（应用数学专业论文）哈密顿雅克比方程解的长时间行为.pdf

哈密顿一雅克比方程解的长时间行为 学位论文完成日期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： i i i 2 玩0 ，s 。与 科六玩 么f 兹 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谓 的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含未获得( 洼! 翅遗直甚位 益要挂别直咽的：奎拦互窒2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 签字日期：所知年，月仃日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以下事项： 1 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学“中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社 用于出版和编入c n k i 中国知识资源总库，授权中国科学技术信 息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库。( 保密的学位论文在解密 后适用本授权书) 学位论文作者签名： ：研呔译 签字日期：砂卜年，月l 箩日 签字日期：己口o 年y 月i s 日 哈密顿一雅克比方程解的长时间行为 摘要 哈密顿雅克比方程来源于变分法，是一类重要的一阶非线性偏微分方程，它在经 典力学、几何光学、最优控制、微分对策等方面都有着广泛的应用。 对粘性解的长时间渐近行为的研究是研究哈密顿一雅克比方程解的一个重要方 面，它与哈密顿动力学、物理学、均匀化问题都有着密切联系。因此，研究哈密顿一 雅克比方程解的长时间行为就具有重大的意义。 本文主要研究了哈密顿雅克比方程解的长时间行为： 第一章为绪论部分。 在第二章中，我们利用广义动力学方法来研究哈密顿雅克比方程解的长时间行 为，得到了其柯西问题解的一般性收敛结果。 在第三章中，我们利用偏微分方程和粘性解的相关理论来研究哈密顿雅克比方 程解的长时间行为，得到了其柯西狄利克雷问题解的收敛结果。 在第四章中，我们将自治哈密顿雅克比方程中的比较定理推广到适用于时间周 期的哈密顿雅克比方程方程的比较定理。 关键词：哈密顿雅克比方程；长时间行为；粘性解；柯西问题；柯西l 狄利克雷问 题。 v n l t h e 。a r g e t m eb e h a vio ro fs oiu tio n sf oh a m itohacobia r g e im eb e m a v s 0n s0 rh a mit oa c o bi t ilu tiin 叫i e q u a ti o n s a b s t r a c t h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n sa r i s ef r o mt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d i sa ni m p o r t a n tc l a s so f f i r s to r d e r n o n l i n e a rp a n i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , w h i c ha r ew i d e l yu s e d i nd a s s i c a l m e c h a n i c s ，g e o m e t r i co p 6 e s , o p t i l n a lc o n t r o l ，d i f f e r e n t i a lg a m e sa n ds oo n t h es t u d yo ft h el a r g e - t i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n si sa ni m p o r t a n ta s p c ao ft h es t u d yf o r h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s , w h i c hi s c l o s e l yr e l a t e dw i t ht h ep r o b l e m so fh a m i l t o n i a n d y n a m i c s ，p h y s i c sa n dh o m o g e n i z a t i o n t h e r e f o r e ，t h e r ei sav e r ys i g n i f i c a n c ei ns t u d y i n gt h e l a r g e - t i m eb e h a v i o ro f s o l u t i o n sf o rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h el a r g e - t i m eb e h a v i o ro f s o l u t i o n sf o rh a m i l t o n - j a c o b i c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eg e n e r a lh l o 训。d g e ，i n c l u d e st h em a i nw o r k s ，s e v e r a li m p o r t a n t i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h el o n g - t i m eb e h a v i o ro f v i s c o s i t ys o l u t i o n so f h a m i l t o n - j a c o b i e q u a t i o n sb yu s i n gt h eg e n e r a l i z e dd y n a m i c a la p p r o a c h , a n de s t a b l i s ht h eg e n e r a lc o n v e r g e n c e r e s u l to f t h ec a u c h y p r o b l e mf o rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h ep d e m e t h o d w es t u d yt h el a r g e - t i m eb e h a v i o ro f v i s c o s i t y s o l u t i o n so f h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s a n dw ce s t a b l i s h t h eg e n e r a lc o n v e r g e n c er e s u l to f t h ec a u c h y - d i r i c h l e tp r o b l e mf o rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，w eg e n e m l i z et h ec o m p a r i s o nt h e o r e m so fh i t o s h ii s h i i 1o 】a n dh i r o y o s h i m i t a k e 2 0 o na u t o n o m o u so fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n st ot h e c a s eo fl i m e - p e r i o d i c k e y w o r d s ：h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ；l a r g e - t i m eb e h a v i o r ；, v i s c o s i t ys o l u t i o n s ； c a u c h yp r o b l e m ；c a u c h y - d i r i c h l e tp r o b l e m x 目录 第一章绪论1 1 1 概j i ! 1 1 2 本文主要工作2 1 3 预备知识3 1 4 一般符号4 第二章哈密顿雅克比方程柯西问题解的长时间行为7 2 1 引言7 2 2 定义与引理8 2 3 主要结论及证明1 1 第三章哈密顿雅克比方程柯西狄利克雷问题解的长时间行为1 3 3 1 引言1 3 3 2 定义与引理1 3 3 3 主要结果及证明1 5 第四章时间周期哈密顿雅克比方程的比较定理1 9 4 1 引言：1 9 4 2 定义与引理1 9 4 3 主要结论及证明2 1 参考文献2 5 致谢2 9 x n 1 1概述 第一章绪论 哈密顿雅克比方程来源于变分法，是类重要的一阶非线性偏微分方程，它在 经典力学、几何光学、最优控制、微分对策等方面都有着广泛的应用 1 ，2 ，5 ，6 ，1 5 ， 在最优控制中一般称作b e u b n 方程，在微分对策中常称作i s a a c s 方程。我们通常对 哈密顿雅克比方程的全局解感兴趣，一种常见的经典的寻求解的方法是特征线法， 但由于激波的产生使得这种方法有很大的局限性。 为此，在二十世纪八十年代初期，m g c r a n d a l l 和r l l i o m 1 ，【2 】在研究中引入 了粘性解的概念，这是一种基于最大值原理的偏微分方程广义解，具有良好的适定性， 对研究哈密顿雅克比方程有很大帮助。 最近几年，许多学者对方程坼+ 月- ( 五d 功= 0 解的长时间行为非常感兴趣，并且 在适当的假设下，建立了收敛性结果。对于这种渐近问题的研究要追溯到l i o n s 3 和 b a d e s 4 的著作，他们研究的是q = 科以及日= 砌这种不依赖于变量x 的情形。 像h - h ( x , 力，这种既依赖于x ，又依赖于p 的情形，最先的收敛性结果是由 n a m a h - r o q u e j o f f r e 5 和f a t h i 6 得出的。其中的结果之一为：假设q 是不带边界的紧流 形，i e h = h ( x , 力是关于( 五力超线性的、光滑的：关于p 严格凸的，则有收敛性 结果成立。f a t h i 6 采用的是基于a u b r y - m a t h e r 理论的方法来得到这一结果的。之后 r o q u e j o i t i e 7 和d a v i n i s i c o n o l f i 8 】完善了此方法，称为广义的动力学方法；而 b a r l e s - s o u g a n i d i s 9 采用的是基于偏微分方程和粘性解理论的方法，简称“p d e 方法。 本文就此两种方法对哈密顿雅克比方程解的长时间行为进行研究。本文中提到的解 均是在粘性解的意义之下。 对粘性解的长时间渐近行为的研究是研究哈密顿一雅克比方程解的一个重要方 面，它与哈密顿动力学，物理学如燃烧传播，介质中的前面波，均匀化问题都有着密 切联系 5 ，1 5 。因此，研究哈密顿雅克比方程解的长时间行为就具有重大的意义。 1 2 本文主要工作 1 2 1 关于哈密顿_ 雅克比方程柯西问题 我们首先简单介绍一下哈密顿雅克比方程柯西问题解的长时间渐近行为的相关 凝。肌砒旒c 凹，麟掣q 喇x ( o , o o 蹦 解的性态。 其中，qc r ”为开集，h c ( q 尺”，尺) 是哈密顿函数，甜c ( q o ，) ，r ) 是 未知函数。= a u l a t ，d u = ( 锄钆，抛瓯) ，c ( a ，r ) 。 许多学者先后就q = t ”，q 为一紧流形和q = r ”的情形进行了研究，分别对日和 “做了适当的假设后，得到解的收敛性结果，可参n 3 1 ，3 2 1 。最近，由f a t h i 3 3 ，3 4 引进一个有趣的课题，即解的长时间渐近行为和弱k a m 理论的融合。其主要思想是， ( c p ) 解的长时间行为和“静态 方程 h ( x ，d 甜) = c ，i e q ，c 为常数 的解是非常接近的。而弱k a m 理论在研究这种“静态 方程解的结构中起着关键性 的作用。 在第二章中，我们就是采用了广义的动力学方法来研究n 维空间中哈密顿雅克 比方程柯西问题解的长时间行为。 1 2 2 关于哈密顿雅克比方程柯西狄利克雷问题 和柯西问题的研究成果比起来，边界值问题在国内外的研究成果较少些。主要有 在静态边界条件下和在周期边界条件下的研究结果，均是采用的广义的动力学原理和 a u b r y - m a t h e r 理论。 其主要结果是，在适当的假设条件下，当，专时，方程 2 f u ，( x ，f ) + h ( x ，d u ( x ，f ) ) = 0 “( x ，o ) = “o ( x ) i u ( x ，) = f ( x ) q ( o ，) t 2x o ) 弛( o ，) 的解将收敛于狄利克雷问题的解或者是静态方程的解。 在第三章中，我们利用p d e 的方法研究柯西狄利克雷问题周期解的长时间行为。 最后，在第四章中，我们将自治的哈密顿雅克比方程的一个重要定理推广到非 自治的情形，这对研究非自治的哈密顿雅克比方程解的长时间行为非常有利。 1 3 预备知识 定义1 1 t 2 1 上导集d + u ： 令“：q r ，y o q ，如果存在p o r ”使得 l i m s u p ( 材( y ) 一“( ) 一风( y - y o ) ) l y - y o l 。1 o y _ 均 “ 则由所有风构成的集合d + “( ) 就称为“在y o 点的上导集。 类似地，我们可以定义下导集d 一“： 令甜：q 。r ，y o q ，如果存在p o r ”使得 l i m ，+ i 如n f ( 、“( y ) 一”( ) 一p o ( y y o ) ) l y y o l 。1 o- 则由所有风构成的集合d u ( y o ) 就称为“在y o 点的下导集。 定义1 2 t 2 l 粘性解 令“c ( q ) ，若对任意的j ，q ，p e d + u ( y ) ，：f f f ( y ，“) ld 甜( y ) ) o 成 立，则称ue c ( f 2 ) y gf ( x ，“g 归“ ) ) = o 的粘性下解； 若对任意的j ，q ，ped 一“( y ) ，有f ( y ，“( y ) ，d “( y ) ) 0 成立，则称 “ec ( a ) y 寸f ( x ，u ( x ) d u ( x ) ) - o 的粘性上解； 若u 既是粘性下解，又是粘性上解，则称u 为粘性解。 下面的定义为粘性解的等价定义 定义1 3 t 2 1 令u c ( q ) 。对所有c ( q ) ， 如果“一在甄q 处取得局部最大值，则f ( j ，。，“( y 。) ，du ( y o ) ) s0 ， 3 如果“一在y o q 处取得局部最小值，贝j j f ( y o ，“( y o ) ，d u ( y o ) ) 0 ， 那么称甜c ( n ) 为方程f ( y ，“( y ) d 甜( y ) ) = o 在9 上的粘性解。 定理1 1 嘲( 粘性解的稳定性) 令 e 是q x r xr ”上的一列收敛于 f c ( 9 2 xr xr ”) 的连续函数列， 且c ( n ) 是e ( 儿u 。，d u 。) 0 ( e ( y ，“。，d u 。) 0 ) 的粘性解。假设_ z ，c ( n ) ，贝1 j u 为f 0 ( f 0 ) 的一 个粘性解。 命题1 1 t 1 1 设u ，1 ，分别是方程f ( x ，掰( x ) ，d 甜 ) ) = 0 的粘性下解和粘性上解，则 w = m a x ( u ，v ) ，w = m i n ( u ，v ) 分别是方程f ( x ，扰( x ) ，d 扰( x ) ) = 0 的粘性下解和 粘性上解。 命题1 2 t 1 1 设缸一) 蒯是方程f ( x ，“ ) ，d u ( x ) ) = 0f l 僦- f ( 上) 解。 若w = s u p 蒯u ( i n f l ) c ( 9 ，nw 是方n _ f ( x ，“( 功，d u ( x ) ) = 0 的 粘性下( 上) 解。 命题1 3 t 1 1如果是方程f ，甜 ) ，d “( x ) ) = 0 在q 上的粘性解，且q 。为q 的一 开子集。则夕厶为f ( 五“( 功，d “ ) ) = o 在q 上的粘性解。 1 4 一般符号 1 昂：t y 程h ( x ，d u ( x ) ) = 0 的粘性解集： 2 昂：7 y 程h ( x ，d u ( x ) ) = 0 的粘性下解集： 3 昂：t y 程h ( x ，d u ( x ) ) = 0 的粘性上解集： 4 b u c ( r ”) ：只”上的有界致连续函数： 5 d ( x ，q ) ：点x 到区域q 的距离； 6 1 i m s u p z ( x ) ：对任意的z b u c ( r 一( o ，o o ) ) ， l i m s u p z ( x ) = l i m s u p v 嘲z ，t ) 7 1 i m i n f , z ) ：对任意的z b u c ( r 疗( o ，) ) ， 4 l i mi n f oz ( x ) = l i m i n f y 嘲z ( y ，f ) f 8 i n tb ( y ，s ) ：以y 为圆心，s 为半径的圆的内部。 9 瓦= p eq 帕i - r ) 1 0 彳c 舾，丁l 尺”) ：= ：i s ，丁】一r ”，伪绝对连续函数 1 1 一 i d o - - v c ( 胍 o ，) ，r ) 7 蕊】( v 一九) 棚，t o ) 我们将建立下面的结果： 定理2 1 令( 4 ) 一( 4 ) 成立，_ r u 。令“c ( 尺”【o ，) ) 为方程( 1 ) 和( 2 ) 的粘性 解，r u 甲o 。则当fj 悯时甜( x ，t ) + c t 在r ”的紧子集上收敛于1 l d 。其中，v o o 为 方程( 3 ) 的粘性解。 2 2 定义与引理 定义2 1 1 1 0 1 曲线y ：对任意区间，cr 和y ：，jr ”，如果y 在，的任意紧子区间上是 绝对连续的，则称y 为，上的曲线。 定义2 2 【1 0 1 方程( 3 ) 的a u b r y 集： 首先定义函数 如c ( r ”r ”) ：如( z ，y ) = s u p v ( x ) c ( r ”) ，何( v ) c ，v ( y ) = o ) 则称a 日= y 如( ，y ) 为方程( 3 ) 的粘性解) 为方程( 3 ) 的a u b r y 集。 命题2 1 f n , m 对于任意的x ，y r ”，有 ( i ) 如( x ，j ，) = i - 以f ( y ( s ) ，多( s ) ) t t o , y e g ( 毛，；弘。) ) ，其中，三为与相 关的拉格朗日函数； ( i i ) 如( x , y ) 为方程( 3 ) 的粘性下解。 ( i i i ) v v 品营v ( x ) 一v ( j ，) 如( x ，y ) 。 定义2 3 【1 1 1临界( 上，下) 解： 若妒为方程( 3 ) 的粘性( 上，下) 解，则称为方程( 3 ) 的临界( 上，下) 解。 命题2 2 对比r ”，令v 。g ) = i n f d g ，j ，) + 九，z ) + 材。( z ) x ，z r “，y a ) 则 ( i )吒g ) 为方程】- o 的粘性解的表哒式； ( i i ) 七) = i n f d g ，y ) + 甜。( y ) x ，y r ” 为最大临界下解，且七) d o g ) ； ( i i i ) 在a 集上，= 1 ，为临界下解。 8 证明( i ) 见【1 0 】： ( i i ) 由v g ) 的定义，显然有v g ) u o g ) ，且v g ) 一v ) d n g ，y ) 。所以，v g ) 为方程日瞄】- 0 的粘性下解。假设施) 为另一粘性下解，且w g ) u o g ) 。则对 v x ，y r ”，有以) 一w ) d ng ，y ) 。即，以) i n f d g ，y ) + w 0 ) ) v g ) 。故v g ) 为最大临界下解； ( i i i ) 可由( i ) 直接推得。 注对于方程( 3 ) 的粘性解的表达式的最近成果可参1 阅 13 】 定义2 4 临界曲线) ，：令曲线y ：r 寸r ”，如果对v 口，b r ，且口 u ( r l ( t ) ，f ) 一妒0 ( r ) ) 为r 上的不增函数。 证明令，t 2 【o ，) 且 如，则 u ( 7 7 ( ) ，) 。u ( 玎0 2 ) ，t 2 ) 2 id “( ，7 ( s ) ，s ) 。，7 ( s ) + ( 叼( s ) ，s ) l t = fd 甜( 7 7 ( s ) ，s ) 7 7 ( s ) 一片( 7 7 ( s ) ，d “( 7 7 ( s ) ，s ) ) f 喀 三l 叩( s ) ，叩( s ) j 以= 妒( 町( f 1 ) ) 一咖( 叩( f 2 ) ) 即，甜o ( f 。) ，f 。) 一妒( 而( f 。”甜g ( f ：) ，f ：) 一咖o ( f ：) ) 引理2 5 令“。c 忸”) 为方程( 3 ) 的粘性下解，则s ( f - 。+ c f 马v 。，其中为 命题2 2 中所定义。 证明由命题2 2 知，在a 集上= v 为最大粘性下解，且，。= 材。，从而在r ”上有 1 ，o “o 。因为甜o - c t ，一c t 分别为方程( 3 ) 的粘性下，上解，由比较原理知，在r ”上 有“o c t s ( ，k o 1 ，o c t 。从而在a 集上有= s ( ，- o + 甜= v o 成立，即 u = u = v 0 。于是，在尺”上有“= u = v o 。即，s ( f - o + 订马h 。 引理2 6 。1 0 1 令k 为r ”的一紧子集，则存在一常数6 ( 0 ，1 ) ，模函数p ( ) ，使得对 o ，妒s 二，叩k ，7 ( 【0 ，f 】) ck ，t 0 ，s ( 6 ，6 ) ，有 1 0 s ( t ) u o ( r l ( t ) ) - u o ( ，7 ( s f ) ) 9 ( 7 7 0 ) ) 一妒( 7 7 ( 昌r ) ) + i f i p ( 1 i ) 2 3主要结果的证明 定理2 1 的证明不失般性，我们可以假设c = 0 。 1 v r o ，x b ( o ，r ) 有1 ，。g ) “g ) u ( x ) 由粘性解定理知“而，”昂，而且由日( x ，) 的凸性有甜昂。从而由引理2 3 有 “。令v g ) = i n f d g ，y ) + ( y ) y 尺”) ，则由v g ) 的定义知v g ) u o g ) 。由 半群 s 脚的单调性有s ( f 弘g ) s ( ，弦。g l x r ”。根据命题2 2 和引理2 5 ， 令 rj 佃得， g o g ) 材g ) 甜g ) ，v r o , x b ( o ，尺l 。 2 令妒q ( u o ) ，m = u 0 ) ，则在m 集上有妒v o 。 n e k 令& 与佃，厶j ，叩，cs t 舰，7 ( & ) = 而em ， 七1 i m 佃s ( t k u 。= 咖。 另外，令咯= 一t k 垃竺斗佃，固定f 0 ，用7 7 ( + r k ) 和分别代替引理2 6 中的7 7 和9 ，且令t = t k ，= f t k ，贝i j _ 阿 s ( t ) u o 铆( & ) ) 一( r 7 0 + 咯) ) v o 铆( ) ) 一v o 铆o + ) ) + h p q j 庇i ) 令k 一佃，则对任意f 0 ，某y ，c ，有( x o ) - v o o ( x o ) ( y ( f ) ) 一v o ( y ( f ) ) i r a j 寸佃，6 j 专帕s j 一栩时有s ( 乃) ( y ( o ) ) 斗( ) ，( o ) ) 且s ( 乃+ 包) 一 则由引理2 4 知( y ( 屯) ) 一v o ( y ( 屯) ) l 妒( y ( 屯) ) 一s ( 乃+ 屯) ( y ( 屯) ) l + s ( 乃+ 屯) ( y ( 屯) ) 一( ) ，( 屯) ) 0 有 妒o ( 0 ) ) 一妒b 仃”= 幽( 叩( o ) 7 7 仃) ) = 一“b ( 丁) ，7 7 ( o ) ) = v ，0 ( o ”一y g 仃) ) 令丁= f ，专佃得 妒) = 熙b 也) ) 一如6 7 ( f ，l y ) ) = g ) 一幽g ，y ) l f ，g ) 一如g ，y ) = l i m ( 少( r ( t ，) ) 一九6 7 以l y ) ) = y ) 由y a 月的任意性知，在a 集上也有妒i f ，成立。 4 对坛r ”有v o ( x ) 甜( x ) 成立 由第2 ，3 步知，对觇a ，有v 。g ) u ( x ) 成立又因z ，g ) 。，于是由引理2 1 知，对协r ”：f f v o ( x ) - “( x ) 成立。 从而结合第1 步和第4 步可得： 对 o ，x b ( o ，尺) 有v o g ) = “g ) = ”g ) 成立 证毕。 1 2 第三章哈密顿一雅克比方程柯西狄利克雷问题解的长时间行为 3 1 引言 在本文中，我们考虑哈密顿雅克比方程柯西狄利克雷问题： c x ( o ，o o ) q 0 解的长时间行为，其中q 为r ”的一 锄( 0 ，o o ) 关于边界值i 司题，最近也吸引t 许多学者。比如，在静态边界条件下研究哈密顿 雅克比方程解的长时间渐近行为问题 2 0 ，2 1 】；在狄利克雷边界条件下的研究成果 1 7 ，1 6 】。 i ： 粼口道，对于任觏硪狄利克雷憾( d ) 口嚣搿钏蠹有， 当且仅当口，其中：= i n f a e r h ( x ，d “( x ) ) = 口有解) ，且( c d ) 解的长时间 行为依赖于的符号。本文只考虑o 的情况。 3 2 定义与引理 本文作如下假设： 4 ：j h “( 队r ”) 。 【h ( x + z ，p ) = h ( x ，p ) a 2 ：存在一粘性下解妒b u c ( q ) ，即h ( x ，d 妒) o ，x q 。 a ，：存在连续函数肌：【o ，】_ 尺+ 使得聊( o + ) = 0 ，且对所有的x ，y 五。 a 4 ：存在叩 o ，y ( 叩) 0 ，s _ r 如果( z ，p + g ) 1 1 ，且对某x ac 五，p ，q r ” 则对所有的p ( o ，l l 有胆g ，卢。1 p + g ) 日g ，p + q ) + y ( r x l j l l ) 。 a 5 ：存在一紧子集kcq ，使得 ( i ) 月g ，p ) 0 ，k xr ”： ( i i ) 对所有6 ，叩 o ，a = ( k 6 ) c ，a 。成立。其中，( k 。) = 扛q d ( x ，k ) 艿 。 以：c ( _ j c 汹) ，且“。g ) 厂g b 弛。 命题3 1 设口r 为一常数。 ct ， 方程( 肥) 口 z 篆： 三；茎兰兰在五上存在一连续性解当且仅当 a 2 c h 。 ( i i ) 对任靓小c ( 孙旆憾0 扩蠹存在落性解当且 仅当口c h 。 注该命题的证明请参阅 2 1 ，定理3 3 和定理3 4 】和 1 6 ，命题3 2 】 对任意的叼 。，定义函数z 叶o ) = ，瘿如 厂 心o ) 2 恶l 引理3 1 假设日叱( q 瓦) ，w b u c c 6 【0 ，”为方程 u t ( x ，f ) + 日( x ，d u ( x ，) ) = 0 的粘性解，且彳2 以成立。则函数心是变分不等式 m a x ( “( f ) + 印( 7 7 ) ( 心( r ) 一1 ) ，如( ，) 一( f ) ) of ( o ，) ( a ) 的一个粘性解。其中c 是个只依赖于w 和西的常数。 注该引理的证明见【9 ，2 5 。 引理3 2 假设日q 瓦) ，w b u c c d 【0 ，”为方程 坼( x ，r ) + 日( x ，d u ( x ，) ) = 0 的粘性解，且彳2 彳。成立。则存在一个只依赖于w 和妒 的常数c 使得 心( f ) l + 科( ( p ) 一1 ) e 删叶胂 ( 心( o ) 一1 ) p 一唧加， ( ) 而且，若当，专，致收敛，则对所有s ，x q 有 w g ，f ) 一w g ，s ) 一2 叼g f ) 6 。( ，) 其中，6 。：【0 ，) j 【0 ，) 且当f 寸时，艿。( f ) 专0 。 证明1 由引理3 1 所保证的比较原理和( ) 左边为变分不等式( a ) 的粘性解可得该 引理的第部分成立。 1 4 2 由r _ o 。，缸一致收敛可知，当f _ o 。时，秭( f ) 一1 ，j n ( t ) - - 1 。贝u x c x - f i ，s f 有 心( f ) ( w ( x ，) 一( x ) ) 一w ( x ，s ) + 妒( x ) 一2 叼( s f ) o 因此w ( x ，r ) 一w ( x ，s ) 一2 叩( s 一，) 学( ( 1 一( ) ) ( w ( x ，) 一妒( x ) ) ) 当f 寸时，m _ a x ( ( 1 一心( ，) ) ( w ( x ，f ) 一妒( x ) ) ) 专。 令学( ( 1 一心( r ) ) ( w ( x ，r ) 一( x ) ) ) ：= 磊( ，) 贝0 有w b ，f ) 一w ( x ，s ) 一2 叩g 一，) 6 。( ，) 其中，艿。：【o ，o o ) 一【0 ，) 且当，专时，6 。( f ) 专0 引理3 3 ( i ) 若勺 o ，则存在常数m o 使得卜( x ，t ) + c u t l m ( x ，r ) 五【o ，) ( i i ) 若o ，则存在常数鸠 o , r 吏得l u ( x ，) is 鸠( x ，f ) 五x o ，) 。 注该引理的证明类似于 1 7 ，命题3 5 】 3 3 主要结果及证明 下面是主要结果： 定理3 1 假设彳，一以成立，材亡b u c ( q ( 0 ，”是( c d ) 的粘性解，且关于x 是周 期的。 ( i ) 若 o ，则存在方程( 阳) 白的周期解b w ( 五) 使得 l ，g ，) 一o 。g ) 一c 何f ) j0 ，x 一五，f o o ( i i ) 若= 0 ，则存在( d ) 。的周期解”b ( q ) 使得“( x ，) 一“( x ) ，f 专o o 证明( i ) 0 时 设”钳g ，t ) - - u ( x ，f ) + c 珂，g ，f ) 五【o ，) 厶g ，f ) = f ( x ，) + c f ，g ，) 孢( o ，) 令m 。为引理3 3 中所示的常量。 因为以，g ，f ) 一。o ，一o o ，x 孢，且卜铂g ，) | m 。，g ，) 五 o ，o o ) 。 所以我们可以找到一- 0 ，使得正g ，) “钳g ，f ) ，g ，f ) 五g ，) 肌獭隰! 箍游：怒， 则易见为f 乏二搭；：麓乏芝裟z 兰案弓的粘性解。 因此，由 1 6 ，定理2 1 可得存在方程( 阳) 白的周期解b 沈( q ) 使得 甜钳g ，) 一v 。g ) 哼0 ，x 专孬， 即甜g ，f ) 一o 。g ) 一c h ，) 0 ，x 专孬，一。 ( i i ) = 0 时 1 由假设4 知，在k 上有甜，0 。 所以z ，在世上关于t 是单调递减的，而k 是紧集， 故由单调有界定理可得，当foo o 时，u 在k 上是致收敛的。 2 考虑函数z 吁( ，) = ，瘿 型区名若耕 ， 础) - ，瑰产帮 其中，对7 7 o ，= & - 五a ( x ，k ) 7 7 ) ，q 。= k 广 由第1 步和材的致连续性可知： 啦豇z q l 一，0 ) ，o ) j 巳：! 专o ； 再利用引理3 2 可得， 也豇j l l n 1 一o l 0 ) j 巳o 因此对所有j o ，g ，f ) k r iy 【o ，s 】有 材g ，r ) 一”g ，s ) 一2 r ( s f ) 6 。( ，) ，其中画6 。( f ) v 0 ) ( 3 3 1 ) 3 因为函( ，) r 卸是紧的，且“( ，) 是关于x 是周期函数。 所以我们可以考虑子序列”( ，瓦) ，瓦寸佃。 由粘性解的最大值原理知，对任意刀，p n 有 1 6 虬l + ) - 4 ，乙+ k ( o 卅) 瓦) 一“( ，叫r ( - ) ( 3 3 2 ) 由( 3 3 2 ) 式可知，0 ( ，瓦+ ) ) 。s v c ( 五( o ，) ) 是一柯西列。 因此，“( ，瓦+ ) 一致收敛于函数甜。b ( _ ( o ，) ) 。 4 对于v o f j ，x k 。广，由( 3 3 1 ) 式有 u ( x ，r + 瓦) 一u ( x ，s + 瓦) 一2 叼g 一，) 6 。( r + 瓦) 令r g o o ，r l 寸0 得，对所有0 t s ，x 伍) 。有 “。g ，f ) 一u 。g ，j ) 0 即u 。是关于f 递增的。 另外，由第1 步知，当f o 。时，勉是一致收敛的。 因此，u 在k 上关于时间t 是常数。 5 由粘性解的稳定性可知，u 。为方程“，( x ，) + h ( x ，d u ( x ，f ) ) = 0 的粘性解。 、 因为甜。是关于时间f 递增的，即，0 。l 0 。 所以，h ( x ，d u 。( x ，f ) ) o ，x q ， 0 再由稳定性可得：t t ( x ，d “。( x ，o ) ) 0 ，x q 。 上式表明，u 的w 极限集中的任一函数均是静态方程的粘性下解。+ 毒r 6 由“( ，瓦+ ) 一致收敛于可得 一o n ( 1 ) + “。g ，f ) u ( x ，l + f ) “。g ，f ) + d 。( 1 ) ，x f l ( 3 3 3 ) n u 。b u c ( a ( o ，”关于时间，是递增的， 故( ，f ) 一云( ) ，t - - o o ， x q 。 对( 3 3 3 ) 式左右两边取松弛的半极限l i m s u p ，l i m i n f 得 一d 。( 1 ) + 云g ) l i m “g ) 面 g ) 云g ) + ( 1 ) 令刀一得l i m “g ) = l i m u ( x ) = u ( x ) , x q 。 即证得甜( ，f ) 致收敛于云，f _ o o 7 由稳定性性质可得，云是日( x ，d u ) = 0 的粘性解。 因“关于x 是周期的，故云g + z ) = l ，i m 。“g + 乙t ) - l ，i m 。“g ，f ) = 云g ) 1 7 所以，u 也是周期函数。 1 8 第四章时间周期哈密屯页- 雅克比方程的比较定理 4 1 引言 令q 为尺“的个有界开子集。本文研究带有时间周期的哈密顿雅克比方程 ( 0 1 ) + h ( x ，f ，d “) = 0 ( x ，t ) e q 尺( 口) “( x ，) = s ( x ，)( x ，t ) e 讹尺( b ) u ( x ，+ 丁) = ”( x ，t ) ( x ，f ) 孬r ( c ) 其中，h ( x ，f ，p ) 是d x r x r ”上的实值函数，且关于变量p 是凸的和强制的。 u ：q r 哼尺为未知函数。 坼：= o a u l a t ，d u ：= ( 锄挑，a u 钆) f ：a q r 专r 为给定的时间周期为丁的函数，并且称日为哈密顿函数。 最近几年，许多学者在自治哈密顿雅克比方程解的长时间渐近行为领域开展研 究并有较丰富的成果，可参阅 7 - 1 8 。对于非自治方程，也有相应的结果，可参阅 2 2 。 而比较定理在其中起着举足轻重的作用，可以使复杂问题得到简化。因此，研究比较 定理有着实际的重要意义。 全文做如下假设： ( 4 ) h c ( 孬r 尺”) ： ( 4 ) 对魄q ，函数p hh ( x ，t ，p ) 是严格凸的： ( 4 ) 月是酬m 口，渐私) - r 有i 牌掣= 佃眦 ( 4 ) f ：讹r r 为连续有界函数。 4 2 定义与引理 定义4 1 【2 0 1 令“c ( 五r ) 。如果满足下列三个条件： ( 1 ) 材为( o 1 ) ( 口) 的粘性下( 上) 解； ( 2 ) 对每一妒c 1 ( q r ) 和每一点( ，t o ) 施r ，使得 若“一驴在( ，t o ) 处取得局部最大( 小) 值，则 m i n ( “一厂) ( ，o ) ，咖+ h ( ，o ，o 妒( x o ，o ) ) ) o 1 9 ( n a ) 【 ( ”- f ) ( x o ，r o ) ，咖+ 日( ，岛，d 妒( x o ，) ) o ) ： ( 3 ) 对v 丁 0 有甜( x ，t + t ) = ”( x ，