（应用数学专业论文）几种广义仿紧空间的性质.pdf

几种广义仿紧空间的性质 作者简介：纪广月，女，1 9 7 3 年8 月出生，2 0 0 4 年9 月师从于成都理工大学曹 金文教授，于2 0 0 7 年6 月获硕士学位。 摘要 对仿紧空问乘积性的研究开始于二十世纪四、五十年代。八、九十年代广义 仿紧空间的乘积性的研究发展起来。y y a j i m a ( r 本) 、g g r u e n h a g e ( 美国) 、 k c h i b a ( 日本) a n dh j k j u n n i l a ( 芬兰) 等著名的拓扑学家，在对广义仿紧空间类 的有限t y c h o n o f f 乘积、可数无限t y c h o n o f f 乘积、一积以及逆极限的研究中 取得了许多令人瞩目的结果。对于广义仿紧空间类的无限不可数t y c h o n o f f 乘 积、逆极限、一积性质及应用是当前国内外拓扑学者非常感兴趣并且积极投入 的课题。近几年对于这三种乘积已有了一定的研究，尤其是对于无限不可数 t y c h o n o f f 乘积的研究已经有了不少的成果，但对广义仿紧空间的等价刻画并不 多见。 本文利用映射与覆盖方法对几种广义仿紧空间的无限不可数t y c h o n o f f 乘积、等价刻画及其他的一些性质做了初步的研究，并已获得以下主要结果： 1 、( 1 ) 如果x = n 。：x ，是五一超仿紧空间，则x 是盯一集体正规空间当且仅当 v f 【】“，x = q 。，x ，是盯一集体正规空间。 ( 2 ) x ：h x 是可数仿紧的，则下列三条等价： ( a ) x 是盯一集体正规的： ( b ) v f r ，q ；f x i 是盯一集体正规的： ( c ) v n ( 0 ，h 。x 。是盯一集体正规的。 2 、( 1 ) 几乎次亚l i n d e l 6 f 、可数紧度的可数紧l 一空间x 是紧空间。 ( 2 ) 几乎次亚紧、可数紧度的可数紧正一空间x 是紧空间。 3 、( 1 ) 空间z 称为几乎强次亚紧空间当且仅当对x 的每个定向开覆盖彩，存在 x 的一个稠密子集d 和彩的开加细序列 雹 ，使得对于v x d ，存在n x 国， 使得v n ”。，有( 铝。) ，是有限的集族。 ( 2 ) 几乎强次亚紧、可数紧z 一空间x 是紧空间。 ( 3 ) 空间x 是几乎强次亚紧的当且仅当x 是几乎离散强次亚可膨胀的，并且 x 的每个开覆盖彩= 玩：口 ，都存在x 的稠密子集d 和铭的开加细序列 ( ) ，使得对于v x d ，存在k 缈，使得v n r 且盯，有z ，并且 s t ( x ，) c u m u 口： ( 4 ) 如果x = n o 。：x 。是i z 卜仿紧空间， v f 】“，几。，瓦是几乎强次亚紧空间： ( 5 ) 如果x 2h x 是可数仿紧空间 则x 是几乎强次亚紧空间当且仅当 则下列三条等价： ( a ) x 是几乎强次亚紧的： ( b ) v f 【国】。，q 。，x 。是几乎强次亚紧的； ( c ) 3 n ，c o ，使得v n ? x ，h ；。x ，是几乎强次亚紧的。 4 、( 1 ) 如果x = r g 。：x 。是1 | _ 仿紧空间，则x 是弱s u b o r t h o 一紧空间当且仅当 v f “，x = n o 。f x 。是弱s u b o r t h o 一紧空间。 ( 2 ) x = q ；。x ，是可数仿紧的，则下列三条等价： ( a ) x 是弱s u h o r t h o 一紧的： ( b ) v f 【】“，n 。fx ，是弱s u b o r t h o 一紧的： ( c ) v n c 0 ，q ；。置是弱s u b o r t h o 一紧的 关键词：t y c h o n o f f 乘积，等价刻画，几乎次亚紧空间，几乎强次亚紧空间 l j a b s t r a c t 】 t h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c e s p e o p l eb e g i nt or e s e a r c ht h ep r o d u c tp r o p e r t i e so fp a r a c o m p a c ts p a c e sb e t w e e n 1 9 4 0 sa n d1 9 5 0 s f r o m1 9 8 0 st o 1 9 9 0 s ，f o rr e s e a r c h i n gt h ep r o d u c tp r o p e r t i e so f g e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c e si sd e v e l o p i n g s o m ep r o m i n e n tt o p o l o g i s t s ，s u c ha s y y a j i m a ( j a p a n ) 、g g r u e n h a g e ( a m e r i c a ) 、k c h i b a ( j a p a n ) a n dh j k j u n n i l a ( f i n l a n d ) a n ds oo n ，h a v es o m ei m p o r t a n tr e s u l t st or e s e a r c ht h et y c h o n o f ff i n i t ep r o d u c t p r o p e r t i e s 、t h et y c h o n o f fc o u n t a b l ei n f i n i t ep r o d u c tp r o p e r t i e s 、i n v e r s el i m i t s 、 - p r o d u c t si ng e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c e s t o p o l o g i s t sf r o mi n l a n d sa n da b r o a d s e x t r e m e l yi n t e r e s ti na n da c t i v e l yi m e r g ei nt h ep r o p e r t i e so ft y c h o n o f fi n f i n i t e u n c o u n t a b l ep r o d u c t 、i n v e r s el i m i t s 、e p r o d u c t so f g e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c e s i nr e c e n t y e a r s ，t h er e s e a r c hr e s u l t s i nt h r e ek i n d so fp r o d u c t sh a v es o m e a c h e i v e m e n t s ，e s p e c i a l l yi n i n f i n i t eu n c o u n t a b l ep r o d u c tp r o p e r t i e s h o w e v e r , a t p r e s e n t ，t h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c e s a r e s h o r t t h i sp a p e ru s e st h em a p p i n ga n dc o v e r i n gm e t h o d st op r e l i m i n a r yr e s e a r c ht h e t y c h o n o f fi n f i n i t eu n c o u n t a b l ep r o d u c tp r o p e r t i e s 、e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o na n d o t h e rs o m ep r o p e r t i e s ，a n dh a sg a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m1 ( 1 ) l e tx 2 1 1 。x ，b e s u p e r p a r a c o m p a c t ，t h e ni ti s 仃- c o l l e c t i o n w i s e n o r m a li f q ；f x ，i s 盯一c o l l e c t i o n w i s e n o r m a l f o r e v e r yf r ( 2 ) f o rc o u n t a b l ep a r a c o m p a c tx = 兀。；，t h ef o l l o w i n g s a r ee q u i v a l e n t ：x i s 盯一c o l l e c t i o n w i s e n o r m a l ；v f 【 。，兀 置i s o - 一c o l l e c t i o n w i s e n o r m a l ；v w ，兀胁x f i s盯c o l l e c t i o n w i s en o r m a l t h e o r e m2 ( 1 ) ac o u n t a b l yc o m p a c t ，n e a r l ys u b m e t a - l i n d e l s f 正一s p a c e w i t hc o u n t a b l et i g h t n e s s i sc o m p a c t ( 2 ) ac o u n t a b l yc o m p a c t ，n e a r l ys u b m e t a c o m p a c to f 巧一s p a c e w i t hc o u n t a b l e t i g h t n e s s i sc o m p a c t t h e o r e m3 ( 1 ) as p a c exi sn e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c ti f f o re v e r y o p e nc o v e r 铝= u 。：g t a ) o f xt h e r ei sad e n s es e td a n das e q u e n c e o f i i i o p e nr e f i n e m e n t so f 雹fs u c ht h a tf o re a c hx d t h e r ea r en 。0 9 s u c ht h a tf o r e a c h ，2 仇a n d ( ) 。i saf i n i t es e tf a m i l i t i e s ( 2 ) ac o u n t a b l yc o m p a c t ，n e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c to f 正一s p a c ei sc o m p a c t ( 3 ) as p a c exi sn e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c ti fxi sn e a r l yd i s c r e t e l ys t r o n g l y s u b e x p a n d b l ea n df o re v e r yo p e nc o v e r 铭= u 。：旺a o fxt h e r ei sad e n s es e t dcxa n da s e q u e n c e ( ) 。o f o p e nr e f i n e m e n t so f 彩s u c ht h a tf o re a c h x d t h e r ea r e h x 0 9 s u c ht h a tf o re a c h 竹n a n d 口aw i t h z u 。a n d s t ( x ，) u m ， ( 4 ) l e tx = r 。x 。b el | p a r a c o m p a c t ，zi sn e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c ti f f 曝f 五i sn e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c tf o re v e r yf r ( 5 ) l e tx 。n l 。x b ec o u n t a b l ep a r a c o m p a c t ，t h e nt h ef o l l o w i n ga r ee q u i v a l e n t ：x i sn e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c tf o re v e r y f 0 9 。，。f x i sn e a r l ys t r o n g l y s u b m e t a c o m p a c t ；t h e r ei sh x 0 9 s u c ht h a tf o re a c h 胛r ，q s n x li sn e a r l ys t r o n g l y s u b m e t a c o m p a c t t h e o r e m4 ( 1 ) l e tx 2 珥。x 。b el l - p a r a c o m p a c t ，t h e ni t i sw e a k l ys u b o r t h o - c o m p a c t i f 凡。，x 。i sw e a k l ys u b o r t h o c o m p a c tf o re v e r yf “ ( 2 ) f o rc o u n t a b l ep a r a c o m p a c tx = 兀置，t h ef o l l o w i n g sa r ee q u i v a l e n t ：肖i s w e a k l ys u b o r t h o c o m p a c t ；，v f m 。，兀 置i sw e a k l ys u b o r t h o c o m p a c t ； v 门0 9 ，1 1 m 一。i ss u b o r t h o c o m p a c t k e yw o r d s ：t y c h o n o f fp r o d u c t ，e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n ，n e a r l ys u b m e t a c o m p a c t s p a c e s n e a r l ys t r o n g l ys u b m e t a c o m p a c ts p a c e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛整理工太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名： 学位论文作者签名： 兰乙广月 冲- 年j 月泣日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王塞堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑理王塞堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 多己广月 加1 年三月1 日 第一章引言 第一章引言 1 国内外研究现状 拓扑学发展于1 9 世纪，是研究拓扑空间与它们之间的连续映射的一个数学 分支，拓扑学的主要问题是研究图形的拓扑不变性( 量) 。度量空间和紧空间是 拓扑学里面两个最基本的应用比较广泛的空间，而仿紧空间又是二者最成功的推 广。无论是从理论还是应用角度而言，仿紧空间都是一般拓扑学的一个基本而重 要的组成部分。它在几何、拓扑、流形和泛函等数学分支中有重要的应用。仿紧 空间深刻地影响并有力地推动着一般拓扑学的发展。广义仿紧空间是仿紧空间的 一个重要的推广，称之为覆盖性质理论，是当代点集拓扑学的一个基本的重要组 成部分。广义仿紧空间的性质的研究开始于二十世纪八、九十年代，国际上日本， 美国、芬兰等国出现了一批著名的拓扑学家，在对广义仿紧空间类的有限 t y c h o n o f f 乘积、可数无限t y c h o n o f f 乘积、z 一积、逆极限及等价刻画的研究 中取得了许多令人瞩目的结果。对于广义仿紧空间类的无限不可数t y c h o n o f f 乘 积、逆极限、z 一积性质、等价刻画及应用是当前国内外拓扑学者非常感兴趣并 且积极投入的课题。 2 选题依据 目前拓扑学者热衷于仿紧空间的乘积性的研究，对仿紧空间乘积性的研究开 始于二十世纪四、五十年代，最初人们发现：两个正规空间的乘积未必是正规的 并且两个仿紧空间的乘积也未必是仿紧的。那么，两个仿紧空间其中一个因子空 间或者两个因子空间需要增加怎样的条件才能保证乘积仍然是仿紧的? 若是有 限个，可数个，无限个仿紧空间是否仍保持相同的性质? 这类问题在国际范围内 一直是众多学者感兴趣的问题。，本文依照这一思想，对几种广义仿紧空间的无 限不可数乘积、等价刻画及其它一些性质进行了研究。 3 本论文的主要结论 在对t y c h o n o f f 乘积的研究中，论文的难点在于：每一个或部分x ( i a ) 是p 性质( 代表盯一集体正规、弱s u b o r t h o 紧、几乎强次亚紧) 空间，寻找一个 充分必要条件，使得x = r 。x 。是p 性质( 代表盯一集体正规、弱s u b o r t h o 紧、 几乎强次亚紧) 空间，即a 是从有限到可数，从可数到无限，广义仿紧空间的p 乘积( 即x = r 。x 。) 能够与见e ，x o ( v f 【】“) 保持同样的性质。 本文的创新点在于：根据已有的文献找出具有这些乘积性质的空间，如：口一 集体正规空间、弱s u b o r t h o 紧空间、几乎强次亚紧空间。并根据需要构造出相 应的子集族和映射等新的方法，来解决广义仿紧空间相应的p 乘积。同时通过构 造开加细序列的方法和利用覆盖性质给出了几乎强次亚紧空间的等价刻画定理。 其意义在于：通过对空间的乘积性质的研究，归纳总结出可数无限t y c h o n o f f 乘 成都理工大学硕士学位论文 积、一积、逆极限是否存在着某些规律：即一种乘积性质成立，另外两种乘积 性质是否也成立? 同时也深化了对某些空间性质的认识。本论文通过对盯一集体 正规空间、几乎次亚紧、几乎强次亚紧空间及弱s u b o r t h o 一紧空间的研究，得出 结论： 1 、( 1 ) 如果x = q 。：x ，是兄一超仿紧空间，则x 是口一集体正规空间当且仅当 v f i x r ，x = 珥。f x ，是盯一集体正规空间。 ( 2 ) ) ( _ h 。x 是可数仿紧的，则下列三条等价： ( a ) x 是盯一集体正规的： ( b ) v f e 叫”，r k ，置是盯一集体正规的： ( c ) v n 咄h ；。置是盯一集体正规的。 2 、( 1 ) 几乎次亚l i n d e l 6 f 、可数紧度的可数紧z 一空间z 是紧空间。 ( 2 ) 几乎次亚紧、可数紧度的可数紧正一空间爿是紧空间。 3 、( 1 ) 空间x 称为几乎强次亚紧空间当且仅当对x 的每个定向开覆盖彩，存在 z 的一个稠密子集d 和彩的开加细序列 ，使得对于v x d ，存在 毽国，使得v n 毽，有( ) ；是有限的集族。 ( 2 ) 几乎强次亚紧、可数紧正一空间x 是紧空间。 ( 3 ) 空间z 是几乎强次亚紧的当且仅当x 是几乎离散强次亚可膨胀的，并且 x 的每个开覆盖彩= 玑：盯) ，都存在x 的稠密子集d 和彩的开加细序列 ( ) ，使得对于坛d ，存在n x ，使得v 以取且口，有x 虬，并且 s t ( x ，) c u 口m ： ( 4 ) 如果x = r l 。：x 。是i l - 仿紧空间，则x 是几乎强次亚紧空间当且仅当 v f 【r ，r 。，以是几乎强次亚紧空间； ( 5 ) 如果x = r g 。x 是可数仿紧空间，则下列三条等价： ( a ) x 是几乎强次亚紧的； ( b ) v f 【国】“，r k f x 是几乎强次亚紧的； ( c ) b n , ，使得v n 取，q 。x ，是几乎强次亚紧的。 4 、( 1 ) 如果x = 几。：x 。是l f _ 仿紧空间，n x 是弱s u b o r t h o 一紧空间当且仅当 v f 降r ，x = n 二f x 。是弱s u b o r t h o 一紧空间。 ( 2 ) x = q 。x 。是可数仿紧的，则下列三条等价： ( a ) x 是弱s u b o r t h o - 紧的： ( b ) v f c o 】“，兀j fx i 是弱s u b o r t h o 一紧的： ( c ) v n ，q ；。置是弱s u b o r t h o 一紧的 2 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1集合的基数与序数 集z ，i ，称为等势，如果存在由艇0 y 上的一一对应映射。对每一集z 给以一 个基数i x i ，使l x l = l r l 当且仅当z ，】，是等势的。有限集的基数定义为这集的元素 个数，称为有限基数，相反情况称为无限基数。所有自然数所成集的基数记 作k 。，即i 卅= k 。；所有实数所组成集r 的基数记作c ，即i r | = c 。一个集是可 数的，当且仅当它是有限集或具有基数k 。 关于基数的和与积规定如下：两个基数册，胛的和m + n 规定为集z u 】，的基 数，这里i x i = m ，i 】1 = 刀且z n 】，= o 。所，行的积肋规定为集x y 的基数，这 里l z l = 聊，吲= 刀。对每一个m ，2 ”规定为集x 的一切子集所成集族的基数，可 以证明2 ”o = c 。更一般地规定胛”为所有x 到r 内的映射所成集的基数，这里 l x l = 肌，i y i = 疗。可以证明： 雄“+ 。2 = 丹”行”2 ， ( 栉1 i 2 ) ”= n ，l f ， ( ”“1 ) ”2 = n m j 恍 关于两个基数大小规定如下：设m ，栉是两个基数，i x f = m ，lr | = ，l ，- 规定 m 疗( 或咒肌) ，如果存在由艇r 内的单映射。由c a n t o r - b e r n s t e i n 定理： m 栉及栉所jm = 以。k 。是最小的无限基数，两个基数，如果至少有一个是 无限基数，则它们的和或积等于其中非较小的一个( 在积的情况这两个基数都异 于零) ，特别有m + m = m m = 所，m k o 。 如果m n i l m 胛，则规定m n ( m l j 、于玎) 。可以证明，对每一个基数m ， 有m 的子序列。 ( 6 ) ，称为1 序列覆盖映射，若对于y 蒋在并f 。1 ( y ) 满足：如果】，中的序 列 y 。) 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 的序列 x 。 使得每一毛f 。1 ( 儿) 。 ( 7 ) ，称为2 序列覆盖映射，若对于y 场b ，。1 ( y ) 满足：如果j ，中的序列 ( y 。 收敛于j ，那么存在x 中收敛于点x 的序列 x 。) 使得每一矗，。1 ( 以) 。 2 3 符号说明 为了统一起见，本文采用了通用的记号和术语。 以r 表示直线，q 和，分别表示r 的自然数子集，有理数子集和单位区间。 有三种含义，一是r 的子集u o ) ，二是第一个无限序数，三是最小的无限 基数，它的确切含义在上下文中是不会混淆的。 两个集a ，b 的并，交及差分别表示为： 一u 占= x ：工4 茸h b ) ， 4 n b = x ：x a r x b ) ， 4 一b = x ：x a f i x 硭b ) 。 这里”，”萑”分别表示”属于”，”不属于”。空集用。表示，爿n 占= 中 表示集4 与集b 不相交；a b = 表示a c b ，也就是z a jx e b 。符 号”j ”表示”蕴含”。符号”铮”表示”当且仅当”。a c b 时称为a 是b 的 子集。如果a c b 且a b 称为4 是b 的真子集，空集是任何集的子集。 以集为元素的集称为集族，或简称为族。集族 4 ) 心，或写作 a r ：，f ) ， 这里r 是指标集。由集组成的序列 4 ，4 ：，以，) 为集族的特例，这时可表示为 爿。 。v ，或写作 以：n n ) ，这里指标集是自然数集，或省去指标集记为 彳。) 或 一。) 二。集族的并，交可表示为u 心彳，n ，e ra ，；在集的序列情况下则为 u 。a 。( 或u 麓以) ，n 。以( 或n ：。a 。) 对于空间x ，j 和f 均表示工上的拓扑。对于集和x 的子集族矿，x x ， ac x ，记 ( 沪) ( ，】- p 沪：x p ， ( 泸) 。= p 垆：p n a o ) ， l = p n a ：p ， s t ( 膏，, y w ) = u ( 泸) 。， s t ( a ，驴) = u p 驴：p n a ) ， 驴”= 矿c 沪：是有限的 1 0 第二章预备知识 若b q ) 是z 中的一列点， 表示x 的子集 x n ：n ) ，( 矗) 表示笛 卡儿积z 。中的第n 个坐标为x 。的序列。像通常一样， 工。 表示x 中的第胛项为 毛的序列。对于z 中有多个下标的序列，如 ，分别记 ) 。和 。为固 定m 关于刀和固定”关于t r 的序列。若空间z 的序列 x 。) 收敛于点x ，记 x a = x ) u ( x n ：弗) 。对于空间z 的子集族驴及映射f ：彳一y ，分别记泸的 c l ( 泸) = c l ( 沪) ：p 泸 及p 在的象厂( p ) = 厂( p ) ：p 。对于积 空间兀。，以及研n ，以万。：兀。以专x 。及表示n 。以在第m 个坐标 上的投影映射。 未定义的以文献 1 蒋继光的 为准。 成都理工大学硕士学位论文 第三章z 上b _ 要结论弟二早芰三石1 = 匕 3 1盯一集体正规空间的无限乘积性质 定义1空间x 称为七一超仿紧的，如果x 的每个势j j 的开覆盖有一个互外的开 加细。 定义2 空间x 称为超仿紧的，如果对每个七，x 是七一超仿紧的。 定义3空间x 是盯一集体正规的，如果对x 的任一离散闭集族彩= 蛑：f ) ，存在x 的一个盯一互外的开集族彩= u 镪，使得v 竹e ，镅 = ( 巩善：f ) 是互外的，并且v f ，c u 畦： 定义4 设 ，故u ( ) 。：i e 国) 是】，的可数开覆盖，从而有有限 子覆盖。不失一般性，可设 杉( ) 啊彩，1 i 盼覆盖y ，若令 t = m a x n ，：1 i j j ，则 儿1 工、u u ( ) 。：l f f ) ， 从 而 只+ 】匹lj k ：1 s i k ) 矛盾。 显然，几乎次亚紧空间为几乎次亚l i n d e l o f 空间，因此有： 推论1 几乎次亚紧、可数紧度的可数紧正一空间j 是紧空间。 注1几乎次亚紧、可数紧度的可数紧正一空间是紧空间吗? 3 3几乎强次亚紧空间 定义l 空间x 称为几乎强次亚紧空间，若对x 的每个开覆盖彩，存在x 的 一个稠密子集d 和彩的开加细序列( 雹磊) 。，使得对于v x d ，存在以，使 得v n 以，有( ) ，= u “：x u ”) 是有限集族。 定理1空间x 称为几乎强次亚紧空间当且仅当对x 的每个定向开覆盖彩， 存在x 的一个稠密子集d 和彩的开加细序列 ，使得对于v x d ，存在 行，口，使得v n 珂。，有( ) 。是有限的集族。 证明：( j ) 设彩是x 的任一开覆盖，令彩= 【j 彩：彩是彩的有限子族 ， 则彩是x 的定向开覆盖。令 雹幺 是彩的开加细序列，它关于x 的稠密子集d ， 成都理工大学硕士学位论文 使得对于v x d ，存在n x ，使得v n n x ，有( 铝磊) 。是有限集族。 ( 乍) 对确定的n ，v u ”，j 彩的某个有限子族彩( u 8 ) 使 u ”【j 彩( u 。) ，令( ) = u ”n u ：u 彩”) ) ，则( u ”) 是有限的，且 u ”= u “) ，从而= u ( 矿) ：u ”) 是彩的开加细。由此，我们得到 彩的开加细序列 任取x d ，则存在行。珊，使得v n 胛。，( ) 。是有限集族，不妨设 ( ) 。= 纠n ，叼，w ) ，则( ) ，= ( w ) ：w ，1 f k 由于( 叼) 是有 限的，故( 够= ) 。是有限集族。因此，x 是几乎强次皿紧空间。 问题1 上述定理中能否把定向开覆盖换成单调开覆盖? 定理2 几乎强次亚紧、可数紧正一空间z 是紧空间。 证明：设彩是z 的任一开覆盖，则存在石的稠密子集d 和彩的开加细序列 ，满足：对于v x d ，存在心，使得v n 怯，有( ) ，是有限集族。 由于石是五一空间，我们可以假定对每个矿 雹磊：n m ，对应地存在彩的一 个【，( 矿) ，使旷u ( 矿) 对确定的阼( - 0 ，令= 眈：口a 。) 。对人。中互不相同的，口2 ，吼，令 e ( q ，) = n 。、u 虬：a a 。、 喁，) 易知， 只 ) ：口人。) 是可数紧空间_ ：| f 中的离散集族，因此它是有限的，从而存在留玩的有限子族雹磊，覆 盖 e ) ：口a 。 ； 同理， 存在的有限子族：覆盖 e ( q ，) 、u 1 q ，口2 a 。，q ) ；以此类推，可得鼋瓯的有限子族序列 。 ，使u 胁 覆盖u e ( q ，吒，吼) ：q a 。，i k ，ke ) 任取z d ，存在”。，使得v n 栉。，有( ) 。是有限集族，不妨设 ( ) ，= 眠， ，则x e ( 嘶，吼) ，因此= u 。j 是d 的一 个可数开覆盖，记= ：v ) ，则是d 的一个可数闭覆盖。 假设不能有限覆盖d ，任取五d ，存在k ，使五k ；取x 2 d f ， 则存在k 纩使而k ，且e h x 是正一空间知存在x 2 的开邻域岛，使是n k = a ， 从而( 夏n 巧) n 巧= o ；归纳地，取。d u v ：l g i - - - - r l x ， 有o r d ( x ，) 引理1设七是一个基数，如果空间x 是i 一仿紧的，z 是一个定向集且l l = k ， z ：o 是x 的一个定向上升开覆盖，则存在x 的定向上升开覆盖 k ：o z 使得v o ，有c 1 ( k ) c 以 根据定义4 ，显然有下面的引理： 引理2 几乎强次亚紧空间的闭子集是几乎强次亚紧的。 证明：设，是几乎强次亚紧空间的闭子集，且善是f 的开覆盖，甜孝，3 g ( u ) 开于x ，使得u = g ( “) n f ，从而 g ( ) ：甜孝) u z f ) 是x 的开覆盖，从而存 在一个稠密子集d 和 g ) ：“毋u x 一毋的开加细序列( ) 。且 = u ，使得对于垤e d ，存在吃e ，使得v 珂q ，：有o r d ( x ，) 从而令磁= f n f = p n ：口，f ，f n o ，则影是孝的开 加细。v x d n f ，显然d n f = d n f ；石n f = f 即d n f 稠密于f ，存在 心国，使得v n 以，满足o r d ( x ，睨) m 事实上，。筑= 纩n f c 从而l n f i = l l ，从 面o r d ( x ，。糍) ，都存在x 的稠密子集d 和彩的开加细序 列( ) ，使得对于e d ，存在以，使得锄且口e y - , ，有x 吼，并 j i s t ( x ，) cu 口q 证明：( j ) 是显然的，下面我们证明( 仁) 。 设彩是x 的任一开覆盖，v u 彩，令肘( u ，彩) = x l j u 钐：u u ， 则 ( 1 ) 肘，彩) ：u 彩) 是x 中的离散闭集族，并且对于v u 彩，当 1 7 成都理工大学硕士学位论文 m ( u ，彩) a 时有【j u 彩m ( u ，彩) n u + a ) = u 由此，定理中的条件可以合并为下面的条件： ( 爿c ) x 的每个开覆盖彩= 巩：口a ) ，都存在x 的稠密子集d 和彩的开加 细序列( ) ，使得对于垤d ，存在n x 国，使得v 疗r 和口，有x 以， 并且盯( x ，口) c u 。，并且集族e 雹d ：s t ( m ( u ，彩) ，) 是有限的。 我们把满足上面条件的序列( 寥，广) 。称为彩i i * 一加细序列。 下面我们证明x 是几乎强次亚紧的。 设铝是x 的势为= 的任一开覆盖， 记 铝乞= 彩= 叱口：0 “ a ) ，6 7 1 o = a ) 对v s 】讪一 o ) ，令= u 。：口 下面我们用归纳法定义彩的开加细u 形和髟 假设对于v t n k c o 。，= 。：0 口 扔，彩的开加细u 髟已经定 义，则砜，= u 5 髟，并且我们设( 。) 是开覆盖 ，：甜 m 的宰一加细序列。 存在n x 彩，使得v n 2 吃和0 口 旯，我们构造u 彩。 令屹，f 。= 眈，n u 脚，s t ( x - u 唧。，彩二) ，。= 吼册：o 口 兄 ， 叨。= 彰u ( s r ( 膨( u u 髟) ，。) ) ：u ，则易证 ( 2 ) 印辑。u 彩名。是x 的开覆盖，并且。u 彩r 。是彩的开加细，故我们 构造出了彩的开加细序列 铝乓u g 髟：j 陋】” 于是归纳定义完成。 ( 3 ) d ，我们证存在s p 】。，使得o r d ( x ，u 形) 事实上，对j t 国，使得v 露屯用归纳法定义【r ， o ，由x 茌u d 。“：，进而2 - - - o t t 和x ， ：，因而 必有g