（应用数学专业论文）几何突变人口过程及其对偶转移函数的性质.pdf

几何突变人口过程及其对偶 转移函数的性质 应用数学专业硕士研究生吕秀杰 指导教师李扬荣教授 摘要 关于m a r k v 过程理论的研究，历来有慨率方法和分析方法概率方法育观、形象、 明晰，概率意义比较清楚；分析方法则有表达简洁、明陕的特点就应用而言，许多物理 学家、牛物学家、化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果，而分析方法所表达的结 果更适用f 将概率论与其他数学学科的成就联系起来或利用现代数学的成果近年来， 数学家们以算子半群理论作为工具来研究m a r k o 、。过程理论，并取得了丰富的成果本史 着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，研究几何突变人口过程及其对偶转移 函数的性质 由a n d e r s o n 1 l 知道转移函数p ( t ) 是l l 空间上正的强连续压缩半群，但p ( t ) 般来 说不是z 。空间上的强连续半群，而p ( t ) 是k 上强连续半群的充要条件是q 矩阵q 是 k 上的一致有界q 矩阵这是一- 种甲凡的情形，实际生活中所遇到的参数连续m a r k o v 链所对应的q 矩阵通常都不满足此性质a n d e t x o n 1 1 认为f 。空间太大了，不可能在l t 上得到些有用的结果一个自然的问题是：对于几何突变人口过程，我们怎样才能在 f 。空间和f 。空间上得到一砦好的性质呢? 在本文中我们引入了几何突变口- 矩阵在巴拿赫空间f 。和c o 上所诱导的两个算子 q 。和q - 由文献【1 1 定义域d ( q ，) 在k 上并不稠密，所以q 。在l 。上不能牛成强连 续半群然而我们将看到，o 。能生成积分半群而q o 在c o 空闻上产生一个正的压缩 半群在第二章我们得到如下主要结果： 命题2 2 1 下列陈述等价 ( a ) 几何突变口一矩阵q 是单凋的； ( b ) 口； 命题2 2 2 几何突变q _ 矩阵q 总是f r r 的 命题2 2 ：；q 楚岑流出的并且是正则的q 一矩阵 强岑流入和零流入之间足否等价? 该n d 题由r e u t ( r 和r i l e y 最早提出，李扬荣教授 在文献j 1 2 1 中已经证明了对于向下自由跳跃q 一矩阵二者之问的等价性对于向上自由跳 跃q - 矩阵，我们有以下定理： 命题2 2 4 下列酗进等价 ( a ) q 足强零流入的： ( b l q 是零流入的 命题2 2 5 几何突变酽矩阵q 是零流入的旧时也是强零流入的 定理2 2 1 对几何突变q 矩阵q ，我们有 ( i ) q 。在f 。空间上产生一个正的压缩积分半群r ( ) = ( ( ) ) ； ( i i ) q i j 在伽空问上产生一个正的压缩半群e ( t ) = ( 只，( ) ) ，并且e ( t ) 是最小o 一函数 且为f r r 的； ( i i i ) t ( f ) 和p ( ) 为随机单调的充分必要条件是q ； ( i v ) c o 是积分半群t ( t ) 的不变子空间 对偶足研究马尔可夫过程的一个重要的工具，尤其在连续时间马尔可丈链和相互作 用的粒子系统中，更有其举足轻重的地位在第二章中我们讨论了几何突变叮矩阵q 的 对偶矩阵囝，并讨论了其对应的转移函数的常返性和灭绝概率条件由文献【1 7 l 我们知 道，对于向上自由跳跃的q 矩阵0 ，b r o c k w ( - i i 已经就其灭绝概率和灭绝时间得出了很 完美的结果，那么对于其对偶转移函数，我们能否得出类似理想的结论呢? 在第二章我 们得到r 以下几个主要结果： 定理3 2 1 几何突变对偶百一函数是常返的危分必要条件足p ： x o ( o ) = 1 的唯一有界解，并且 q ( o ) = n ：( o ) 。l ( o ) 一( o ) ，i 1 一 | l q 张厶脚 是 一 理 定 其中 r i ( 啦p 曼端 6 l ( 0 ) = 0 ，“j ( 0 ) = 1 “：( o ) = 1 + n “+ ( ”j i ) 6 q ( u + m b 、十f i l d ( n _ 三2 ) 定理3 2 ：；令n = l i m c o ) 那么 对所有2 兰( ) ，z ，f l ) = 1 = 号z i ( o ) ；i 惜n = o c # 辛p ： 关键词：转移函数几何突变积分半群压缩半群灭绝慨率 端生一口 。n h = 厶 p r o p e r t i e so fp o p u l a t i o np r o c e s s e sw i t hg e o m e t r i c c a t a s t r o p h ea n dt h e i rd u a lt r a n s i t i o nf u n c t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s t u t o r ：l iy a n g r o n g a u t h o r ：l vx i u j i e a b s t r a c t i nt h es t u d yo ft h e o r i e s o fm a r k o vp r o c ( ，t i t ( r et r a d i t i n n a l l ya r et w om e t h o d s ：t h e p r o b a b i l i s t i ci l l ( ，t h o da n dt h ea n a l y t i c a ln l e t h o d t h ep r o h a b l em e t h o di ss t r a i g h t f o r w a r d ，v i v i d a n dd i s t i n c ti ne x p r e s s i o n ，a n dt h ep r o b a b i l i t ym e a n i n gi sc l e a rh o w e v e r ，t h ea n a l i t i c a lm e t h o d i sc o n c i s e ，i mi da n dl i v e l yi ne x p r e s s i o n a sf a ra st h ea p p l i c a t i o ni sc o n c e r n e d ，n l a n ys p e c i a l i s t s s u c h “p h y s i ( i s t s ij i o l o g i s t sa n dc h e m i s t sa r ef o n do ft i l er e s u l t se x p r e s s e db yt h ep r o b a l ) l e m e t h o d h o w ( ，v e r t h er e s u l t se x p r e s s e db yt i l ea n a l y t i c a lm e t h o di sm u c he a s i e rt oc o m b i n e t h ep r o b a b i l i t yt h e o r yw i t ht i l ea c h i v e m e n t so fu t h e rb r a n c l l e so fm 吼h e m a t i e sa n da p p l yt h e a c h i e v e m e n t so fm o d e r nm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r ，w eu s et i l ea n a l y t i c a lm e t h o d b yu s i n gt h e t h e o r yo fs e m i g l o u p so fl i n e a ro p e r a t o r s ，w es t u d yt h es p e c i a lp r o p e r t i e so fp o p n l a t i o np r c , c s e s w i t hg e o m e t r i cc a t a s t r o p h ea n dt h e i rd u a lt r a l m i t i o nf u n c t i o n s f r o m 【1 1 ，e v e r yt r m l s i t i o nf u n c t i o ni s ap o s i t i v es t r o n g l yc o n t i n u o u ss e n l i g r o u po fc o n t r a c t i o n so ni i b u ti ti s n tas t r o n g l yc o n t i n u n n ss e l o i g r o u po nf 。c i nf a c t ，t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rat r a n s i t i o nf u n c t i o nt ob eas t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u po nf i st h a t t h eq - m a t r i xqi sa nu n i f o r m l yb o u n d e dq - m a t r i xo nf t h i si st h et r i v i a lc a s e , t h eq - n l a t r i x w eu s u a l l yd e a lw i t hd o n ts a t i s f yt h i sp r o p e r t y s oa n d e r s o n 【1 】t h i n kt h a tki st o ol a r g en s p a c eo nw h i c ht od e v e l o par e a l l yu s e f u lt h e o r y an a t u r a lq u e s t i o ni s ：h o wc a nw eo b t a i nt h e g o o dp r o p e r t i e so fp o p u l a t i o np r o c e s s e sw i t hg e o m e t r i cc a t a s t r o p h eo ni ia n df ? i nt h bp a p e r ，w ei n t r o d u c et w oo p e r a t o r sq m i dq og c u e r a t e db yg e o m e t r i cc a t a s t r o p h e q - m a t r i c e so nf xa n d “r e s p e c t i v e l y t h ed o m a i nd ( q ) i sn o td e n s ei nl a ob y 【4 1 q , od o e sn o t g e n e r a t ea l l ys ”o n g l yc o n t i n u o u ss e u l i g r o u p so nf h o w e v e r ，w ew i l ls h o wt h a tq xg e n e r a t e s a i li n t e g r a t e d m i g r o u pa n dq og e n e r a t e sae n n t i m l o u sp o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u p t h u s ， i nt i l ec h a p t e r2 ，w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： p r o p o s i t i o n2 2 1 t h eg e o m e t r i cc a t a s t r o p h eq - n l a t r i xqi s m o n o t o n ei fa n do n l yi f qs p r o p o m t i o n2 2 2 t i l eg p o l a t r i cc a t a s t l o p h eq - n l a t r i xq i sa l w a y sf r r p r o p o , i t i o n2 2 3q i sz e n _ e x i ta n dt h u sr e g u l r i i ， + l oi l i s ti i 、st h ef r rp r o p e r t yw ea l s ou e l dt h ez ，r l v e n t l a l i c ep r o p e r t y i tr e m a i n sn p e u w 1 t l l e l t i n m i o n g r o - e n t r a n c ei se q u i v a l e n tt oz e r o - t ，n t r a n c ek ”ag e n e r a lq - m a t r i x 【1 2j t l a s p r o v t u lt h f i q a i v a l e n c ef o rd o w n w a r d l ys k i pf r e eq m a tr i x f o ru 1 ) w a r d l ys k i pf r e eq - m a t r i x w e h a y ( - t h l f o l l o w i n gp r o p o s i t i o n ： p r o p o s i t i o n2 2 4 口i ss t r o n gz e r o - e n t r a n c ei fa n do n l ) 7i fq i sz e r o - e n t r a n c e p r o p o s i t i o n2 2 5 g e o m e t r i cc a t a s t r o p h eq - m a t r i xqi sz e r o - e n t r a n c ea n dt h u ss t r o n g z e r o - ( ，n t r a n e e t h e o r e m2 2 1f o rt h eg e o n i e t r i cc a t a s t r o p h eq - m a t r i xq ，w eh a v e ( i ) q g e n e r a t e sap t r s i t i v ec o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g a o u pt ( t ) = ( 正j ( t ) ) o nf ； ( i i ) q og e n e r a t e sa ( o n t i n n o u sp o s i t i v ec o l l t r o i t i o ns e m i g r o t l pp i t ) = ( 只j ( t ) ) o i lq ，p i t ) i s j u s tt h em i n i n l a lq f u n c t i o na n di sa nf r rt r a n s i t i o nf u n c t i o n ； ( i i i ) t ( t ) a n dp i t ) a r es t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n ei fa n do n l yi f 口 ； ( i v ) c oi sa ni n v a r i a n ts u b s p a x eo ft h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u pt i t ) d u a l i t yi sa ni m p o r t a n tt o o li nm a r k o vp r o c e s s e s ，i np a r t i c u l a r ，i nc o n t i n u o u s - t i m em a r k o v c h a i n s ( c t m c ) a n di n t e r a c t i n gp a r t i c l es y s t e m s i nc h a p t e r3 ，w ew i l ld i s c u s st h ed u a lm a t r i c e s 口o fg e o m e t r i cc a t a s t r o p h eq - m a t r i c e sa n dt h ec o n d i t i o no fr e c u r r e n ca n dt h ep r o b a b i l i t yo f e x t i n c t i o no f0 i nt h er e f e n ，l i c e 【1 7 l ，b r o c k w e l lh a so b a i n e db e a u t i f u lr e s u l t so ft h ep r o b a b i l i t y o fe x t i n c t i o nf o ru p w a r d l ys k i pf r e ep r o c e s s e s f o rt h ed u a lp r o c e s s e so fg e o m e t r i cc a t a s t r o p h e o p r o c e s s e s ，c a nw eh a v et h es i m i l a rw o n d e r f u lr e s u l t s ( i nc h a p t e r3 ，w eh a v e t h ef o l l o w i n g t h ( o r e m s ： t h e o r e m3 2 1g e m i i r t r i c ( a t a s t r o p h e 国f u n c t i o ni sr e c u r r e n ti fa n do n l yi fp ： t h e o r e m3 2 2f o r0 = o ，( o ) ，i o i st h eu n i q u eb o u n d e ds o l u t i o no ft h ef o l l o w i n g s y s t e r n q o x j ( o ) = o z ：( p ) i 1 ， j = 0 x o ( o ) = 1 ， ，( 1 ) = n ，( o ) x l ( 0 ) 一6 ，) i ? i 训。眨熙籍 “( 0 ) = 0 n ：( 【) ) = i + n “l ( 0 ) = i ， n + ( ，n1 m q ( + m b ) 十m d + ( m 1 ) b + m b l + m d ( ，i 三2 ) t h e o r e m3 2 3l e tn = l i m l 一，c ：( 0 1 t h e n t ( o ) = 1f o ra l li 0 甜上l ( o j = l 筒n = o c 茸p ： k e y w o r d s ：t r a n s i t k mf i i i i ( t i o | t ；g “j m “r i cc a t “t r o i ) h - i l l t e g r a t e ds e m i g r o u pc o l l t t a c t i c i l l s e m i g r o u pp r o b a b i l i t yo fe x t i n c t i o n 。再 。兀一 独创性声明 学位论文题目：且鱼塞变厶望过猩区甚盘堡挂整鱼熬数蛙魔 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：昌劣未 签字日期： z o o 年4 月z 岁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 1 v 学位论文作者签名：吕秀烹 导师签名： 砖彳泵， 签字日期：2 卯年年月节日签字日期：7 年￥月1 6 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第1 章引言和预备知识 1 1 引言 有界线性算f 半群理论足翻l 世纪4 0 年代产生和发腱起来的，作为泛函分析的一个 分支越来越被人们重视抽象的线性算子半群理论是泛函分析的一个重要组成部分算 子半群理论在解决抽象发展方程的c a u c h y 问题及在、i a i k o v 过程的系统研究中都成为基 本的数学工具h i l l e 和y o s i d a1 9 4 8 年发现生成定理以来，有界线性算子半群理论已得 到迅速的发展，它是个对许多分析领域有大量应用的广泛的数学课题目 i 茸，它在分 布参数系统、现代控制理论、滤波和信息处理、偏微分方程及随机过程等各个领域都得 到了广泛的应用我国的敬学家应用有界线性算子半群理论在人口问题、弹性振动问题 及中子迁移理论等具有实际问题背景的研究中取得了一批出色的成果 m a r k o v 过程最初由俄国数学家m a r k o v 所研究，至今已发展成为概率论中最富理论 意义和应用价值的藿要分支它与泛函分析微分方程、微分几何、理论物理等学科密切 相关，用到这些学科中的许多结果；反过来，它又在方法上解释上丰富了这屿学科从 应用方面来看，许多具体的m a r k o v 过程如布朗运动，p o i s s o n 过程扩散过程都来源于 物理等自然科学和工程技术因而m a l k o v 过程的一般理论在这些学科及后来兴起的诸如 系统论自组织理论、数理经济学等中都得到了广泛的应用 关于m a r k o v 过程的研究，历来有概率方法和分析方法许多物理学家，生物学家、 化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果，而分析方法所表达的结果更适用于将概率 论与其它数学学科的成就联系起来或者利用现代数学的成果例如i t d 建立的随机微分方 程理论，角谷静夫、d o o b 等人发现的布朗运动与狄利克雷问题的联系，后来h u n t 等人 研究的相当一般的m a r k o v 过程与位势理论的关系以及新近十几年发展起来的m a l l i a v i n 分析都是这方面的例证随着有界线性算子半群理论的产生和发展，数学家开始用有界 线性算子半群理论研究m a z k o v 链，并且取得了用概率方法无法得到的广泛结论例如 f e l l e r 和r e u t e r 在参数连续m a r k o v 链中引入的泛函分析半群方法得到的丰富结果，以及 最近l i y r 建立的m a r k o v 积分算子半群理论都是这方面的例证 本文着力于使用分析的方法，以有界线性算子半群理论为工具，研究几何突变人口 过程及其对偶转移函数的性质 1 2 文献综述 由参数连续m a r k o v 链( 文献【l j ) 可知：给定一个m a r k o v 链，存在与之相对应的转 移函数；反过来，给定一个转移函数，总能构造一个m a r k o v 链，使得此转移函数就是该 m a r k o w 链相对应的转移函数，也就是说转移函数与m a r k o v 链是一一对应的因此，我 仃】甚至i f 以说转移函数就足m a r k o 、链这表明r 转移函数在m a t k o v 链理论中的重要地 f 色 由文献1 1 l 知道，转移函数与i i 空问上的正的强连续压缩半群对应由文献 2 】 知，r 恤r r e u t e r r i l e y 转移函数与，f j 空问上的正的强连续压缩半群- 一对应从而，有 界线性拜产半群理论在参数连续m a t k o v 链中有着广泛的应用背景对于m a r k o v 链，经 转移函数，存在与之相对应的q 矩阵q ；而给定一个q 矩阵q ，可能有无穷多个转移 函数与之相对应a n d e r s o n i i l 得，对铲矩阵q 的任意转移函数尸( f ) p ( t ) 在1 1 空间上娃 正的强连续压缩半群而若，j i ) 足1 ，上正的强连续压缩半群，那么这个半群一定足 l 。上的。致连续半群，这是种甲凡的情形，要求爿”所对应的哥矩阵q 是k 上的 r 致有界矿矩阵而实际串活中所遇到的参数连续m a r k o v 链所对应的q 矩阵通常都不 满足此性质a n d e r s o n 1 i 认为l 。空间太大了，不可能在其上得到些有价值的结果 针对此问题，z h a ow q 3 l 在、空间中找到了一个充分大的子空问，使得转移函数是其 上的正的强连续压缩半群；l iy ri1 , 5 l 充分利用近年来发鹱起来的积分算子半群理论， 证明了转移函数足l 。空问上正的一次强压缩积分算子半群( 我们称作m a r k o v 积分算予 半群) ，得到了转移函数与i 。宅问上正的一次强压缩积分算于半群的一一对应关系，并 且着重考虑了转移函数在l 。宅问上的性质迄今为止，这是首次应用积分算子半群理论 来研究参数连续m a r k o v 链 研究马尔可夫过程时个很重要的工具是对偶，尤其在连续时间马尔可夫链和相瓦 作用的粒子系统中，更有其举足轻重的地位与对偶紧密相关的一个概念是单调性，d a l e y 在文献1 6 l 中首先强调了单调性的作用陈安岳在文献【7 l 中给出了二者之问的明确关系 灭绝概率和灭绝时问的分布的研究一直都是动物学家们研究的重要对象这是因为动 物学家在估计最小可变人u 尺度的时候与灭绝时间的分布有着密切的相关k a p l a n 8 】， s h a f f e r f 9 l 部曾从不同的角度对随机发生突变的人口增长模型进行过研究其中s h a f f e r 在 文献1 9 】中描述的一项估计在1 0 0 年里灰熊要达到9 5 0 , , 的成活率，黄石国家公园所需要 的最少灰熊数日的模拟研究，更是具有深远的实际意义 本文沿着这样一个思路进行讨论：引入几何突变q 。矩阵的概念一讨论几何突变人 l j 半群峰可能多的性质( 包括其单渊性，f r r 性质以及它所诱导的算子生成半群的条件 等) 一讨论几何突变q 矩阵的对偶矩阵国一讨论o 函数的常返性和灭绝概率问题 1 3 预备知识 为了叙述方便，我们列出些相关的概念及相关的结果 定义1 3 1 f 5 】( 积分半群) 定义在b a n a c h 空问x 上的有界线性算子强连续族 s ( t ) ；t2 0 称为枳分半群，如果它满足： 2 ( 1 l 一( 1 1 ) = ： ( 2 ) s ( ， s ( 、) = ：( s ( r + 一) 一s ( r ) ) 打对一切一t 0 成立 并且，s ( ，) 称为非退化的如果s ( f ) ，r 。0 对所有的，0 都有，= 0 如果存在常数 i ，“门使得 0s t ( ，) l i 三a l e 。 v t 0 ， 则称s ( t ) 足指数有界的如果非退化的积分半群s ( t ) 满足 l is ( t ) | | 曼t ，v t 0 则称s ( ，) 是压缩积分半群 定义1 3 2 t 10 ) 设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，如果对任意的t 0 有咿( f ) | i 1 ， 则称丁( f ) 为强连续压缩半群或。压缩半群，简称压缩半群 定义1 3 3 3 j ( 参数连续m a r k o v 链) 以可数集e = 0 ，1 ，2 ， 为状态空问，定义在概 率空问( q ，fp ( r ) ) 上的随机过程 x ( ”：t20 称作参数连续m a r k o v 链，如果满足对 任意有限个。时间”参数0 曼t is 2 t 。t 。+ l ，及相应的状态i l ，i 2 il _ l ，i j ，当 p r x ( t 。) = i x ( t 。一1 ) = i n - l ，x ( q ) = i 1 0 时，有 只 x ( f 1 ) = j l x ( t 。) = i x t 。一1 ) = i 一1 ，x ( q ) = i l = 耳 xc t 。+ 1 ) = j l x ( t 。) = l 此等式称为m a r k o v 性质如果对于$ t 满足0 ss t 及任意i ，j e ，条件概率p r x ( ) = j l x ( s ) = i 只依赖于t s 而与s ，t 无关，则称随机过程 x ( ) ；t 0 是齐次m a r k o v 链 此时p r f x ( ) = j l x ( s ) = i = p r x n s ) ；j l x ( 0 ) = 讲称 n j ( f ) = p r x ( ，) = j t x ( 0 ) = i v i ，j e ，t 0 为该随机过程的转移函数 由参数连续m a r k o v 链理论【1j 知道，任何一个m a r k o v 过程被它的转移函数唯一确 定，因此，对m a r k o v 过程的研究就转化为对转移函数的研究标准转移函数的定义如下： 定义1 3 4 f l ( 标准转移函数) 设可数集e = o ，1 ，2 ， 是状态空间p ( ) = n ，( ) ；i j e t 0 称为标准的转移函数，如果它满足： ( 1 ) 对任意的t 0 n j ( f ) 0 且 洲= 幻= 。1 臻i ； ( 2 ) 对任意的i e ，t 0 ，肋( ) sl ；特别地，若对v t 0 ，i e ，p i j ( t ) = 1 ，则 称 ( t ) i ，j e ，t 0 是忠实的，否则称为非忠实的； ( 3 ) 对任意的l ，j e n j ( f + 一 = p 。( f ) ，“j ( s ) ： ( 对f e 意的i e 一￥甜“( 1 11 哎等价的，对任意的f - j e ，j 埘n ) ：6 u ( 标准 性) 本文始终假定转移函数足标准的，即满足上面的( 1 ) 到( 4 ) 同时由文献【1 】知，对于 个标准的转移函数来说，一定存在如下形式的极限： i 。m j 啮! 譬鱼：弧l 虬j e t l n ， 。 我们规定q = q t j ；i ，j e 则得刮q 一矩阵q 及相关溉念的定义 定义1 3 ，5 1 1 ( q 一矩阵) 矩阵q = h ；i ，j e 称为口- 矩阵，如果它满足： 0 sq o + 。cv i ，j e ，i j 吼，! 一仉，兰q i + o c v i e j 2 如果对任意的i e ，口l q i + l j i ； 女= 0k = o 称为是单调的如果满足 仉 儡+ 1 女，i + l ； 女) jl b 称为是f e l l e r r e u t e r - r i l e y ( f r r ) 的如果满足 l i n t q z j50 ，j f 在本文中涉及到如下序列b a n a c h 空闻 1 1 = z = ( f ) j 蚓 0 ，有，( a ) = o ：q 矩阵( ? 是 0 其中 ，l ( a ) = f i j ：州a ，qj = i j ：f ( j = ( y o ；f i ( a ) 定义1 3 妒l l 定义在非债链敏集n + 上的保守q 矩阵q = ( q ”i ，j n + ) 称为是向上 自由跳跃的，如果吼1 + 1 o ( i 1 ) 并n 口f j = o ( j i + 1 ) 推论1 3 1 0 1 1 1 向上自由跳跃q 矩阵q 令h = q n n + l ，n 0 ，h = 芝jq n k ，r l 1 定 义 r = 薹( 击+ 惫+ 丽# , , t n - 1 + + 鲁畚) 则以下条件均为q 为正则的充分条件： ( i ) r = x ( m 怎i l k = ( i i i ) 存在一个使得对所有的n n ，都有p 。a 儿 引理1 3 t l ! 。：假发 厶， 兰i ， 9 ，l 三1 ， h 。，21 是非负序列， 7 - o ，2 i 满足关系 0 。l - s 魂序列如，n 三2 定义如下： z n + l z n = ：r i 十h n + 聃i ( ： 一o n1 ) ，n 1 则序列 知，n 0 ) 是有界的充分必要条件是丞i ( 矗+ k ) + ，其中 f 。= | n 七g n | f 卜1 + l 吼。o | ，。一2 + + g g n1 ，9 2 f l + g 。g 忡1 9 2 9 f 矗= h n + g h n 一1 + 蜘g l h 一2 + + 如鲰一1 驰 1 定理1 31 2 1 1 i 令 j 。，n 0 ) 是实数序列满足0 以， o ( 进而对所有的 ) a q 在空问c o 上为满射；即，对每一个a c o ， 方程 n = f a q ) x 有解j n i ； i ) 对任意的a 0 ，矩阵方程 1 = ( a q ) x 育矩阵解y = ( z 。) ，并满足：对任意的j e ，z 。一0 当i 一。c ，其中，为单位矩阵； 即，对每个勺= ( 0 ，0 ，l _ 0 ，) 7 方程a = ( a q 如有解j 国： r e ) d ( q ) 在c o 上稠密且其对偶算子q l 在l l 上生成压缩的次积分半群 定理1 3 1 5 1 a l 如果q - 矩阵是单凋的，则最小q 一函数足f r r 的当且仅当 或( i ) o 是f r r 的并且在l l 空闻上足零入的， 或( i i ) q 足非零出的 定理1 3 1 6 7 t 如果q 一矩阵口足保守的，则f e l l e r 最小q 函数随机单调性的充要条件 是， ( i ) q 足正则的， ( i i ) 0 是单凋的 定理1 3 1 7 4 】最小q 一函数f ( ，) 足f e n e r - r e u t e r r i l e y , 如果令q 是压缩半群f ( t ) 在c o 上的无穷小生成元，则n = q ( 作为c o 上的两个算子) 6 定义l ：j1 8 1 状态i e 是常返的( 或永久的) 如果胪只，( t ) d t = + x ；状态i e 是 瞬时的如粜f - 只，( t ) d t l l 且0 一【n + ( i 十1 ) 6 】m = i + 1 ， 、0 = i j m i + 1 ， 这足很简单的事实所以我们只需考虑m j 若j = 0 ， m o ：i d 矿：! i 矿一0 当i o 。 当j2 l 时， = d 卿 j = 岩缶耐一。当 一。c 因此对每。个确定的j e ，q i j 一0 当i 一即q 是f r r 的 命题2 2 3 的证明：很显然几何突变q 一矩阵q 是向上自由跳跃的，并且 n 于= l 上q n , n + l = 砉南一 由推论1 3 1 0 知q 足正则的凡在，、空| 1 】il 足岑流出的 命题22 1 的证明：必要性楚艟然的 充分性堤y = ( 鼽：k e ) i l ( a ) 使得 引 ，一q l = 0 ( 3 3 ) - r i l l 将证明1 l ( a ) 或者一t ( a ) 不失。般性我们假没轴 0 ，( 如果y o 0 ，f 实上， y ( x l q - 0 按分量的方式可写成： x ( + n ) 珈，7 f f ，n - i t h 。= 0 ， ( 3 - 1 ) x 一陋+ ( i 1 ) ) 】玑一l + ( a + n + i b + i d ) y 。一，i 咖q 一1 聃。= 0 i2 1 ， ( 3 5 ) n = l + i 当，- 1 时，将方程( 35 ) 两边百j 时乘以一! 然后加到方程( 34 ) 得到 ( p a + n ) 蜘：a + n + p l + 川玑 当i 1 将( 3 5 ) 中的第( + 1 ) 个方程两边同乘以一q 然后加到第i 个方程，可得 n + ( 1 一- 1 ) 6 i p 。一1 + 协+ n + i b + i d + q ( “+ j 6 ) 】玑= q a + a + ( i + i ) 6 l + ( i + 1