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具合作关系捕食系统的建模与分析 专业：应用数学 硕士生：许民强 指导教师：王远世 摘要 现实中，捕食者与被捕食者的关系不一定永远是猎杀关系，在一定的条件 下他们可以合作共存的。在种内竞争的l o t k a v o l t e r r a 捕食系统基础上，我们 建立了一类具合作关系捕食系统的模型。本文运用微分方程定性与稳定性的基本 原理，证明这类系统不存在周期解；同时结合相图分析法，对该系统的局部稳定 性和全局稳定性做了详细的分类讨论，并求解了捕食者与被捕食者的合作区域。 最后，通过与原先的种内竞争的l o t k a v o l t e r r a 捕食系统的比较，证实新系统 引入了合作，使得系统更加的稳定。 关键字：合作周期解稳定性捕食系统 茎照蓁翼冀雾霾雾錾霪霪薹蚕鋈雾霎雾冀冀曩鋈j 是矍藿两 塞蓁霾一闭藿鎏蒌墓藿，鬟冀露丽b i i 羹雾鬟霞薹需燮薹季色 蓁竖蓁x 蓁霎t 羹曼雾娌耄冀蠹些藿鋈篓羹馨羔熨霪萋攀a r i 因斟f _ 蔷；蓄娶9 t 嘉蒂窆燮薹萋薹前熹銎冀i 雨燮囊| 荔 霎篓薹坚霞墼蓥兰蓄复墅薹萋：扭蹩冀霎薹萼则唑冽彭霄囊霎 雾塞籀冀蔷篓蓁雾薹蓁冀吞；冀薹雾冀蓁霎鲤薹霎雾- 5 莹萋鐾 幽；霪羹i 鬟雾举薹霎羹囊霎薹霪夔祷； 耄；墨露矍囊。型囊薹蒂锩妻差薹薹鋈冀鲤萋鬣霪一蠡萄 荷蓁鬟三萋萎蓁肴竺鬟囊霪j 塑薷! 羹；羹雾雾蓁薹奏翁薹翼 羹两篓羹霎；鬈羹蓁l a 甭弧囊i 荐些冀蓠鬟姜；鬣1 0 0 型塾 羹羹；复蒂雾羔萤篓蠢ii | l 窆蓁蓁薹篓萋选鬟霎；薹i 蓁耋l l 弱l 翥鐾霎蓁笺蠢羹；蓁酋霎! i 薹i 塑委h 需曼薹；雾翼芝坠薹鬟 冀；鋈2 0 i ! 薹i 丛囊薹霎i 霎茎雾型；羹薹需囊霎；竖妻篓i ! l i 羹希冀雾薹墅，震羹霎蓁霪囊霎羹茎辇霎霪蓑囊夏雾5 0 霪薹霎笺羔篙 儿；裴羔囊囊嘉雾望冀舸薹。鳖惹型萎蔷叁零雾 霎；一羹羹囊霎墅篓冀羹蓠耋霪霪薹；铹耋蠢蔼墨耋薹霉蒌蠹 型蠢冀霪霎鋈薹囊囊篓! 孽坠耄雾萋霪蹩羹萨羹鋈；蚕竺墓 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：导师签名： 日期：年 月 日日期：年 月 日 中山大学硕士学位论文 1 1 综述 第1 章绪论 生态数学模型【3 】作为一种重要的生态学研究方法，在解释生态现象，描述生 态系统物质，能量，信息等生态变化过程，揭示生态系统内在规律，预测生态变 化趋势等许多方面，都发挥了或者正在发挥巨大的作用，数学模型不仅是对生态 系统进行定性分析和定量研究的理论基础之一，而且是解决生态学实际问题的技 术手段之一因此生态数学模型【l l 】越来越受到人们的重视而作为生态学的一个 重要分支，种群生态学是迄今数学在生态学中应用最为广泛深入，发展最为系统 成熟的分支，它包括对给定种群本身的动力学特征和结构的研究，以及给定种群 与相关种群相互作用下演变规律的研究，涉及许多数学领域，诸如微积分方程， 动力系统和随机过程等等，它的发展之迅速，近年来备受关注。 种群生态掣7 】是生态学中的一个重要分支，对研究现实生活中的生物群体发 挥着越来越重要的作用。种群生态学是用数学模型描述种群间的相互关系，然后 通过对数学模型的分析、研究，以达到对人们所关心的生态问题的解释、预测、 和有目标的控制。 稳定性是生态学中的一个重要的研究课题，在稳定的生态系统中，种群间不 仅彼此相互作用并且可以共同生存，稳定性是生态系统的一个最重要的基本特征 之一。稳定性的研究不仅可以揭示种群、群落、生态系统的生态规律，而且为人 类保护生态环境、防止生态系统退化、解决生态系统修复等方面提供了科学的对 策。所以稳定性的研究对保护、改善、可持续开发生态资源和维护生态环境协调 稳定的发展有着重要的意义。 种群生态学的主要任务之一就是研究种群密度的动力学。在很多生态系统 中，上千类不同物种以复杂的模式相互作用，即使两个物种之间的相互作用都可 能非常复杂，受到季节变化，年龄结构，空间分布等影响。下面，我们将着重考 虑密度制约的影响。作为一次近似，可以有三种不同的基本类型： 第l 页 中山大学硕士学位论文 ( a ) 竞争【6 】。两个物种在利用共同资源方面是竞争的。一个物种数量越多， 对另一个物种就越有害。由于竞争作为进化的限制性因素具有其重要性，这方面 一直受到极大的关注。 ( b ) 互惠【1 0 1 。这时一个相反的情况：物种之间彼此相互受益。藻类和真菌 见的共生就属于这一类。另外还有寄居蟹和海葵的奇特伙伴关系。 ( c ) 宿主寄生关系【5 1 。此为非对称关系。寄生物从宿主获利但对宿主无利。 在这种意义上，捕食者可以视为其食饵的寄生物。( 然而，对寄生物来说，宿主 不仅仅是资源而且是其扩散的工具。) 1 2 结构数学模型的发展 1 2 1 指数增长模型 x ( f ) 表示在f 时刻的某生物种群的个体数量，在种群数量非常大的假设下， 我们可以认为x ( f ) 可导，记为戈( f ) ，文x 可以看作为单个个体的增长率，或者说 是单个个体对数量增长的平均贡献率。如果该增长率为常数，即： 文= 掰( 1 2 1 ) 从而有x ( f ) = x ( 0 弦一 即指数增长模型。 指数增长模型( 1 2 1 ) 对一个短时间内，分裂繁殖的种群，在食物及空间相 当充裕的环境下的增长是一个合适的模型。例如：在春天，营养丰富的湖泊中的 藻类繁殖就是如此。某些实验证实( 1 2 1 ) 对于细菌群落在培养基耗完以前的 增长也是相当吻合的。见图l - 2 1 。在许多方面得到了证实，实际上人类世界人 口刚的增长数据也反映出指数增长模型的合理性【15 1 。 模型( 1 2 1 ) 的特征是指数无限增长，这显然不符合事实。考虑到资源是有 限的，在经过一段时间后种群个体之间将为争夺资源而竞争，这时模型( 1 2 1 ) 必须进行修正。一种重要的反映资源有限性的模型就是l o g i s t i c 模型。 第2 页 中山大学硕士学位论文 禺荡车奋案 ；干薯零嫠辇丙扬中；圈点；。在合成培 的绷茵数成年出例；浊度 募蓉著藉要瘩宾棒孟挈阜 1 2 2 逻辑斯谛( 1 0 9 i s t i c ) 增长模型 种群个体数量的增长意味着单个个体占有的资源的减少，从而单个个体对数 量增长的平均贡献率将降低，我们假设最简单的情形，贡献率关于个体数量x 线 性减少，形如，( 1 一素) ( r 。 o ，k o ) ，其中k 被认为是环境容纳量，被看作在 个体数量很小时的增长率，从而得到逻辑斯谛( 1 0 9 i s t i c ) 增长模型【1 q ( 1 2 2 ) ： 文= 麟( 1 一玄) ( 1 2 2 ) 易褊地) = 蔫 当x ( o ) o ) 。无被捕食者时，捕食者将走向 x 死亡，即有负增长率；而增长率又有被捕食者密度的贡献，从而 上= 一c + 出0 ，d 0 ) 。即有微分方程： y 髓篙”2 删【j c ，= y ( 一c + 出) r 。7 很明显，微分方程的3 个解为： ( i ) x ( f ) = y ( f ) = o ( i i ) x ( f ) = 0 ，y ( f ) = y ( 0 ) p 卅( 对于任意的y ( o ) o ) ( i i i ) y ( f ) = o ，x ( f ) = x ( o ) ( 对于任意的x ( o ) o ) 这表明，当某个时刻捕食者或被捕食者密度为零，则永远为零。没有被捕食者， 捕食者将消亡( 当f 专悯时，y ( f ) 趋于o ) 。没有捕食者，被捕食者将爆炸 第4 页 怕 中山大学硕士学位论文 2 2 具有种内竞争的捕食系统3 的求解 髓嬲，心丢， 瑞c 2 。2 ， 揣2 丢3 ， 瞄陲 其中 一 口厂+ 6 c 工一瓦瓦7 一 口d c e 1 ，= 一 。 b d + e f 2 3 系统( 2 2 一1 ) 周期解的存在性判定 定理2 3 1 【1 1 戈= 厂( x ) 为定义在r 丹之集g 之上的自治o d e y ：g r 连续 第8 页 中山大学硕士学位论文 取y 7 ( x ，d = o ， 即：拟2 + 拶2 = 0 可得 享三善 ；三； 所以，由定理2 3 1 知，系统( 2 2 1 ) 不存在周期解，在i n t 砖中每个解趋于驻 点f ( i ，歹) ，f ( i ，歹) 为稳定点。 2 4 系统( 2 2 1 ) 全局定性性态分析 p 如| e t 嗡c | d 图2 4 一l 表示两条等倾线不 相交时的轨线的运动方向 c ，d 尺疗，学。o ) 图2 4 2 表示两条等倾线 相交时轨线的运动方向 2 4 1 当旦三时，没有正平衡点( 如图2 4 1 ) 。 pd i n t 碍被分成i ，i i ，三个区域，这时，任一条轨线收敛到尸( 詈，o ) 。此时， 捕食者将消亡，被捕食者趋于极限口口，对应于l o g i s t i c 方程文= x 0 一麟) 的容纳 量。在不存在捕食时，容纳量决定了被捕食者的增长 2 4 2 当旦 三时，此时只有一个正平衡点f ( i ，罗) ( 如图2 4 2 ) 。 p口 第1 0 页 中山大学硕士学位论文 第3 章具合作关系的捕食系统 3 1 定义和概念 定义3 1 1 ： 若存在时间序列 乙) ，当刀栩时，乙一佃，使得 l i m9 ( p ，乙) = 尸 则点p 称为自治系统( 2 - 1 - 1 ) 过尸点的轨线9 ( 尸，f ) 的极限点，或称正半轨辟 的极限点。9 ( 尸，f ) 的极限点的全体称为9 ( 尸，f ) 的q 极限集，记作啤。 类似的可以定义轨线9 ( 尸，f ) 的口极限集和4 极限集，存在时间序列 厶) ，当 咒一+ 。时，使得l i m9 ( p ，乙) = 尸。 定义3 1 2 设有平面自治系统 的闭轨线r ，若存在6 o ，使系统( 3 1 1 ) 在r 的两侧领域s ( r ，6 ) 内的一切轨 线均以r 为其q 或么极限集，则称r 为系统( 3 1 1 ) 的一个极限环。 容易看出，极限环实际上是一具有某种特殊属性的闭轨线。 定理3 1 1 ( p o i n c a r e b e n d i x s o n ) ：若耳有界且啤中不含奇点，则或者q = 啤 为闭轨；或者啤为闭轨而耳正向盘旋逼近于啤。 定理3 1 2 ( b e n d i x s o n 环域定理) ： 设有由闭曲线厶与厶( 厶3 厶) 所构成的 环域d ，凡与厶，厶相交的正半轨均穿入( 出) 环域d ，且d 内不含奇点，则在 d 内至少存在此系统的一条闭轨线r ，而且r 必将d 的内境界厶包含在其内部。 证明：仅就正半轨穿入d 的情形证明，穿出情形类似可证。 第1 2 页 少 y 五 五 a q 一一 i i 出一班咖一衍 中山大学硕士学位论文 设有一条正半轨耳穿入d ，由假设耳将永远停留在有界域d 的内部，从而锦非 空。又由于d 内无奇点，根据定理3 1 1 知，啤必为一闭轨线r 。若1 1 及其内 部全位于d ，如图中虚线所示，则由引理可知，r 内至少有一奇点p ，显然 p d ，与假设矛盾，故r 必将厶含在其内部。 3 2 模型的建立和求解 现实中，捕食者与被捕食者的关系不一定永远是猎杀关系。相反，在被捕食 者的种群密度较小时，捕食者对被捕食者的影响可以是正的，也就是说捕食者与 被捕食者之间在一定的条件下可以合作。即假设增长 童= x + 砜一蹦一6 l 少一l + ) 。从而我们得到新的微分方程组系统( 3 - 2 1 ) ： 考= x ，+ 锄一篡_ 6 l y 一| ) ( 3 2 1 ) l 夕= y ( 一c + 出一痧) 。 x 表示被捕食者的密度；y 表示捕食者的密度。其中口，6 ，c ，d ，e ，厂 0 系统( 3 2 1 ) 零增长率等倾线【2 】方程为： 卜蚀一譬6 旷蜘i 。_ t - ( 3 2 咽 i c + 出一彦= 0 。 如图3 1 1 ，3 1 2 所示 威口，掌。o ) 图3 一卜1 被捕食者的等倾线 第1 3 页 c l 矗 图3 一卜2 捕食者的等倾线 中山大学硕士学位论文 3 4 系统全局定性性态h 幻分析 驻点f ( i ，罗) 满足方程： 地+ 唑一譬_ 6 旷| ) = o ( 3 4 - 1 ) 【y ( 一c + 出一痧) = o 由( 3 4 1 ) 解得： x ：业lx = 丝堑三丝 舻否而i 舻兹矿 y = 筹( y 蜘) 相应的驻点坐标为： d ( o ，0 ) ，j p ( 旦，o ) ，互( 写，死，) ，最( j 弓，兄) p 其中 = 6 c 一巧。 工= l b d 一巧 一 c e q d m 2 而 = 钯+ 旷+ 2 砜 x ，= = - o b d + 句 嚣一口d c e + 2 6 功，o 仇= o b d + 句 3 4 1 当三 o 时， 点0 d ，0 ) 在尸( 口p ，o ) 的左边，两条等倾线有如下的相交情况，如图3 - 4 - l 第1 5 页 口一p o = = x y ，j、l o 0 = = x y ，f1【 中山大学硕士学位论文 所以，正平衡点互( 写，两) 为稳定结点。 由相图分析法知，2 条等倾线交于点互皈，兄) ，m 眉分成i ，i i ，四 个区域，文，夕符号表示了轨道的运动方向，轨线收敛到石( 夏，易) ( 如图3 4 _ i e i i ； 垂誊l 赵鬻一萋鋈蓁薹；s 蜃篓；囊篓磊囊冀墓囊薹羹囊羹， 篓囊囊粪雾篓翼藿萋羹举羹巍粪j 霾薹；蓠冀| 耋= 薯霎囊篓一霆蓁霎| 羹一雾鍪霰i 的联 盟。因此。中国共产党 在新民主主义的政治纲领里明确提出建立“工人阶级、农民 阶级、小资产阶级、民族资产阶级及其他爱国民主分子的人 民民主统一战线的政权”。形成一个“新民主主义即人民民主 主义的国家，实行工人阶级领导的、以工农联盟为基础的、团 结各民主阶级和国内各民族的人民民主专政”。这一政治纲 领包含了政治协商、政治合作的题中之义其目的在于造就 一种以工农为主导、多阶级多阶层参与的政治模式。 在半殖民地半封建国情下，革命和反革命的激烈对抗 使处于中间地位的阶级和阶层成为政治斗争中的重要问 中山大学硕士学位论文 下面用线性近似法求证正平衡点e ( - 2 ，只) 的稳定性。 系统( 3 - 2 1 ) 在e ( _ 2 ，死) 处的j a c o b i a l l 矩阵为 _ ( 焉二裳 + 如= 一嘎一力- 2 o 所以，正平衡点e ( _ 2 ，死) 稳定的。 由相图分析法知，i n t 分成i ，i i ，四个区域，戈，夕符号表示了轨 道的运动方向，轨线收敛到e ( 夏，死) ( 如图3 4 - 1 3 ) 。 c i d p o e ：协 图3 4 一卜3 两等倾线相交于的上方时的轨线 3 4 2 当三：旦，即谢一卯：o 时， 口p 点0 d ，0 ) 与p ( 口p ，o ) 的重合。两条等倾线的相交情况，如下图3 - 4 - 2 。 第1 8 页 中山大学硕士学位论文 p p ( a ) 不存在正平衡点( b ) 有无穷多个正平衡点( c ) 只有1 个正平衡点 图3 _ 4 2 点( c 也o ) 正好与p 重合时等倾线相交的情形 ( 1 ) 当詈 手即一矿 6 ， 令 y ( x ) = 昱( x ，妒( x ) ) = x 肼+ 【x 】。“， 其中口m o ，m 2 。于是有： ( i ) 当聊是奇数且口朋 0 时，d ( o ，0 ) 是不稳定结点。 ( i i ) 当肌是奇数且 o ( o ) 时，抛物扇形落在右( 左) 半平面，如图( 3 - 4 2 3 1 ， 3 - 4 2 3 2 ) l ， 旦，即耐一 c p 一耐时，两等倾线相交存在2 个正平衡点。 下面用线性近似法求证正平衡点互，e 的稳定性。 第2 3 页 系统( 3 2 一1 ) 在巧( 亏，死) 处的j a c o b i a i l 矩阵为 ，：r _ 蠕6 - l 咴一疬j + 如= 一嚆一疬 0 ， 九= ( 矿一6 d ) 写只= ( 詈一等) 蠊只 o 所以，正平衡点互( 墨，兄) 为鞍点。 系统( 3 - 2 - 1 ) 在e ( 夏，只) 处的j a c o b i a n 矩阵为 ，：f 一嘎一6 i l 畈一度j + 九= 一嘎一度 o 所以，正平衡点e ( 瓦，兄) 是稳定的。 由相图分析法得知，缸分成5 个区域，i i ，区域中所有轨道趋于只， 而v 区域所有轨道趋于尸。i ，区域的轨道或趋于巧，或趋于e ，或趋于p 。 这意味着，根据不同的初始条件，有3 种不同的共存态( 互，e ，尸) 。如图3 - 4 3 1 p 嫡 e l c i d 图3 - 4 3 1 两等倾线相交有2 个正平衡点时的轨线 ( 2 ) 当( 6 d 一们= 卯一耐时，两条等倾线交于m 点，所以只存在一个正平衡 第2 4 页 中山大学硕士学位论文 点mo 下面判断正平衡点m 的稳定性。 证明：方程j 文= x ( 口+ 饥一麟一6 l y 一i 中，令： 【夕= 少( 一c + 出一痧) 口= 2 ，6 = o 5 ，c = 1 0 ，d = 4 ，p = 1 ，= 1 ，= 2 ，则原方程变为： j 文= x ( 3 一x o 5 l y 一2 i 。) 【夕= y ( 一1 0 + 4 x y ) 用m a t l a b 执行程序3 得到图3 - 4 3 2 。从图中知，m 为鞍点。 图3 - 4 3 - 2 两等倾线相交只有1 个正平衡点时的轨线 ( 3 ) 当( 6 d 一矿) o ， p p ，一d d 所以，捕食者与被捕食者间的合作区域为：旦x 竺丝堕，其中：譬 粤。 e ed c l e t ( 3 ) 在图4 1 3 中，只f i 。- 1 满足条件 仁 口，6 c + 矿+ 2 龟矾一口+ 勿，o 一 三= 卫 二二_ 生 e b d + 巧 e 协 型二丝圣垒亟 手时( 如图4 _ 2 - 1 ) ，2 个系统都没有正的平衡点，捕食者最终都将消 亡，被捕食者趋于极限口e ，对应于l o g i s t i c 方程量= x ( 口一蹦) 的容纳量。在不存 在捕食时，容纳量决定了被捕食者的增长。 ( 2 ) 当昙= 多时( 如图4 2 - 2 ) ，系统( 2 - 2 - 1 ) 不存在正的平衡点，但是系统( 3 _ 2 1 ) 在引入物种间合作后，出现了无穷多个的正平衡点，促进了捕食者与被捕食间的 共存。捕食者与被捕食者间的合作区域为：旦x 旦盟。 ee ( 3 ) 当昙 手时( 如图4 2 _ 3 ) ，系统( 2 - 2 1 ) 不存在正的平衡点，但是系 统( 3 2 1 ) 在引入物种间合作后，出现了新的正平衡点e ( 夏，兄) 。在图4 2 - 3 中，e ( 夏，兄) 满足条件 ed 一 b 旦五竺弛j p e 死华 矿一耐 o 旦丝堑兰弛竺监j 矿一嬲 旦时， 口p 新系统( 3 2 1 ) 与原系统( 2 2 1 ) 的比较如下，见图4 3 1 ，4 3 2 ，4 3 - 3 。 第2 9 页 中山大学硕士学位论文 ( 1 ) 在图4 3 1 中，系统( 2 2 1 ) 不存在正的平衡点，但是系统( 3 2 1 ) 在引入物种间合作后，出现了2 个正平衡点，其中e ( j i ；，只) 是鞍点，不稳定的； e ( _ 2 ，死) 为稳定结点。巧，e 满足 j 旦i 焉盟 i o 只死竺竽 f 旦 业 丝堑兰毖 o 所以，捕食者与被捕食者间的合作区域为：旦x 竺丝，其中= 罢譬。 eeb d e f ( 3 ) 在图4 3 3 中，2 个系统都没有正的平衡点，捕食者最终将消亡，被捕食者 趋于极限口口，对应于l o g i s t i c 方程j = x ( 口一麟) 的容纳量。在不存在捕食时，容 第3 0 页 中山大学硕士学位论文 纳量决定了被捕食者的增长。 第3 l 页 中山大学硕士学位论文 第5 章结束语 本文主要研究了一类具有合作关系捕食系统的生态模型，运用微分方程定性 与稳定性的基本原理，对这类系统周期解的存在性做了深入的研究讨论；同时结 合相图分析法，对该系统的局部稳定性和全局稳定性做了详细的分类讨论，并求 解了捕食者与被捕食者的合作区域。最后，通过与具有种内竞争的l o 伙a v 0 1 t e 胍 捕食系统的比较，对新的模型做了讨论。 模型的优点：l o 伙a - v o l t e m 捕食系统考虑到了捕食者与被捕食之间的竞争 关系，但我们这里还考虑到了捕食者与被捕食者之间的合作关系，使得更具有现 实的意义。 模型的不足：论文中我们考虑的捕食者与被捕食者之间的合作是一种线性关系， 没有考虑非线性的关系。所以我们也可以从非线性关系的角度去考虑。 第3 2 页 中山大学硕士学位论文 参考文献 【l 】j h o f b a u e r ，k s i g m u n d e v 0 1 u t i o n a d ，g 锄e sa i l dp 0 p u l a t i o nd y i l a m i c s c 锄b r i d g eu i l i v e r s - i v e r s i t ) rp r e s s 19 9 8 【2 】蹦b i i l 之h a n g m u t u a l i s mo rc o o p e 硎o n 锄o n gc o m p e t i t o r sp i 0 m o t e sc o e ) 【i s t e n c ea n dc o m p e t i t i v ea b i l i 够e c o l o g i c a lm o d e i l i n g ，2 0 0 3 ，16 4 ：2 71 - 2 8 2 【3 】m r 娟k o v j m b a l t l l a z a r ，h f v o nb r e m e n m a t h e m a t i c a lm o d e l i n ga n dc o m r o lo f p o p u l a ：t i o ns y s t e m s ：a p p l i c a t i o n si i lb i o l o g i c a jp e s tc o l l 仃0 1 a p p l i e dm a t h e m a t i c s 锄dc o m p u t a t i o n ， x 中山大学硕士学位论文 【1 4 】王高雄，周之铭，朱思铭，王寿颂常微分方程2 北京：高等教育出版社，1 9 8 3 1 5 】张炳根，生态学数学模型，青岛海洋大学出版社，1 9 9 0 【1 6 】余世孝，数学生态学导论，科学技术文献出版社，1 9 8 5 【1 7 】云舟工作室，m a t l a b 6 数学建模基础教程，人民邮电出版社，2 0 0 1 第3 4 页 一一 ! 生奎堂堡主堂垡笙奎 _ _ _ _ - _ - - - - - - _ - _ - _ - _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ - 一 附录： 附录a ：程序l 【1 7 1 缸1 c t i o n 卢x i a i l 萄i a 0 0 a _ 2 ；b = o 5 ；c = 1 ；d _ 1 ；e = 1 ；仁1 ；y o - 2 ；参数赋初值 x ，y 】= o d e 4 5 ( h a n s h u ，【o1 0 0 0 ，【21 】f ，【】，咖，c ，d ，e ，y o ) ；初值( 2 5 ，0 0 1 ) 情况下得x y 的值 p 1 砷( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k ) 【x ，y 】= o d e 4 5 ( h a n s h u - ， 0l 0 0 0 】， 32 】。，口，a ，b ，c ，d ，e ，y 0 ) ；同上，下同 h o l do n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k 。) 【x ，y 】= o d e 4 5 ( h a i l s h u ，【o1 0 0 0 】，【43 】，口，a ，b ，c ，d ，e ，f ，y o ) ； h o l d o n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，i k ) x ，y 】= o d e 4 5 ( h a n s h u ， o1o o o ， 54 】， 】，如b ，c ，d ，e ，e y 0 ) ； h o l do n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，世) x ，y 】：0 d e 4 5 ( h a l l s h u ，【01o o o 】， 65 】， 】，b ，c ，d ，e ，f ，y o ) ； h o l do n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k ) x ，y 】= o d e 4 5 ( h a n s b d ，【01o o o 】，【76 】，口，如b ，c ，d ，e ，f ，y o ) ； h o l d o n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，1 ( ) 【x ，y 】= o d e 4 5 ( h a n s h u ，【o1 0 0 0 】， 87 】，口，如b ，c ，d ，e ，y 0 ) ； h o l do n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k f ) 第3 6 页 中山大学硕士学位论文 x ，y 】= o d e 4 5 ( t l l a n s h u ， 01 0 0 0 】， 98 】i ， 】，加，c ，d ，e ，y 0 ) ； h o l do n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k ) 【x ，y 】= o d e 4 5 ( h a n s l m ，【01 0 0 0 】，【1 09 】i ，【】，如，c ，d ，e ，y 0 ) ； h o l d0 n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k t ) x ，y 】= o d e 4 5 ( t h a i l s h u ， 01 0 0 0 】， 11 1 0 】， 】，啪，c ，d ，e ，e y o ) ； h 0 1 d o n p l o t ( y ( ：，1 ) ，y ( ：，2 ) ，k ) x ，y 】= o d e 4 5 ( - 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o ：o 1 ：9 ； p = 3 - o 5 幸a b s ( q 一2 ) ； h o l do n p l o t ( z ，w ，t b ，l i n e w i d 甜，2 ) ； h o l do n p l o t ( p ，q ，t b ，l i n e 晰d t h ，2 ) x l a b e l ( x ，f 0 n t s i z e ，2 0 ) ；x 轴注解 y l a b e l ( t y t ，f 0 n t s i z e ，2 0 ) ；y 轴注解 x l i n l ( 0 ，6 】) ；y l h ( o ，8 】) ；设置x ，y 轴的显示范围 t i t l e ( 图4 3 2 3 两等倾线相交有1 个正平衡点，f o n t s i z e ，1 4 ，f o n t w e i g h t ，t b o l d ) ； t e x t ( 2 2 ，一o 3 ，p ，f o m s i z e ，16 ，f o n t w e i g