（应用数学专业论文）从同步到斑图——网络动力学涌现现象初步研究.pdf

摘要 本文初步研究了复杂系统各基本单元之间的同步和复杂系统中斑图涌 现的关系从动力系统的观点看，复杂系统的斑图涌现本质上是复杂系统 基本单元之间特定同步关系的表现本文采用格子动力系统为模型，讨论 了时滞同步下复杂系统所涌现的斑图，并用分析和数值两种方法给出了结 果，并尽可能将所得结果推广到最普遍的情形通过对时滞同步和斑图涌 现的研究，初步验证了斑图的同步观点的正确性 我们在本文中，还简略回顾分析了非线性科学和复杂性科学，就其未 来发展，提出了一些初步的设想 关键词： 同步；斑图；涌现；复杂系统 a b s t r a c t t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nl a gs y n c h r o n i z a t i o na n dp a t t e r nf o r m a t i o ni s i n v e s t i g a t e di nt h ep a p e rb yt a k i n gn e t w o r k e dd y n a m i c s 够s p a t i o - t e m p o r a l m o d e l s ，i ne e n c e ，e m e r g e n c ei sad y n a m i cp r o c e s so fp a t t e r nf o r m a t i o n o c c u r r i n go v e rt i m ef r o mt h ep o i n to fd y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dt h em e c h a n i s m w h i c he v o k e sp a t t e r nf o r m a t i o ni sv a r i o u ss y n c h r o n i z e dr e l a t i o nb e t w e e n t h ee l e m e n t so fc o m p l e xs y s t e m s t h i sv i e w p o i n ti sv a l i d a t e db yas p e c i a l k i n do fs y n c h r o n i z a t i o n - l a gs y n c h r o n i z a t i o nw i t ht h ea n a l y t i cm e t h o da n d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n a na dh o cn e t w o r kt o p o l o g y , ”t i e r - n e t w o r k ，i s i n t r o d u c e dt og e n e r a l i z eo r rr e s u l t s 够g e a e r a la sp o s s i b l e t h en o u l i n e a rs c i e n c ea n dt h ec o m p l e x i t ys c i e n c ei sa l s ob r i e f l yd i s - c u s s e d ，a n ds o m ep r i m a r ys u g g e s t i o n so nt h ea d v a n c e si nf u t u r ea l ep r o - p o s e d k e yw o r d s ： s y n c h r o n i z a t i o n ；p a t t e r nf o r m a t i o n ；e m e r g e n c e ；c o m p l e xs y s t e m 原创性声明 本人声明z 所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名t 乜。苦旁日期：俨弩华j 莎 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 潞；专需导师獬牝署晦刎、君 第一章绪论：新世纪的科学革命 1 6 8 6 年4 月2 6 日，艾萨克牛顿( s i r l 8 呲n e w t o n ， 1 6 a 3 - 1 n t ) 1 1 向英国皇家学会提交了自然哲学的数学原 理( p h i l o s o p h i a en a t u r a 始p r i n c i p i am a t h e m a t i c a ) 1 2 l 的 手稿，并于次年出版，这一天可以看成是现代科学的诞生 日此后的3 0 0 多年里，科学的发展不断加速，带动了技术 的进步日新月异，人类社会的面貌也因此发生了根本的变 化我们无论如何评价牛顿的功绩都绝不为过这次以物理 学诞生为标志的科学革命，是人类历史上最为深刻，影响最 为深远的思想革命之一 3 ，4 1 人类历史步入新的千年，一场新的科学革命正在酝酿图1 1 ：艾萨克牛顿 中，它不再仅仅是局部的、渐进的变革，它是另一场真正的爵士( 1 6 4 3 - 1 7 2 7 ) 革命，和牛顿物理学诞生的那次相比，可能有过之而无不 及。我们正站在科学新纪元的门槛上 1 1 “非线性”科学 回顾二十世纪的科学历程，有一种流行的看法认为【5 ，6 】。在刚刚过去的这个 世纪中有三项重大的科学成就将永载史册首先是爱因斯坦的狭义相对论和广义相 对论，然后是量子力学，再次是混沌理论，肇始于1 9 6 1 年气象学家洛伦兹发现。蝴 蝶效应。这些成果不仅本身具有里程碑般的重大意义，同时也对整个科学领域产生 了广泛的影响，引发了深刻的科学变革，都构成了人类科学发展道路上萤要一步 更进步地【5 ，6 ，7 ，8 1 ，虽然前两项意义也极为重大，但是其影响基本上局限于物 理学中，而混沌理论所内涵的思想目前还有待于被进一步深刻理解。可以顶计它的 影响将会更加深刻广泛1 1 这种观点目前确实非常流行，其原始出处应该是自称混沌福音传教士( e v a n g e l i 昌t o f c h ) 的物理学家福符( j o s e p hf o r d ，1 9 2 7 - 1 9 9 5 ) ，他是1 9 7 7 年首届国际混沌会议的两位组织者之一 1 9 8 0 年创立的首个非线性动力学的杂志，p h y s i e ad 盥是他努力鼓吹非线性科学的结果f 9 1 1 2 从同步到斑图一网络动力学涌现现象初步研究 1 1 1 混沌理论( c h a o st h e o r y ) 混沌不论是在汉语中( 指传说中盘古开天辟地之前模糊一团的状态【1 0 】) 还是 在西方语言中( c h a o s 源自古希腊语中的x d 。意为原初的虚无，也是希腊最古老 的神【1 1 ，1 2 】) ，都是个古意盎然的词语。这个方面的考据虽然非常有趣，但对科 学思想的发展来说终究是不足论的一般认为，混沌理论最早可以追溯到十九世纪 末期【1 3 】 1 8 9 8 年，数学家j a c q u e ss a l o m o nh a d a m a r d ( 1 8 6 5 - 1 9 6 3 ) 1 4 发表了关于自由 粒子在具有恒定负曲率，无摩擦曲面上的运行轨道的重要研究，这就是后来称为 h a d a m a r d 弹球( h a d a m a r d sb i l l i a r d s ) 【1 5 】的重要模型在这个模型中，h a d a m a r d 证明了系统具有正的l y a p u n o v 指效，所有的轨道都是不稳定的，并指数式地互相 分离【1 3 ，1 5 】1 9 0 8 年，p i e r r ed u h e m ( 1 8 6 1 1 9 1 6 ) 1 1 6 曾就其可能的般性意义 进行过讨论 无独有偶，著名物理学家麦克斯韦( j a m e sc l e r km a x w e l l ，1 8 3 1 1 8 7 9 ) ( 1 7 也触 及到了这个概念，不过他主要是从哲学思考的角度提出问题他在1 8 7 3 年谈到有这 样个形而上学的教条，即相同的前因总是导致相同的后果，投有人能够反对它， 但问题是，相同的前因从来就没有过实际上在物理学中，我们总是假定接近的前 因得到接近的后果，这就有所不同了虽然确实有这样的稳定现象，但也存在另一 类非常复杂的现象。其中有一些很不稳定的情形，箍着前因变化的加大，所导致的 后果急剧地发生变化【1 8 】这基本称得上是对初值极端敏感的混沌思想的第一次亮 相 大数学家庞加莱( j u l e sh e n r ip o i n c a r 6 ，1 8 m - 1 9 1 2 ) 1 9 在十九世纪末研究太阳 系的稳定性时。首次发现了决定性系统的混沌现象2 起因是这样的。1 8 8 7 年， 在为了庆祝瑞典国王奥斯卡二世( o s c a rl i ) 六十大寿而举办的论文比赛中，他的关 于三体运动的论文赢得了大奖虽然评审主席魏尔斯特拉斯对论文给予了很商的评 价，但编辑却在准备出版的过程中发现了严重的错误庞加莱在深入研究以图补救 的过程中。意外发现了三体运动轨道的极端复杂性，这预示了后来的混沌概念。也 是第一个被清晰揭示的混沌现象( 这个工作的后续发展都是在遍历理论的名目下进 行的) i t 3 ，2 0 1 在1 9 0 8 年出版的t 科学与方法( s c i e n c ee tm g t h o d e ) 2 1 】一书 2 这绝非偶然。实际上。锟沌的很多进展都灏于稳定性方面的研究 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 中，谈到了他对混沌的清晰理解， 。如果我们确切知晓了大自然规律和宇宙的初始状态，我们大约能够确切地 预洲后续状态但既使我们能知晓了大自然规律，我们也只能得到近似的 初话状态如果我们由此能够得到近似的后续状态，我们就会确认其符合 规律，预测成功但未必总是如此。可能初值很小的变化就会导致最后现象 上巨大的差异；前因上小小的误差会导致后果上巨大的差异我们有这种 偶然一见的现象，其中预测变得不可能“ 进入二十世纪后，有关混沌理论的早期进展，也多是讨论非线性微分方程的工 作，包括g d 。b i r k h o f f , a n k o l m o g o r o v ，m l c a r t w r i g h t ，j e l i t t l e w o o d 和 s t e p h e ns m a l e 除了s m a l e 之外，其他几个人的工作都有实际的物理和工程问题 的背景【13 】，特别与2 0 - 3 0 年代快速发展的无线电工程等有密切关系【2 2 1 9 2 7 年 v a nd e rp o l 和v a l ld e rm a r k 在自然( n a t u r e ) 上发表了一篇非常短的文章【2 3 1 ，讨 论松弛振子，文章的重要性在于一它首次揭示了倍周期分岔现象，这通常被视为通 f 句混沌的基本图景，此外也首次揭示了具有分形结构的所谓魔鬼阶梯f 1 8 】 到二十世纪中叶的时候。一些科学家已经意识到当时的线性理论甚至都不能解 释诸如l o g i s t i c 映射这样的动力学行为，更加上计算机的应用( 后来l o r e n z 正是在 作数值计算的时候发现了混沌) ，混沌理论的发展步伐大大加快【1 3 1 二十世纪6 0 年代，s m a l e 在c a r t w r i g h t ，l i t t l e w o o d ，n l e v i n s o n 的工作基础上抽象出s m a l e 马蹄( s m a l e sh o r s e s h o e ) 1 8 ，2 0 ，矧在这些工作的基础上，个新的效学分支一 一动力系统得以成立【2 4 ，25 】混沌理论就要蒂熟瓜落 混沌真正清晰明确的开端必须从美国气象学家洛伦兹谈起1 9 6 0 年类国气象 学家。m i t 教授e d w a r dn l o r e n z ( 1 9 1 7 - ) 2 6 正做着有关天气预报方面的工作， 他得到个高度简化的天气预报模型，有1 2 个方程构成，虽然这个方程井不能预 报真正的天气，但确实能帮助我们从理论上摘清楚天气预报会是怎么回事他手 头有一台r o y a lm c b e el g p - 3 0 0 塑的真空管计算机，速度大约每秒能做一次迭代 3 由作者译自英文版 4 通过数值方法求饵傲分方程来预报天气的想法源自l e w i sf r yr i c h a r d s o n ( 1 8 8 1 1 9 5 3 ) 2 7 1 。 1 9 2 2 年他发表了w 日赫e r 融“6 l n u m e r i c a lp r o e m 8 ，但当时还根本没有快速计算的手 段，他只能渺茫地设想在遥远。的未来这个想法或许会具有可行性他也是湍流研究的首创 者之一r i c h a r d s o 是位伟大的学者，他兴趣独特，有很多原刨工作，在讨论分形的郗分还 会再回到他。这是从其遗稿中发现的关于自然边界线长度的工作 4 从同步到斑图一一网络动力学涌现现象初步研究 图1 2 ：洛伦兹的数值模拟t 初值仅仅相差0 0 0 0 1 7 2 1 9 6 1 年冬的一天，他在计算机匕进行这个模型的数值计算，他忽然想再看一次某个 特定的预澍序列，想看看其长期行为到底如何为了节省时间，他没有从头开始， 面是利用记录下的数据从中问莱处开始一个小时后当他返回时，却发现计算结果 出人意料地逐渐偏离了上次的结果开始他怀疑什么地方出错了。最后，他终于搞 明白了，计算机存储的是6 位小敷，0 ，5 0 6 1 7 2 ，但是输出的时候仅仅显示3 位， 0 5 0 6 。正是这个小小的初值的改变导致了方程动力行为最终难以预料的改变( 参见 图1 2 ) 结合b s a l t z m a n 的工作f 2 s ，洛伦兹随后找到一个更倚单的系统， f 扣川( x - - y ) ， 雷= 7 x 一+ z z ， ( 1 1 1 ) 【j = 一b z + r w ， 这就是后来著名的l o r e n z 系统，它仅仅由三个方程构成5 ，也具有这种对初值的 敏感性 公平地讲，当时也有其他人注意到了混沌现象日本的上田院亮( y o s h i s u k e u e d a ，1 9 3 6 - ) 在研究杜芬方程( d 1 1 伍n ge q u a t i o n ) 时，也独立地发现了混沌现象 他研究这个方程前后达3 0 余年，发现了包括后来以他的名字命名的上田吸引子和 日本吸引子。他的有关论文1 9 9 2 年集绪出版，题为t h er o a d t oc 7 l a o s 2 9 早在 上个世纪6 0 年代初，以林千博( c h i h i r oh a y a s h i ) 为首的日本非线性振动学派巳对 杜芬方程做了深入研究作为大弟子的上田院亮当时还是京都大学三年级的研究 5 这个简化系统刻面的是平面热对流问题，虽然不少人评论里边。承太少。，不过事实上它是 很多物理系统的共同简化模型 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 5 生，正在配合导师做计算工作，保留下来的计算纸记录着1 9 6 1 年1 1 月2 7 日这天， 那天计算机绘出了v a nd 口p o l 方程的混沌相图，。个破碎的蛋但遗憾的是， 林千博终其一生都不相信混沌，所以上田的结果直到1 9 7 0 年才发表和洛伦兹使 用数字计算机不同，上田使用的是模拟计算机，模拟计算机展示的混沌现象是真正 的自然现象【1 3 】这可以说是第次在自然界中观察到混沌现象的实例( 后来发现 了更多的混沌实例。有很多都出自电路系统，如较早得到认可的蔡氏电路( c h u a 8 c i r c u i t ) 3 0 ) 。 1 9 6 3 年洛伦兹发表了他的结果【3 1 】，因为 他是个气象学家，论文只能发在气象学的杂志 上，因此其后多年都不为人知。直到这些结果被 其他人重新发现6 洛伦兹根据他的研究，指 出不可能做出精确的天气预报1 9 7 2 年1 2 月 2 9 日，洛伦兹在华盛顿召开的美国科学发展协 会的第1 3 9 次会议上作关于。致力于全球大气 研究计划。的个专题演讲中提出这样的一个同 题t 。巴西的蝴蝶拍打一下翅膀会引发得克萨斯 州的一场龙卷风吗? 。于是。蝴蝶效应嚣( b u t t e r f l y e f f e c t ) 进入公众视野，很快风靡全球，目前已是 图1 3 ：l o m ”吸弓f 子 国际流行语汇在绘制l o r e n z 系统的相图时，洛伦兹得到了个奇特的蝴蝶翅膀， 这大大出乎人们的意料它既非稳态，也不同于周期行为这就是后来著名的l o r e n z 吸引子，现在几乎已经成为混沌的标志( 参见图1 3 ) 长期以来，l o r e n z 系统一 直被视为混沌存在的“事实。，不过严格的数学工作最近才得以完成曙2 ，3 3 ，叫 1 9 7 1 年，d a v i dr u e l l e ( 1 9 3 5 - ) 3 5 和f l o r i st a k e n s ( 1 9 4 0 - ) 3 6 弓f 入术语奇怪 吸引子( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 以描述混沌系统的奇特相图，并将它和不断分岔所形成 的湍流模式联系起来7 【3 8 1 1 9 7 5 年，李天岩( 1 9 4 5 - ，t i e n - y i e nl i ) 与j a m e sa y o r k e ( 1 9 4 1 - ) 在t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a lm o n t h l y 上发表了轰动整个数学界的 l i - y o r k e 定理【3 9 】，它实际上是对乌克兰数学家a n s a r k o v s k i i 早先个更一般 6 洛伦兹已经发现了混沌，但还需要别人来发现洛伦兹1 0 7 2 年，马里兰大学的a l l e nf e l l e r 发现了他，并把他的4 篇文章介绍给同校的j a ，y o r k e ，混沌才总算得见天日 7 当时将湍流和奇怪吸引子相联系的想法是革命性的。以至无法发表，r u e l l e 后来说他利 用自己的编辑身份才最终发表了它【3 7 】 6 从同步到斑图一一网络动力学涌现现象初步研究 的定理f 4 0 1 的重新发现现在使用的数学意义上的c h a o s ( 混沌) 一词就出自y o r k e 在文中的。杜撰1 9 7 6 年，生物学家8 r o b e r tm c c r e d i em a y ( 1 9 3 6 - ) 4 1 1 在自然上 发表了具有极复杂动力学行为的简单数学模型【4 2 一文，重点讨论了l o g i s t i c 映射这只非线性科学的。麻雀。，麻雀虽小，五照俱全，包涵了丰富的动力学特性， 很多数学家早就对它进行过研究9 m a y 的这篇文章唤起了对基于迭代映射的离 散系统混沌的重视1 9 7 5 年，m i t c h e l lj a yf e i g e n b a u m ( 1 9 4 4 - ) 4 7 发现了倍周期 分叉进入混沌的过程，并在其中发现了f e i g e n b a u m 常数6 = 4 6 6 9 2 ( 和另外一个 标度变换常数o t = 2 5 0 2 9 ) ，令人惊奇的是，这个常数对单峰一维映射具有普适 性，这表明混沌现象具有某种内在的彀性规律，另外，这种普适性服从同一标度 律，也和分形建立了联系这个结果多次被拒，1 9 7 8 年才得以发表【4 8 】这个研 究推动混沌理论向更加深入方向发展 事后检视这场始于= 十世纪7 0 年代的混沌淘金热，从更完整的分析中可以看 到其实有两条线索，分别源自二十世纪6 0 年代的不同工作【4 9 】其一就是以l o r e n z 系统为代表的工作，这是关于耗散系绕的方面。我们上面谈到了这个方面的很多情 况其= 就是以k a m 定理的严格证明为代表的工作，这是关于保守系统的方面 但k a m _ 定理太困难了，既使专业敦学家也难以把握其意义直到1 9 6 9 年，j 印h f o r d 等人才开始用k a m 定理来解释许多计算机模拟结果【5 0 】，在广泛的结果之间 建立了联系，如k a m 定理，p o i n c a r d 回归定理，统计物理基础。简单非线性系统复 杂性的起源，h d n o n - h e i l e s 系统的数值结果，还有和孤子相关的f e r m i - p a s t a - u l a m 现象等【1 8 】这两个方面的工作都从计算机的应用中获得极大的帮助 1 9 7 7 年第一次国际混沌会议( t h ef i r s ti n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo fc l a i c a l a n dq u a n t u mc h a o s ) 在意大利科奠召开。标志着混沌科学的正式诞生从此混沌 8 m a y 之前已是很有前途的物理教授，正在普林斯顿高等研究所工作他癌受到生物研究中 所蕴含的时代讯息，毅然决定转到生物系，并表示愿意从头开始做一个讲师，最终他从对种群 的研究加入到馄沌的热潮中 9 l o g i s t i c 映射可以追溯到m a l t h u s ( 1 7 6 6 - 1 8 3 4 ) 【4 3 】，最早是由p i e r r ef r a n c o i sv e r h u l s t ( 1 8 0 4 - 1 8 4 9 ) 4 4 引入的【4 5 1 ，他是在读了m a l t h t m 的人口原理 ne s s a ym t h ea 籼确血够 脚t 觚渤) 后于1 8 3 8 年发表这个模型的f 4 6 ，l o g i s t i c 词有后勤的含义，正好体现了i d a d t h u s 种群和食物之间的制约关系历史上包括g j t t l 氓v n e t t m e a m ，s m u l n m 在内的许多数学 家先后研究过l o g i s t i c 映射【18 】，正是m a y 的这篇论文使它普及开来 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 7 理论的研究蓬勃开展，混沌理论开始在整个科学领域中产生广泛深刻的影响 混沌的发现不仅确立了一门崭新的学科。而且其影响也遍及科学的各个领域， 随着混沌理论的发展，其影响将更加深入广泛混沌理论揭示了决定性系统的内在 随机性，改变了人们对确定性和随机性的认识 图1 4 ：牛顿本人所藏第一版原理l 从动力系统的角度来看，很多现象本质上都是动力过程在很长段时间( 至少 可以追溯到亚里斯多德) ，我们都认为，稳定的状态除了平衡态，就是周期运动( 或 准周期运动) 。至多再加上周期脉冲，这也非常符合我们的常识1 2 2 1 牛顿虽然没有 明确表态，但原理出版后，整个宇宙都“似乎变成了某种调整好的钟表。1 5 1 】 牛顿的工作客观上鼓励和赞同一种可预测的决定论思想实际上，牛顿本人也正是 从决定论的立场出发去理解和阐述其理论的，阿诺德( v h d i m i ri g o r e v i c ha r n o l d ， 1 9 3 7 - ) 5 2 1 曾经指出，。原理中所包涵的一些最重大的物理学原理4 之一。就是 。决定性原理一一世界上所有粒子的初始位置和速度，决定其未来和过去。【5 1 】 这种决定论思想在拉普拉斯( p i e r r es i m o nd el a p l a c e ，1 7 4 1 8 2 7 ) 5 3 那里达 到了顶点，在其巨著概率的分析理论( t h g o r i ea n a l 缈i q u ed e sp r d b b m f 懒) 的 序言1 0 中写到， ， “我们应该把宇宙的当前状态看成是其先前状态的结果和其后状态的原因 ”1 8 1 2 年初版时没有这个序言，1 8 1 4 年第二版时加入这是一篇长选1 0 0 多页的哲学论文， 题为l 关于概率的哲学讨论( 鼬耐p h i l o s o p h i q u e 。 l e sf r o b a b i t d s ) ，源自1 7 9 5 年在高等师 范学校的讲座。算得上是面向知识分子的通俗著作，拉普拉斯希望籍此引起对概率同题的注意 和思考后来也曾在1 8 1 9 年单独出版过【5 4 】 8 从同步到斑图一一网络动力学涌现现象初步研究 给定某一瞬间，假使有一位无上智者能洞见支配自然界的所有力和组成大 自然的事物的各自位置，假使这一智者有足够的能力可以对这些效据进行 分析，他就能将从宇宙中最大的天体到最小的原子的运动都统统纳入到一 个公式之中；对他来说，没有什么不确定，未来同过去一样都呈现在他的眼 前。n 我们知道，正是这本书确立了概率论的学科地位，在这样的一本讨论概率的书 中大谈决定论，似乎很不切题其实和牛顿的情形相仿，拉酱拉斯的观点比我们断 章取义的理解要更加微妙通过仔细分析上下文可以看到，他的核心思想是反对盲 目的偶然性，当他正面表达他的观点时，他用的是虚拟语气，显然他并不认为其前 提条件能成立，否财就不必讨论概率的方法了他本人似乎认同至少在生活中是有 偶然性的，这种偶然性源自人类能力的局限，是一种外在的随机性1 5 4 】那么这种 随机性从哪里起源呢? 从二十世纪5 0 年代起，美国物理学家福特( j f o r d ) ，曾经从这样的角度进行 过思考- 如果宇宙本质上真地如牛顿所描述的那样。是一个有序的确定性场所，那么 统计行为所要求的那种随机性从哪里来呢7 正是这个思路将他引向了混沌【4 9 正 是混沌提供了随机性的内在起源在决定性系统中发现混沌现象，表明随机性不一 定来自某种认识的不足，随机性是真实的，它可以直接出自完全决定性的系统，我 们对随机性的理解更加深刻，确定性和随机性之问关系变得非常微妙 1 9 8 6 年，英国皇家学会在伦敦召开了一次有影响的关于混沌的国际会议上， 虽然与会者都认为自己明白混沌是什么。这是他们的研究领域，但是几乎没有一个 人愿意提供一个精确的定义对于尚未充分理解的事物，确实很难下定义，在“热 门。研究领域中这是一个普遍现象他们最后给出如下收入词典的定义【5 5 】 ( m a t h ，s t o c h a s t i c 而州d t 可b e h a v i o ro c c “r r 伽g 讯dd e t e r m i n i s t i cs y s t e m 敬学上j 指在决定性系统中出现随机形态 这年恰好也是原理发表3 0 0 周年，在同样由皇家学会组织的具有历史 意义的纪念大会上。著名的流体力学权威，詹姆士莱特希尔爵士1 2 ( s i rj a m e s l i g h t h i l l ，1 9 2 4 - 1 9 9 8 ) 5 6 发表了轰动一时的道歉，郑重地宣布了决定论观念的终结 “作者译自英文版，译文参考了1 5 5 】 “他于1 9 6 9 年从狄拉克手里接过剑桥卢卡逊教授席位( l u c a s i s np r o f e s s o ro f m b t 】m t 蛔) ， 也就是牛顿曾担任过的那个教席 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 【57 】 。今天我们大家都深深地意识到，前辈们对牛顿力学所取得的惊人成就如此 热忱，使得他们昔其中的可预测性普遍化了在1 9 6 0 年之前。我们实际上 等遍对此深信不疑，但是现在我们认识到这是错误的我们以前误导了公 众。向他们传播服从牛顿运动定律系统的次定论观念，这在1 9 6 0 年后被证 明是错误的，我们愿意就此集体向公众道歉1 3 旧的终结，新的开始混沌终结了旧的观念。但它能开启新的观念吗? 福特对 此早有预言混沌，开创新科学【5 8 】是混沌理论最著名的通俗著作之一，作者 格雷克( j a m e sg l d c k ) 把副标题定为。开创新科学“( u a k m gan e ws c i e n c e ) 。 不是新物理是新科学，这清楚地表明了他对混沌的评价和期望我们认同这样的看 法，并且还想指出，混沌理论其实仅仅是复杂性科学巨大帷幕首先揭开的一角，极 为广阔的科学天地还等待着人们去探索 i i 2 非线性科学( n o n l i n e a rs c i e n c e ) 混沌发现以来，就不断在强化个认识，我们生活在个非线性的世界中混 沌引发的热潮活化了整个科学领域。各种各样的非线性现象好像第一次见到一样从 各个学科中涌现出来般认为目前所揭示出的非线性现象大致可以分成三大类t 混沌、孤子( s o , t o n ) 及分形( 丘a c t a l ) 1 9 3 8 年8 月的一天，苏格兰造船工程师罗素( j o h ns c o t tr u s s e l l ，1 8 0 8 - 1 8 8 2 ) 正骑马行走在河岸上“，敏锐地发现一种奇特的水波现象一当小船突然停止时，激 起个很大的水波。那是一个和周围界限分明的孤立水堆，它保持原先的形状与速 度沿着运河继续前进罗素报告说他骑马追赶了一两英里后。这个水波高度慢慢下 降，渐渐在河道弯嗌处消失了【5 9 ，6 0 】罗索认识到这是一种未知的新现象【6 1 】， 对其进行了很多实验研究，他已经观察到两个孤波碰撞时互相穿透、没有变化的现 象f 6 2 】瑞利男爵( l o r dr a y l d g h ，j o h nw j n i a ms t r u t t ，1 8 4 2 - 1 9 1 9 ) f 6 3 】在1 8 7 6 ”作者译自英文 “据说就是流经h e f i o o w a t t 大学( 在苏格兰的i t s ) 校园附近的u m o nc a n a l ，连接爱丁 堡和格拉斯哥( g l a s g o w ) 1 0 从同步到斑图一一网络动力学涌现现象初步研究 年发表的著作中使用了。孤波”( s o l i t a r yw a v e ) 这一术语1 8 9 4 年1 2 月g u s t a v d ev r i e s ( 1 8 6 6 - 1 9 3 4 ) 向阿姆斯特丹大学提交了博士论文，这篇论文是在荷兰著名数 学家，阿姆斯特丹大学的d i e d e r i kj o h a n n e sk o r t e w e g ( 1 8 4 8 - 1 9 4 1 ) 教授指导下完成 的，并于次年6 月发表了其中的主要内容【6 4 】文中导出了后来所谓的k d v 方程， 并给出了孤波解，第一次满意地解释了罗素所观察到的现象这工作也同时解决了 之前关于孤波的许多争论”此后孤渡的研究经历了长时间的沉寂，直到二十世 纪中叶” 首先是在计算机数值模拟中发现了f e r m i - p a s t a u l a m 现象 6 6 j 。弓i 起了人们对非线性问题 的注意1 9 6 5 年普林斯顿大学的数学家m a r t i n d a v i dk n 埔k a l ( 1 9 2 5 - 2 0 0 6 ) 6 7 和b e l l 实验室的 n o r m a nj z a b u s k y 发现可以用k d v 方程来近 似f p u 现象中的谐振子系统，他们用计算机数 值方法研究等离子体中孤渡的碰撞，发现碰撞中 两波非线性叠加。碰撞后分离，虽有一定相移， 但保持原有速度和形状( 参见图1 5 ) 这充分表 明孤波是稳定的，为了描述这种具有粒子性质的 孤渡，两人首次引入了。孤, - t - ( s o l i t 。n ) 这术 圜1 ，5 ：孤子的碰撞 语f 6 8 】不过和混沌一样，目前孤子和孤波也都还没有严格的、公认的界定实际上 早在1 0 年前，s e e g e r 和他的同事于1 9 5 3 年就得到了表示孤波碰撞的解析式”， 他们注意到了十九世纪末几何中的b i d k l t m d 变换和孤波解之间的联系【7 0 l ，1 9 6 7 年，藉由对孤波和f p u 现象之间联系的洞察，c s g a r d n e f ，j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m m i u r a 构造了一种非线性版本的f o u r i e r 变换用以求解孤子方程， 后来称为逆散射( i n v e r s es c a t t e r i n g ) 方法【7 1 】1 9 6 8 年，p d l a x 引入l a x 对， 1 5 一般都假设k o r t e w e g 和d ev r i e s 并不了解之前如b i n q 的工作，但新的研究表明他们 是知道的f 6 5 1 1 8 这个现象可以从历史背景中找到答案，之所以十九世纪有那么多大家投身流体力学的研究， 就在于水波研究在当时具有极为重大的瘦用意义。如海军建筑，防范洪水和潮汐等在另外一 个方面上。这也是进入二十世纪后相关研究沉寂下来的根本原因【6 5 】 ”他们研究的是s i n e - g o r d o n 方程，其后在1 9 6 2 年，j k p e r r i a g 和t h s k y r m e 也曾研究 过该方程并甩数值方法得到孤坡的碰撞 6 9 1 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 将孤子方程求解和求l a x 对联系起来，使得逆散射方法的数学表达更加简洁【7 2 1 另外一个进展是t o d 8 给出个不同于f p u 的谐振子系统的双孤子碰撞的精确解 【7 3 ，7 4 】，这个工作表明孤子解并非局限于p d e 方程( 如k d v 和s i n e - g o r d o n 方 程) 中 。 在此期间，其他学科也相继发现孤子，这也促进了这些学科之间的交流1 9 7 2 年夏天a c n e w e l l 和他的同事组织了第个孤子的研讨会，这次研讨会的一个重 大成果是苏联数学家v e z a k h a r o v 和a b s h a b a t 找到了非线性薛定谔方程的 l a x 对，首次给出该方程的孤子解【7 5 】逆散射方法的提出和推广，解决了一批重 要的孤子方程的求解问题，极大推动了孤子理论的研究1 9 7 3 年，a c s c o t t ，f y f c h u 和d w m a l a u g h l i n 发表了首篇评述文章1 7 6 1 通常人们总有一个印象，非线性p d e 是无法求解的但对孤子方程，比如k d v 方程，具有无穷多守恒量，是完全可积性的h a m i l t o n 系统，这意味着可以给出方 程的精确解近年的研究表明，逆散射变换完全可积性和无穷多个守恒量之问存 在某种内在联系精确给出的孤子解为人们打开一扇巨大的窗口，让人们有机会真 切地去看看非线性到底是怎么回事由于孤子出现在从量子物理到代数几何的如此 广泛学科中。这一点就尤其有意义同时这也使得孤子能够在许多学科之间建立了 新的联系，最令人惊奇的是，它在微分方程和代数几何之间建立了联系这让两个 学科都获益非浅” 日本数学家佐藤斡失( m i k i os a t o ，1 9 2 8 - ) 7 7 ，7 s 的原创工作使人们对具有孤 子解的非线性系统的丰富数学结构有了深刻的理解【7 9 1 x 寸i - t - 线性方程，好像波的 线性叠加一样，人们可以通过对已知解进行线性变换得到新解，进步地可以用一 组已知解通过线性组合来构造个线性空间 对于非线性方程。在某种意义上可以 把个双孤子解看成是两个单孤子解的非线性组合，是弧波的非线性叠加，佐藤的 工作指出k p 族方程解的。非线性叠加。可以构成个无限维g r a s s m a n n i a n 流形 代数上的d a r b o u x - b i i c k l u n d 变换，几何上的g r a a s m a n n i a n 流形结构就是目前给 1 8 比如，我们现在所知的许多孤子解都是由代效几何的经典结果给出的，特别地，许多解都 可以写成复射影代数曲线中的t h e t a 函数；另个方面，对确定某个给定的阿贝尔型簇是否是 一十雅可比垄簇( 这在代数几何中称为s c h o t t k y 问题) ，目前已知的惟种方法是由k p 族 孤子方程给出的 1 2 从同步到斑图一一网络动力学涌现现象初步研究 出的对这种非线性叠加原则的理解代数簇之于孤子，似乎就好像是向量空间之于 线性方程，这确实是非常深刻的数学结果陈省身先生在私下谈话中曾指出，要解 决非线性问题必然要用l i e 群佐藤本人的工作可以算是对陈省身先生这个说法的 具体说明，正所谓英雄所见略同佐藤的1 9 6 0 年演讲阐述了一条非常有希望的通 向一般非线性方程的理论途径【8 0 】，非常值得理论界的重视 孤子的粒子特性特别显得意味深长通过孤子有可能帮助人们更好地理解通常 所谓的粒子现在已有关于核子的孤子模型，也可以使用一种称为玻色化的技术将 诸如电子和正电子的粒子看成某种孤子这种全新观念已在高能物理和凝聚态物理 之间建立了深刻联系，可能甚至正在引发物理学的某种新的重大突破【8 1 】当然， 这种粒子特性的意义并不仅局限于理论方面，实际上。主要正是孤子的粒子特性引 发了孤子的大量应用，特别如高速通信等 更般地，孤子是一种特殊的相干结构( c o h e r e n ts t r u c t u r e s ) ，这种结构和孤 子一样也具有空间上的局壤性，时间上的规整性，但在运动形态上可良变化不定， 也可能在碰撞后消亡相干结构存在于具有无穷多自由度的复杂连续介质系统中 相干结构的稳定性与非线性系统具有无穷多守恒律密切相关，但通常相干结构并不 具有完全可积性对相干结构的研究也是当前非线性科学研究的前沿，a c s c o t t 的新著【8 2 j 对这个领域提供了极佳的导读 英国数学家心理学家k 讹f r yr i c h a r d s o n ( 1 8 8 1 1 9 5 3 ) 2 7 ，8 3 1 在研究两个国 家为什么会战争的时候，曾想搐清楚，两个国家爆发战争的几率和这两个国家共同 边界的长度是否有什么关系在收集相关数据的时候，他注意到国界线的长度数据 有很明显的出入进一步的研究表明，测量结果和测量单位有关系。他根据统计分 析给出了如下经验公式， l ( g ) = m g l - 。( 1 1 2 ) 其中l 是测量长度，g 是测量的单位从这个公式可以看到，如果测量的尺子越 来越小，那么测量所得结果就会越来越大，并会趋向于无穷大，这个现象现在称为 r i c h a r d 8 0 i le f f e c t 1 9 6 7 年，曼德博坤( b e n o i tb m a n d e l b r o t ，1 9 2 4 - ) 8 4 在s c i e n c e 上发表了一 1 9 这个译名取自其个人主页。耻印：( m a t h y a e 幽i 向谢幽w m a n d e l b r o t 的读法参 见。 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 3 篇论文【8 5 1 ，题为英国的海岸线究竟有多长? 在文章的第一部分中。曼德博 对r i c h a r d s o n 的经验公式给出了解释- 海岸线这样的自然边界线具有一种统计上 的自相似性，指数中的d 正是边界的h a u s d o r f f 维数，是介于两个整数间的某个常 数在文章的第二部分中。他继续研究了具有严格自相似性的k o c h 曲线等，并指 出如何计算他们的h n u s d o r f f 维效这篇文章反映了曼德博对分形的早期思考，文 中讨论的自相似曲线，正是后来所谓分形的类实倒i s 6 ) 1 9 7 3 年，曼德博在法兰西学院 讲课时。首次提出了分维和分形几何 的设想1 9 7 5 年，曼德博创造了分 形( n a c t r a ) 一词，并以法文出版 l e so 玢咖2 r a c t a l s ，d r m e , h a s a r r le t d i m e n s i o n 一书，系统阐述其关于分 形的思想，1 9 7 7 年英文版丹口c 缸b ； f o r m , c h a n c ea n dd i m e n s i o n 8 7 出 版，在此基础上，经过扩充修订。1 9 8 2 年，他出版了t h ef r a e t a lg e o m e t r y o ，t 腓【8 8 1 ，分形由此奠定了其学 图1 - 6 ：曼德博集的边界 科地位，融入到数学的主流，并弓l 发大量的应用性结果 到底什么是分形呢? 曼德博本人提出的定义很简洁t 。af r a e t a l 妇ds h a p em d d eo f p a r t ss i m i l a rt ot h ew h o l e 讥s o l t l ew a y ， 如果一个图形其部分以某种方式与整体相似，抗称为分形【8 9 1 分形的最大特点就是自相似性和极度复杂的不规则性，这也就是分形的基本定义 虽然是曼德博首次凝练出分形的概念，但分形却实在不是新鲜的东西云彩，山脉， 树叶乃至大干世