交叉耦合，最终各 单元波长一致、位相锁定这就是所谓的l d a 外腔锁相，它是获得相干合束 的一个重要手段，对每个激光器而言，它自身的运行特性受外界注入的影响而 川人学域卜学位论 改变，时，此改变又不u 丁避免的影响到其它激光器。这种存束育往、双 向影响的方式比以前的注入锁定方式( 我们称为单向注入) 方式钉更多的 自由度，锁相过程也更加复杂。从主、从式，自注入到本文要研究的交叉式注 入，反映了人们对光与物质相互作用的认识不断深入的过程。 仪仪考察交叉江入系统的稳定锁定的状况，就有很多问题需要刚答：如 果两激光器的自由振荡频率相同时，它们锁定后的频率是行一定仍为该频率 呢? 如果两激光器频率不同时，系统锁定后的频率是在两激光器频率之间还是 在两激光器频率之外昵? 是接近大的频率还是接近小的频率呢? 。对半导体 激光器而言，振荡频率改变的物理起因是：由于注入光子消耗了载流子，使得 腔内载流子浓度下降，引起激光器介质的增益以及折射率也发生变化( 它们的 关系受潜线增宽因子制约) 1 3 9 1 ，从激光器谐振条件出发，则激光器则会发生 频移或者跳模等。 使用三个方程，三个变量就可以描述主从式和自注入式的激光系统1 2 ”， 通过对它们动态行为分析，已发现了四波混频、分岔、极限环、双稳等复杂的 非线性动力学现象。而对于交又注入系统，包括我们从实际外腔锁相l d a 系 统中归纳出来的模型，在最简单的两激光器系统中就需要使用六个方程、六个 变量所以它比之前的系统更加复杂，会有更加丰富的非线性动力学现象。也 正因为此，相信它在未柬的混沌通信等领域会有较大的应用前景。目前的交叉 注入的文献已经显示，它在压窄线宽及提高s m s r 3 5 - 3 8 1 等方面表现出较好的效 果 本文旨在建立一个描述交叉注入激光系统的模型，使用数值模拟的方式 了解系统参数对系统动态行为的影响，寻找可能出现的非线性动力学现象。同 时，设计初步的实验装置。 1 5本文的主要工作 在本文中我们采用v a nt a r t w i j k 的表述方式，建立了描述半导体激光器 交叉注入锁定的速率方程组，求解了该模型在特殊情形下的稳态解，分析了耦 合系数对锁定后频移的影响，利用方程研究了系统的动态行为，并与其它模型 的研究结果进行比较。 各部分安排如下： l l t lj i i 人学碗卜肇位论文 第一章为本文的绪论部分，主要介绍了半导体激光器、l d a 的发展历史。引 入了交叉注入锁定。 第二章介绍了 e 线性动力学的基础知识，包括定点( 参考念) 的稳定性分析， 定点的分类，常见的非线性动力学现象。 第三章总结叫顾了注入锁定( 从主，从式注入和白注入) 的研究情况，包括稳 定范围，动力学行为等，及本实验室对l d a 锁相的研究。 第四章求得交叉注入系统在特殊情形下的稳态解，随着耦合系数的幅值和相角 的变化，研究了系统状态的变化与国外的研究结果进行了比较。 最后我们对本文的主要工作及研究结果进行了总结。 参考文献 【l l l o e h v l o w a n dc i - ! l o w n e s , 。i n f r a r e da n do p t i c a lm m p h y s r e v ，v 0 1 11 2 p9 4 0 , 1 9 5 8 f 2 l ti - tm a l m a nn a t u r ev o ! 1 8 7 p4 9 3 ，1 9 6 0 【3 1j a v a n ，a wrb e n n e t t ，j l dr i t e r r i o t p h y r e v l e t t 矗1 0 6 1 9 6 1 【4 】n g l 3 a s o v 0 n k r o k h l n a n d y u m p o l 】o v “p r o d u c t i o no f n e g a t i v e t e m p e r a t u r e 吼a l 髓i np - n j t l n c t l o l l $ o f d e g e n e r a t es 锄i n d u c t o j e t p c 0 1 柏p1 3 2 0 , 1 9 6 1 1 5 】m g a b e r n a r da n d g d n r a f f o u r g 。n y s t a t u s s o l i d i ，v 0 1 1 ，1 6 9 9 ( 1 9 6 1 ) 【6 】瓦n h a l l ，g i e f e t a n c r , d 叠1 c o h e r e n t l i g h t m i s s i o n f r o m ( 3 a , 舡j u n e t i o n p h y r o y l e t t 1 9 6 2 。1 1 ( i ) 川m i ，n a t h a n , 砒pd u m k e , e 1 i i s t i m u l a t e dm i s s i o no fr a d i a t i o nf r o mg a a si nj u n c t i o n a p p l p l a y s l 嘣1 9 6 2 i i ( 1 ) 嗍n i t o l o y n k , j r s eb c v a e g c a c o h 饿 n t ( b i s i b l e ) l i g l ne m i s s i o nf r o mg a s i p i ) j u n c t i o n , 4 p p l 户帆 l e t t 。1 9 6 2 1 2 ( 1 5 ) 1 9 】t m o u i s t , 凡h r e d l k e r , kj k e y , e t , 曲。s c m i c o n d u c t o r 嗍o f g n a s a p p l i h y $ ，1 9 6 2 ，1 2 ( 1 ) 【1 0 lh k r o m c rp r o c i e e e5 1 。e1 7 8 2 , 1 9 6 3 l i i 】z h l a l f e r o v r e k a z a t i n o v s e m i c o n d u c t o r l a s h w i t h e l e c t r i c a l p u m p i n r t l s s r p a t e n t 8 1 7 3 f 1 2 】h k r e s s e l , 1 - 1 n e l ：s o n c l o s er o n l i n e l l a c l l tg a n i ma m m i d cp - n j t m e t i o nl a s e r v i t hr e d u c e do p t i c a ll o s s 甜 r o o mt c m p c 嘣u r r c ar e v , v 0 1 3 0 , e l 乇1 9 6 9 【1 3 l1 1 - i z t y a s h i , mb t s h , a n dp 砒f o y , ml o w - a m e b o i di o o m - t c m 陴 a m r 昀e c t i o nl a s e r , i e e ej q u a n t u me l e c t v 0 1 5 。p 2 1 1 ，1 9 6 9 【1 4 il l t a y a s h i m b i , i a a , 1 3 w f o y , d a i a i , p 1 p h y s 1 x t tv 0 1 1 7 , p 1 0 9 1 9 7 0 s ! ! ! ! ! 查兰竺! ! ：竺些堡兰 1 1 5 l z hi a l f e m v o vm , m d r e e v o d zg a r b 呦k d a ls o v 孙y s s e m t d o n d v o l4 p 1 5 7 3 1 9 7 1 1 1 6 lmbp a m s h i 1 l a y a s h ta n dss u m s k l ，a p p l 弛”l e u v o l1 6 p 3 2 6 ( 1 9 7 0 ) 1 1 7 1 刷饷吼t 而以智阶倜蝾陈瘃骅编著激光棘埋( 第五版) 2 0 0 4 。1 8 ：亡i 光，罗山撒光一扳管线阼和，u 阼的擞限输j i i 参数，激光，光i u 了学边艘，1 9 9 8 4 ，1 9 、2 2 1 1 9 jd e a c k l e y , rw he n g e l m a n n “h , g h p o w e rl e a k y - m o d em u l u p l e - s l r l p cl a s e r ”a p p l p h y s l c u 1 9 8 i 3 9 , 2 7 - 2 8 1 2 0 le k a p o n cl m d s e y j k a t zc ti , i c o u p l i n gm e c h a n i s mo f g a i n - g u i d e di n t e g r a t e ds c m l c o n d u c l o rl a s e r a r r a y g ? a p p lp h y s l e t t 1 9 8 4 。4 4 ( 4 k3 8 9 - 3 9 1 【2 l j tl p a n h ws t r e i f e r rdb u r n h a m o b s e r v a t i o n o f s u p e r m o d e s i nap h a s e - l o c k e dd i o d e l a s e ra r r a y a p p lp h y s l e t t 1 9 8 4 4 5 ( 3 k2 1 7 2 1 9 1 2 2 】c h a r t k e , l k o r l e b a c k l i ne t 砌“h i g l ir e l m b l e4 0w - e w - l n g a a i a s g a a s8 0 8n ml a s e r 埘。s p i e 1 9 9 9 , 3 4 6 2 4 7 5 3 1 2 3 j b r a n n s t e m m m k t k u l l a , rk i e f e r , c ta l “2 6 7we wa l g a a s g a l n a sd i o d el a s e r b a r s ”s p i e 2 0 0 0 , 3 9 4 5 1 7 - 2 2 1 2 4 ekm c “d , o d el a s e rs o l v es o l d e r m g hi n d u s t r i a ll a s e rr e v 1 9 9 8 。1 3 ( 2 ) , 1 6 - 1 8 1 2 5 lg u i d oh m 。v a l lt a r c w i j k g o v i n dp a g r a w a l p r o g r e s si nq u a n t u me l e c t r o m c s 1 9 9 8 2 2 4 3 1 2 2 【2 6 】1 3 h mv t a r t w i j k 。d l e n s t r a q u a n t u ms e m i c l a s s o p t 7 ( 1 9 9 5 ) 8 7 【2 7 1 sb l i n ，c o u l g n a r d 。pb e s n a r dna lc kp h ) ，s i q u e4 ( 2 0 0 3 ) 6 8 7 2 8 r u s s i im k u o z , r a n j i td p r a d h a n ，n a yt u n 。i e e e s e l e c t e dt o p i c s i n q u a n t u m e l e c o n i c s l1 ：3 ( 2 0 0 5 话7 8 1 2 9 1 b o t e zd ，m a w s llj ，p h a s e - l o c k e di a s e ra r r a y sr e v i s i t e d j ，i e e ec w c m l sa n dd e v i c e sm a g a z i n e 1 9 9 6 ，l2 ( 6 ) ：2 5 - 3 2 1 3 0 1 a p o l l o n o v vv d e r 曲a v i ns 1 k i s l o v vl e t a ls p a n a l p h a s e l o c k i n g o f l i n e a r a r r a y s o f 4a n d1 2 w j d 。哪咖s e m i c o n d u c t o r l a s e r d i o d e s i n a l l w 咖 i a ic n y 川( 函a n ：e l e c t r o n l 9 9 8 2 8 ( 3 知2 5 7 - 2 6 3 3 1 1 f e n gw h c r m e r s c h m i d ta ，e i c h l e rhj 。n a n o w - b o n d w i d t hh l g h - p o w e ro u t p u to f al a s e rd i o d ea r r a yw i t h as i m p l ee x t e r n a lc a v i t y l j o p tc o m m u n w a t z o n s 。2 0 0 3 ，2 1 8 ( 1 - 3 ) ：1 3 5 - 1 3 9 1 3 2 1 r o m a l i smv n a r r o w i n go fh i g hp o w e rd i o d el a s e ra r r a y su s i n gr e f l e c t i o nf e e d b a c kf r o ma ne t a l o n l j 4 p p le h yl e t t 2 0 0 0 7 7 ( 8 ) ：1 0 8 0 - 1 0 8 2 1 3 3 1g a ox z h e n gy ，k a nh c ta 1 e f f e c t i v es u p p r e s s i o no f b e a md i v e r g e n c ef o rah i g i l p o w e rl a s e rd i o d eb a r b y a ne x t e r n a l - c a v i t y t e c h n i q u e j 0 印切2 0 0 4 。2 9 1 4 ) 3 6 1 - 3 6 3 1 3 4 1 陆丹，严地勇。陈建国，等外腔锁相二极管激光列阵的超模【j 】强撤光与粒子柬，2 0 0 4 ，1 6 ( 9 ) s 1 1 1 9 1 1 2 2 | 3 5 1s n o d a , k k o j i m a , k k y u m a m u t u a l 埘e c t i o n - l o c k i n gp r o p e r t i e so fm o n o l i t h i c a n yi n t e g r a t e d - 6 - ! ! ! ! ! ! ! 叁兰竺! ：兰竺堡兰 s u r f a c c - c m i r m gm u l t i p l e - q u a n t u m - w e l ld i s t r i b u t e df e e d b a c kl a s e r s , i e e ej o u r n a lo q u a n t u me l e c t r o m c s 1 9 9 0 2 6 ( 1 1 ) ：1 8 8 3 一1 8 9 4 【3 6 il wl i o n m ”t y o s h m oc la 1 m u t u a l 岫c c t i o nl o c k i n go faf i b r el a s e ra n dad f bs e m t c o n d u c t o r i 【j l e t e c t r o m c s l e t t e r & 1 9 9 5 , 3 1 i i ) ：4 1 - 4 2 1 3 7 ig o n g - r ul i n , m u t u a li n j e c t i o nl o c k i n go f e r b i u m - d o p e df i b e rl a s e ra n daf i b c r - p g t a d c df a b r y - p e r o t t a s e td o d el j l ，印妇l e u e r s , 2 0 0 3 2 8 ( 1 4 ) ：1 2 0 3 1 2 0 5 1 3 8 1 g - r l i n p a l s hs p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so f r e g t l v cs e m i c o n d u c t o ro p t t c a la m p l i f i e rm u t u a l l y i n j e c t i o n l o c k 1 w a ha f a b r y - p e r o t l a s e r d m d c j , a p p l w d o p t w s , 2 0 0 4 a 3 ( i ) ：| 5 3 1 5 9 3 9 g o v m d p a g r a w a l n d o y k d u t t a s a m i c o n d u c m r l a s e n ( s e o n n d e d i t ；o n ) v a n n o s t r a n d r e i n h o l d - 7 伽川人学坝l 学位论文 第二章非线性动力学的部分基础知识 2 1 引言： 广义的动力学研究的对象是系统如何随时日j 变化通常，人们足用状态 变量( s t a t ev a r i a b l e s ) 来表征系统特征的，如粒子的坐标和动量，热力学的温 度或压强等，当这类状态变量随时间变化时也即系统处于非平衡念时，此时的 系统称为动力( 或动态) 系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 。动力学就是研究动力学系 统中状态变键如何随时日j 变化( 即系统的运动) 的学科。 描述动力学系统状态变量随时日】变化的方程称为动力学方程，过去的研 究一般基于线件的动力学方程，即方程中只有各状态变量及其各阶导数的线性 ( 一次) 项，线性方程的一个重要特点是它满足叠加定理即方程不同解的叠加 仍然是方程的解然而。自然界的许多现象都是用非线性方程束描述的，非线 性方程除极少数外，大都不存在解析解，从而很难用一些经典的方法来了解其 特性。随着计算机科学的发展，人们才可以求解一般非线性方程的数值解，这 使人们对非线性系统有了较深刻的认识。 2 2 动力学方程解的稳定性及李雅普若夫定理 动力学方程的解x ( f ) 代表系统的运动( 状态如何随时间变化) ，解的稳定 与否即表示系统运动的稳定与否定态解一般就表示平衡态，平衡态的稳定性 在实践中非常重要，并且它还决定着其邻域解( 运动) 的性质。 解的稳定性，即运动的稳定是指系统即使在某些不可避免的扰动下偏离 此解( 运动状态) ，它仍将自动返回此解所表示的运动状态，即系统可以长期 稳定地处于此运动状态或至少不会偏离此运动状态太远。反之，则说方程的解 是不稳定的，即指在不可避免的扰动下系统偏离此状态，不能返回。 对稳定性概念的更加准确的表达是李雅普若夫稳定性定义： ( 1 ) 设f = t o 时方程的解是x o ( t o ) ，另一受扰动偏离它的解“，0 ) 。 8 - p q 川人学颤l 学位论文 如对于任意小的数占 0 ，总有一小数刁( g ，o ) o 存在，使得当 x 0 表示矢量z 的模，即捌= ( 2 + 而2 + 一+ 矗2 ) 必。两矢量x 和j ，之差的模表示两矢量之问“距 离”： 肛一硼= “而- y 0 2 + ( 而一儿) 2 + 一+ ( 一只) 2 】尼，工，j ，r ” l x ( t o ) - x o ( t o ) , 7 必有 4 x ( o - x o ( t ) b 占，t o ， o ( 如果为负，方程乘以一l 即可) ，可构造这么一组行列式： l = q 妒睫 l a ma 0 ，= i o ；啦 l 吩吼 i 口l a 0 0 l q 口：口l l q 口吩 l 口74 呜 臣 口。 口2 口- 吼 口l 码 呜 00 a o 0 a 2 0 a 4 0 以 方程( 2 7 ) 的所有特征值都有负的实部( 即参考点是渐近稳定的) 的充分和 必要条件是上面的所有行列式都是正的。 2 3 3 定点的分类 可以根据特征值不同的取值对线性方程( 2 1 ) 的解和非线性方程的参考 点( 定点) 进行分类 ( 1 )如果特征根都是实的，而且符号相同，解将按指数形式变化，那 么称这个定点为结点( n o d e ) ，如果解逐渐增大丽远离定点，定点 为不稳定结点，反之，则为稳定结点 l引i钏吲刮到。 嘞吒 州川人掌碗f r 学位论文 ( 3 ) 如粜特征根为复数，其实部表示振荡的振幅，向其虚部则表示振 荡过程，此时称这个定点为焦点( f o c u s ) 或螺线极点( s p i r a lp o i n t ) ， 如果振幅按指数形式衰减，定点为稳定焦点，反之，则为不稳定 焦点。 如果特征值都足虚的，从而解表示的是等幅振荡，解在相平面的 轨线是一些闭曲线，此时的定点称为中心( c e n t e r ) ，由于中心邻 域的轨线足闭曲线而不趋向它，所以中心足李雅普若夫稳定的但 不是渐近稳定的