（应用数学专业论文）几类生物模型的周期解存在性.pdf

硕十学位论文 摘要 本文先通过分析几类具体的功能性反应函数，抽象出单调功能性反应函数夕( u ) 的 分析性质： 。，、 ( 1 ) 夕( o ) = o ；( 2 ) 掣 o ，札 o ，+ 。) ； ( 3 ) l i m9 ( u ) = 6 0 ，其中6 为某个正常数 然后结合生态系统中的扩散作用、比率依赖和周期收获作用，分别建立了两类不同 的生物模型最后我们利用非线性泛函分析方法，分别讨论了这两类生物模型的正 周期解的存在性 在第二章，我们将一般化一类带扩散作用和具体功能性反应函数的捕食者 食饵模型，建立如下一类更一般的基于扩散和单调功能性反应函数的捕食者 食饵模型： f 掣硇枷胁】- c 9 ( 器煳惕k 咱】， 掣硇 n 2 圳捌卅喇咱】 【掣一巅舌，陋m 咖c 警剥， ， 并通过直接应用m a j w h i n 延拓定理证明这一模型至少存在一个正周期解 在第三章，我们将讨论一类目前还很少有人讨论的生物模型一类基于扩 散、半比率依赖和带周期捕获的捕食者食饵模型： f 鲁硇k 岫州纠- c 1 绯m 亡，鬻) + d 1 k ( 亡_ 丁1 ) 咱】_ 刖 鲁一2 m 旷) 以圳邶z b ( 卜您) 川z 】， 【老训卜卅，鹅 ， 并且得到了这一模型至少存在两个正周期解的充分条件 目前，讨论抽象的中立型时滞微分方程组的周期解的存在性的文献还比较少， 因此在第四章，我们应用锥理论、非紧性测度和严格集压缩映像不动点理论证明了 一类中立型时滞微分方程组正周期解的存在性我们的结论不再需要有关文献中 对c ( ) ( 兄， o ，+ ) ) ，7 - ( 亡) c 2 ( r ， o ，+ o 。) ) 和丁币) 咖【0 ，+ 毗 ( 3 )l i m 夕( 让) = 6 o ，w h e r e6i sap o s i t i v en u m b e r t h e nc o m b i n i n gw i t ht h ed i 肌s i o no fe c 争s y s t e m ，r a t i 伊d e p e n d e n c ea n dp e r i o d i c h a r v e s t ，w ee s t a b l i s ht w dk i n d so fb i o l o g i c 出m o d e l s a t1 a s tw eu s en o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i sm e t h o d st or e s p e c t i v e l yp r o v et h ee ) ( i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n s o f 七h g m o d e 吐s ：“ i nc h a p t e rt 、o ，w eg e n e r a l i z ea t y p eo fp r e d a t o r p r e ym o d e lw i t h 出f f u s i o na n d s p e c i 丘cf h n c t i o n a lr e s p o n s e a n dt h e n r es e tu pam o r eg e n e r a l i z e dp r e d a t o r p r e y m o d e lb a s i n go nd 沛l s f o na n dm o n o t o n i cf u n c t i o n a l r e s p o n s ea sf o l l o w ： f 掣硇h _ 6 1 州圳刊9 ( 器k 她胁咱】 掣三。二矶。_ 6 2 以卅喇b 咱】 【掣训，卜m 篆瑞， w ep r c i v et h ee 对s t e n c eo fa tl e a s to n ep e r i o d i cs o l u t i o nb yd i r e c ta p p l i c a t i o no ft h e m a w h i n st h e o r e m i nc h a p t e r 戗瞪e qw e 髑乇a b l i s hac l a s so fp r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hd i f f u s i o n ， s e m i r a t i 舻d e p e n d e n c ea n dp e r i o d i ch a r v e s ta sf 0 1 l o w ，w h i c hr a r e l yh a u sb e e nd i s - c u s s e d f 象硇【n 1 瑚胁】_ c 小m 加等) + d 1 阮( h 以) 】- 即) 象一z 呲) _ 6 z 以纠邶z 州卜见) 哪2 】， 【宏训卜m 端 a n dw eo b t a i nt h es u m c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt 、釉p e r i o d i c s o l u t i o n sf 0 rt h em o d e l i i i 硕+ 学位论文 a tp r e s e n t ，t h e r ea r ef e wl i t e r a t u r e sd i s c u s s i n gt h ep e r i o d i cs 0 1 u t i o nf o rt h e a b s t r a c tn e u t r a ld e l a yd i f k r e n t i a le q u a t i o n s s oi nc h a p t e rf o u r ，b yt h ec o n e t h e o r y t h em e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s sa n ds t r i c ts e tc o n t r a c t i o nm 印p i n g ，t h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rac l a _ s s0 fn e u t r 出d e l a yd i 肠r e n t j 出e q u a t j o l l s i sp r o i v e d h o w r e v e r ，r ed o n tn e e dt h ec o n d i t i o 璐： c ( 亡) ( 兄，【o ，+ ) ) ，7 ( 亡) c 2 ( 兄，【o ，+ ) ) a n d7 ( ) 1 ，w h i c ha r en e c e s s a r yi nt h er e l a t i v el i t e r a t u r e s k e yw b r d s ：p r e d a t o r - p r e ym o d e l ；t i m ed e l a yd i 如r e n t i a le q u a t i o n ；c o i n c i d e n c e t h e o r e m ；f i x e d - p o i n t ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；n e u t r a l l ；c o n e 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：毋从明日期a 呷年支月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保1 竽和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密匹 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：& 刚- 辟3 月多1 日 日期：2 彩产5 月弓1 日 硕十学位论文 1 1前言 第1 章绪论 动力学方法在物理学中的应用已是人们熟悉而常见的方法，这种方法是否适用 于研究生命现象，已早在1 0 0 多年前就有人开始作过这方面的尝试1 9 2 5 年，意大利 生物学家u m b e r t od a n c o n a 提出了著名的地中海鲨鱼问题，数学家v v 0 l t e r r a 成 功地应用动力学方法解决了这个问题从此，动力学方法在生物学中得到了广泛的 应用，同时在应用中，动力学理论也得到了丰富和发展为了更好地应用动力学原 理解决生物问题，在数学家和生物学家们共同努力下，诞生了生物数学这一研究领 域 自v 、b l t e r r a 以来，研究生物数学的工具主要建立在定性理论和稳定性理论框 架基础之上但在近1 0 年间，随着非线性分析方法，如拓扑度理论中的m a w h i n 叠合 度定理、h 6 r n 不动点定理、k - 集压缩算子的抽象连续定理在种群动力学模型中的广 泛应用，生物数学又取得了巨大进展，生态模型也逐渐丰富了起来我们知道许多 种群可以分成幼年和成年种群，因此出现了探讨两个生命阶段和三个生命阶段结 构模型另外，随着经济的发展，野生动物的整个生存环境被公路、铁路等分割成 许多斑块，形成生态斑块环境，野生动物可以在这些斑块间扩散，因此建立了扩散 模型来保护动物，让即将灭绝的种群迁移生存环境或为其提供避难场所同时，人 类研究生态系统也是为了更好地利用生态系统，因此，采取什么方式进行利用或捕 获也是生物数学中需要讨论的重要问题 生物模型的类型十分丰富，比如竞争、合作和捕食模型等但捕食模型，即捕 食者一食饵关系模型是自然界物种间相互作用的基本关系之一，诸多学者【1 4 】对这 一基本模型进行了细致讨论，并且得到了丰富的结果功能性反应是生态系统中某 些功能在数学模型中的量化，特别是捕食者食饱程度的量化，因此功能性反应在 捕食者一食饵系统模型中扮演着非常重要的角色功能性反应分为两类食饵依 赖型和捕食者依赖型在生物数学的发展历程中，引入食饵依赖型功能反应，特别 是h o l l i n g 型功能型反应是具有里程碑的意义引入功能性反应后，捕食者食饵 系统具有如下的一般形式： 厂塞叫圹酬巩 、小， i 弓兰= 后可妒( z ) 一d 9 ( ) 随后，越来越多的学者开始在此模型上讨论捕食者食饵系统，同时也有诸多学 一1 一 几类乍物模犁的刷期解存祚：件 者在上述模型中引入其他生态现象，如阶段结构、扩散、捕获等文献 5 】讨论了具 有两斑块环境的捕食者食饵l o t l 卧、b l t e r r a 系统： z 1 ( ) ( r 1 一忌1 2 1 ( 亡) 一q 1 可( 亡) ) + d ( z 2 ( 亡) 一z 1 ( 亡) ) ， z 1 ( 亡) ( ? 2 一尼2 2 2 ( 亡) 一q 2 ( 亡) ) 十d ( z 1 ) 一z 2 ( 亡) ) ， 秒( ) ( 一s 一6 可( 亡) + c l z l ( 亡) + c 2 2 2 ( ) ) ， 但此系统是一个自治系统由于四季更替等诸多自然凶素具有周期性规律，所以在 研究生态系统时，考虑系统的周期性更符合实际情况，于是研究生态系统模型的周 期解的存在性及稳定性成为热门课题文献 6 】讨论了具有阶段结构的两种群捕食 者食饵系统 且得到了唯一正平衡点存在、有界和一致持久性的充分条件文献 2 】讨论了如下 具有扩散作用的两种群非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 一2 一 一z 1 ( t z 2 ( t 、t，、l， l m m 0 z z 秒 ，il_j(1_i、 一一一一 一 一 一 一一 一一一 睫焉燕髋 、l ， ， ， ， l l 幽 沈 研 k ，i，f h川，=川o r 厂一 d d d + + 以 ” 一 ， y 可 沁 h 瓣 一 一 0 矧矧 以 弘 啪础 娴 一 一 n ) ) 一 j n 您 瓣 、，、， ，?、 护，护，弋 i i j 一亡 勋 奶 从 = | | = 、，、i， i “烈0 硕十学位论文 ，塞叫( 1 塞嘞妒( 考) 一匆 。- 6 ( t ) 坤一s 厂( 亡) z ( t 一丁( t ) ) m 秒( 亡一7 - ( ) ) + z ( t 一 ) z ( s 7 ( 亡) 删一揣， m ( ”+ z 【印 一d ( 亡) ) ， 获得了该模型正周期解全局存在性的证明但就我们所知，研究具有周期系数和基 于比率依赖、扩散作用的捕食者食饵系统的文章并不多，所以本文的第二章和 第三章将分别讨论一类基于比率和扩散作用的捕食者食饵模型 在第二章中，我们将首先总结出几类功能性反应函数的分析性质，然后在模型 中引入满足这些分析性质的抽象函数g ( u ) ，并以9 ( u ) 作为我们考虑的模型的功能性 反应函数，然后应用m a h w i n 延拓定理证明我们建立的一类基于扩散和带单调功能 性反应函数的捕食者食饵模型的正周期解的存在性 最近几年，讨论生物模型的多周期解的存在性的文献越来越多【1 0 - 15 1 文献f 1 0 】讨 论了如下具有冲击作用的捕食者食饵系统多周期解的存在性 fz o ) ： ，： 邢) ( ) _ 6 邢) 一端 绯) ( 蒜繁焉糌芒 文献 1 3 】讨论了一类带收获项的广义捕食者食饵系统： 侄 = z 1 = z 2 = z 3 夕( 亡，z 1 ( 亡) ) 一c 1 ( 亡) z 2 ( 一d 1 ( ) + 侥( 亡) p 2 ( z ( 一也( ) + 岛( 亡) 船( z 亡) 优( z 1 ( 亡一7 - ) ( 亡一7 - ) 亡) ) 一c 2 一0 2 2 ( 亡 一0 3 3 ( 亡 芒) z 3 z 2 ( 芒 z 3 ( 亡 ) 一九( 亡) ， “( 亡) ) 。 ) 船( z 1 ( 一 2 ( 亡 一九3 ( 亡 ) 一九1 ( 亡) ， 并获得了八个正周期解存在性的充分条件文献 1 5 】讨论了一类带收获的l o t k a - v b l t e r r a 竞争块系统： 璧篙裳茳蒜鬟篙然：端 k z ) ：绯) ( 郇) 一以咖以) 一) 她) 一徘) k ( s 一3 一 一z 1 ( 亡 ( 右+ s ) 一日( t ) ， 幽) ， d 0 垧 删 = = 、，、， ，iijli-， 几炎乍物模犁的州艄解存仵件 也获得了多个周期解存在的充分条件据我们所了解，很少有文献研究基于扩散和 周期捕获的捕食者食饵系统，于是在第三章，我们将建市一类基于扩散、半比 率依赖和带周期捕获的捕食者食饵系统，并证明这一系统至少存在两个正周 期解 泛函微分方程在物理学、生物学、控制理论中应用十分广泛，而对其周期解的 存在性研究就更具有现实意义在生物数学中，描述生态现象的一类重要的泛函微 分方程便是中立型泛函微分方程近年来，在研究单种群生态系统中，中立型泛函 微风方程更是强有力的工具文献 1 6 】讨论了如下具有反馈控制的单种群生态系统 ，7 ( 亡) = r ( 亡) ( 亡) ( 1 一尘丛三二二尘上 毒掣一p ) 乱( 亡一j ( 亡) ) ) ， 【u 。( 亡) = 一n ( 亡) u ( 芒) + 6 ( ) ( 亡一仃( 亡) ) ， 并获得了正周期解存在的充分条件而文献 17 】讨论了一类更一般的具有冲击和反 馈控制的广义时滞单种群系统： iz 。( 亡) = z ( 古) f ( 亡，z ( 亡) ，z ( 亡一n ( 亡) ) ，z ( 亡一 ) ) ，可( 亡一6 ( 亡) ) ) + ( 亡) ， l ( t ) = 一q ( 亡) 秒( 亡) + p ( 亡) g ( z ( 亡一6 ( 亡) ) ) ， 也获得了正周期解存在的充分条件但是，讨论中立型时滞微分方程组周期解存在 性的文献还比较少，因此，在第四章，我们将讨论一类中立型时滞微分方程组正周 期解的存在性 1 2预备知识 为了便于下文证明周期解的存在性，我们在此引入相关定义及引理 设x 、z 是赋范向量空间，l ：d d m lcx _ z 为线性映射，：x z 为连 续映射如果以m k e r l = c d 出m j m l ol s 可表示为有限集合的并：s = u & ，且每个最的直径d ( & ) 6 ， li 仁1 j 则q e ( s ) 叫做s 的非紧性测度显然有o q e ( s ) o 如果t ：只，r 一尸是严格集压缩映像并且满足下列条件之一： ( 1 ) t z 葚z ，v z p ，l i z l i = r 和t z z ，v z p ，| | z i l = r ； ( 2 ) t z z ，v z 只i i z i l = r 和7 _ 菇z ，v z 尸 i | z | i = r ； 则t 在只r 中至少存在一个不动点 引理1 2 4 设厂：r r 为u 周期函数，且其导函数存在，则对任意亡1 、亡2 【o ，u 】和 后、亡r ，有 m 埘m ) + 广) l 幽 和 m 纠m ) 一广i ，( s ) | d s 引理1 2 5 对任意的z ( o ，1 ) ，不等式f i 1 一z o 恒成立 为了方便后三章的讨论，对于以u 为周期的函数妒( 亡) ，我们采用下面的记号： = 三z u 妒( 亡) 班，妒u = 嚣筠妒( 芒) 和= 。哿岛妒( n 一6 一 硕十学位论文 第2 章一类基于扩散和单调功能反应函数的 捕食者食饵模型的周期解存在性 本章的主要内容是应用m a h w i n 延拓定理证明一类基于扩散和单调功能性反应 函数的捕食者食饵模型周期解的存在性 2 1引言 上世纪2 0 年代，美国生态学家l o t l 【a 在研究化学反应和意人利数学家v 、b l t e r r a 在 研究鱼类竞争时分别提出了现在已经成为生物数学研究中经典模型之一的l o t k a v b l t e r r a 模型： j ，筹刮。一蚺 【警刮“+ 吼 此模型是基于_ 两种群的捕食者食饵关系建立的其假设在所讨论的生态环境 中只有食饵和捕食者两种群且除了捕食者猎取食饵种群外，每个种群对自身的发 展不具制约作用，在此模型中，z ( t ) 和可( 亡) 分别表示食饵和捕食者在亡时刻的种群 密度，n 0 表示食饵种群的内禀增长率，d 0 表示捕食者种群的死亡率，6 0 表 示单位时间内捕食者种群对食饵种群的捕获率，c 0 表示捕食者捕获的食饵向捕 食者种群的转化誊虽然此模型可以解释一些生态现象，但是在建模时忽略了种群 内部的竞争机制，即所谓的密度制约作用 于是生物学家和数学家们引入如下l o t k a ，v o l t e r r a 模型描述两种群捕食者 食饵系统模型i f 象= z ( 。一k 一矾 【象刮一d + 凹吲) 尽管上述修正后的模型应用十分广泛，但却还明显存在不合理之处：当食饵数量 越大，被每个捕食者在单位时间内吃掉的就越多，但是捕食者捕食数量与其吃饱 与否有关因此，如果忽略捕食者的消化饱和囚素，那么将与现实情况不完全符合 为了让建立的模型能够很好地符合实际情况，需要在上述模型中引入一个包含饱 和因素的函数1 9 6 3 年，h 0 1 l i n g 在实验的基础上，对著名的l o t k a ，、，o l t e r r a 模型进行 改进，对不同类型的物种提出了不同的功能性反应函数在文献中最常见的食饵 依赖型功能性反应函数有h o l l i n gi ，h o l l i n gi i 和h o l l i n gi i i 型，它们的解析彤式如 下： 一7 一 几类乍物校犁的川期解存祚件 h o l l i n gi 型功能性反应函数： 夕c z ，= o ，乱f 0 ，+ ) ， ( 3 ) l i m9 ( 札) = 6 o ，其中6 为某个常数 称满足此条件的函数夕( 乱) 是单调函数，此条件为( m ) 条件 根据2 1 节的说明，斑块现象对生物种群的影响不容忽视，因此，本章结合功能 性反应函数9 ( 让) 满足单调条件( m ) 、捕食者密度增长率受食饵种群密度制约和食饵 种群生存空间的斑块化，讨论一类目前很少有人讨论的一类生物模型带扩散 作用和基于比率依赖的功能性反应函数的捕食者食饵系统： 2 z 1 = z 2 = z 3 0 1 ( 亡) 一6 1 ( 亡 0 2 ( 亡) 一6 2 ( 亡 卜3 ( 卅d 删】_ c 9 ( 鬻) 酬惕【酬咱】 z 2 ( 亡) 】+ d 2 ( 古) p 1 ( 亡) 一z 2 ( 亡) 】， ( 2 1 ) 咖c 案瑞， 其中，锄( i = l ，2 ) 表示第i 斑块的食饵种群在亡时刻的种群密度，z 3 表示在第一斑 块中捕食者种群在时刻的种群密度 本章的主要内容是利用m a w h i n 延拓定理讨论系统( 2 1 ) 在当功能性反应函数夕( 饥) 满足( m ) 条件时，至少存在一个正周期解 2 3正周期解的存在性 不失一般性和为了本章后文讨论方便，假设系统( 2 1 ) 满足： ( 风) n i ( 亡) ( i = 1 ，2 ，3 ) ，6 t ( t ) ( t = 1 ，2 ) ，d t ( t ) = 1 ，2 ) ，c ( t ) ，d ( ) ，下( 亡) 都是 u 周期的连续非负函数： ( 凰) 功能性反应函数9 ( 让) 满足如下的( m ) 条件： ( 1 ) 夕( o ) = o ， ( 2 ) 掣 o ，牡【0 7 + ) ， ( 3 ) l i m9 ( 乱) = 6 o ，其中6 为某一正常数 为了讨论的方便，我们令 一缸器， 0 一1 0 一 幻一 力一幻一 (一亡(一亡(一亡州百划百蚓百 ，i-i(1i【 硕十学位论文 取 则 嘶) = 掣， m = s u p 允( 乱) o “( o ，+ o o ) 定理2 3 1 假定系统( 2 1 ) 满足皿一风： ( 凰) 啦( 亡) 现( 亡) ，i = 1 ，2 ； ( 凰) 鲁 0 ； 那么系统( 2 1 ) 至少存在一个正u 周期解 证明： 令， 戤( 亡) = e u t ( 扪，i = 1 ，2 ，3 ， 则系统( 2 1 ) 变换为。 显然，如果系统( 2 2 ) 有一个周期解( 让：，让；，仳；) r ，那么系统( 2 1 ) 就有一个u 周期 解( z i ，z ；，z ；) t = ( e 昕，e 瓠，e u ；) t 为了讨论的方便，定义 加) _ n 1 ( 旷喇】_ 6 m 矽m h 9 ( 筹) 筹仙篇， 肌) 却2 一蹦纠_ 6 2 严+ d 2 ( t ) 筹， p t 1 ( 一下( t ) ) ，3 ( 亡) = 一n 3 ( ) + d ( 亡) 9 ( 赢) 为了应用引理1 2 1 ，我们定义 x = y = 和 己：d 册儿cx _ y l ( 乱1 ( 亡) ，u 2 ( 亡) ，u 3 ( 亡) ) t = ( 乱i ( 亡) ，u ：( ) ，扎：( ) ) t c ( 兄，舻) 及 n ：x _ y 陬- d 1 】- 6 小矽t 刊夕( 筹) 筹+ d 1 筹 呦) 一以纠岫产+ 蹦亡) 筹 一0 3 ( ) + d ( 亡) g ( 再定义两个投影算子如下： e t l l ( t 一 ( 亡) ) e “3 ( 一r ( t ) ) p 乱= 三z u 钆c ，出，u x ， q u = 二 ( 亡) 班，秒y u ，o 则根据上述定义，系统( 2 2 ) 可用算子方程l u = u 表示，且k e r l = r 3 ，i m 己= z y ：眉z ( ) 出= o ) 是y 的闭子空间，d i mk e r l = 3 = c d d i mi m l ，p 、q 是 两连续投影算子并且满足 i m p = k e 7 l k e r q = i m l = i m ( ，一q ) 因此，l 是一个指标为零的f r e 砒o f m 映射，l 的广义逆为 郧：i m l _ k e r pnd o 仇l 郧= 小s ) d 5 一篇序s 出 1 2 一 r=川叫列 们 化 榔 -。l 硕十学位论文 根据上述定义，有 q 钆= 和 ( ，一q ) 珏= 卜( s ) 一d 1 ( s ) 】“( s ) 一_ c ( 咖( 筹) 筹仙( s ) 篇) d s 似沪喇( s ) 严捣( s ) 筹) d s f，、 一口3 l s j l ( s ) d s 五( s ) d s ( s ) d s + d ( s ) 夕( ( s ) 出一 ，2 ( s ) d s 一 酽1 ( 8 一r ( s ) ) e “3 ( s r ( s ) )，) d s ( s ) d s 一三z u 厶( s ) d s 班一( 三 容易验证，对任一有界开集qcx ，在孬上，q 和( ，一q ) 连续 为了证明在q 上是三一紧的，只要证明q ( q ) 有界且绵( ，一q ) ：q _ x 是紧的即可由于 ( “1 ( 亡) ，u 2 ( 亡) ，让3 ( 亡) ) 丁】的系数均为以u 为周期的连续非负函 数和功能性反应函数妒( ) 的有界性，所以必存在尬 o ( i = 1 ，2 ，3 ) 使得对任意 的钆孬都有普蹒l 五( 亡) | 尬( i = 1 ，2 ，3 ) ，从而 i i 【( u - ( 亡) ，钆2 ( ) ，乱3 ( 亡) ) t 】i | 3 f 必：= t = 1 所以l l q ( 钆) l i 2 ，显然当i 亡1 一亡2 i o ，当i 亡1 一亡2 i 6 7 时，l i 郧( j q ) ( 乱( 亡1 ) ) 一郧( ，一q ) ( 让( t 2 ) ) l l 即 可 因为 i i 坼( ，一q ) ( u ( 亡1 ) ) 一绵( ，一q ) ( u ( 亡z ) ) l i 姒c ：m 油+ 城p 豳a t + 掣e w 曲 9 i 亡l t 2 l ( 2 7 ) 掣严= a 似垆喇矽球2 俨稚2 筹严) ( 2 8 ) 掣严= a 卜咖州。删夕( 篙矽印) ( 2 9 ) 再分别对上述三个等式两端在 o ，u 】上积分，有 陋1 ( ) 一d l ( 亡) 】e u ( ) d t + d 1 ( 亡) e u - ( 。) 班 = 小严m 叭小咖( 筹) 筹严出 ( 2 1 0 ) 【6 l ( 亡) e 2 u t ( ) 班+ m c ( 亡) e u - ( 。) 出， 小荆也矽雄叭z u 喇筹严拈小严绯慨( 2 1 1 ) fn 3 ( 咖州= 小咖( 篇矽。托 ( 2 1 2 ) 运用不等式( z u e 蛳出) 2 u u e 2 毗班，i = 1 ，2 ，由( 2 1 。) 、( 2 1 1 ) 可得 和 ( n 1 一d 1 尸z 酽1 0 出+ d ，z 矿2 0 ) d 芒 p ur 6 厂伊1 ( t ) 出 ，0 兽( p 班) 2 【0 2 一。2 rz u e 抛班+ 。乡u 矿m ) 出 【0 2 一d 2 r e 抛o ) 班+ d 乡e m o ) 出 j 0，o 撕胪吲恸 警( 冰，出) 2 一1 5 一 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 几类乍物模犁的刷期解存在件 如果ue 出u e t l 2 出，那么由( 2 1 3 ) 有 c 。一。，u e u l c ，出+ 。? z u e 乱tc t ，班鲁( z u e u c t ，出) 2 ， ( n 1 一d 1 ) u + d 啦 p r 如果酽1 ( 。) 出e u 。( 。) 班，那么由( 2 1 4 ) 有 i ，0，o c 。2 一。2 ，u ue t l 2 班+ 。墨z ue 抛疵鲁( z ue 地出) 2 ， 整理也有 为此，我们取 p 绯坠警塑 4 = m a x 瓦类似上面的讨论，可得 州啦n 警 ( 2 2 6 ) 根据( 3 1 8 ) 、( 3 1 9 ) 、( 3 2 5 ) 、( 3 2 6 ) 和引理1 2 4 ，我们同理可得对任意的t r 有 州蛇州一州掣i划n 半 ( 2 2 7 ) 州蛇州小剧掣旧n 警地啪 ( 2 2 8 ) 为了讨论的方便，取 那么有 b - = m a x 1 1 na + 剑，i ，n 可一d 1 一m 已 6 警 n a o i ， ij 岛= m a x 陋拙酬，l ，n 字地醚a 1 ) ， i 让1 ( 亡) l b 1 ，l 让2 ( t ) i 岛 最后再估计u 3 ( 亡) 的上下界根据( 2 6 ) 和( 2 2 9 ) ，我们很容易得到 酗= 小咖( 篇础厂m 嘉肛9 ( 嘉风酗2 上d ( 亡) 9 ( ；琢= 而) 出上d ( 亡) 9 ( i 啬) 出59 ( 主南) 扎， 整理即有 9 ( 嘉) 薯9 ( 苫而) 2i 。 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 根据功能性反应函数夕( u ) 满足( m ) 条件和定理2 3 1 的条件凰，容易知功能性反应 雪竺9 - 在区间( 。，+ ) 上有反函数9 - 1 ( s ) 且满足夕一1 ( 薯) _ 。于是，由( 2 3 。) 可 以得到 进而有 产b 吖9 。1 ( 雩) ， 乱3c 6 ，b 一- n g 一1 ( 薯) 一1 8 硕十学何论文 再由( 2 2 0 ) 和引理1 2 4 ，与前面类似的讨论，有 3 ( 亡)鲕c 卅川掣卜卧岫。1 ( 薯) + 2 矾皿3 1 ， 另一方面，由( 2 6 ) 和( 2 2 9 ) 有 整理即有 矾小加( 夕( e b l e t 3 ( 哟) e e b 1 e t l 3 ( 7 3 ) 肛夕( 篇风 乱2 ，类似上述讨论有 令 珏1 钍2 l n 鲁 d 2 n 警抛 u 妯吾d 2d l b ，一m a x | l n 瓦一d 1 一加 m 孙n 警孙 乱1 i b ，i 2 i b 而根据方程组( 2 3 4 ) 的最有一个方程和功能性反应函数9 的性质，有 进而有 即 则 令 塞= 可1 ( 丽2 2 夕q ( 亏) ， e 9 一( 警) e 让s e 乃一- ( 警) ， a a b 一1 n 夕一1 ( 粤) 仳3 b 7 一l n 夕一1 ( 粤) 口 b 。= m a x i b 7 + n 9 1c 孑，i ，l b 7 一- n 夕_ 1c 薯，i ) ， 作有界开集q 如下： “3 i b 0 q = ，u 3 ) 丁x ：，钆2 ，乱3 ) t l l b ) ， 一2 0 一 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 硕十学位论文 其中b ：岛+ b 1 + 岛+ 玩十2 b 下面验证有界开集q 满足引理1 2 1 的三个条 件从( 2 3 3 ) 及其推导过程容易得知对任意的入( o ，1 ) ，如果u a qnd 帆l ，则 显然有l 让a u ，即引理1 2 1 的第一个条件满足对引理1 2 1 的第二个条件，如 果( u l ( t ) ，u 2 ( 亡) ，乱3 ( 亡) ) t a q nk e r 厶则向量( u l ( 亡) ，心2 ( 亡) ，乱3 ( 亡) ) t 是r 3 空间中的 一个常向量我们用( 让1 ，牡2 ，u 3 ) t 来表示，则i 让1 l + i u 2 i + f 坳l = b 如果( 札1 ，u 2 ，u 3 ) t 满 足 q 士卜 竺+ 瓦竺 石+ d 1 瓦e t le u l fo 。 则( 乱1 ，饥2 ，“3 ) t 是方程组( 2 3 4 ) 在当p = 1 时的常向量解但从( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 知l 札1 i + i “2 i + i “3 l 2 b + 玩 b ，这显然矛盾所以对任意的让a q n k e r l ，有q 仳0 ， 即引理1 2 1 的第二个条件满足为了验证引理1 2 1 的第三个条件，我们先定义同伦 映射： 矽：d d m l 【o ，1 】_ x ( 乱1 ，u 2 ，u 3 ，p ) = 陌一司 一_ e m 一劢( 翥) 窘 匠一碉一瓦e 抛 一丽+ 面( 筹)+ p 厣 其中p ( o ，1 】为一个参数当( u l ，乱2 ，乱3 ) t a qnk e 7 l 时，( u l ，t 正2 ，u 3 ) t 是冗3 中的 常向量且