（应用数学专业论文）具变号因子的某类高阶微分方程的振动性研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 常微分方程的振动理论是稳定性理论研究的重要分支，近年来，微分方程解的振动 性研究十分活跃，特别，具不变符号振动因子的高阶微分方程解的振动性研究已经有很多 研究成果，但是对于具变符号振动因子高阶微分方程解的振动性研究，用以往的方法不能 进行研究，本文用一种新的方法研究了一系列具变符号振动因子的高阶非线性微分方程解 的振动性，并对每类方程得到了两个引理和该方程振动的充分条件 本论文主要研究了二阶、四阶和六阶微分方程的振动性，其中包括非线性微分方 程，非线性时滞微分方程和非线性变时滞微分方程的振动性研究 首先论文第二章研究了二阶微分方程的振动性，得到该组方程振动的充分条件本章 中所研究的方程是应用以往的研究方法进行研究的，扩大了以往研究范围 其次论文第三章到第五章研究了四阶微分方程的振动性，用一种新方法分别研究了具 变符号振动因子的四阶非线性微分方程、四阶非线性时滞微分方程和四阶非线性变时滞微 分方程的振动性得到了该组方程振动的三个充分条件 在第六、七章中，进一步研究了具变符号振动因子的六阶微分方程的振动性，包括六 阶非线性微分方程和六阶非线性时滞微分方程的振动性，得到该组方程振动的充分条件 最后第八章是本论文的结论部分首先对本文所做的主要工作进行了总结，然后简要 介绍了本文今后的研究设想 关键词：高阶微分方程，变符号系数，非线性，时滞，振动性 北方工业大学硕士学位论文 r e s e a r c h e sa b o u tm eo s c i l l a t i o n so fc e r t a i n c l a s s e so fh i g h o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t 础 1 1 1 eo s c l a 乜o nm e o 巧o ft h eo d ei sa nl m p o r t 觚tb m c ho fs t a b i l i t yt h e o r e t i c a lr e s e a r c h i i lr e c e l l ty e a r s ，t h es t u d yo ft h eo s c i l l 撕o n0 nd i 侬r e l l t i a le q u a t i o n si sv e r ) ra “v e d ，i n p a n i c u l a r ，t h es t u d yo ft h eh i g h o r d e rd i 行e r e i l t i a le q u a t i o n sw i t ht h es 锄es i 盟o s d l l 撕o n 亿西0 rh a v e 百v e nam m l b e ro fs t u d i e sr e s u l t s ，b u tw ec o u l dn o tu s ep r e v i o u sm e 1 0 dt o 碳船r c h e sm eh i 曲- o r d e rn o n l i n e a rd i 腩啪t i a le q 删i o nw i mv a d a b l es i 印o s c i l l 撕o nf a c t o r w e u s e dan e wm e m o do nas 甜e so fo s c i l l a t i o no f h i 曲- o r d e rn o n l i n e a rd i f 衔e i l t i a le q u a t i o n s w i n lv 撕a b l es i 印o s c i l l a t i o n 胁o r ，锄de a c ht y p eo fe q u a t i o nh a sg e tt 、v ol e n l m aa 1 1 d s u 伍c i e n tc o n m t i o l l sf o rt 1 1 eo s c i l l a t i o no f t h e s ee q u “o i l s t 1 1 i sp a p e rm a i 】f 1 1 ys t u d ym eo s c i l l a t i o no fm es e c o n d 帕r d e r 、f o u r - o r d e ra n ds i x - o r d e r d i 毹r e t l t i a lo q u 撕0 n 1 1 1 e s ee q u 撕0 1 1 si 1 1 c l u d en o n l i n e a rd i 毹彻1 t i a le q m t i o n 、n o n l i n e a rd e l a y d i n a e n t i a lo q u a t i o na r l dn o l l l i l l e a rv a r i a b l es i g no s c i l l a t i o nf a c t o rd i 丘h 饥t i a le ( 1 僦i o n f i r 巩w e 咖d ym eo s c i l l a t i o no ft 1 1 es e c o n d - o r d e rd i 娲r 朋t i a le q 删i o n 锄do b t 血s u 伍c i e n t c o n d i t i o nf o rm eo s c i l l 撕o no ft h e s eo q u a t i o n s w eu s eo l dm e t h o dt or e s e a r c h e st 1 1 e s ee q 删o i l s ， a i l de x p a n dt 1 1 ee x t e n s i o no f 1 er e s 鼬 a n d t h e n ，i 1 1m et h i r dp a no f t h i sp a p f o n hp a n o f t h i sp a p e ra n d6 f n lp a r to fm i sp a p w e u s ean e wm e t l l o dt o 咖d ys e 、，e m ld a s s e so f 妣r d e rn o l l l 协e a rd i t i a le q u a t i o nw i t t l v 鲥a b l es i 朗o s c i l l 撕o nf a a 【o r 1 1 1 e nw eo b t 血t l l l 优s u 伍c i 饥tc o n d i t i o i l sf b r l eo s c i l l a t i o no f t 1 1 e s e 。q 似i o r l s 1 1 1m es i ) 【t 1 1p a r to f t h i sp 印_ e r 趾ds e v 朋mp a r to f t l l i sp a p e r ，w ed e e p l ys n j d y 1 es 恢_ 0 r d e r n o l l l m e a rv a r i a b l ed i 旋r 肌t i a le q u a t i o n 州t hv a r i a b l es i 印o s c i l l a t i o n 矗l c t o r n e s ee q u a t i o n s i i l c l u d es i ) 【一o r d e rn o n l i n e a rd i f i 研e r 】右a l o q u a t i o na n ds i x o r d e rn o n l i n e 盯d e l a yd i f f 却e n t i a l e q 训o n a n dw ea c q u i r es u 伍c i e l l tc o n d i t i o i l sf o r l eo s c i l l 撕o no f t h e s ee q u 撕0 1 1 s l a s t ，m ee i 曲t 1 1c h 印t e ri st h i sa n i c l ec o n c h l s i o np a n f i r s tm e 砸m et a s l ( w h i c hd o s et 0m i s a n i c l eh a sc a m e do nt 1 1 e a 吼t 1 1 朗硫e n yi r l 仃o d u c e dm ea n i c l en e x tt 锄t a t i v ep l a l l k e yw o r d s ： h i 曲- o r d e rd i i a le q u a t i o n ，c o e 伍c i e n tw i n lv 撕a b l es i 印，n o i l l i n e a r ， d e l a y ， o s c i l l a t i o n 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 量友王些太堂或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位敝储妣嘞芳 签字日期：知萨崩乖 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j 量友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权j 量友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：历泸妇 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期母白手 电话： 邮编： 即产鼋，沪 北方工业大学硕士学位论文 1 引言 作为本文的开篇部分，本章主要介绍了课题“具变号振动因子的某类高阶微分方程 的振动性研究”的历史背景、研究动态及其发展趋势和主要研究内容，然后介绍了本文 的组织结构 1 1 课题的历史背景、研究动态及其发展趋势 微分方程，包括常微分方程和偏微分方程许多领域中的数学模型都可以用微分方 程来描述，很多重要的物理，力学等学科的基本方程本身就是微分方程早在微积分理 论刚形成后不久，人们就开始用微分方程来描述，解释或预见各种自然现象，并将所得 到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显 示了微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性逐渐地，以物理，力学等各门科 学中的实际问题为背景的微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它 直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方 法，不断地促进着许多相关数学分支( 如泛函分析，微分几何，计算数学等) 的发展， 并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。微分方程已经成为当代数学中的一个重 要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的 桥梁 在对微分方程的研究中，振动性理论是微分方程定性理论的一个重要分支，也是近 年来定性理论研究中一个十分活跃的方向不论在哪一种技术领域里，不论在哪一个物 理部门里，都会得到某种程度的振动过程无线电技术，交流电工学以及某些其他技术 部门里全部是建立在利用振动过程基础上的现在我们国家正处在日新月异的时代，各 种学科都在蓬勃发展，其中生物学，经济学，通讯工程以及控制过程等学科的发展会大 大促进微分方程理论的进一步发展，因此微分方程振动性的研究在我国有着广泛的应用 前景，与其他学科是相辅相成相互促进的 常微分方程的振动理论是稳定性理论研究的重要分支，近年来，微分方程解的振动 性研究十分活跃，特别，具不变符号振动因子的高阶微分方程解的振动性研究已经有很 多研究成果，如【1 虬3 2 1 ，但是对于具变符号振动因子高阶微分方程解的振动性研究，用 以往的方法不能进行研究，本文用一种新的方法研究了一系列具变符号振动因子的高阶 非线性微分方程解的振动性，并对每类方程得到了两个引理和该方程振动的充分条件 1 北方工业大学硕士学位论文 定义1 若方程的非平凡解既不最终为正，也不最终为负，则称方程的非平凡解是 振动的 定义2 如果方程的任意一个非平凡解是振动的，则称方程是振动的 1 2 本文主要研究内容 本文研冗的主要内容是具变号振动因子的高阶微分方程解的振动性，主要研究二 阶、四阶和六阶微分方程解的振动性 在本文第二章中研究了具变号因子的某类二阶微分方程 石”o ) + p o 弦p ) = 0 ( f 芑气) ( 2 1 ) x ”o ) + p 1 3 f ) 厂o o ) ) = 0( f f 。) ( 2 2 ) 的振动性，并得到方程振动的两个充分条件 其中：p o ) c ( 【f 。，) ，尺) 厂：尺一r 为连续函数，巧 ) o ，7 ) 0 一o ) 定理2 1 ： 假设r p o ) 出一+ 成立，则方程( 2 1 ) 是振动的 定理2 2 ：假设p o ) 出= + ，又可 ) o 且厂o ) o ，则方程( 2 2 ) 为振动的 在本文第三章中研究了具变符号振动因子的四阶非线性微分方程 z ( 4 o ) + p o ) 厂( x o ) ) = 0o 乏f o ) ( 3 1 ) 的振动性其中：p o ) c ( p 。，) ，r ) ， ) c ( 纯，) ，尺) 得到了两个引理及该方程振 动的充分条件 引理3 1 ：若方程( 3 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数f 1 ，z ：，使：o z 。 上盟 z ： ( b ) 正p + o 渺= + ： ( c 1 ) p o ) 芑一e 一。， 则当z ( f ) 为方程( 3 1 ) 的非振动最终正解时，存在常数九，凡，九，九使得 x o ) s 九+ 厶f + a 2 + 九f 3 一e 一； 当x ( f ) 为方程( 3 1 ) 的非振动最终负解时，存在常数九7 ，凡7 ，九7 ，九使得 x o ) 苫九+ 九f + 恐f 2 + 九f 3 + p 2 北方工业大学硕士学位论文 引理3 2 ：若方程( 3 1 ) 满足f = 列条件： ( a ) 存在常数f 1 ，乞，使：o z 。 上盟 z ： ( c 1 ) p o ) 芑一e ， 则当方程( 3 1 ) 有非振动解石o ) 时，y o ) = z o ) + j ：哆f 出出2 p 一( s s ) 厂 g ，) ) 出， 和y o ) ，) ，胛o ) 最终均不变符号 定理3 ：如果方程( 3 1 ) 满足以下条件： ( a ) 存在常数f 1 ，z ：，使：o z 。 上盟 f ： ( b ) 正n o 矽= 帕： ( c 1 ) p o ) 2 一e q 。， 其中：p o ) c ( 【f 。，】，尺) ， p + o ，2 警x 二芸；三詈，p o ，2 管x 二芸；三詈 则方程( 3 1 ) 是振动的 在本文第四章中研究了具变符号振动因子的四阶非线性时滞微分方程 x ( 4 o ) + p o ) 厂o o f ) ) = 0o 苫) ( 4 1 ) 的振动性其中：p o ) c ( 【f 。，) ，r ) ，o ) c ( ，) ，尺) f 为一常数并且得到了两 个引理及该方程振动的充分条件 引理4 1 ：同引理3 1 引理4 2 ：若方程( 4 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数，乞，使：o z ， f ， 则当方程( 4 1 ) 有非振动解z o ) 时，y o ) = z o ) + 一喇出1 凼2 p o ，) 厂g g ，一r ) 地 和) ，o ) ，y7 0 z ) y ”o ) 最终均不变符号 定理4 ：若方程( 4 】) 满足下列条件： 3 北方工业大学硕士学位论文 ( a ) 存在常数f 1 ，z ：，使：o f ， z ， 则方程( 4 1 ) 是振动的 在本文第五章中研究了具变符号振动因子的四阶非线性变时滞微分方程 x 4 o ) + p o ) 厂( x ( g o ) ) = oo 芑f 。) ( 5 1 ) 的振动性其中：p o ) ，g ( f ) c ( 阮，+ 叫，r ) ， ) c 但，r ) ，巧以) o o ) 并且得 到了两个引理及该方程振动的充分条件 引理5 1 ：若方程( 5 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数f 1 ，z ：，使：o f ， 0 ， 则当z o ) 为方程( 5 1 ) 的非振动最终正解时，存在常数九， ，九，厶使得 x ( f ) s 九+ f + 九f 2 + 九f 3 一e ； 当x o ) 为方程( 5 1 ) 的非振动最终负解时，存在常数九7 ，九，九，九使得 x o ) 苫九+ 凡7 f + 九7 f 2 + 九7 f 3 + p 引理5 2 ：若方程( 5 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数f 1 ，f 2 ，使：o f 1 f ，f = s u p p g o ) ) ， 则当方程( 5 1 ) 有非振动解z o ) 时，y o ) = 工o ) + j ：出_ 1 出圻p 一如圹 o 如) ) ) 如 4 北方工业人学硕士学位论文 和y p ) ，y7 ( g ( f ) ) y ”o ) 最终均不变符号 定理5 ：若方程( 5 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数f 1 ，z ：，使：o z 。 0 ： ( e ) 对于任意，存在6 口，使得对于f 【口，6 】，有p o ) 量o ， 且6 一口 f ，f = s u p p g o ) ) ， f 可o 则方程( 5 1 ) 是振动的 在本文第六章中研究了具变符号振动因子的六阶非线性微分方程 x 6 o ) + p o ) 厂 o ) ) = 0o 苫气) ( 6 1 ) 的振动性其中：p o ) c ( 【f 。，) ，尺) ， ) c ( 瓯，) ，r ) 并且得到了两个引理及该方 程振动的充分条件 引理6 1 ：若方程( 6 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数f 1 ，乞，使：叫。 华 k ( b ) 厶n o 渺= + ： ( c 2 ) p o ) 芑一e r ， 则当x o ) 为方程( 6 1 ) 的非振动最终正解时，存在常数九，凡，九，九，九，九使得 石o ) s 九+ 凡f + 九f 2 + t f 3 + 九f 4 + 九f 5 一p ； 当z o ) 为方程( 6 1 ) 的非振动最终负解时，存在常数九7 ， ，九，如7 ，九7 ，九使得 x ( f ) 芑九7 + f + 九f 2 + 九f 3 + 九f 4 + 九f 5 + p 一 引理6 2 ：若方程( 6 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数，乞，使：o ，。 上盟 z ： ( c 2 )p o ) 苫一e r ， 5 北方工业大学硕士学位论文 则当方程( 6 1 ) 有非振动解x o ) 时，y o ) = 砸) “吲咚r 凼圻哆r 凼f 卫旭) 厂魄煅 和) ，7 0 ) ，) ，”o ) ) ，5 ( f ) 最终均不变符号 定理6 ：如果方程( 6 1 ) 满足以下条件： ( a ) 存在常数f 1 ，z ：，使：o z ， 上盟 z ： ( b ) f ：n o 沙一+ ： ( c 2 ) p o ) 芑一e 一。， 其中：p 0 ) c ( 【气，】，尺) p + o ，。 岔x 耋善；三：p o ，2 擘x ；葚；三言 则方程( 6 1 ) 是振动的 在本文第七章中研究了具变符号振动因子的六阶非线性时滞微分方程 x 6 o ) + p ( f ) ，0 0 f ”= 0o 芑气) ( 7 1 ) 的振动性其中：p o ) c ( 【f 。，) ，r ) ，o ) c ( 瓴，) ，尺) f 为一常数并且得到了两 个引理及该方程振动的充分条件 引理7 1 ：同引理6 1 引理7 2 ：若方程( 7 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数，f 2 ，使：o f 。 f ， 则当方程( 7 1 ) 有非振动解z o ) 时， y o ) = 雄) 嘲喵嘶吣卫电) 厂一鹕和) ，伽o z ) ) ，胛o ) 广o ) 最终均不变符号 定理7 ：若方程( 7 1 ) 满足下列条件： ( a ) 存在常数，z ：，使：o f ， f ， 则方程( 7 1 ) 是振动的 1 3 本文结构 本文主要从以下三大方面进行论述： 第一方面：引言部分，简要介绍了所研究课题的历史背景、研究动态及其发展趋 势，主要研究内容和本文结构 第二方面( 第二章至第七章) ：第二章，主要研究了两类具变符号振动因子的二阶 微分方程的振动性第三章，主要研究了一类具变符号振动因子的四阶非线性微分方程 的振动性第四章，主要研究了一类具变符号振动因子的四阶非线性时滞微分方程的振 动性第五章，主要研究了一类具变符号振动因子的四阶非线性变时滞微分方程的振动 性第六章，主要研究了一类具变符号振动因子的六阶非线性微分方程的振动性第七 章，主要研究了一类具变符号振动因子的六阶非线性时滞微分方程的振动性 第三方面( 第八章) ：结论部分，首先对本文所做的主要工作进行了总结，然后简 要介绍了本文今后的研究设想 7 北方工业大学硕士学位论文 2 具变号振动因子的二阶微分方程的振动性 2 1 引言 微分方程解的振动性研究在理论和实际应用中都有十分重要的意义，也是微分方程 定性理论的一个重要研究领域对于二阶不变号振动因子的微分方程的振动性研究，已 有许多研究成果，如【1 。5 肛1 8 】 本文用以往的方法研究了一类具变号振动因子的二阶微分方程 x ”o ) + p o ) 工( f ) = o ( f 气) ( 2 1 ) 和x ”o ) + p o ) ，o o ) ) = 0( f 之气) ( 2 2 ) 的振动性其中：p o ) 为振动因子，p o ) c ( 【f 。，+ ) ，尺) 2 2 主要定理及其证明 定理2 2 1 ： 假设( p ( f 渺= + 成立，则方程( 2 1 ) 是振动的 证明：反证法假设方程( 2 1 ) 是非振动的，则方程( 2 1 ) 至少存在一个最终正 解或最终负解不妨假设方程( 2 1 ) 存在一个最终正解z o ) ( 最终负解的情形可类似证 明) 因为石”( f ) + p ( f k ( f ) = 0 ， 所以有 等一p 从f 。到f 对上式积分得 等一桨+ 掣出一胁x o )x o o ) j f 。 x 2 ( s ) j f 。、 所以 鬻一等。j ： 即鬻 器一伽溉 8 北方工业大学硕士学位论文 所炒强时，有鬻 f 。时，有p o ) o 对方程( 2 1 ) 从f ：到f 积分得 x 7 0 ) o ：) + j ：x o 咄p ( s ) 出一o 因此 x o ) = z ( f ：) 一z o 埴p g ) 凼+ j ：埴p o ) 出虹7 0 ) 出= o 由上知正p o ) 如 o x 7 0 ) o 且厂 ) o ，则方程( 2 2 ) 为振动 的 证明： 反证法假设方程( 2 2 ) 是非振动的，则方程( 2 2 ) 至少存在一个最终正 解或最终负解不妨假设方程( 2 2 ) 存在一个最终正解x o ) ( 最终负解的情形可类似证 明) 因为巧o ) 0 ，z o ) 0 ，所以厂 ) 0 方程( 2 2 ) 变为 高一州 从f 。到f 对上式积分得 志一揣+ j ：等蒜产出；i 胁，o ( f ) )，( 工( f 。) ) j f 。厂2 ( 石( s ) ) j f 0 7 9 北方工业大学硕士学位论文 由条件知厂 p ) ) 0 ，所以 黑 r 。时，有亨芸 时，p o ) 0 对方程( 2 2 ) 从f 2 到f 积分得 z 7 0 ) 一工o ：) + t 厂 o ) ) d j ：p o ) 出= o 即 z o ) 一z o z ) + 厂 o ) 坂p o ) 出一上幔p o ) 凼) 厂 o ) 弦o ) 出= o 由上知上p o ) 出 o ，石7 0 ) o ，所以有 工o ) 0 ) 以下由定珲2 2 1 的证明可得方稗( 2 2 ) 有榧动自i 军 2 3 结论 本章用以往的研究方法研究了方程( 2 1 ) 和方程( 2 2 ) 解的振动性，得到了方程 ( 2 1 ) 和方程( 2 2 ) 振动的充分条件，本章扩大了以往所研究方程的范围 1 0 北方工业大学硕士学位论文 3具变符号振动因子的四阶非线性微分方程的振动性 3 1 引言 具不变符号振动因子的高阶微分方程解的振动性研究已经有很多研究成果 如帅t 1 皿2 4 1 ，但是对于具变符号振动因子高阶微分方程解的振动性研究，用以往的方法不 能进行研究，本章用一种新的方法研究具变符号振动因子的四阶非线性微分方程解的振 动性，并得到了两个引理和该方程振动的充分条件 本章研究的方程如下： x h o ) + p o ) ， ( f ) ) = oo 苫f 。) ( 3 1 ) 其中：p o ) c ( p 。，+ o 。) ，尺) ，厂( z ) c ( o 。，) ，尺) 记： 小，= 搿肿，= 搿磐 方程( 3 1 ) 可写为 工( 4 o ) + p + o ) 厂( 石o ) ) + p o ) 厂0 0 ) ) = 0 ( 3 2 ) 定义：若方程( 3 1 ) 的非平凡解x ( f ) 既不最终为正，也不最终为负，则称方程( 3 1 ) 非平凡解x ( f ) 是振动的如果方程( 3 1 ) 的任意一个非平凡解是振动的，则称方程 ( 3 1 ) 是振动的 3 2 引理及其证明 引理3 2 1 ：看万栏( 3 1 ) 满足卜夕u 条件： ( a ) 存在常数1 1 ，f ：，使：o z 。 o 因为乙4 o ) = 一p o ) 厂 o ) ) ，所以有 哿叫等钟荆等“：m 即 哿“：m 1 2 凋上还卜寺瓦阴迈从f 2 剑f 秋分 搿一鬻+ 掣铲出“：“帕 z 1 0 ) z 。( f ：) t ： 毛2 g ) “。 2 j r z r r 广 因为乙o ) o ，彳p ) o ，乞3 p ) o ，所以 紫s 鬻一z z p 凼；尉一z “帆 对上述不等式两边再次从f ：到f 积分得 豢惜盼乞，吲州啪。 对上述不等式两边从f ：到f 积分得 鬻s 剧+ 引p ，+ 三剀。t 尸吲幽r 乞p o ：灿z 再积分得 h 毛c 2s i 鲁i o 一乞，+ 三f 鲁l 。一乞，2 + 丢j 鲁l 。一r ：，3 一一小、d s 2 囊t 2 山灌s 3 卷一划”。+ 剿：n 吾斟：，3 出出2 z ：p 一( s 。) 如，) 进行化简整理得 乞o ) s 曰e 印3 t 吒幽e 出：e 龇溉 又因为p o ) 芑一e 叫4 ，记j ：z z p o 沙= 一c ( c o 为常数) 所以有j ：2 乞p 一( f 渺 一c 因此有乙( f ) sc 1 p c 2 f + 勺2 + c 4 f 3 因为一乞p o ) z 1o ) z 2 p 一，c - 1 e c 2 f + c 3 ，2 + c 4 f 3 ；1 1 2 ( 1 1 p f 4 ( 。等一鲁一孚+ 1 ，：p f 4 t 一号一鲁一孚一号+ 1 ，sp 一， 又有z ( 4 o ) = 一p o ) 厂0 0 ) ) 一f ，p ( f ) 石“) 一z ，p “、z ，“、 1 3 北方工业人学硕士学位论文 所以存在气苫f 2 ，当f 苫f 3 时，有z 4 o ) s e 一( f 充分大) 因此 l t d s l l 如、丈d s 2 丈一p 心l 吣ls 如必1 ed s 2 一d s 3 = 尼o + 七，+ 七2 f 2 + 七3 f 3 一p 一 其中：一e 一矿一争p - f l + 扣p 白= p h + p + 三2 p f 1 ； 七：= 一三p 一 一三e h ； 1 一厶 岛2 否矿 由r p + o 皿一+ ，可得嘲出。r 出：f 2 p + o ，) 厂 o ，) ) 出， o 所以 x o ) 5 彳o + 4 0 f 1 ) + 彳2 0 一) 2 + 彳3 ( 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最终负解 的情形可类似证明) 由引理3 2 2 知) ，”o ) 和y ( f ) 是最终大于零的( 其中y o ) 的定义与引 理3 2 2 中的定义是相同的) 由引理3 2 2 知 y 4 o ) o 而 訾“删 两边从屯到f 积分得 暑一鬻+ j ：糍挚 一“p m 出 y o )y 0 4 ) - y 2 ( s ) l j f 1 + 、7 晡鬻 鬻一“p 心灿 由条件( b ) 可知：当f 一时，有) ，”( f ) 0 矛盾 综e 可证，方程( 3 】) 是振动的 1 6 北方工业大学硕士学位论文 3 4 结论 本章所讨论的方程( 3 1 ) 中的振动因子p ( f ) 是可变符号的，所研究的方程是全新的， 尚未见到相关文献研究其振动性本章采用一种新的研究方法对其进行研究，因此本章中所 得引理及定理是对以往具不变符号振动因子的四阶微分方程振动性研究的一个突破 1 7 北方工业大学硕士学位论文 4 具变符号振动因子的四阶非线性时滞微分方程的振动性 4 1 引言 具有不变符号振动因子的高阶时滞微分方程的振动性研究，已经有很多的研究成 果，如【2 5 瑚】本章在前一章研究的基础上，结合具有变符号振动因子的二阶非线性 时滞微分方程的振动性这篇论文，研究具有变符号振动因子的四阶非线性时滞微分 方程解的振动性，并得到了两个引理和方程振动的充分条件 本章研究的方程如下： x ( 4 ( f ) + p o ) 厂( x o z ) ) = 0( f 气) ( 4 1 ) 其中：p o ) c ( p 。，+ 】，尺) ，厂( 石) c ( ( 气，) ，r ) 记 小，= p 嚣拳m ，= p 搿 则方程( 4 1 ) 可写为 石( 4 o ) + p + o ) ， ( f f ) ) + p o ) ， ( f f ) ) = o ( 4 2 ) 定义：若方程( 4 1 ) 的非平凡解z o ) 既不最终为正，也不最终为负，则称方程( 4 1 ) 非平凡解x ( f ) 是振动的如果方程( 4 1 ) 的任意一个非平凡解是振动的，则称方程 ( 4 1 ) 是振动的 4 2 引理及其证明 引理4 2 1 ：若方程( 4 1 ) 满足f 列条件： ( a ) 存在常数，f 2 ，使：o z 。 0 ( 最终负解的情形可类似证明) 记： z o ) 20 吨出正出z 上：p 一( s ，v o ( s ，一f ) ) 出， ( 4 3 ) 则 z 4 o ) = 一p o ) ，o o f ) ) 因此 g ) 一z o ) ) 4 + p + g ) ，o o 一了) ) = 0 ( 4 4 ) 对方程( 4 2 ) 从到f 进行四次积分得 x o ) = 4 + 4 0 一) + 4 0 一) 2 + 4 1 3 f 一) 3 一f l l d s f l i d s 。d s 2 ；：p q o fb b 3 一t d s 3 一j ：出。j ：l 出：j ：2p + ( s ，) ，o ( s ，一f ) ) 出， 其中：4a 工“) ，4 一x 饥) ，4 = 丢x ”瓴) ，4 = 昙z ”瓴) 令 z 1 0 ) 一1 4 l + h i ( f f 。) + 1 4 l o 一) 2 + k l o 一) 3 i 喇出_ 1 出z 2 p 一( s ，) 厂o o ，一f ) ) 出， ( 4 5 ) 所以存在f 2 苫，当f f 2 时，有x o ) sz 1 ( f ) ，且乙4 o ) ；一p o ) ，o o f ) ) ， z l o ，) = k i ，彳( f 。) = 阻l ，水。) = 心l ，z 。3 瓴) ；陋i 由方程( 4 5 ) 知，z 1 0 ) ，z ：o ) ，z 沁) ，乞3 ( f ) o 所以存在f 2 乏，当f f 2 时，x o f ) s z l ( f f ) s 乙( f ) 因为乙4 o ) = 一p o ) ， o f ) ) ，所以有 哿叫等钟等暑“：p 即 1 9 北方工业大学硕士学位论文 尝叫肿) 乙o ) “一7 对上述不等式两边从乞到f 积分得， 搿一鬻+ 雩皆出叫加灿 z l p )乙( f ：) j r ：z 1 2 0 ) 2 j ，z f 。r 广 因为乙o ) o ，彳( f ) o ，z 1 3 o ) o ，所以有 鬻s 搿一z p 斟出= 斟一z p 州出 对上述不等式两边再次从f ：到f 积分得 豢s 酬和乞，i 诅c 毛地 对上述不等式两边从f ：到f 积分得 器s 剀+ 剀小三剀吲出切一o ：灿2 再积分得 焉一划：，+ 剿：卜丢斟：广 i 凼。r 凼2 z ：p o ，) 凼， 进行化简整理得 乞o ) sb e 即印2 + 妒t 唾幽r 凼：r 纽( 刚缸 又因为p g ) 一p 叫4 ，记r 乞p o 沙= 一c ( c o 为常数) 所以有j ：2 乞p o 沙 一c 因此乙o ) sc l e c 2 f + q 2 + 印3 因为 一z 2 p o ) z l ( f ) z 2 e r 4c l p 印+ 印2 + c f 3 ；z ：( z p f 4c 一笋一鲁一孚+ l ，p f 4c 一争一争一孚一笋+ 1 ，se 一， 又有z 4 o ) = 一p o ) ，( z o f ) ) 一z ：p o ) z o z ) 一z ：p 一( f ) z 。o ) 所以存在厶苫厶，当f 时，有z ( 4 “1s e t ( f 充分大) 2 0 北方工业大学硕士学位论文 t l d s t j d s 。丈d s 2 文一p b fb b 3 一曲w s 3 s 1 1 d s l f l l a s 、丈d s 2 丈e - s i d s 3 = + 毛f + 七2 f 2 + 也f 3 一p 其中：巧 邯咱一丢如咱+ 扫e - l l ； t = p 1 + 印叫1 + 去f 1 2 e 叫1 ； 七：一一三p h 一三r 。e h ； 屯； 由r p + o 砂= + ，可得出1 j ：| 出2 p + o s ) ，o ( 邑一f )