（应用数学专业论文）几类非线性生物模型的持久性.pdf

摘要 随着人类社会经济活动的迅速发展，人类因为短期利益或是对大自然认识的不 足，盲目掠夺性地经济活动如大面积砍伐森林和开垦耕地、非法盗猎、不规范的旅 游业、盲目开采及工厂”三废”的释放等等，引发了土地沙漠化、水土流失、环境污 染和物种迅速消亡等一系列严重恶果，生物多样性丧失和生态环境的破坏使人类及 其后代的生存和发展面临严重威胁人们在研究生物灭绝的过程中，发现许多生物 的灭绝过程都是栖息地先行破碎，连续分布的种群裂成斑块状种群，然后逐个斑块 种群灭绝，最后导致整个种群的灭绝为了能长期有效开发和利用资源，就必须具 有合理性自然资源的重要决定了在其开发和利用过程中必须实现可持续性应该 做到科学合理地开发利用自然资源，不断提高资源的开发利用水平及能力，力求形 成一个科学合理的资源开发体系而数学中微分方程中持久性问题正是对生物种群 能否长期共存准确而科学的描述 近来，时滞微分方程在生态模型中得到广泛应用，在这些模型中主要是研究时 滞对稳定性的影响从一些具有时滞的模型中，我们了解到稳定性随着时滞的改变 而改变且时滞无限增长时会导致系统最终变成不稳定但是在一些时滞模型中，随 着时滞的改变，系统的一致持久并没有发生改变多物种种群动力学模型也层出不 穷，尤其是两物种种群模型中的捕食一食饵系统，它是一种很重要的生物数学模型 随着功能性反映函数的出现，解决了捕食一食饵系统存在的不合理之处，使模型更 加完善此外，阶段结构种群模型得到广泛关注，因为阶段结构模型不仅比偏微分 方程形式更简单，而且它们所显示的现象和一些偏微分方程相类似在第二章利用 比较定理得到了一类带有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应函数和无限时滞的周 期捕食一食饵模型持久性的充分必要条件 脉冲微分方程描述了某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃它 是对自然界的发展过程更真实的反映脉冲微分方程的理论和方法在近三十年的研 究中得到不断的完善，已经形成一个比较完善的体系，被广泛应用于种群动力学、 传染病动力学、药物动力学、生物控制论、生物统计、数量遗传、化学反应等方面 尽管许多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了很多工作，但脉冲微分方程在种 群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白因此，本文第三 章研究了一类具有非单调功能性反应函数脉冲捕食者食饵模型的持久性，通过利 用f l o q u e t 定理和小参数扰动技巧得到了保证该模型持久和灭亡的条件 传染病历来就是危害人群健康的大敌，历史上传染病一次又一次的流行给人类 生存的国计民生带来了巨大的灾难长期以来，人类与各种传染病进行了不屈不挠 的斗争回顾斗争历程，应该说2 0 世纪是人类征服传染病取得最辉煌成果的时期 近2 0 年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于各种各 儿类非线性生物模型的持久性 样的传染病问题这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般规律的研究，也有 部分是针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、性病、艾滋病等诸多具体的疾病建立传染 病模型的主要理由是可利用模型对影响疾病传播的生物学和社会机理作清晰描述， 通过模型的研究来揭示疾病流行规律，预测流行趋势，为发现、预防和控制疾病的 流行提供理论根据和策略本文第四章构建了一个脉冲治理害虫的病毒模型，即通 过脉冲投放病虫致使易感害虫种群感染病毒，成为患病的害虫，从而达到消灭害虫 的目的利用比较定理及解的一致有界，得到了易感害虫灭绝周期解稳定的临界值 条件 关键词：阶段结构：捕食一食饵模犁：脉冲时滞系统：持久性：全局渐进稳定 1 1 a b s tr a c t a l o n gw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs o c i a le c o n o m i ca c t i v i t y , b e c a u s eo fs h o r t t e r mi n t e r e s t so fh u m a n i t ya n dl a c ko fa w a r e n e s so fn a t u r e ，b l i n dp r e d a t o r ye c o n o m i c a c t i v i t ys u c ha sl a r g e - s c a l ed e f o r e s t a t i o na n dr e c l a m a t i o no fc u l t i v a t e dl a n d ，i l l e g a l p o a c h i n g ，n o n - s t a n d a r dt o u r i s m ，m i n i n ga n df a c t o r i e sb l i n d l y t h r e e w a s t e s t h e r e l e a s ea n ds oo n ，h a v ec a u s e dd e s e r t i f i c a t i o n ，s 0 1 le r o s i o n ，e n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o n a n dt h er a p i dd i s a p p e a r a n c eo fs p e c i e s ，s u c ha sas e r i e so fs e r i o u sc o n s e q u e n c e s a sw ek n o w ，l o s so fb i o d i v e r s i t ya n de c o l o g i c a lh a v ed a m a g e dt ot h ee n v i r o n m e n t a n dh u m a n ss u r v i v a l i nt h ep r o c e s so fs t u d y i n gb i o l o g i c a le x t i n c t i o n ，p e o p l ef o u n d t h a tt h ee x t i n c t i o no fm a n yb i o l o g i c a lp r o c e s s e sa r eh a b i t a tb r o k e nf i r s t l y , s p e c i e s c o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o no fs p e c i e sf r a g m e n t e di n t op a t c h e s ，t h e np a t c h - b y - s p e c i e s e x t i n c t i o n ，a n df i n a l l yc a u s et h ee x t i n c t i o no fe n t i r es p e c i e s t h ep e r s i s t e n tp r o b - l e mo fb i o l o g i c a ls p e c i e sf o rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nm a t h e m a t i c si sal o n g - t e r m c o e x i s t e n c eo fa c c u r a t ea n ds c i e n t i f i cd e s c r i p t i o n r e c e n t l y , t h ed e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni nt h ee c o l o g i c a lm o d e lw i d e l yi sa p p l i e dw i d e l yt os t u d yt h ei m p a c to f d e l a yo nt h es t a b i l i t y f r o ms o m eo ft h em o d e lw i t ht i m ed e l a y , w ek n o wt h a tt h e s t a b i l i t yw i l lc h a n g ew i t ht h ec h a n g i n gt i m ed e l a ya n d w i l lc a u s eu n l i m i t e dg r o w t h o ft h es y s t e me v e n t u a l l yb e c o m i n gu n s t a b l e i na d d i t i o n ，t h es t a g e - s t r u c t u r e dp o p - u l a t i o nm o d e l sa r ew i d e l yc o n c e r n e da b o u tt h ep h a s es t r u c t u r eo ft h em o d e lb e c a u s e o fi t sf o r md i f f e r e n tf r o mp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dm o r es i m p l e ，i nt h es e c - o n dc h a p t e r ，ac l a s so fp r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hb e d d i n g t o n d e a n g e l i sf u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o na n dt h ei n f i n i t ed e l a yi sc o n c e r n e d ，n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n - d i t i o n so fp e r m a n e n c ea r eo b t a i n e db yu s i n gt h ec o m p a r i s o nt h e o r e m i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e s c r i b e st h es t a t u so fc e r t a i ns p o r t sa tf i x e do rr a p i d l yc h a n g - i n gm o m e n t i ti sw i d e l yu s e di ns p e c i e sd y n a m i c s ，d y n a m i c so fi n f e c t i o u sd i s e a s e s ， p h a r m a c o k i n e t i c s ，b i o - c y b e r n e t i c s ，b i o - s t a t i s t i c s ，t h en u m b e ro fg e n e t i c ，c h e m i c a l r e a c t i o n sa n ds oo n h o w e v e r ，t h ea p p l i c a t i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i np o p u l a t i o nd y n a m i c sa n di n f e c t i o u sd i s e a s e sr e m a i n sg a p si ns t u d y t h e r e f o r e ， t h i sa r t i c l ei nc h a p t e ri i is t u d i e sac l a s so fi m p u l s ep r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t hn o n - m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o no fs u s t a i n a b i l i t ya n do b t a i n st h ee o n d i t o n s o fp e r m a n e n c ea n dt h ee x t i n c t i o no ft h em o d e lb yu s i n gf l o q u e tt h e o r e ma n ds m a l l p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e i n f e c t i o u sd i s e a s e sh a v ea l w a y sb e e na g a i n s tt h e g r e a te n e m yo fp o p u l a t i o nh e a l t h ，h i s t o r yt i m ea n dt i m ea g a i no nt h ep r e v a l e n c eo f i n f e c t i o u sd i s e a s e st oh u m a n ，t h ep e o p l e sl i v e l i h o o dh a sb r o u g h te n o r m o u sd i s a s t e r 儿类非线性生物模型的持久性 s o ，c h a p t e ri vo ft h i sa r t i c l ec o n s t r u c t e dap u l s e dp e s tc o n t r o lv i r u sd i s e a s em o d e l ， t h a ti s ，p e s ts p e c i e sa n dp u l s ea r ei n j e c t e dt h r o u g ht h ew o r ms u s c e p t i b l et oa c h i e v e t h ep u r p o s eo ft h ee r a d i c a t i o no fp e s t s k e yw o r d s ：s t a g es t r u c t u r e ；p r e d a t o r p r e ym o d e l ；i m p u l s i v ed e l a ys y s t e m ； p e r m a n e n t ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e l v 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者躲彳呵强 日期：2 。0 1 年多月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务 作者签名：何 翩戳：獬峄t ，l 竹l 阿，p 同期：卅年占月夕日 蹴硼夕年6 月7 日 第一章引言弟一早ji 百 1 1模型介绍 种群动力学是生物数学中研究种群宏观现象的科学，研究种群与环境之间的关 系，研究种群之间的关系，这种关系我们常常可以用动力学的观点来分析，从而利 用动力学建模方法来建立种群之间关系的数学模型，以及种群与环境之间关系的数 学模型，利用这种模型来研究一些生态现象，从而达到对某些生态问题的控制这 种建模方法同样可以应用在传染病的研究中，即病人的数量随时间的变化可以近似 的看成是一个连续变化过程，利用微分方程和积分方程建立数学模型，利用微分方 程的理论和方法来研究这些方程解的性质，进而对传染病将来的发展趋势做一个估 计，为人们去预防以及治疗提供一定的信息和措施然而，生命现象远比物理、力 学等现象要复杂得多，人们建立的数学模型也在不断进化演变，从单种群到多种群， 从定常系统到时变系统，从连续系统到脉冲系统，呈现着由简单到复杂的变化过程， 随着数学工具的不断改善和更新，这些描述生命现象的模型也随之变化以期能更真 实确切地反映生命现象的本质及其发展过程非线性脉冲时滞生物模型正是在这种 背景下得以发展和成熟起来的，并被广泛应用于生物技术、物理、经济、生物控制、 种群动力学、流行病学、药物动力学、分子学、遗传学、神经网络等领域 l e s l i e 在文 1 2 1 中介绍了一种捕食一食饵模型，在这个模型中捕食者的环境 容纳量与食饵的数量成比例l e s l i e 强调这样一个事实：捕食者和食饵的增长率都 存在上极限这个事实在传统的l o t k a - v o l t e r r a 模型中并没有得以刻画对于捕食 者，当食饵对捕食者的数量较多；对于食饵，当每个捕食者( 也可能是食饵的数量) 较少；在以上合适的条件下这些上极限可近似得到对连续时间的情况以上考虑可 用以下微分方程模型： j 面d x = ( r l n 1 可) z ， i 血d t = ( r 2 一a 2 兰) ； 来描述以上模型被称为第一l e s l i e 模型和第二l e s l i e 模型当食饵种群内的竞争 对食饵种群增长的影响可以忽略时，即食饵种群无密度制约项，得第一l e s l i e 模型， 它是第二l e s l i e 模型的简化 文 3 研究了如下带有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应函数的捕食一食饵模 1 ep “m m 化 一 一 l 2 p 0 、 = = 如一出血疵 ，-、【 和 儿类1 隧皂性生物模型的持久性 型： 童= 汪x r - 咖p x + - 蒜纠 ( 1 1 ) 基于时滞非线性模型的重要性，本文第二章利用比较定理研究了如下带有b d 功能性反应函数的周期捕食一食饵模型的持久性问题： | ，圣1 = 口( ) z 2 一b ( t ) x 1 一d ( t ) x 2 一p ( ) 习翻。k 1 2 ( s ) 可( 亡+ s ) d s ， 2k 2 = c ( t ) x l 一，( 亡) z l ， 卜可卜m ) f 0 2 2 1 ( s ) 丽d s - y - q ( t ) ( 如( s ) 巾+ s ) 如) 2 ( 1 2 ) 另外，人们发现有许多生物现象的发生以及人们对某些生命现象的优化控制并 非是一个连续的过程，不能单纯的用微分方程或差分方程来进行描述例如，人工 放养塘鱼，在一定时间间隔进行捕捞，大鱼就会瞬间大量减少，投放小鱼，小鱼就 会瞬间大量增加动物自然保护区短期开放狩猎，亦会使种群剧减由于某种原因， 导致一个地区的鼠类出现集体自杀现象要把这个瞬时的行为结合起来研究的数学 模型则是一个脉冲微分方程模型4 - s 本文在第三章考虑了以下脉冲微分方程： 。? 一吵：，_ 、端) ，t ( n + 1 - 1 ) t , t n t , i 可币) = 可( 亡) ( 者一d ) ， q z 5 ：二? 2 j p 1 ) z ) ， t ：( 佗+ f 一1 ) t ， ( 1 3 ) i 可( t + ) = ( 1 一p 2 ) y ( t ) ， 、 j z ( + ) = z ( 亡) ， z ：n t ， 【可( t + ) = 秒( 亡) + q ， 7 其中0 2 1 ，x ( t + ) = l i m 8 。t + z ( s ) ，y ( t + ) = l i m 8 - - - - ，t + 可( s ) ，0 p l 0 和 y ( t ) 0 ，当t 0 ，女口果z ( o + ) 0 贝0 有y ( o + ) 0 定义1 2 系统( 1 3 ) 是持久的，如果对m m 0 ，若任意解都满足m x ( t ) m ，m y ( t ) m ，当t 充分大时 引理1 2 ( 1 9 】中定理3 1 1 ) 令v y o ，假设 3 几类非线性生物模型的持久性 id + y ( ，z ) g ( t ，v ( t ，z ) ) ，t n t ，t ( 竹+ f 一1 ) z y ( t ，z ( t + ) ) ( 亡，v ( t ，z ) ) ，t = 灯， ( 1 5 ) iv ( t ，z ( t + ) ) 妒n + k ( t ，v ( t ，z ) ) ，t = ( 礼+ f 1 ) z 其中g ：r + xr + _ 冗是区间( ( 几一1 ) z ( n + l - 1 ) 卅尺+ 和( ( n + l - 1 ) t ，n t 】x r + 上的连续函数，( t ，。) 。( l i + r a l 一1 ) r + ，：) 夕( 。，s ) 。夕( ( 礼+ f 一1 ) t + ，z ) 和( 以l i m s ) - - - - * ( n t + ，。) 夕( 。，s ) = 。( t ，s ) + ( ( n + l 一1 ) r + ，z ) 。、 ( t ，o ) 。、 g ( n t + ，z ) 存在；饥：r + 一兄+ 和妒竹+ 后：r + _ r + 是非增的 令r ( t ) 是脉冲方程的最大解 t n t ，t ( 几+ z 一1 ) z 忙讥弓 ( 1 6 ) t = ( n + l 一1 ) t ， 、 且在区间 0 ，0 0 ) 上存在则对v ( o + ，z ( o + ) ) z t o 得到v ( t ，z ( 亡) ) r ( ) ，当 t 0 ，其中z ( t ) = ( z ( t ) ，可( 亡) ) 是系统( 1 3 ) 的任意解 引理1 3 存在常数m 0 ，则对系统( 1 3 ) 的任意解有x ( t ) m ，y ( t ) m ， 当t 充分大时 证明：定义函数v ( t ) ，令 v ( t ) = k x ( t ) + y ( t ) 且v v o 在系统( 1 3 ) 解的基础上计算v ( t ) 的右上导数并且得到以下脉冲 微分方程 ld + y ) + l v ( t ) = k ( r + l ) x ( t ) 一k a x 2 ( 亡) + ( l d ) 可( ) ，t n t , t ( n + f 一1 ) t ， y ( ( n + f 一1 ) t + y ( ( 扎+ z 一1 ) 丁) ，t = ( 竹+ f 一1 ) t ， iv ( n t + ) v ( n t ) + g ，t = 佗t ， ( 1 7 ) 令0 l 0 根据引理4 系统( 1 9 ) 的结论 可得证 引理1 5 对系统( 1 9 ) ，假设a l 0 ，c = c ( d l ，d 2 ，p 2 ，t ) 证明：因为系统( 1 1 0 ) 的解为 ，“j ( 1 一p 2 ) n 一1 ( y ( o + ) 一秒；( o + ) ) e x p ( - d t ) + 咙( 亡) ，t ( n 一1 ) z ( n + l 一1 ) 卅， 曰【艺户= 一 。、7 i ( 1 一p 2 ) n ( 可( o + ) 一秒：( o + ) ) e x p ( - d t ) + 硝( 亡) ，t ( n + l 一1 ) t ，n t ， 5 几类非线性生物模型的持久性 ( i ) 、( i i ) 得证 引理1 7 考虑以下脉冲系统： fu m ) = 一d v ( t ) ，t n t , v ( n t + ) = v ( n t ) + 弘，t = n t ， 这罩d ，p 0 则系统( 1 1 2 ) 存在唯一j 下周期解 ( 1 1 2 ) n = 1 ，2 ， 、7 秽( t ) = 可+ e x p ( - d ( t 一钆t ) ) ，t ( n t ，( 佗+ 1 ) 丁】，扎z + ，( 1 1 3 ) 是全局渐进稳定的，这里钉+ = 南 6 第二章一类时滞周期捕食食饵模型的持久性 2 1 模型与假设 近年来，阶段结构生物模型引起人们的关注 1 1 2 1 】，而在现实世界里，环境的 变化与时滞起着非常重要的作用，因此对周期时滞动力系统的研究日益受到人们的 重视 2 2 2 5 】 本章主要研究以下具有功能性反应函数和食饵阶段结构的周期捕食一食饵模 型的动力学行为 i 士1 = a ( t ) x 2 一b ( t ) x l d ( t ) x ；一p ( ) i 蒜k 1 2 ( 8 ) y ( t + s ) d s ， 2k 2 = c ( t ) x l 一厂( ) z ；， i 皓刮叫卅坤) o 。k 。1 ( s ) 丽群蔫丽d s - y - q ( o 。k 。2 ( s ) 巾+ s ) d s ) 2i- ( 2 1 ) j 这里的x 1 和x 2 分别表示幼年食饵和成年食饵的密度，y 表示捕食者的密度n ( ) ， 6 ( ) ，d ( ) ，p ( 芒) ，c ( ) ，( ) ，夕( t ) ，h ( t ) 和g ( t ) 都是当t 0 时的正连续的u 周期函 数，e ，p ，7 是正数8 ) ( i ，j = 1 ，2 ) 是定义在r 一= ( 一。o ，0 】上的非负函数，且 t ：o 。k i j ( s ) = 1 百蒜( b e d d i n g t o n d e a n g e l i st y p e ) 表示捕食者对食饵的功能性 反应 令q = 咖= ( 1 ，2 ，3 ) ：如( ) 是尺一上的非负连续函数，也( o ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ) 假设系统( 2 1 ) 的解满足以下初始条件： z t ( s ) = 妒i ( s ) ， v ( 8 ) = 矽( s ) ，( i = 1 ，2 ) ，( 妒1 ，妒2 ，砂) c + ，s ( 一o 。，o 】 为了方便，对连续的u 周期函数厂( 亡) ，令 r e ( f ( ) ) = 1 o 馋) 妃f m m a x 叫f ( ) ，f l = 啪m i n 叫】m ) 在 2 6 】中，c u i 提出了以下食饵具有阶段结构的捕食一食饵系统： i 士1 = a ( t ) x 2 6 ( t ) z 1 一d ( t ) x 2 一p ( t ) z 1 y ， k 2 = c ( ) z 1 一，( t ) z ! ， l 雪= y ( - g ( t ) + h ( t ) x 1 一q ( t ) y ) ( 2 2 ) 这里的n ( 亡) ，6 ( ) ，c ( ) ，p ( 亡) ，d ( ) ，9 ( t ) ，允( 亡) 和f ( t ) 都是正连续的叫周期函数，x 1 和 x 2 分别表示幼年食饵和成年食饵的密度，可表示捕食者对z 1 的密度他们得到了一 系列的充分必要条件保证了系统的持久性近年来，c u i 和s u n 2 7 共同合作在系 7 几类1 f 线性生物模型的持久性 统( 2 2 ) 加上无限时滞，并且研究了以下系统： f 童1 = a ( t ) x 2 6 ( 亡) z 1 一d ( t ) x i p ( t ) x 1 k 1 2 ( s ) ( 亡+ s ) d s ， 童2 = c ( t ) z 1 一厂( 芒) z l ， ( 2 3 ) i 痧= 可一夕( 亡) + ( ) 。七2 1 ( s ) z 1 ( + s ) d s q ( t ) f f l 。七2 2 ( s ) 可( t + s ) d s l 利用分析技巧他们得到了一系列的充分必要条件并保证了系统的持久性 最近，具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应的捕食一食饵模型 引起了不少学者的关注，其中的功能性反应由b e d d i n g t o n 2 8 1 和d e a n g e l i s 2 9 引 入当c = 0 时( 2 4 ) 成为传统的第二类功能性反应系统；当a = 0 时则成为比率 依赖系统，其分母中多出来的项聊用于刻划捕食者之间的相互影响统计表明， 该系统在描述生态系统的某些动力学行为方面与实际数据更加吻合 3 0 】，而且系统 还克服了低密度状态时的奇异行为近年来，对b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能性反应 的捕食一食饵模型的研究取得了一些进展，但进一步的结果仍不多见 2 2 主要结果 引理2 1 1 3 1 系统 o ) 是 全局渐进稳定的 定理2 2 系统( 2 1 ) 是持久的充分必要条件是 m - g ( 卅坤) 蛔( s ) 黼d s ) 。 其中( z ；( t ) ，z ；( ) ) 是引理2 1 中系统的j 下的周期解 2 3主要结果的证明 引理3 1 存在正数m x 和坞，使得 t l i m 。s u px i ( t ) 必，t l i m 。s u py ( t ) 坞 一o 。 t o 。 一 8 ( 2 6 ) 嘉 毛 丛堡! 奎堂堡主堂堡堡茎 证明：显然霹是( 2 1 ) 的一个正不变集由【3 2 】中引理3 1 ，得到 t 1 i m 。s u p x i ( t ) 尥，i = 1 ，2 令q ( ) = - g ( t ) + 警，并设常数7 - 0 使得 ，后2 2 ( s ) e x p ( q u s ) d s o ( 2 7 ) 由o ok 2 l ( s ) d s = 1 ，对任意的7 得到 嘞卜酬币i 等丽叫驯训州纠 因此，对任意的t 芝t + s2 丁8 0 ) ，有 秒( + s ) 2 ( 亡) e x p a ) 比y ( t ) e x p ( o y s ) j t 由上面的不等式，对任意的t 2 丁，得到 痧秒 c e ( t ) - - y ( t ) - - q ( t ) ( 厶肼啪s ) 2 1 秒卜训刊( 酬邪删d s ) 2 1 细a ( t ) - - y ( t ) - q ( t ) ( 二k 2 2 ( s ) e x p ( a u s ) d s ) 2 识亡) 1 考虑辅助方程 咖a ( t ) - u ( t ) - q ( t ) ( 二k 2 2 ( s ) e x p ( a v s ) d s ) 2 识t ) 且初始条件为乱( 7 _ ) = 秒( 丁) ，设其解为u ( t ) ，则有 秒( ) 乱( 亡) ，t 丁 ( 2 8 ) 从 3 2 1 中的引理2 3 ，知道存在一个常数m y 0 ，使得 t 1 i m 。s u p u ( t ) 因此，由( 2 8 ) ，得到 恕s u p y ( t ) 5 坞( 2 9 ) 引理3 1 即得证 引理3 2 存在正数纯( 纯 丁，使得 o 勋( z ) 尥，0 0 使得 h o |k 1 2 ( s ) d s 0 ) ，存在 地( 芒) 艺：( 亡) 一g + 1 0 ( 亡) 一4 ， 而 组姐 j 专 砂s“+ 一 聋咖 一 。呵 竺一 一砩 力 “巾 j j q ；吨 ，j1 口如罂 m 增 m ! f - | | 陆 一 兰州理j i ：大学硕+ 学位论文 得到 1 i mi n fx i ( t ) m ，i = 1 ，2 引理3 2 即得证 引理3 3 如果( 2 6 ) 成立，就存在一个正数嘞，使得具有正初值系统( 2 1 ) 的 解( x l ( t ) ，x 2 ( t ) ，秒( 亡) ) 满足 。 1 i r as u py ( t ) 仉 ( 2 1 3 ) 证明：跟 3 2 中引理3 3 证明过程相类似，在此从略 引理3 4 如果( 2 6 ) 成立，则存在正数勺，使得系统( 2 1 ) 的解( x l ( t ) ，z 2 ( ) ，秒( 亡) ) 在正初始条件下满足 。l i mi n fy ( t ) 勺 ( 2 1 4 ) i i e 日t ：假设( 2 1 4 ) 不成立，则存在一个序列 ) r 晕，使得 熙i n 吲t ，) 嘞，m = 1 ，2 t - - - 0 0 0 因此，存在时间序列 满足 0 s ( 仇 t p s 妒 t 妒 s 亡护 ，s p _ + o o ，t _ + 小辨) = 鼎，绯辨) 2 舞， ( 2 1 5 ) 高 对m 兢( 亡，) 对m + 盯( 川，得到 耋f ( 厶) = ( 屯) l 一9 ( ) 一可( ，) 一酢) ( o o ok 。( s ) 可( 亡+ s ，岛) 幽) 2l y ( t ，) l 一9 ( t ) - y ( t ，) - q ( t ) ( d 训忌2 2 ( s ) 可( + s ，) d s + 盯( 。) 七2 2 ( s ) 可( + s ，) y ( t ，) - g ( t ) 一坞一4 m 著q ( t ) 对q k ( m - 从s 护到t y ) 上积分得到 卵辨，小辨，唧 _ l n ( m + 1 ) ，g k ( m ) 5 m ) ( 9 ( 亡) + + 4 蟛g ( z ) ) ( m + 1 )，g k 根据g ( t ) + m y + 4 m 2 q ( t ) 的有界性，得到 护一s 护一十，m _ + ，q k 川 ( 2 1 7 ) 由( 2 1 5 ) ，( 2 1 7 ) ，存在常数p 0 ，n o 0 ，使得 y ( s 5 m ，) = ： 2 只 ( 2 1 8 ) 。州奶。 ( 2 1 9 ) 这里 圳一酢蛔( s ) 研器高d s - 4 q 弘孙 对于m n o ，q k ( 仇) 且a p ( 2 1 8 ) 意味着 秒( 亡，) k i 删，有 掣芒_ s p 小吁1 。 仁。郴) d s 0 并且后( t ) = 七1 2 ( 亡) + k 2 1 ( ) 4 - k 2 2 ( ) 由( 2 1 7 ) ，存在j 下整数1 ，使 t 扩一s p g o , 对任意的m 1 ，q2 叫m 对m 1 ，q 斛m )以及s 护+ 0 - 0 t 护，由( 2 2 0 ) 一( 2 2 2 ) ，得到 d x f l ( t , g ) = 口( ) z 2 ( 亡，) 一6 ( 亡) z 。( ) 一d ( z ) z ；( ，) 刊砸裂f 刊雨舔筹南南 - p ( t ) z 1 ( 亡，岛) e + f l x l ( t ，) + y y ( t ，) k 1 2 ( u 一亡) 秒( u ，m ) d u ( m ) k 1 2 ( u 一) 可( u ，) d u