（应用数学专业论文）具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性.pdf

n o 。t 3h 苏州大学学位论文使用授权声明 i l l ll l ii i i i i iiii i iu i y 17 3 15 13 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年月解密后适用本规定。 非涉密论文囱 论文作者签名：奎造整e l 导师签名：麈垒纽 日期：塑! ! ：! 至 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 摘要 本文由三部分组成，首先讨论了无穷维f r e n k e l - k o n t o r o v a ( f k ) 模型 奶+ r 奶+ 夕( 彩) = k ( 巧+ 1 2 x j + 巧一1 ) + f j z ， 在无理平均间距的情况下，行波解的存在性，其中r 0 是阻尼系数，g 是 周期为1 的函数，满足詹宣( z ) 如= 0 ，i 夕( z ) i 1 ，及叭z ) i b ，z r ，常数b 0 ， k 0 是位置耦合系数，f 0 为驱动外力所谓系统的行波解，即是： 巧( 亡) = ，0 u + v t ) ，j z ，其中，是波形函数：r _ r ，满足厂 + 1 ) = f ( t ) + 1 u 0 ，钞 0 分别表示粒子的平均间距及平均速度主要得到结论：对任意的 u 0 ，存在f d 0 ，1 】，当f f d 时，f k 系统存在如上所述行波解 接下来讨论了平均间距为无理数时，f - k 模型的单调性及平均速度，得 到结论：当系统满足过阻尼条件，即r 2 以霭f 雨时，系统是单调的此时 存在正不变子集玩，事实上，玩是一个b a n a c h 流形，其元素是宽度有界且 具有无理平均间距的双向无穷序列，在己上平均速度u 存在唯一，且口关 于常外力f 是单调增加且连续的 最后讨论了强阻尼耦合振子系统 奶+ r 奶+ 夕( 巧) = a ( x j + i 一2 奶+ 巧一1 ) + ( 奶+ 1 2 奶- i - 奶一1 ) + fj z ， 得到在过阻尼条件下，即2 汪疆鄢i 一2 p 0 k0 目录 第一章引言1 1 1 研究背景与现状1 1 2 本文的主要工作 第二章f r e n k e l k o n t o r o v a 模型的行波解 第三章过阻尼条件下的单调性与平均速度 3 1 系统的单调性 3 2 平均速度 第四章强阻尼耦合振子系 4 1 行波解 4 2 单调性 4 3 平均速度 参考文献 致谢 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 一引言 第一章引言 1 1 研究背景与现状 随着科学的发展，数学模型越来越多地被应用到其他学科，具有重要作 用的耦合振子系统模型也随之在鬈j 理，化学，生物等学科有了广泛的应用， 如f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型【3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，11 ，1 6 ，3 1 ，j o s e p h s o nj u n c t i o n s 的动力 学【2 ，1 2 ，2 1 ，2 2 ，2 5 ，2 7 ，离散s i n e - g o r d o n 方程【1 9 ，3 2 等由于耦合振子系统有 如此多的应用，因此受到了学者们的广泛关注 f r e n k e l - k o n t o r o v a ( f k ) 模型是耦合振子系统的一种，标准的f k 模型可看 作是在平行平面内运动的一维单摆振子在弹簧的作用下与最邻近的单摆振子 相互作用的模型，也可描述排在一直线上的一串粒子在相互作用势能和周期 位势作用下的运动，其运动方程为 奶+ r 奶+ s i n z j = k ( x j + l 一2 奶+ 巧一1 ) + e 歹z ， ( 1 1 ) 其中巧表示第歹个粒子的位置，r 0 为阻尼系数，k 0 为位置耦合系 数，f 0 是驱动外力当k = 0 时，( 1 1 ) 即为单个振子的方程 若将系统( 1 1 ) 中的惯性项去掉，并作一个时间尺度的变换，即为过阻尼 极限情形，于是我们就得到一阶耦合系统 奶+ s i n 巧= k ( 巧+ 1 2 x j + 吻一1 ) + ej z ，( 1 2 ) 称为超阻尼( s u p e r - d a m p e d ) f r e n k e l k o n t o r o v a 模型对于系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 的 动力学性质的研究，主要体现在系统的单调性与第二类周期解的存在性及稳 定性等方面【5 ，6 ，1 1 ，1 9 ，3 0 单调性( m o n o t o n i c i t y ) ，在物理上又称为禁越规则( n o - p a s s i n gr u l e ) 【3 0 ，1 1 】一 般来说，一个系统的单调性是指若一个系统的两个解在某个初始时刻存在某 种偏序，则在以后的时间里仍然保持这种偏序 一引言具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 第二类周期解，又称r u n n i n g 周期解，具体来说，对系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 的 解 ( t ) ) ，若存在最小的t 0 使得巧0 + t ) = ( t ) + 2 1 r ，t r ，j z 成立， 那么这个解就是系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 的一个第二类周期解 b a e s e n s 和m a c k a y 在【5 】中证明了系统( 1 2 ) 的强单调性，并证得对有限 维系统( 如满足周期边界条件) ，若无平衡点，则存在一第二类周期解且是整 体吸引子在周期边界条件下，粒子的平均间距是有理数文【5 】中定义 u ：l i m 兰；掣， t 一3 - t o o2 一j 若该极限存在，称为粒子【巧) 的平均间距对无理平均间距的情况，【5 】的 方法并不适用，这一点在文 6 】的公开问题中也作了说明 对二阶耦合振子系统( 1 1 ) ，b a e s e n s 和m a c k a y 在【6 】中采用类似的方法得 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 一引言 对于满足周期边界条件的二阶耦合振子系统( 1 1 ) ，在【1 6 】中得出了与系 统( 1 2 ) 类似的结论另外，在 5 ，6 】中所用的方法并不能直接推广到a c - 驱 动的情形上，且在【6 】中也将其列为公开问题，而在 1 6 】中所使用的方法却能 很自然的运用于常数驱动的情况 近年来，强阻尼耦合振子系统也引起学者们的关注，即 奶+ r 奶- i - - g ( x j ) = 口( 奶+ 1 2 吻+ 即一1 ) - i - p ( 奶+ 1 2 奶+ 奶一1 ) + f ，j z ( 1 4 ) 其中p 0 是阻尼系数，g 为周期函数，满足9 - 4 - 1 ) = 9 ( z ) ，且通过尺度变 换可以假设1 9 ( z ) l 1 ，1 9 协) i b ，2 r ，常数b 0 a 0 为位置耦合系数， p 0 为速度耦合系数，f 0 是驱动外力 到目前为止，对于强阻尼耦合振子系统研究结果还很少系统( 1 4 ) 的大 部分研究结果主要局限在满足d i r i c h l e t 条件 x o ( t ) = 0 ，x n 4 - 1 ( t ) = 0 ， 或n e u m a n n 条件 x o ( t ) = z 1 ( t ) ，z n ( t ) = x n + 1 ( t ) ， 下整体吸引子的存在性，如【1 ，7 ，1 0 ，2 3 】关于行波解的研究也主要局限在一 阶格点系统【9 】和二阶系统【l7 】的存在性方面 1 2 本文的主要工作 本文中我们在第二章讨论了无限维f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型 奶+ 耽- 4 - g ( x j ) = k ( 巧+ 1 2 x j + 巧一1 ) + e 歹z ， ( 1 5 ) 这里r 0 是阻尼系数，9 为周期函数，满足9 + 1 ) = 夕( z ) ，詹g ( x ) d x = 0 ，且 通过尺度变换可以假设i 夕( z ) l 1 ，趴z ) i b ，z r ，其中b 0 k 0 是位置 耦合系数，f 0 为驱动外力本章重点讨论了在无理平均间距的情况下， 系统( 1 5 ) 的一类特殊形式的行波解 巧( t ) ) 的存在性，即满足： z j ( t ) = f ( 歹u + v t ) ，歹z ，( 1 6 ) 其中，是波形函数：r r ，满足 f ( t + 1 ) = f ( t ) + 1 ，( 1 7 ) 3 一引言具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 这里u 0 描述粒子的平均间距，口 0 表示每个解的平均速度，一口加表示 满足( 1 6 ) ( 1 7 ) 的行波的波速 我们采用的方法是：先将行波解的存在性问题转化为算子方程的不动点 的存在性问题，然后利用s c h a u d e r 不动点定理得到不动点的存在性，即系统 ( 1 5 ) 的行波解的存在性主要得到如下结论： 定理1 1 对任意的u 0 ，存在f d 【0 ，1 】，当f f d 时，系统一砂存在形 如以矽p 刀的行波解 接下来在第三章，我们讨论了f k 模型( 1 5 ) 的单调性及粒子的平均滑 动速度已知在周期边界条件巧+ 。= + p 下，平均间距为有理数p q ，此时 可将系统( 1 5 ) 约化成一个有限维系统，进一步得到p o i n c a r d 映射的不变曲 线，从而利用圆周映射理论讨论系统( 1 5 ) 的动力学 当平均间距u 为无理数时，上述方法不再适用我们所采用的方法是： 首先做变量变换将( 1 5 ) 转化为一阶系统，即令白= ，仍= 2 奶4 - r 巧，歹z 记专= ( 白) = ( ，f 一1 ，岛，6 ，) r z ，r = ( 仍) = ( ，耻l ，r o ，叩l ，) r z 则系 统( 1 5 ) 变为 骶1葛r麓鬟a2f 2 k 麓一蝻一”嘲毗御皿8 ， l 嘞= + ( 白+ l 一2 白+ 白一1 ) 一2 9 ( 白) 一苦( 仍一r 白) 兰危馐，7 7 ) ，歹z 再令x = ( ，叩) = ( ( 白) ，( 仍) ) r 2 z ，= ( 五，乃) ，进而将系统( 1 8 ) 表示为 艾= 芦( x ) ( 1 9 ) 然后我们再寻找一个b a n a c h 空间e ，使得到的一阶无限系统( 1 9 ) 在e 上有 解接下来在e 上定义偏序，使得系统( 1 9 ) 在过阻尼条件下保持偏序，即 是单调的然后再在单调性的基础上寻找一不变子集合玩，事实上，玩是 一个b a u a c h 流形，其元素为宽度w 有界且具有无理平均间距u 的双向无穷 序列即既= x = ( ( 白) ，( 仍) ) ew ( x ) 2 识丽，则既是系统以功的正不变子集，且在玩上 系统以圳的每个解的平均速度口存在并唯一，另外v ( f ) 关于f 还是单调 增加且连续的 即当平均间距u 为无理数时，存在正不变集玩，使得平均速度秽是存在 唯一的，且 关于常外力f 是单调增加且连续的另外，我们的方法及结论 对平均间距u 为有理数的情况同样适用 在第四章我们讨论了强阻尼耦合振子系统 奶+ r 奶+ g ( x j ) = q ( 巧+ 1 2 x j + 巧一1 ) + 卢( 奶+ 1 2 奶+ 奶一1 ) + f ，j z ( 1 1 0 ) 其中f 0 是阻尼系数，9 是周期为1 的函数，满足i 夕( z ) l 1 ，叭z ) i b ， z r ，常数b 0 口，p 0 分别是位置耦合系数及速度耦合系数，f 0 为驱 动外力 在本章我们同样讨论了在无理平均间距的情况下，系统( 1 1 0 ) 的形如( 1 6 ) ( 1 7 ) 的行波解的存在性，单调性及平均滑动速度得到在过阻尼条件下，即 2 五干丽一2 8 0 k 0 是苦 位置耦合系数，f 0 为驱动外力我们重点讨论系统( 2 1 ) 一类特殊形式 的行波解 ( t ) ) 的存在性，即 巧( t ) = f0 u + v t ) ，歹z ， 其中，是波形函数：r _ r ，满足 ( 2 2 ) f ( t4 - 1 ) = f ( t ) 4 - 1 ，( 2 3 ) 这里u 0 为粒子的平均间距，u 0 是解 巧( 亡) ) 的平均速度，满足( 2 2 ) ( 2 3 ) 的行波解的波速为c = 一口肛将( 2 2 ) 代入( 2 1 ) ，并记名= 扣4 - v t ，可得 2 f z ) + r v f 7 ( 名) + 夕( ，( 名) ) = k f ( z4 - w ) 一2 f ( z ) + ，( 名一u ) 】4 - 只( 2 4 ) 本章主要证明u 为无理数时行波解的存在性，其中u 为有理数的情形可 参见【1 9 】，下面分别给出我们的结论 定理2 1 任意固定r 0 ，k 0 ，则对任意的t 7 0 ，都存在某个相应的 f 0 ，使得系统俾砂存在一个俾砂偿剀类型的行波解 证明：令 ，( 名) = u ( z ) 4 - z ，( 2 5 ) 即u ( z ) = ，( 名) 一名，贝4 有 t ( 名+ 1 ) = u ( 名) ，z r ( 2 6 ) 从而( 2 4 ) 可以被写作 v 2 u t t ( z ) 十f v u ( 名) + 夕( u ( z ) + 名) = f p v4 - g u ( z + u ) 一2 u ( z ) + u ( z u ) 】 6 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性二f r c n k e l - k o n t o r o v a 模型的行波解 在上式两边同时除以u 2 ，并令入= 1 v ，可得 u t t ( z ) + f a u 7 ( z ) + 入2 9 ( u ( z ) + z ) = a 2 f r 入+ a 2 k u ( z + u ) 一2 u ( z ) + u ( z u ) 】 ( 2 7 ) 注意到，如果u 满足( 2 6 ) ( 2 7 ) ，则面( 名) = u + c ) + c 对任意的c r 也满足 因此我们可以确定一个c 使得钍满足 u ( s ) d s = 0 ( 2 8 ) 再对( 2 7 ) 式两边在【0 ，1 】上进行积分，可得 f = 姜+ z 1 夕( u ( s ) + s ) d s ( 2 9 ) 所以( 2 7 ) 式又可被写成 u t l ( z ) + r 入让z ) + a 2 9 ( u ( z ) + z ) = a 2 k u ( z + u ) 一2 u ( z ) + t 正( z u ) 】 + a 2 厂1 舯d s 2 加) 反之，如果u 满足( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ，则也满足( 2 7 ) 因此，我们现在将问题转化为寻找满足( 2 6 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 的解 ( 入，u ) 我们的想法是先在( 2 1 0 ) 中将入作为参数，来寻找满足( 2 6 ) ，( 2 8 ) 和 ( 2 1 0 ) 的解u ，然后在( 2 9 ) 式中代入入，“得到相应的f 记h 2 o ，l 】为s o b o l e v 空间，其元素为定义在【0 ，1 】上的复值函数，且u 及 其分布导数u 7 ，u 满足u ，钍，钆l 2 0 ，1 】由此，我们定义b a n a c h 空间 x = u h 2 【。，1 】i u ( 。) - - u ( 1 ) ，钍7 ( 。) = 乱( 1 ) ，1 u ( s ) d s = 0 1 ， y=ue l 2 【0 ，1 】胁s ) d s = o ， 并分别配置h 2 空间和三2 空间的模 现在，定义x 到y 的线性映射厶：xhy 为 l a ( 钆) ( 2 ) = u t t ( z ) + r 入t 7 ( z ) 一入2 k u ( z + u ) 一2 u ( z ) + u ( z u ) 】，乱x ( 2 1 1 ) 下面我们将证明厶是可逆的，其逆映射坛1 的模有上界，且垅1 还是紧的 首先对任意的u x ，可由x 的基 e 2 ) 。o 表示为u ( 名) = n # o a n e 2 霄膦， ( _ n = 一) 将厶作用到基的每个元素上，有 l x ( e 2 彻硝) = 脚e 2 丌蝴， 二f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型的行波解 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 其中 = 一4 7 r 2 佗2 + 4 k a 2s i n 2 ( 7 r n ) + 2 7 r a f n i = 妒绝2 一蚴2s i n 2 ( 舢佗) 2 + 4 万2 脚2 n 2 卜 注意到，只要r o ，则对任意的n 0 ，有i i 2 7 r 入r 0 ，即l a 的逆 在，且满足 吼e 2 删) = 瓦1e 其次，反1 作为y _ y 是有界的，注意到 因此 c e 2 霄竹硝，e 2 彻略，y = z 1e 2 彻硝e 一2 m 硝d 名= 0 ，及u o y ， 都存在6 = e 2 b 0 ，使得对任意的 u 。6 c 咖，= u yi i l u - u 0 1 1 v = ( z 1 c u c 8 ，一锄c s ，2 d s ) 5 0 ，使得系统( 2 1 ) 存在一个( 2 2 ) ( 2 3 ) 类型的行波解 9 二p r e n k e l - k o n t o r o v a 模型的行波解具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 事实上，右边的算子是：y 骂y 与l - 1x ，所以t xqc 1 o ，1 】cc o o ，1 】 又因为关于乱连续，可得n ( u ) c o l o ，1 】另一方面，( 2 1 5 ) 可以写成 厶( u ) = a 2 n ( u ) ，故厶( u ) c o o ，1 】再由厶( u ) 的定义知c 0 【o ，1 】，所以 让c 2 o ，1 】 定义 口 e = ( a ，u ) 【o ，c o ) yi 让= 入2 1o ( 让) ) 由r a b i n o w i t z 延拓定理 2 9 】知，的包含( 入，t ) = ( o ，0 ) 的连通分支在空间 【0 ，+ o 。) y 中是无界的，记为c 事实上i i u l l y 卅i e l l ly ，y a 2 r r ，其中 ( 入，u ) e 故集合c 的无界性是沿入方向的下面我们给出行波解的另一个 存在性定理 定理2 2 对任意的u 0 ，存在f d 【0 ，1 】，使得当f f d 时，系统俾砂存 在一个偿缈俾圳类型的行波解 证明：我们现在重写( 2 9 ) ，将其看作定义在( 0 ，+ o o ) xy 上关于( 入，u ) 的 函数 西( 入，u ) = 要+ z 1 9 ( u ( s ) + s ) d s ( 2 1 6 ) 我们的想法是采用方程西( 入，u ) = f ( 入，u ) c 的可解性 可得 a 。+ l i 舯m ) g ( 入，t ) = + o o ， 且 利用g 的有界性， ( 2 1 7 ) 1 i m ， s u p 西( a ，缸) 1 ( 2 1 8 ) a - + ，( 九u ) e o 、 、7 因c 为连通集且西关于入和u 是连续的，则由( 2 1 7 ) 可知，只要 f 三( i ，n f 【圣( 入，t ) ) ，(219)u)ec 一 ( ， 、“7、 可得，存在入 0 和u 满足( 2 6 ) ( 2 8 ) ( 2 1 0 ) ，使得 f = 姜+ o l g ( u ( s ) + s ) d s ， 即系统( 2 1 ) 存在一个( 2 2 ) ( 2 3 ) 类型的行波解如此取f d = f ，则由( 2 1 8 ) 知 f d 1 所以，存在f d 0 ，1 1 ，对任意的f f d ，系统( 2 1 ) 存在一个( 2 2 ) ( 2 3 ) 类型的行波解 口 另外，因f 1 ，由( 2 1 9 ) 知，显然当f 1 时，系统( 2 1 ) 存在行波解 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性二f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型的行波解 注2 3 对任意的f 1 ，系统俾砂存在一个俾纠俾驯类型的行波解 利用( 2 1 6 ) 式我们还可得如下结论 引理2 4 对任意的( 入，t ) e ，其中入 0 ，有 o 页r 0 即可为此，在( 2 1 0 ) 式两边同时乘以1 + u 协) ，并化简得到 缸”( 名) ( z ) + r a ( ( z ) ) 2 + 入2 9 ( i t ( z ) + 名) u 7 ( z ) + i t l v ( z ) + r a u 7 ( z ) + a 2 9 ( u ( z ) + z ) = 入2 k 【让( z + u ) 一2 u ( z ) + u ( z u ) 】( 1 + 缸7 ( z ) ) + 入2 ( 1 + ( z ) ) 夕( u ( s ) + s ) d s 将上式两端在【0 , 1 】上进行积分，因让h 2 o ，1 】并注意到 z 1u ( s + u ) 帅) d 5 = 0 1 i t 以s 一州s = 一0 1 出) 让( s 一州s ， 从而可得 一上 ，工 ( a ，乱) ，入 0 号a 2 夕( 乱( s ) + s ) d s = f a ( i t ，( s ) ) 2 d s ，0，0 显然右端是非负的，而对入 0 又有( 入，0 ) 蒈，从而詹夕( u ( s ) + s ) d s 0 恒成 立，引理得证 口 利用该引理我们可确定u 的界 命题2 5 任意的u 有上界口 1 时有下界u ( f 一1 ) r 证明：由上述引理可得 姜 f 一1 ，即入 r ( f 一1 ) ， 又因入= 1 v ，所以 ( f 一1 ) r 0 ，e 0 ，则存在娲 0 ，使得对所有的 k g o ，r 亍，都有 1 夕( 让( s ) + s ) d s l 0 ，e 0 ，设( 沁，u ) 下面我们将由( 2 1 3 ) 式确定 l i o l l l y , y 的一个界，并且l i m k 。i i l i o l l y , y = 0 注意到 l i o t l l y , y m a x n # o1 i l ， 因此我们只需确定i l 的一个下界记 a k = 瓣川= ，i n f 4 7 i 2 n 2 - 4 k a 2s i n 2 ( 删n ) 】2 + 4 7 r 2 知2 r 2 n 2 卜j 则需证明，对任意的g 0 ，都存在k o 0 ，使得对任意的k g o ，都有a k ，g ， 即 j m k + a k = + o 。 取n o = 【g 2 ，r a 。司+ 1 ，其中【】表示取整数部分，则对任意的n 1 ，有 n n o 或1 n n o 两种情况，下面我们分别进行讨论 ( 1 ) 佗 n o 时，由( 2 1 2 ) 得，i 如i 2 r a r n ，故 i 、n f “4 7 r 2 礼2 4 k a 2s i n 2 ( 删佗) 2 + 4 7 r 2 ) 、0 2 r 2 n 2 ，墓 n n ol 。 。 j 2 1 r a o f n o 2 丌入。亍佗o g ，vk n ( 2 ) 1 n n o 时，记 a k = 一m i n 一 4 丌2 n 2 - - 4 k a 2s i n 2 ( 训 2 拙2 知2 r 2 竹2 产 如此，我们定义 p = m i ns i n 2 ( 舢n ) ， 1 n s 伽 、 注意到，n 为有限数，u 为无理数，因而p 0 再定义 q 。忑才， 显然由k 0 知q 0 对每个扎，1 住n o ，我们有舻 q 或n 2 口两种情 况，下面再分别进行讨论 1 ) 当n 2 q 时，得到 2 7 r 2 舻 k 入扫， 在上式两端同乘以2 ，然后再同时加上一4 入扣，得到 4 丌2 n 2 4 k a ：p 0 ，都存在k o = m a x 甄，鲍) 0 ( k o 只与g 有关) ，使 得当k k o 时，有a k g ，即u m k a k = + o 。 因此，由( 2 1 3 ) 式可得，l i m g 。i i l k ji i y , y = 0 特别地，我们可选择硒，使 得当k k o 时，有 i i l i o li l y , y 纛 从而由( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 推得l y 0 ，存在霞 0 ，当k 霞时，对所有的f 户， r i = i ，系统偿纠存在一个俾纠偿圳类型的行波解 证明：固定户 0 ，于 0 ，并假定r 于选取h r i p ，再令g - = 户一r ， 然后根据引理2 6 选取凰，使得( 2 2 0 ) 式成立由此可推得当k k o 时，如 果( ，札) ，则西( ，u ) 0 ，存在于 0 ，当0 r 于时，对所有的f 户， 0 k 露，系统俾纠存在一个俾纠俾砂类型的行波解 证明：首先，注意到由( 2 1 2 ) 式得 i 肛n l 1 4 丌2 n 2 4 k a 2 , s i n 2 ( 7 m n ) i ，n 0 二n e n k e l - k o n t o r o v a 模型的行波解具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 知= 浩去， ( 入，u ) ，0 入 号怕i i y 豪 再选取0 , k l , k o ，使得6 增2 丌2 膏因此，对于( 入1 ，乱) 有 l 1 夕c 缸c s ，+ s ，d s l = f z l b c 缸c s ，+ s ，一夕c s ，d s l 6 1 i 缸c s ，l d s 。2 2 1 ， 1 1 u - _ 1 1 b l l i i y 孬b a l i 1 - 。 ( a l ，u ) 号西( 入1 ，u ) = 石r + l91 ( 让( s ) + s ) d s 于 1 4 具有无理平均问距的耦合振子系的行波解与单调性 三过阻尼条件下的单调性及平均速度 第三章过阻尼条件下的单调性及平均速度 3 1 系统的单调性 这一节我们讨论f r e n k e l - k o n t o r o v a 系统( 2 1 ) 奶+ r 奶+ 夕( 哟) = k ( 巧+ 1 2 巧+ 一1 ) + ej z ， 的单调性首先我们做如下变量变换，令 白= 巧，仍= 2 妨+ r ，歹z ( 3 1 ) 记= ( 6 ) = ( ，一1 ，岛，1 ，) r z ，7 = ( 仍) = ( ，耻1 ，伽，7 1 ，) r z 则系 统( 2 1 ) 变为 出妻吨2 k ( 净j + i 竺2 9 白觚水z ( 3 力i 嘞= 2 f +一2 岛+ 白一1 ) 一( 白) 一苦( 仍一r 白) 全乃 ，? 7 ) ，歹z 再令x = ( ，叩) = ( ( 白) ，( 仍) ) r 蚣，芦= ( 五，五) 则方程( 3 2 ) 又可表示为 又= ，( x ) ( 3 3 ) 首先我们来证明系统( 3 3 ) 的解的存在唯一性，考虑空间 如= 卜c 小卟u p 铬 n ，有 i nm i 杪一z m = s u p 盥而掣 n 时，均有旧一z 尹l ) 即n 时，有 i i x n - x 。l l 铲s u p 幽2 1 j l ， ( 3 6 ) 这里z o = ( 窍) 又注意到 i 瑶一壤i i 壤一磕i + i 蛲一壤i + i 咳一壤i ， ( 3 7 ) 以及每个元素扩= ( 哆) 如，而从如的定义知( 碍) 为柯西列，再联合( 3 7 ) 式，即知( 苟) 亦为柯西列，从而扩= ( 司) 如，故由( 3 6 ) 知如是完备的，也 即伤是b a n a c h 空间 口 下面定义乘积空间e = 如如，即对x = ( ，叼) = ( ( 锄，( 仍) ) r 2 z ，有 e = x - ( ( 锨( 训r 2 z b u 斟 2 川曩f 而，则系统p 到是单调的 证明：设f 1 f ，记( 3 3 ) p 表示常外力为f 时的系统( 3 3 ) 令x ( t ) = ( 岛( t ) ，仍( 亡) ) ，y ( t ) = ( 髟( 亡) ，嘭( t ) ) 均为系统( 3 3 ) f 的解，其初值分别为x ( o ) = ( 白( o ) ，n a o ) ) ，y ( o ) = ( 髟( o ) ，嘭( o ) ) 令z ( t ) = ( 己( t ) ，嘞( 亡) ) 为系统( 3 3 ) f l 的解，其 初始值为z ( o ) = ( 己( o ) ，饬( o ) ) = y ( o ) = ( 彭( o ) ，嘭( o ) ) 已知初值x ( o ) y ( o ) ，即白( o ) 髟( o ) ，仍( o ) 嘭( o ) ，歹z 下面我们需要 证明x ( t ) y ( 亡) 首先我们来证明x ( t ) z ( t ) ，对初值x ( o ) z ( o ) 我们分情 况对其边界进行讨论 ( 1 ) 白( o ) = 6 ( o ) ，仍( o ) 0 ( 2 ) 白( o ) ( 一4 k 一2 b + ) ( 白( o ) 一白( o ) ) 0 1 8 具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性三过阻尼条件下的单调性及平均速度 ( 3 ) 白( o ) = 己( o ) ，仍( o ) = 秀( o ) ，j z 则 色( o ) 一6 ( 0 ) = 0 ，南( o ) 一吃( o ) = 2 ( 日一f ) 0 故总有己( o ) 一邑( o ) 0 ，南( o ) 一嘞( o ) o ，歹z 从而 毛( t ) 一岛( t ) 0 ，嘞( t ) 一, t j ( t ) 0 ，t 0 即岛( t ) 邑( t ) ，仍( t ) 饬( t ) ，j z ，也即x ( t ) z ( t ) 利用解对参数的连续依赖 性，令只一f ，得z ( t ) _ y ( 亡) ，故 所以系统( 3 3 ) 是单调的 x ( t ) y ( t ) 口 3 2 平均速度 首先对于f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型( 2 1 ) 奶+ r 奶+ g ( x j ) = k ( “一2 勺+ 奶一1 ) + 只j z ， 定义如下极限 归一l i m 。i 1z 。熹m 薹- 1 郇，出 =，lmimt-oo一知兰丛望_=三兰堕丢莠三兰素掣， m 一摇_ 5 1 7 n 一尼l 若该极限存在，称为解 巧( t ) ) 的平均速度这里的平均是指关于时间t 和空 间j 的平均由变换( 3 1 ) 可得，平均速度口又可写为 口=，lmimt-*oo一南鱼墨垒!蔓号篙兰掣 m 一心_ 6 1 7 乃一珂j 本小节我们在过阻尼条件r 2 以浮f 而下，即系统( 2 1 ) 是单调的情况 下讨论我们将要证明，存在不变子集玩，使得在既上平均速度 存在且与 初值无关进一步，口关于外力f 是单调增加且连续的 首先我们定义变换群 ，n ：( m ，礼) z 2 为 ( o r a ，n x ) j = ( 岛+ m 一住，珊+ m r n ) ，v 歹z 其中x = ( ( 岛) ，( 仍) ) e 记x ( t ) = ( 6 ( t ) ，仍( t ) ) e 为系统( 3 3 ) 的对应于初值 为x ( o ) = ) c o e 的解，利用系统( 3 3 ) 的周期性我们有如下结论 1 9 三过阻尼条件下的单调性及平均速度具有无理平均间距的耦合振子系的行波解与单调性 引理3 6 由系统p 砂定义的半流 也) 幽，与变换群 ，n ：( m ，n ) z 2 ) 是 可交换的，即也( 。n ) c o ) = o m ，n 机( 凰) 证明：事实上，我们只需验证o m ，n 也( ) = 0 m ，仃x ( t ) 也是( 3 3 ) 的解，不 妨设，竹x ( 0 = y ( t ) = ( g ( t ) ，呓( t ) ) ，由变换 ( o m ，n x ( t ) ) j = ( 白+ m ( 亡) 一礼，仍+ m ( t ) 一f n ) = ( 彰( 芒) ，叼；( t ) ) ，歹z ， 得髟( t ) = 白+ m ( t ) 一r , ，嘭( ) = 仍+ m ( t ) 一f n 在系统( 3 2 ) 中用j + m 代m 得 三( 仍+ 仇( t ) 一r 白+ m ( t ) ) ， 2 f + 2 k ( 白+ m + 1 ) 一2 4 + m 0 ) + 6 + m l ) ) 一2 a ( g + m 0 ) ) ( 3 8 ) 罢( 仍协( t ) 一r 白+ m ( t ) ) ，歹z 丢( 协+ m ( 亡) 一r 白+ m ( t ) ) = 丢【仍+ m ( t ) 一f 佗一r ( 白+ m ( 亡) 一佗) 】， 2 f + 2 k ( 白+ m + z ( t ) 一2 白+ m ( 亡) + 6 + m l ( t ) ) 一2 夕( 白+ 。( t ) ) 一三( 仍+ m ( t ) 一r 白+ m ) ) = 2 f + 2 k 鸭+ m + l ( t ) 一n 一2 ( 白+ m ) 一礼) + 白+ m l ( t ) 一叫一2 9 ( g + m ( t ) 一n ) 一吾 仍+ m ( t ) 一r 礼一r ( 白+ m ( t ) 一佗) 】 再联合( 3 8 ) ，从而得到 f 未( 白+ m ( 沪佗) = 南+ m ( 归互1 盼觯) 一f n 一啮一沪酬， 金( 仍棚( t ) 一r 佗) = 帆m ) = 2 f + 2 k i w i 棚“t ) 一n 一2 ( 岛棚( t ) 一n ) + 白棚- 1 ( 亡) 一叫 i i 一2 9 ( 白+ m o ) 一n ) 一丢【仍