（应用数学专业论文）功能梯度压电压磁材料中裂纹对sh波的散射.pdf

j 。夏人学硕上学位论文 i i i 文摘要 摘要 功能梯瘦压电材料和功能梯度压电，压磁材料显著特性之是独特的力电和电磁耦合性质， 即外加载荷不仪能导致弹性变形还能产生电场，反之外加电场也能产生变形由于功能梯度压电 材料和功能梯度压电，压磁材料本身呈脆性，所以含缺陷的功能梯度压电介质和功能梯度压电，压 磁介质的断裂力学分析成为人们关注的焦点凶此，本文将对功能梯度鹾电材料和功能梯度压 电，压磁复合材料中裂纹对s h 波的散射j 题进行了研究分析 首先介绍了功能梯度材料，压电材料和压电，压磁材料的发展及日前国内外对其研究状况， 并且给出了本文研究材料的本构方程 其次研究了功能梯度压电压磁带中裂纹对s h 波的散射，在电渗透型边界条件情况下，将考 虑酌问题通过f o u r i e r 积分变换把混合边值问题的求解转化为对偶积分方程，然后利用c o p s o n 方 法将得到的对偶秋分办样转化为f r e d h o l m 积分方程再进行数值求解得到了裂纹尖端的膨力强度 因子、电位移强度因子和磁通量强度网子用同样的方法研究了具裂纹功能梯度压电带拼接半无 限大功能梯度材料的s h 波散射问题和具裂纹功能梯度压电带拼接两半无限人功能梯度材料的 s h 波散射问题得剑了裂纹尖端的应力强度因了和电位移强度因子讨论了材料梯度参数，波数 和入射角等因素对标准动应力强度因子的影响最后对全文进行了简要的总结并且提出了一些今 后感兴趣的问题 关键词：s h 波；功能梯度压电材料：功能梯度压哪压磁复合材料：对偶积分方程；强度冈子 a b s t r a c t o n eo fr e m a r k a b l ec h a r a c t e r so ff u n c t i o n a l l y 掣删p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e d p i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cm a t e r i a l si se l e c t r i c m e c h a n i c a la n de l e c t r i cd e v i c e s ，t h a ti sa d s c i t i t i o u se l a s t i c n o to n l yl e a t st oe l a s t i cd e f o r m a t i o nb u ta l s op r o d u c e se l a s t i cf i e l d o nt h ec o n t r a r y , a d s c i t i t i o u se l a s t i c f i e l dc a na l s ob r i n ge l a s t i cd e f o r m a t i o n d u et of u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c - t i o n a i l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cm a t e r i a l si nm e c h a n i c a lb e h a v i o ra r eb r i t t l ea n ds u s c e p t i b l et o c r a c k i n g i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ee l e c t r o - m a g n e t o - m e c h a n i c a li n t e r a c t i o na n df r a c t u r eb e h a v i o ro f t h o s em a t e r i a l s t h e r e f o r e ，t h ep r e s e n tp a p e rw i l ls t u d yt h es c a t t e r i n gp r o b l e mo fs hw a v eo nc r a c ki n f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cm a t e r i a l s f i r s t l y , t h ea u t h o ro f f e r st h eb r i e fi n t r o d u c t i o n o fp r e s e n tf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，p i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l sa n dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cm a t e r i a l sa sw e l l 勰t h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o nu s e di nt h ep a p e r s c a t t e r i n gp r o b l e mo fs hw a v eo nc r a c ki nf u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cp i e z o m a g n e t i cs t r i p i sd i s c u s s e di nt h et h i r dc h a p t e r t a k i n ga c c o u n to ft h ep e r m e a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，f i r s t l y , t h es y s - t e mc o m p l e xg o v e r n i n ge q u a t i o n sc a l lb eo b t a i n e db yu s i n gt h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n so ff u n c t i o n a l l y g r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n e t i cc o m p o s i t em a t e r i a l s ， s e c o n d l y , t h ef o u r i e ri n t e g r a lt r a n s f o r i l lt e c h n i q u e sa r eu s e dt or e d u c et h ep r o b l e mt ot h es o l u t i o no f d u a l i n t e g r a le q u a t i o n s t h i r d l y , t h i sd u a li n t e g r a le q u a t i o n sa 他c h a n g e di n t of r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n su s i n go fc o p s o nm e t h o d a n dt h e n t h en u m e r i c a li n t e g r a t i o nt e c h n i q u ei sm a d eu s eo ft os o l v et h ei n t e g r a l e q u a t i o n s i nt h ee n d ，w eg e tt l l e t 量l es t r e s s ，e l e c t r i cd i s p l a c e m e n ta n dm a g n e t i ci n t e n s i t yf a c t o r sa tc r a c k t i p s s c a t t e r i n go fs h w a v eo nc r a c ki nf u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cp i e z o m a g n e t i cs t r i po fc e r a m i c b o n d e dt oah o m o g e n e o u sf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l sa n ds c a t t e r i n go fs hw a v eo i lc r a c ki nf u n c t i o n - a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cp i e z o m a g n e t i cs t r i po fc e r a m i cb o n d e dt ot w oh o m o g e n e o u sf u n c t i o n a l l yg r a d e d m a t e r i a l sa r ed i s c u s s e db yu s i n go ft h es i m i l a rm e t h o d a ti a s t , n u m e r i c a ir e s u l t ss h o w e dt h ee f f e c to f l o a d i n gc o m b i n a t i o np a r a m e t e r , m a t e r i a ld i s t r i b u t i o n ，t h ef r e q u e n c yo f w a v ea n dt h ea n g l eo fw a v eu p o n t h en o r m a l i z e ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri nt h el a s tc h a p t e r , i ts l l r n st h et h e s i sb r i e f l ya n dp u t sf o r w a r dt ot h e f u r t h e r n l o r er e s e a r c hi nt h en e a rf u t u r e k e yw o r d s ： s hw a v e ；f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ；f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n e t i cc o m p o s i t em a t e r i a l s ；d u a li n t e g r a le q u a t i o n ；i n t e n s i t yf a c t o r 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 研究生签名：萨芝至：2 及 时f q ：弦僻，月劣日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫捕等复 制手段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的伞部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时 间：入好年，月罄e t 时 间：沙够年月髫日 c j 。夏人学硕l 学位论文第一章前言 第一章前言 1 1 功能梯度材料的发展与研究现况 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，简称f g m ) ，从应用力学的角度看，是一种非 均匀材料，其概念是在1 9 8 7 年，为了解决高温环境下材料内部界面处热应力集中问题，由h 本 仙台地区的几位材料科学家i lj 提出的功能梯度材料其非均匀性对材料的力学性能有很大的影 响材料参数在空间连续变化雨能够用来有效的消除传统复合材料存在的材料参数界而的失配问 题，因此，有利于提高界面强度，从而尽可能发挥复合材料的优势，具有巨人的潜在应用价值； 并且通过合理地选择非均匀参数的组合，可以显著的降低热庸力强度因子 功能梯度材料般南两种或两种以上材料复合而成，各组成材料的体积含量在空问位置上 是连续变化的，因而功能梯度材料的宏观特性表现出梯度( 逐渐变化) 的性质功能梯度材料根 据组成可分为金属，陶瓷系f g m ，聚合物陶瓷系f g m ，金属金属系f g m 等；根据梯度分布范 围可分为涂层f g m 和块体f g m ：根据材料梯度的几何特征可分为一维f g m ，二维f g m ，三维 f g m 对于功能梯度材料断裂的研究，日前人们提出关于剪切模量变化的模型( 【2 】一【4 】) ： 肛( 名) = 脚| 2 i ( m o ) ，u c z ) 三肛o ( c + 1 名i ”) ( c o ) ， p ( z ) = z oe x p ( t z ) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) p ( z ) = 伽( c + o ) 七 ( 1 3 ) 假设材料的泊松比为常数，只有弹性模母的变化足一连续函数其巾7 是梯度参数，o t 和后足小 为0 的非均匀参数分别称上述j 种模型为幂模型、指数模型和比例模型 近年来，功能梯度材料在t 业巾，如航空结构和反应堆中，得到广泛的应用从而此材料的断 裂力学分析得到许多研究者的重视文献【5 】分析了f g m 中许多典型的断裂力学问题o z t u r k 和 e r d o g a n l 6 l 研究了裂纹垂直卡梯度方向的轴对称裂纹，他们发现轴对称裂纹的裂纹尖端应力强度 因丫比平面应变情况下的应力强度因r 要低k o n d a 和e r d o g a n l 7 】考虑了与梯度方向成任意角度的 裂纹c h e n 和e r d o g a n 8 1 分析了两个均匀介质通过一个非均匀层连接时的断裂问题，裂纹位予界 面卜并垂直于材料的非均匀性方向，由于材料参数的不均匀性。裂纹尖端场为混合模式的文献f 9 】 研究了热载荷作用下功能梯度涂层和基底的分层问题g u 和a s a r o 1 0 1 分析了功能梯度材料的边 缘裂纹问题，得到了裂纹尖端的应力强度因子，并推广到材料为正交各向异性的情况 1 2 压电材料的发展与研究现况 因为固有的电机耦合效应，压电材料在电r 器件中有广泛的应用：然而，大多数的压电材料 是非常脆的，在制备压电材料及极化过程巾，很弈易产生缺陷冈此。研究压电材料的电弹作用 ，j2 夏人学坝上学位论义第一章前言 和断裂性质具有非常重要的意义 口前，在压电材料的断裂力学研究中，最常j f j 的电学边界条件有三种，一种是不可导通边界 条件，即认为裂纹小号通电流，裂纹曲电位移法向分最为零，即 d ( z ，0 + ) = d ( z ，0 一) = 0 这种观点认为，空气的电导率远远小于压电材料的电导率 另一种是可导通边界条件，可导通边界条件则认为，由于裂纹厚度很小，裂纹而的电边界条 件应上下连续，即上下表面电势和法向电位移分量相等即 妒( z ，0 + ) = ( z ，o 一) ，d 口( z ，0 + ) = d ”( z ，0 一) 式中，为裂纹卜下表而的电势，现为y 方向的电位移分量， 最后一种是限制导通边界条件，即 d ”( z ，o + ) = d y ( z ，0 一) ，d ，( z ，0 + ) ( t + 一珏) = 一。【咖( z ，0 一一( ( z ，o 一) 】 其中( u + 一珏一) 为裂纹的宽度，气为裂纹中介质常数这里，定义岛与真空的介质常数 e o = 8 8 5 1 0 - - 1 2 a s v m 成正比例关系 4 = r o 如果裂纹中的电介质是空气或真空则矗= 1 ，如果裂纹中的电介质为其它材料则矗 1 ，不存在 介质使得品 。， c 2 功 18 牙 o 帕g a o ， u ， 式中a i j 为非零的任意二阶张量，b i 和g 为非零的任意矢量 梯度方程： = 三( 职+ 。，e = 一妒南日= 一九， ( 2 1 0 ) 式中逗n 表示对变苗的偏导数；阢，妒和分别为弹性位移，电位和磁位 平衡方程： a 0 ，i = 0 ，d i ，i = 0 ，段，l = 0 ( 2 1 1 ) 式中忽略了体力，体电荷和体电流。我们假设裂纹中充满空气，那么在裂纹内的电热，磁势应满 足下面的方程： v 2 = 0 ，v 2 妒= 0 ( 2 1 2 ) 电位移与电场强度的关系： d i = 知局( 2 1 3 ) 磁通量与磁感的关系： b i = 知皿，( 2 1 4 ) 其中知为真空的介电常数 再将方程( 2 1 0 ) 代入方程( 2 7 ) 町得弹性位移，电位移和磁位移表示的偏微分方程组为； = 基2 3 ； 一8 一 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) l l 仉m 洋 = = 钟以叶 ”、=棚柳 舶妃 妒 一 玎妒p = 础嚣 矿 一 一 b 班 泓 ：i 躇 j 夏人学颀j 学忙论文第_ 章桀本疗程 t ，5 q i j , j = 1 , 2 ，3 ； e i j k 。2 g 他。，z k = 1 ，2 ，3 ； e 删，k = 4 ；j = 1 ，2 ，3 ； q s i j k = 5 ；j = 1 ，2 ，3 ； e i k s , j = 4 ；k = 1 ，2 ，3 ； q i k 8 j = 5 ；k = 1 ，2 ，3 ； - - o i 8 ，j = 4 ，k = 4 ； 一也。，j = 4 ；k = 5 ； 一屈。，j = 5 ，k = 4 ； - # i s ，j = 5 ；k = 5 ； ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 则方程( 2 1 5 ) 可简写为：e i j k 。巩。i = 0 本文就是基于以上基本方程，在适当的边界条件下，讨论了儿类功能梯度压电材料和功能梯 度压电压磁复合材料巾裂纹对s h 波的散射问题 一9 一 j 。夏人学坝上学 移沦义凳：章功能梯j 篷际电眯磁带i | i 裂纹对s h 波的敞射 第三章功能梯度压电压磁带中裂纹对s h 波的散射 3 1 引言 结构确! 工作时，由于长期的周期载荷或者热载荷的作用，很容易引起不同材料之间的脱胶进 而导致结构的破坏，单一材料已经不能满足设备中越来越复杂的要求很多钾能材料或结构都是 有多种材料符合而成的不同的材料组成结构时，材料问的连接界面就产生了很重要的力学问题 在材料复合技术发展的最初，大多都足山不同材料的直接近接或者用高温耐热的强大胶连接冈 为具有两种固有的压电和压磁性质，功能悌度眶电眶磁复合材料可以更人地发挥每种性质的优 势，因此它有比具有单纯电磁耦合性质的材料更岛的电磁耦合性能在某些情况下，这种压电，压 磁复合材料的电磁耦合系数比单柑磁电材料高出百倍| 关| 此，这种功能梯度乐电压磁复合材料被 j “泛地应用于各种需要电磁耦合的结构中s u c h t e l e n 3 0 l 提卅了压电，眶磁材料的结合口j 以导敛出 现新的材料特性即磁电耦合效应此后许多研究者分析了b a m 0 3 c o f e 2 0 4 复合材料的电磁耦合 性能 由梯度变化的材料来连接不同性质的材料就可以有效地降低材料闻界面 ：的应力集中功能 梯度压电，压磁复合材料就能很好地满足这些工程需要孙建亮等f 4 7 j 研究了功能梯度压电压磁材 料中的断裂问题分析李星和郭丽芳1 6 1 l 研究了功能梯度压电压磁材料粘结的i 犁裂纹问题对 于功能梯度压电压磁复合材料的研究还是处于仞级阶段，还有大量的问题需要解决，对于动态断 裂问题的研究就更少了 目前还没有对功能梯度压电压磁复合材料巾裂纹对s h 波的散射问题进行过研究因此， 本文研究功能梯度压电压磁带复合材料中裂纹对s h 波的散射问题通过f o u r i e r 积分变换把混 合边值问题的求解转化为对偶积分方程，然后利肘c o p s o n 方法将得到的对偶积分方程转化为 f r e d h o l m _ 1 分力挥雨进行数值求解得到了裂纹尖端的麻力强度因子、电位移强度因子和磁通最 强度凶子，分析了不i 刊材誊： 梯度指数、入射角及波数对标准动应力强度凶子的影响 3 2 问题的提法 考虑如图3 1 所示的问题，一高为2 毳，内含一艮为2 口的裂纹的功能梯度压电压磁( f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cp i e z o m a g n e t i cm a t e r i a l s 简称f g p p m ) 带，设裂纹面处于笛卡尔直角坐标 系的z y 平而，极化方向沿名轴，应力状念为反平而鲍切，属于断裂力学意义i - _ 的m 型裂纹 问题为了讨论方便，假设f g p p m 带包含区域d l 和区域d 2 两部分( 其中k = l ，2 ) 当s h 波以p 角入射作用于裂纹时，应力状念为反平面剪切，不为零的位移分量仅有 锄( z ，y ，) ，总位移场( 。) ( z ，y ，t ) 彳入射波场w o ) ( z ，y ，t ) 和散射波场加( z ，3 ，t ) 组成，即 加( 2 ) ( z ，玑t ) = w o ) ( x ，毫，t ) + ( z ，y ，t ) ( 3 1 ) 一1 0 一 j 。夏人学硕上学伊论文第：章功能梯叟球电冰磁带，l 一裂纹列s h 波的散射 y f g p p m h ， d 1 k 。一一a - , 4 h 2 可 f g p p m 、罗 0 2 s h w a v e 圈3 1功能梯度i k 电球磁带中裂纹埘s h 波散射的几何模型 i i i 型裂纹问题的奎构关系如下 o w k a 机a 讥 嘲) 2 q 4 百+ e 1 5 百+ 9 1 5 面 纵旷百o w k 咱等- d l 筹， ，铷s 百o w k _ d l - 等咱等， 抛砌- 。 o c k ：( 奄) 2c 4 4 面+ e 1 5 ：- 蔷+ q z 5 面， 玩( k ) = e z s 饥- - 瓦- x 飞，警“。警，( 3 2 ) 也( k ) = q 1 5 - 抛0 - z 七呐。警咱。警， 其中q ；( ) ，：( ) ，是反平而剪应力，d p ( ”，见( 七) ，是平面位移，b y ( 奄) ，毋( 七) 是平面磁通量，u k ，饥，讥 分别是反平面位移，电势和嫩势, c a 4 ，e 1 5 , l l ，q z 5 ，d l l ，弘1 1 分别是压电系数，介电系数，压磁祸合系 数，电磁耦合，磁导率 为了便于研究问题，类似于各阳同性非均匀材料的处理方式1 6 7 ，假设材料性质的变化形式 如下 c 4 4e 1 5g l lq z 5d zzp l l 纠 = e 励【c 4 4 0e 1 5 0e 1 l oq 1 5 0d l l op 1 1 0p o 】， ( 3 - 3 ) 其中c 4 4 0 ，e 1 5 0 ，c l l o ，q l s o ，d i l o ，弘1 1 0 ，p o 为y = 0 处的压电伛磁材科常数，p 为密发，声是 功能梯度参数 假如入射波是甲而谐波，则入射波的形式为 u d ( z ，! ，t ) ：a oe x p 一t u ( x c o s 0 。+ y s i n o + t ) 1 ， 护( z ，删：知a o e x p 讪( 塑塑型+ 吼 ( 3 4 ) 妒( j ) ( z ，t ) ：口1 a o e x p 【一i x a ( x c o s o + y s i n o + ) 】， 0 8 h 这里a o 为振幅，0 为入射角，u 为入射频率，_ i 为剪切波波速，i = 2 ( v ( 面- - 1 ) , t 为时间变量 j t 埋人学帧上学位论义第i 章功能梯度电! b 磁带- l t 裂纹对s h 波的散射 p 1 1 e 1 5 一d l l q l 5 0 05 毛丽1 而1 0 严 1p 1 一i l q 1 5 e 1 1 d l l e l 5 e 1 1 p 1 1 ，c s 5，p o2c 4 4 0 + e 1 5 0 a o + q 1 5 0 a 1 将式( 3 4 ) 代入( 3 2 ) 巾并利用( 3 3 ) 式，则可得与入射波形式对应的应力为以下形式 ( z ，0 ，) = r o s i n o e x p - i w ( z c o s 0 c a h + 吼 其巾r o = 一i a o w p o c s h 因为入射波和散射波有桐同的时间因j fe x p ( ：i w t ) ，因此散射波场可以写为 ( 3 5 ) w k ( x ，y ，t ) = w k ( x ，y ) e x p ( - i w t ) ，c k ( x ，y ，t ) = a o w k ( x ，y ) ，讥( z ，y ，t ) = a l w k ( x ，y ，t ) ( 3 6 ) 在散射场运动方程为如卜形式 百o r x z ( k ) + 百o t y z ( k ) = p 塾o t z ， 溉 幽 掣+ 盟：o ，o如 y 1 下o b x ( k ) + 皇盟：o a z o y 一 将式( 3 4 ) 和( 3 6 ) 代入式( 3 7 ) 中并利用式( 3 2 ) 并日略去相h 的时间凶子e x p ( 一诎) ，可得到 ( 3 7 ) c 4 们( v 2 w k + 卢等) + e 1 5 0 ( v 2 p o 咧c k ) + q 1 5 0 ( v 2 卢篑) 一矿魄， e 1 5 。( v 2 w k + p 丝o y ) - - e l l o ( v 2 饥”o 口c 可k ) - d 1 1 0 ( v 2 蚺p 等) _ o ， ( 3 8 ) 口1 5 。( v 2 圳一+ p 等) - d h o ( v 2 妣+ p 等) - - 1 1 0 ( v 2 讥+ p 筹) 扎 其中v 2 = 暴+ 万g 0 2 是二维l a p l a c e 算予 3 。3 对偶积分方程的建立与求解 t t t - 裂纹g f i 自由及材料在几何形状上关予y 轴对称，并采用渗透性电边界条件【删，则边界 条件为 2 铆炽o ) = 一 t o s i n o e x p ( 一如警) ， ( o ，引入f o u r i e r 变换技术获得位移，电势和磁势的表达式分别为 4 7 1 = 2y o 。 4 七 = a o w ( k ) ( x ，y = a l w ( k ) ( x y s ) e x p ( p ly ) + a 2 k ( s ) e x p ( p 2 耖) 1c o s ( s x ) d s ， f )r o c + 昙【b l k ( s ) e x p ( q l y ) + b 2 k ( s ) e x p ( q 2 y ) 】c o s ( s x ) d s ， ( 3 1 2 ) + 昙【c l k ( s ) e x p ( q ly ) + c 2 k ( s ) e x p ( q 2 y ) 】c o s ( s x ) d s ， 其中 ：二旦二二z竺三掣，：二堡二z竺三掣，g，：-p+x粤z2+4s2，啦：-z-x孕z2+4s-pl p 2 = 二_ i 一，= 二i 一9 1 = 了一q 2 = f 一。 a l k ( s ) ，a 2 k o ) ，b 1 七( s ) ，b 奴( s ) ，c l k ( 8 ) ，c ：k ( s ) 是朱知最 将方程( 3 1 2 ) 代入( 3 4 ) 式得到应力，电位移，磁通量的表达式： 勺。( 知) ( 。，可) = 三e x p ( p y ) 【c 4 4 0 + e l s o a o + q l s o a l a l k ( s ) e x p ( p l y ) + a 2 k ( s ) e x p ( p 2 耖) 】c o s ( s x ) d s + ，l j o 三e x p ( p y ) e , 5 0 b l ( s ) e x p ( q i y ) + b 2 k ( s ) e x p ( q 2 y ) 】+ q l s o c l k ( s ) e x p ( q l y ) + c 2 ( s ) e x p ( q 2 y ) ) c o s ( s x ) d s n ，n 岛p 删卜们上 0 5 0 - e 1 o a o - - d n o a l a l k ( s ) 毗彬h 如小卜吡们】c 叫s 动如( 3 1 ： ，o o ” 。 昙唧( 口) 上 e l l o j b l ( s ) e x p ( q l y ) + 岛 ( s ) e x p ( q 2 y ) i + d 1 1 。i v , k ( s ) e x p ( q l 可) + q k ( s ) e ) ( p ( 9 2 y ) 】) c o s ( s z ) d s b v ( k ) ( x ，y ) = 三e x p ( p y ) 【0 5 0 一d l l o a o 一# 1 1 0 a 1 a 1 k ( 8 ) e x p ( p l y ) + a 2 k ( s ) e x p ( p 2 y ) 】c o s ( s x ) d s 一 ，j n 妻e x p ( b y ) j o d l l o b l k ( 3 ) e x p ( q l y ) + b 2 k ( s ) e x p ( 口2 y ) 】+ p 1 1 。【c 1 ( 3 ) e ) ( p ( q 1 翟) + q 七( s ) e x p ( q 2 y ) c o s ( s 上) d s 为了求解问题，裂纹砸上的位移筹假设为 4 7 i f ( x ) = 硼1 ( 。，0 + ) 一她( z ，0 一) ( 3 1 4 ) 将( 3 1 2 ) 代入( 3 1 4 ) 中，同时应用f o u r i e r 变换和边界条件( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 和( 3 11 ) ，并且解方程 可以得到未知数 一1 3 一 y 剪 z z 毗 饥 饥 ，ill_-，、-l j ：夏人学硕上学位论文 第ji 章功能梯垃j t 电j 十、磁带t f - 裂纹对s h 波的激射 b 1 1 ( s ) = b 2 2 ( s ) = b 2 1 ( 8 ) = b 1 2 ( s ) = ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 洲s ) _ 一而q 2 型警焉牌裂掣町， 酬2 忐堂甾警需铲可， 忉 q l ( s ) = 石q j q 2e x p ( q 2 1 - 一e x q l ) ( p ( q 2 1 - + q l ) ) h 2 2 j 。1 ， 。 ( s ) 一点警薪赫，1 2 【s j _ 一而面而i 五丽再研， 由( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 式和边界条件( 3 9 ) ( 3 i o x 3 1 1 ) 得到对偶积分方程 傺 f ( s ) c o s ( s x ) d s = 0 ，( z 口) ； 洲m 僻班：等e x p ( 一x c o s o 、i ，( 0 ) ；。j 印 其中 a c 8 ，= c - + e q l 如s oao+q15_oo。t，赫旦二!翟善兰主善篆字兰号亏蠢?驴 + c 鬻。 咖q 1 5 _ _ 2 0 希高些芒糍焉掣 由c o p s o n 方法得对偶秘分办程( 3 18 ) 的解为 ，( s ) = v o a 2s i n0 z o 族q ( ) 矗( s 武) 诞， 一l 其中j o ( s a ) 为第一类b e s s e l 两数，确数q ( f ) 满足下列第二类f r e d h o l m 积分方程 一1 4 ， ( 3 1 9 ) j 复人学坝上学位论文第：章功能梯心j t 电j * 磁带i | l 裂纹对s h 波的散射 q ( f ) + z 1q ( ，7 ) k ( 专川) 却= 垤如( 杀武c o s 日) ， 其中核k ( f ，叼) 满足- 卜列方程 3 4 裂纹尖端 球州= 厕z 。sp ( 喇川s 枇s 局部奇异场 对式( 3 1 9 ) 分部积分得 邝) = 等s m 9 三 q ( 1 川s 旷0 1 洲咄嗟一q l 武) ， 其中j r ( 1 是第一类一阶的b c s s e i 甬数 ( 3 2 0 ) 将式( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 和式( 3 1 7 ) 代入式( 3 1 3 ) ，得y = 0 时的麻力，电位移和磁通量主部的表达 式分别为1 6 8 l r y ；( 1 ) ( z ，0 ) = d p ( 1 ) ( z ，0 ) = b v o ) ( x ，0 ) = 式中h 1 ( 8 ) = a ( 8 ) c 4 4 0 ， 并且 一a t o q ( 1 1s i n 口 c 4 4 0 - a r o f l ( 1 ) s i n8 c 4 4 0 一。伯q ( 1 ) s i n 护 c 4 4 0 e o 。 o 。 凰( s ) 以( s a ) c o s ( s x ) d s ， 玩( s ) 以( s a ) c o s ( s z ) d s ， 日3 ( s ) j 1 ( s o ) c o s ( s x ) a s ， 脚卜 ，p i p 2 瓦鼍恶罨岩警篆锩掣 一( l l o a o + d l l o a l ) q l q 一2 q lq一2堕ex芈p(q2等ql警e磐xptq掣lq 2 ) h 2 ， 一一 j n l 一 一 风( s ) = 三 ( q 啪一d n o a o - a n o a d - ( d n o a o + # 1 1 0 a 1 ) p l p 2 【1 一e x p ( p 2 p 1 ) h , e x p ( p l p 2 ) h 2 1 】 p 1 一p 2e x p ( p l p 1 2 ) h 2 e x p ( p 2 一p 1 ) h l 口1 q 2 q l 【l e x p ( q 2 一q 1 ) l h e x p ( q l q 2 ) h 2 1 】， e x p ( q 2 q l 、h i e x p ( q l q 2 ) h 2 ( 3 2 1 ) l i r a 玩( 8 ) = 一c 4 4 0 ，l i m 日j ( s ) = - - e 1 5 0 ，l i m - 3 ( s ) = - q 1 5 0 s o c 8 。+ o c8 + 。o 并考虑裂纹犬端附近的麻力、电位移和磁通量在s d o 处的奇异性，则式( 3 2 1 ) 分别可以 写成【6 刎 。，= - a r o f l 刚 _ 型挚 x r o f l ( 1 、s i np 1 5 一 ( 3 2 2 ) 。j 。夏人学舰上学位论文第i 章功能梯度j k 电r 磁带- l t 裂纹对s h 波的散射 忆。卜等删) s i 卟型铲 塑z 伯s 2 ( 1 ) s i n o ：旦萼兰：一 驯圳，蒜篇斗警 2 3 ) 知o ) 一等咧1 ) 刚 - 型筹型】 裂纹尖端的应力强度冈子、电场强度因子、磁通鼙强度网子表示为1 6 8 l 其中 令 k 7 = 。l i m 。+ 2 丌( z 一口) 勺z ( 1 ) ( z ，0 ) e x p ( 一i o j t ) = 而伯k + e x p ( 一诎) ， k 。= 。l i m 。+ v 2 7 r ( ：r - a ) d “1 ) ( ，0 ) e x p ( 一曲) = 垒c 4 旦4 0 疖丁o + e x p ( 一i 以) ，= e 1 5 0 k r ， ( 3 2 4 ) k 肛l i r a 、，2 7 r ( x - a ) b u ( 1 舡0 ) e x p ( 一i 2c 4 q 1 4 s 。x 而t o k e x p ( 一渊 ：q l s _ _ 旦ok r 臼d n 称飓为标准动应力强度因j r ( n d s i f ) 3 5 数值算例与讨论 k + = f l ( 1 、s i n p k 3 = m ( 1 ) s i n 外 ( 3 2 5 ) 下砸主要分析梯度参数、带宽、波数及入射角冈素对标准化后的应力强度因子的影响， 假定在裂纹而y = 0 处的材料为压电陶瓷p z t - 4 裂纹长为a = 0 5 ，并考虑中心裂纹，即 h l n = h 2a 有关结果可h j 图3 2 图3 5 表示出来 图3 2 给出了静态机械载荷作用下，小同梯度参数口。情况下带宽h a 对标准化后的应力强度 凶子的影响从图中叮以看m ，肋越人，标准化后的应力强度凶子越人；在p o 一定的情况下， 随着h a 的增人标准化后的应力强度因r 降低 图3 3 给出了力电耦合载荷( 0 = i 7 1 ，h l n = h 2 肛= 0 5 ) 作用下，1 i 同梯度触情况下波数 伽c 。_ h 对标准化后的动应力强度凶子的影响从图中可以看出，触越大，标准化后的动应力强 度因f 越人；触相同的情况下，标准化后的动应力强度因。f 随叫 的增人而增大 图3 4 给出了力电耦合载荷( 触= 1 5 ，口= 署) 作用下，不同带宽h a 情况下波数叫，l 对 标准化后的动应力强度凶子的影响从图中町以看到，标准化后的动应力强度凶子随h a 的增大 而减小：在h a 一定的情况卜- ，标准化后的动应力强度因r 随叫，i 的增人而增人 一1 6 一 黯 | i j 。叟人学颀上学伊论史 第：- 早- r r 功能梯艘肚电胜磁带小裂纹对s h 波的散射 图3 2 _ ：同归| 0 情况f 振准化庶力强度蹦子k 3 麓口u c 她的娈化关系 图3 3 不同厣n 情况下标准化应力强度呙子玩随h l a = h 2 a 的变化笑系 l 冬i3 4 不同h l a = 2 n 情况下标准化动魔力强度网了j 6 随伽c ， 的变化关系 1 7 j 复人学硕l 学位论义第：章功能梯膛 b r 乜j k 磁带l f i 裂纹对s h 波的散射 图3 5 给出了力电耦合载荷( 肋= 0 5 ，h l a = h 2 a = o 5 ) 作用下，不同入射角0 情况下的 波数叫岛 埘标准化后的动应力强度凶子的影响a k i n 9 口j 以看到，标准化后的动应力强度凶子 随0 的增人而增人；在0 一定的情况卜，标准化后的动应力强j 立因r 随叫，l 的增人而增人 图3 j 不同0 情况下标准化动应力强度凶二fk 3 随o u 岛 的变化关系 对于电位移强度因二f 和磁