（应用数学专业论文）几类差分方程的定性分析.pdf

摘要 本论文分前言，正文，参考文献和致谢四个部分，分别讨论了下面四类姜 岔友翟的定性性质： v ( 2 。一c z ，( 。) ) = f ( z n ，( 。) ) ( ) m z 。+ 珊z b = r 。 ( ，) j = l ( c 。一1 y 。一1 ) + g 。f ( y 。) = r 。 v z 。= z 。，( z 。一k ) ( i i i ) ( i v ) 在第一章我们建立了( i ) 的自呈! 堑筮的裒坌釜鲑，并给出几个有用的推论在 第二章我们研究了( n ) 的解的逝堑兰量查，推广了一些已知结果在第三章我 们研究了( i i i ) 的振动性及非振动性，在第四章我们推广了一类离散的人口 模型( i v ) a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ef o l l o w i n gf 0 1 1 rc l a s s e so fd e f e r e n c ee q u a t i o n sr e s p e c t i v e l y v ( 。一e x ，( 。) ) = f ( z n ，z r ( n ) ) m a z 。+ p j z 。b = r 。 ，= 1 a ( c 。一1 鲰一1 ) + 鼽，( ) = r 。 v 。= z 。，( 。一k ) ( j j ( ) ( i i i ) ( i v ) i n c h a p t e r1 ，w e e s t a b l i s hs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ec o n v e r g e n c eo f s o l u t i o n so f e q u t i o n ( i ) f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n ts e v e r a lv a l u b l ea p p l i c a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w es t u d ya s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fd e f e r e n c ee q u a t i o n ( i i ) ， a n dg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t sa b o u t ( i i ) i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no f s o l u t i o n so fd e f e r e n c ee q u a t i o n ( h i ) i nc h a p t e r4 ，w eg e n e r a l i z eac l a s so fd i s c r e t ep o p u l a t i o nm o d e l ( i v ) 2 前言 差分方程的定性研究是现代应用数学的一个重要课题，在众多科技领域 有着非常广泛的应用差分方程是微分方程的离散情形，因而更具有实际的 应用价值在连续的微分方程中所用的研究方法与差分方程的研究方法有相 同之处也有本质上的不同地方差分方程在微分方程的应用方面起着举足轻 重的作用特别是本世纪以来，自然科学与社会科学中提出了大量动力系统 问题，如核物理学，电子技术，自动控制，电路信号系统，生态系统，化工 循环系统，遗传问题，流行病学，动物与植物的循环系统社会科学方面主 要是各种经济现象的描述，如商业销售问题，财富分布理论，资本主义经济 危机，运输调度问题，工业生产管理等 近几十年来，差分方程定性研究的思想和技巧巳逐渐渗透到其他应用数 学分支差分方程理论的完善和发展推动着人们对客观现实世界的认识和改 造，成为现代应用数学的一个重要方面 本论文主要讨论几类差分方程解的性质，获得了一些重要的有实际价值 的结果，推广和改进了一些已知的结果 本论文的正文分为四章，分别讨论如下四类差分方程系统： v ( n c z ，( n ) ) = f ( 。n ，( 。) )( i ) t n a m 。+ p j m 。一k j = r 。 ( j j ) j = l ( c 。1 抓一1 ) + g n ，( 鼽) = ( i i i ) v z 。= z n ，( z n k )( i v ) 第一章讨论方程( i ) 的解的收敛性，给出了几个有价值的推论 在第二章我们讨论了方程( i i ) 的解的渐近性态，将单时滞的情形推广到 多时滞情形，给出一些有意义的结果 3 第三章讨论( i ) 的解的振动性，非振动性及有解性，改进了一些已有的 结果 第四章我们推广了文献 2 5 中离散形式的人口模型 为叙述方便，本文将用到如下概念及规定：差分方程的解是振动的指它 有任意大的零点，反之称为不振动或非振动的 “”表示向前差分算子，“v ”表示向后差分算子 4 考虑差分方程 几类差分方程的定性分析 ( 摘要) 研究生廖维川 指导教师黄立宏教授 变滞后差分方程的渐近性态 v ( z n c z ，( n ) ) = f ( 。n ，。r ( n ) ) 其中n 是自然数，v 是向后差分算子 ( a i ) 设n = o ，1 ，2 3 ， ，z = ( i ) r 为从到z 的非减函数， ( i i ) r ( n ) n ，对任意n n ， ( i i i ) i i m 。+ 。r ( n ) = 。， ( i v ) l i m s u p 。( n r ( n ) ) 。c ； ( a ：) 0 c 1 我们得到如下主要定理： r ( n ) 是从非负整数集到整数集的非减函数 一l ，0 ，l ，) ， 定理a ：若差分方程( 1 ) 满足已知条件( t ) ( a 2 ) ，那么( 1 ) 的每个解都趋近于个有限 常数 二带强迫项多时滞差分方程解的渐近性态 我们考虑如下差分方程 z 。+ 乃z n _ b = r 。 j = l 其中是向前差分算子 本节主要定理b ：设 z 。) 是方程( 2 ) 的满足初始条件 。n = a n ，n = - k ，- k + l ，一，0 的解，并且满足： 妻蚓 - 并且再假定 ( i ) 而 r l r 0 时 。2 ( 1 一，( 。) ) ，“( 。) + ( ，7 ( 。) ) 3 】+ z ，( 。) 1 一，( 2 ) 】 0 那么( 1 ) 的最终正解关于a 振动的充要条件是： v 一与乒，女兰。 参考文献( 略) 致谢( 略) 2 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 第一章变滞后差分方程解的渐性性态 本章讨论一类变滞后差分方程解的渐近性态，给出了这类方程解趋近于一个常数的 充分条件 第一节引言及引理 考虑方程 v ( z n c z t i 。) 1 = f ( 。n ，z r l n ) )( 1 ) 其中n n ( n o ) ，v 是向后差分算子，f c ( r 圮冠) ，f ( u ，”) 关于变量“单调增加关 于变量”单调减少且对任意实数u 有f ( u u ) i0 我们给出以下条件： ( a l 】设n = 0 ，l ，2 ，) ，z = ，一l ，0 ，1 ，) i ( i ) r 为从到z 的非减函数， ( i i ) r ( n ) 礼，对任意n n ， ( i i i ) l i r a 。r ( n ) = o 。， - ( i v ) l i m s u p ( n r ( n ) ) z ，( 。) 由于v ( 。+ ，一c z ，( 。+ 。) ) = f ( z 。，( 。+ ，) ) 0 由此我们得到： j ( 。a 。r 扣。+ 1 ) ) = ( 1 - c ) a m + l - - 坠 挚业 此时又可分两种情形 若。+ 1 = m + 1 ，那么r ( m ) s + 1 1 i n ，此时( 3 ) 式右边 ( t c ) a m + 1 - 溅m a x 胁) ( 1 一c ) 阻。+ l 一直。 所以有a 。+ 1 o 使得 z nj 0 ，选取充分大的m 及相厦的充分大的正整数n ，我们有： ( ) 导芋_ c m + l m 一禹 磊 且 磊 ( n 川导筹+ c m ”m 一点 经过化简可得 ( 告警一m ) 。 0 其中n ( n o ，7 1 o + m ) 引理7 t 2 1 设m 是一个给定正整数， u 。( ) ) ，n = n o ，n o + 1 ，是初值问题 fu 。一u n - 1 = f ( u 。，a e ) iu 0 2b a 其中n ( n o + 1 ) 的解，那么存在一个与 1 1 0 ，无关的正数”，使得： u n ( r i o ，) 一( a 一引 0n = n o ，n o + 1 ，一，住o + m 第二节主要定理的证明 这一节的主要目的是利用上面提出的几个引理来证明在本章开始提出的主要定理即 方程( 1j 的每个解在条件，) ，( a 2 ) 下将趋于一个常数，此外，我们也将给出几个有用 的推论及实例，并提出一些有意义的问题 定理a 的证明： 由引理2 及引理3 ，我们知道 ) 必定收敛到一个有限常数另外，很明显( 1 ) 的 解 z 。) 是有界的，且z 。( 风。，a 。) ，n = n o ，n o + 1 ，因此 ) 也是有界的我们可 以假设： l i m a i = a ，l i ms u p = 曼 i _ 。 l i mi n v = 工 n 一 显然一0 0 工ss a + o 。 接下来我们将证明工= s ： 4 不妨假设工 s ，那么存在实数d 使得 工 d s a 设l 。= n 。+ l ，n l + 2 ，n 1 + 2 m ) ，并且假设n l 充分大，使得 同时也选取m ，使得 显然 g n 。 0 ，n 厶i 由( 6 ) 及( 7 ) 知： y n n k 。 于是我们得到： a n 。一2p 0 ，n 厶， 取e = n l + 2 m ，m n f ( n ) ；n ( n o ) ，设a c = i n a = ( ，( c ) s 。茎。 z d 。，掣口。) 我们根据z 。及札。的大小分两种情况讨论： 情形( a ) ：。s 此时，a 。= 。茎。一“于是我们有： a ”，一a e p 情形( b ) ： z 。 地。= z “- f c i z r _ ( a ) 此时由a 的定义我们易知 。口= a 口。 由于r ( 口。) = o 。+ f ( 血。) 一n 。n 1 故有： z r c a 。) s 且n 1 又因为 a 口。一c z r ( a 。) 、a e c a n l 妇c3 1 = 了一三r i 。 所以我们有 a 。，一a 。( 1 一c ) p 0 由( a ) ，( b ) 知，当n ，充分大时，对某个给定的m n r ( n ) ，我们总有 。，一a 。= a 。一a 。：+ 2 。( 1 一c ) p 0 这与l i n x a = a 相矛盾由此我们可以得到： l ：s ：l i m ! ! 二! ： i c 因为0 c l ，从引理4 我们可以得到： l i mo n = l 至此定理a 证毕 第三节推论与应用 本节我们的主要目的是：利用前面的定理或定理的证明过程得出几个有用的推论 这几个推论是对参考文献 2 的相应推论的推广，同时我们举出几个实例进行比较 推论1 ：考虑差分方程： v ( z n c z r ( n ) ) = 一f ( z n ) + g ( z r ( n ) ) ( 8 ) 若令f ( u ”) = 一f ( u ) + g ( ”) ，且r ( n ) 满足( 1 ) 那么我们有 ( i ) f ( u ) g 【u ) ，那么( 8 ) 的每个有界解都收敛到一个常数，( 当n o 。时) ( i l ) f ( “) sg ( “) ，那么【8 ) 的每个有界解收敛到一个常数，( 当n o 。时) ( i i i ) 若f ( u ) g ( u ) ，则n o 。时，( 8 ) 的每个解收敛到一个常数 推论2 ：( i ) 若f 0 , ) g ( u ) ，则方程( 8 ) 的每个解都趋近于一个常数或一。 ( i i ) 若f ( u ) sg ( u ) ，则方程( 8 ) 的每个解都趋于一个常数或+ 。 上面两个推论的证明与定理1 的证明是类似的，很明显( 8 ) 在形式上推广了参考文 献f 1 】i 【2 ，【3 中的相应结果 例1 ：方程 v 一_ ( 2 耵亳 ( 9 ) 的解趋近于一o 。，当n 一。时 7 证明：事实上，此时，我们有f ( “) = 2 + e “，g ( u ) = t 岳显然，f ( “) g ( u ) 从 推论( 2 ) 我们知道l i r a z 。= 一。或一个常量另一方面从 v z 。一( 1 + e 。n ) 得出v z 。茎一1 因而l i m n = 一o 。 ( 9 ) 是推论2 ( i ) 中c = 0 ，r ( n ) = n k 的情况 例2 ：设， ，( 。) ： n 一1 n 为奇数，o c 1 ， 【n 一2n 为偶数 则 v ( z “一c z r c n ) ) = 一( 2 + e 。“) + t j ；：；l - i ( ，o ) 的解 z 。) 满足l i m r n = 一o o 事实上，此时r ( n ) 满足： ( i ) l i m r ( n ) = o o ， ( i i ) l i m n 一。s u p ( n r ( n ) ) 1 + e 。n 一。 从推论( 2 ) ( i i ) 我们知道l i i n 。= + o 。或个常量又因为v z 。1 ，所以l i i i l f l 。z 。= + o o 例4 ：设 巾，= n - - 2 嚣蒜勘- 8 则方程 v ( z 。一c z ，f 。1 ) = - 2 r a r c t , g x n + ( 2 + e 。7 ”) 的解趋于+ 。 证：( 1 ) h h _ + r ( 竹) = 。， ( mu 工r k _ s u p r ( n ) o c 】， ( i i i ) r ( n ) 为非减的且r ( n ) n 从推论( 2 ) ( i i ) 我们有1 i 。= + 。c _ 或一个常量又因为 v ( 。一c z ，f n 】) l + e 。( “l ， 我们得到 0 骢( z n c z r ( n ) ) 2 + 。 从引理4 ，我们得到l i m 。o 。z 。= + 。这个例子也推广了文献 1 中的例2 注：本章实际上是参考文献 4 中泛函微分方程的离散情况，当然文献 4 中的方程 并非中立型或变对滞的下面我们也提出几个值得注意问题：若方程( 1 ) 中一1 c 0 ， 相应结论是否仍然成立 对于向前差分算子形式的相应方程 ( z 。c z ，i n ) ) = f ( z n ，z ，( 。a ( 1 2 ) 相应的结果是否仍然成立，( 也可以设想l i m n r ( n ) = 。的情形相应结论是否成 立) 、这里 a y n5y n + l 一蜘 另外对于非线性形式差分方程 v ( 。n c n g ( z ，( 。】) ) = f ( z n ，z r ( n ) ) 其中l c 。l 墨1 ，且 l i m 业：1 是否仍有类似结果对于多滞后差分方程 、，( z 。一妻j = lc ，z 。t 。，) = f c z 。，z ，c 。，z ，。c 。， 是否仍有类似结果，其中0 c j l ，v 为向后差分算子 以上问题都有一定的实际意义，并且有一定的难度，我们希望进一步研究得出更多 更好的结果，丰富我们对此类方程的认识 9 第二章带强迫项多时滞差分方程解的渐近性态 本章我们研究带强迫项的一阶多时滞差分方程： m z 。+ 巧z ，= r 。 nj = 1 其中是向前差分算子 z n = x n + l z n ，k l ，k 2 ，一，m 是正整数 在参考文献 9 中，作者证明了单时滞非线性差分方程 z n + p z n k = f ( z 一) 的每个解都趋近于0 ，当且仅当p ，满足： ( i ) 0 p 茄 和 ( i i ) f ，( u ) p m ，u 0 在参考文献f 8 中，作者研究了齐次多时滞差分方程 a m f 山( n ) ( 。吨一z ，) 以及 t a y = 咖。一j n = 0 ，1 h 2 j = 1 解的渐近性态最近在参考文献【7 】中，对带强迫项的单时滞差分方程 其中 a o 是( 5 ) 的特征方程 ( 4 ) 。n + p x 。一t = r 。n = 0 ，1 ，k 为正整数( 5 小群击 品 。， i = oa 0 1 0 在( b k + 1 ，。) 上唯一的实根，作者研究了方程( 5 ) 在一定的初值条件下解的渐近性态 证明了 l i m ( z 。坷“) 存在，并给出了其极限值，本章的目的在于将此文献中的方程( 5 ) 推广到一阶多时滞情 况，给出了带强迫项方程( 1 ) 的解的几个渐近性结果 第一节引理及定理的证明 本节为主要定理证明的需要，我们先建立一个引理 引理：若方程( 1 ) 满足 妻吲掣 t 其中i = m a x l j ，。 b ) ，那么方程( 1 ) 的特征方程 a 一1 聊a “j ：0 j 2 1 在( 南，o 。) 上有且仅有一个正实根 证明： f ( a ) = a 一1 一p j i b f ( 击) = 晶一薹唑 。 ，= l - e 南，叫 综合上面的论证，我们得到f ( a ) 在【南，o 。) 上有仅有一个实根，不妨记为 。 定理a ：设 z 。) 是方程( 1 ) 满足初始条件： z = d n ，乱= 一七，一七+ l ，一，0 的解，并假设( 6 ) 成立，同时我们再假定 ( i ) 措 0 q 我们的目的是证明l i r a 一。= 0 事实上，我们仅祷证明 u 。) 存在极限即可我们采取证明如。) 为基本列的方法 先证明 ”。) 有界，取充分小的正数e o ( 0 ，1 ) 使得 妻掣 - 鲁a 扩1 一 且设 m m a m x 胍i ) 1 3 + 三舻 一 一 萎一 南 。扣 | i 由于 。 丽i r i j 。， 故存在正整数0 ，当n n o 时，我们有： 薹景| 薹警气n 我们断言： j 口。j 3 0 ，n n o ， 其中 2 一。嚣b m 采用归纳法证明上述断言 i v n 。+ 1 i 墨匿帮 蛳 从而我们知道 k 1 ) 有界 任取充分小正数0 e ， 1 由于墨。齄 + o 。，存在充分大正数t = t o ( t 为正整数) 使得n 三n 1 时， 碧 i m ，e l 满足o p + 1 1 p 1 ”、 其中 一：妻黔 - ，m = 2 诋 于是我们得到： 舻一 桀) 印，e 。m = m ，s ， n 1 + ( e 一1 ) 七 竹 0 及任意p n 我们考察 。+ p 一口n s 。+ p 一口n + p 1 1 + 1 口n + p 一1 一口n + p 一2 1 十+ t ) n + 1 一 n 不妨假设：n i + ( e 一1 ) 奄sn + p 1 + e k ，e 为正整数；1 + ( m 一1 ) 七n n 1 + m 七 m 也是正整数， n 我们首先证明一个论断：对，- r 0 1 ) ksn n 1 + s k ，s 为正整数，我们有 n + 1 一 n f p s m + q l p 5 14 - q u p 4 2 + - + “一l p 十 我们用数学归纳法证明这一论断 当n = n - 时，我们有： 同理 v n l + 1 一”l f s 一 以此类推，我们可以得出 一 0 ，而且( 6 ) 成立 j 2 1 ( i i 州叫sn ( 南) 江叭，z ，一 其中。 o 为正常量，且 射) 是非增序列则 l i m n2 0 更进一步若 则 z 。) 是方程( 1 ) 的最终正解 ( b ) 设 z 。) 为方程( 1 ) 的一个解，卢为正常数，并且下列条件均成立 ( i ) z 。= a 。，n = - k ，- k + 1 ，一，0 ； ( i i ) 巧 0 我们可以推出k o 1 另一方面， 桀= ( ；) ( 等) ” 1 9 显然为非增序列，而且 旦 台 扩1 是收敛的 通过以上分析利用推论2 ( a ) ，如果设如。) 为方程( 1 6 ) 的一个解，那么我们就有 恕k 吖1 0 r 一2 毒 不妨设 z 0 = d o ， z 一1 = 一1 ，一2 = a 一2 其中 a o + a o + 恕【( 9 1 0 ) ”。n = i ( a 。一亩q 一孟n _ 2 ) 显然这是参考文献【7 】中未包括的情形 注：下面我们针对与上面的研究问题中相关联的一些有价值的问题，这些问题或 是对本章某些结论的推广或是有些结果是否可以进步得以改进 定理a 中墨。辩 o o 是否可以更换为墨。枣r o o ；更进一步对 乳) 非增的 限制是否也可以去掉，仍有与定理a 类似的结果 是否在定理a 的条件下l i r a r 。= o 是方程( 1 ) 的解全局吸引的充分必要条件， 这来自于对参考文献【7 中类似的结论的猜测可否将本章的结果推广到中立型时滞差 分方程 ( n c n c ) + 芝二巧。n b = r n ( 1 7 ) j = l 的情形我们可以假定0 c i 或 cj o ，_ 1 = 0 0 。e o ，1 ，2 ，； 1 = 0 。 ( i i ) r 。0 ，i = i ，2 ，3 ，； ( i i i ) 对任意实数u 0 ，我们有u ，( “) 0 ，且，( u ) 在( 一o 。，+ o 。) 上非减的 引理l 设 u ) ( o 一1 i m + 妾渊 0 ( m 为吨撕 令一c k a u k = 0 同时我们也考虑相应等式： 志一一妻揣，蚓蛐“ 下面证明” 从( 8 ) ，( 9 ) 式我们得到： j 耥m 一希， i 尚= m 一：。，采 2 2 ( 8 ) 显然，” 。m ，( “i ，) = 啦，用数学归纳法可以证明z o k 讥 t 1 ，3 ) 对( 9 ) 两边求 差分，得到： ( 志) = 急恤舭志一畿 因此希兰t = 0 ，即= 0 - 从而我们有 n 口女= 口女，= m f ( u k l ) ，陋1 ，b ) 于是， 也就是 。女“女= m f ( u k ，) u is m f ( u k 。) ，f l ，女3 ) 推论( 1 1 ) 设 u 女) ，( = 女1 一l ，h ，女。+ 1 ，) 是( 1 ) 的一个正解，而且 那么 证明：由于 而且 因此我们有 l i 女r a i 。n f 啦 一o 。，1 照擎u 女 o l i ，“p r 。 0 ，f ( y n ) m 2 0 ，n n o 旦她 。岫 一 一 南 。幽 一 1 妊擎至( 硒- - r e ) 一 因此 妄粼= + o 。， e = i l 。一“ 这样，存在正数m 0 ，及2 女1 ，使得： 蔓盎粼+ e 壹= k i ( 旷南) 一器鲁，( ) ，( z ) 。厶。，( u c ) ，( 毗，) 从而 m t ) s 一罢伽t ，) ，阢。) ， 蝼丕- c k 一“) ) 一 这与已知 u t ) 为正解矛盾 引理( 1 2 ) 若墨hq ，= + o 。，且l i r a i n f l u 。l 0 ，其中 “。) 为( 1 ) 的解， 川 0 。故存在m 1 ，m 2 0 使得 因而我们有 于是我们得到 u 。m l ，i ，( u 。) l 1 1 2 ，e 0 塞( 赢) 杀塞一。c ， u 女一罢，( u t ，) ， 女忙。，o 。) c t 。 2 4 ( n o 。) 这与已条件 u 。 ( n = 。一1 b ，十1 ) 是最终正解矛盾 引理2 ：假设 u 。) ( n = 一l ，b ，。+ 1 - ) 为( 1 ) 的非振动解，而且下歹日条件均成立 ( i ) i y l l i m 。f f ( y ) l 2 。 ( i i ) n m 乳存在，川 0 ， 那么我们有： 采啬= e = 妻k 。- 2 。c + e m 妻k + ，( 焉) + 。妻，丽c e x f ( u e ) x u e c ，。， 证明：不妨设“女 0 一1 ) 从( 1 ) 式我们有 娄黼“一 e = k o 应用积的差分公式我们得到： 高= 寄一e 圭= k o 麦南一轰糕耥 = 寄，( “ 。) osc 。，( u 。) a u 。 一圣啦一至黼+ c = k oe = k o 7 妻南+ 。妻，乳+ 。薹。第雾器一。耋。南 = 一。薹，q e - - 。妻。南+ 妻南一e 妻= k o 荒黯治 舯。：寄毒+ 妻志一妻黼一等箍产一轰乳+ 妻志一薹荒等等 我们分两种情况讨论 ( i ) o ( 0 存在充分大正整数k 2 ，使得 匿南 量卧刮t 2 5 一f ， m ，一乱 。一 一 o 应用引理l ，我们知道： a “丢m i ，) ，女嗡跳 从上式容易得出l i r a t 。u i = 一。这与u t 0 矛盾 ( i i ) 若q 0 从( 1 1 ) 式我们得到： 熙高= a o ，且蛳 。 我们知此时存在充分大正整数，使k - 时 1 k 1 z k 、 n ，0 k + 1 ) 22 c k 从而， ! ! 垒丛生! 垒! ! ，一o t 垒二丛竺立 皇m c ) m 州) 二2 鲁m e ) 令 r ( t ) = ，( u c ) + p e ) a u 。，e s tse + 1 容易证明 r 印) = z x f ( u 。) 0 ，( “。) r ( t ) ，( u 。+ 1 ) 且e t e + i 因此 错= z ”1 搿出= ，“1 怒出了再丁2 上了再丁“5 上7 i 面眦 ，卧1 d t = i n ( r ( e + 1 ) m ( r ( e ) ) 从( 1 2 ) 我们有： 薹篙揣；耋厂需出= ；熙h 籍 从推论( 1 1 ) 我们知道：i n r ( t ) 0 ， 于是就有： l i mu k = + 0 0 ， - + 0 0 这显然是一个矛盾至此引理2 证毕 下面我们给出本节的主要定理 定理1 ：设 u 。) ( n = k 0 1 ，o ，o + 1 ) 是方程( 1 ) 的一个解，而且下列条件成立 m 。 ，。高 。，。 。志 。对幻。； ( i i ) 吼 o ，l i r a ( q t c l n ) = o o ； 卜蟑e = 女oi = e + l ( i v ) 熙s u p 0 ，因而存在正数m - 及m 2 使得 j u n f ”l 0 拨l ，【u n ) l ”2 0 ( n 冗分大时) ， - 7 ：县我们就有： 币k 而, k 熹，旷。塞。碧 以及 彘t - - 圭k om a 习u k 妾熹，( 吼一心r n 2 1 定义r p ) = u 。+ 0 一e ) a u 。，e s t e + l _ 虫果u 。0 ，那么u 。r 0 ) su 。+ l ， 志淼怒，吲e 扎 ( 1 3 ) 如果u 。 0 ，f g ( m r r ) 此外表示向前差分算子一 个解为最终正或最终负称为非振动解我们的研究内容是这个二阶非性差分方程的振 动性，解的有界性以及非振动解的存在性等内容所获得的主要结果是对文献f 4 a 中 某些结果的推广在证明主要定理之前我们先建立几个引理 引理1 ：设，( n ，u ，。) 关于“是单调增加的，那么方程( 2 1 ) 的所有解均为非振动的 证明：设 鲰) 为( 2 1 ) 的强动解，则必存在正整数0 ，使得y n lso ，y n o 事实上若存在正整数n 1 n o 使得y l v l _ 1 0 于是， a ( p n l 一i ( 。一i ) o ) = ，( i ，趴，d * y n ，) = o 那么我们有 m ( a y x ：) 。= p n , 一1 f 虮一1 ) 。 0 ， 因而 掣n ， 0 即y n l + 1 掣n ，：o 取n = l ，使文满足”，一1 = 0 ，y n 。 0 从 a ( p j v i ( 一1 ) o ) = f ( n ，y n ，a y = ) 0 ， 我们得到： p ( _ ) 口p n i ( a 掣n 1 ) 口 o 于是我们有a y 0 ，即y i v + l y n 以此类推，我们得出+ l 0 ， + 2 0 ，即我们证明了蜘 0 对n n 这 与 目。) 是( 2 1 ) 的振动解相矛盾、 引理2 ： 设 ) 为( 2 1 ) 的解，令a = “) ：y n y o ，对n i v ，b = “y n ) ： n a y 0 ，n n 0 ( 2 2 ) 假设存在某个正整数n l o 使 。 o ，那么由( 2 2 ) 知， o ，n 1 于是 ) a 若。s0 ，对n n 恒成立对任一m n ，我们有： 0 一 = p 。( 。) “= p m 一1 ( 蜘- 一1 ) 。+ ，( m ，蜘，f m ) p m 一1 ( g 。一1 ) o p m 2 ( z x y2 ) o - t - ，( m 一1 ，一1 ，一1 ) “ p 。2 ( a y2 ) “ p ( a v n ) o ( 2 3 ) 我们从( 2 3 ) 得出：对任意大的正整数m n ，当sn m 一1 时a y 。 0 0 ，n 2o ，卢为两正奇数之比； 同时有 烈薹4 - 1 嚣) 一，= 1 螺nr 4 ， 那么方程( 2 1 ) 的所有解是有界的 证明：若解 】b ，则结论显然成立若解 ) a ，不妨设 o ，a y 。 o ，n n 它是( 2 1 ) 的一个无界解，h r y = + o 。， 从【2 1 ) 我们得出： p n + i ( a y n + i ) 。= p n ( a y n ) o + f ( n +