（应用数学专业论文）几类捕食食饵系统的稳定性与hopf分支.pdf

摘要 近年来，分支问题的研究已成为动力系统中的重要研究课题之一，并在力学、 物理学、化学、生物学、生态学、控制、数值计算、工程技术以及经济学和社会科学 中得到广泛的应用在种群动力学中捕食食饵系统是一种基本结构，研究捕食系统 对于理解现实世界具有重要的指导意义基于此，本文研究两类捕食系统的稳定性 与分支问题 第二章，研究了一类具有h o l l i n gi i 型功能性反应函数的多时滞的两个捕食者单 个食饵系统的稳定性与h o p f 分支问题当同时考虑两个捕食者的妊娠期及第二个捕 食者的成熟期时，首先利用h o p f 分支理论分别获得在两个时滞相等和不相等两种情 形下正平衡点渐近稳定的充分条件以及在其周围出现周期解的条件其次利用规范 型方法和中心流形定理，得到确定周期解的分支方向、分支周期解的稳定性等显式 算法进一步利用全局h o p 盼支定理得到分支的全局存在性的条件最后，通过一些 数值模拟验证了所得结论的正确性 第三章，当同时考虑食饵及第二个捕食者对自身都具有反馈时滞时研究上述系 统的稳定性与分支问题得到了两个时滞在各种不同情形下正平衡点渐近稳定和系 统存在h o p f 分支的条件进一步，利用规范型方法和中心流形定理研究分支周期解 的性质最后，利用计算机数值模拟的方法验证理论分析的结果 第四章，研究了一类同时具有阶段结构和对捕食者收获的捕食者一食饵系统的 稳定性及h o p f 分支问题，其中系数依赖于时滞利用h o p l s ) 支理论及几何稳定开关 准则等方法，分别讨论边界平衡点及正平衡点的局部稳定性得到随着时滞的增加， 正平衡点出现开关现象即当时滞经过一些临界值时，正平衡点由稳定变为不稳定 最后又到稳定对于所得结论同样用数值模拟验证模拟还发现，改变收获努力量 也会破坏系统的稳定性，甚至引起捕食者的灭绝 关键词：捕食食饵；稳定性；h o p f 5 ) 支；规范型；中心流形定理 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fh o p fb i f u r c a t i o np r o b l e m sh a sb e e no n eo fi m p o r t a n t s u b j e c t si nd y n a m i c a ls y s t e m sa n dh a sb e e na p p l i e de x t e n s i v e l yi nm a n y f i e l d ss u c ha s m e c h a n i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , e c o l o g y , c o n t r o l ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s ，e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ya n de c o n o m i c sa n ds o c i a ls c i e n c e sa n d s oo n t h ep r e d a t o r - p r e y s v s t e mi st h ef u n d a m e n t a ls t r u c t u r ei nt h ep o p u l a t i o nd y n a m i c sa n ds t u d y i n gt h e s es y s t e r n si si m p o r t a n t t ou n d e r s t a n dt h er e a lw o r l d b a s e do nt h o s ef a c t s ，w ec o n s i d e rs t a b i l i t y a n dh o p fb i f u r c a t i o no ft w ok i n d so fp r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hm u l t i p l ed e l a y s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o no fad e l a y e dt w op r e d a t o r - o n ep r e ys y s t e mw i t hh o l l i n g i if u n c t i o n a lr e s p o n s e f i r s t l y , b ya p p l y i n gh o p fb i f u r c a t i o n t h e o r y , t h ec o n d i t i o n so fs t a b i l i t yo f t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n de x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i c s o l u t i o nw i t ht w os a m ed e l a y sa n di n e q u a l i t ya r er e s p e c t i v e l yo b t a i n e d ，w h e nt h eg e s t a t i o n o ft w op r e d a t o r sa n dm a t u r et i m eo ft h es e c o n dp r e d a t o ra r ec o n s i d e r e d a tt h es a m et i m e s e c o n d l y , a l le x p l i c i ta l g o r i t h md e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o na n dt h e s t a b i l i t yo fb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n si sg i v e nb yt h en o r m a lf o r mm e t h o da n dt h e c e n t e rm m f b l dt h e o r e m f u r t h e r m o r e ，t h eg l o b a lh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r e m i su s e dt og e t t h ec o n d i t i o no ft h eg l o b a le x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o n m e a n w h i l e ，s o m en u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa r ec a r r i e do u tt oi l l u s t r a t eo u ra n a l y t i cr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，t h es t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o no f t h ea b o v es y s t e ma r ei n v e s t i g a t e d w i t hf e e d b a c kd e l a yt ot h ep r e ya n dt h es e c o n dp r e d a t o r , r e s p e c t i v e l y s o m ec o n d i t i o n s o fs t a b i l i t yo fe q u i l i b r i aa n dt h ee x i s t e n c eo fl o c a lh o p fb i f u r c a t i o na r eo b t a i n e d f u r t h e r - m o r e ，b yu s i n gt h en o r m a lf o r m a lm e t h o da n dt h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ，w eg w e t h e d r o p e n i e so fp e r i o d i cs o l u t i o nb i f u r c a t e df r o m t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m s o m en u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa r ea l s og i v e nt ov e r i f y0 1 1 1 t h e o r e t i c a lr e s u l t si nt h ee n d i nc h a p t e r4 ，t h es t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o ni nap r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g e 。 s t r u c t u r ea n dh a r v e s t i n gi sp r e s e n t e da n ds t u d i e d ，w h o s ec o e f f i c i e n t sa r ed e l a y d e p e n d e n t t h es w i t c hp h e n o m e n ao c c u r so nt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mw i t ht h ed e l a yi n c r e a s i n g t h a t i s t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ms w i t c h e sf r o ms t a b i l i t yt oi n s t a b i l i t ya g a i n t os t a b i l i t yw h e n t h ed e l a yc r o s s e so v e ras e q u e n c eo fc r i t i c a lv a l u e s s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r e i n c l u d e d s i m u l a t i o n sa l s os h o wt h a tc h a n g i n gt h eh a r v e s t i n gm a ya l s od e s t r o yt h es t a b i l i t y o fs y s t e m ，o re v e nc a u s e st h ep r e d a t o rt od i e k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e y ；s t a b i l i t y ；h o p fb i f u r c a t i o n ；n o r m a l f o r m a l ；c e n t e rm a l l i f o l dt h e o r e m 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：孟萄九 日期：孙i 。年乡月；j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务 作者签名：盂南良 聊雠：一 y 、，1 日日 岁2 月月 毒f 年年 卟小 弘如 期期日日 第一章绪论 正如b e r t t a 1 所指出，由于捕食食饵系统的广泛存在性和重要性，捕食者和食 饵之间的动力学关系一直是也将继续是生态学和数学生态学上的一个主要课题因 此，研究捕食系统有着重要的现实意义本章首先主要介绍捕食系统的研究背景，其 次概括介绍分支与分支周期解的研究与发展，最后列出本文所用的主要工具 1 1 研究背景 生物数学是生命科学与数学之间的一门新兴边缘学科，它是应用数学理论与计 算机技术研究生命科学中数量性质、空间结构形式，分析复杂的生物系统的内在特 性，揭示在大量生物实验数据中所隐含的生物信剧2 1 而生态学是研究生物体与它 们周围环境之间关系的一门科学具体地说，它是研究生物的生存条件，生物种群与 环境之间相互作用的过程及规律的科学【3 1 经过一个世纪的发展，生物数学产生了 许多重要的分支学科比如，研究生态学中种群之间相互作用以及种群与环境之间 相互作用的种群动力学；研究传染病发展过程和传播规律的流行病动力学；研究细 胞相互作用和细胞生长规律的细胞动力学；研究分子间化学反应动力学另外，微 生物培养技术、种群遗传基因频率的变化、病毒入侵、生物进化论规律、人类神经 网络、基因调控网络、血药浓度等均可用动力学方法来描述【4 】 回顾“生物数学”，知道其已有近百年的历史而人们最初对生物数学的认识和 研究是从人口数量增长的研究开始的，早在1 6 世纪，我国明朝的著名科学家徐光启 就曾用数学的方法估计过人口的增长“头三十年为一世”，这是把数学用于种群生 态学的最早史例【5 1 最为著名的工作要数英国教士、人口学家m a l t h u s 6 在1 7 9 8 年建 立了最简单的人口增长模型： ( f ) = r n ( t ) ， ( 1 1 ) 其中( f ) 为t 时刻的人口的总数，= 优一肛为人口的增长率，m 和n 分别为出生率和死亡 率，得到了人口按几何级数增长理论由于m a l t h u s 忽略了有限的资源对种群增长的 影响，因此他所建立的人口增长模型很快被人们提出了质疑1 8 3 8 年，比利时人口统 计学家p f v e r h u l s t 7 在他的同事a l j q u e t e l e t 8 所提出的增长阻抗概念的启发下， 提出了著名的单种群l o g i s t i c 方程 掣：( 0 1 1 r u ( t ) l 一掣】， ( 1 2 )_ 2一了j ，l i z j 口za 其中“( f ) 表示t 时刻的种群密度；厂 o , q 做内禀增长率且表示种群个体的平均出生率 和死亡率之差，它反映了物种内在的特性；k o n q 做环境的容纳量且反映了资源丰 富的程度这种种群密度对种群规模增长的抑制作用，称为密度制约【3 1 到了1 9 0 0 年， 几类捕食- 食饵系统的稳定性与h o p f s 支 意大利著名数学家v o l t e r r a 在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的尝 试 的演讲，才为生物数学的发展奠定了一个里程碑l o t k a 9 】和v o l t e r r a 1 0 分别在 研究化学反应和解释f i n m e 港鱼群变化规律时提出著名的l o t k a - v o l t e r r a 模型使生物 数学的发展进入了一个新阶段然而由于战争的原因，使得刚刚兴起的数学生态学 以及更广泛的生物数学未能得到健康发展直到2 0 世纪5 0 年代，电子计算机的出现 又重新激励了生物数学的发展并且此后生物数学的研究已成为一个非常流行的研究 课题，尤其近3 0 多年来，生物数学的研究得到了蓬勃发展【l l 】v o l t e r r a 把f i n m e 港中的 鱼分成了两类：食用鱼与掠肉鱼，后者捕食前者分别用( f ) 和p ( f ) 表示t 时亥l j f i n m e 港 中的食用鱼与掠肉鱼的数量，建立了如下经典的捕食食饵模型 ? _ n ( t ) ( a - 卯9 ( 1 3 ) ip ( f ) = y ( c n ( t ) 一刃， 其中b 称为捕食系数，即平均每一个捕食者捕食食饵的的数量；c 为捕食效率常数， 即捕食者捕食食饵并进而转化为更多的捕食者的系数虽然模型( 1 3 ) 可以解释一些 生态学现象，如f i n m e 港鱼群变化规律，但是在建模时忽略了种群内部的竞争机制， 因此模型( 1 3 ) 有很多不合理的地方比如由于食饵没有密度制约项，故其数量会无 限增长，实际上这是不可能的 在模型( 1 3 ) 中( f ) 表示单位时间内每一个捕食者所吃掉的食饵数量，称为捕食 者对食饵的功能性反应函数所谓的捕食者功能性反应函数是指单位时间内每个捕 食者所吃掉的食饵数量与食饵及捕食者数量之间的函数关系它除了依赖于食饵的 密度，还反应了捕食者的捕食能力更精确地说，捕食者功能性反应函数不仅受食 饵密度大小的影响，而且受捕食者密度本身的影响，深刻地反映了捕食行为的内在 规律因此在建立生物数学模型时，通常会考虑影响模型非线性因素之一就是功能 性反应函数1 9 6 5 年h o l l i n g 1 2 在实验的基础上，对不同类型的物种，提出的三种不 同的功能性反应函数厂( 曲： h o h i n gi 型功能性反应函数u ( 力： 盖 0 sx s 口) ，它适用于藻类、细胞等 i b ，x a ， 低等生物： h o u i n gi i 型功能性反应函数叭工) = 蔫) ，它适用于无脊椎动物； h o u i n g 型功能性反应函数盯( 曲= 百a x 露2 ) ，它适用于脊椎动物h o l l i n gi - i i i 型 功能性反应又称为食饵依赖型功能性反应然而捕食者与食饵的相互关系很复杂， 这种关系不是一朝一夕形成的，而是经过长期的协同进化形成的另一类同时考 虑食饵和捕食者密度的影响，称之为捕食者依赖型功能性反应( 比如，h a s s e l l v a r l e y 【1 3 ，b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 型 1 4 - 1 7 】，c r o w l e y m a r t i n 1 8 和比率- 依赖型 1 9 - 2 1 ) 特别地，b e d d i n g t o n 1 4 和d e a n g e l i s 1 5 于1 9 7 5 年分别在研究寄生虫和营养模型时 2 兰州理工大学硕士学位论文 提出了被称为曰p 砌f ，l g f d 以一d 以，l g p 凰功能性反应函数厂( 戈) = 焉舞i 它类似于前面 的h o u i n gi i 型靠，但是在分母上增加了捕食者之间相互作用项c y ；与比例依赖型 反应瓦a x 有相似的性质，但是避免了比例依赖反应在低密度时的奇异行为从数学上 来说，h o n i n gi i 型和比例依赖型反应函数都是b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应函 数的极限情形：前者相当于b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应函数中的c = 0 ，后者 相当于a = 0 由于b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 函数不同于单调或者非单调反应函数，并 且它发生在大量的自然界作用过程中，还可以解释大量的从生物上是合理的演化过 程，因此其有进一步研究的价值许多学者对具有这些功能性反应函数的生物模型 做出了大量的研究工作 1 3 ，1 6 - 1 8 ，2 1 2 6 模型( 1 2 ) 中还忽略了时间滞后的作用( 即种群繁殖的妊娠期或幼年种群到成年 的成熟期) ，因此它不能更好的反映现实世界中种群的发展变化规律为了考虑这些 影响种群的因素，e m w r i g h t 2 7 】在考虑妊娠期及其他因素的滞后作用上给出给出 了比( 1 2 ) 更为精确的时滞系统： 了d u ( t ) ：础( 0 1 1 一兰掣】，丁 0 ( 1 4 ) 口la 更一般地有： u u - 。t ) = u ( t ) f ( u ( t t ) ) ，丁 o ( 1 5 ) i 自然界中有许多动物种群( 例如昆虫、两栖动物、甲壳类动物等) 的个体要经历 不同的生命阶段最终演变成成年个体例如蛙类的成长明显地包含卵、蝌蚪、成年蛙 三个基本阶段，具有这类性质的种群称为具有阶段结构的种群1 2 8 1 在种群的每一个 生命阶段，其死亡率、生存至下一个生命阶段的转化率都依赖于其生存环境及其本 身的形态和大小另外，种群的生长常常有一个成长发育的过程，即从幼年到成年、 从不成熟到成熟、从成年到老年，而且在其成长的每一个阶段都表现出不同的特征， 如幼年种群没有生育能力、捕食能力和竞争能力，生存能力弱等因此，在研究种群 相互作用时，作为更精确的要求，也要考虑种群的阶段结构早在1 9 9 0 年之前，阶段 结构模型就已经得到了广泛的关注但直至u 1 9 9 0 年，当a i e l l o 和f r e e d m a n 2 9 提出并 研究了具有时滞的阶段结构的单种群模型时，阶段结构模型才有了真正意义上的进 展 3 0 - 3 2 1 1 2 分支与分支周期解的研究与发展 上个世纪以来，在核物理学、电路信号系统、生态系统、流行病学、社会经济 学、神经网络系统等自然科学和社会科学的许多学科中提出了大量时滞微分方程问 题这些问题的提出，大大地推动了时滞微分方程的研究，使其在理论上和应用上 都得到很大发展 3 几类捕食一食饵系统的稳定性与h o p f 分支 严格地说，在动力系统中，时滞通常是不可避免的在这个意义下，常微分方程 只是时滞微分方程的一种近似描述如果略去滞量并不改变动力系统解的性态，这 时，用常微分方程去描述动力系统已够精确，而不必顾及系统中的滞量因素如果 略去滞量便达不到必要的精确度，甚至导致错误的系统，或者不考虑滞量便无法建 立所需的数学模型，则需要建立系列新的概念和方法去直接研究系统的解的各种 性态有时为了使系统具有所期望的性态，设法控制滞量和利用滞量，在某些系统 中引入了精心设计的延滞部件因此建立时滞动力系统的理论和研究它的应用是非 常重要和必要的【3 3 1 从上面可以看出，时滞微分系统比常微分方程更复杂，更能精确地描述动力系 统的状态，而研究这类系统比常微分方程更具有一般性而实际应用中，人们关心时 滞对方程解的性态的影响，比如说，滞量在什么范围内，不改变解的稳定性、周期 性等 从理论上，对时滞微分方程的研究主要是沿着两条主线，一条将常微分方程的 研究方法平行地移到时滞微分方程上，如建立了时滞微分方程解的存在性定理、唯 一性定理、判断平衡解的稳定性的l i a p u n o v 泛函方法、h o p f 分支存在性定理等【3 4 - 4 1 另一条是利用临界点理论、不动点理论和拓扑度理论研究时滞动力系统的周期 解的存在性和唯一性，以及利用重合度理论研究多重周期解的存在性 4 1 4 8 】近年 来，分支问题的研究成为时滞微分系统中的重要研究课题之一所谓的分支原为微 分方程理论中的一个名词，它最初的含义为一分为二后来人们将它加以推广，泛 指如果一个动力学系统是结构不稳定的，对任意小的适当的扰动都会使系统的相图 的拓扑结构发生突然的质的变化，这种质的变化称为分支f 3 4 】对分支的研究最早可 以追溯至1 p o i n c a r e 时代，在早期主要集中于常微分方程所确定的连续动力系统的分 支上，特别是集中于平面上退化程度不高的分支上而对于时滞微分系统( 泛函微 分方程f 【) e ) 的分支研究，开始较晚，广度和深度不如常微分方程 所谓一个系统产生h o p f 分支，即当该系统的奇点的稳定性发生翻转时，在奇点 的附近出现周期解的现象对于有限时滞的f d e ，与常微分方程的h o p f 分支定理相 平行的结果最先由c h o w 和m a l l e t p a r e t 于1 9 7 4 年在b r o w n 大学的一本教材中给出后 来，h a l e 对该定理给出了新的证明，并先后写进其专著【3 5 】之后，l i m a 把关于有限 时滞f d e 的h o p f 分支定理推广到具无限时滞的f d e 上在确定一个系统存在h o p f 分 支之后，还要决定分支方向，分支周期解的稳定性、振幅和周期，以及分支周期解 的表示在研究这些问题时，一般要进行简化处理一方面，希望在不改变动力学 性质的前提下把相空间维数尽可能降低；另一方面，力求在等价意义下把微分方程 的形式尽可能化简前者要用中心流形定理，后者要用规范型理论 3 8 ，3 9 虽然利 用h a s s a r d 4 0 方法研究周期解的分支方向和稳定性，其理论较难于理解，计算上较 困难，尤其是对高阶的时滞方程然而，h a s s a r d 方法计算得到周期解的分支方向和 4 兰州理工大学硕士学位论文 稳定性与参数的变化紧密相连即用此方法计算出的h o p f 3 - ) 支的分支方向及周期解 的稳定性公式完全是由系统参数表示的，这就很容易确定当系统参数连续变化时周 期解的分支方向和稳定性随之变化的情况 随着时滞取值进一步增大，时滞对周期解的影响如何? 此所谓的周期解的全 局分支，也称为全局h o p f 分支或者周期解的大范围存在性目前从分支的角度研 究f d e 的周期解的大范围存在性的方法，主要有两种一是把局部的h o p f 分支定 理与n u s s b a u m 的喷点不动点定理结合起来研究时滞微分方程周期解的大范围存在 性另外一种方法是e r b e 等在文献 4 2 】中利用等变拓扑度理论，建立了关于f d e 的全 局h o p f s - ) 支理论关于用度理论研究微分方程的分支问题，参阅k r a w c e w i c z 和w h 写 的专著 4 3 】以及【4 4 ，4 8 关于更多的时滞微分方程的研究，见文 2 2 ，2 4 ，4 1 ，4 9 - 5 9 及 相关的文献 受到文献 4 9 ，5 0 1 的启发，首先，第二章研究了一类具有两个时滞的捕食一食饵系 统的正平衡点的稳定性以及系统的局部h o p f 分支和全) 冒j h o p f ( r 支，接着第三章继续 研究该系统在具有反馈时滞的条件下的正平衡点的稳定性以及系统的局部h o p f 分 支最后，第四章研究了一类具有阶段结构的和对捕食者进行收获的捕食食饵系统 由于同时考虑收获努力量和时滞对系统的影响，所以在研究中对其相应特征方程根 的分析有一定的难度，得到了正平衡点的局部稳定性的条件及h o p f f f f 支存在条件 1 3 预备知识 为了便于阅读本文，这里先将后面的讨论中将要用到的一些主要定义和定理叙 述如下 设以下系统： 害= 弛，力川咖抽，艇舻 ( 1 6 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) 的存在区间是( 一0 0 ，+ 0 0 ) ， 另外，( f 神还满足条件： f ( t ，) = 0 定义1 1 若对任意给定的s 0 ，都存在6 = 6 ( s ，t o ) ，使得当x o r 巧 时( 1 6 ) 的解工( 力= x ( t ，t o ，x o ) 满足： x ( t ，t o ，x o ) 一x | f 0 且 佑) 0 考虑方程 之= 也纰+ g ( z _ ；加五纰+ 咖) 焉+ d ( i z | 川) ， ( 1 1 1 ) 2 茎f + j 兰j 已 _ ， 取 嘶) = 警+ 半+ 丽1 9 2 0 2 - i - 丁9 2 1 ， 兰州理工大学硕士学位论文 又设a m ) = 口) + i w ) ，a ( o ) = 0 ，( o ) = w o ，a 7 ( 0 ) 0 关于分支周期解的性质，有 如下的定理 定理1 4f 4 0 方程( 1 1 1 ) 在原点的分支周期解解的性质可描述如下： ( i ) 周期解的分支方向由如( 功= 2 孑+ ，其中p 2 = 一丽r e c ! 扩( 0 ) ，若口7 ( o ) 0 ，则 当p 2 0 啦2 o ( t 2 0 ( b 2 o ) 为从卜l o 至u x 的所有连续 映射所构成的具有最大模范数的b a n a c h 空间下面在相空间乡中考虑一族具有一个 参数的抽象半线性泛函微分方程 矗( t ) = a r u ( t ) + l ( ，啦) + f o ，比f ) ， ( 1 1 2 ) 其中 ( h i ) a r 生成一个x 上的紧的解析半群 丁( f ) ) f 0 且存在m l 和叫使得对任意的t o 有i 丁( f ) i m e u ； ( h 2 ) a 7 的点谱由一个实数序y g z 女 娩1 构成且相应的特征空间和投影分别为慨和p k ： x - 慨此外，如果芒1 诹= 0 ，那么每个瓢一定为零； ( 日3 ) 每个x d o m ( a r ) 有唯一的表示式x = 芒lp k x r a x = e t _ - lp k p k x ； ( h 4 ) 映射l ：r p _ x 是c 七光滑的 4 ) i e i 由l f p ，妒) = c d 枇，( d ，) 尺乡给出，其中刁，) 是从【_ 丁o 至i j b ( x , y ) 的囿变函数此外，a 7 _ 的特征值的集合可 以写为u 孑缸：i k = 1 ，2 ，胁l ，且子空间现乡满足( 巩) s p a n f l ：，废，雕 ( 七 n o ) ，其中玩= s p a n 磁：1 ，2 ，反= 1 ，2 ，肌j 聊是相应于砖k 的规范 特征函数； ( h 5 ) f ：rx 髟- 贿k 阶连续的f r e c h e t 导数且厂，0 ) = 0 ，w m ，0 ) = o ，p 尺； ( h 6 ) 存在p o r 和0 3 0 o 使得+ w o i 是线性方程 五( t ) = a t u ( t ) + l ( ，阮) ，( 1 1 3 ) 在= , u o 的简单特征值且所有其它的特征值都不是士w o i 的整数倍； ( h 7 ) 方程( 1 1 3 ) 的特征根a ) 在弘= z o 处满足廊a 7 啦o ) 0 7 几类捕食- 食饵系统的稳定性与h o p f 分支 定理1 5 4 8 1 假设条件( h 1 ) ( h 7 ) 成立，那么当在脚附近取值时方程( 1 1 2 ) 有一族 从h = 0 分支出的周期解 8 第二章具有两个时滞的三种群捕食食饵系统的稳定性 - 与h o p 盼支 2 1 引言 近年来，阮士贵等 5 0 】研究了如下的具有h o l l i n gi i 功能性反应函数的两个捕食 者单个食饵的系统 砸，州吼- 一警，一篇一篙， p ( f ) = v ( 力( 一d + t 羔) ， ( 2 1 ) 悱删- d - g w + 篙) ， 其中h ( f ) ，1 ，( 力，w ( t ) 分别表示在t 时刻食饵和两个捕食者的密度r 日，a ，b ，b ，d ，d ，e , e ，墨g 均是正常数阮士贵等【5 0 】通过构造一个恰当的l y a p u n o v 函数，获得了关于系统( 2 1 ) 的 正平衡点的全局稳定性条件 众所周知，由于考虑到成熟时间、捕获时间或者其他因素，某一种或者其他类 型的时滞已经被引入了数学模型在种群动力学中，过去的历史对系统稳定性的影 响是一个很重要的问题一般来说，由于时滞可以使一个稳定的平衡点变为不稳定 平衡点，甚至引起波动，因而时滞微分方程比常微分方程展示了更多的动力学行为 杨 4 9 】在系统( 2 1 ) 中引入了捕食者的怀孕期，模型如下： 刊堋一警，一端一篙， p ( f ) = y ( 力( 一d + 高) ， ( 2 2 ) 悱( - d - g w + 鬻) ， 研究了正平衡点的局部稳定性及h o p 盼支的存在性本章，作为其一个简单的推 广，将在系统( 2 1 ) 中不仅引入1 1 作为捕食者怀孕期还引入1 1 2 作为第二个捕食者的成 熟期，考虑如下系统 枷删- 一警，一篙鬻一篙鬻， 夕l ( 力= ) ，( f ) ( 一d l + t 踹) ， ( 2 3 ) 蜊吲f ) ( 一如一嘞( f _ t 2 ) + 糕) ， 9 几类捕食- 食饵系统的稳定性与h o p f 分支 其中缸f ) ，y l ( f ) ，y 2 ( t ) 分别表示在t 时刻食饵和两个捕食者的密度假设所有捕食者都依 赖于共同的食饵，且以功能性反应函数为h o l l i n g1 型去竞争食饵r , a l a 2 ，b l ，b 2 ， d l ，, 2 ，e 1 ，e 2 ，kg 均是正常数 假设( h 1 ) r t r x 一百a 2 幻y l r 0 ；f 1 ( h 2 ) 哥 , 2 成立，则系统( 2 3 ) 有 唯一的正平衡点f = ( r ，y ：，y 9 ，其数值由下列式子决定 r = k 斌1 e lbldl= 一 1 + b l x a l( r - i r x * 一羔) ，) ，；y 2 叫1 一吃+ 石筹丽) 注意到假设( h 2 ) 中的两个不等式暗示了两个竞争者的死亡率必须要小于相应的增长 率，否则竞争的种群不能共存，即正稳定状态不存在 本章利用文献f 4 1 】中的几何稳定准则来给出( 2 3 ) 正平衡点的局部稳定性及其h o p f 分 支存在条件，以及文献 4 4 ，4 8 】的全局h o p f 分支定理给出( 2 3 ) 的正平衡点的全局h o p f 分 支的存在性条件 其中 2 2 局部稳定性禾l ：l h o p f 支 设“l ( 力= 工( f ) 一r ，u 2 ( t ) = ) ，1 ( d 一) ，：，u 3 ( t ) = y 2 ( t ) 一虻，改写( 2 3 ) 为如下形式 庇l ( d = 删+ a 1 2 u 2 ( t ) + a 1 3 u 3 ( t ) + 舻“似呓， i + j + k 2 2 应：( f ) = 口2 1 h - ( f - 丁- ) + “”丁- ) “i ， i + j 2 = a 3 1 u l ( t - f ) + a 3 2 u 3 ( f 一色) + h 护1 1 ) “妒色) ， i + j 2 r x a l b l x * y ： 卿1 2 一i + 矿而奔+ a 2 1 = ( 1 + b l x l 一) 2 p 1 y ： a 3 1 = a 2 b 2 x + 蚝 ( 1 + b 2 x * ) 2 e 2 y ； ( 1 + b 2 x + ) 2 a 1 2 = a l x 1 + 6 l 工 a 3 2 = 一回；， ( 2 4 ) 舻= 志糕| ( r 删班面1 丽0 + 丽：a ， = 面1 瓦瓦葡+ 瓦j f 3 而 ( r 西鸠) ， f l = 埘t ( 加一警，一鬻黼一 a 2 u l ( f ) 比3 ( f ) 1 + b 2 u l ( f ) f 2 = u 2 ( f ) ( 一d + t 龋) ， f 3 = u 3 ( 力( 一吃一g 比，o 一亿) + t 龋 1 0 兰州理工大学硕士学位论文 为了研究平衡点f = ( r ，) ，：，y ；) 的稳定性，等价于研究系统( 2 4 ) 在原点的稳定性 考虑系统( 2 4 ) 在( 0 ，0 ，0 ) 的线性化的系统 ( 情形1 ) ：丁l = 1 2 = 丁 0 系统( 2 5 ) 相应的特征方程为 a 3 + a 允2 + ( b a 2 + c a ) e 一打+ d e 一2 加= 0 ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中a = 一a l l ，b = 一a 3 2 ，c = a l l a 3 2 一a 1 2 a 2 l a 1 3 a 3 l ，d = a 1 2 a 2 l a 3 2 在方程( 2 6 ) 的两 边同时乘以r ，得到 b a 2 + c a + ( ，+ a a 2 ) p 打+ d e 一打= 0 当1 - = 0 时，方程( 2 7 ) 变为 五3 + ( a + b i i a 2 + c a + d = 0 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 假设 ( h 3 )a + b 0 且( a + b ) c d 根据霍尔维茨准则，如果( h 3 ) 成立，则正平衡点是局部渐近稳定的 为了观察随着1 的增加，某些根的实部是否会增加到零，甚至变为正的当1 o 时，设a = i w ( w 0 ) 是方程( 2 7 ) 的根，则有 一b a j 2 + c w i + ( 一u 3 i a 叫2 ) p 删+ d p 一洲= 0 分离实部和虚部，得到 由式( 2 9 ) 易得 s m = b 山5 + a c o d 3 一c d t o 0 ) 6 + a 2 4 一d 2 s i n 2 叫1 _ + c o s 2 们= 1 ，则有 ( 2 9 ) ，c 。s 析= i ( c - 万a b 雨) o 丽4 - b d c 0 2 ( 2 1 。)，c o s 析= 万再汽万历广 ( z 1 u ) 甜1 2 + 口5 叫1 0 + 臼叫8 + e 3 + p 2 + e 2 + p l ( u 2 + e o = 0 ，( 2 11 ) 1 1 d x ，、 2 “ i ；| 弘 一 口 + 的 “ 口 “ 扣 1 1 h 一 一 h “ h 口 口 口 = = = 力d 力 比 “ “ 掰董董 p m 几类捕食- 食饵系统的稳定性与h o p f 分支 其中p 5 = 2 a 2 一b 2 ，e 4 = a 4 一a 2 8 2 一c 2 ，e 3 = 4 b c d 一2 a d b 2 2 d 2 一a 2 c 2 ，e 2 = 2 a d c 2