（应用数学专业论文）几类差分方程的定性研究.pdf

摘要 本篇硕士论文熬分蹰章。 第一牵赍绍了爵凳莲分方茬理论酶意义粕叉中常见记号及一些纂本概念。 第二章，考虑一阶中立型箍分方程 ， 矗一只颤t ) + 姨略。= 0( 1 ) 英中 只 ，；婊 为菲受实数捌，芝* i 或冀l 篮只 # 藏，女，j ( 镰t o j - 0 声。 讨论了该羞分方程的疆解的分类，著获得了一系捌像证静类解存在的宠分必要条 辨臻究分条释。 豢三章，讨论一类j # 线性中立裁箍分方稷 f 越善。一芦。菩( x 柑羚十譬。f ( x 。q ) 嚣筑h 盘部，2 。，2 ) 其中 或 ，眩 为实数序弼，k , l 姆为非煎熬数，g g c ( r ，黄) 鼠 吼。缮o ) ，n gj ( o ) ，铲札) o 国o ) ，蜷( “) o 颤# 。) 琏要研究了该夔分方程 的援动往闯题驳其歪解的存在瞧，获褥了曝诞熬婿翁解摄动黪若干薪结论。 第辫章，考蒜其馥圣滞反馈j # 线性藏分方程系统， f ，艇磐i 叠一 。 ( 3 ， 、 y 。= 胁。t + ，( “) 。 。 觏零s 楗国，f ：r - 4 r , 翮。鬈为懒黼 话 ， 糍信号黼数，参数芦 o ，口嚣院了该系统耱2 女+ 2 涮辩解e 游褥缝论扩充了 f 4 8 】中佟者魍结沦。k 关键调：差务方糕中立型 解的分类掇劫健差分方程系统 a b s 拄a c t t h i st h e s i si sc o m p o s e do f f o u r c h a p t e r s bc h a p t e r l t h es i g n i f i c a n c eo fd i f f e r e n c ee q u a f i o u st h e o r ya n dt h eu s u a l n o t a t i o n sa n ds o m eb a s l ec o n c e p t sa i n t r o d u c e d 秘c h a p t e r 2 w ed i s c u s s t h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h es o l u t i o n s o f a c l a s s o f f t r s t - o r d e r n e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n so ft h ef o r m 6 ( x 。一冀如 ) + 盆。# 。q 。0( 1 ) w h e r e p 。 ，f 幺 枷苣) a r e n o n n e g a f i v er e a ln u m b e r s w i t h 鼓鞴to r 只l ，奠 n o n d e c r e a s i n g , t a n dfa r e n o n n e g a f i v ei n t e g e r s ，a n do b t a i nas e r i e so f s u f f i c i e n t n e c e s s a r yc o n d i t i o n so rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c e o f s o l u t i o n i n e v e r y k i n d o fs o l u t i o n - c l a s s h c h a p t e r 3 w es t u d y t h eo s c 越a f i o no f a c l a s so f n e u t r a l d i f f e r e n c ee q u 韪t i o n s o f t h e f o m l 盎积。p 。g 讧。一) ) + 蟊，( 1 ) 盎0 ，4 带( 2 ) w h e r e p 。】， 吼la r e r e a l n u m b e r s w i t h q 。0 ( 霉o ) ，冉sn ， ka n dza r e n o r m e g a t i v e i n t e g e r s ，f ，g 芒c ( r ，r ) w i t h 舻西) o ( u 誉o ) ，u g 轴) ) 0 国毋o ) ，a n d g e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i t a t i o no ft h en e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o na n d as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h en o n l i n e a rd i f f e r e n c es y s t e mw i t hd e l a yf e e d b a c k 髓瓮：笼：； ( 3 ) 黼矧蝴酣骱鹏盯2 譬i s 峨删 m c c u t l o c h p i r ss i g n a lt r a n s 澈u s s i o a 囊雌娃。芦 o 。d 琶最a r et w op 豁j a m e t e r s ， w ed i s c u s st h e 2 k + 2 一p e r i o d i cs o l u t i o no f o , l 0 援爨遗过令只= k ，毂= 截钿，矗。趣，将其转诧梵方纛： 纛。l ，8 ( ( x 。一戈。一女) ) + q n x 。一f ；0，l n ( n o ) ( 2 ) 然麓，避遽毖较羰毽，建立了鳃下鹣差分方程 r x 。= r x 和譬，盖州雄f ) ，f n ( n o )移) m 疆髂存凌懿戆分必要条褥；迸蓑，筏嬲鼹方程2 ) 熬燕锵 文 遴舞分类，将它髑 分鸯懿下瓣瓣= 黪类蘩： a 一黧：若w 表示为矗= o r 。十声。，& o 声。有界； b 一跫：若矗霹袁承为算。= 岷+ 5 。，o t 0 , 6 。蔗秀， 但惫训( 一桃 e 一登：若蔗“无界，偿- - 益g , 一。积一扣) ； d _ 型：若岸。有秀 我髑谖褥方程疆 黪滚簿必定是a 一囊、b 一鍪、c 一獾或登孛瓣一静；在魏蒺囊窭上， 我翻获得了保证各爽正解存在的充分条俘或充分必要条件。 椒第三章中，我们讨论了一类非线性中立瓤差分方程 ( 矗一p 。g ( 矗一1 ) ) + 散，( 毒“) = 0 ，n e n ( 4 ) 其串， 或 ， 吼 兔安数彦弼，奄，z 璃为菲受熬数，f ，g 芒c ( r ，霞) ，虽 g 。o ( 攀o ) ，n ( o ) ，妒( “) 0 ( “0 ) ，u g ( u ) 0 ( “o ) 。 辩( 碡) ，毒诤多文簸觅 3 6 3 7 等 是栗藤将其线缝诧黪手霰，郄遴避在线注 和非线性之1 日建立一种比较关系，通过其线性化方程的振动性来判定原非线性方 程的振动性。与此不同，我们主要从f ，g 的非线性及单调性出发去研究方程( 4 ) 懿振动性，褥裂了一系列瑟的像诞其艨有鳞搬凌的充分条转。疑惑，我键崩建 k n a s t e r - t a r s k i 不动点定理研究了( 4 ) 正解的存在性，得到了新的充分条件。 谯第四章中，对如下的具时滞反馈差分系统 持二鲁l + 静- k ： 拜芒n l y 。= 痧。q + ，( 矗_ ) 7 其中，芦( o 1 ) ，七( 1 ) ，f ：r 呻r ，( x ) ： 一pz ：为膨“f f d 如一p f 触 p 工s 拶 型符号爱数，参数p 0 o r 。我们乖j 用分步法与迭代法斑要研究了系统( 5 ) 在 参数( 芦，户) 的某些区域内的2 k + 2 周期解的存在性与稳定性；同时，我们研究了 系绫( 5 ) 熬鼹在菜登条箨下懿溪：i 凌瞧覆。我髓豹缝果扩充了瓣7 】与瓣s 】孛静络沦。 基本概念和记号 谈z 表示疑鸯熬羧集会，怼强慧a ，b z ，群b ，定义： ( ) = f “，a + 1 ，一) ，n ( a ，6 ) = ( 以，a + 1 ，一，6 1 ，n = ( o ) 。 一般的差分方程可霹成如下形式 x n + l2 f ( n ，x 呐，矗吨，x n - k 。)礤) 其中n ，瓤n ，f n ( 1 ，黼) 。 记p = m a x k ：，f n o ，嫩) ，瓣方稷瀚赘一个群怒播个实数窿列 茗。 ，它 定义褒n ( - p ) _ t 萎袭点灌是、6 ) 。对殛意缭定熊镑始条诲 善，= a ，毫( 一p ，o ) 仃) 凑分步法翔方程6 ) 鸯解鼠灌一。 下鬻我靛爱人一鍪繁嚣魏定爻： 定义1 一个序列 x 。 称魏最终为蔗，蕊暴存在一个m n ，使得强 雌( 姨) 嚣尊，工。都犬予零；一个痔剃 称为最终为受，妻耩果静谯个n 2 n ， 靛褥姿挣n ( n 2 对，黾郝枣子零。 囊黛2 一个序戮 是美予0 搬动静，蠛鬻篱单逢谎爨振动的，辩添菩。 既非最终为援也非最终掩受，否则猕 】必j 擞璐孵。 瓢 媳严嬉振动的，躲 聚襄每个n ，露魏，帮鹣) ，使褥气。毛，o 。 气 美予i 攘饕沪稔攘霉黔 鳃粟 善 摄凌俨襁搬动 。 定义3 方程( 6 ) 称为搬动的，如暴它的所露躲郝是振动的。 燕义4 窿襄 二，；美予拶辩一个菠半环，鼹糖谈彦剜申 羧簸垒大予0 瀚一 拳点f 而，恐。，z 。 缀蔽鼬一个煮“链”，其中t 惫一露鼠m 冬* ，使得 竣者k - k ，浚者| - k ，基瓦；s 移； 或者撩= * ，竣者斑一，基k l 篷释 霆义s 港剃 ：。荧予a 懿一个懿半醛，蕊捺浚寒萝| j 书数德垒幂大予婷黪 一事赢 而，麓。， 缀凌翡一拿煮“镌”，冀孛 - - k j 薹m 曼* ，餮褥 竣者f 。- k ，或者l 一，且x t ， 替； 竣誊辫= 一，竣者拱* ，裁善移 定聚6 一个序弼 二称鸯f 一一溺期秘，瓣 x n 。r t = 矗澍摊畦n ，鼓毋对嚣穰( 1 ，t l 定义7 舅程嚣个瓣黎蠹善薅麓薅，著魏舔魏f 一爨麓熬。 建帮文方便，我秘终定支串窭瓣瀚不等式，游泰捂羁起酶范弱，垮播浚不簿 式最终成立。 3 第二章一阶中立型差分方程正解的分类及存在性 2 1 弓| 言 考虑一阶中立戮差分方程： 6 ( y 。一只y m ) + 瓯x n _ = 0 ( 2 1 1 ) 其中 只 ， q 。 为非负实数列，女，z n ，k o ，1 0 。 i 黩年来，方程( 2 1 1 ) 一直是麓分方程特别怒中立墼差分方程硪究的中。实 舔上，美予方程( 2 ，1 1 ) 静振动经、嚣振动注及渐透往，已经鸯许多绩栗，觅 2 6 - 3 5 】； 并有些专著介绍了这方面的进臌，见 2 2 2 5 1 。在已有文献中，对方程( 2 1 1 ) 的 研究一般是在p 的不同范围并结合条件 q 。= 枷 ( 2 1 2 ) i = n o 分别加以讨论的。从文献中可以鬻出，( 2 1 2 ) 谯讨论( 2 1 1 ) 的振动性中越藩非常 重要购佟震。特舅她， 2 8 3 h 表鼹( 2 1 2 ) 是方程( 2 t 。1 ) 鲍所蠢勰振动的充分条 牛。 蒸露，后来，在条彳警2 。l ，2 ) 不蔹滚是戆情瑟下，庚建设、至悫成等建立了一系列 保证( 2 1 1 ) 的所有解振动的条件，见 3 2 3 4 1 。 众所周知，对( 2 1 1 ) 的无界解的研究是非常困难的，目前还没有系统的结果。 在本寒中我们讨论( 2 1 1 ) 的正解的分类，获每导了( 2 1 。1 ) 的几类凭界解存在嬲一些 宠分崧要条终或充分条箨。 2 2 几个引理 零苓我髑先建交兄令弓l 瑾。 弓l 理2 2 1 强只；1 或只1 且只非减时，存在一非减正实数列 & ，嚣n ( n o p ) ，案g 褥：冀：r n 撵n ( n 。) 吒_ f f n 事实上，按如下的方式构造序列f ) 即可 4 1 n = l n 只+ 1 n 一t 竺阜丛l n 只 七 o 显然，f 在n ( n 。一p ) 上有定义，且满足 只：in n ( n o ) 一 由引理2 2 1 ，我们可将( 2 1 1 ) 化为 r a ( y 。一上y 。一) + q 。石。一f = 0 一t 令吼= q 。r + 工。= 五，则上述方程可以转化为 ( ( x 。一工。一t ) ) 4 - q n x 。- l = 0 以下总假定： n n ( n o ) n n ( n o k ，n o ) n n ( n o p ，n o k ) n n ( n o ) n n ( n o )( 2 2 2 ) ，l e n j i k o ，f 0 ，g 。 0 ，( 0 j e 减，n n ( n o p ) ，且 尺。= ，r 。_ 扣研_ 枷) f _ ，i 引理2 2 2 设( 石。 为下面差分不等式 ( ( x 。一x 。一女) ) + q , l x 。一f 0n n ( n o )( 2 2 4 ) 的最终正解，且设 y 。= ( x 。一x n - )( 2 2 5 ) 则最终有每0 ，y 。 0 。 证明由( 2 2 4 ) 有y 。一吼x 。o 悖o ) ，若y 。 o 不真，则由匈。0 ( 革o ) ， 存在l n ( n o ) ，n 0 ，使得y 。 - - 1 2 ，n en ( n 1 ) ，从而t a x 。一x n - k ) - - c t 即： o x n x 一t 一 对上式从。到n 求和得 从而 ( 靠m + + ) 一( 一女+ + h 1 ) 一盯 i = n 1 工n 一( 工【一l + x n l 1 ) ( 工。一“1 + + x n ) 一( 工l i + + 工l - 1 ) 0 n n ( t p ，丁) 令x 。= w 。z 。，则x 。满足( 2 2 6 ) 1 ；1x 。 o ，l n ( t p ，r ) 。 使得 下证x 。 o ，l n ( t p ) 。显然x 。o ，n ( 丁) 。若不然，则3 t + ( 丁) 由( 2 2 6 ) 得 z 。 0 ，l ( t p , t ) ，工r = 0 0 = r 工r = o z r 、+ q ，z _ f j = r 因此，0 = 0 且q ，x ，_ l = 0 ，j n ( t + ) ，矛盾。 目i 理2 2 4 设v 。o ，n n ( t k ) ；“。o ，n ( r ) ，a u 。s 0 ，贝0 ( 1 ) 若v 。一v “。，n e ( 丁) ，则v 。( “f + 概) ，n en ( t + 2 k ) ； “i = t + 2 k ( 2 ) 若v 。一v “。，l ( r ) ， 肌。丢( 挚+ 蛳n ( r ) 。 这里m = r h i n 0 。：n en ( t ，r + 七) ) ，m = m a ) 【矗。：n n ( t ，r + t ) ) 。 证明 ( 1 ) i - 己n = 旦 ，这里 】为高斯函数，即 z = n ，n z 0 ，卢。有界； b - 型：若x 。可表示为x 。= a r 。+ 6 。，n 0 ，6 。无界， 但惫州n 呻姚 c 一型：若无界，但茸x _ o 仍_ 扣) ； d 一型：若有界 定理2 3 1 差分方程( 2 2 2 ) 的正解必为a 、b 、c 、d 中的一类。 ) r ( 阼 帆一 + = “ 一 m+ 叶眦m 附尸 m 1 一k 一 谣鳃设 互。 为( 2 2 2 ) 静一最终正解；又谈y 。= ( 一x n - k ) 。弼密零| 理 2 2 2 可知存在t 糕n ( n o ) ，使得z 。 0 ，y 。 o ，a y 。兰0 ，n ej v ( 丁) ，从而 t i my 。= l 2 0 ，- v 甏涯臻 m l i i n 量：墨 ”一一r 。 膏 ( 2 3 1 ) 且，箸令口。= x 。一下l r 无界，则6 。最终为正。搴实上，由y 。 o ，匈。o 得 y 。( 撑n ( f ) ) 令m = 蕊n 冬。：n n ( t ，丁+ 妁) ，m = m a x 毒。：t i en ( t ，f + ) 】。 则由引理2 2 4 得 昙e 羹。营+ 撅，或丢嘻詈+ 榭，”n ( t - 2 k ， 嚣 珏m 燮! 兰竺一墨：墨 4 一甓 * “k 且 从而 ( 2 3 。l 获涯。 由( 2 3 1 ) 得 撼詈+ 脚， u m 量。l 一一r ：益：兰 # _ kk 昙c ；熹。学俐一。， 鼠一孥 把 昙e 妻学凇一迅， 从而，蛰以2 矗一五睾无界，则坚娄丝= 。，从藤6 。最终为正。 鬈*-+：=r “ 一。 箸l = o ，则熙乏。o ，因此，此时， 一) 为c - 型或d - 型。 蒋 o ，则。l i x nr x - 1 n = 考，此时h h 蚺p 若或：一拿戈赛，裂 势器，登； 芷 若以：一牟有界，则( ) 为a 型。 茁 壤论2 3 1 对( 2 2 ，2 ) i 弱i e 解( 石。 ，有 熙挚= l - o 且熙y 。= 越 4 一致 一一“ 引理2 3 1 设存在p ，使得 土p , n n ( n o ) 一 若 g m ri 。 裂差分方程 ( 2 3 。2 ) ( 2 3 3 ) a g ( r 。一r 。一) + ( 善。一x n - t t ) + 碍。鼻。一f + g 。r 。一= 0( 2 3 _ 4 ) 有磁解 矗 。 设 诞明因为q f r h _ o i l y 。= y 。_ + 露。，磷a 0 ，从而删。o 。故幽引理2 2 4 樗 y 。日；+ 珥 f = t ：( p + 1 ) ( 恁一r t ) + ( 妒+ 1 ) 生s ( p + 1 ) r 玮( r ) 鑫 设x = f x ：0 工。蔓y 。，t i e ( r ) ) ，在其上定义算子丁： l- ( r 。- 一t 塾铂+ r z _ ；， 甄8 - 1 溉n + y ( 1 - k 击p ， 对囊x ，及n f + 尹) ，瓢惩露。3 。5 ) 纛( 2 3 6 瀑 n n ( t 十妒) n n ( t ，t + p ) 邵掣等+ 等砉q i r , - t - ( p + 1 ) - k p 0 。 对n en ( t ，t 十p ) ，易得0 t x 。sy 。因此t xc x 。 瑷强，定义一个序歹| j j 。j 函如下： 可以诞得 工o 。= y 。，n n ( t ) x h = z 麓- 1 , nn ( r ) ，i = 0 , 1 ，2 y 。= x 0 , 。t 。屯。惫( x 摊n ( t ) l 譬川。一) + + 羔g 。+ ) n n ( t 删 铲1 揣n + y ( 1 - k - - p ) 一n 力 麦( 2 3 。7 ) 荔涯 工。 立业苎二丛 0 ，n 簟( 丁+ p ) 靠；虽然隽( 2 3 ，4 ) 之豢察。 引域2 3 2 设( 2 ，2 2 ) 有一正解f z 。) ，则： ( 1 ) 装魄 为站溅勰，则 羔芝啦o 。 j = jj m i ( 2 ) 若 蠢 灸b 一鍪薅，冤 尊卅r ，= 一且q ，r ，。 o ，声。有 界，从而可选取t 足够大，使得丢皑，n 岜( 五) ，而坚惫= 甜，幽推论 2 3 i 胃得珏my 。= o k ，e h ( 2 。t 1 ) 褥 a y 。= 一q x 。_ ， 霹上式嚣迭获n n n 臻释并令砖+ * 缮 此即 及丽 y 。= 诚+ 2 q f _ i r k + 等窆龟 i = n 摊( 五十i ) 名瓴一。：威+ 詈喜舔r ；。 嚣媛+ f ) 由碍i 理2 2 4 得 啦毛袁+ 臻啦一， c 纠嘲 成+ 吨一t 磊( x 熹n ：暑善卵川 摊川t 。+ + 2 k ) 令n _ 扣，g p 得( 2 3 8 ) 。 ( 2 ) 设( 茗。 秀( 2 2 2 ) 之器一登解，获褥有毒。= o r 。+ 6 。 。l 州i m 6 k o = 。，烈甄l i r a , = m 于是可选取题够大的乏n ( n 。) ，使得峨x ns 2 纸。 从而 y 。= 躐+ 2 q l 粕 c d c + 贬舔撵n ( t 2 ) ；i = n 由此可得 同时 此郎 z q ；墨。 0 ，y 。0 ，幻。茎0 , n 苷n ( n 2 十妒) ( 2 3 1 0 ) 设? i t = m i n x 。：n 岜n ( n 2 ，n 2 + p ) ) 易得蔗。- 2 _ m ，n n ( n 2 ) ，由( 2 2 2 ) 及f m 上所证 楼 y 。m 矾咒n ( n 2 十p ) 一 从向由碍i 理2 2 4 及上式叮得 矗逸亳。詈侧 嘉磊肾， 令阼_ 惭，可褥 蔓劬 - 0 ；褥定义= “ n e n ( n 3 妁 神 显然v 。0 ，且v 。一v 。l = u 。，抖en ( n 3 ) 及瑟 v 。- v n _ k = 铲宝q n n ( n n ( n 3 ) h = “ 2 i 刍劬舴 敖爱霉l 理2 2 ，4 季蕈 皤毯击，詈；虽，吼n e n ( n 3 ) 露粒，考虑到( 2 3 1 2 ) ，可褥 v 。s 1 ，1 1 n ( n 3 ) 从而出( 2 3 1 3 ) ，( 2 3 1 4 ) 可得 毛y 。蠢v 。靠舔，珏n ( n i + 玲 女2 4 ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) f 2 3 t 4 ) 由引理2 2 3 可得棚应的方程( 2 2 6 ) 有一正解( 算。 ，0 戆一个溅正薅。 第三章非线性中立型差分方程的振动性 3 1 引言 考虑非线性中立型差分方程 a ( x 。一矿。g ( x 。 ) ) + 。，0 。- | ) = 0 ，摊n i 3 1 1 其中，( p 。l ，( q 。 为实数序列，f 均为菲负整数，f ，g c ( r ，r ) 且 q 。o ( 拳e ) ，拉n ) ，u f 掰) o ( u 毋0 ) ，蹭糖 0 ( 拉0 ) 。 当f ( u ) = u ，g ( u ) = “时，方程( 3 ，1 1 ) 简化为 矗0 e 。一p 。蔗，) + g 。z 。一o 3 1 + 2 方程 3 1 2 ) 的掇动性已被广滋研究见 2 7 3 5 ) 。对于菲线性的情形，有许 多文献( 见 36 - 3 7 等) 摄采用将其线性化的手段，即通过在线性和非线性之间建 立一种关联，通过线性方程的振动性来判定相应的非线性方稷的振动情况。 当仪肖譬g ) = # 辩，( 3 1 ；l 麓豫隽 a ( x 。一p 。蔗) + q f ( xf ) = 0 3 i 3 ) 关予方程3 1 3 的振动性，仅稳少量的结粜见 3 8 】 。程这一章中我们主要 双f ，g 酌嚣线性及单涌瞧基发去疆究方程 3 1 1 的振动性。阕时，我们还将研究 ( 3 1 1 ) 的正解的存在憔及其性质。 3 2 方程的解戆振动性 在这一节中我们研究方程( 3 1 1 ) 的振动性。以下总假定 f ，g 减 z q 。= 枷 n = 0 定瑰3 2 1 设存谯只 o ，p 2 o ，最艺l ，使得i g ( “) sp d u l ，o p 。- - - p ： 则( 3 1 1 ) 搬动。 3 2 。l 对像意口 。，斋 一一 3 ：z 芷明爱爱涯法。设 茗。；为f 3 1 。1 1 瓣最终委解， ；秀f 3 1 1 ；雏最终受解类 似可证。 受。= x 。一p 。g ( x ，t ) ，d t ( 3 1 1 ) 2 乏u f ( u ) o ，孽。o ( 孝o ) 襻 。- q 。，( j q ) o ( 拳o ) 。 下涯：。o 。若不然，则悫& 。o 悖o ) 知莓在a o 及l ，夔褥z 。一a ( n n ，) ， 而o p 。只，g ( x 。一t ) 墨z 。一t ，舅p 2 i ，从而 z n 蒜矗一p g ( x t ) 以一p 。置聋。 一弓哎 。l 茗。一工苊- 嚣盖。一x n 畸一。( 聪n i ) ，教j 。啦+ 茗。罐。爨瓣工舯嚣一( 歹+ 1 ) 蹬+ 茗。一 令j o o 得x 。斗呻一，这与工。最终为正矛盾。 故，最终有z 。 0 ，同时z 。o ，从而l i mz 存在且0 ，记u m 。：厶 h ” 褥0 。= 矗一以g ( 一女) 矗， 又a z 。织f # 减，量 a z n 十q f ( z n ) s a z n 十g f ( z 。“) 兰z 。+ 鼋。f ( x 。q ) = 0 从而 “一焘 ( 3 2 3 ) 在z o o ) 得 f ( z ) s f ( t ) f ( z 。) 从嚣 j l o 赣o ，q l o , 0 2 0 ，使褥 忍矧蔓k 0 4 魏蚺照s 魏g q 2 , 马g - t 爨辩茌塞兹穗0 。 晓拙，踹 粼f 3 1 ，l ；戆嚣蠢鬃豢饕。 3 。2 4 ) ( 3 2 5 ) 证明用腻证法，不妨谶( 3 i 1 ) 存礴最终正解( 滞。) ，f 矗) 为( 3 。1 1 l 的最终 熊解类似可诚。 设= 蔗。一忽霉缸。，下谨囊骜毒气露。 若不然，凼。= - q 。f ( x ) o 体f ) ) 得z 。 o 融终成立，从丽幽( 3 2 4 ) 及 u g 辑瓣毒妨零 p g ( 矗一 ) 麓b 蜴- f 州 敬爨黟挚o 漱，尊藏翔：嚣密甄暑及趣 毽夔褥 抵。= 一g 。f ( x 。，f ) 一岛霉。，n l 鞴( n 2 辫上式两边幽n ：羽拜一1 求料褥 铲一岛蓑弛 - - z 。- - 五薹舔。 1 4 扎扛2 令拜峙如。势漤艨妥强2 1 攥。哼一嵇叶妇曦与z 。最终势歪矛鬻。麸菱 o 嫩终成立，再幽& 。o 得 规z a 2 岛，南 o 爨f 3 。王瘁 霹褥 一只q 2 一女s 。g ( x 。一t ) 禺。p 。g ( 以，女) mz 。 o 从嚣 姑赢 靠t ，燧鞭蝇) 嚣瑟 从蕊 帔赘q m 洲( n 3 ) ，”2 以 0 掣 z 。f ，n n ( n 4 ) ，n 4 = n 2 一k + z 只q 2 。 。 又，盘，j 减及移国o 褥 o l ，德 0 ，( 靠) ，( 羞) m “) 而f 3 i i l 即为 从而 因而 矗z 。+ 蟊f ( x 。- f ) = 0 瓯岣羞r o 譬。 ，( 力。 因藤 3 2 6 去志2 皓赣艇2 ， 嵋q 2 ，( 羲) 。去，( 箍) 八o 。 利用( 3 2 7 ) 对 3 2 6 ) 两边从：到n 求和得 1 9 静 鹄垤而d t - 只1 2f _ 2 2 jv ， 令n 一十一，势注意戮( 3 2 。5 ；，攥 + o 。丕n 玑 o ，马 o 使得 l g o ) l 砖 ，只p 。墨，s 只l3 2 8 虽对程爨的口 0 ， r d tpd t l 而 o ，x 。_ i o ，l ( n 5 ) 设z 。= 并。一p 。g ( x “) ，下证最终荫z 。 o ，即 z 。= x 。一p 。g ( x “) 0 ，注意到( 3 2 8 ) 可得 z 。 尹。警( 善础) 尹。萎；r 州置于；矗峨石。 从而存在n 6 n 5 及l 4 0 ，使得 l 4 ，r t en ( n 6 ) 从而由，非减及妒( “) o 得 ，( ) ，( l 4 ) o , r t ( n 6 ) 放蔼 z 一2 g f ( x 。- f ) 一q f ( x 。) 一尊。，( 厶。) ，n en ( n 7 ) ，n ，= n 6 + f 对上式嶷甄裂撵一1 求褒缮 2 0 n - in - i z 。一z ，- f ( l 4 ) q 。从而z 。z * - f ( l 4 ) z q 令n _ 佃并注意到( 3 2 1 ) 得z 。一一0 _ + 。o ) ，与z 。 0 矛盾，故最终有 z 。 0 ，即存在n 8 n ，使得z 。 o ，l ( n s ) 。注意到z 0 ，得 z 。一l 5 - - - ) + 一) ，一一l 5 0 又注意到( 3 2 8 ) 可得 从而 一p _ 7 9 ( x 。一t ) 一p 。g ( x ) x 。一p 。g ( x 女) = z 。 0 o 专 g ( k t ) ，n ( n s ) 由g 非减得g 。1 非减，因而 o 占- l ( 专m 一 又，非减，而同时由a z 。0 ，k - i 1 可知z 。z m 。故 。 ( 詹。1 ) ( 等) ( 唐。1 ) ( 皂等) ，( x 。一) ，n ( ，) ，9 = 8 + 注意到( 3 1 1 ) 式，从而 n 圮( ) ( 等) 如。 由此得 吼 一尘l 一 ( 唐。1 ) ( 等) 而z o ，同时对= z 百n f s 当寄，i f g 。非减，得一p p 。 。 从而 。 ，毫( 1 ，：霞_ 霞，( 工 2 j 尹：；： 为m c c u l l o c h p f 船型符号嘲数，参数p o ，d r 。 实舔上，系统( 4 i 。1 ) 霹敬罄终买嚣个捧经元麴人王襻经弱络模黧 ( 4 1 1 ) 秀；= 一j + ，( y o f ”。4 ，2 ， 夏a y = 一y + ，茗 一z ) ) 的离散模拟。对于系统( 4 1 2 ) ，已发现了许多有趣的应用，如 4 5 4 6 】。 对于系缆( 4 1 1 1 ，已有学者研究了最小正周期为2 女及2 女+ l 的尚期解，如 4 7 4 8 ；在这一章中，我们主要考虑最小芷弱期为2 女十2 的周期趣。 系统( 4 。1 1 ) 的解是捂r 2 孛对所有的n n ( - 秘鸯怒义的，虽对所有艇；n 满 飓( 4 1 1 ) 的点序列 ( x 。，y 。) ) ，设x = ( f ；f ：n n ( - k ，- 1 ) jr 2 ，显然对任意 = ，) x ，系统毒骥一戆黎( 善：，y ：) ，潢是裙始条停： 工? = 霞，y 。= 帆，f n ( 一，- 1 ) 记 x ：。= 多x ；= ( 绍蜘，妒袁：，矿霞： x ；= 妒x ；庐= ( 9 ，l f ，) ，妒r ：，y r ； x ：= f 多x ；0 = ( 识矿) 轳焱：，妒醛 x g 一= ( 妒x ；o = ( 妒，v ) ，妒r ；，妒r ； s 其中 r ：= s ：n ( - k ，- 1 ) 。r ，& - 0 o ：i n ( - k ，- 1 ) j 霖：。 s ：n ( - k ，一1 ) _ r ，s 。- - og o ；i en ( - k ，- 1 ) ) 在给出我们的主要结果之前，首先，我们给出如下的简单公式： 设n 。n 慧分方程 并。= 4 x 。1 一p ，h n ( n o ) 懿瀵是褪始条 警氏；= 8 懿煞毙： 铲( 卅南一卫1 - f l i v ( 夔分方程 工。= 肛。一l + p ，h n ( n o ) 的满足初始条梅& 。= a 的勰为： 屯咄一南) 芦n * l - n o + ，n ( 啪 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 4 2 系统的2 k + 2 周期解 在这一节零，我露磷突麓分系凌( 4 1 。1 ) 戆溺麓薅。嚣凳，我靛惫零| 入如下弓l 等l 理4 2 1 设声( o ，剖1 盯l 南，；= ( 州) 芒x u x ；，且卅1 ) 咧_ 1 ) ，系 n ( 4 1 1 ) 的所有解 ( z ：，y ：) 满足矗= y 。，摊笆n ，虽下述命题成立： ( a ) ( 矗) 关于d 盼每一个正半环( 第一个可能除外) ，至少含有女个项，且项数少 蛾；擎-壁-p+o c o ) f 工。) 关予。盼每一个负举环( 第一个可能除外) ，至少含有七个项，且顼数少 蛾；等p c r 霉l 瑗文：。2 设筘g 滞，习1 ，妒= ( 织卵爰芦v x _ ，激9 ( 一圭) = ( 一1 ) ，霜 ( a ) n 0 9 莎i 嚣霪， 关予拶瓣簿个正攀臻( 繁个霹戆除外 埝好食蠢 ( b ) 当一南o 鞋萼， 黾 关予。瓣每一个负拳环8 嚣一个霹麓除多 侩好禽毒 峭i 警南时壤猩渊蟛”删棚州q ，使褥系 l i m ( x ；。) = o 引瑗4 2 1 与弓f 联4 2 2 的证明类似于【4 7 】中的定理1 ，穰托从略。 善l 毽或2 3 1 4 8 设筘，匀，= 静，奶芒x u x ，奄2 蕊妒一1 ) = 挚一矜，弼 驯笔茅南，警x 南1 辩，套在妒o = 。，甄) 髫；”，弼一1 ) = 铲e 一1 ) 靛褥，系统懿泼热势赛魏墓戆 解 ( 工乒，y 争) ) 是以2 七十l 为最小正周期的周期解。且存在整数l gn ( 0 , 2 k ) ，使得 l i m 弘；一善苎。) = o 定理l 2 1 设毫 争，妒= 积毫爱+ u 爱”，露象2 鼠9 ( 一1 ) 。( 一1 ) ，则当 陲降南，等等南1 b , i ，存在瓯= ( 妒。，y 。) gx ；，钒一1 ) = 矿。( 一1 ) 使褥，系统鹣数盎海初始穰鲍 锵( ( x ，y 窘) l 怒以2 k + 2 为最小正周期的周期解，鼠存在整数点n ( 0 , 2 k + 1 ) ， 使褥 l i m ( x 一算& ) = 0 诫明 只证妒= ( 仍e ) ex 的情形，痧= ( 织e ) ex 的情形类似可诞。由( 4 1 1 ) 翳始矗一了。对辑鸯懿嚣n 辩簸鼗。嚣魏，哭