（应用数学专业论文）分数微分方程的边值问题与分数脉冲微分方程解的存在性问题.pdf

】、_ 1 j t 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：卷砷犋 日期：埠年业月互日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 日期：珥年必上日 摘要 分数微分方程在数学和现代科学技术的很多方面有着广泛的应 用，比如它在黏弹性理论、电子化学、控制理论、多孔介质等理论上 有着重要应用。因此，近些年来，它受到了越来越多学者的关注，关 于分数微分方程的理论与应用研究也取得了许多好的成果。 本文主要针对一类分数微分方程的若干边值问题及一类分数脉 冲微分方程初值问题解的存在性问题展开研究，全文共分为四章。 第一章我们介绍了分数微积分理论的历史、发展现状，并简要介 绍了本文所做的主要工作。 第二章我们做了一些准备工作，主要介绍了分数微积分理论的基 本定义、性质和下面将要用到的不动点定理。 第三章是本文的核心部分，我们讨论了几种分数微分方程边值问 题解的存在性，并结合几个例子证实了得出的结论。 第四章我们考虑了一类分数脉冲微分方程的初值问题，给出了保 证解的存在唯一性的充分条件。 关键词分数微分方程，边值问题，初值问题，不动点，分数脉冲微 分方程 a bs t r a c t f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eaw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si n m a t h e m a t i c si t s e l fa n dm a n ya s p e c t so fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y f o re x a m p l e ，w ec a nf i n dn u m e r o u sa p p l i c a t i o n si nv i s c o e l a s t i c i t y , e l e c t r o c h e m i s t r y , c o n t r o l ，p o r o u sm e d i a ，e t c s o ，f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni se n j o y i n gm o r ei n t e r e s ta m o n gs c h o l a r si nr e c e n ty e a r s t h e y h a v ed r a w ns o m ef i n ec o n c l u s i o n so ft h et h e o r ya n da p p l i c a t i o nr e s e a r c h f o rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m st oac l a s s o ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt o f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ew i l li n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dc u r r e n tr e s e a r c h s i t u a t i o no ft h ef r a c t i o n a li n t e g r a la n dd e r i v a t i v et h e o r y a n dw eb r i e f l y d e s c r i b et h em a j o rw o r kd o n ei nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ew i l ls h o w s o m ep r e l i m i n a r yr e s u l t s ，i n c l u d i n gb a s i c d e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ff r a c t i o n a li n t e g r a la n dd e r i v a t i v e ，ac o u p l e o ff i x e dp o i n tt h e o r e m s c h a p t e r3i st h ef o c u so f t h i st h e s i s i nt h i sc h a p t e r , w ed e v o t e dt o e x i s t e n c ef o rt h es o l u t i o no fv a r i o u sc l a s s e so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o m ee x a m p l e sa r ep r o v i d e dt o h i l l u s t r a t et h er e s u l t sp r e s e n t s i nt h i sc h a p t e r 4 ，w ec o n c e r nw i t hi n i t i a lp r o b l e m so fac l a s so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi m p u l s e w eg e tt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a te n s u r e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n k e yw o r d s f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ，i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，f i x e dp o i n t ，f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi m p u l s e i i i 目录 第一章绪论l 1 i 研究背景1 1 2 研究现状2 1 3 本文的主要工作3 第二章分数微积分的基本理论5 2 1 分数微积分的定义，5 2 2 相关的定义和定理5 第三章一类非线性分数微分方程的边值问题7 3 1 引言7 3 2 当1 口2 时，方程( 3 1 ) 的两点边值问题7 3 3 当3 口4 时方程( 3 1 ) 的两点边值问题l l 3 4 当疗 口 + l 时，方程( 3 1 ) 的两点边值问题1 5 3 5 当l 口2 时，方程( 3 1 ) 带积分条件的边值问题l8 3 6 当2 口3 时方程( 3 1 ) 带积分条件的边值问题2 1 第四章分数脉冲微分方程解的存在性2 6 4 1 引言2 6 4 2 主要结论2 6 参考文献31 致谢：3 6 攻读学位期间主要研究成果3 7 i v 硕一卜学何沦文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 分数微分是常义微积分在阶数上的一个推广，所谓的分数微分或积分，不是 指一个分数或者一个分数函数的微分和积分，而是指微分的阶数及积分的次数不 是整数的，而是分数的，它可以是任意实数，乃至是复数。l e i b n i t z 和n e w t o n 发明微积分之后不久( 见文 1 ) ，1 6 9 5 年，法国的l h o s p it a l 写信咨询 l e i b n it z ，问如果导数的阶数是分数时代表什么含义? 这是第一次提出分数微分 的说法。距发表首篇微积分的论文只有1 1 年，它显然是一个很难回答的问题， 不过l e i b n i t z 还是在1 6 9 5 年回复，说了一些似是而非的猜测，他写道，“你可 以这么考虑，分数导数可以理解为两个整数导数之问的一种插入法”，这一点虽 然也是猜测，但毕竟用现在的手段做到了。 自l e i b n i t z 与l h o s p i t a l 从1 6 9 5 年通信到1 8 1 2 年，虽然有很多的数学 家的关注，但是分数微积分仍然只是纯数学的一些议论和猜想，在实质上并没有 什么较大的发展。 1 8 1 2 1 9 7 4 年，这期间逐步的提出了分数微积分的相关概念、名称，之后给 出确切的定义和性质，给出了一些在实际运用中很重要的结论，并于1 9 7 4 年出 版了第一本分数微积分的专著( 见文 2 ) ，在美国的n e wh a v e n 大学召开了第一 次分数微积分的国际会议，由美国国家科学基会资助，会后出版了会议论文集( 见 文 3 ) 。 1 9 7 4 年至今，无论是分数微积分( 见文 5 卜 9 ) 还是分数微分方程都有了很 大的发展和进步( 见文 1 0 - 2 1 ) ，理论进一步完善，也在很多领域有了广泛的 应用( 详见文 2 2 - 2 8 ) 。分数微积分理论中有多种不同的定义，出现比较多的 就是r i e m a n n - l i o u v i l l e 型( 见文 2 9 ) 和c a p u t o 型的( 见 3 0 ) ，不同的定义方 式反应不同的应用背景，各有各的优势( 见 3 1 一 3 6 ) 。 分数微积分的应用背景，第一个例子就是l i o u v i l l e 的势位问题方程，第二 个就是a b e l 的登时降落线问题。二十年，分数微积分理论有了突飞猛进的发展， 成为工程科学中复杂现象建模的重要工具( 见文 3 7 ， 3 8 ) ，并展现出它独特的 优势。数微积分具有描述物质记忆功能和遗传效应的特征，这使得它比整数阶导 数的描述更加精确数微积分理论在电化学过程、色噪声、控制理论、流体力学、 地震分析、电子电路、粘弹性阻尼器、混论一生物工程、材料记忆、岩石的流变 性质描述、生物模型、传染病模型、半自动系统的渗透结构模拟等领域有诸多应 硕十学位论文第一章绪论 用( 见文 3 9 ， 4 0 ， 4 1 ， 4 6 ， 4 7 ) ，在实际问题中的应用也推进了分数微积分 理论的发展。 比如，粘弹性力学模型，由固体弹簧的h o o k 定律，力与位移成正比 f = k o x ，= c o n s l 带有粘性的液体中，力与速度成币比、 f = k x ，j | 。= c o n a t 于是在文 4 中用下式作为粘弹性模型 f = k d 口z 其中0 g l l ，口是有物质属性决定的常数。 自从分数微分的想法提出来之后，许多著名的数学家l i o u v i l l e ，r i e m a n n ， w e y l ，f o u r i e r ，a b e l ，l a c r o i x ，l e i b n i t z ，g r u n w a l d ，l e t n i k o v 等都致力于分数研 究，分数微分不仅仅是常义微积分的一个推广，它在很多性质和定理上都有着和 常义微积分不同的地方，比如在推广常微分方程乃至泛函微分方程的经典理论的 研究中( 见文 4 2 ， 4 3 ， 4 4 ， 4 5 ) ，分数微分方程绝不仅仅是简单的推广，它 在条件的要求上和常微分方程和泛函微分方程是有所不同的。 1 2 研究现状 对于分数微分方程，总的来说它的基本理论还不是很完善，解的整体存在定 理、方程组的存在唯一性定理、关于参数与初值的可微性定理，以及更为复杂的 分数泛函微分方程的基本理论，都有待进一步的研究和探讨。 但是，在解的存在理论、边值问题、精确解、解的估计( 见文 4 8 - 5 4 ) 等 方面已经有了较好的结果，目前可以用f o u r i e r 变换( 见文 5 5 ) ，l a p l a c e 变换 来解决一些较简单的分数微分方程然而对于非线性分数阶微分方程的数值求解 的发展还相当不成熟，主要还是借鉴整数阶微分方程的方法，但是在整数阶微分 方程中出现的数值方法中有相当一部分不能应用于非线性分数阶微分方程，目前 已有的方法是针对特定问题或必须满足某些特定要求的算法，并不具有普遍性， 并且，这些方法中有很多缺乏系统的稳定性和收敛性分析，所以很多方法是有待 改进的，还需要做大量的工作。解的数值逼近方面，出现了微分变换( 见文 5 6 ) 、 a d o m i a n 分解( 见文 5 7 ) 、矩阵变换等方法，经做图验证，它的近似性可以达到 我们的要求。 a g a r w a lr ，b e n c h o h r am ，h a m a n is 在文 5 8 中讨论了当1 口2 时分数微分 方程的边值问题 2 硕十学位论文 第一章绪论 d 口“，) 葛f ( t ，y ) ， a y ( o ) + b y ( t ) ；c 其中d 口代表c a p u t o 定义的分数微分，给出了上述边值问题解的存在唯一性和解 的存在性的充分条件。并将解的存在性从局部推广到了全局，从而人大改进了现 有的结果。对于带有时滞的分数阶微分方程，从其解的存在唯一性入手，文 5 8 也得到了很多好的结果。在文 1 4 中，作者也给出了一类非线性分数阶微分方程 解的存在唯一性和稳定性的结论在文 6 5 中，作者讨论了当2 口3 时非线性 分数微分方程的边值问题： d y ( o = f ( t ，少) y ( 0 ) = 少( 1 ) = y ( 0 ) = y 7 ( 1 ) = 0 其中d 。代表r i e m a n n - l i o u v i ll e 定义的分数微分，运用不动点定理给出了边值 问题解的存在的条件 1 3 本文的主要工作 本文主要展开以下两方面的工作： 一、分数微分方程的边值问题 j 下如前面指出的，已有许多学者研究了分数微分方程的边值问题，并取得了 很多好的结果。 本文中，考虑的是一类非线性分数微分方程： d “，( ，) = f ( t ，y ) ( 1 1 ) 其中，【o ，丁】，我们令，= o ，丁】 我们就下面五种情况讨论了方程( 1 1 ) 的边值问题的解的存在性。 边值问题i ：l o t52 ，边值条件为： a y ( o ) + b y ( t ) = c ， m y ( 0 ) + r o , ( 7 ) = ，； 边值问题i l ：3 口4 ，边值条件为： j ，( 0 ) = 虬，y 7 ( o ) = y o 。， y ”( 0 ) = y o ”，y ( 丁) = y 7 ，； 其中，”，所都是常数： 边值问题i i i ：疗 口力+ l ，边值条件为： j ，( o ) = y o ，y ( o ) = 咒，y ( o ) = y 2 ， 少( 川( o ) = 以中y ( r ) = 蜥； 硕十学侮论文第一章绪论 其中n 是有限整数； 边值问题：1 口2 ，边值条件为： y ( o ) = fg ( 叫炒， 夕( 丁) = f 厅( 3 ，y ， 其中g ，h ：j xj 6 f 寸足是连续函数； 边值问题v ：2 口3 ，边值条件为， y ( o ) + y ( r ) - - fg ( 蹦( s ) p ， ( o ) + 夕( 7 ) = f 办( s ，y ( s ) 净， y 。( o ) + 厂( 丁) 生fv b y ( j ) p 利用压缩映射原理和s c h a u d e r 不动点定理，我们分别给出了上述五种情形 下方程( 1 1 ) 解的存在或解的存在唯一性的若干充分条件，并给出了具体的实例 验证了我们所得结论的可行性。 二、分数脉冲微分方程解的存在性问题 关于脉冲常微分方程与脉冲泛函微分方程的理论研究已有了大量的结果( 见 文 6 0 ， 6 1 ) 。然而，关于分数阶脉冲微分方程的理论研究目前得到的结论还并 不多( 见文 6 2 6 5 ) 。 在本文中，我们考虑一类具有脉冲干扰的分数微分方程： d 口y ( t ) = 厂( ，y ) ，t t k ，= l ，2 ，m ， 却k = i k ( y ( f i ) ) 缈b = ( y ( 巧) ) ( 1 2 ) 缈f ，咆= 巧( y ( ) ) 其初始条件为： y ( 0 ) 霉儿，y ( o ) = 乃，y 。( o ) = 耽 ，= 【o ，丁1 ，2 口3 ，f ：j xr 一尺是一个连续函数，砂h = j ，( 砖) 一y ( ) 五：足专r ，k = 1 9 o o , o , 9 m 我们首先建立了方程( 1 2 ) 的等价形式，然后借助不动点定理给出了方程 ( 1 2 ) 存在唯一解的充分条件。 4 其中m 一1 ，m ，竹n 定义2 3c a p u t o 分数彤r ，傲分： 聍广口 f m 巾) 2 南f ( ，矿吨一广小 其中所一1 ，册，l n r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分和c a p u t o 分数阶微分的关系是： f ( x ) = 。8 厂( x ) 一煮m - 言! 西1x ( 。) 奠中m 一1 f 0 ，有 ，口d 口厅( f ) = h ( t ) + c o + c i t + c 2 t 2 + + 一l ，”一， 硕十学位论文 第二二章分数微积分的基本理论 其中q r ，f = 0 ，l ，2 ，疗一l ，聆= f 口1 + 1 假设以下函数的分数微积分均存在，则r i e m a n n l i o u v i l l e 分数微积分有以下 几个主要的性质： 性质2 1 d 口( c f o ) ) - c o 。s o ) ，c 是任意常数。 性质2 2 d 。( ：( ，) + 六( ，) ) = 彳( f ) + d “石( ，) 性质2 3 d 。口( f ) = 厂( f ) 性质2 4u i p f ( t ) = i 口+ p f ( t ) 。 c a p u t o 分数微积分有下列性质t 性质2 5 解析函数的f ( t ) 的c a p u t o 分数导数对t ，口都是解析的。 性质2 6 分数微积分算子是线性的，对任意的常数都有 d 。( 矿( ，) + 冶( f ) ) = a d a f ( t ) + b d 。g ( f ) 性质2 7 满足叠加性 d 。d 声( ，) = j d 叶( ，) 性质2 8 我们定义常数的导数为零，即 d “c = 0 分数导数的定义很多，最常见的就是r i e m a n n l i o u v i l l e 和c a p u t o 型的，每一 种分数导数的定义都用到了r i e m a n n l i o u v i l l e 分数积分和整数阶导数的定义，实 际问题要求分数导数的定义要满足物理上可说明的y ( 0 ) ，y ( t ) 等边值条件的应 用，c a p u t o 定义的分数导数正好符合要求，所以本文采用的是c a p u t o 型的定义。 引理2 2 ( 压缩映射原理) 设x 是完备的度量空间，t 是x 上的压缩映射， 那么t 有且只有一个不动点。 引理2 3 嘞1 ( s c h a u d e r 不动点定理) 设x 是b a n a c h 空白j ，n 是彳的全 连续算子，如果集合 e ( ) = x x ：x = 五川x ，名【o ，1 有界，那么n 有不动点。 硕七学位论文第二章类1 卜线性分数微分方程的边值问题 第三章一类非线性分数微分方程的边值问题 3 1 引言 在本章中，我们将考虑如下形式的分数微分方程： d 。y ( t ) = f ( t ，y )v t j = 【0 ，r l ， ( 3 1 ) 其中d 。代表c a p u t o 分数阶导戮，厂：j x 足寸r 是个连续函数， 我们将分五 种情形来讨论方程( 3 1 ) 的边值问题解的存在性。 3 2 当i 口s2 时，方程( 3 1 ) 的两点边值问题 考虑以下的边值问题： d 口y ( ，) = f ( t ，y ) a y ( o ) + b y ( r ) = c m y ( 0 ) + n y ( 丁) = ， 其中d 。代表c a p u t o 分数导数， a ，b ，c ，m ，以，r ，且口+ b 0 ，m + ”0 ( 3 2 ) f ：j xr 岭r 是一个连续函数， 引理3 1 函数y ( t ) 是边值问题( 3 2 ) 的解当且仅当y ( t ) 可以表示为： 舢2 丽1 ) ”1 巾州) 凼一丽肛s ) ”1 巾删) 凼+ 而c r ( ) “2 确删) 出一丽b t l + 1 i 一瓦蒜r ( t - s ) 扣2 几，y ( s ) ) 出f ， + l 焉一两丽土n y 刚出j 证因为y ( f ) = 厂( ，y ) ，则 口d 口y ( t ) = ，口厂( ，y ) ， 注意到1 o ，有 i ( ，z ，) 一( f ，甜) f 七l 甜一材1 成立，如果 胪c 丽i + 揣+ 网器雨+ 刊南n 巾6 ， 则初值问题( 3 2 ) 在【o ，t 】上有唯一的解存在。 证记c ( 【o ，t 】，r ) 为定义在【0 ，t 】上的所有连续函数的集合，对任意的 j ，c ( 【o ，t 】，尺) ，取范数 8 一 一、j 口 一o y ， 、 一 j 一+ 一 一口 铲叫蒜空堕 熹暑 硕十学位论文第_ ：二章一类1 卜线性分数微分方程的边值问题 i l y l l = m a x l y ( t ) l ， 则c ( 【o ，t 】，r ) 按范数构成b a n a c h 空间。 我们定义算子f ：c ( 【o ，t 】，尺) 一c ( 【o ，t 1 ，尺) 为 其中 删= 丽1 胁s ) 州几，y ( 5 ) ) 咖+ + 印， ( 3 7 ) c 2 而一口+ d c l = + b t l ( 口+ 6 ) ( ，”+ 聆)r ( 口) ( 口+ 6 ) b i n ( 口+ 6 ) ( ，竹+ 玎) r ( 口1 ) m + n ( m + n ) r ( a - 1 ) 如一s ) 弘1 巾，y ( s ) ) 凼 r ( 7 一j ) ”2 巾，y ( 5 ) ) 击， r ( r s 厂巾，j ，( s ) ) 出 由引理3 1 知，算子f 的不动点就足初值( 3 2 ) 的解。 f ( m ) 一f ( 耽) l 丽1 肛s ) 川i j ( 蹦( j ) ) 一巾，儿( s ) ) l a s + 两边取范数得， b t n 如一s ) 弘1i s ( 蹦。( s ) ) 一巾，y ：( s ) ) l 凼+ ( 口+ 6 ) ( ，卯+ 刀) r 1 ( 口一1 ) 如一s ) ”2i s ( 叫，( s ) ) 一巾，儿( j ) ) 阻 如一j 厂if ( 蹦( s ) ) 一邝，( s ) ) l 出 f ( ) 弘1 ) 啮( s ) 阿 r ( r - s n 儿( 5 ) 一儿( s ) f 凼+ r ( r s ) p 2 ) 喁( s ) 陋 j c n ( r s ) 扩2 ) 一儿( 5 ) i 出 9 七| 一r o , r 于w j ， c ue r ，有 ( ，z ，) | m 成立那么，边值问题 ( 3 2 ) 在f o ，t 】上至少有一个解。 证算子f 如( 3 7 ) 式所定义，我们要证明它是全连续的。 设ac c ( o ，t 】，尺) 是有界的，v y 4 ，v t l ，f 2 丁， ，2 ， i 毋( ) 一毋( f ：) l f l ( f i 叫a - i 巾删) 凼w 一一南f 2 ( f 2 5 厂一邢删) 凼叫 l 南f l ( ，i 叫”1 邢川叫豳一南f l ( ，2 叫”巾叫出一南黔s ) ”巾以叫 + m - c l t 2 i 南f i l ( ，- 一s ) 引* s ) 引删) p 丽1 心一s ) 铲1 y ( m 高睁卜”i + ( ，2 w 卜i c 胁，1 ) ， 由此可知f ( a ) 是等度连续的又v yea ，有 i - 丽l 肛s 几( 嘶) 枷i ”ii c l i r 高n i c 0 i + l ic 肌i 因此它是一致有界的，由a r z e l a - a s c o l i 定理知f 是全连续的。 定义集合q = y a ：y = 力，( j ，) ，0 力 1 ) ，容易证明q 是有界集合，根据 s c h a u d e r 不动点定理，算子f 有不动点，即边值问题( 3 2 ) 在【o ，t 】上至少有一 i o y ( 0 ) + 少( 1 ) = 0 这里，我们取厂( ，x ) = 南，由于 矿巾i _ 丽e - ti x - _ _ ly y ，1 ：上生二到 ( 5 + ) ( 1 + x ) 0 + y ) 丽e - t 卜x e 川 一l 一1 ，l ( 5 + 。) 。 ，。 l l x - y i x ，6 所以厂( ，x ) 关于x 满足李普西茨条件。 y d d y - 此时口= 6 = 聊= 删，七= 吉，丁= l ，及 南+ 南q丽+ i 丽砣 则可验证条件( 3 6 ) 满足，因此根据定理3 1 ，所以上述边值问题在 0 ，1 上有唯 一鳅l 链在存 3 3 当3 口4 时方程( 3 1 ) 的两点边值问题 这一节我们考虑如下的分数微分方程的边值问题： d 。y ( ，) = y ( t ，y ) y ( o ) = y o ，y ( 0 ) = 少( o ) = y o ”，y ”( 丁) = y r ( 3 8 ) 其中，j = 【o ，丁】，3 o ，对于v f ，v u r ，有i ( ，u ) l - m 成立那么，边值问题 1 3 硕+ 学位论文 第二章一类诈线性分数微分方程的边值问题 ( 3 8 ) 在【o ，t 】上至少有一个解。 证考虑如( 3 1 4 ) 式定义的算子石，下证算子是全连续的。 设ac c ( f o ，t 】，足) 是有界的，砂么，v i ! ，t 2 7 ，i ，2 ，有 旧y ( ，1 ) 一f , y ( t ：) l f i - - s ) 驴外，y 凼一 r ( 口)f 2 ( 1 2 - - $ ) p 仆，j ，( s ) ) 凼 + i c 。l ，：一 ) + l c ：l ( ，：2 - t 1 2 ) + p ，i ( ，2 一 3 ) + 川 胁s ) a - i 外以嘞幽一南北叫a - i 邝“叫凼一丽“2 ) a - i 邝“嘞叫 ( ，2 一，1 ) + i c ：i ( ，：2 1 1 2 ) + i c ，l ( ，2 3 一，1 3 ) 高肌- 矿。哥s ) i i j ( 蹦( s ) 枷南胁一s ) 扣1 删凼 + m ，2 一，1 ) + 蚓( ，：+ ( ，：一，1 ) + i c 3 i ( f ：一) ( r ：2 + ，1 2 + ) f ( a + 1 )口乞口一，i 口一t 2 一，1 ) 口j + ( 乞一，1 ) 。 + + i q f ( 乞一) + 2 r l c ：i ( 乞一，1 ) + 3 t 2i c ，i ( t - - t i ) 所以，e ( 彳) 是等度收敛的，又 眦) l 丽1 f ( ，s ) 州l j ( 叫( s ) ) i 凼+ i m i + i e i 丁3 f ( a + 1 ) t 4 + k o l + k 。i r + k 2 1 r 2 + k ，i r 3 所以，e ( 么) 是一致有界的，l 圭l a r z e l a a s c o li 定理得互是全连续的。 定义集合q = 少么 y = 2 f l ( y ) ，0 2 l ，容易证明q 是有界集合，根据 s c h a u d e r 不动点定理，算子e 有不动点即边值问题( 3 s ) c e o ，t 】上至少有一个 解存在。 证毕。 例3 2 考虑下面的分数微分方程边值问题： d 口y ( ，) = ( 5 + p ：) ( 1 + i j ，( ，) i ) ，f ，= 【o ，1 】，口e ( 3 ，4 】 j ，( o ) = 0 ，j ，( o ) = 1 ， ( o ) = o ，y ( 1 ) = o 1 4 硕： = 学何论文 第二章类弧线性分数微分方种的边值问题 这里， 我们取厂( f ，x ) = 石褊， 由子 帅叫洲= 丽e - tb 两yl p 卅l x - y l ：毫-=-二-一 ( 5 + p 7 ) ( 1 + x ) ( 1 + y ) s 羔1 1 石一以 s 酉丽卜h 扣y l ( ，工) 关于x 满足李普西茨条件t 由 币可1 + 可与 6 ，丽+ 丽 6 可验证条件( 3 1 3 ) 满足，因此定理3 3 的条件全部满足，从而上述边值问题 存r o1 1 卜有衅一的锶在存 3 4 当刀 口n + l 时，方程( 3 1 ) 的两点边值问题 考虑f 面的分数微分方程的边值问题： d 口y ( ，) = ( ，y ) ， y ( o ) = y o ，y 7 ( o ) = m ，j ，”( o ) = y 2 ， ( 3 1 5 ) 少1 ( o ) = 儿- l ，y ”( 丁) = ， 其中，j = 【o ，丁】，聆 口刀+ l ，1 1 是有限整数。 引理3 3 函数y ( ，) 是边值问题( 3 1 5 ) 的解，当且仅当y ( ，) 可以表示为： 如) 2 南f ( ，_ s ) 弘1 n 删) 凼w 肿责“+ 岛广 + 噜一面b 肛j ) 巾删) 螂詹 ( 3 1 6 ) i y 由于d 口y ( ，) = 厂( ，j ，) ，考虑到力 o ，有 l ( ，u ) - f ( t ，甜) l k l u - , , l 成立如果 k t 口k t 。 丽+ 而虿j 丽 o ，对于v ，e ，v u 足，有l ( f ，甜) l s m 成立那么，边值问题 ( 3 1 5 ) 在【0 ，t 1 上至少有一个解存在。 证算子e 如( 3 1 8 ) 式所定义，我们要证明它是全连续的。 设ac c ( 【o ，t 】，r ) 是有界的，v y 么，v f l ，2 r ，f i ，2 ， l f ，y ( t 。) - f ，y ( t ：) l f i ( ，i 叫a - i 巾删) 凼一南f 2 ( ，2 叫a - i 几州) 凼l + m ，2 一 ) + 川乞2 - 4 2 ) + 川，2 3 一，。3 ) + + h 憎一一一) + l 鲁一荔了 t 兰：j 万r ( 丁一j ) 口- n - i 厂( s ，夕( s ) ) 赤i ( ，：n 一 ”) 1 7 硕十学位论文 第三章一类1 f 线性分数微分方程的边值问题 ，一- j 砌州) 豳一南盼j 砌蹦) 凼一南胁s 潮蹦) 叫 一，i ) + i c 2 i ( ，：2 一，。2 ) + l e i ( ，：3 一，3 ) + + l 巳一。l ( ，2 ”1 一，l ”) ! i ( 口一，)如一j 厂巾，y ( s ) ) 凼 ( ，2 ”一，i ”) 丽1 眦一s ) 引一( ) 州州) 阻丽1 胁一j ) 铲1 y ( s ) ) l a s + m 乞一，1 ) + h ( ，：2 - t 1 2 ) + 吲 + y t 门! n ! f ( a - n ) r ( 口+ 1 ) + y r n ! ( 1 2 3 - - t 。3 ) + + i 巳一f ( ，2 p 。一，i ”。) f ( 丁一s ) u - n - i ( j ，y ( ，) 】凼f ( ，2 ”一，l ”) 1 ，2 口一 口一( t 2 - - i i ) “l + ( ，2 一，1 ) 4 + + i q i ( ，2 一，i ) + l 乞i ( ，2 2 一，1 2 ) + + i o n 一，i ( t 2 n - i - t i n - i ) n ! f ( a 一门)f ( 丁一s ) 口一”一1 厂( s ，y ( s ) ) d 譬 由此可知e ( 彳) 是等度连续的，又砂a ，有 f 3 y ( t ) l r ( 口) ( ，2 ”一r ) f ( t - s ) 铲1 ，j ，( s ) ) i 幽+ i c o l + i c l it + i c 2 i 丁z + + l q i t r ( 口+ 1 ) t 口+ l c o l + l c 。i y + l c 2 1 r 2 + + l c 1 r ” 因此它是一致有界的，由a r z e l a a s c o l i 定理知e 是全连续的。 定义集合f i = yi e 么：y = 名e ( y ) ，0 2 l ，容易证明q 是有界集合，根据 s c h a u d e r 不动点定理，算子e 有不动点即边值问题( 3 1 5 ) 在【o ，t _ e 嬲- - 个解。 证毕。 3 5 当1 口2 时，方程( 3 1 ) 带积分条件的边值问题 在这一节，我们考虑下面带有积分条件的分数微分方程边值问题： d 口j ，( ，) = ( r ，j ，) y ( o ) = r g ( 叫p ，y ( 丁) = f 办( s ，y ( 3 1 9 ) 其中，j = 【o ，r l ，1 口2 ，f ，g ，h ：j xr 专r 是连续函数我们的目的是利用不动 1 8 r 化 一 上p b 一引 上凇叱k 何 硕t ：学位论文 第= 章一类1 卜线性分数微分方稃的边值问题 点定理建立边值i 司题( 3 1 9 ) 的解存在的充分条件。 首先我们给出一个引理。 引理3 4y ( t ) 是边值问题( 3 1 9 ) 的解，当且仅当它可以表示成： y ( 归丽1 肛j ) ”巾删) 幽一南如一s ) ”1 巾州) 幽 一( 专- 1 ) 驭蹦( s ) p + 秘矗( 蹦( s ) p ( 3 2 0 ) 证由d 口y ( f ) = ( ，y ) 及l o ，有 i ( 绷) 一厂( 蜘) 卜k z t - 1 , l l i g ( 埘) - g ( t ，“) l 0 ，m 2 0 ，使得对任意的，j ，y r ， i f ( t ，甜) 怿m ，l g ( t ，y ) it m 。，l h ( t ，圳m ：， 那么边值问题( 3 1 9 ) 在j 上至少有一个解。 证算子e 如( 3 2 2 ) 式所定义，我们要证明它是全连续的。 设a c c ( 【o ，t 】，尺) 是有界的，砂么，v ，t 2 丁，f 2 ， l f 。y ( t 。) 一只y ( ，2 ) l 证毕。 有 ) 口巾以舭一高胁j 厂巾“啪卜隐胁巾加”叫 + l 掣胁巾喇学风小，叫 刮南胁圹a t1 外以叫凼一南弦s 崩蹦) 凼一丽1 胁j 砌蹦) 叫 + 币g t 丽a - i m mh l + 鸩h i 南晰一s ) 纠一( ) 酬荆) 阻丽1 f 2 ( 忡) 俨1i i ( 蹦( 卅 硕_ 学位论文第= 章一类1 卜线性分数微分方程的边值问题 + 焉卜，2 | 螂1 z l 尚 i ，2 口- 卜( ) 口，i ) 。 + 丽m t 口- i h i 川h m ：f 由此可知算子( a ) 是等度连续的，又砂a ，有 眦肛l 高f 卜j ) a - i 巾州) 承卜f ( r j ) a - i 厂( ，y ( s ) ) 出l + ( 1 一秘y ( s ) ) b + 7 t 肌蹦( s ) 肛 南f ( ，- s 门巾州) 陋丽t 如一s 门巾删) l 出 + ( 1 一亍t ) 肚( 蹦( s ) ) 陋+ “t i h ( 蹦( s ) ) b s 糯埘卜坶 因此它是一致有界的，由a r z e l a a s c o l i 定理知e 是全连续的。 定义集合q = y a ：y = 兄( 少) ，o 五 l ，容易证明q 是有界集合，根据 s c h a u d e r 不动点定理，算子有不动点即边值问题( 3 1 9 ) 在【o ，t 】上至少有一 个解。证毕。 3 6 当2 口3 时方程( 3 1 ) 带积分条件的边值问题 考虑如卜的分数微分万程昀边值间越： d 8 y ( t ) - f ( t ，夕) ， y ( o ) + j ，( 丁) = fg ( s ，y ( s ) p ， j ，( o ) + ( r ) = f 办( 蹦( s ) 胁， y ”( o ) + 少( 7 ) = fv ( 叫( s ) 声， ( 3 2 3 ) 其中v t ，= 【o ，r 】，2 a 3 引理3 5y ( t 1 是边值问题( 3 2 3 ) 的解，当且仅当它可以表示为： 少( ，) = 丽1 肛j ) 坤，少( s ) ) 盔+