（应用数学专业论文）基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画.pdf

摘要 无套利分析方法是现代金融学研究的基本方法，它是一系列金融研究成果的重要 分析手段，也是当今金融工程面向产品设计、开发和实施，支撑金融创新的基本技术， 因此，它在现代金融学的理论与实践中占有核心地位。本文主要讨论了在有交易费用 特别是交易费用有优惠的摩擦市场下无套利的刻画闯题。 论文共分为三章，内容安排如下： 第一章首先介绍了无套利分析方法研究背景以及意义，随后介绍了无套利分析的 研究现状以及本论文的主要工作。 第二章是在已有文献工作的基础上，研究了有固定交易费的摩擦市场下无套利的 进一步刻画：通过定义延拓的状态价格，证明了市场无套利等价于状态价格的存在性； 通过最优消费决策的存在性来刻画无套利：利用超复制未来给定收益的最小初始费用 来刻画无套利条件。 第三章在一般交易费函数的情形下，得到了市场无套利的充分条件和充要条件； 随后针对现实金融市场中交易费有优惠的情形，讨论了无交易费市场与交易费有优惠 的市场强套利之同的关系，得到一个描述摩擦市场强套利的充分必要条件。最后给出 了市场无强套利的一些优化问题以及其与最优消费问题的关系。 关键词摩擦市场交易费买卖差价无套利分析消费强套利 a b s t r a c t n o - a r b i t r a g ea l a a l y s i si st h eb a s i cm e t h o do fs t u d y i n gm o d e mf i n a n c e 9i ti si m p o r t a n t t oas e r i 铬o f 托s u l t so f f i n a n c e , a n d “i s 越s ot h eb a s i cm e t h o do f p r o d u e t i o n sd e v i s i n g ， d e v e l o p i n ga n da p p l y i n g 0 fc 0 啪e n 州b i t r a g ea n a l y s i si sp l a y i n gae r u e i a lr o l ei nt h e t h e o r ya n dp r a c t i c i n go ff i n a n c e t b ep a p e rd i s c i l s sn 眦b i t r a g eo ht h ec a o fc o m m o n t t a l l s a c l j o nc o s t sa n dp r e f e r e n f i a il 瑚a l s a e t i o n s 忸f u n e t i o 儿 t h e r ei s4 c h a p t e r si nt h i sp a p e r , i t s m a i na 叫n 邮龇： c h a p t e rli sb e g i n 谢_ l ht h eb k g r 咖da n ds i 印m 锄o f n o - a r b i t r a g ea x l a j y s i s ，a n d 慨i n t l o d u c et h ec u r r e n t l yw o r k so f n o a r b i l r n g ea n a l y s i sa n dt h ew o r ko f t h i sp a p e r c h a p t e r 2 删髓t h ee h a m e t e r i z a t i o n so f 衔e t i o nm a r k c t sw i t hf i x e dl l d n s a c t i o nc o s t s o nt h eb a s i so f r e l e v 粕tf i t e r a t u r e s ；b yd e f i n i n ge x t e n d i n gs t a t ep d ，w ep r o o f n o 盯b i t r a g e i se q u a lt 0t h ee x i s t e n c eo fs t a t ep 而，a n dg i v cs o m ec h a r a e t c r i z a f i o 璐o f n oa r b i t r a g e ；b y c h a r a c t e r i z i n gn oa r b i t r a g ew i m t h ee x i s t e n c eo f o p t i m a le o m u m p t i o n 肺吣w c 璐吨 t h em i n i m u mi n i t i a t ew e a l t ho fh y p 盯啪p i i t es 锄er e t u r ni nf i i t u r et od e s c f i b e 加 a r b i t r a g e h c h a p t e r3 ，0 1 2t h ec 雠o f n o r m a lt r a n s a c t i o nc o s t sf u n e t i o n w e 咖e 姐嘲鲥a l 呻u f f m e n te o n d i d o na n das l l f f i e i e n te o n d i d o nt on oa r b i t r a g e a n dt h e nt h ep a p e rd i s e u s s - e st h ec a s eo fp r e f b i e 】匝a l 证m 髭c t i o nc o s t sf u n e d o nj np r a c t i c a lm a r k e t s , a n ds h o wt h e s t r o n g 删t r a g e sr e l a t i o nb c t w e e nt h i sm a r k e t sa n dn o u a m a c t i o nc o s t sm a r k e t s w e o b t a i n 缸e s s e n 伽一s u f f i c i e n tc o n d i t i o nt os t r o n ga r b i t r a g e , n a m e l y m m gt h ee x i s t e n c eo f p o s m v es o l u t i o no f a 口d u po f l i n e a rm e q u a f i o n st dc k 皿i c t 妇n os l r o n ga r b i t r a g e a tl a s t , w ec h a r a c t e r i z e1 1 0s t r o n ga r b i 口a g ew i ms 0 雠o p t i m a lp r o b l e m s k e yw o r d s ：f r i c t i o n a lm a r k e t st r a m a e t i o nc o s t sa s k - b i ds p r e a dn o - 盯b i t r a g e c o n s u m p t i o ns n o n ga r b i t r a g e 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： ：垂丝加年莎尼7 臼 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：二匿! 艇 纱舌年乡月拥 硬士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利捌哥 1 1 理论背景 1 绪论 现代金融理论起始于2 0 世纪5 0 年代初h m a r k o w i t z 提出的投资组合理论，它是现 代金融学的定量研究的开始，随后在2 0 世纪5 0 年代后期，f m o d i g l i a n i 和m m n e r 在 研究企业资本结构和企业价值的关系( m m 理论) 【4 】时提出了“无套利( n o - a r b i t r a g e ) ” 分析方法，这标志着金融学在研究方法上完全从经济学中独立出来，因此无套利分析 方法被人们认为是现代金融学在方法论方面的一次革命。从此，无套利假设成为经济 研究中的一个最基本的假设。无套利思想的出现为如何在不确定环境下对资产进行有 效地配置这金融学的基本问题提供了一个有力的分析方法。 在现代金融理论中，无套利条件既是一个核心的假设前提，同时也构成了一种基 本的分析方法。现代金融经济学中几乎所有重要的模型都是基于这一分析方法：有一 些模型明确地运用了无套利理论，而其他的则是暗含无套利分析的思想。事实上，在 市场有效性假设、资产定价、期权定价和公司金融学这几个构成现代金融学理论大厦 的重要领域，无套利思想的影子无所不在金融理论研究中取得的一系列突破性的成 就，如套利定价理论( a p t ) 【5 l 和期权定价( o p t ) 阿【7 】理论，都是无套利分析方法的杰 出应用。可见无套利分析方法是金融学发展的一个里程碑。这个奠基性的工作对于金 融学的发展所产生的影响是十分巨大而深远的，并且一直是金融学研究的一个主要领 域，也是当今金融工程面向产品设计、开发和设施的基本分析技术，因此对无套利分 析展开深入的研究具有非常重要的理论与实际意义。 虽然金融学的发展令人振奋，但是金融市场的风险也在日益增加，人们在对金融 风险的控制方面遇到了很大的挑战。近年来，国际金融界发生了一系列的重大事件， 如1 9 9 7 年东南亚金融危机、1 9 9 4 年美国橙县金融衍生产品失败导致的破产、1 9 9 5 年英 国巴林银行的倒闭、1 9 9 2 年一1 9 9 5 年法国里昂信贷银行危机等。这使得社会对金融 风险问题更加关注，同时也给从事金融研究工作的学者提供了很好的素材。因此，有 必要结合实际的金融市场，继续深入地开展无套利分析等金融学基本问题的研究，为 金融市场的发展提供科学的理论指导。我们要从市场实际出发，面向实际问题，建立 科学的模型来揭示金融数据中隐含的规律，为投资者提供有效的决策支持，本文将面 向实际金融市场中，展开对无套利分析这方面的讨论。 颈士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻商 1 2 研究现状 经济学研究的一个基本方法是考虑供给与需求的均衡分析，着眼点往往在均衡的 存在性和均衡的变化规律的研究上而金融学的核心内容之一就是对金融市场中某项 头寸( 某种金融资产的持有或短缺) 进行估值和定价，分析的基本方法是将这项头寸 与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生不承受 风险的利润的组合头寸，由此测算出该头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。当市场 处于不均衡状态时，价格偏离了由供需关系所决定的价值，此时就出现了套利的机 会，投资者对套利的追求将推动市场重新建立新的均衡市场一旦恢复均衡，套利机 会就消失。在市场均衡时无套利机会，这就是无套利均衡分析的依据。市场的效率越 高，重建均衡的速度就越快。由于金融系统是一个复杂的系统，在金融市场中，各个 市场参与者想法各异，尤其是个人的风险偏好很不一样，但是，只要出现套利机会， 所有的市场参与者就都会抓住机会去套取无风险利润。而套利机会消除后所确定的均 衡价格，就与市场参与者的风险偏好无关无套利均衡分析抓住了金融市场均衡的最 为本质的特性，所以它也一直是金融学研究的一个重要领域，并且涌现出了大量的文 献，如a l l i n g h a m t 明，c a r a s s u s 9 ，d u i 五e 埘，b l a c k 和s c h o l e s 6 1 ，k r e p s 0 1 ，w i l h e l m 1 2 1 ， r o s s s l 1 3 1 。d y b y i g 和r o s s 1 4 1 。h a l r i s o n 和p l i s k a 【1 5 】等 套利，简单的来说，是指一种低买高卖，利用买卖差价获取无风险利润的行为， 存在套利机会就相当于有一种“免费的午餐”，而无套利条件断言一个发展良好的市 场上不应该存在这样的免费午餐具体而言，套利可以定义如下： 假设市场上有种资产，每种资产有s 种可能的状态，其收益矩阵( 亦称支付矩 阵) 记为d ，它是一个s 矩阵见表示资产f 在第，种状态下的收益。资产价格 向量g r 一个投资策略口r ”，其市场价值为q - 口，其收益为矿口 定义1 2 1 脚市场上存在套利机会是指存在这样的一个投资策略0 r ，满足 ( 1 ) q - 0 0 且d 7 口 0 i 型套利机会 ( 2 ) q 口o 且d r 0 o i i 型套利机会 根据以上定义，如果i 型套利机会存在，则经济系统中可以找到这样的投资组合， 它能以不大于零的投资成本得到至少在某些状态下为正值的投资收益；如果存在i i 型套利机会，则投资者可以用负的成本，获得在各种状态下都不小于零的投资收益 这两种套利机会是不相同的，而无套利条件要求经济中不存在这两种套利机会的任何 种。 2 硕士论文 基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻叠 无套利均衡分析的经典研究领域为无摩擦金融市场的无套利均衡分析。在这一方 面已有大量经典文献。在无摩擦市场的假设下，无套利条件等价于风险中性测度的存 在性，表现为资产无套利均衡定价的基本定理，这方面工作主要有【1 4 】，【l o 】，【1 5 】。在离 散时间的情形，刻画无套利的另一种方法是利用正的状态价格的存在性，这方面的文献 主要有【1 6 】， 1 7 3 ，【1 8 】，【5 】，【1 9 】。 所谓状态价格，粗略地说，是指未来某一状态下1 元财富的当前价格，其准确定 义如下： 定义1 0 2 圆一个状态价格向量是指这样一个向量妒= ( 噍，蟊) 砭，满足g = d i i 其 中蟊为对应状态s 的状态价格 上面定义中的g = d 被称为线性定价法则【1 】【2 j ，其理由除了在于它本身是一个线 性等式之外，还在于它在应用中有一个重要的推论。如果将资产的状态依存收益写为 一般形式歹，则状态价格向量声的存在同时定义了一个定价算子，( ) ，该算子是未来 状态依存收益空间到当前价格空间的一个实函数，满足： p ( a + 够) = q ，( 量) + 6 p ( 歹) ，、口爱，夕 其中口，b 是任意实数。 定理1 2 i 闭( 资产定价基本定理) 对于无摩擦的市场，无套利机会等价于状态价格的 存在性。 人们在关注无套利与状态价格等价性的同时，也讨论了无套利与最优消费之间的 关系。最优消费选择是金融学的另一个重要的研究领域。许多学者对这一方向进行研 究，如c a m p b e l l 和v i c e i r a 2 0 ，c o x 和h u a n g 2 1 jm e c t o n l 笠1 ，s i n - e v e ，s o n e r 和x u 鲫 等。 消费选择问题可简要概述如： 假设投资者在0 时刻进入市场开始交易，在1 时刻获得回报。假设投资者在0 时刻 与1 时刻都要消费。他在0 时刻的消费用常数c o 表示，在l 时刻的消费用s 维向量 q = ( c l l ，钆) 表示，其中，钆表示投资者在状态s 的消费。一般来说，投资者的消 3 硕士论文 基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画 费为正数，即岛，岛o 假定投资者的效用函数甜：冠哼五是连续的，投资者在。时 刻投资后所持拥有的财富用表示，在1 时刻获得投资收益后所拥有的财富用卿表 示， 效用函数称为在o 时刻递增( 严格递增) 的，如果对任意c l2 0 ，成立 0 2 ( ) c o 毒“( c o ，岛) 芝( ) ”( c o ，c 1 ) 称为在1 时刻递增( 严格递增) 的，如果对任意c o o ，成立 c l 2 ( ) q = 净”( c o ，q ) ( ) ( 白，c 1 ) 最优消费选择问题定义为 r n a x u ( c o ，q ) 趾c o s 一q e q s q + d 7 口 c o ，c t 2 0 下面两个定理给出了最优消费与套利之间的关系 定理1 2 2 剀对于无摩擦市场，如果最优消费存在，且效用函数严格递增，则市场 无套利。 这个定理说明如果投资者的效用函数严格递增，则无套利是最优消费存在的必要 条件，但是，如果效用函数是递增而不是严格递增，则定理1 2 2 的结论不正确。 定理1 2 3 i 硐对于无摩擦市场，如果市场无套利，并且投资者的消费严格大于o ，则 存在最优消费 在连续时闻下分析最优消费最经典的方法是随机动态规划方法。这方面的先行者 是m e r t o n l 2 5 1 近年来，很多学者在这一领域进行了深入的探讨，如：j i n 等瞄l 讨论了无 卖空限制的连续时间下最优消费的存在性和唯一性，l 曲o c 凼懵【2 7 】用鞅方法讨论了最 优消费问题，b j o r k 等1 2 8 】用随机方法讨论了连续时间下的最优消费问题，h e p l l 讨论了 由离散到连续时间下最优消费问题等。一般认为，证明动态规划意义下最优消费投 资组合问题的解存在性主要有三种方法：一是运用随机控制理论中的存在性定理；二 是构造一个控制，然后利用动态规划的检验定理验证这个控制就是一个解；三是近年 来普遍采用的鞅表示方法 4 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画 上述研究都是在无摩擦市场的情形下，然而在现实的金融市场种中，人们无法回 避交易过程中必须承担的各种费用，如印花税、分红、交易费等。这些费用的存在对 于投资者选择投资机会以及资产配置方面起着不可忽视的作用因此，如何建立高质 量的数学模型刻画实际金融市场中的摩擦，并进行分析是一个非常关键和有挑战性的 问题。近年来，人们重点关注摩擦市场的无套利分析研究。在实际金融市场中，总存 在多种形式的摩擦，例如买进卖出价差、交易费、税收、交易的最小单位和交易数量 的限制等。各种形式的摩擦使问题复杂化，研究难度更大，也正是因为这样，摩擦市 场的无套利均衡分析才更加重要，近些年来，在这一方面的研究也取得了一些进展。 例如p f i s m a n p 川利用最优化方法刻画了有税收时的无套利条件；随后，g a r m a n 、0 h l s o n 口1 】将这一结论延拓到成比例交易费下的市场，利用状态价格刻画了有交易费时 的无套利条件；d 铡m o d ye ta l 1 7 l 进一步将他们的结论推广到了更加符合实际的交易费 用情况下，将大的投资机构与小的投资者的交易费用区别讨论，即交易费包括投资者 的市场影响和借空费用，大投资机构的费用和小投资者额外附加的小笔费用。李仲飞、 汪寿阳【3 3 l f 3 5 】沿着p r i s m a n 的思路。讨论了包含买卖价差、交易费、税收等摩擦形式的市 场的无套利条件的刻画问题，他们先后讨论了成比例交易费用的情形下市场强套利 机会与弱套利机会的刻画，推广了文献中有关离散金融市场论述的许多已知结果。并 给出了套利的计算复杂度。李仲飞、汪寿阳瞰l 还利用他们的上述研究成果，研究了摩 擦市场中最优消费投资组合策略的存在性和充分必要条件。它们基本上可用甄始市场 或适当转换了的市场的无套利性来刻画由于交易费的引入，交易成本函数的不可微， 使问题的分析变得复杂起来。作者们采用了非光滑优化技术此较好地克服了困难。 之后，余湄，董洪斌、汪寿阳1 3 又进一步把交易费用推广到是一个凸函数的情形，并 引入了具有凸性的税收函数，对这种摩擦市场下的无套利机会进行了刻画，他们主要 讨论了无套利机会与状态价格的关系、无套利机会的凸规划刻画以及用一个对偶规划 问题来刻画无套利机会 d o n a l d 和w 耐坷将有限维空间上的套利延拓到无限维的空间中，给出了无 限维空间下套利的定义，并得出了在无限维情况下均衡性的存在，即存在一个价格系 统，使得市场上任何一个投资者都没有套利机会f u l v i o s t l 在有限维空间下讨论了买 卖差价存在的情况下的套利，他用线性规划和鞅方法来刻画套利条件，证明了不存在 套利机会等价于一个线性规划问题存在最优解通过对偶问题，证明了不存在套利也 等价于u f ( u n d e r l y i n gf i - i c t i o n l e s s ) 状态价格，并给出如何将u _ f 状态价格转换为状态 价格，他推广t n a k i t 3 羽，j o u i n i 和k a l l a l 3 9 】在所有资产中都存在正的买卖差价且红利可 再投资过程中的支付的结论。 在经典文献中，无套利均衡分析的另外一个重要研究领域是无摩擦市场利率的期 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻面 限结构理论，这一理论研究比较晚利率的期限结构是对债权型金融产品( 以下简称债 券) 的利率和它的期限之间关系的概括。利率是指到期收益率，而到期收益率是指投资 者持有债券至到期日，如未发生拒付时所获得的平均收益。期限是指到期是的时长( 如 年数、月数) 由于利率会因期限的不同而不同，从而形成利率的期限结构估计利率 的期限结构主要方法有回归分析方法和无套利分析方法两种方法。 由于均衡定价是建立在无套利假设的基础上，以及由于众所周知的事实：无卖空限 制的无摩擦市场是无套利的当且仅当利率的期限结构存在，近年来无套利分析方法大 大刺激了利率期限结构的研究特别是摩擦市场中利率的期限结构的研究。r o s s 利 用无套利分析方法在市场完全、无摩擦的条件下证明了存在唯一的期限结构；而 h o d g t s 和s c h a e f e r 、r o n n 、k o t z 和p r i s m a n 研究了当市场有摩擦时经典的现值原理是 如何失败的；g a r m a n n 和o h l s o n 口1 1 分析了市场存在成比例的交易费时的资产估值问题； p r i s m a n r 3 m 提出了当市场存在一般形式的税收摩擦时资产估值的一般框架：d e n n o d y 和p r i s m a n t 7 l 研究了当市场存在一般形式的交易费和税收时的现金流估值问题： d e r m o d y 和r o c k a f e l l a r 3 2 研究了当市场存在买卖差价和税收这两种摩擦时现金流的 估值问题；j a s c h k e t 柏 研究了当市场存在买卖差价和交易费( 买卖同一样资产的交易费 相同) 时利率期限结构的套利上界和下界的估计问题等等。汪寿阳等p l 针对上述文献中 没有讨论更一般的情况，即没有考虑市场同时存在买卖差价、交易费和税收摩擦，而且 买卖同一种资产交易费不同的情况，没有在模型中加入与实际相符的约束，即投资者持 有的每种资产的多头头寸和空头头寸的乘积为零的缺陷，利用无套利均衡分析方法，在 离散时间情况下研究了存在买卖差价、交易费和税收摩擦市场的利率的期限结构理论； 在引入相容的期限结构概念后，利用凸分析理论给出一个存在性的结果：存在相容的期 限结构当且仅当市场是无套利的；利用线性规划和非线性规划技术，建立了对摩擦市场 中的资产进行估价的现值原理。这一原理表明，任一现金流的当前买入价和卖出价分 别等于该现金流在有相容期限结构下的折现值的最大值和最小值。而且它们可由线性 规划算法方便地算出。当市场达到无套利、无摩擦、完全这一理想状态时，这一原理 就退化为通常所说的现值原理。另外，以往的大多数文献在模型中也许是出于数学处 理比较简单和容易考虑，没有加上投资者持有每种债券的多头头寸和空头头寸的乘积 为零的限制，使得模型偏离了金融实践。汪寿阳等【3 】在他们的模型中加上了这个符合实 际的约束条件，并通过一个巧妙的数学变换，成功地逾越了这一障碍。也由于这一限制 条件，以及买卖差价和交易费的引入，即时现金流和未来税后现金流作为投资组合比例 的函数是非线性的。作者利用他们熟知的凸分析、线性规划、非线性规划的理论和方 法，得到很一般的结果。它不但概括和统一了以往这方面的许多研究成果，而且更重要 的是为今后这一领域的研究提供了克服非线性困难的技巧和进一步研究的思路和方 法。 6 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画 总之，现代金融学研究的基本方法是无套利均衡分析方法这一方法的提出是金 融学在研究方法上的革命，这次革命使金融学成为一门独立学科，而且成为其后一系列 重要成果的重要分析手段在这一方面的研究已经积累了大量的研究文献，今后还将 产生大量的研究文献。不但如此，这一方法也是现代金融工程面向金融衍生产品的设 计、开发和实施，支撑金融创新的基本技术，因此在现代金融学的理论与实践中占有核 心地位。 1 3 本文的主要工作 对于市场中存在买卖差价和交易费用的摩擦情形，余湄，汪寿阳等【3 】给出了无套 利与最优消费之间的关系，这里的交易费用是由两部分组成：一部分是与交易量成比 例的费用，另一部分是与交易量无关的固定交易费用。他们得出如下结论： 1 ) 市场存在最优消费，则市场不存在套利机会： 2 ) 有固定交易费市场套利与强套利等价； 3 ) 成比例交易费市场与有固定交易费市场之间强套利的等价性。 由于固定交易费用的存在使得费用函数既不可微，也不连续，也没有成比例交易 费情形下费用函数的凸性，因此无法通过凸分析理论研究市场无套利机会与状态价格 之间的关系故此，基于凸分析的方法，余湄，汪寿阳等同仅研究了无套利与最优消 费之间的关系，也仅得到了最优消费存在是无套利的充分条件，而没有讨论无套利与 状态价格的关系以及无套利的进一步刻画问题。 另外，在文献 3 】中，关于交易费函数的描述都是较理想化的，即从早先的成比 例交易费，到成比例交易费加上固定交易费，再到具有凸性的交易费用函数然而实 际金融市场中的交易费用函数并不像我们所描述的那样简单、理想。特别当交易费用 函数不是成比例部分加上固定部分或者没有了凸性，如有优惠的交易费用，此时该如 何去刻画无套利机会? 这些问题都是本文将要在随后展开讨论的。 本文的主要工作： 第二章是在市场存在固定交易费用的情形下，得到如下结论： ( 1 ) 定义了延拓的状态价格，证明了无套利等价于状态价格的存在性，并由此进 一步给出该市场下的无套利刻画：证明了成比椤 | 交易费情况下的状态价格就是存在固 定交易费情况下的状态价格。 ( 2 ) 利用【3 】中的结论即存在最优消费是无套利的充分条件，本文证明了最优消 7 硕士论文 基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画 费决策的存在性与市场无套利机会是等价的 ( 3 ) 利用超复制未来给定收益的最小初始费用给出了无套利条件以及状态价格的 表述。 在第三章中，本文将交易费用函数从凸函数推广到一般的情况，讨论了在此情形 下无套利问题。 ( 1 ) 在一般交易费用函数的情形下，本文用一个线性不等式存在正解来刻画此时 市场无强套利的充分条件，随后用一个规划问题来刻画市场无套利的充要条件。 ( 2 ) 第二节考虑的是实际交易中交易费用存在优惠的情况下无套利的刻画。本 文借助无交易费市场与交易费用有优惠的市场之问无强套利的关系，得到交易费有 优惠市场下强套利机会的一些刻画。 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画 2 有固定交易费的摩擦市场中无套利刻画 现代金融学研究的基本方法是无套利分析( n o - a r b i t r a g e ) 方法。这一方法的出 现标志着现代金融学在方法论上从传统经济学的研究中独立出来，而且成为其后一系 列金融研究成果的重要分析手段，也是当今金融工程面向产品设计、开发和设施的基 本分析技术。本章从有摩擦的金融市场入手，来展开对这一方法的进一步研究。 我们考虑一个有有限个资产的有摩擦市场，市场中存在买卖差价，并且投资者在 每次交易过程中都必须缴纳一定的交易费用。这里交易费用由两部分组成：一部分是 与交易量成比例的费用，另一部分是固定交易费用固定交易费用是与交易量无关的 费用，无论交易量多少，固定交易费用都是一个常数。主要得出的结论有： ( 1 ) 市场不存在套利机会与状态价格存在的等价性 ( 2 ) 市场无套利与最优消费存在的等价性。 ( 3 ) 由超复制未来一定收益的最小初始费用函数刻画无套利条件。 2 1 引言 无套利原则是说不可能无中生有在一个充分完善的市场，任何经济机构没有机 会在不要任何付出的情况下得到一篮子自己想得到的商品假设一个机构具有如此 机会，则因为他这一篮子商品的额外消费将提高他的效用而不需要任何费用，他将不 会满足他当前的消费水平。特别地，他的需求不会满足于这一篮子商品的现有供应。 在这种情况下，这一篮子商品的价格必将有所调整使得此机会消失。目前，无套利机 会原理正被广泛的运用于资本资产市场中 在实际的金融市场中，总是存在着多种形式的摩擦，例如买进卖出差价、交易费、 税收、只能买卖整数量( 股) 的股票、买卖有数量限制等一般来说，任何形式的摩 擦均使闯题复杂化。也正是因为如此，摩擦市场的无套利分析显得更加重要，也尤为 引起我们的重视。这方面的研究也取得了一些进展，例如g a 珊锄和伽s 将第一基本 定价定理延拓到成比例交易费下的市场中，利用状态价格刻画了成比例交易费时的无 套利条件，李仲飞，汪寿阳研究了成比例交易费和买卖差价下无套利条件，有固定交 易费下的无套利与最优消费之间的关系。但是在固定交易费存在的情况下，无套利 与状态价格的关系没有涉及，原因在于此时交易费用函数不再具有成比例交易费情形 下的凸性，因此按照成比例交易费情形的研究思路，无套利与状态价格的关系已不能 得到。本文将主要沿着李仲飞等人研究框架，定义有固定交易费市场下的延拓的状态 9 硕士论文 萋于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻画 价格，通过成比例交易费市场与有固定交易费市场之间强套利的等价关系，讨论有固 定交易费的摩擦市场下无套利与延拓的状态价格之间关系以及无套利的刻画、最优消 费与无套利之间的关系等问题。 2 2 概念与模型 我们考虑一个有有限个资产的有摩擦市场，市场中存在买卖差价，并且投资者在 每次交易过程中都必须缴纳一定的交易费用这里交易费用由两部分组成：一部分是 与交易量成比例的费用，另一部分是固定交易费用固定交易费用是与交易量无关的 费用，无论交易量多少，固定交易费用都是一个常数。 我们考虑一个有”种资产的金融市场。假设m 个可能的自然状态s i ，如，s 资产 在期初o 时刻进行交易，收益在期末l 时刻实现，在期中不发生任何交易和间断。 模型与记号： 对资产f ( f = 1 , 2 ，力) r = 嘞) 。：支付矩阵，其中，吩是资产f 在状态_ ，时的收益率； ：资产f 的买入价；钟：资产i 的卖出价； 碍：买入单位资产珀口交易费率；鸳：卖出单位资产f 的交易费率。 假定 o s s ，0 s 碍，露1 , i = 1 ，2 ，疗 记 尸= ( 彳，定，露) 7 ，p = ( 露，露，露) 7 ，刀= ( 石，石) 7 ，碧；( 雹，麓) 7 其中t 表示转置。 一个投资组合记为x = ( 而，也，x 一) 7 e 科，其中五表示投资者买入或卖出资产f 的数量。如果而 0 ，则表示投资者买入而股资产f ，如果而 0 e 。( z ) = ( 1 + 前) 钟x + t v ，x z 当且仅当弘 毛o = l 2 ，k ) 五：= ) ，e r ：y o ) ，冠匕= y r ：y o 一个函数妒( 功：一r 称为是次可加的，如果对任意工，y r ”， 引理2 1 1 - f 。和f 是次可加的 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻两 证明见参考文献 3 】 下面给出固定交易费下的套利与强套利定义 定义2 1 1 网市场妒4 ，孟，刀，力， 有套利机会是指如果存在投资策略 x = ( 毛，毛，矗) 7 e 足”，使得 盂r z 2 0 ，f 。( s 0 置x o 或r 。( 力0 也即，市场不存在套利机会等价于找不到x = ( 五，恐，毛) 7e ，使得 ( 一r - ( x ) ，工7 r ) 7 0 定义2 1 2 【3 】市场 尸4 ，p b , r ，2 0 ，名，国 有强套利机会是指如果存在投资策略 x = ( 一，屯，毛) 7 ，使得 r 7 工2 0 , f 。o ) 1 证明：因为 ( 一r 。( 簖) ，( 似) 7 r ) 7 = ( p ( 硼一l ( a x ) a , a x 7 足) 7 薯( c d o ( x ) 一，( 工) p ，c h ，五) r ( 一c 旷o ( x ) 一傀l ( x ) c o ，c 院7 r ) = 口( _ r ( x ) 一，( x ) 埘，x 7 五) 7 篁a ( r 。( x ) ，x r r ) r o 由上式我们可知推论得证。 考虑下面的最优消费选择问题： 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻面 m a x u ( c , 94 * 9 气) l j 匹r ( 五) 形 “d c ，= 白而+ e z j f f i l ，m c ，o ，_ = l ，所 其中，矿 0 是投资者初始财富，p = ( e l ，) 霹是投资者在每个状态初的初始 财富， ( c i ，c _ ) 7 群是1 时刻投资者在每个状态的消费，u ：r ：- - 1 置1 是效用函数，我们 假设它是凹的且严格递增的 丑的可行集定义为 2 3 无套利的刻画 马= ( c ，工) ：c = p + r r x ，c e r ? ，r 。( z ) s ) 下面我们将研究在固定交易费下，无套利与状态价格之间的关系。此时为此须先 回顾参考文献【3 3 】【3 4 】【3 5 】【3 】中没有固定交易费的情况下的有关内容及结论。 当市场没有固定交易费时，即= 0 ，交易费与交易量成比例，费用函数可以表 示为r o ( 砷= p ( 而) ，其中 j i l f ( 1 + 冒) x e 。( 善) = ( 1 + 霉) 工 【0 ，善 0 ，x 0 时，费用函数r 0 ) 不再具有凸性，且 不连续、不可微，这给研究带来不便。下面我们将先定义合适的延拓状态价格，从已 有街= 0 的市场的关于无套利与状态价格的关系以及= 0 和国 0 这两种市场间无套 利之间的关系来研究由 0 市场下无套利与状态价格之间的关系 假设2 3 1 假定存在某个投资策略工，使得足7 工0 上面假设成立的一个充分条件就是市场中存在无风险资产。下面首先回顾文献 【3 4 ，【3 5 】，【3 】中一些结论 引理2 3 1 成比例交易费下( 口= 0 ) 的市场无强套利等价于不成比例交易费下 ( m 0 ) 的市场无强套利。 引理2 3 2 成比例交易费下( 甜= 0 ) 的市场无强套利当且仅当存在状态价格量 q = 锄，吼，g _ ) 7 砭，使得 r o - 五, 6 ) s 吩以s ( 1 + 4 4 ) ，i = 1 ，2 ，一 j = l 引理2 3 3 市场 p ，p ，尼， 存在套利机会等价于存在强套利机会 引理的证明见参考文献【3 】。由于市场 p ，r ，力，研下的套利与强套利是等 价的，我们统称为套利。 类似于文献 3 】，我们首先定义一个合适延拓的状态价格 定义2 3 1 一个向量g e j 曝称之为市场妒4 ，p b , r ，刀，名，m 的状态价格向量，若对 所有的投资策略x e f ，有r ( x ) ，脚 下面我们研究有固定交易费情况下无套利与状态价格的关系。 定理2 3 1 市场 p 4 ，盖，刀，钟， 无强套利，当且仅当市场存在状态价格量 q = ( 口l ，q 2 ，q 。) 7 砭，使得 1 4 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利刻西 _ ( 1 一五6 ) 乃s p t ( 1 + a x 4 ) ，i f f i l ，2 ，厅 j - i 证明：充分性若市场 ，p b , r ，刀，力，国 存在强套利机会，则存在x 毫r 。，使得 r 。( x ) 0 由假设，存在g = ( 吼，吼，靠) 7e 砭，使得 露( 1 一五6 ) 吩乃s ( 1 + 丑4 ) ，f = l ，2 ，一 j - l ( 2 3 1 ) 用置s0 同乘以上式的前一不等式的两端，用x j 0 同乘以上式的后一不等式的 两端，得到 所以 n 前h r 。( 功= r i ( 而) 薯，i 乃= 乃而吩= x r r q l i，i l j - ij - i l l x r o ( x ) = r 。( x ) 一，( 善) 所以r 。( x ) 一l ( x ) w 工7 r q 因为l ( x ) w 0 ，所以 r 。( 力x r r q ( 2 3 2 ) ( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 矛盾。所以市场 p 口，p ，r ，刀，力， 无强套利 必要性如果市场伊4 ，p b , r ，刀，力， 不存在强套利机会，则由引理2 3 1 ，成比例交 易费下( 国= 0 ) 的市场也无强套利，再由引理2 3 2 我们可以知道存在 窜= 衄，昭2 ，靠) 7 砭，使得定理中的不等式成立 前后矛盾。所以市场 p ，p br ，力，) 不存在强套利机会。 由定理2 3 1 的证明我们可以得到下面的推论： o o v i 取瓢 如如4 ， ， 五五 t t 形矿 + + t 群矿 ，lf， v i g 0 。一 簟 硕士论文基于一般交易费用下的摩擦市场之无套利亥5 面 推论2 3 1 若g 是成比例交易费下( = o ) 的市场的状态价格向量，则g 也是不成比 例交易费下( 国 0 ) 的市场的状态价格向量。 2 3 2 无套利与一些优化问题 定理2 3 2 市场妒4 ，p ，足刀，研是无套利的，当且仅当存在哼e 冠：，使得如下无 约束优化问题的最优值为o ： ( 最) m i n r 。( x ) - - x 7 r q ：x r