（应用数学专业论文）关于模糊积分和模糊方程的研究.pdf

摘要 摘要 模糊集理论是美国计算机与控制专家z a d e h 于1 9 6 5 年提出的，从而创建了模糊 数学。模糊集理论是经典集合论的推广，它认为元素总是以一定的程度属于某个集 合，也可能以不同的程度属于几个集合。模糊数值函数的积分这一概念最早是由 m l p u f f 和d a r a l e s c u 于1 9 8 6 年提出的，它是模糊分析学的重要组成部分，也是 模糊微分方程的重要基础。近年来，关于模糊积分和模糊方程的研究在理论上不断 完善，在应用上广泛扩展，是目自订国际学术界的研究热点之一。 本文包括三个部分的内容。第一部分研究了模糊数和模糊积分的一些性质。第 二部分讨论了一元二次模糊方程的解和模糊线性系统的一些性质。第三部分主要探 讨了几类模糊微分方程的解。主要研究工作如下： 1 ) 研究了在模糊数加法和模糊日一差下的模糊数绝对值不等式，并给出了不等 式证明；讨论并证明了被积函数的系数为模糊数的模糊积分满足线性性；借助于h 一 差和日一可微的定义给出了模糊数距离关于一差的几个基本性质和三个模糊函数 的日一差的求导公式。基于经典微积分中分部积分法的思想，探讨了模糊积分的分 部积分法。 2 ) 研究了一元二次模糊代数方程的解，讨论了刀胛模糊线性代数系统的p s e u d o 逆，给出了p s e u d o 逆的形式和求解方法。得到了玎 模糊线性代数系统对偶问题存 在唯一解的一个充分必要条件。 3 ) 研究了常系数一阶齐次与非齐次模糊微分方程的通解，并给出了通解公式。 对于刀阶模糊微分方程，首次定义了模糊向量的线性相关，线性无关和佛朗斯基行列， 研究了它们的性质，并探讨了疗阶模糊微分方程的解向量线性相关和线性无关与佛朗 斯基行列的关系，为研究胛阶模糊微分方程解的结构打下了一定基础。 关键词模糊数；模糊导数；模糊积分；模糊线性系统；模糊微分方程 河北科技人学硕十学位论文 # 目。= = = = = = 自= = = ；= = = 目自目l = j = = j = = = = = = = = = = = = = = = ；日自= j e ；= = = = ；= = = = = = i _ = 目te = = = = = 目= = = = l i ；= = = 自= a b s t r a c t t h et h e o r yo ff u z z ys e tw a sp r o p o s e db yz a d e hi n 19 6 5 s ot h ef u z z ym a t hw a s c r e a t e d t h et h e o r yo ff u z z ys e ti st h es p r e a do fc l a s s i c a ls e t t h ee l e m e n tb e l o n g st oa s e t o rb e l o n g st os o m es e t sw i t hs o m ee x t e n t f u z z yi n t e r v a l v a l u e df u n c t i o n si n t e g r a l sw a s w a si n t r o d u c e db ym l p u r ia n dd a r a l e s c ui n 19 8 6 i ti sai m p o r t a n tp a r to ff u z z y a n a l y s y sa n df o u n d a t i o no ff u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e c e n t l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n to f f u z z yi n t e g r a l sa n df u z z ye q u a t i o n s ，t h e yh a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o no fr e s e a r c h e r s a r o u n dt h ew o r l d ，a n dh a v eb e e nw e l la p p l i e d n o w , t h i st h e o r yh a sb e c o m eaf l a s hp o i n t i nt h er e s e a r c ha r e ao fc o m p u t e rs c i e n c ea n di n f o r m a t i o ns c i e n c e m a n yr e s e a r c h e r sp a i d m u c ha t t e n t i o nt ot h eg e n e r a l i z a t i o no ff u z z ys e t sb e c a u s eo fm a n yr e a l - l i f ea p p l i c a t i o n s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec o m p o n e n tp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，p r o p e r t i e so ff u z z y n e m b e r sa n df u z z yi n t e g r a la r es t u d i e d i nt h es e c o n dp a r t ，s o l u t i o n so ff u z z yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e d i nt l i ee n d ，s o l u t i o n so ff u z z yu n i t a r yq u a d r a t i ce q u a t i o na n d f u z z yl i n e a rs y s t e m sa r ed i s c u s s e d m a i nr e s e a r c h sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 ) b a s e do nt h ed e f i n i t i o no fb o u n d e dv a r i a b l e ，w es t u d i e dt h ea b s o l u t ev a l u e sf o r f u z z yn u m b e r s a n di n t r o d u c e dt h ei n e q u a l i t yo fa b s o l u t ev a l u e sf o rf u z z yn u m b e r si nt h e c o n d i t i o no fh d i f f e r e n c e p r o p b r t i e so ff u z z yn e m b e r sa n df u z z yi n t e g r a lw h o s e c o e f f i c i e n t sa r ef u z z yn u m b e r sa r es t u d i e d b a s e do nt h ed e f i n i t i o no fh d i f f e r e n c e 。t h e d i r i v a t i v eo ft h r e ef u n c t i o n sf o rh d i f f e r e n c ea n dm e t h o do fs u b s e c t i o nf u z z y i n t e g r a l sa r e g i v e n 2 ) s o l u t i o n so ff u z z yu n i t a r yq u a d r a t i ce q u a t i o na n df u z z yl i n e a rs y s t e m sa r ed i s c u s s e d t h ep s e u d oi n v e r s ei sai m p o r t a n tm e t h o df o rs o l u t i o n so ff u z z yl i n e a rs y s t e m s f i r s t l y , w e t r a n s f e r e d ，2x 刀f u z z yl i n e a rs y s t e mt o2 nx2 nl i n e a rs y s t e m s e c o n d l y , w eg i v e dt h e f o r m a t o fp s e u d oi n v e r s ef o rf u z z yl i n e a r q u a l i f i c a t i o no fd u a l i t yi nf u z z ys y s t e m sw a s o ff u z z ys y s t e m se x i to rn o t s y s t e ma n ds o m ee x a m p l e s i nt h ee n d ，a g i v e n ，w h i c hc a nc o n f i r mt h eu n i q u es o l u t i o n t h ep s e u d oi n v e r s em a t r i xi ss t u d i e d s o m ee x a m p l e sa r eg i v e n d u a l i t yi n f u z z y l i n e a rs y s t e m sw a sd i s c u s s e d 3 ) w et r a n s f e r e dl i n e a rf u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt ol i n e a rf u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n di n t r o d u c e dan e wm e t h o df o r g e n e r a ls o l u t i o no ff i r s t o r d e rh o m o g e n o u sa n d n o n h o m o g e n e o u sl i n e a rf u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hb a s i cs o l u t i o nm a t r i x s o m e e x a m p l e sw e r eg i v e n t h ed e f i n i t i o n so fl i n e a rd e p e n d e n c e ，l i n e a ri n d e p e n d e n c ea n d a b s t r a c t w r o n s k ya r ei n t r o d u c e d p r o p e r t i e so ft h e mw e r ed i s c u s s e d t h er e l a t i o n so fl i n e a r d e p e n d e n c ea n dl i n e a ri n d e p e n d e n c ew i t hw r o n s k yf o rv e c t o ro fs o l u t i o n sa r eg i v e n k e yw o r d sf u z z yn u m b e r ；f u z z yd e r i v a t i v e ；f u z z yi n t e g r a l ；f u z z yl i n e a rs y s t e m ；f u z z y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 9 年1 2 玛| r 撇：彳尢计 如矿年：z - - - 弱 b 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 图不保密。 ( 请在以上方框内打“”) 指导教师签名： 仇讨f 乏 凇矿年2 2 具b 讫 伊同 签 二， 糍 移 忙 哞 刘 够 论 伊 釜； 杪 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 模糊集的研究概况 传统数学尤其是概率论与数理统计的出现和发展给人们提供了一种表示和处理 随机世界的一种不确定性。迄今为止人类对世界随机现象规律性的研究己相当的深 入。但是，由于客观世界的复杂性，以及永恒的物质运动所引起的不断变化性质， 使世界除了随机性这种不确定性之外，还有一种更普遍存在的不确定性，即为模糊 性。它是与随机性截然不同的概念。随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 可以判断该事件在某待定时刻和特定条件下发生了还是没发生。模糊性所描述的现 象或概念本身是模糊不清楚的，一个具体的对象是否符合一个模糊概念是不能明确 判定的。 模糊集理论是美国计算机与控制专家z a d e h 于1 9 6 5 年提出的，从而创建了模糊 数学。模糊集理论是经典集合论的推广，它认为元素总是以一定的程度属于某个集 合，也可能以不同的程度属于几个集合。经典集合论中集合的边界是清晰的，而模 糊集理论中集合的边界是不清晰的，对人们现实生活中大量使用的一些含义确定但 不准确的语言表述，模糊数学可以较好地表达与处理。 模糊数学在实际问题中的应用几乎涉及国民经济的各个领域，以模糊推理为核 心的人工智能技术在许多方面都取得了明显的经济效益。模糊代数学的研究也得到 了一些成熟的结果。1 9 7 1 年，a r o s e n f e l d 定义了模糊子群；1 9 8 0 年程罩春引入模糊 元的概念给出了模糊子群的另一定义，从而促进了模糊代数学的研究。 在我国，模糊数学的研究已十分活跃，我国数学工作者在模糊拓扑学，模糊分 析学，模糊代数学等领域均己取得许多长足的进展。 1 2 模糊积分的研究概况 文献 1 1 7 】对模糊数值函数的积分进行了大量研究。这一概念最早是由m l p u r i 和d a r a l e s c u 于1 9 8 6 年提出的，这种积分完全建立在截集形成的集值映射的积分。 r g o e t s c h e l 和w v o x m a n 利用分割，求和，求极限的方法定义了一种模糊数值函数 积分。1 9 8 7 年，o k a l e v a 把集值映射的积分推广到模糊集上，定义了模糊数值函数 的k a l e v a 积分。1 9 8 7 年，m m a t l o k a 定义了( m ) 积分。1 9 8 9 年，n a d a 定义了 r i e m a n n s t i e l j i e s 积分。2 0 0 3 年，海射香给出了有限区间上”维模糊数值函数的 h e n s t o c k 积分。我国的吴从忻，巩增泰等对模糊数值函数的积分进行了一系列的讨 论。 2 0 0 4 年，巩增泰定义并讨论了强模糊h e n s t o c k 积分，给出了区间【a ，b 上( f h ) 可积的模糊数值函数，其积分原函数不是几乎处处可导的例子。利用强( f h ) 积分刻 河北科技人学硕十学位论文 划了模糊数值函数积分原函数的几乎处处可导性，指出：模糊数值函数户在区问h 6 上强( f h ) 可积，则其积分原函数在 a ，b 上几乎处处可导。1 9 9 9 年，仇计清教授对复 模糊数，复模糊集，在复模糊映射下的复模糊积分做了大量的研究。 1 3 模糊方程的研究概况 文献 1 7 4 8 】对模糊方程进行了大量的研究。b u c k l e y 在1 9 8 9 年至1 9 9 6 年间对 模糊数，复模糊数和一元模糊线性代数方程和方程组进行了大量的探讨，用多种方 法研究了一元模糊线性代数方程和方程组的解，2 0 0 1 年b u c k l e y 对挖阶模糊微分方 程的解进行了研究。2 0 0 0 年至2 0 0 7 年，马明，m f r i e d m a n ，t a l l a h v i r a n l o o 和a n n e l i e s v r o m a n 对模糊代数线性系统作了大量的工作，研究了线性代数系统解的结构，给出 了多种求解的方法。 19 8 7 年，k a l e v a 利用b a n a c h 压缩映象原理讨论了当厂连续且满足l i p s h i t z 条件 时，上面初值问题( ，) = f ( t ，x ( 呦，x ( t 。) = x 0 有唯一解。1 9 9 9 年，j u a n j n i e t o 证明了 当厂连续且有界时，微分方程至少存在一个解。1 9 9 6 年，e v s u b r a h m a n y a m 利用距 离空| 、日j 上的一个压缩不动点定理讨论了模糊v o l t e r r a 积分方程 x ( t ) = f ( t ) + g ( z ，x ( s ) ) d s 在满足厂，g 连续且g 具有l i p s h i t z 条件的情况下有唯一解。 1 9 9 6 年，吴从忻，宋士吉将模糊微分方程初值问题转化为b a n a c h 空间的闭凸锥上的 抽象微分方程，建立了模糊微分方程初值问题的近似解和解的关系，得到当厂满足 广义l i p s h i t z 条件时，初值问题有唯一解，并在凸闭集上讨论的解的存在唯一性问题。 紧接着，他们用同样的方法，讨论了在紧型条件下，模糊微分方程的仞值问题，在 耗散型条件下，又给出了模糊微分方程c a u c h y 问题解的各种存在唯一性定理，进而 得到了耗散型条件下模糊微分方程的全局存在唯一性定理，连续相依性定理，特别 对于耗散型条件考虑了c a u c h y 问题在闭集上解的存在唯一性定理。 1 9 9 9 到2 0 0 1 ， j a m e sj b u c k l e y 和t h o m a sf e u r i n g 对模糊偏微分方程进行了研究。2 0 0 7 年，b a m a b a s b e d e 和i m r ej r u d a s 研究了在广义可微性下一阶微分方程的解。 1 4 本文研究的主要内容 本文主要研究模糊积分，模糊微分方程和模糊代数方程的解的问题。全文共分5 章。 第1 章是绪论，介绍模糊集理论和模糊积分和模糊方程的发展历史、研究现状。 第2 章是预备知识，介绍以后几章中所涉及到的定义和预备知识：模糊集的概 念与性质，模糊导数和模糊积分的概念与性质，模糊方程和模糊线性系统的基本知 识。 第3 章，主要研究模糊数绝对值不等式，模糊积分的线性性质，模糊积分的分 2 第1 章绪论 部积分法。 第4 章，研究了一元二次模糊微分方程的解。并对模糊线性代数系统的解进行 了研究，求出了n x ，7 模糊线性代数系统的p s e u d o 逆，对模糊线性代数系统对偶问题 的解进行了探讨。 第5 章，研究系数为常数的一阶模糊微分方程的解，并给出了几个例子；定义 模糊向量的线性相关，线性无关和佛朗斯基行列式，研究了，7 阶模糊微分方程的解的 结构。 3 河北科技人学硕十学位论文 第2 章预备知识 2 1 模糊集的基本概念与性质 u 是由一些确定的可识别的对象构成的集合称为论域，对于u 中任何一个集合 么，我们可以引进一个特征函数彳( x ) ，即 f 1x a 彳( x ) = 1 a ( x ) 2 1ox 盛4 u 中子集a 的特征函数是从u 到 o ，1 ) 的一个映射，u 上任何一个特征函数也完 全确定了u 的一个经典集合，即 a = x u i a ( x ) = 1 ) 从特征函数的角度来看，经典集合是一个分明集合，它对应着二值逻辑。从集 合论的角度来看，一个论域中的对象或属于这个集合或不属于这个集合，二者必居 其一。这样，经典集合可以用来描述清晰的概念和知识。 但是在实际问题中，二值逻辑并不能完全反映实际情况。例如“张三是年轻人， 李四是老年人”就不能完全反映在二值逻辑中。为了描述这种不分明的状态，我们 将特征函数扩充为隶属函数。所谓论域u 上的一个隶属函数是指u 到【0 ，1 】的一个映 射。 定义2 1 4 1设e ”为所有满足下列条件的“：r ”专歹组成的集合： 1 ) 甜是证规的，即存在x o r ”使得u ( x o ) = 1 ； 2 ) ”是凸的，即对任何x ，y r ”及任何五，有 u ( 2 x + ( 1 一名) j ，) r a i n 甜( z ) ，“( y ) ) 3 ) 4 ) “是上半连续的； s u p p u = xu ( x ) 0 ) 为紧集。 则称f 为模糊数空间，e ”中的元素称为刀维模糊数，简称模糊数。 记陋】。= x r ”iu ( x ) 口) ，口( o ，1 】，称为“的口一截集，【甜】o = s u p p u 称为甜的支 集。显然，如果u e ”，则 甜r 和陋】o 是r ”中的非空紧凸子集。 对于0 0 。那么对于任 取的口【0 ，1 】，【甜r 是一个有界的闭区间。对于“，v r f 和允r ，“+ v 和兄甜被定义 为： “+ v 】口= 【材】。+ 【v 】“，【勉】。= 见【“】。，v a 【0 ，1 】，这罩 【材】。+ 【v 】。= x + y ：x 阻】。，y 【v n ，【力“】。= 力x ：x 瞳，令 “】4 = 【“一，材+ 】， 记忌( 兄”) 为r ”中的非空紧子集全体，七。( 冗”) 为r ”中的非空紧凸子集全体。 4 第2 章预备知识 定义2 1 令d ：i 跫, x 瓞r 一瓞+ u o ) ，d ( z ，v ) = s u p ，i ”】m a x ”：一i ，卜：一v + 1 - i 是 模糊数上的胁甜s a o r f f 距离，这罩【甜】= “：，甜： ，【v 】7 = ， ，则有下列性质： 1 ) d ( u + w ，1 ，+ w ) = d ( u ，v ) ，v u ，v ，w 碾fi 。 2 ) d ( k u ，k v ) = i k id ( u ，v ) ，v k r ，1 l , v 畔； 3 ) d ( u + v ，w + e ) s d ( u ，w ) + d ( v ，p ) ，v u ，v ，w ，e r f 。 并且( r f ，d ) 是一个完备度量空f h j 。 k ( 8 ”) 上的h a u s d o r f f 度量d 定义为： d ( a ，b ) = m a x s u p a e a 删口一6 l i ，溜b 删口一6 陋一”6 e 。 其中1 1 1 l 表示r ”_ t z f f oe u c l i d e a n 范数。众所周知，k ( r ”) 是一个可分，完备的度量空间， t ( r ”) 是它的一个闭子集。 定义2 2 论域u 上的一个模糊集合a 是由u 上的一个隶属函数： a ：u 一 o ，1 】 来表示，其中彳( x ) 表示元素x 隶属模糊集合a 的程度。 般地，一个模糊集合a 可以表示为： a = ( x ，彳( x ) ) ：x u 如果论域u 是有限集合或可数集合，那么可以表示为： a = x ，彳( x ，) i 一 、7 如果u 是无限不可数集合，那么可以表示为： a = i x a ( x ) 记u 上的模糊集合全体为f ( u ) 。 定义2 3设彳，b f ( u ) ，若对于任意的x u ，有a ( x ) b ( x ) ，则称a 含于b 或b 包含a ，记作4 b 。若彳b ，b 名同时成立，则称a 与b 相等，记作a = b 空集矽表示隶属函数恒为0 的模糊集合，u 表示隶属函数恒为1 的模糊集合。 记 au b 为模糊集合a 与b 的并，其隶属函数定义为： ( aub ) ( x ) = a ( x ) vb ( x ) = m a x a ( x ) ，b ( x ) 记anb 为模糊集合a 与b 的交，其隶属函数定义为： ( anb ) ( x ) = a ( x ) xb ( x ) = m i n a ( x ) ，召( x ) ) 记彳为模糊集合彳的补集，其隶属函数定义为： ( 彳) ( x ) = 1 一彳( x ) 汜彳一b 为模糊集合a 与b 的差集，其隶属函数定义为： 5 河北利技人学硕十学何论文 ( 彳一b ) ( x ) = ( 彳n b ) ( x ) = 彳( x ) k ( 1 一b ( x ) ) 性质2 1设a ，b f ( u ) ，则模糊集合的运算满足下列性质： 1 ) 交换律彳ub = bua ，anb = bna ； 2 ) 结合律( aub ) uc = au ( buc ) ，( anb ) nc = an ( b nc ) ； 3 ) 分配律彳u ( bnc ) = ( aub ) n ( auc ) ，an ( buc ) = ( anb ) u ( anc ) ； 4 ) 吸收律彳u ( anb ) = a ，an ( aub ) = a ； 5 ) 对偶律( 么nb ) = 彳u b ，( 么u 曰) = 彳n b ； 6 ) 结合律 ( 彳) = a ； 7 ) 幂等律 aua = ana = a ； 8 ) 两极律uua = u ，矽na = 矽。 以上运算性质对于经典集合全部成立，但是经典集合论中的互补律对于模糊集 合一般不再成立。例如u = 【o ，1 】，a ( x ) = x 则a u a u ，么n a 矽。 定义2 4设a 尸( u ) 和五【0 ，1 】，记 a = x ua ( x ) a ，a z + = x u i 么( x ) 五 a 。和a 。+ 分别称为a 的a 水平集和强水平集。当a = 1 时，a ，成为a 的核，而集 合 工ua ( x ) 0 ) 称为a 的支集记为s u p p a 。 分解定理 设a f ( 己，) ，则a = u z 4 。k 【o ，1 】 ，其中以。称为五与彳。的模糊水 平集，其隶属函数定义为： ( 朋 ) ( x ) = 五八a ( x ) 可以验证彳( x ) = s u p a ：x a 。) - s u p a ：x 以+ 。 简记为a = u 口彳。= u 口以+ 。 口【o ，i 】口1 0 ，l 】 定理2 1 1 ) 如果记6 = z f o ，那么6 r ，是一个中性元素且对于所有的“r ，满足 “+ 0 = 0 + 甜= 甜 2 ) 对于6 ，在r ，中不存在“酞r 为6 的负元； 3 ) 任取口，b r 且a ，b 0 或口，b 0 ，任取材r f 有( a + b ) 甜= a u + b 甜，而 任取a ，b r ，上述性质未必成立； 4 ) 任取五跫和“，v 碾f ，有五( “+ 1 ，) = 力材+ 五v ； 5 ) 任取五，u r 和“豫有五( “) = ( a ) u 。 2 2 模糊导数的概念与性质 定义2 5 1 令x ，y r 如果存在z r ，使x = y + z ，那么z 称作x 和y 的 日一微分，并记为x o y ，这罩x 少x + ( 一1 ) y 。 6 第2 章预备知识 定义2 6 4 令厂：( 口，6 ) 一砰且( 口，b ) ，我们说厂在点x o 是强处处可微的当 且仅当： 1 ) 对于所有的h 0 充分小，3 f ( x o + h ) o f ( x o ) ，f ( x o ) o f ( x o 一办) 使 l i r a f ( x o + h ) o f ( x o ) h - - * o h ：l i r a f ( x o ) o f ( x o - h )= f ( x o ) 或者： 2 ) 对于所有的厅 0 充分小，3 f ( x o ) o f ( x 。+ 厅) ，f ( x o 一办) o 厂( ) 使 l h i m 丝掣：! i 要地巡：厂，( ) 或者：- * o 一乃 - + o h 。、” 3 ) 对于所有的h 0 充分小，3 f ( x o + h ) o f ( x o ) f ( x o h ) o f ( x o ) 使 lim坐型型绁：】im丝坦望生：fh ，( ) 或者： - - o h h - - - o 一而 、”一一 4 ) 对于所有的h 0 充分小，3 f ( x o ) o f ( x o + 办) ，f ( x o ) o f ( x o 一办) 使 簪翌掣：憋幽：厂h _ o 一向 _ + o 。 定理2 2 设g ：( a ，6 ) 专r 在( 口，6 ) 上可微，则g 在( 口，6 ) 上有一个有限的根且 c 瓞f ，那么( x ) = g ( x ) c 在( 口，6 ) 是强处处可微的且- 厂( x ) = g7 ( x ) c 。 定理2 3 如果f ，g ：( 口，6 ) 专酞在( 口，6 ) 上是强处处可微的，那么f + g 是处处可 微的且( 厂+ g ) ( z ) = 厂( x ) + g ( z ) 。 定理2 4 令厂，g ：( 口，6 ) 专瓞是强处处可微的，使区间( 口，) 上厂是( i ) 一可微 的且g 是( i i ) 一可微的或者厂是( i i ) 一可微的且g 是( i ) 一可微的如果在( 口，) 上h 一微分厂( x ) o g ( x ) 存在，那么f o g 为强处处可微的且对于所有的x ( 口，) 有 ( f o g ) ( x ) = 厂7 ( x ) + ( 一1 ) g ( x ) 定理2 5 令f ：酞_ 豫，g ：r r 是两个可微函数，则下列结论成立： 1 ) 如果( z ) 厂 ) 0 且g 是( i ) 可微的，那么f g 为( i ) 可微的且 ( 厂g ) ( x ) = 厂7 ( x ) g ( x ) + 厂( x ) g7 ( x ) 2 ) 如果( x ) f ( x ) 0 且g 是( i i ) 可微的，那么f g 在x 处满足( h ) 且 ( 厂g ) ( z ) = 厂7 ( x ) g ( x ) o ( 一厂( x ) ) g ( x ) 河北科技人学硕十学位论文 4 ) 如果厂( x ) 厂( x ) 0 且g 是( i ) 一可微的，那么厂g 在x 处满足( h ：) 且 ( 厂g ) ( x ) = 厂( x ) 9 7 ( x ) o ( 一f 7 ( x ) ) g ( x ) 5 ) 如果厂( x ) 厂( x ) 0 ，对陋，b 】上的分割d ：a = x o x n = b ，且v ( d ) 0 ，对任意的分割尸= k 1 ，x f ；毒 ， 有 石f f ( 专) ( - x , 一。) ，厶f 占成立，则称，( x ) 在k 6 】上h e n s t o c k 可积，记为： ( 册) r 尸( 工) d x = 厶 定义2 11 令户： 口，6 】一袁，如果区| 自j 值函数只( x ) = 【巧( x ) ，巧( x ) 】对于任意的 五【o ，1 】在区间【a ，b 】上h e n s t o c k 可积，那么称户( x ) 在区| b j 【a , b 】上h e n s t o c k 可积且 8 第2 章预备知识 区问值用下式来表示： ( 朋) f ，户( x ) dx ：= u ，旯( 鹏) e 只( x ) d x = u 力i ( h ) ；f a - d 硝日) r 巧d x i 矗e f 0 1 1五f 0 1 1 l 一 定理2 6 对f ：t 寸， 1 ) 若f 可导，则f 连续； 2 ) 若f 连续，则f 可积； 3 ) 若f 连续，则对任意的，t ，积分原函数g ( ，) = ff ( s ) d t 可导且g ( ，) = f ( ，) 4 ) 若，可导且导函数f ( z ) 可积，则对任意的s t ，有 f ( s ) = f ( ) + if ( t ) d t 2 4模糊方程的概念与性质 定义2 1 2 f 2 1 2 8 , 3 0 3 6 聊，z 线性系统方程： q l j c l + a 1 2 x 2 + a l 。2 m 口2 l x l + a 2 2 x 2 + 口2 月吒2y 2 0 叭x 、七a m 2 x 2 + n m q x n2y m 称为搬玎模糊线性系统方程这里系数矩阵a = ( ) ，1 0 捌阱圈 这罩a = s s 。 定义2 。1 4 令一= ( 五( 厂) ，i ( r ) ) ，1 f 靠 是s x = y 的一个解，那么模糊数向量 u = ( “，( ，) ，“，( ，) ) ，1 i 刀) 叫做s x = y 的一个模糊解，这旱 9 河北科技人学硕十学何论文 z ，( ，) = m i n x , ( r ) ，一( 尸) ，一( 1 ) ，x ，( 1 ) 甜，( r ) = m a xf 一( ，) ，x i ( r ) ，一( 1 ) ，一( 1 ) ) 如果( 一( 尸) ，x ，( 厂) ) ，1 f ，7 是所有的模糊数，那么“，( r ) = x ，( 厂) ，“，( r ) = 一( r ) ，1 ，7 并 且称u 为强模糊解，否则为弱模糊解。 设f ：t xw 专e ”连续，考虑c a u c h y 问题： fx ( ，) = f ( t ，x ( f ) ) 【z ( ) = x o e ” 这罩wc e ”x o w 。 定理2 7设x ：t 寸w 是柯西问题的一个解，当且仅当x 连续并且满足积分方 程： x ( t ) = x o + lf ( s ，x ( s ) ) d s 定理2 8 设 1 ) f c r ，e ”】，并且d ( f ( t x ) ，0 ) m ，v ( t ，x ) r ； 2 ) g c e l t o ，t o + p 【0 ，g 】，尺 ，且0 g ( t ，“) m l ，v t t o , t o + p ，0 甜q ；又 g ( t ，0 ) 兰0g ( t ，甜) 关于甜是增函数，并且普通常微分方程的初值问题 u g ( t ，“) ，u ( t o ) = 0 在 ，o ，+ p 】上只有零解u ( t ) 三0 ； 3 ) d ( f ( t ，x ) ，f ( t ，y ) ) g ( t ，d ( x ，y ) ) ，v ( t ，x ) ，o ，y ) r ，且d ( x ，y ) q 。 则c a u c h y 问题在，+ 口】上具有唯一解x c 【，o ，+ 口 ，b ( x o ，g ) ，这罩 口= m i n p ，万q ，舌) ，并且迭代序列： x o ( t ) 暑x o ，矗+ 1 ( ，) 暑x o + lf ( s ，x ( s ) ) d s ( 刀= o ，1 ，2 ) 在 ，o ，t o + 口 上一致收敛于x ( f ) 。 2 5 本章小结 本章介绍了模糊集的基本概念与性质，模糊导数和模糊积分的基本概念与性质， 一阶模糊微分方程解的存在唯一性定理，模糊线性系统的定义，解的定义。 1 0 3 1 模糊数绝对值 第3 章模糊积分 定义3 1 5 1令匀s 1 ，n n i g _ t n 易= 渺l ：厂以 ：五 o ，1 】 确定一个模糊数称 为匀的绝对值，记为| 匀i 那么h 。= i 匀( ，l j l ： ， f 匀j ：= m a x 三( 彳j + i 彳i l ) ，吉( 1 彳j i 一彳j ) ) ， 定理3 1 【5 1 令匀，雪s l ，那么 陌= m a x 蚓 1 ) 1 1 7 + 雪l m a x 三( ( 彳j 一巧) + ( i 彳j i i 巧i ) ) ，圭( ( j 彳j i l 研) 一( 彳j 一研) ) ) = m a x 三( 彳j + i 彳j 1 ) 一三( 巧+ i 巧j ) ，三( j 彳j i 一) 一三( 1 彤l 一研) ) m a x 侄( 何懒i 嘣阱彳) ) - 一 三( 巧+ i b j i ) ，如冲忡i ： j o 雪l ：= m a x j 4 一何l ，j 一毋1 ) m a x i 何l - f 巧f ，p 斗一i 彤1 ) m a x k l ，i a j i 一m a x i 何i ，i 毋f = h ：一同： 河北利技人学硕十学位论文 所以旧。吲i 力。斗 再证l 匀。雪| h + 蚓，令2 = 匀 云，则匀= 2 + 雪，所以吲= i 乞+ 台| l 乞| + 吲，即 j l o i 台i i 之l = i j o 西l 。 2 ) 只证h o 吲i 匀+ 雪i ，令2 = j o 台，则匀= 2 + 豆，所以 即i 匀l i 雪l 1 2 i i j o 亩i 。 匀1 = l 之+ 雪l 1 2 l + l 秀1 3 2 模糊积分线性性 定义3 2 【6 7 】 设a r ，i 叉f n j 陋，b 的一个分法是指：有限个互不重叠的闭子集区 间“， ) ( f _ 1 ，2 ，甩) ，使得u 甜，v 】_ 口，h i ，设f 值函数万： a ，6 一r + ，区间 a ，h i 上 的划分：a = x o x l = b ，结点舌，岛，六，称为万一精细的是指： 1 ) a = x o x 1 0 ，存在定义 于 口，6 】上的f 值函数万( x ) ，使得对 a ，6 的任何万一精细分法，有 i 厂( 专) ( v ，一甜，) 一彳i 0 ，存 在定义于【口，6 】上的f 值函数万( x ) ，使得对陋，6 】的任何万一精细分法，有 d ( 夕( 专) ( v z ，) 一j ) s ，则称夕( x ) 在 口，6 上h e n s t o c k 可积，记为： 椰_ ( 朋) lf ( x ) d x = a 文献 6 介绍了模糊积分的定义，并对其性质进行了研究。但是这些积分被积函 数的系数都是实数。下面就被积函数的系数为模糊数的模糊积分进行探讨，主要证 明其满足线性性。 定理3 3 设厂，g ：( 口，b ) 一碾f 在( 口，6 ) 上可积，口，r ，则有： 1 2 第3 章模糊积分 r ( 口厂) o ( g ) d x = ( 口r 厂d x ) o ( r g d x ) 成立。 证明：令z = ( a f ) o ( f l g ) ，那么a f = z + ( g ) ，则 所以 曼a ，f d x = 仅吏j d x = 毫z + ( p g ) d x = 毫z d x + f l f g d x 毫zd x = f ( 口) o ( p g ) dx = a 毫fa 内p 毫g d x 定理3 4 如果五，云酞那么a “o b 。= a 一一b - , a + + b + 】。 证明： 令2 酞，? ， 则j = 乞+ 云， 所以【彳一，a + 】= z 一- 1 - b - , z + + b + 所以 彳一= z 一+ b 一，彳+ = z + + b + 即( j o 台) 一= z 一= 彳一一b 一，( 匀。豆) + = z + =