（应用数学专业论文）半导体多维非等熵流体动力学模型的扩散松弛极限.pdf

摘要 摘要 半导体材料科学中的相关问题已成为目前的热点问题，本文就是与此相关 的，研究的是多维非等熵流体动力学模型的短的动量松弛时间的极限问题 通过对非等熵流体动力学模型中的动量方程使用m a x w e l l 迭代，得到了非 等熵流体动力学模型对应的极限问题，也就是能量运输模型接下来，将非等 熵流体动力学模型转化为对称双曲系统同时回忆收敛稳定性引理，这时使用已 有的结论将我们要解决的问题化简在m a ) 【w e n 迭代的启发下，我们构造非等 熵流体动力学模型的近似解，并将近似解满足的系统写成对称双曲系统由非 等熵流体动力学模型的对称双曲系统和近似解满足的系统对应的对称双曲系 统，得到误差方程最后，对误差方程进行能量估计 通过使用重要的觚1 1 w a l l 不等式，证明了当松弛时间趋于零的时候，在非 等熵流体动力学模型所对应的极限问题有光滑解的时间区间里，非等熵流体动 力学模型的周期初值问题存在唯一的光滑解，并且证明了这个解收敛到极限问 题的解 。 本文解决了非等熵流体动力学模型的解的存在性、唯一性、稳定性，有了 这一结果，对现实生活中的许多问题有着重要的指导作用因此，本文的研究 有着重要的理论意义和较强的应用背景，有助于进一步理解和认识自然界中的 非线性现象 关键词：非等熵流体动力学模型；松弛极限；m a x w e l l 迭代；日解；能量估 计 a b s t r a c t a tp r e s e n tm ep r o b l e i l l sa b o u ts e l i l i c o n d u c t o r si s v e 巧p o p u l 鸥t h i sp a p e ri sa b o u t s e m l c o n d u c t o r s ，w es t u d y 1 er n u l t i d i r l l e n s i o n a ln o l l i s e l l 臼o p i ch y i 怕d y n 锄i cm o d e l s w i t l ls h 矾m o m e n t u mr e l a x a t i o nt i i l l e w i 廿lm eh e l po f 1 em a ) 【w e l l i t e r a t i o no n 廿1 em o m e l l t u m e q u a t i o no fm e n o m s e l l n o p i ch y d r o d y n 锄i cm o d e l s ，w eo b t a i o nt 1 1 el i m i tp r o b l e mo fm en o m s e l l t r 0 d i c h y d r o d y l l 删cm o d e l s n l a ti sm ee 1 1 吣yt r a l l s p o r tm o d e l s f 0 1 1 0 w i i l w em a k em e n o m s e l l 仃o p i ch y d r o d ) ，1 1 砌cm o d e l si n t 0s y n l i l l e 眈a b l eh y p 砷o l i cs y s t e n l sa n dr 嘶e w 也e c o n v e r g 锄c e 。s t a b i l i 够1e l i = 曲aa t 出es 锄et 洳e t h e nw e c o n v e t t 吐l ec o l p l e x p r o b l e i l l si n t os i n l p l eo n e sw 曲t 1 1 ek i l o 、c o n c l u s i o l l s h 1 s p i r e db ym em a x w e l l i t e r a t i o n ， w e p r o p o s eac o n s 仇】c t l o no ft l l ea p p r o x i i i l a t i o ns o l u t i o nf o rn o i l i s e n 缸o p i ch y d r o d m l a n = l i c m o d e i s ，a n d 删t em ea p p r o x i 工1 1 a t i o ns 0 1 州o ns y s t 锄si n t 0 毫”m 喇z a b l eh y p 砒0 1 i c s y s t e m s n l e l lw eo b t 豳锄re q u a 石o n s b yn o m s e r i 仃d p i ch y d r o d y n a 觚cm o d e l s s y i t l i i l 耐z a b l eh ) ，p e r b 0 1 i cs y s t e m sa i l da p p r o x i l l l a t i o ns o l u t i o ns y h l i n e t r i z a b l eh y p e r b 0 1 i c s y s t e m s a tl a s t ，w ed oe i l 鸭ye s t i m a t et ot h ee 玎0 re q u a t i o n s w i 廿1t l l ei i n p o r c a n tg r o n w a l l i n e q u a l i t y ，w ep r o v e t h a t ，嬲1 er e l a x a t i o nt i m et e n d s t 0z e r 0 ，p 谢o d i ci 血t i a l 。v a l u ep r o b l e m so fac e r c a i ns c a l e dn o l l i s 咖i ch y d r o d y n 锄i c a l m o d e lh a s 砌q u es m o o ls 0 1 u t i o n se x i s t i n gi nt h et i m e i 1 1 t e a lw h e r en l ee 1 1 e r g y 仃锄s p o r tm o d e lh a ss m o o 也s 0 1 们o n s m e a 肿订m e ，w ej u s t i 矽af o m a ld 甜v a t i o no ft l l e 1 a t t e r 鱼) mt 1 1 ef b 肋既 h 咖s p a p e rw eh o w m ee x i s t e n c e ，u i l i q u e l l e s s ，s t a b i l i z a t i o no ft l l es 0 1 u t i o nf o rt h e n o 血s e l l 仃o p i ch y d r o d y l l 锄i cm o d e l s n er e s u l t sa r em o s tl l s e 缸1f o r 仃u e - 1 i 佗n l e r e f o r e t 1 1 es 砌yi si i l l p o 衄1 ta 工l d h e l p 缸f o ru st ou n d e r s t a l l dm en o n 1 i i l ep h e n o m e n o n k e y w o r d s ：n 0 1 1 i s e n 昀p i ch y d r o d y l l a n l i c 日5 - s 0 1 m i o n s ；e n q 科e s t i m a t e s m o d e l s ；r e l a x “o nl i m i t ；m a ) 【w e i li t e r a t i o n ： i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意 躲鞋眺一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：主平盘曩导师签名：二二毛 ；垃二 日期：趁亟一吐! 墨! 第1 章绪论 第1 章绪论 本章对所要研究的模型做了介绍，在此基础上给出了如何用m a x w e l l 迭代对 非等熵流体动力学模型作变换得到其对应的极限问题同时介绍了国内外的研究 现状以及本文用到的相关定义及不等式 1 1 引言 漂流扩散模型是使用最早、最广泛的，但后来人们要求更加准确地描述电 荷载体，便出现了能量输运模型、流体动力学模型量子力学模型中的分布函 数是一个7 维空间中的函数，流体动力学模型中的分布函数是一个4 维空间中 的函数，所以量子力学模型虽然能更加准确地描述物理现象，但它在设备模拟 中受到一些限制因为它的数值模拟是相当昂贵的 根据描述物理现象的角度不同可以将半导体设备模型分为两类，动力模型 和宏观模型动力模型主要是使用相应空间中的分布函数，宏观模型描述电子 密度、电流密度、电压和温度等像气体动力学一样，在某些假设下，可以从 动力模型获得宏观模型 下面我们介绍宏观模型的层级为了更准确我们将研究不同模型之间的关 系有些关系文献【2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 】中已有，典型的就是通过对较复杂的模型中某一尺 度参数取极限可以得到层级中较简单的模型流体动力学模型中，当松弛时间 趋于零时的极限，也就是所谓的松弛极限，就是一个例子当时间尺度不同时， 上述松弛极限可以得到能量运输模型或漂流扩散模型另外一个例子就是小尺 度d e b v e 长度极限，在双极漂流扩散模型中给出一个扩散类型的方程在决定 用哪个模型能恰当、准确的描述或模拟某些现象时，上述模型之间的关系就显 得非常重要 我们的目的是从数学的观点来研究这些关系，由于所研究方程具有高度非 线性结构，上面所提到的极限过程在数学上是非常复杂的然而，通过使用现 代偏微分方程的技巧，我们可以粗略的使用一些有意思的极限，如完全流体动 力学模型中的松弛极限和漂流扩散模型中的拟中性极限【2 5 舶，3 3 ，3 4 ，3 6 3 9 1 我们注意 到在做数学分析时，熵不仅仅对于双曲类型的模型是一个重要的工具，对于我 们将要研究的上面所有极限，熵都是一个关键的工具 我们先对半导体材料和设备做一个简单的解释我们可以设想一个由周期 格所构成的半导体材料，如硅、锗每个原子有一定数量的电子，有些电子负 责原子之间的结合，另外一些电子有足够的能量离开原子到格结构周围运动， 北京t 业大学理学硕士学位论文 这些电子处于传导带称为传导电子一个失去传导电子而带正电的原子称为 洞材料中电子的行为主要依赖于传导电子及洞的数量，通过对材料添加不同 的原子可以很大程度地改变电子的行为，因为这样可以很大程度地增加传导带 中电子的数量或洞的数量这个加入不同原子的过程叫做添加杂质传导电子 或洞的数量增加了的半导体材料分别叫做n d o p e d 或p d o p e d 接下来，我们看半导体材料模型之间的关系 1 兰兰竺呈! ! 竺竺兰垄堡i i 兰三呈! ! 竺竺垄堡l 一呈至一 互匠= 二二臣亟亘 亘困匣臣堕垂丑 亘日匣臣亟困 j 三 怛 亘垂 上图给出了模型大概框架从上到下，从右到左模型变得较简单从动力 模型到宏观模型的标准方法是动量方法；从流体动力学模型到能量运输模型或 漂流扩散模型是松弛极限的方法；从漂流扩散模型到扩散方程是拟中性极限的 方法；当p 1 a 1 1 c k 常数趋于零时，从量子模型可以得到古典模型，这种方法称为 古典极限法 1 2 模型介绍 本文要研究的半导体或等离子体的非等熵流体动力学模型【1 1 如下： c f ，z d z w2 u ， ! a ，一王威v ( 型) 一即( 咒，丁) + 咒v y ：一， 如 阼 ， ( 1 2 1 ) a ，( ，z p ) 一圳， + 丁) 】+ 月矿一柳( ，z 刃d = 一万 一要) ， 一y = 万f z l 一，l ， 第1 童绪论 辄= 警+ 扣一帅谢 这里挖( 工，f ) ，“( x ，f ) ，r ( x ，f ) ，y ( x ，f ) 是未知函数，且万( 工，f ) 0 ，丁( x ，f ) o ， “r d ， ，f ) 尺d o ，+ ) ，d 1 ，分别表示电子密度，电子速度，温度，静电位 势p ( 咒，丁) 表示压力，f o ，f 。表示能量松弛时间，= d ( 1 ) ，d 是常数，万( x ) 。w 是背景密度，d f v ，v ，和q 分别表示x 的散度算子，梯度算子，拉普拉斯算子和 两个向量的张量积 本文只研究不带扩散项的情形，取= o ，同时记= s 2 ，所以有 o o a ，玎+ 咖( 咒“) = o ， 占2 a f ( ，l “) + s 2 西v ( 咒“ “) + v p ( 刀，d 一，z v 矿= 一，z “， 张纠+ 帅心们m 椰：础一务 0 2 2 w 厶 一y = 石( x ) 一咒， 其中2 譬+ 争 为了研究方便我们做尺度变换“= 兰，变换后用扰代替v 得到： 即+ 三圳咒“) = o 姒训+ 州玎“。卅 跏( 玎，乃= 丢刀v 矿一吉姒( 1 2 3 ) 张嘲七圳似甜) 扣y 一m 一争 一y = 万( x ) 一，z ， 其帖譬+ 争 从参考文献 8 ，9 】中我们知礴沉体动力学模型描述了一些漂流扩散模型不能 描述的物理现象然而，根据前人研究的结果【1 0 1 1 1 2 1 ，我们期望当s 很小的时候， 两个模型能给出类似的结论 对( 1 2 3 ) 中的动量方程使用m a x w e l l 迭代得到 北京1 二业大学理学硕士学位论文 甩“= 一v ( 玎，r ) + 铆v y 日办v ( n “0 “) 一占2 a ，( ，z “) = 一跏( ，z ，丁) + 翻v y + d ( 占2 ) ， 将截断函数刀“= 一一卿( ，l ，丁) + 翻v y 代入到( 1 2 1 ) 中的质量方程得到 a ，万+ 三西v 一功( ，z ，丁) + 翻v 矿 ：o ， 即 a ，咒= p ( 咒，丁) 一d f v ( ，z v 矿) ， 当占一。时，有“寸o ，a ，( ，l e ) 一要a ，( 行d ， 三疥，z “o + 乃】一导西v ( 一哆( ，z ，乃+ 翻v 矿) o + 乃 ：出v ( 一跏( 咒，d + 拧v 矿) ( 要丁+ 丁) ， 占占2 三挖“v 矿一! ( 一即( 刀，丁) + 翻v 矿) v 矿：( 一跏( 刀，d + 挖v y ) v y ， 一一扣一”c 争争 此时( 1 2 3 ) 中能量方程变为 兰张刀d + 击v ( 一即( 胛，d + 甩v 乃半刀= 。v y 一即( 咒) v 矿一芒玎吾仃一1 j ia ，咒= p ( n ，丁) 一d f v ( ，z v 矿) ， 协( 忉恻( 吲妒m v 瞅知删咱v 矿一黔功v 矿一薏( _ 叫( 地4 ) 【y = 万一筇( 工) 这是一个抛物椭圆系统，因为p ( ，z ，丁) 关于挖，r 严格单调 注：关于( 1 2 4 ) 解的存在性有下面的例子 若石( x ) = 常数，则玎= 常数，矿= 常数，z = 1 ，是( 1 2 4 ) 的一个特 解，这也显示了( 1 2 4 ) 的解的存在性依赖于万( 工) 的性质 这篇文章主要是证明多维空间中非等熵流体动力学模型的周期初值问题的 解收敛到能量输运模型的解参考文献 3 研究了单极等熵流体动力学模型的松 弛极限参考文献 1 3 研究了双极等熵流体动力学模型的松弛极限非等熵流 体动力学模型的光滑解的研究还是较少的 第1 章绪论 我们假设能量输运模型( 1 2 2 ) 有光滑解( ，z ，丁，矿) ，其初值为 ，2 ( 石，0 ) = ，2 0 ( x ) ，? ( 工，o ) = 兀( z ) 在m a x w e u 迭代的启发下，我们构造( 1 2 1 ) 的满足初始条件 挖( x ，o ) = 万o ( z ) ，“( z ，0 ) = 占9 矿( 工，0 ) 一- 三，- v p ( ，l o ，瓦) ， r ( 工，o ) = 瓦( 功， ( 1 2 5 ) l r l 0 的解0 8 ，“8 ，r ，矿5 ) 的近似解 ，2 。= 刀，刀。“暑= 翩v y 唧( 7 z ，丁) ，疋= z ，以= 以( 1 2 6 ) 然后，我们用能量方法证明q 5 ，“8 ，r 5 ，y 5 ) 在m ，丁有定义的有限时间区间里 j 存在，在日5 ( 于d ) 中，j 等+ 1 ，且可表示为 z 5 ，“5 ，r 5 ，矿8 ) = ( n 。，“占，圪) + d 2 ) ，( 1 2 - 7 ) 更进一步，我们的结论暗含着：如果咒，r 有正的下界，能量输运模型有全局 光滑解，那么对于v z o ，j 占o o ，使得当占 占。时，非等熵流体动力学模型在 0 ，丁7 】内有唯一的光滑解 注：对更加一般的周期初值问题，通过使用相应的延拓方法而不是m a x w e n 迭代，不难得到( 1 2 7 ) 的结果对非周期初值问题或初边值问题( 1 2 7 ) 的 结果则不易得到事实上，当初值不是周期的，关于v 的泊松方程需要区别对 待当考虑初边值问题时，需要引入新的思想来处理非等熵流体动力学模型 ( 1 2 3 ) 的剩余部分 流体动力学模型的极限问题还有拟中性极限问题 2 2 5 2 6 】：以及时间趋于无穷 大时解的性质【1 4 ，1 5 4 3 1 u i 表示向量或矩阵的某一范数，口= ( 于) 表示d 维空间中单位环域 q = ( o ，1 4 上的平方可积函数j 是一个非负整数，5 = 日。( 于) 表示s 阶索伯列 夫空间，j iu 忆表示v 的疗5 范数，i lui l = l i 【厂当a 是变量x ，f 的函数时，把 t 看成参数，i i4 ( ，f ) 儿表示a 关于x 的日5 范数另外，我们用c ( o ，r ，x ) 表 示定义在 o ，r 7 取值于巴纳赫空间x 上的连续函数 北京t 业大学理学硕士学位论文 1 3 国内外研究现状 1 9 9 6 年，r n 触队l i n i 研究了半导体材料科学中的双极流体动力学模型和 漂流扩散方程他证明了半导体材料的双极流体动力学模型熵解的存在性，同 时也证明了：当松弛时间趋于零时，熵解的某些序列的极限是古典漂流扩散方 程的解 1 9 9 9 年，a 几肘g e l y j p e n g 研究了由电子和洞组成的等离子体流体动 力学模型的零电子质量极限问题在合理的假设下，证明了当电子质量趋于零 时，洞的变化由伴随非线性泊松方程的欧拉方程所控制 2 0 0 4 年，w e n a n y o n g 研究了半导体材料科学中的多维等熵流体动力学 模型，证明了在古典漂流扩散模型存在光滑解的时间区间里，当松弛时间趋于 零时，给定尺度的流体动力学模型的周期初值问题也存在唯一的光滑解，同时 也得到了从流体动力学模型到经典漂流扩散模型的收敛性 2 0 0 7 年，y e p 地l i 研究了半导体材料科学中的双极流体动力学模型的扩散 松弛极限证明了在双极古典漂流扩散模型存在光滑解的时间区间里，当松弛时 间趋于零时，给定尺度的双极流体动力学模型的周期初值问题也存在唯一的光滑 解，同时也得到了从双极流体动力学模型到双极古典漂流扩散模型的收敛性 1 4 相关的定义及不等式 1 4 1 先引进若干通用的记号 ( 1 )r “表示实行维e u c l i d 空间，工= ( 西，吃，吒) 表示r “中的 点，口= ( q ，口。) ，哆( f = 1 ，2 ，甩) 是非负整数，口称为整指标，记 i 口l - q + + + 吒，口! = q ! ! 口。! ，= 芹1 “ ( 2 ) q 是r “中的开集，定义c ”( q ) = 劬i 溯直到m 阶的偏导数在q 连续) ( 3 ) c 4 ( 孬) = 劬l 的直到聊阶的偏导数在q 一致连续 ( 4 ) 以下我们以q 记a a 即，d = ，皿，或) ， d 。= 讲1 硝2 研“= a 暑a 2 a 2 第1 章绪论 1 4 2 整数次s o b 0 1 e v 空间形”，( q ) 1 对于1 p ， 记形4 ，( q ) = p 口( q ) jd 口1 ，( q ) ，v 口z ，j 口j 咖 1 ，g 1 ，且刍+ 则有机等+ 等嬲i j 地，当纠= 2 pq pq 1l 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式 设占 0 ，在上述不等式中用占p 口和s ，6 代替口和6 ，可得带s 的y o u l l g 不等式 设口 o ，6 o ，占 o ，p 1 ，g 1 ，且三+ 三：1 ，贝u 有 口6 等+ 三箸翻，+ 占一；6 彳，特别地， 当p ：g ：2 时，它变为 p口 一 动譬+ 芸，称为带占的c a u c h y 不等式 ( 2 )h 0 1 d e r 不等式 设q c 彤为一可测集，p 1 ，g 1 ，且吉+ 吉= 1 ，若厂p ( q ) ，g 口( q ) ，则 厂。g z ( q ) ，且i 厂( x ) g ( z ) i 出q i 厂( 戈) 峙( q ) | lg ( 工) k ，特别地，当p = g = 2 时，它变成上i 厂( x ) g ( x ) i 威 o ：u 8 c ( o ，r 7 ，日。) ) 即 o ，巧) 是( 2 2 1 ) h 3 解的最大存在时间区间注意到巧依赖于g ，且当 s 专0 时，疋可能也趋于零 为了证明觋乏 o ，也就是我们所说的稳定性，我们做如下假设 收敛性假设：j 正 0 ，对每个占，以r ( o ，正 ，日5 ) ，满足u u ( x ，f ) ) c cg ，使 工， 得对f o ，m i l l 口，) ) ，当s o 时，有 s u pu 占( x ，f ) 一【，。( x ，f ) | 一d ( 1 ) ， s u pj | u 5 ( ，f ) 一u 。( ，f ) 忆= d ( 1 ) 有了上面的收敛性假设，我们就可以叙述收敛性引理 引理2 2 2 设对所有的( 工，占) ，扩( 工，f ) g 。c cg ，歹( ，s ) 日5 ，s 要+ 1 是一 北京工业大学理学硕士学位论文 个整数，且上面的收敛性假设成立设【o ，z ) 是( 2 2 1 ) 有唯一的日5 解 u 8 c ( o ，) ，日。) 的最大时间区间，那么当占斗。时，有 件 z z 由引理2 2 2 知，接下来我们的任务就是要找到【，。( x ，f ) 满足收敛性假设的条 2 3 本章小结 本章主要是通过引入熵函数的方法将非等熵流体动力学模型写成对称双曲 系统，由于对称双曲系统已经有了局部光滑解的存在定理，此时可以应用已有的 结论，接下来我们可以用收敛稳定性引理将问题化简，后面我们的主要任务是为 找满足收敛性假设条件的近似解 第3 章近似解的研究 第3 章近似解的研究 3 1 构造近似解并将近似解满足的系统写成对称双曲系统 在这一节，我们构造满足收敛性假设条件的非等熵流体动力学模型( 2 1 2 ) 的近似解以 设，z ，丁是能量输运模型( 1 2 4 ) 的周期初值问题的解，即 ia ，刀= p ( ，z ，乃一击v ( 咒v - 1 ( ，z 一万) ) ， l 罢a ，丁) + 西( 一即( ，z ，r ) + 刀v _ 1 ( 以一万) ) ( 鲁z + z ) 】= l( ，z v _ 1 ( 刀一万) 一v p ( 甩，刃) v _ 1 ( ，z 一万) 一三业罢( 丁一1 ) ， ir w z l ，z ( 工，o ) = 行o ( 工) ，r ( x ，o ) = 瓦( 功 在m a ) 【w e l l 迭代的启发下，我们取 定义 ( 3 1 1 ) 挖2 ，l ， “。：肉- 1 ( ，z 一万) 一幽， ( 3 1 2 ) 以 疋= 2 r 。：垫竺业 ：a ，( v - - 0 一万) 一里匦生旦) + ( v _ ， 一万) 一里幽) v ( v - ( 万一万) 一里丛坠堕) ， ，z 疗 ，l 即积。：饥+ “。坠， 占 d r oi “f1 2 尺= 二l 盟 f 。z 2 将r l ，r 2 两式记为( 3 1 3 ) 所以 北京t 业大学理学硕士学位论文 a ，z 。+ 三咖( ，z 。“。) ：o ， ! 即( 咒。，疋) ：坐一警， ss 知川+ 吉蛳以) ( 等例卜警v 瞳等( ) 即 咖。+ 吾州掣弘o ， a ，( 刀。比。) + ! 西v ( ，z 。“。“。) + ! 即( ，疋) ：坐一警+ a ，( “。) ss 弘叩小丢州掣小。+ 驯一 妒y 一矿= 石( x ) 一万。， + 三挑( 万。“。 “。) ， 占 = 一警心一知砌；譬， 七撕以学，+ 警譬， a ，z 。+ ! 讲v ( 刀。“。) ：o ， 占 姒掣小帅以p + 丢以) = 半一等忸 姒叩小扣掣以。删】以v 警心_ 争姒咒。学) + 帅以学，+ 警学， 一矿= 万( x ) 一万。 利用质量方程将动量方程化简： 1 6 堕2咝2 i i 或 中其 第3 章近似解的研究 a ，z 。+ ! 破1 ，( ，z ；“。) ：o ， s 即；。v ”击嘶以) = 孚专嘲， 飘e 。 。 姒v 小扣掣沁。 以v 瞳警幢一争姒，z 。学) ssz j zj z + 知掣。譬，+ 警学， 一矿= 石( 工) 一，z 。 利用质量方程和动量方程将能量方程化简，能量方程等价于： p 。a ，z 。+ 三e 。西v ( 以。“。) + ，z 。a ，e 。+ 三v p 。( 聆。“。) s + 三挑( 掣小妒乙一吾万以v 矿 = 一警心一争譬如。+ 学她 饥州学，+ 丢v c 学地”等譬 利用质量方程上式等价于： 刀。a ，巳+ 丢v 巳o ；“。) + 丢疋咖q 。“。) + 玎；“。v 疋一三刀；“。v 矿 81 = 一警幢一扣矗c 譬，+ v c 譬地詈譬， 上式两边同除n 。，并用丢咖 。“。) = 一a ，z 。，把巳= 也+ 等代入，有 妒以+ 缸一。+ 吾v c 譬+ 争”v 疋。v 矿 = 一一知，c 学，| + v c 学h 占+ 学， 两边同除疋 兰专一丢咖。+ 专即。+ 壶帆v “。+ 罢v 珊“。+ 击”v 一壶”v y = 一者幢一争扣学，+ 击v c 学一。+ 矗学， 1 7 北京工业大学理学硕十学位论文 邵。+ v 丢v 疋+ 吾v 疋一却 = 一专心一争扣譬，+ 击v c 譬m 。+ 啬譬， 又因为 础。+ v ”击v 以耻孚专嘲， 即a 以+ 三v v ”盟+ 堕：里一冬+ 矾， 趴。 ss 1 或却。吼；+ 孚一孚= 一警专城， s飘 1 所以能量方程变为 瞩+ 握v 疋一警专嘲， 一专c 一争扣学，+ 击v c 警一。+ 者学， 即 邵s + 髫毒v 疋一詈，善专积。 一专心一争扣掣，告v c 学m f + 专学， 所以 a t s e + 之珏s 邢8 = 暑专矾一专心一争 c 譬，+ 壶v 掣m 。+ 者学， 又 专即扣学，+ 击v c 譬m 。= 一等即。瓷v “。 一等即v 一即等积- 1 8 所以 第3 章近似解的研究 邵。+ 邪。= 若一苦心 占 ：占f j 进而得到： a ，咒。+ ! 击y ( ，z 。“。) ：o ， 占 即。v ”壶晰以) = 孚专嘲， s 跏c s s 邵。v 沪鲁一老瓴一争 一y = 万( x ) 一万。 p ，“，s 作为未知函数时有： ( 3 1 4 ) 等 p e 。吼，+ 吾砒。一等c 专一专幢一争刚， ，z 。 s占 聆i 。占fz 。 2 一 即。v ”击咖以，= 罟嘲， 瞩；v 足= 毒一矗心一争 一矿= 万( 工) 一行。 或 4 c p 。，“。，s 。，a 勺 萋 = 记上式为( 3 1 5 ) 3 2 关于近似解的一些结论 考虑( ，z 。，“；，) ，我们有下面的一般结果： 1 9 ) r ( p ) 一“。 ( p f 一 面( 巳一 + 占3 墨 争嘲： 竹碌力j， 学 卫啊 j 一2 j芦 1 一s + 、， d 一2 一一一，一 卫v 曳 一j 攻 一 喙打 ，一，l 一 ，一， 北京工业大学理学硕士学位论文 引理3 2 1 设s 要是一个整数，假设甩c 。( ( o ，) ，日，) ，r c m ( ( o ，) ，日。) ， 捍，联于p ，s 严格单调 如果，z c ( 0 ，z 】，日。) 广、c 1 ( 0 ，z 】，日- 1 ) 且有正的下界， 丁c ( 0 ，z ，日。) n c l ( o ，l ，日卜1 ) 且有正的下界， 那么p = p ( ，z ，乃c ( o ，疋 ，日) 厂、c 1 ( o ，正 ，日) 且有正的下界， s = s ( 忍，刁c ( 0 ，z ，日5 ) n c l ( 0 ，正】，日”1 ) 且有正的下界 更进一步，如果万h “，那么“。c ( o ，l ，h 一) nc 1 ( o ，正 ，日一) 当s 要+ 1 时，r l c ( o ，瓦 ，日川) ，尺2 c ( o ，正 ，日州) 这个引理的证明是根据索伯列夫空间中的重要不等式，为了读者参考的方便 我们在这里给出了用到的不等式 引理3 2 2 设s ，s l 和s 2 是三个非负整数，= 罢】+ 1 ( 1 ) 如果s 3 = 曲妇i ，s 2 ，s l + j 2 一) 0 ，那么日5 - 日zc 日妁，这里的符号c 表 示连续嵌入 ( 2 ) 假设j + 1 ，彳日。，u 日，那么对所有的多重指标口，f 口f 要+ 1 是一个整数，假设p c 。( o ，) ，罢至 o ，墨 o ， z挖d f 万日。( 月d ) ，能量输运模型( 3 1 ) 有解( ，z ，r ) c ( o ，l 】，日2 ) nc 1 ( 0 ，z ，日什1 ) 且，z 丁均有正的下界那么对充分小的占，满足如下周期初值 p ( z ，o ) = p ( ，z ( x ，0 ) ，f ( 工，0 ) ) ， “( x ，。) = 刃_ 1 ( ，z ( 工，。) 一万) 一兰翌室尘丐学， ( 4 1 ：i ) s ( x ，o ) = s ( 刀( 工，o ) ，r ( x ，o ) ) 的非等熵流体动力学模型( 2 1 2 ) 有唯一解( n 5 ，“5 ，r ) ( c ( o ，互】，h 。) ) 3 且存在一 个常数k o ，与占无关，只依赖于正 。o ，使得 s u p | | ( 咒5 一万。，“5 一”占，丁。一z ) ( ，f ) 忆k 奢2 ( 4 1 2 ) 4 2 误差方程的推导 记e = 兰三主 兰 兰! ，由c 2 2 ，式二c 3 5 ，式得误差方程 a ，e + 去彳如5 ，“8 ，s 。r = 6 ，= 1 北京工业大学理学硕士学位论文 1 s 2 1 了 r ，z 5 ( p 。，s 。) i “。1 2，z s ( p 8 ，s ) i “81 2 1 。n ，( p 。，s 。) 丁( p 。，s 。)，z p ( 夕5 ，s 5 ) f ( p 6 ，s 5 ) 。 一 。一“6 ) ，k 1 2 1 2 、 。丁( p 。，s 。)丁( p ，s 。) 。 r 仫( 既，足) 占2k 1 2，z s ( p 8 ，s ) 9 2 1 2 1 。，z ，( p 。，疋) r ，( p 。，咒) 2，z ，( p 5 ，s 5 ) f ，( p 6 ，s 5 ) 2 。 r 占2k f 2s 2 1 2 1 r ，( p 。，) 2f ，( p 。，s 5 ) 2 。 r 咒s ( p 。，疋) s 2 d蚀( p 5 ，s 5 ) s 2 d 1 。”p ( p 。，) f 。2，z p ( p 6 ，s 6 ) f 。2 。 刃_ 1 ( 以( p 。，疋) 一甩( p 8 ，s 5 ) ) 一c 等一警， r 仫( 见，& ) s 2 d仫( p 8 ，s 5 ) 占2 d 1( b ，& ) ，2p 。聆，( ，足) f ，( p 。，s 。) 2万p ( p 5 ，s ) r ，( p 5 ，s 5 ) 2 。刀p ( p 。，疋) 2 + 蒜一焘 + 2 垦。f ，( 见，) 2f ，( p 6 ，s 5 ) 2 。 + 吉芸c 4 c p 5 ，“，s 8 ，一彳，c p 。，“占，s 。，p 即 圣 ， 记胁一= 淼， 石( p 。，s 。) i 1 2 一石( p ，s ) l “81 2 = z ( p 。，s 。) 一石( p 5 ，s 5 ) i “。1 2 + z ( p 8 ，s 5 ) 【i “。1 2 一i “51 2 】， 记胁= 惹， 有 第4 章主要结果及其证明过程 = 厶( p 。，s 。) 一厶( p 8 ，s 。) l “。1 2 + 厶( p 5 ，s 5 ) 1 “。1 2 一i “81 2 】， 记六( 舻) = 志， 有 六( p 。，s 。) i “。1 2 一以( p ，s 5 ) l “51 2 = 六( p 。，j s r 。) 一厶( p 5 ，s 5 ) l “。1 2 + 厶( p 5 ，s 8 ) “51 2 一l 扎61 2 记胁，p 一磊磊， 工( p 。，s 。) i “；1 2 一厶( p 占，s 5 ) l “51 2 = 厶( p 。，s 。) 一厶( p 5 ，s 5 ) l “。1 2 + 厶( p 5 ，s 。) i “。1 2 一i “51 2 ， 记石( p ，s ) = 嬲，以( p ，s ) = 一i j 邑踹， 加一警，。舳卿= 嵩斋， 此时，误差方程可写为： a ，e + 圭4 ( p 8 ，“，s 8 皿，= o k l 1 f ：( p 8 ，s 。) f “s 1 2 。j “5 1 2 + ：之( p 。，s 5 ) i “，1 2 一i “占1 2 】1 【、六( p e ，s 顶l “。i ：一i z + 工( p e ，s 顶l “。j z 一旷1 2 】j 彳i e “ f ，“z ( p 。，s 。) 一石( p 8 ，s ) l “。1 2 + 厶( p 。，s 。) 一厶( p 8 ，s ) i “。1 2 + 砉1 刃1 ，l ( p 。，s 。) 一，z ( p 5 ，s 8 ) + 占3 尺1 。u 六( p 。，足) 一工( p 8 ，s 5 ) i “。1 2 + 厶( p 。，s 。) 一( p ，s 6 ) l 甜。j 2 + 六( 见，s 占) 一兀( p 占，s 占) + 兀( p 占，足) 一以( p 占，s ) 】一丝删占2 尺2 h p p o ) + 厶( 见，疋) 一石( p 8 ，s 5 ) + 石( 以，足) 一以( p 5 ，s f ) 】+ 占2 如 北京工业大学理学硕士学位论文 r去姜ct，cj，5，“5，。r。，t，cj，。，“。，r；，a_圣， 对上式两端关于x 求口阶导，其中l 口| s ，得到 比+ 彳如占，“? s 5 甄，= 6 ，= 】 ，f i 仞5 ，- s r 6 ) k1 2 一凡+ 厶( p 5 ，s 1 8 ) k1 2 一1 2 】口1 二lf ”i 2j “口 i 6 i 六( p ，s 。) k1 2 一| 2 口+ 厶( p 。，s 8 ) kf 2 一凡j ，f ( z ( p 8 ，s 5 ) k1 2 一1 2 】) 口一石( p 5 ，s f ) k1 2 一1 2 口 + 1 l o 。i ( 厶( p ，s 5 ) i 。1 2 一i “51 2 】) 口一工( p 8 ，s ) 1 “。1 2 一i “占1 2 】口 + ( 厶( p 8 ，s 5 ) k1 2 一| 2 】) 口一六( p 5 ，s 8 ) k1 2 一1 2 口、i ( 六( p 8 ，s 5 ) i “。1 2 一i “81 2 ) 。一兀( p 5 ，s 6 ) f l “，1 2 一i “s1 2 1 j ，f ( z ( p 。，s 。) 一z ( p 8 ，s 5 ) kh + ( 眈( p 。，s 。) 一厶( p ，s 5 ) 】kh + 考i ( 押- 1 ( 玎( p 。，s 。) 一万( p 6 ，s 8 ) ) + 占3 r 1 ) 口 5 l ( 六( p 。，足) 一六( p f ，s 5 ) i “。1 2 ) 。+ ( 六( 以，足) 一工( p s ，s 6 ) f f z ) 口 ；( p s ，s s ) 一六( p 5 ，s 5 ) 】。+ l 名( p e ，s 。) 一无( p 8 ，s 5 ) 口一( 兰 ；暑 i ；号占2 r ：) 。 【 ( p 。，疋) 一石( p 5 ，s 6 ) 口+ 丘( p 。，s 。) 一以( p 5 ，s 8 ) 】。+ 占2 r 2 口 +詈芸c彳，cp8，“5，s5，一彳，cp。，“占，s。，a，萋口 + 善 4 ( p 8 ) 叫如5 ) ) fz ( p 占，s 5 ) k1 2 一甩+ 厶o 。，s 5 ) k1 2 一1 2 】口1 记q = i 层 i， i 六( p 6 ，s 5 ) k1 2 一1 2 口+ 厶( p 5 ，s 5 ) k1 2 一凡j 第4 章主耍结果及其证明过程 f ( z ( p 5 ，s 5 ) 1 “。1 2 一i “。1 2 ) 口一；( p ，s ) i “。1 2 一i “1 2 口 日：= i o i ( 六( p 8 ，s 6 ) 1 “。1 2 一i “5j 2 ) 口一以( p 5 ，s 5 ) i “；j 2 一i “51 2 a + ( 厶( p 。，s 。) i “；1 2 一i “51 2 ) 口一厶( p 。，s ) i “。1 2 一i 比51 2 口1 i， ( 六( p 6 ，s 8 ) f “。1 2 一l “81 2 ) 。一厶( p 5 ，s 5 ) 1 ”。1 2 一l “51 2 口j f ( i ( p ；，s 。) 一z ( p 6 ，s 5 ) i “。1 2 ) 口+ ( 以( p 。，s 。) 一五( p 5 ，s ) i “。1 2 ) 。 日3 = l( 胛- 1 ( ，z ( p 。，s 。) 一忍( p ，s 6 ) ) + s 3 尺1 ) 口 i ( 六( p 。，s 。) 一厶( p 。，s 5 ) 】i “。1 2 ) 口+ ( 六( p 。，s 。) 一厶( p 8 ，s 8 ) l “。1 2 ) 口 以( p f ，s s ) 一兀( p 。，s 。) 口+ 兀( p s ，s s ) 一兀( p ，s 5 ) 】口一(