（应用数学专业论文）双材料弯曲断裂问题中的复变函数方法.pdf

粤 盯慨蕊攀缸罐节 “拖蹴黔“蕊雾鳞毒懿臻孬震搿谨月。羲于： ja： #，4，?i口si -：， ； ， “、 ，m酗静蘧乎澎叠嚣 摘要 摘要 复变函数方法是研究复合材料断裂问题的非常有效的数学方法之一。利用复变函数 方法，对复合材料平面断裂问题的研究已经取得了许多成果。推出了复合材料板i 型、 i i 型、i i i 型、受纯弯、受纯扭、受弯扭裂纹尖端应力、应变、弯矩、扭矩的解析解n 。“1 。 近几年，关于正交异性双材料i 型、i i 型、及混合型界面裂纹断裂问题也取得一些成果， 所得裂纹尖端应力场没有振荡奇异性h 吲。s ih g c 和c h e n e p 对各向同性双材料界面裂 纹弯曲问题进行了研究n 1 ，获得了弯曲载荷下各向同性双材料界面裂纹弯矩、扭矩公式。 本文对正交异性双材料界面裂纹尖端的弯曲问题进行了探讨。通过复合材料断裂复 变方法，构造特殊的挠度函数；将控制方程化为广义重调和方程，基于边界条件得到了 两个八元齐次线性方程组，推出了含两个实奇异指数的应力函数，在特征方程组的判别 式都小于零时，得到了半无限界面裂纹尖端应力场、位移场。并利用坐标变换，结合新 应力函数，讨论了受纯弯、纯扭、弯扭载荷作用的正交异性双材料界面裂纹尖端的弯矩、 扭矩、应力、应变的表达式。所得的正交异性双材料界面裂纹尖端附近应力场没有振荡 奇异性。当上下半平面材料参数相同时，可获得受弯曲载荷正交异性复合材料板裂纹尖 端应力场，并利用有限元算例分析验证了理论结果的正确性。 另外本文初步讨论了正交异性双材料i i 型界面裂纹的，积分。用复变函数方法，将 裂纹尖端应力和位移代入到，积分的一般公式，得到了正交异性双材料i i 型界面裂纹的 j 积分的复形式。由于积分与路径有关，最后仅给出了一种特殊路径下，积分的计算公 式。 关键词：复变函数方法；广义重调和方程；偏微分方程边值问题；正交异性；双材料； 界面裂纹 双材料弯曲断裂问题中的复变函数方法 i l a b s t r a c t a b s t r a c t t h em e t h o do fc o m p o s i t ec o m p l e xf u n c t i o ni so n eo ft h em a t h e m a t i c a l m e t h o d sf o rt h ep r o b l e mc o m p o s i t em a t e r i a lf r a c t u r e m a n yr e s e a r c hr e s u l t so f c o m p o s i t em a t e r i a lf r a c t u r ew e r ed e r i v e db yt h em e t h o do fc o m p o s i t ec o m p l e x f u n c t i o n t h ea n a l y s i ss o l u t i o n so fs t r e s s ，s t r a i n ，b e n d i n gm o m e n t ，t w i s t i n g m o m e n t ，c o m p o s i t em a t e r i a lm o d e li ，m o d e lii ：m o d e l i ii ，u n d e rb e n d i n g ， u n d e rt w i s t i n g ，f o rt h eb e n d i n gm o m e n t ，t o r q u e ，n e a rt h ec r a c kt i pc a nb e o b t a i n e d r e c e n t l yy e a r s ，t h er e s u l t sf o rt h ep r o b l e mo fm o d e li ，m o d e li ia n d m o d e lm i x e dc o m p o s i t em a t e r i a li n t e r f a c ec r a c kf r a c t u r ea r eo b t a i n e d ，t h es t r e s s f i e l d so fc r a c kt i pn os i n g u l a r i t y s i h g ca n dc h e n e ps t u d i e dt h ep r o b l e mo f i s o t r o p i cb i m a t e r i a l sb e n dc r a c k ；t h ef o r m u l a so fb e n d i n gm o m e n ta n dt w i s t i n g m o m e n tu n d e r b e n d i n gw e r eo b t a i n e d i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fb e n d i n go f o r t h o t r o p i cb i m a t e r i a l si ss t u d i e d b yu s i n gt h ec o m p o s i t ec o m p l e xf u n c t i o nm e t h o do fm a t e r i a lf r a c t u r e ，as p e c i a l d e f l e c t i o nf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e d ；w i t ht h eg o v e r n i n ge q u a t i o nt r a n s f o r m e di n t o ac l a s so fg e n e r a l i z e db i h a r m o n i ce q u a t i o n s ，a n do nt h eb a s i so ft h eb o u n d a r y c o n d i t i o n st w os y s t e m so fh o m o g e n e o u ss y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n sw i t he i g h t u n k n o w n sa r eo b t a i n e d ，f r o mt h es o l u t i o no fw h i c ht w os t r e s sf u n c t i o n sa r e d e r i v e dw h i c hc o n t a i nt w o s i n g u l a re x p o n e n t s t h e s t r e s sf i e l d sa n d d i s p l a c e m e n tf i e l d so fs e m i - i n f i n i t ei n t e r f a c ec r a c kt i po r t h o t r o p i cb i - - m a t e r i a l s c a nb eo b t a i n e dw h e nt h ed i s c r i m i n a t i o n so fc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n sa r el e s s t h a nz e r oa n du s et h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m ，t h ec a l c u l a t i o nf o r m u l a sf o rt h e b e n d i n gm o m e n t ，t o r q u e ，s t r e s sa n ds t r a i n sn e a rt h ec r a c kt i pc a nb eo b t a i n e d t h es t r e s sf i e l d so fi n t e r f a c ec r a c k t i po fo r t h o t r o p i cb i m a t e r i a l sn os i n g u l a r i t y w h e nt h eu p p e ra n dt h el o w e rh a l f - p l a n e sa r eo ft h es a m ep a r a m e t e r s ，t h es t r e s s f i e l do fc r a c ko fo r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l sc a nb eo b t a i n e d t h ed e r i v e d e q u a t i o ni sv e r i f i e dw i t hf e ma n a l y s i s a d d i t i o n a l l y , i nt h i sp a p e rt h ej i n t e g r a ln e a ri i i n t e r f a c ec r a c kt i po f d o u b l ed i s s i m i l a r o r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l s w a sp r e l i m i n a r ys t u d i e d p u t t i n gs t r e s s f i e l d sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so fc r a c kt i pi n t ot h eg e n e r a l l y i l i 0 e r i v e d b e c a u s et h ei n t e g r a lr e l a t e sw i t ht h ep a t h ，o n es p e c i a lc o m p u t e rf o r m u l a 弩 ；o fj - i n t e g r a li sg i v e ni nt h e l a s t k e yw o r d s ：c o m p l e xf u n c t i o nm e t h o d ；g e n e r a l i z e db i h a r m o n i ce q u a t i o n s ； b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；o r t h o t r o p i c ； bi m a t e r i a l ；i n t e r f a c ec r a c k i v 目录 目录 第1 章绪论l 1 1 课题提出的背景及意义l 1 2 复合材料板弯曲问题研究进展概述1 1 3 弯曲问题研究的主要数学方法3 第2 章正交异性双材料半无限界面裂纹尖端应力场5 2 1 引言5 2 2 复变函数5 2 2 1 预备知识5 2 2 2 复变公式6 2 。3 偏微分方程组边值问题7 2 4 半无限弯曲界面裂纹尖端应力函数8 2 5 结果分析1 7 第3 章正交异性双材料界面裂纹弯曲问题1 9 3 1引+ 言0 00 0 1 9 3 2 纯弯正交异性双材料界面裂纹尖端应力场1 9 3 2 1 受纯弯正交异性双材料板1 9 3 2 2 纯弯界面裂纹尖端的弯矩、扭矩、应力、应变1 9 3 2 3 有限元算例分析2 4 3 3 纯扭正交异性双材料界面裂纹尖端应力场2 6 3 3 1 受纯扭正交异性双材料板2 6 3 3 2 纯扭界面裂纹尖端的弯矩、扭矩、应力、应变2 7 3 4 弯扭正交异性双材料界面裂纹尖端应力场3 l 3 4 1 受弯扭正交异性双材料板3 1 3 4 2 弯扭界面裂纹尖端的弯矩、扭矩、应力、应变3 2 3 5 结果分析3 6 第4 章正交异性双材料l i 型界面裂纹j 积分3 9 4 1 引。言3 9 4 2j 积分的表示式3 9 v 双材料弯曲断裂问题中的复变函数方法 3 9 3 9 i i 型界面裂纹的j 积分4 0 式4 3 4 4 展望4 5 4 7 5 3 的学术论文目录5 5 v i 第i 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题提出的背景及意义 工程问题中经常遇到一些杆件，作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原 本是直线的轴线变形为曲线。这种形式的变形称为弯曲变形。工程中对某些受弯杆件除 强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它变形不能过大。若其变形过大，不仪会降低 寿命，还会影响加工精度。工程中虽然经常限制弯曲变形，但在另一些情况下，常常又 利用弯曲变形达到某种要求，例如可以更好地起到缓冲减震作用。 复合材料板弯曲问题由来已久，有许多的研究者针对各种复合材料板的弯曲问题做 出了突出贡献。与平面断裂弯曲问题相比，板的弯曲问题更有复杂性，它除了有面内位 移之外，还存在着面外位移。平板弯曲断裂问题的研究是一个很有实际意义但又有一定 难度的课题。复合材料单层板弯曲理论的研究是最早最广泛的，其中各向异性复合材料 板的弯曲断裂是研究最多的，关于这类问题已经取得了许多成果删。目前由两种不同 性质的介质沿界面组成的双材料界面裂纹问题是当前断裂力学研究的热点。对于双材料 各向同性的弯曲问题，s i h 和r i c e n 钔是研究最早的，他们发现裂纹尖端处裂纹面有相互 嵌入现象，同时应力具有振荡奇异性，这在物理上是不合理的，属于数学上的一种变态 解，究其原因，是由于建立的裂纹模型是不合理的。本文的主要工作是在正交异性双材 料i 型、i i 型、i i i 型界面裂纹应力场研究的基础上对正交异性双材料板弯曲问题进行 的研究。通过构造合适的挠度函数，求解出界面裂纹尖端的弯矩、扭矩、应力和应变的 计算公式。 1 2 复合材料板弯曲问题研究进展概述 首先是应用经典的k i r c h h o f f 平板理论研究弯曲断裂问题中，1 9 6 1 年，w i l l i a m s 将 位移按满足裂纹条件的特征函数进行展开，根据广义位移w 与广义内力之间的关系式， 获得了平板弯曲时裂纹尖端应力场的一般表达式嬲： 等= 孙。s 争等c o s 秒十s i n 争蒜s i n 妒) 、 o l 1 l 一昙z 【1 + c o s 2 缈 b 2 + 【s i n2 伊】研2 + d ( 厂j ) 一 1 j 双材料弯曲断裂问题中的复变函数方法 鲁= 井c o s 争等c o s 秒小i n 扣掣) ) 2 ， 一j 8 z 【1 - c o s 2 ( p 】噬2 1 一【s i n 2 伊】研2 ) + 。( r ；) 鲁2 讣s i n 争鲁s i n 渺甲3 一品c o s 矽m3 ， + 昙z 【s i n 2 缈】噬孙一 c o s 2 妒】6 f 2 + d ( r i ) 1 9 6 2 年，s i h g c 和p a r i s e c n6 l ，用复变函数的方法推导了无限大板的应力强度因 子。定义了应力强度因子k ，其中k ，为i 型、k ，为l l 型弯曲应力强度因子： k = 蟛一，x , - 一3 压了( 3 + 万v ) g h b i ，“= 一3 , f 2 可( 3 + 万v ) g h b 2 ( 1 4 ) 采用k i r c h h o f f 平板理论研究复合材料弯曲断裂问题是有严重缺陷的，它的剪应力 ，是具有，2 阶的奇异性，与应力q ，的奇异性是，2 阶不同，并且与更精 确的三维特征分析比较的结果是不符合的。其原囚是由于经典板理论对裂纹面边界条件 只是近似满足的，因而反映的裂纹尖端的奇异性质是不准确的。 为了克服经典的k i r c h h o f f 平板理论的缺陷，开始用较精确的r e i s s n e r 理论进行复合 材料平板弯曲断裂分析，通常采用的方法是积分变换方法。1 9 6 0 年k n o w l e s 和w a n g 用 积分变换方法对无限大板进行了研究7 。，求解了裂纹尖端的奇异性，所得的剪应力f 。， f 蝠和吒，仃，都是，2 阶。但并没有对整个应力场进行分析，只给出了裂纹尖端应 力场级数展开的首项。到1 9 7 9 年，m u s h y 等人发表了r e i s s n e r 型板在对称i 型情况下 裂纹尖端位移场的展开式口羽。1 9 8 0 年，柳春图为了寻求r e i s s n e r 型板裂纹尖端位移场的 全场解n9 i ，给出了i 型、i i 型、i i i 型的r e i s s n e r 型板弯曲断裂问题渐近展开式的一般求 解方法和前几项函数以及系位的具体表达式，而后，进一步获得了适用于任意阶的全场 解表达式，进一步阐明了r e i s s n e r 型板裂纹尖端附近的力学性质，它类似于平面弯曲问 题w i l l i a m s 展开式的作用，为平板弯曲断裂分析提供了较好的力学基础。 1 9 8 1 年s i h g c 和c h e n e p 对各向同性双材料板界面裂纹弯曲问题进行了研究乜引， 在c r a c k si nc o m p o s i t em a t e r i a l s 一文中，构造了一个特殊的挠度函数，用级数的渐进展 丌法求解出了裂纹尖端弯矩、扭矩。 2 第1 章绪论 i 惯 下面介绍下国内对板弯曲断裂问题的研究及取得的成果。1 9 8 1 年清华大学余寿文、 杨卫瞳门用渐近分析的方法，研究了在横向剪切变形下的含裂纹平板的应力状态和应力强 度因子的渐近解。 、 钟万勰，姚伟安幽嗡1 等建立了平面弹性与k i r c h h o f f 板弯曲的相似性理论，并给出了 板弯曲经典理论的另一套基本方程和求解方法，然后进入哈密顿体系用直接法研究了板 的弯曲问题，应用分离变量、本征函数展开方法给出了条形板问题的解析解。从而突破 了k i r c h h o f f 板弯曲经典求解方法的限制，扩大了解析求解的范围。 胡海昌一1 在对弹性薄板弯曲理论的研究中，用非解析开拓法导出了任意给定区域 内双调和函数的一个边界积分表示式，这个表示式有与众不同的特点，其中除有两个边 界函数外另加四个常数，而且这个边界积分表示式是充要的，即上述四个常数和两个函 数，与双调和函数之间存在一一对应的关系。因而根据这个表示式建立的间接变量边界 积分方程也是充要的，即与原微分方程边值问题的提法等价。根据双调和函数边界积分 的表示可建立其它的充要的边界积分方程。 悬臂矩形板的弯曲问题是平板理论中的一个难题。多年来，对于这种板只获得了能 量法与数值解法的近似解。1 9 7 9 年以来清华大学张福范教授等用迭加法陆续得到了悬臂 矩形板在一些集中荷载和均布荷载作用下的解析解。对于在均布荷载作用下的悬臂矩形 薄板，林小松，袁文伯雎们研究的矩形板的弯曲问题是在与固端相对的悬边中点加一支点 后，用双向三角级数法获得了其挠度函数的解析解，并将所得结果与迭加法所得的结果 进行了比较。通过比较表明，这两种计算方法所得的结果符合得十分好，因而相互印证 了它们的j 下确性。 杨维阳，李俊林等在复合材料断裂复变方法1 一书中，研究了正交异性复合材 料纯弯、纯扭、弯扭裂纹尖端应力场。利用复变函数方法，通过求解偏微分方程的边值 问题，推出了裂纹尖端附近的弯矩、扭矩、应力和应变的计算公式。弯曲载荷下正交异 性复合材料单层板的研究已经获得了许多结果。 1 3 弯曲问题研究的主要数学方法 就目前来说，解弯曲问题的常用的有边界元法和积分变换方法。边界元法又称为边 界积分方程一边界元法，是继有限元法之后发展起来的一种较精确有效的数值分析方法。 它将定义在边界上的边界积分方程化为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数 方程组然后进行求解。 3 ：算可得到很好的精度。至今已经有许多关于用直接边界元法求解板弯曲f w j 题的文献。堋3 。 ；目前用问接边界元法解薄板弯曲问题的文献还不是很多。j a s w o n 和m a t t l 。珀1 最早提出了 均部载荷作用下同支和简支j f 板的问接边界元法。a l t i e r o ，s i k a r s h i e ，w u 和t o t t e n h a m n 旷4 2 1 提出了一种方法，将原问题的区域嵌入到大圆平板中，这样原问题就可以转化为用大圆 板中一些虚设的力和力矩的分布强度束确定，从而产生与原问题相应的边界值。但这种 方法并不可取。徐汉忠3 3 提出了将求解域嵌入到无限大平板中，用间接一附设边界元法 研究了解薄板弯曲的问题，采用的附设边界和原问题的边界单元互相平行、长度相等， 但单元之间有可能是断开的，这种方法具有较高的精度。 用积分变换方法来研究弯曲问题也是比较常用的一种方法h 删。兰州大学王凯、汤 任基用积分变换方法研究了经典板的断裂问题h 们。汤任基，蒋柱中研究了有限圆板上的 径向裂纹，使用奇异积分方程数值解和g a u s s c h e b y s h e v 求积公式做了数值计算。得出 了应力强度因子随裂纹几何和作用力变化的关系。现在有很多学者将积分变换与边界元 方法相结合来研究复合材料断裂问题心7 删。此外，国内外有许多学者也使用别的新一些 的方法来研究弯曲断裂问题，如无网格法等。 4 第2 章正交异性双材料j 卜无限界面裂纹尖端应力场 第2 章正交异性双材料半无限界面裂纹尖端应力场 2 。1 课题提出的背景及意义 复变函数方法是用于求解复合材料断裂问题的非常有效的数学方法之一。本章采用 建立在z ，平面上的复合材料断裂复变方法，构造特殊的挠度函数，将控制方程化为广义 重调和方程，基于边界条件得到了两个八元齐次线性方程组，推出了含两个实奇异指数 的应力函数，在特征方程组的判别式都小于零时得到了半无限界面裂纹尖端应力场计算 公式。结果表明，界面裂纹尖端应力没有振荡奇异性。 2 2 复变函数 2 2 1 预备知识 复变函数的定义，形式上和数学分析中单元函数的定义一样，不过自变量和函数都 取复数值( 当然也包括取实数值) 。 以复数z 为自变量的函数w = u + i v 称为复变函数，记作 ? 其中 w = 厂( z ) ( 2 1 ) u ( x ，y ) = r e w ，v ( x ，y ) = i m w w = r e w + f l m w 即任何复变函数w = 厂( z ) 都确定了两个二元实变函数u ( x ，j ，) 和v ( x ，y ) 。 设函数w = 厂( z ) 在包含z o 的区域d 内有定义，若极限 l i m 坐：l i m f ( z o + a z ) - f ( z o ) a z - - oa z a z - - o z 存在，则称w = 厂( z ) 在z o 处可导，记作 m = 筑 ：l i m f ( z o + a z ) - f ( z o ) r o a z ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 若w = ( z ) 在区域d 内处处可导，则称w = 厂( z ) 在d 内可导。导函数 复变函数的积分公式： w ( z ) = r e w 7 ( z ) + i l m w ( z ) 少( z ) 出= 卜出一v d y + i v d x u d y 5 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 一一g 口) 2】 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 一 第2 章正交异性双材料j 仁无限界面裂纹尖端应力场 二_ 二二二_ 二二二二一 丢i m c ( z ，- a ) l z a y r e 昏叫 5 h m c 嘉， 亿 2 3 偏微分方程组边值问题 如图2 1 所示石和少为直角坐标，和口为从裂纹边缘起度量的极坐标。x 0 1 ，：0 为界面裂纹，x 0 ，y = 0 为材料粘接界面y 0 部分为第一种正交异性复合材料，其材料 工程常数为e e 1 2 v 1 ，。：和( g 。：) 。，而y 0 为第二种正交异性复合材料，其材料工 程常数为e 2 l ，e 2 2 ，v 2 l ，1 ，2 2 和( g 1 2 ) 2 。 由弹性力学【5 川可知，控制方程为 ( ，窘+ 2 【( 蚴j + 2 ( 呲】翥也：) ，窘= 。( 川，2 ) ( 2 1 4 ) 其边界条件 2 0 1 为： ( m o ) l = 0( ) l = 0 矽= 万 ( ) 2 = 0( ) 2 = 0 0 = 一万 ( 鸭) ，= ( m o ) ：( ) 。= ( ) 20 = 0( 2 1 5 ) 嵋= ( ，1d o w ) l - ( ，1 秽0 w ) 2 秒= o 其中( j = 1 ，2 ) 是挠度函数，m o ，是极坐标下的弯矩，剪切力。 z h 图2 1 正交异性双材料界面裂纹模型 f i 9 2 it h em o d e lo fa no r t h o t r o p i cb i m a t e r i a li n t e r f a c e 7， 堡阳盟枷万 鲁等一i户秒 j 萨一觏噼 q 2 一，丝勿；旦劬塑协杂蚴游 铷地 、，0 蚴 吼 ( 吼誓， ( 仃，) ( o y ) ( x y ) j ( m ，) ( 鸭) ， 忸。0 j z ( 异1 ) j z ( 日z l 钇c 蚴，茜 嘣蚴，茜 材料弯曲断裂问题中的复变函数方法 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 其中m ，鸭是弯矩分量；是扭矩分量；q 。，b ：，d a ：是抗弯刚度系数；抗扭刚度 系数d 6 。的关系式如下： ( 阶杀，( d 2 ：沪亲m ：蚴砘( 叭他l = 誓， ( 舅。) = ，( 助，= 去，( 蚴功( 劲，砘( 啪川讪鸣，( 2 2 。) 2 4 半无限弯曲界面裂纹应力函数 ( 2 1 4 ) 式的特征方程为： ( d 2 2 ) j 4 + 2 【( 日2 ) + 2 ( d 矗) 】s 2 + ( 口1 ) ，= o 划腻铲 訾卜器， ( = 1 ，2 ) ( j = 1 ，2 ) 本文仅讨论：a o ，( = l ，2 ，k = l ，2 ) 2 咖晤一警 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 丝砉、 z2一 i j 卜吖勺 ，l 堕妒 z f f f 、， 勺 ，l 盟矿生矿 ” 乃 易 攻 反 一 生酽盟酽 盟驴生驴 2 2 阢 历 一 一 生掰生掰 历 历 南 挚 、2 ( 一 l 一 晤8 第2 章止交异性双材料、 无限界面裂纹尖端应力场 由方程组( 2 1 4 ) ，选取含两个实奇异性指数的挠度函数为 l l - 一 ( 五+ 2 ) ( 五+ 1 ) 其中五( 尼= l ，2 ) 为两个实奇异指数 啄+ 三与, 1 1 + 2 - - 生 + 2 c l k 七 = x + s j ky = r ( c o so + s j ks i no ) = x + - i j k y = r ( c o s o + 可j , s i no ) ( = l ，2 ；k = l ，2 ) 叫 呶 ( _ ，= 1 ，2 ) ( 2 2 5 ) i o w i = 荟2p + l ( c o s 0 + s t n d ”2 者( 等+ 争+ 1 ( c o s o + 弓s m 广2 寿( 警一鲁) + 1 ( c o s 0 + s j k s i n 0 广2 南c 等+ 鲁，一c e o s o + s - ) , s 们严2 六c 等一鲁) ( 2 2 6 ) 】 】 ( 2 2 7 a ) 等= 善2p ( c 。s 口+ s 枷广2 ( 等+ 争+ c 。s 口+ 瓢s ；n 缈+ 2 ( 等一争】。2 b ) + r 如( c o s 0 + s 啪严2 ( 等+ 鲁) + e o s o + s 砌严2 ( 等一鲁) 】 一+ 2 + 丑+ 1 + 2 4 - 见+ 1 一+ 2 - l 一 见+ 1 ( 。o s p + 瓢s i i l 卵“( _ s i n 秒+ 瓢o o s 咯一鲁) ( c o s 口+ s i n o ) 五“( 一s i n 占+ 甄c o s 呜+ 鲁) ( o o s 秒+ s i n o ) 五“( - 血臼+ 勘。o s 咯一去) 】 ( 2 2 7 c ) = 磐”哪s ；n 叭痂哪c o s 班并( c o m 弘n 啪( 等目b j k 小枇( 刚+ 一s j k s i n 叭- s i n o + 勘c o s 班并( 删+ n 矿2 】( 等一争 ( 2 2 7 d ) 巾 ( 硎w 也( - s i n o + 2 一筹( c 姗删n 啪( 詈+ 争 + 一+ 2 ( c o s 口+ y ，s i n 0 ) 五( c 2一石ra2石+2(coso+勘sind也+2】(等一生2i-sino+弓k o s o ) ) 竹印2 ( c o s 口+ ， c 2 一j 而 勘s i nd ”2 】( 等一二生) 9 j 锦 华蒜 。l 一2 ：纠 窆 二复 铊 一 磕一竿 ，。一 私瓢 + 砂矿1 ( c o s 0 + s 啪卢2 ( 等+ 鲁) + 砂分1 ( c o s o + l , s 彻严2 ( 等一鲁) 】 a 2 w ， ，一 铲a e 2 一以+ 凇臼+ 啄s i n 印( _ s i n 臼+ 啄c o s 印譬+ 鲁) ( 五十獭曰+ 瓢s i n 矽+ 1 ( _ s i n 9 + 取c o s 印孽一争 私 + 獭口+ 啄s i n 也+ 2 ( _ s i n 口+ 嘞。o s 印( 警+ 卺) 轳他+ 纠如臼+ 勘s i n 国五+ 2 ( - 如口+ 瓦0 0 s 锹警一鲁) 】 1 0 ( 2 2 7 h ) 第2 章正交异性双材料半无限界面裂纹尖端应力场 袅= 驴2 + l ( + 2 ) ( c o s o + n 叭“肌铲s 班筹( c o s o + s 。ks i n 晰( 等+ 争 + 一【( 矗+ 2 x c o s 口+ 瓢s i n d 丑( - s i n 0 + 弓kc 。s d 2 一妾署( c 。s 口+ 勘s i n d 和2 】( 等一等) 眦咧c o s 口+ 删n 叭- s i n 0 + c o s 班焉( c o s 毗一n 旷2 】e + 争 眦+ 2 础塌s i n 叭- s i n o + 勘c o s 班筹( c o s 目+ n 旷2 】( 争务 ( 2 2 7 i ) 显然_ 满足方程( 2 1 4 ) 。 将式( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 代入式( 2 1 6 ) ，并将他们代入边界条件( 2 1 5 ) ，并考虑 五， 与 ，如线性无关，得到关于( q ，口l ：b l 。，6 l ：a 2 ，口：6 2 。，6 2 ：) 及( 钆e l ：，d 1 ，d 忆c 2 。c 尥d ：。以：) 的八阶齐次线性方 程组。 ( d 1 2 ) 1 p ( 口l ic o s 丑7 + 6 l ls i n a z + a 1 2c o s a 1 7 1 + 6 1 2s i n 万) + ，如( q lc o s 如万+ d l ls i n 如万+ c 1 2c o s 2 2 7 1 + 碣2s i n 五万) 】 + ( d 2 2 ) 1 厂 a 1 1 ( 口；一届2 ) c o s a 万一2 a i 届s i n 丑z 】+ r 4 b l l ( 口? 一所) s i n z + 2 a l 屈c o s 4 7 】 + r 4 a 1 2 【( 口；一群) c o s & x + 2 a l 届s i n 丑z 】+ r 包2 ( 口? 一所) s i n 丑z 一2 a i 届c o s 伽】 r 如q l 【( 口；一所) c o s 伽一2 a l 局s i n 五万】+ ，如d l l ( a ? 一所) s i n 五z + 2 a l 届c o s 五万】 + ，如c 1 2 【( 口i z 一所) c o s 枷+ 2 0 l f l ls i n 五万 + ，如d 1 2 【( 彳一所) s i n 五z 一2 a l 届c o s 五万】) = 0 ( 2 2 8 a ) ( q 2 ) 2r ( 呸1c o s a 万一6 2 ls i n a z + a = c o s 五万一如2s i n 4 x ) 啊如( q lc o s 恐z 一吐ls i n 4 x + c o s 4 x 一2s i n 卸r ) + ( 砬：) ： 一a 2 1 【( 霹一2 2 ) c o s 丑万+ 2 呸屈s i n 丑x + r 五5 2 ， 一厉) s i n 万+ 2 呸履c o s 丑万】 + 一呸2 ( 一鹰) c o s ? q z - 2 f 1 2s i n y q x - r 6 2 2 ( 一废) s i l l 丑万+ 2 厦c o s 丑万】 r 如q l 【( 一历) c o s 4 x + 2 f l = s i n , h 万 + r 屯吐l 【 = 0 ( 2 2 9 a ) ( q 2 ) 2 ( 呸lc o s 丑万一如1s i n l n + a z zc o s 丑z r 一吆s i n a , 力 + ( q ：) ： 哆，【( 霹一鹰) c o s 丑万+ 2 呸屈s i n a 万】+ 6 2 。【 一鹰) s i i l 丑万+ 2 呸属c o s a 明 + o - 2 ：【( 一历) c o s 丑万一2 0 乞f 1 2s i n ；q n - b 2 ：e ( 4 一孱) s i n 丑刀+ 2 呸屈c o s 丑硼) = o ( 2 2 9 b ) 弋q 2 + 2 玩) 1 融1 ( qe o s 4 x 一局s i n a , 力+ 岛l 鸲m s & r + a is i l l 丑力 1 2 ( qc o s 丑万+ 届s i n 4 万) 一岛2 ( qs i n , , n 一届c o s 4 硼 “砬) 。 q ，【( 彳一溉屏) c o s 丑万一( 3 彳届一霹) s i l l 丑硼+ 包。【( 3 彳属一群) c 0 s 丑万+ ( 留一溉屏) s i n 五硼 1 ： ( 彳一3 q 屏) c o s 以万+ ( 3 彳届一群) s i l l 五明+ 包：【( 3 彳局一屏) c o s 五万一( 彳一3 q 群) s m 五硼) = o ( 2 2 9 c ) - q 2 + 2 玩) 2 魄l ( 呸c o s 五万+ 屋s i n 五力+ 岛1 ( 属0 0 s 丑刀一s i n 2 ，n ) 嘞心c o s 却r 一屈s i n 却r ) + k ( a ss i n a x + 屈c o s 五硼 斗 砬) ： 1 呸。峨一3 呸鹰) c 0 s 丑万+ ( 遂愿一虏) s m 丑硼+ 如，【( 3 屋一定) s 丑万一( 一3 呸鹰) s i n 矗明 嘞【( 霹一3 呸鹰) c o s 五万一( 3 压一鹰) s i n 丑卅+ 暇屋一定) c o s 4 万+ ( 霹一3 呸霹) s i n 五硼) = o ( 2 2 9 d ) 一( d 1 2 ) 。( q 。+ q 2 ) 一( b ：) 。 q i ( 彳一所) + 2 q 层岛。+ ( 彳一层2 ) q ：- 2 a , , e , b , ：】 + ( q 2 ) 2 ( 吻l + a 2 2 ) + ( d 2 2 ) 2 a 2 i ( 霹一历) + ( 嵋一历) a 2 2 + 2 殷6 2 l 一2 v t z f l 2 b = 2 】_ 0 ( 2 2 9 e ) _ q 2 + 2 玩) ，( q q l 一喁q 2 + 届包。+ 属6 1 2 ) 峻) 【( 彳一3 q 群) q ，+ ( 3 彳层一群) 包，- ( 4 3 q 群) q ：+ ( 3 彳属一群) 6 1 ：】 + ( q 2 + 2 玩) 2 ( 呸哆l 一呸锡+ 屋l 如l 十尾吆) ( 2 2 9 0 砬：) ：1 ( 4 3 呸孱坡，+ ( 3 屈一孱) 6 2 ，一( 霹一3 呸孱) 屹+ ( 3 霹屈一孱) 包：】= o a i l + a 1 2 0 2 l a 2 2 = 0 ( 2 2 9 9 ) q q l q q 2 一呸呸1 + 锡呸2 + 局6 1 2 + 屈包l + 局岛2 一屈包。一屈= o ( 2 2 9 h ) 1 3 问题中的复变函数方法 一2s i n 五万) 】+ 碣l ( 口1 2 一层2 ) s i n 五z + 2 0 r l 属c o s 4 万 + c 1 2 【( 口? 一所) c o s 4 x + 2 a 1 届s i n a 2 z + d 1 2 ( 口f ! 一所) s i n 2 z z 一2 a i 局e o s 4 万 = 0 ( 2 3 0 a ) ( q 2 ) 2 ( 乞lc o s 4 万一盔ls i n a z z + c 2 zc o s a z z 一如s i n a 2 z ) + ( 砬2 ) 2 q l 【( 一鹰) c o s 五z + 2 a f l zs i n 2 z z + d 2 l 一( 一厉) s i n 五z + 2 c f l ze o s 4 万 吃【( 一历) c o s 五万一2 呸及s i l l 五硼一吐2 ( 一羼) s i n 五万+ 2 呸屈c o s 4 7 r = 0 ( 2 3 0 b ) _ ( q 2 + 2 玩) 1 k l 心c o s 五万一局s i n 4 万) + 磷l c o s 4 z + a is i l l 恐力 1 2 c o s 五万+ 局s i n 五力一碣2 如五万一局c o s 4 硼 咙) q 。【( 留一3 q 屏) c o s 五万一( 3 彳属- r ) s i n 4 万 + 4 懈属一霹) s 五万+ ( 彳一3 q 屏) s i n 4 n - g ：瞬一溉屏) c 0 s 砂+ ( 骈属一r ) s i n 4 万l + 4 ： ( 珥局一屏) o o s 五万一旧一她屏) s i n 4 x = 0 ( 2 3 0 c ) q 2 + 2 d 6 6 ) 2 眨l ( 呸c o s 4 z + 屈s m 4 万) + 盔l ( 屋c o s 五万一呸s i n 4 x ) 嘞( 呸c o s 4 z 一屈s i n 4 a ) + 如( a es i n 4 z r + 履c o s 4 训 “砬) 2 呸。【( 一3 呸孱) c o s 五万+ ( 3 厦- , a ： ) s i n 4 e r + 4 ， ( 3 屋一厦) c o s 五万一( 霹- 3 f l z 2 ) s i n 丑棚一吃 ( 逗一3 0 6