（应用数学专业论文）具非单调功能反应函数的捕食者—食饵系统的全局定性分析.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标 注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 、l 学位论文作者签名：趣蓬土日期：星! 堕：型i ： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学 位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门 或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 作者签名：毖 指导教师签名：乏垂垫壹 r 期：2 理生：兰l 同期：丛坐墨! 兰：堑 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 摘要 本文考虑具非单调功能反应函数的捕食者一食饵系统，讨论了系统的 b o g d a n o v t a k e n 分支，给出了不同种类的分支现象，包括鞍一结点分支， 上临界与下临界h o p f 分支，和同宿轨分支，并讨论了无穷远点的定性分 析，给出了全局结构 关键词：余维一2 ，b o g d a n o v t a k e n s 分支，无穷霭点。 、 3 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hn o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a l , e s p o n s ei sc o n s i d e r e dg l o b a lq u a l i t a t i v ea n db i f u r c a t i o na n a l y s e sa r ec o i n b i n e dt od e t e r m i n et h e g l o b a ld y n a m i c so ft h e m o d e l t h eb i f u r c a t i o n a n a l y s i so ft h em o d e ld e p e n d i n g o na l lp a r a m e t e ri n d i c a t i o nt h a ti te x h i b i t s n m n e r o u sk i n d so fb i f u r c a t i o np h e n o m e n a ，i n c l u d i n gt h es a d d l e n o d eb i f u r c a t i o n ，t h es u p e r c r i t i c a la n d s u b c r i t i c a lh o p f b i f u r c a t i o n ，a n dt h eh o m o c l i n i c b i f m c a t i o ni nt h eg e n e r i cc a s e ，t h em o d e lh a st h eb i f u r c a t i o no fc u s pt 3 p e o fc o d i m e n s i o n2 ( i e ，b o g d a n o v t a k e k 6 b i f u r c a t i o n ) b u tf o l s o m es p e ( i f i cp a ta l l l ( j t e iv a l u e si th a sam u l t i p l ef o c u so f m u l t i p l i c i t ya tl e a s t2 a n dw eg l e t h eg o b a la n a l y s i s 、 k e y w o r d s ：c o d i m 一2 ，b o g d a n o v t a k e n sb i f u r c a t i o n ，i n f i n i t ep o i n t 4 1 引言 在种群动力学中，捕食者对食饵密度的功能反应函数依赖于食饵密 度1 9 5 9 年，h o l l i n g 在文献【1 】中给出了h o l l i n gi i 型、h o l l i n gi i i 型功 能反应函数上述两类功能反应函数都是单调的，许多学者对具h o l l i n g i i 型、h o u i n gi i i 型功能反应函数的捕食者一食饵系统进行了广泛的研究 然而，从实验和观察所得事实出示上述类型系统并不总符合实际，如微生 物动力学中的抑制作用和种群动力学中的群体保护当食饵种群具有群体 保护时，捕食者对食饵的功能反应函数不总是单调的为了描述种群的群 体保护作用，1 9 6 8 年，a n d r e w 在【8 】中提出了非单调h o u i n gi t , 7 型功 能反应函数 ，、 m z p 。i 瓦鬲i 1 9 8 0 年，s o k o l 和h o w e l l 在 1 1 】中提出了一个简化的非单调h o l l i n gi v 型功能反应函数( 看图1 1 ) ，、仃 z p 恤j2 a + x 2 ， 这里p ( 口：) 满足 ( 4 ) p ( 0 ) = 0 ，p ( z ) 0 ，对任意：r 0 成立 ( b ) 存在正常数 ， 0 使得 加，：善誓m 5 本文考虑具简化h o l l i n gi v 型功能反应函数的捕食者一食饵系统 = r x 。g ( 1 x 叫? m 十x y ， 其中z 、y 分别是食饵和捕食者的种群密度，r 是食饵种群的内禀 增长率，k 是环境最大容纳量，d 是捕食者在没有食饵情形下的死亡率， a 是半饱和常数，e 是捕食者捕获食饵后的转化率。r ，k ，d ，m ，a ，c 0 对系统( 1 1 ) 作变换于= 茁，口= m y ，廓= c m ，然后用x ，y ，m 代替 i ，口，m ，得 卜”? 纛去) _ 、羔 ( 1 。) 【y 2y ( a - 再一刨 从生物学的观点看，我们仅在z y 平面中的闭第一象限中讨论系留d1 2 ) 。 系统( 1 2 ) 有五个正参数r ，k ，a ，m ，d 当参数改变时，系统( 1 2 ) 将会 出现什么样的分支现象，这是我们非常感兴趣的。 在文献【2 】中，r u a n 等给出了系统( 1 2 ) 的全局定性分析，证明了系 统( 1 2 ) 产生余维一2 分支，并以k 和d 为参数给出了b o g d a n o v t a k e 呜 分支分析。本文第2 节以k 和m 为参数对系统( 12 ) 进行研究，利用文 献 3 中定理直接证明了b o g d a n o v t a k e 巧分支的存在性；第3 节我们利 用一系列的非奇异变换来计算系统( 1 2 ) 的规范型，用小参数法给出了系统 ( 1 2 ) 的分支曲线，并作出了分支图和相应的相图；第4 节对系统( 1 2 ) 作无穷远点分析，利用文献【5 6 】中方法研究了系统( 1 2 ) 的高次无穷远奇 点，并给出相图；第5 节给出了系统( 1 2 ) 在各个分支区域中至多有一个 极限环，并且同宿轨和极限环不可能共存( 见 2 ) ，由以上几节分析，最 后我们给出了系统( 1 2 ) 全局结构。 6 基本结论 轴、y 一轴和第一象限的内部在系统( 1 2 ) 下是不变的，且具正初始值的解 是有界正的；系统( 12 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是一个双曲鞍点，在第一象限的边 界平衡点( k ，o ) 是稳定的；当m 2 = 4 a d 2 时，系统( 1 2 ) 有唯一的内部平 衡点( 跏，珈) = z m 忑，r 。) m 冉= k 。抒d 时，系统( 1 2 ) 的平衡点( ，珈) = ( 品，r 。) 是一个余维一2 的奇点本文中 我们取k 和m 为分支参数，固定a ，d ，分支参数值( k o ，m o ) = ( 2 石，2 d , ( 0 f 圣= 邮一志) 一羔- ，( 训，h 糊 ( 21 ) 【。= ! ( 警卅= g ( x ，y , a i , a 2 ) 其中m o ，硒，a 和d 如上给出，r 是正常数，a t ，a 2 是( 0 ，0 ) 邻域内 的参数 定理2 1 ：系统( 2 1 ) 在( a l ，a 2 ) = ( o ，0 ) 的邻域内显示了b o g d a n o v 一 证明：系统( 2 1 ) 在平衡点( 勘，y o ) 处的j a c o b i 矩阵 鲫“扣- 去a i + o ( a 鼍靠山妒，) 又 f0 一三 a ( o ，0 ) = i 缸o i 00 7 且矩阵a ( 0 ，0 ) 的特征根i 。，五。= 0 筹舭o ) + 毫( x o , y o , o , o ) = 一去。 雾( 蛐，叩) = 一器o砑珈 o o j 一一面严o 。 令 我们有 m = t r ( 嬲蚶“：) ) 础( 渊“z ) ) 捌c 躐 f 。 l 0 = 拟l， l 丽 f 一面 ( z o ，y o ，0 ，o ) ) 一土譬0 7 。，撕 o o 翥麓 。可2 r x o 熹 000 = 1 m o 丽r 2 y o o = 一，u 由文献 3 中定理8 4 ，系统( 2 1 ) 显示了b o g d a n o v 一缸多分支 证毕 8 3 b o g d a n o v t a k e n 5分支分析 首先把系统( 1 2 ) 的平衡点( x o ，y o ) 平移到原点( 0 ，0 ) ，并把系统( 12 ) 在原点处展开。作变换x = z z o ，】= 一y o ，系统( 1 2 ) 变形为 其中 弋= b + 。( 斌) + 卜际ra ，+ 。( 碍) f 一二2 ；t o 、 + 卜磊+ 磊, k l + 0 ( - ；淞2 一磊x 3 + 去f + b ( x ，1 r h ) 1 j = 字a 。+ 瓦1 -描i 【焉+ 磊糊x 2 + 碥1 ( m 。峨) x 3 + 【蠢+ 土4 x a t 陋 再作变换 b ( x ，e a l ) = o ( ( x ，y ) 3 ) c ( x ，l ja 2 ) = 0 ( ( x ，7 ) 3 ) 忙b 删确卜采 系统( 31 ) 变形为 9 a 2 十o ( a _ ) 】 a 2 ) ( 32 ) 五 h 十 j d h n 铲 胁o 糊埘 埒江卜 匆 嘴却计 哪慨 二午弼惝二啸懑叩褫 二功矿 p m 汁 1 硝川 + a ；弘儿 淼裂嚣 】a a r，一8、v m扣患扣 0 + + + 了叼+ ?讲扣诺嵯嚼 l 】 其中 令 _：jj 西( 、f ，l ja 1 ) = o ( ( x ，y ) 3 ) o ( x ，】ia 2 ) = o ( ( x ，1 7 ) 3 ) 亩。酗+ o ( a m + 【_ 去+ 碥ra + 。( a 挑2 一【去+ 蠢o ( a 凇一x 2 y + b ( 刎1 1 ) 系统( 32 ) 变形为 其中 且 一；a 。+ 咖1 ( a 1 ， t 似h 糊x + 【_ 去去k 执 【嚣一罨h + 螽儿柏 肛2 + - f 。o + 螽h 州鼬“z 肛h 啾，“” ( 3 3 ) 咖。( a l ，a 2 ) = 0 ( ( a 1 ，a 2 ) 2 ) ，i = 1 ，5 o ( x ，l j a l ，a 2 ) = o ( ( x ，3 ) 令 享三；主并且用x ，一7 替换支，e 有： i = 卜鑫柑州h 糊】柏( h x + 【- 瓦r 去矧h 榔 + x 2 ：【一垫+ ! a l + 兰a 2 + 妒4 ( a l ，a 2 ) x y + 6 ( x ，l j a 1 ，a 2 ) m om om 6 f 34 1 其中砂。( a l ，a 2 ) = d ( ( a 1 ，a 2 ) 2 ) ，i = 1 ，4 6 ( x ，a 1 ，a 2 ) = o ( ( x ，) 3 ) 令jt = x 一；砂t ( a ，a ：) 系统( 34 ) 有 i 掣= l j 口= 一篙柑m 1 ，】+ 卜去瓦1 柑也。) 】” + x 2 + i 一4 z a o + 三a l + 罢a 2 + 讧( a l ，a 2 ) z + 6 ( x ，a ，a 2 ) 。m 。m 。m 6 ( 35 ) 其中 巧t ( a 1 ，a 2 ) = o ( ( a l ，a 2 ) 2 ) ，i = 1 ，- 4 ： e ( x ，】ia 1 ，a 2 ) = 0 ( ( 霉，y ) 3 ) 令眨二雾r 2 m o ? 戮h ，有 令i 竺三二奏：三熹芝) + 如1 1 沁l 有 ：三y 卢，+ 仍+ 。+ 岛z g + q ( ，a 。，a 。) ( 3 6 ) 1 雷= 卢l + 仍+ 。2 + 岛z g + q ( ，a 1 ，a 2 ) 、。 令q 。= 藤z ，q 2 = 腭，r = 瓦1t ，我们得如下系统： 豫 z + p 。r 2 + 目 + q 。q 。+ 国( 正，y ，a 。，入。) ( 3 ? p 1 + p 2+ 叼 + 叩l 叼2 + q 扛，a 1 ，入2 ) 其中 旷一学a 。+ 眠a 。) ，p 12 一可抛十“加卜 炉笔卜m 2 - 兰。- x 2 + o ( 札糊- 由文献1 4 中7 3 ，我们有如下分支曲线局部表示： 1 、鞍结点分支曲线t = ( _ “1 ，p 2 ) ：弘1 = o ) ； 2 、h d p ，分支曲线h = ( p 1 ，p 2 ) ：肛2 = 瓜，p l o ) 1 1 3 、同宿轨分支曲线p = ( 卢l ，f z 2 ) ：，z 2 = 兰v 仁面 o ，a 2 = o ) 和t 一= ( a l ，a 2 ) r 2 l a l 0 ，a 2 = o ) ( d ) 当参数位于区域i i 中，系统( 2 1 ) 有两个内部平衡点：一个 是稳定焦点，另一个是双曲鞍点。存在初始种群密度的一个开集，使得捕 食者和食饵趋于一个稳定平衡点。 ( e ) 当参数值位于h o p f 分支曲线h 上，系统( 2 1 ) 有两个内部 平衡点：一个是稳定弱焦点，另一个是双曲鞍点；且没有周期轨道。 ( f ) 当参数值位于区域i i i 中，系统( 2 1 ) 有两个内部平衡点和一 个唯一的稳定极限环。因此，存在初始种群密度的一个开集，使得捕食者 和食饵趋于一个稳定的振动 ( g ) 当参数值位于同宿分支曲线p 上，系统( 2 1 ) 有一个稳定同 宿环。 ( h ) 当参数值位于区域i v 中，系统( 2 1 ) 有两个内部平衡点，且 没有周期轨道。由相应的相位描述，我们能看到存在两个初始种群密度， 使得捕食者和食饵能共存。 综上所述，我们得到了系统( 2 ，1 ) 当参数位于( a l ，a 2 1 平面中的原 点邻域中变动时的所有可能轨线拓朴结构。 1 2 jl 、v 2 h i i | i i i | 7 |聪 t 。 r o 7 i 入 图3 1 分支曲线图 工 ( n ) i x 域，中轨线结构；( b ) 区域，中轨线结构；( c ) 区域，中轨线结构 ( d ) 区域n ，中的轨线结构；( e ) 曲线t 一上鞔线结构；( f ) 曲线t + 上轨线结构 i b 原点。处轨线绪构；1 1 ) 曲线p 上轨线结构；睁曲线日上轨线结构 1 3 戡一隆监醚 r ) y ( 啦殴一 无穷远点分析 f 壬= 呻一妻) 一燕 19 = ( 品一d ) 作p 。i n c a r e 变换 ：三| | ，令出= z 打我们有； 卜篡二瑶m z 瓦r + 一r z 2 u ) 系统( 4 2 ) 有一个无穷远奇点a ( 0 ，o ) ，且牡= 0 ，和2 = 0 都 ( 4 2 ) 的轨线系统( 4 2 ) 在( t ，z ) = ( o ，o ) 点的线性系统为： ( 4 1 ) ( 42 ) 是系统 ( 4 3 ) 平衡点( u ，。) = ( o ，0 ) 是系统( 4 3 ) 的不稳定绪点 由文献【4 】中定理1 3 1 ，我们有如下定理： 定理4 1 ：平衡点( u ，z ) = ( o ，0 ) 是系统( 4 2 ) 的不稳定结点。 再作补充p 。i n c a r e 变换 ”2i ，令出= z d 7 _ 可将系统( 4 1 ) 变形 l 一石 力2 j 。：一云”z + ( r ，a ) ”z 一等( 。) i2 = 舻一丽m v z 3 因为系统( 4 4 ) 的右端函数在( o ，o ) 处连续，所以b ( 0 ，o ) 是葶统( 4 4 ) 的 平衡点，且 ：o ，。= 0 都是轨线又因为文献【5 】的方法讨论因为我 1 4 u 名 x 上耳 = | | u z ，l，、【 们仅讨论系统( 11 ) ，在第一象限内部的动力学，我们讨论系统( 4 4 ) 的 平衡点( 0 ，0 ) 在第一象限内部的动力学性质即可。为此，我们作时间变换 打= = ( a z 2 + ”2 ) d t ，用r 替换f ，使得系统( 4 4 ) 在第一象限内部等价于如 下系统： 一”z 2 十【去”4 + ( r + d ) ”3 z 一( 去。，l 7 7 ) ? j 2 2 2 + ( r 十m ”z 3 一v z 2 + 妒( ，z ) y ( v ，z ) 一m u z 3 + a d z 4 + d v 2 ：2 妒( u ，o ) c ( v ，z ) ( 4 5 ) 其中眵( 2 ，z ) ，妒( ，z ) = 0 ( ( ，z ) 4 ) 系统( 4 5 ) 的平衡点( 0 ，o ) 是孤立、高次l 临界点，且系统( 4 5 ) 在原点 邻域解析，由文献【5 1 5 中定理2 3 1 0 ，系统( 4 5 ) 的任一趋于原点的轨线，或 盘旋趋于原点，或沿一特殊方向趋于原点。为此，我们利用文献f 5 】，f 6 】，f 7 ) 中方法讨论系统( 4 5 ) 首先，引入极坐标变换口= p c o s p ，z = p s i np ，得： 其中 即 j 考= 一矿c 。s 2 p s l n 2 口+ 。( ) 。， l 磊d 0 叫咖阻栅删 卜叫 d 8 v ( o ) + o ( 1 ) p 而2 砸矿而丽 g ( 0 ) = c o s 6 s i n 3 8 ， h ( 0 、= c o s 2 9 s i n 2p 因而，系统( 4 5 ) 的示性方程是： v ( 0 = c o s o s i n 3 日= 0 王5 因为我们仅讨论系统在第一象限中的动力学性质，示性方程中0 f 0 ，兰 ， 且在【0 ，等 中有两个根0 1 = 0 ，0 2 = 等又因h ( 0 1 ) = h ( 0 2 ) = 0 ，即是不 定号情形在不定号情形下，我们利用文献【6 中结论，有如下定理： 定理4 2 ：系统( 4 5 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是一个高次奇点，在闭第一象限 内，仅有两条轨线v = 0 和z = 0 分别走出和进入原点 证明：考虑特征方向0 1 = 0 ，有h ( 0 1 ) = 0 首先，考虑垂直等倾线：f ( v ，z ) = 0 ，化为极坐标有： 一c o s o t 丽死耳面干而面而再i 丽f 五而石函i a ( r ；d 一) s i l l l 一0 = a ( o ) 有如下结论； 1 、当 0 6 ，只要6 充分小，a ( o ) 0 因此在角域0 0 6 内 没有垂直等倾线。 2 、当；一6 日 o 因此在角域三一6 。 我们得到两条直线，且其斜率大于0 0 = 2 zd0 + zm一 2 d “ 或 2 、当m 2 = 4 a d 2 时有，z = 等； 3 、当m 2 4 a d 2 时有，f l 无解 由上讨论，在第一象限内部在原点处没有与v 轴或z 轴相切的水平等 倾线因此，在第一象限内没有水平和垂直等倾线在原点处与v 轴和z 轴 相切 由文献【6 j 6 ，我们作如下假设： 1 、设u = 0 和口= 6 组成的角域为，； 2 、设p = 昙一6 和z = 0 组成的角域为， 通过计算t 在角域，中，有f ( ，z ) o ，即；告号 0 ； 在角域i i 中，w f ( ，z ) o ，即苦等等 n 根据文献【6 】中 引理1 有。在角域，和角域j ，内没有轨线进入( 或走出) 原点 又系统( 4 5 ) 的右端函数是解析的。由文献【5 】中定理，若系统( 4 5 ) 有轨线进入( 或走出) 原点，那么轨线或滑特征方向进入( 或走出) 原点。 或螺旋地进入( 或走出) 原点又因口辘和= 轴都是轨线。因此，系统( 4 5 ) 的轨线不可能螺旋地进入( 或走出) 原点因而。系统( 4 4 ) 在闭第一象限 内仅有两条轨线 = 0 和。= 0 ，进入( 或走出) 原点从定理4 1 ，4 2 系 统( 1 2 ) 在无穷远点处的定性结构如图4 1 圈4 1 无穷远点分析 1 7 全局结构分析 本节，我们概括以上几节的结果，给出系统( 2 ) 依赖于参数凡，的 全局结构 e e l , 分支曲线图 ( n ) 隈域f 中轨线结构 ( b ) 医域i i 中轨线结构；( c ) 区域i i 中轨线结构 【t 1 ) 区域i v 中的轨线结构； ( e ) 曲线t 一上轨线结构；( f ) 曲咎t + 上轨线结构 ( 勘原点0 处轨线结构；( 1 ) 曲线p 上轨线结构；9 曲线h 上轨线结构 1 8 参考文献 c s h o l l i n g t h ef u n c t i o n a lr e s p o n eo fp r e d a l o rt op r e yd e n s i ! j a l l dr o b li n m i m i c i y a n dp o p u l a t i o nr e g u l a t i o nm e ne n t o m o l o g ys o cc a n ，4 5 ( 1 9 6 5 ) p f 3 6 0 2 1 sr u a l l dx i a o ，g l o b a la n a l y s i si nap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hn o n m o n o t o n i c f u n c t i o n a lr e s p o n s e s i a mja p p lm a t h ，v o l6 1 ，n o 4 ( 2 0 0 1 ) 3 y ak u z n e t s o v ，e l e m e n t so fa p p l i e db i f u r c a t i o nt h e o r y ，a p p lm a t hs c i t 1 2 ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k 1 9 9 5 i g i l c k e n h e l m e ra n dp h o l m e s ，n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sd y n a m i c a ls ) s t e m ，a n d b i f u r c a t i o no fv e r t o rf i e l d s a p p l m a t h s c i 4 2 5 1 张芷芬，t n - ，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论北京：科学出版社 1 9 8 5 ， 6 1 胡钦训，陆毓麒，高次奇点在不定号情形下的定性分析北