（应用数学专业论文）几个非线性方程的adomian近似解析解.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 a d o m i a n 分解方法由于其得到的解为级数形式，不仅具有很好的收敛 性，而且容易计算。因此该方法自上世纪8 0 年代被提出后被广泛运用于 线性和非线性微分方程的求解。该方法求解微分方程的基本思想是：首 先把求解的方程适当地分解为若干部分，再把方程的解分解为无穷个解 分量，然后产生与方程中的非线性项等价的特殊多项式，最后利用逆算 符技术由低阶解分量推出高阶解分量，从而得到方程的高精度逼近解甚 至精确解。 借助a d o m i a n 分解法的基本原理及方程解收敛速度快的特点，本文 应用a d o m i a n 的传统算法和新算法求解了广义五阶k d v 方程、2 n + i 阶k d v 方程和变系数m k d v 、k d v 方程的近似解析解，并进行数值检验，研究结 果进一步说明了a d o m i a n 分解法的优越性。尽管本文求解的是变系数非 线性方程的近似解，但由于此解逼近精确解，且得出的解没有改变原问 题的性质，因而更具实际意义。 关键词：a d o m i a n 分解法，a d o m i a n 多项式，高阶k d v 方程，变系数微分 方程，近似解析解 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t b e c a u s eo ft h es e r i e sf o r mo fs o l u t i o n so b t a i n e db yt h ea d o m i a n d e c o m p o s i t i o nm e t h o di sc o n v e r g e n c eq u i c k l ya n de a s yt oc a l c u l a t e ，t h e f o r e t h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di s w i d e l yu s e d t os o l v el i n e a ra n d n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss i n c e19 8 0 s t h ep r i n c i p l e so ft h em e t h o d s a r e ：f i r s t l y , t h es o l v e dn o n l i n e a re q u a t i o n sa r ed i v i d e di n t os e v e r a lp a r t s ； s e c o n d l y , t h es o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n sa r er e s o l v e di n t oi n f i n i t ec o m p o n e n t s ； t h i r d l y , t h ep a r t i c u l a rp o l y n o m i a l s ，w h i c ha r ee q u i v a l e n tt on o n l i n e a rp a n so f t h e e q u a t i o n s ，a r ec r e a t e d ；a n df i n a l l y , t h ec o m p o n e n t s a r e g r a d u a l l y c a l c u l a t e df r o ml o wo r d e rt oh i g ho r d e r s ot h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so r e x a c ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e d i nt h ep a p e lg e n e r a l i z e d5 t ho r d e rk d ve q u a t i o n ，2 + 1o r d e rk d v e q u a t i o n ，v a r i a b l ec o e f f i c i e n t sm k d va n dk d ve q u a t i o n sa r es o l v e du s i n gt h e a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ，a n dt h e a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n s a r e o b t a i n e d a sw e l la st h e s es o l u t i o n sa r et e s t e du s i n gc o n c r e t ev a l u e s t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h ea d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di sm o r es u i t a b l ef o r s o l v i n gv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a re q u a t i o n s i ti sa l s os h o w st h a tt h e a p p r o x i m a t es o l u t i o n so b t a i n e db yt h em e t h o da r ec a n n o tc h a n g eb a s i cf o r m o ft h eo r i g i n a le q u a t i o n s s ot h em e t h o dh a sm o r es i g n i f i c a n c ei np r a c t i c a l l y k e yw o r d s ：a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，h i g ho r d e rk d v - t y p e e q u t i o n ，v a r i a b l ec o e f f i c i e n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a d o m i a na p p r o x i m a t e a n a l y t i cs o l u t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。本人保证所呈交的论文不侵犯国家机 密、商业秘密及其他合法权益。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 、b 止 签名： 冱! l4 复：套 日期：2o 年多月 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 。位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：享1 i 灵藁导师签名：蓼峙盈稀 日期： 口fo 年侈月 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究概况 a d o m i a n 分解方法，又称逆算符方法，是2 0 世纪8 0 年代由美国数学物理学家 g e o r g e a d o m i a n 提出和发展起来的求解线性、非线性数学物理方程近似解析解的一 个新的数学方法。分解方法因将方程的解分解为无穷级数的形式而得名，该方法的优 势是：适用范围广，计算过程简单，收敛速度快，对处理强非线性问题既不需要借助 线性、摄动、迭代或简化模型方程等途径，也不需要数值方法( 如差分法、有限元法、 边界元法等) 。目前，涉及到许多数学物理的实际问题都通过该方法得以很好的解决， 体现出该方法强大的优越性，其结果令人满意n 吲。由于对具有某种初边值问题非线 性微分方程的求解有独到之处，且能够对方程迅速收敛的连续近似解进行分析，并归 纳出解的特征和趋势，因此大大扩展了非线性微分方程的应用范围，其发展前途和有 效性不言而喻，因而在理论和实践中具有极其重要意义。 自从分解法提出以后，国内外学者给予极大的关注，并被广泛应用于物理、生物 和化学反应中的微分方程的求解中。在处理实际问题过程中，对于那些线性的、确定 性的问题，已经有很好的求解方法。而对于那些非线性的或者是随机性的问题，目前 尽管也有很多方法，如经典的反散射法、p a i n l e v 6 展开法、齐次平衡法、b i c k l u n d 变 换法等，有的采用线性化近似处理，有的则采用扰动技术。通过这些方法处理后，改 变了原有问题的部分性质，其结果也往往不能真实反映原问题的解，导致求解结果的 较大误差甚至失效。利用a d o m a i n 分解法来求解非线性或随机问题，既不改变原问 题，也不需要进行很多很强的限制，因而对问题的处理更加普遍化。传统的有限差分 法求解非线性方程时，需要对方程进行离散化处理，计算繁杂，工作量大。而a d o m a i n 分解法却无需进行离散化处理，计算过程简洁，计算量非常小。更重要的是，通过 a d o m a i n 分解法求得的解能快速收敛于真解，并在大多情况下还能得到解析解。因此， 很多非线性问题通过引入a d o m i a n 分解法而得以方便地处理h 1 。 正是由于a d o m a i n 分解法非常好的适用性和高效性，自上世纪八十年代被发现 之后，引起了许多学者的关注并加入该方法研究的行列中，非线性微分方程的求解因 此也取得了许多新成果。在a d o m i a n 分解法应用过程中，不仅加速了非线性方程求 解方法的发展，并且促进了相关数学计算软件的发展，如m a t h m a t i c a 、m a p l e 等，进 一步提高了分解方法的效率。最近，人们为了更好地利用分解法而对其进行改进的研 究，如利用f o u r i e r 展开对非线性方程部分解的等价性研究、为提高解的精度而与 内蒙古师范大学硕士学位论文 l a p l a c e 变换和p a d 6 逼近结合的研究、用t a y l o r 级数展开法简化初值的研究等。 在非线性方程中应用方面，国外研究a d o m a i n 分解法较多口删。ga d o m i a n ，a m w a z w a z ，n n g a r h a s t a 和y c h e r r u a l t 等人尤其突出，并在方程非线性项和收敛性方面 研究取得了较多成果n 卜9 1 。我国学者在求解一类二阶、三阶边值问题心玑2 ，分数阻尼 梁的解析解妇钉，二阶两点边值问题乜3 1 ，微分方程的定值问题乜引，非线性薛定谔方程、对 流扩散方程问题以及a d o m i a n 多项式算法汹哪! 等方面进行了研究，取得了一定的研究 成果。 1 2 本文工作及框架 本文只是在利用a d o m i a n 多项式的传统算法和新算法对变系数非线性方程和高 阶高次非线性方程求解上做了一些尝试，并把重点放在利用a d o m i a n 多项式的新算法 上，新算法扩大了求解的范围，它能解决传统算法不能解决甚至解决不了的问题。根 据精度要求，可以用少数几项解分量代替真解。在相关文献险6 2 7 1 的启发下，本文通过 a d o m i a n 多项式的传统算法和新算法得到了变系数、高阶高次非线性方程的近似解析 解。并用具体的例子验证该方法的有效性。 第一章主要阐述a d o m i a n 分解方法的研究意义、国内外研究概况和发展趋势及 本文的主要工作。 第二章简略地介绍了a d o m i a n 分解法的基本原理，并借助数值例子加以描述。 a d o m i a n 分解法在解决非线性问题时，其优势更加明显，并成为数学物理方法研究的 一个热点，尤其是a d o m i a n 多项式新算法的提出。由于收敛性分析保证了a d o m i a n 分解法所得的解能收敛到解析解，因此，本章在介绍该分解法原理的基础上，着重讨 论了分解法的收敛性。 第三章利用a d o m i a n 分解法求解高阶高次非线性方程，利用a d o m i a n 多项式的 新算法获得了2 n + l 阶k d v 方程和广义五阶k d v 方程的近似解析解。 第四章利用a d o m i a n 分解法求解变系数非线性方程，利用a d o m i a n 多项式的传 统算法和新算法分别获得了变系数m k d v 方程和变系数k d v 方程的近似解析解。 第五章总结与展望。本章总结了全文研究的内容，并就今后在该方法应用方面 的深入研究提出了一些建议。 2 第二章a d o m ia n 分解方法 第二章a d o m ia n 分解法简介 为了更好地应用a d o m a i n 分解法，本章首先介绍分解方法的建立思想、基本原理， 然后介绍该方法中所涉及的a d o m i a n 多项式的算法。 2 1a d o r nia n 分解法的基本思想 应用a d o m i a n 多项式可以求解许多类型的非线性方程( 如：代数方程、时滞方 程、超越方程、微分方程等) ，而这种方法的基本思想源于线性算子的性质。下面就 线性算子及其叠加原理乜8 1 进行简述。 令是一个可逆的线性算子，则 l ( x + y ) = 三( x ) + 三( y ) 三( 锻) = 钇( x ) 其中口为任意常数 设 l ( x ) = a x ”+ b x + c 我们知道如果x 是齐次线性方程l ( x ) = 0 的一个解，则o d e , 也是l ( x ) = 0 的解，即 三( 锻) = 0 ；如果x 和y 都是l ( x ) = 0 的解，即l ( x ) = 0 ，l ( y ) = 0 ，则l ( x + y ) = 0 成 泣，因此，x 可也是齐次线性方程的解。若x 。是非齐次线性方程l ( x ) = z 的解，非 “齐次线性方程l ( x ) = 厶的解，则有 l ( x l + x 2 ) = l ( x i ) + l ( x 2 ) = _ + 即x i + 工2 是三( x ) = 五十 的解 从以上的分析可以看出：任何一个可逆线性方程都可以分解为几个部分，并通过 这几部分的和来表达，而每一部分均可独立求解。 这种方法如同力的分解与叠加一般，可以达到与合力同等的效果。在方程求解中， 应用同样的原理，把方程的解扰分解为无穷级数解分量，然后求和。即 u = e u 丹 n = o 应用同一递推关系，对上式中u 。分别求解，通过求和得到方程的近似解析解甚 ，一i 至精确解。显然，解分量越多，解的精度越高。假设解的前n 项的和为= ， n = o 其解的精度可以利用算式k - 矽n i ，即绝对误差大小来表征。这样，通过求解足够多的 内蒙古师范大学硕士学位论文 解分量，即可获得近似解析解甚至精确解。 2 2 分解方法的基本原理 分解方法自提出后便得到广泛应用，并取得了很多研究成果 2 9 - 3 4 1 。同时，针对不 同的问题以及该方法的深入研究，并提出了很多改进方法口5 哪! 。本节将简要介绍该分 解方法的基本原理。 考虑如下方程： f u = g ( 包括线性与非线性、确定与随机性、代数方程、常微分方程、偏微分方程以及微分 积分方程等) 其中f 是一个广义可逆微分算子，包括线性算子e 和非线性算子两 部分，其中线性算子e 可分解成一个可逆的线性算子( 根据需要设定) 上和线性算子 的剩余部分r 的形式。即 f = e + n = l + r4 - n 这样方程就可以写成： 三扰+ r u + n u = g 移项得 l u = g r u n u 因是可逆算子，可将三1 作用于上述方程的两端，得 u = l - 1 9 f 1 r u l - 1 n u + 矽 ( 2 1 ) 其中函满足l 驴= o ，且对应于初始或边界条件，将方程( 2 1 ) 参数化为 甜= l - 1 9 一无r 1 r 甜一a r l h + 矽 ( 2 2 ) 将方程中( 2 2 ) 的解“表示为无穷级数的形式，非线性项n u 分解为等阶的特殊 多项式，并将其参数化，得： o o 甜= 砌仃， n = o 其中4 珂是关于( u o ，u l ，1 1 2 ，“0 的多项式，通常也称为a d o m i a n 多项式。九是为 了方便分组引进的一个参数，可以任意大小。将式( 2 3 ) 代入方程( 2 2 ) 得 “疗= r l g 一盯1 r u n - - 2 ；- 1 以+ 矽 ( 2 4 ) n = o n = on = o 4 c - jo 厶疗 2 “ o “k 疗 4 撑 ， 脚 l f 第二章a d o m i a n 分解方法 比较方程( 2 4 ) 两边关于入的同次幂系数，有 “。2 矽+ ：g， ( 2 5 ) “斛l = 一l - 1 r u 月一f 1 a 。 n 0 从公式( 2 5 ) 可以看出，在求出a 刀的前提下，才能用公式( 2 5 ) 确定u 州。所以， 问题的关键在于确定a d o m i a n 多项式a 。，从而根据精度要求可选择不同的玎，然后 截断前门项求和，用妒：n - ! “。近似代替真解“，g b a e t 博士详细讨论了分解方法的理论 基础，并给出了更一般的证明“4 2 1 。 2 3a d o r n ia n 多项式的计算 对于非线性算子时，将n u 分解为： 其中彳。即为a d o m i a n 多项式。a d o m i a n 多项式的重要性在于，它是分解方法求 解非线性方程的关键所在。所以，该方法自诞生以来，不少学者对该多项式的求解进 行了深入的研究，并在算法的改进和程序的实现方面得到了很多新的成果。 2 3 1a d o m i a n 多项式的传统算法乜7 1 最初，a d o m i a n 多项式是由ga d o m i a n 教授h 3 3 在分解法研究中提出的一种产生 与非线性函数等价的多项式，它的基本思想是：假定方程的非线性部分为 n u = f ( u )( 2 6 ) 而u 的参数化方程为 把( 2 7 ) 代入( 2 6 ) ，得 n u = f ( u ( 五) ) 不失一般性，我们不妨设 厂( 扰( 五) ) = 刀彳。( “。，“i ，“。) n = o 在2 = 0 处八“( 五) ) 进行t a y l o r 级数展开，得 ( 2 8 ) 、 “ 2 辫h o 材，l 疗 4 n 允 脚 i i 7o 厶聍 h 兄 脚 i l 甜 内蒙古师范大学硕士学位论文 厂( “( 五) ) = f ( u o ) + + 力 旯2 + + 比较式( 2 8 ) 、( 2 9 ) 两端关于入的同次幂系数，有 伽箍除此。删 2 。3 2a d o m l a n 多项式的新算法啪1 ( 2 9 ) 背七 从前面的内容可以看出，传统的彳刀的多项式计算非常繁琐，而且编程实现这一 算法时至少需要六个子程序，计算量和存储容量都比较大，下面我们介绍一种新的 a d o m i a n 多项式计算方法，从中体会其优越性。 巳 定理：假设非线性函数地= 厂( 甜) ，并且“的参数化方程为甜( 五) = u n ，那 n ：0 么有 ，符 a 埘夕( “n ) n = 0 宅蛩 ( m 为自然数) 利用该定理可以很方便地求出a d o m i a n 多形式，具体的方法如下： 若求0 到刀阶彳n 多项式，则令 拄 甜= y “ z 一 k = o 则地= ( 掰( 五) ) = 厂( ) ，根据前面的知识，我们可设n u = a 么七， k = 0七= 0 从而有， 厂( “( 允) ) = 厂( 名“。) = 名a 上 章= 0l = 0 ( 2 1 0 ) 根据上式，若要计算4 ，a ，彳：，a 。，那么只要求出厂 ( 旯) ) ，对旯的0 ，1 ，2 ，珂 阶导数，并令旯= 0 ，就可得到a o ，a 。，彳2 ，a 。，下面通过一些例子加以说明如何计 算a d o m i a n 多形式。 当n u = u 2 时，设“= 甜o + 砌l + 矛“2 + + “，l 由式( 2 。1 0 ) ，得 进而可得 ：( “。+ 勉l + 妒甜2 + + 材n ) 2 如= “0 2 么l = 2 u o u i 么2 = 材1 2 + 2 u l u 2 如= 2 u l u 2 + 2 u o u 3 彳4 = 2 “o 铭4 + 2 u l u 3 + “2 2 ： 当= 扰“x 时，用同样的方法可以得到： 凡= u 0 工u 0 a t = u 0 x u l + u l x z t o a 2 = u 0 工u 2 + 梯i x z t l + 彩2 x u o a 3 = u o x u 3 + u i 工t 2 + 甜2 x 拢l + 甜3 x u o 4 4 = 铭o x 材4 + “l 石t t 3 + u 2 芹u 2 + u 3 x u l + 船4 x _ o ! 以上两个非线性项同样可以用a d 僦i a n 多项式的传统算法得出，但对于非线性项 n u ：s i n u 用a 如m i a n 多项式的传统算法无法计算，而用a d o m i a n 多项式的新算法同样容 易计算得到 彳o = s i nu 0 a 1 = “lc o su o 4 2 = 一i 1 甜，2 c 。s 铭。+ 铭2c 。s 搿。 = 一i 1 雒。3 c 。s 铭。一“t 搿2s i n 弘。+ 铭3c 。s 钟。 7 4爿 h 脚 0 一 l 以 d 一七 比 掰 良舢 i i 露 4 内蒙古师范大学硕士学位论文 彳4 = 面i 秘，4s t n 甜。一丢扰。2 扰2c 。s 龆。一丢甜2 2s t n 甜。一掣。s t n 扰。+ 托4 c 。s “。 从本例可以看出，a d o m i a n 多项式的新算法扩大了非线性微分方程的求解范围， 从而解决了本文的高价高次k d v 方程和变系数m k d v 方程的求解。而其它更多的情 形详见文献h 钔。在程序计算方面，e a b d e l w a h i d 等汹4 6 利用符号运算软件m a t h e m a t i c a l 实现了对a d o m i a n 多项式的计算，并提供了相应的程序。 2 3 3 分解方法的解的收敛性分析 分解方法提出后，a d o m i a n h 7 3 对其解的收敛性进行细致的研究。此后，c h e m i u a t l 啪1 利用不动点定理对该方法的解的收敛性进行了证明。其分析过程如下： 设一般形式的函数方程为： y n ( 讣= f 其中为h i l b e r t 空间h 到h 上的非线性算子，厂为厅中给定的函数。设 s 疗= y l + y 2 + + y 以 在一些假设的基础上，可以证明满足方程： o + s ) = s 上式即证明了分解方法具有收敛性。之后，c h e r r u a n l t 等人n 们通过引入新级数的 方法又得到了一些新的结果。c h e r r u a n l t 和a d o m i a n 咖1 利用收敛级数的性质取得了更 新的研究进展：条件进二步放宽，验证过程更简便，从而使分解方法能更广泛地运用 于非线性问题的求解。他们进而又对该方法的解的收敛速度进行了分析，阐明了分解 方法快速逼近真解的根本原因 s i , s 2 。 2 3 4 数值计算 考虑初值问题的线性方程啪1 u f + u x = 0 ，0 x 2 历t 0 “( x ，o ) = c o sx ，0 x 2 z ( 2 1 1 ) 方程( 2 1 1 ) 的精确解为u ( x ，f ) = c o s ( x f ) 。 根据a d o m i a n 分解法，将方程( 2 1 1 ) 参数化得到 8 第二章a d o m ia n 分解方法 n = 0 “刀= 一鸽。1 舻“蹦+ “( 删) 进而得递推关系如下： n = 0 u 02c o sx l = 一r 1 “舡一f “舡疵 忌o u 0 = c o s x 托o z = 一s i n x 铲一“以= 一i _ s i n x 衍瑙i nx u l ，- - t c o s x 如一“衍二扣砒= 一扣嘲 = 吉九i n x 驴一似衍= 一膨咖砌= 丢t 3 s ；n 石 “1 ，= 一三f 3c o s z “3 x 一铲等z 盱一心沈= 一卜i t 3c o s 砒= 酉1 嘟 = 一去 i n x 材，= 一 4 j 以= 一f 1 4 ：t a s ；n x 旃= 刍t s s t nx “s ，= 三f 5c o sx “5 工= 酉n 吣x 铲一囊5 工沈= 一c1 5 ：t 5c o s 砒一1 6 ：氏删 嘉以， - 甜= 三乙扰七= “o + 甜l + “2 + 甜3 + 扰4 + “5 + 甜6 + k = 0 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 = ( 1 - 壶，2 + 面1t 4 石1f 6 + ) c o sx + ( f 一击t 3 + 23 刍5 f 5 + ) s i n x 1 4 1 6 1 7 11 7 = c o s f c o s x + s i n t s i n x = c o s ( x f ) 应用a d o m i a n 分解法，对方程( 2 1 1 ) 进行赋值求解，其结果如表2 1 。 表2 一l 方程( 2 1 1 ) 的精确解u 与近似解析解u l 对照表 ( x ，f ) 扰i “ l “ii ( 0 1 ，0 1 0 ) ll 1 7 3 3 7 2 e 1 2 ( 0 2 ，o 0 9 ) 0 9 9 3 9 5 6 0 9 9 3 9 5 61 7 8 0 5 8 e 1 2 ( 0 3 ，o 0 8 ) 0 9 7 5 8 9 70 9 7 5 8 9 71 1 8 9 8 3 e 1 2 ( o 4 ，o 0 7 ) 0 9 4 6 0 4 20 9 4 6 0 4 2 6 2 2 9 4 6 e 13 ( o 5 ，0 0 6 ) 0 9 0 4 7 5 2 0 9 0 4 7 5 22 6 2 6 7 9 e 13 ( o 6 ，o 0 5 ) 0 8 5 2 5 2 50 8 5 2 5 2 58 6 8 1 9 4 e 1 4 ( 0 7 ，0 0 4 ) 0 7 8 9 9 9 20 7 8 9 9 9 22 0 8 7 2 2 e 1 4 ( 0 8 ，0 0 3 ) o 7 1 7 9 1 lo 7 1 7 9 1 12 9 9 7 6 e 1 5 ( o 9 ，0 0 2 ) 0 6 3 7 1 5 10 6 3 7 1 5 lo ( 1 0 ，0 0 1 ) 0 5 4 8 6 9 0 5 4 8 6 90 2 4 小结 从过程分析、方程求解及数值计算可以看出，a d o m i a n 分解方法与传统的方法相 比较，不仅收敛速度快、计算过程简洁，而且对所求结果不必对变量进行离散变换， 很好的保持了原方程所描述实际问题的性质。因此是一种可靠的数学技术处理手段。 1 0 第三章利用a d o m ia n 分解法求解高阶高次非线性方程 第三章利用a d o m ia n 分解法求解高阶高次非线性方程 虽然分解法在求解非线性方程方面得到广泛的应用，但是利用a d o m i a n 多项式 的传统算法求解非线性方程己受到很大的局限性，有的甚至不可能，本文的2 n + l 阶 k d v 方程就是其中一例。鉴于此，本文用a d o m i a n 多项式的新算法给出高次的2 n + l 阶k d v 方程的近似解析解。 3 1 用a d o m ia n 分解法求解2 n + 1 阶k d v 方程 2 n + l 阶k d v 方程的孤波解、孤子解和周期解均以不同的方法得以求解隅3 5 射。本 章借助该方程已有的周期解，应用a d o m i a n 分解法求该方程的近似解析解，以说明 该方法的有效性。 3 1 12 n + 1 阶k d v 方程的a d o m i a n 近似解析解 对于2 n + l 阶k d v 方程，考虑初值问题 芒0 2 k + 1 “ 吩+ a l u p u x 十萎l u 2 k + l , x = o ，u 2 k + l , x 猫扭1)k = 1 ” 2 u ( x ，0 ) = a c s ch p ( 出+ c o ) + 6 ( 3 2 ) 其中p 0 ，口= l ，3 ，5 ) 为常数，为自然数，口，b ，万为待定常数。视p 值而定， 当p = l 时，= 1 ；当p 4 ：l 时，= o 。 记微分算子为l ，y 9l , = i 0 ，则方程( 3 1 ) 改写为 o t 定义逆算子与1 为1 ( ) = ( ( 枷，将c 1 作用于方程( 3 3 ) 的两端，方程( 3 3 ) 中非 线性部分q 矿圾记为肌，即n u = 口l 彩p u j ，线性剩余部分仅：z ，：川j 记为砌，即 k = l n 及：“2 川j = r 材，方程( 3 3 ) 约化为 k = l 甜( x ，t ) = u ( x ，o ) 一l - ；1n u l ，。1r u ( 3 4 ) m 忙4 代入方程( 3 4 ) ，并将其参数化，得 ，# o 口o3歹 +七2 越 十七2 口 一 z m p “a i i 配 幺 仃 甜 脚 = “ 令 内蒙古师范大学硕士学位论文 比较方程( 3 5 ) 两端关于入的同次幂系数，得递推公式 u o = u ( x ，0 ) 旯一“打，( 2 k + 1 ) 工) 】 ( 3 5 ) u k + l = 一i 1 ( 彳七十a2 1 + 1 “2 肛) ，( 尼o ) ，= l 对于非线性部分口l 甜p 材工 o o00 口，( “月) p ( “麒) = n = on = o 彳丹即 并及其参数化，得 q ( + , ；t u i + 名地+ 名+ ) p ( + 饥+ 磐+ 名+ ) = 4 + 鸽+ 名4 埘4 + 当九= o 时，方程( 3 8 ) 约化为： ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) a o = d r i i 0 u o j 2 n 2 n = 一口i 口62 n a c s ch - p - ( s x + c o ) + 弘】c s c 办下+ 1 ( 蠡+ c o ) c 。s ( 苏十c o ) p 由公式( 3 6 ) 得 2 u o = a c s c hp ( d r + c o ) + 舡， 2 甜呶= 一口一2 nc s c h v + 1 ( 蠡+ c o ) c 。s + c o ) p 代入公式( 3 7 ) 得 ”一n + 丢n 川川渺 - a o + ( z2 1 + i u o , ( 2 1 + i ) x 】f ，= i j 其中，o r 2 1 + i z o ( 2 ，+ i ) x 借助于尬砌p m 口盯伽可推得如下递推关系： ，= l 铭o = 0 c s chp ( 舐+ c o ) + 6 ， 令善= 舐+ c o ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 枷 + t2 口 蹦 d 己兄一 ” 4 n 兄 脚 一t l兄 一 0x甜 = 甜 疗 见 脚 入 代 脚 l 将厶 脚 l i 枷 “。( 3 ) = 一8 3 a n ( 玎+ 1 ) ( 玎+ 2 ) c s c 矗“+ 3 孝c 。s 导孝一万3 口，2 3 c s c 办疗+ 1 孝c o s h 告 8 3 af c 3 1 c s c 矿3 孝一托，c s ch 肿1 c o s h “。( 5 ) = 一8 5 a n ( 珂+ 1 ) ( 玎+ 4 ) c s c 办玎+ 5 善c o s h 孝 一万5 口玎( 托+ 1 ) ( 聆+ 2 ) 3c s c h 一+ 3c o s h 一6 5 a 玎3 ( 玎+ 1 ) ( n + 2 ) c s ch 肘3 善c 。s 办善一万5 n 5c s ch 肿1 善c 。s h 告 = 一艿5 以托( 以+ 1 ) ( 盯+ 4 ) c s eh 门+ 5 ( c o s h 一万54 a 玎( 玎+ 1 ) 2 ( 玎+ 2 ) c s c 庇n + 3 善c 。s h 孝一6 5 ”5 c s o h 、 + 1 孝c 。s h 孝 一g s ac s zc s c 办一十5 孝牟c 5 lc s ch n + 3 孝+ ，z 5c s c 矗一+ 1 孝j c 。s h 善 铭n ( 7 ) = 一8 7 口【，2 ( 刀+ 1 ) ( n + 6 ) c s c h 盯+ 7 孝 + ，2 ( ”十1 ) ( ”+ 2 ) 4 ( 3 n 2 + 1 2 n + 2 0 ) c s c h 胛+ 5 考 + n ( n + 1 ) ( 托十2 ) ( 3 胛4 + 1 2 n 3 + 2 8 聆2 + 3 2 n + 1 6 ) c s c h h + 3 善 + ，z 7c 未办槲善】c o s h 告 一8 7 口【c 7 3c s ch n + 7 告+ c 7 2c s c h 订+ 5 善 + c 7 1c s c 办疗+ 3 孝+ ，2 7c s ch 疗十1 孝】c o s h 善 “2 + l 一分2 + 1 ) a 【咖+ 1 ) 。 + 2 奶c s c 驴“2 牟1 妇 。一 + c ( 2 n + d , ( n _ i ) c s c 矿删一d 孝十q 2 m ) ( - 2 ) c s c 俨心卜 + c ( 2 n + d , 1 c s c 3 孝+ 2 n + i ) c s ch 。n “引c 。s 够 在方程( 3 8 ) 两端求一阶导，得 + 裳絮+ 兰：笼之+ 旷2 u 2 矿+ ；t ，l u 3 ：鬟 + i x 翟美等机 + 岔地。+ ) 十瞄+ 勉l + 。) + 巩+ m 吻x 十一：j 刊l + 2 2 a z + 3 2 z a 3 + 当l = 0 时 4 1 = a f1 p “一l “l 扰。x + 口l 靓扰l x = l 扰f 一1 ( p 扰1 扰。算+ u 0 u lx ) 其中： 1 3 代入公式( 3 7 ) 得 1 j 搿 d“ q o “ + 射 口 m + r o 4一 = k 扰 垆一c 4 + 荟n 札圳渺 = 一 口l u g 。( p u l u o x + u o u l x ) + 口2 1 + l u l , ( 2 1 + 1 ) x n 去 ，= l 对于n 口：“l ( 2 ) ，的计算，同样可以借助于坳f 托川口f f c 口进行计算，这里不 i = l 赘述。 在方程( 3 8 ) 两端求二阶导，得 口l p ( p 1 ) ( + 旯甜l + 牙“2 + ) 蹦( 地+ 2 2 u 2 + 3 2 2 “3 + ) 2 ( 甜骶+ 2 u l x + “2 ，+ ) + o q p ( u 。+ 2 u l + z “2 + ) p - 1 ( 2 u 2 + 6 ) tu 3 十) ( 甜。工+ 砌l 工+ 2 u 2 j + ) + 2 口l p ( “。+ 砌i + 碧“2 + ) 尸一1 ( “l + 2 2 “2 + 3 2 2 u 3 + ) ( “l x + 2 2 u 2 j + 3 2 甜3 了+ ) 十口l ( m o + 2 u l + 2 u 2 + ) 尸( 2 u 2 ，+ 6 砌3 j + ) = 2 4 + 6 a 么3 十 当k = o 时 2 4 2 i 口l p ( p 1 ) “予- 2 u i ! “。x + 2 a l p “孑一1 “2 扰。x + 2 a l p “孑一“l 甜l ，+ 2 e t l “彳扰2 x 彳2 = 号口p ( p 一1 ) 龆f - 2 u ? u o x + 5 1 p 扰f l 彩z 甜。x + 口t p 掰f 一1 “t “t x + 口t “孑甜2 j 对于窆口：，+ i “：( 2 j + 1 ) 工的计算，同样可以借助于胞芒厅黝芒i c a ，这里不赘述。 ，u 3 - - - 心+ 喜翌u 2 , ( 2 i + i ) x ) 吵 = 一 丢口。p ( p 1 ) 铭- 2 u 孑t l o x + 口1 p 甜。p - i “2 “。x + 口，p “。p - i 扰t 扰x + 口“孑掰2 x + ，n tz口zl+lu2(21+1)x3 + ，= l 这样，方程( 3 1 ) 的近似解析解为扰仳d = u o + u 1 + 1 2 2 + u 3 ( 3 1 2 ) 3 1 2 数值例子 当p = 1 ，= 1 ，n = i ，c o = 0 时，由文献嘲可确定b = 0 ，占= 1 ，a = 4 ，口2 3 。 将以上数据代入( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 、( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ，方程( 3 1 ) 的近似解析解为 扰o = 3 c s ch 2 x “l = t ( 9 0 c s ch 5x + 2 4 c s ch 3x ) c o s hx 1 4 第三章利用a d o m i a n 分解法求解高阶高次非线性方程 “2 = ；( 2 0 7 9 0 c s c 办8 x + 2 6 8 2 0c s c 办6 x + 7 4 8 8c s ch 4 x + 1 9 2c s ch 2 x 、) c o s hx 甜3 = t 3 ( 2 6 1 2 2 5 0 c s ch ll x + 3 3 9 9 8 4 0c s ch 9 x + 11 4 2 6 4 0c s ch 7 x + 1 0 1 5 6 8c s ch s x + 2 5 6c s ch 3 x ) c o s hx = 3 c s c h 2 x + t ( 9 0 c s c h 5 x + 2 4 c s c h 3 x ) c o s h x 。2 + 一1 ( 2 0 7 9 0 c s c 办8 x + 2 6 8 2 0 c s c h 6 x + 7 4 8 8 c s c h 4 x + 19 2 c s c h 2 x ) c o s h x 2 + t 3 ( 2 6 12 2 5 0 c s c h l1 x + 3 3 9 9 8 4 0 c s c h 9 x + 114 2 6 4 0 c s c h 7 x + lo15 6 8 c s c h 5 x + 2 5 6 c s c h 3 x ) c o s h x 方程( 3 1 ) 的精确解临3 为 扰( x ，。f ) = 3c s ch2 ( x 一4t ) 通过赋予不同的x 与t 的值，计算近似解析解u l 和精确解材，并计算误差值，具 体见表3 1 。 表3 一l方程( 3 1 ) 的精确解“与近似解析解u 。对照表 ( x ，t ) 扰 “i l 甜一1 2 1 l ( 1 ，0 0 1 ) 2 4 1 5 6 7 0 2 45 9 2 7 71 5 6 0 73 5 1 2 0 4 5 3 6 ( 2 ，0 0 2 )0 2 6 9 3 7 8 6 0 2 91 9 3 7 3 6 8 0 0 2 2 5 5 8 7 7 ( 3 ，0 0 3 ) 0 0 3 8 0 5 2 7 80 0 3 8 6 5 0 0 7 80 0 0 0 5 9 7 3 ( 4 。0 0 4 )0 0 0 5 5 4 8 8 20 0 0 5 5 6 3 7 6 91 4 9 4 5 e - 0 5 ( 5 ，0 0 5 ) 0 0 0 0 8 1 2 8 50 0 0 0 8 1 2 6 6 51 8 9 5 6 e - 0 7 ( 6 。0 0 6 ) 0 0 0 0 1 1 9 1 60 0 0 0 l1 8 9 8 71 6 9 1 3 e - 0 7 ( 7 ，0 0 7 ) i 7 4 6 9 e - 0 51 7 4 2 3 2 e 一0 54 5 6 7 1 e - 0 8 ( 8 。0 0 8 ) 2 5 6 1 1 e 0 62 5 5 0 2 7 e 一0 61 0 7 8 4 e - 0 8 ( 9 ，0 0 9 )3 7 5 4 7 e 一0 73 7 3 0 8 7 e 一0 72 3 8 0 3 e - 0 9 ( 1 0 。0 1 )5 5 0 4 6 e 一0 85 4 5 4 6 4 e 0 84 9 9 8