（应用数学专业论文）几类常微分方程组边值问题正解的存在性.pdf

目录 摘要i a b s t r a c t h i 第一章绪论1 1 1 问题产生的历史背景及研究现状1 1 2 本文的主要工作5 1 3 预备知识6 第二章一类p - l a p l a c i a n 奇异型方程组边值问题正解的存在性8 2 1 引言8 2 2 引理9 2 3 主要结果1 l 2 4 相关例子1 5 第三章一类积分边值问题三个对称正解的存在定理1 7 3 1 引言一1 7 3 2 引理1 8 3 3 主要结果1 9 第四章半无穷区间上二阶n 点微分方程边值问题正解存在性2 2 4 1 引言2 2 3 2 引理：2 3 4 3 主要结果2 7 第五章结束语3 0 参考文献3 l 作者简介3 5 驾【 谢3 6 吣0加 m 9 帆8眦1洲y l_-_-i 摘要 本文主要运用l e g g e t w i l l i a m s 定理和不动点指数定理，分别研究了几类常 微分方程边值问题正解的存在性全文共分五章： 第一章简述了问题产生的历史背景、研究现状及本文用到的相关基础知识 在第二章中，主要运用不动点指数定理研究了如下一类p - l a p l a c i a n 奇异型 方程组三阶三点边值问题 l ( ( “”) ) 乜( o y ( u ( o ，( 0 ) - - o，、 1 ( ( v 一) ) 7 + 订：( ，) g ( “( ，) ，y ( ，) ) ：。( o 1 ) fu ( o ) = u ( 1 ) = 口。“( 叩) ，u ”( o ) = o ； 【v ( o ) = v ( 1 ) = 口：v ( 7 7 ) ，v ”( o ) = 0 正解的存在性其中a ，a ：在t = 0 ，1 处奇异本章对厂和g 作类似超线性或次线 性的限制，给出该问题正解的存在定理 在第三章中，研究了如下一类带积分边值条件的奇异微分方程 矽( “”( r ) ) 。= w ( t ) f ( t ，“( r ) ，“7 ( ，) ) ，r ( o ，1 ) ， “( o ) = “( 1 ) = r g ( s ) “( s ) 凼 ( “。( o ) ) = 矽( “”( 1 ) ) = r 五( s ) ( “”( s ) ) 凼 存在三个正解的问题此问题困难点在于厂依赖于u 的一阶导数，并且所给的 边值条件含有积分本章通过构造特殊的算子和锥，运用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理 及不等式技巧获得了存在性的充分条件 在第四章中，研究了半无穷区间上n 点微分方程边值问题 ( 缈( “) ) 7 + 口( f ) 厂( f ，“) = o ， 0 t + 0 0 n - 2 u ( o ) - - e g ，“( 剞，“( + ) = o f = l 正解的存在性该问题难处在于算子在半无穷区间上全连续的证明本章通过 运用不动点指数定理给出了其至少存在一个或两个正解的存在定理 第五章结束全篇，阐述该领域后续工作的体会与设想 关键词：p - l a p l a c i a n 算子， 不动点 ，锥，正解 h l_1_-_ij a b s t r a c t i n t h i sp a p e r , w em a i n l yr e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r s e v e r a lc l a s s e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h el e g g e t w i l l i a m st h e o r e ma n dt h e f i x e dp o i n t si n d e xt h e o r e m t h ew h o l ep a p e ri n c l u d e sf i v ec h a p t e r s h lt h ef i r s tc h a p t e r , w eo u t l i n et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d r e s e a r c hs t a t u so ft h e p r o b l e m sa n ds o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r h 1t 1 1 es e c o n dc h a p t e r , w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s s o fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u es y s t e m s l ( ( “”) ) 7m ( r ) 厂( “( r ) ，v ( r ) ) _ -，、 1 ( ( v 一) ) 7 + 以：( ，) g ( “( ，) ，v ( ，) ) ：。( 。，1 ) ， f u ( 0 ) = u ( 1 ) = 口。“( 叩) ，u 。( o ) = o ； lv ( o ) = v ( 1 ) = a 2 v ( r ) ，v ”( o ) = 0 b yu s i n gf i x e dp o i n t si n d e xt h e o r e m ，w h e r ea 1 ，a 2 i ss i n g u l a ra tt = 0o rt = 1 t h ee x i s t e n c et h e o r e m sa r eg i v e nw h e nfa n ggw i t ht h ec o n d i t i o no fs u p e r l i e a r i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so f 矽( “”( r ) ) 。= w ( r ) 厂( r ，“( r ) ，“7 ( r ) ) ， “( o ) = “( 1 ) = r g ( j ) “( s ) 如 t ( o ，1 ) ， 妒( “”( o ) ) = ( “”( 1 ) ) = r 矗( s ) ( “”( s ) ) 凼 b ym e a n so ft h el e g g e t - w i l l i a m st h e o r e ma n di n e q u a l i t yt e c h n i q u e s s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e dt og u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo ft r i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so f t h i sp r o b l e m ，w h e r efi st od e p e n do nu a n dt h i sb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s c o n t a i na ni n t e g r a l i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s s o fn p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i i i “，) ) 7 l “( o ) = l + a ( t ) f ( t ，“1 = 0 ，0 t 1 ) 为p - l a p l a c i a n 算子智利数学家较早地研究了此类边 值问题，并很快引起数学界的重视，取得了一系列研究成果( 见文 6 7 ) 带有 p - l a p l a c i a n 算子的微分方程可以看成是普通二阶微分方程的推广对于一维情 形，当p = 2 时，欢( x ) = x 是线性的；当p 2 时，啦( x ) 为非线性的，很多学者利 用s c h a u d e r 不动点定理、打靶法、不动点指数定理得到了此类问题的正解存在 性的若干条件( 见文 8 1 0 ) 2 0 0 5 年，白定勇和马如云在文 1 1 】考虑p - l a p l a c i a n 算子型奇异边值问题 j ( 九( “) ) + 口( f ) 厂( “) = 0 ，o t 1 ，a ( t ) 在f = o 弄t 1 t = 1 处具有奇异性，主 要运用锥拉伸和压缩原理，获得了其至少存在一个正解的存在定理 2 0 0 5 年，刘斌在文e 1 2 q p 研究一类具p - l a p l a c i a n 算子型奇异方程组边值问 题 j ( 丸( x ，) ) ：+ 口( f ) 厂( x ( f ) ，夕( f ) ) = 。，( 。，1 ) ， 【( 办( y ) ) + 口：( f ) g ( x ( f ) ，y ( f ) ) = 0 fx ( o ) - z , x ( o ) = 0 ，工( 1 ) + 瓯工( 1 ) = 0 ， i y ( o ) 一层y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) + 疋j ，7 ( 1 ) = 0 正解的存在性其中口，c ( ( o ，1 ) ，( o ，+ ) ) ( i = l ，2 ) ，屈o ，谚o ( i = 1 ，2 ) ， f , g c ( e o ，佃) 2 ，( o ，佃) 1 通过使用不动点指数定理，在适当的条件下，建立 了这类奇异方程组边值问题存在一个或者多个正解的充分条件 2 0 0 7 年，yps u n 在文 1 3 中讨论t - - 阶三点边值问题 2 第一章绪论 p ( f ) + 口( f ) 厂( 埘( f ) ) = o ，o t l ， 【“( o ) = “( 1 ) = 口“( ，7 ) ， 其中口( 。，1 ) ，7 ( 。专 ，口z ( 。，1 ) 是非负对称的该文利用不动点指数理论及 线性算子的谱理论，给出了其至少存在一个和两个对称正解的充分条件 2 0 0 8 年，田元生，刘春根在文 1 4 利用凸锥的不动点定理考虑了 j ( ( “”( f ) ) ) + 口( f ) 厂( 驰( f ) ，“( f ) ) = 0 ，o f 1 ， 【“( o ) = ”( 1 ) = a u ( r 1 ) ，“”( o ) = 0 三个正解的存在性 2 0 0 9 年，他们二人在文 1 5 讨论t - - 点奇异边值问题 j ( 妒，( “”( f ) ) ) + 口( f ) 厂( f ，“( f ) ) = o ，o f 1 ，( 1 1 1 ) 【“( 0 ) = ”( 1 ) = a u ( 叩) ，“”( o ) = 0 ， 得到了存在一个或两个正解的充分条件 对于含积分边值条件的问题，众多学者进行过研究，结果丰富( 见 1 6 2 5 ) 由于其条件的复杂，导致g r e e n 函数的复杂，难度也加大 2 0 10 年，yl u o ，zl u o 在文 2 6 中主要运用了锥上范数形式的拉伸一压缩不 动点定理研究了下列含积分条件的边值问题 矽( “”( r ) ) 。= w ( t ) f ( t ，“( r ) ，“( r ) ) ，r ( o ，1 ) ， “( o ) = “( 1 ) = f g ( 5 ) “( s ) 幽 ( 1 1 2 ) ( “。( o ) ) = 矽( “”( 1 ) ) = ( s ) ( “。( s ) ) 凼 至少存在一个、两个对称正解的存在性 目前，对于无穷区间上微分方程边值问题的研究也很热( 见文 2 7 3 5 】) 该类 问题起源于寻求非线性椭圆型微分边值问题径向对称解以及对半无穷大多孔介 质上气流压强模型的研究，具体模型来源于薄膜表层理论和胶体理论 2 0 0 6 年，倪小红葛渭高在文【3 6 中利用l e g g e t t w i l l i a n m s 不动点定理，研 3 南京信息工程大学硕士学位论文 究了半无穷区间上边值问题 ix 7 ( f ) + p ( t ) f ( t ，工，工) = 0 ，0 t 栩， 【x ( o ) = o ，x ( + o o ) = 0 多个正解的存在性其中x ( + o 。) 2 熙x ( f ) 2 0 0 8 年，廉海荣，葛渭高在文 3 7 】中研究了半无穷区间上二阶微分方程三 点边值问题 fx 。( f ) + 痧( f ) 厂( ，x ) = 0 ，0 t 棚， 卜( o ) = 口x ( 叩) ，x ( 佃) = 0 正解的存在性及唯一性，其中口，r l ( o ，栅) 且a 1 ，允许非线性项矽( f ) 在 t = o ，f ( t ，u ，1 在“= 0 处有奇异，运用的主要理论工具是对角延拓定理和不动点 指标理论 2 0 0 9 年，ypg u o 在文 3 8 禾l j 用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理，研究了半无穷 i 又：间匕m 点边值问题 ( 妒p ( x 7 ( r ) ) ) 7 + 矽( r ) 厂( r ，x ( r ) ，x 7 ( r ) ) = o x ( 。) = i = 1 叩( 仇) ，一l i m x ( f ) = 。 0 t 1 ，矽：足_ r ，厂( f ，“，v ) ：定j 砭 连续函数，0 ，0 r l r 2 r m 一2 + 0 0 2 0 0 9 年，shl i a n g 在文 3 9 中利用锥上不动点指数定理研究了m 点边值问 题 ( 妒( “7 ) ) + 口( f ) 厂( f ，“( f ) ) = o ，o f o ，使得v x l ，恐d ，若恢一而i l 0 ，v x a ，v t l ，t 2 x ，当p ( t l ，t 2 ) 万，有 i x ( f 1 ) 一工( f 2 ) l s 在这里，x = x ( t ) c ( x ) 作为x 上连续函数必是一致连续的，若对某一族连续函 数，一致连续定义中的6 = 万( s ) 对族中每个函数都适合，这族函数就是等度连续 的 6 第一章绪论 引理1 3 1 ( a r z e l a - a s c o l i 定理) 设x 是紧度量空间，则彳cc 彳】是列 紧的充要条件是彳为c x 中范数有界的等度连续的函数族 引理1 3 2 【4 2 】设e 是b a n a c h 空间，p e 是一个锥令 g = x 尸：恻l ，) ，假设丁：g 专尸是全连续的若对垤a g ，t x x ，则 ( i ) 如果对坛诹，成立l l x l l - it x l l ，那么i ( t ，g ，p ) = 0 ( i i ) 如果对坛犯，成立州l 0 a 0 ，那么i ( t ，g ，尸) = 1 引理1 3 3 m ( l e g g e t t w i l l i a m s 定理) 设r ：霉j 霉是全连续的，且口 是锥p 上的非负连续凹泛函，满足a ( u ) - lu l l ，v u 乏，又设存在常数 0 a b , 对于- v u p ( a ，b ，d ) ； ( c 2 ) 忡0 6 ，对于“p ( a ，b ，c ) 上t l l r u l l d 那么t 至少存在三个不动点u iu ：和蚝且满足 i i n i i a ，b 口且口( “，) 1 ， 。 呸 1 ( f = 1 ，2 ) ，7 7 ( 。，1 ) ，= ( 9 p ) ，万1 + 吉= 1 本章将文献 1 4 】的某些结果 推广到二维的情形，并得到了一些新的结果 本章将在b a n a c h 空间及其锥上讨论上述问题令e = c 【o ，l 】c o ，1 】，则e 是 b a n a c h 空间定义范数0 ( “，v ) i | - 怯i + iv i i ，喜c = vl “0 = m 州a x 。“( f ) i ，iv l = m r 【a 叫x l v ( f ) 1 再令尸= ( “，v ) e ：“( f ) ，v ( f ) 是非负凹的) ，则p 是e 上的锥 本章总假设以下两个条件成立 ( 4 ) f , g c ( 【o ，+ o 。) o ，+ o 。) ， o ，佃) ) ； ( 4 ) q c ( ( o ，1 ) ， o ，悃) ) ，i = 1 ，2 ，。1 q ( f 肛 ，且口f ( f ) 在( o ，1 ) 任何子区间上不 恒为零 显然，若条件( 4 ) 成立，那么存在常数( 。专) ，使得 第二章一类p - l a p l a c i a n 奇异型方程组边值问题正解的存在性 2 2 引理 o f 口心d r 吲= 1 ，2 本币给出以卜的引理，以便十卜回主妥结果明让明 引理2 2 1 1 令a 1 ，h z o ，1 】，则b v p f u w + 办( f ) = o ，0 f 1 ， l “( o ) = “( 1 ) = 伽( 叩) ，0 r 1 ， 有唯一解“( f ) = fg ( f ，5 涉( s ) 凼， 其啡垆心一+ 击渤一，f ( 柚) 糯叁三兰蚤 显然，引理2 2 1 中的函数g ( t ，s 1 有下述性质： g ( o ，s ) g ( t ，s ) g ( s ，s ) ，o o ，和常数m 。( o ，q ) 使得 f ( u ，1 ，) ( m 。吒) 川，o 幺，使得 或者 厂( “，v ) - ( m 2 r 2 ) p 一，“+ v 吃，眨 ； 1 l ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 器 o m 邮h 小似 南京信息工程大学硕士学位论文 g ( u ，v ) ( m ：眨) p 。1 ，u + ve p r 2 ，吃 那么b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 至少有一个正解( “，v ) 使得肛，v ) 6 在吒与眨之间 证明 ( 2 3 4 ) 不妨设，i 吃( 吃 吒- - i i ( u ，v ) 1 1 因 此，v ( “，) 峨，当( 2 3 3 ) 式或( 2 3 4 ) 式之一成立时，都有 l i r ( u ，v ) l l = l l 正( u ，v ) l l + l l 互( u ，v ) i l 眨- - l l ( u , v ) u 利用引理1 3 2 得到， f ( 丁，q ，p ) = 0 ( 2 3 6 ) 从而由式( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 及不动点指数的可加性知， f ( 丁，q 趸，p ) = o 一1 1 ( 2 3 7 ) 所以t 至少有一个不动点( “，v ) 孬吃q 。注意到( “，v ) 仨a ( q 趸) 因此 ( “，v ) 是b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 的一个正解，且 。，存在充分小的正数兀7 ，当 0 “，1 ，u + 1 ，0 时， 1 3 南京信息工程大学硕士学位论文 g ( u ，v ) ( 反+ 龟) ( “+ v ) p 1 ( 鲁) p - i ( 2 疋7 ) p = ( 鲁匕) ， ( 2 3 9 ) 于是令m 。= 鲁( o ，b ) ，吒= m a x 匕，兀7 ) ，则由( 2 3 8 ) 式与( 2 3 9 ) 式知，条件 ( 4 ) 成立 再证c 4 ，成立由条件c 以，不妨设= 托 ( 云岛) 旷1 ，o o ，特取 岛= 托一( 云岛 川 。，则存在充分大的正数眨c 吃巧，不妨，i 0 2 ，则条件( 4 ) 成立因此据定理2 3 1 知b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 至 少有一个正解，_ l tr , l l ( “，v ) 0 吃 推论2 3 3 如果条件( 4 ) 与( 4 ) 成立，并且下述条件成立： c 4 ，厶= 届( ( 云晚) p 1 ， ，甄= 尾( ( 云岛) p 1 ， ， c 4 ，兀= 九 。，( 导) p 1 或= 托 。，( 导) 尹1 ， 则b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 至少有一个正解 证明方法与推论2 3 2 类似，从略 推论2 3 4 如果条件( 4 ) 与( 4 ) 成立，并且下列条件之一成立： ( 4 ) 厶= g 。= 0 ，且无= 或g 。= o o ； ( 4 。1 名= g 。= 0 ，且厶= o o 或g 。= 0 0 ， 1 4 第二章一类p - l a p l a c i a n 奇异型方程组边值问题正解的存在性 则b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 至少有一个正解 证明若( 4 ) 成立，则由条件= g o = 0 ，对0 占 研，存在充分小的正数 ，当0 u + y ，i 时， f ( u , v ) ( 占( “+ v ) ) p 一( 占 ) p ； g ( u , v ) ( 占( “+ v ) ) p 一( 占_ ) p 取0 岛，贝j j ( 2 3 3 ) 式满足同理由条件g 。= 时，可证( 2 3 4 ) 式满足 因此当( 4 ) 成立，由定理2 3 1 推知，b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 至少有一个正解对于 条件( 4 。) 成立的情况同理可证综上，b v p ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 5 5 少有一个正解 注2 3 1 本节推论2 3 2 与推论2 3 3 的结果分别是文献 1 4 1 定理3 1 与 定理3 2 的结果的推广，并且推论2 3 4 是文 1 5 】中所没有的，因而是新的 2 4 相关例子 考虑下列边值问题 ( 删) ，+ 。州 一 = o ， 书卜卜黯 = o ， “( o ) = “( 1 ) = 三1 “ v ( o ) = y ( ，) = 三v ，“。( o ) = 0 ， ， v 。( o ) = o ， 0 t 0 ( h 2 ) w z o ，1 非负对称的，且在任何 o ，1 子区间上w ( f ) o ( h 3 ) 厂： o ，1 xr + xr ，连续这里厂( f ，“，v ) 的对称性是指 f ( 1 - t ，“，) = 厂( f ，“，v ) ，厂( f ，“，一v ) = 厂( f ，甜，v ) ，v ( f ，“，v ) 【o ，1 x r + x r ( 日4 ) g ，h o ，1 】，非负对称的 3 2 引理 下面给出本章所需的引理 引理3 2 1 如果( h 1 一日4 ) 成立，那么甜e 是( 1 1 2 ) 的解等价于“是算子 丁的不动点 引理3 2 2 睢副假设( h 1 ) 成立，那么v u ，v ( o ，o o ) ， 少；1 ( “) v 一( h ( v ) ) y 弋“) v 引理3 2 3 3 如果( 日1 - 日4 ) 成立，那么算子丁：尸一p 是全连续的 引理3 2 4 1 下列四个命题成立，当( 日4 ) 成立且v f ，s o ，l 】时， ) g ( t ，s ) o ，h ( t ，s ) o ，h i ( f ，s ) o ； i ) g ( 1 - t ，1 - s ) = g ( f ，s ) ，h ( 1 一t ，1 一s ) = 日( f ，s ) ，h i ( 1 - t ，1 一s ) = 日。( f ，s ) ； i i ) p e ( s ) h ( f ，s ) r e ( s ) ，p l e ( s ) h 。( f ，s ) y i e ( s ) ， 其中 p ：肆学舻埤尝叫沪叫舻击川：击 = rg ( s ) 凼，y = rj l z ( s 皿，( o ，1 ) ，y ( o ，1 ) 1 8 南京信息工程大学硕士学位论文 3 3 主要结果 定理3 3 1 假设( h 1 一日4 ) 成立，且存在o 口 6 2 b c ，使得 ( b 1 ) 当a “c ，v ( t ，叩) 【o ，1 】 口，c 】 _ c ，有厂( f ，) ( 毛c ) ； ( b 2 ) 当6 “c ，v ( t ，“，1 ，) o , 1 x b ，c 】 _ c ，c 】，有厂( f ，“，v ) 矽( 七：6 ) ； ( b 3 ) 其中 当o u 口，v ( t ，) o ，1 x o ，口】 _ 口，口】，有厂( f ，u ，v ) 矽( 毛口) ， k i - - m i l l y ：p ( s ) d 譬y f l ( y 。：e ( f ) w ( r ) d r ) ， 三矿f 乞= p r p ( j ) 凼y ；1 ( 几f p ( f ) w ( f ) d r ) - 1 ， ( 肛r p ( f ) w ( r ) d r ) ， 那么b v p ( 1 1 2 ) 至少存在三个对称正解“。，“：和蚝，且满足 i u l i i a ，b 口且口( “，) 6 ) 当“p ( a ，b ，d ) 时，b - a ( u ) - i u i d 时，m 条4 e e ( 8 2 ) 可知 r u ( r ) = ：日( 柚矽一1 ( ：q ( 叩) w ( f ) 仆，“( f ) ，“( f ) ) d f ) d s - 4p ( s 脚；1 ( r p ( f ) w ( f ) d f 归= 6 故口( 死( f ) ) = 璎碧死( f ) 6 综上，引理1 3 3 的三个条件都成立，b v p ( 1 1 2 ) 至少存在三个对称正解u iu ：和 坞，且满足 慨i i a ，6 ana ( u 3 ) b 注3 3 1 该定理给出t ( 1 1 2 ) 至少存在三个对称正解的充分条件，而文 2 6 只 研究了一个和两个正解的存在性，所以本章的结果丰富了文 2 6 的结论 2 1 南京信息工程大学硕七学位论文 4 1 引言 第四章半无穷区间上二阶n 点微分方程 边值问题正解存在性 h 训+ 口( 姗刖) - 0 ，晒 佃， 。一2 ( 4 i i ) l “( o ) = 掣7 ( 磊) ，“( 佃) = o n - 2 一个正解的存在性其中，a f o ，0 口f l ，0 磊 色 色一2 1 定义空间瓦= 卜h 衅。翼掣 佃) ，其范数 i i = 呱s u 。p 。l u 十( o ，i 0 , 3 n 0 , 使 得 睁掣卜 对于u 形，t 2 n 一致成立，那么形在e 中是相对紧的 引理4 2 2 设y ( f ) c ( o ，佃) ， o ，佃) ) ，那么b v p 南京信息工程大学硕士学位论文 有唯一解 ( 4 2 1 ) “( r ) = 善n - 2 口1 ( f y ( s ) 豳) + 【伊一1 ( r y ( f ) d f 净 ( 4 2 2 ) 证明在( 缈( “) ) = 一y ( f ) 两边同时对f 求积分得 伊( “) = 一y ( f 矽h 妒( “( 毒) ) ( 4 2 3 ) 用9 1 作用( 4 2 3 ) 式阴网输得 “7 ( r ) = 9 一y ( 彳矽f + 妒( “( 鲁) ) ) ( 4 2 4 ) 在( 4 2 4 ) 式两端对f 积分得 “( r ) = 【够一y ( f 矽h 伊( “( 毒) ) 卜+ “( o ) ( 4 2 5 ) 将条件u r ( + ) = 0 带入到( 4 2 4 ) 式得 f y ( r 矽f = 缈( “( 聃 ( 4 2 6 ) 由条件“( o ) = “7 ( 莓) 及( 4 2 5 ) 式可得 材( 。) = 蔷n - 2 卵一1 ( f y ( s p ) ( 4 2 7 ) 将( 4 2 6 ) 式和( 4 2 7 ) 式打入到( 4 2 5 ) 式中，即可得( 4 2 2 ) 式成立 定义算子丁：p c o ，+ 1 ， ( 喇2 一姗“州出) +) 驴1 ( r 口( r ) 巾，“( r ) ) 如净 帆 m k 0 ， 。“s u p 、 0 j i k i i o ，使 得 l l ul ，v ueq ( 营“( r ) ( 1 + r ) ，)