（应用数学专业论文）各向异性的加权herz空间及加权herz型hardy空间.pdf

摘要 近年来，各向异性的h a r d y 空间及h a r d y 型空间理论备受关注，这些空 间的引进及分解理论得到了较广泛的研究在这篇文章中，我们引入了各向异 性的齐次加权h e r z 空间k 宇p ( a ，“j 1 ，叫2 ) 和各向异性的齐次加权h e r z 型h a r d y 空间日蝣护( au 。，u 2 ) ，并讨论了它们的分解理论及其应用 文章首先简要回顾了各向异性的h e r z 空间及h e r z 型h a r d y 空间的产生， 发展及其基础知识 b o w i n k 在文献【6 1 中引入并研究了伴随非常一般的离散 伸缩群的备向异性空间，并且完美的建立了各向异性空间理论d i n gy 和l a n s h 在文献【1 8 】和【2 1 】中详细地介绍了各向异性h e r z 空间和各向异性h e r z 型 h a r d y 空间的性质和应用。 接着，我们给出了各向异性的齐次加权h e r z 空间k 孑伊( au 1 ，u z ) 及中，5 - ( o t ，q ，u 1 ，u 2 ) 块的定义，在此基础上建立了k 芦( au 1 ，0 3 2 ) 的分解理论，作为 应用，讨论了圯( r “) 上有界且满足一定条件的线性算子丁在加权h e r z 空间 孵伊( a ，u 1 ，u 2 ) 的有界性 文章最后，给出了各向异性的齐次加权h e r z 型h a r d y 空间日凡( a ，u 1 u 2 ) 及中心( q ，q ，8 ，u 1 ，u 2 ) 原子的定义，得到了极大定理和空间的原子分解，作为应 用证明了l & ( 眇) 上有界的满足一定条件的线性算子丁在加权h e r z 型h a r d y 空间月k y ( a ，u 1 ，u 2 ) 的有界性 关键词：各向异性；权；h e r z 空间；h e r z 型h a r d y 空间；中心原子；分解 a b s t r a c t r e n c e n t l y ，t h et h e o r yo fa n i s o t r o p i ch a i d ys p a c ea n dh a r d y - t y p es p a c e i sa t t r a c t e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n ，a n dt h ed e f i n i t i o n sa n dd e c o m p o s i t i o n so f t h e ma r em o r es t u d i e d i nt h i st h e s i s ，w ei n t r d u c et h eh o m o g e n e o u sa n i s o t r o p i c w e i g h t e dh e r zs p a c e 砖巾( a ，w 1 ，w 2 ) a n dh o m o g e n e o u sa n i s o t r o p i cw e i g h t e d h e r z - t y p eh a r d ys p a c e 日k 芋p ( a ，w 1 ，u 2 ) ，t h e nw ed i s c u s st h ed e c o m p o s i t i o n s a n da p p l i c a t i o n so ft h e s es p a c e s f i r s t l y , w er e v i e wt h ee m e r g e n c e ，d e v e l o p m e n ta n db a s i ck n o w l e d g eo f t h ea n i s o t r o p i ch a r d ys p a c eb r i e f l y b o w i n ki n t r o d u c e da n dd i s c u s s e dt h e a n i s o t r o p i ch a r d ys p a c e sa s s o c i a t e dw i t hv e r yg e n e r a ld i s c r e t eg r o u p so fd i - l a t i o n s ，i n 6 ，a n dt h et h e o r yi sp e r f e c t l y i n 【1 8 】a n d 【2 1 ，d i n g ya n d l a n s h s t u d i e ds o m ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n so fa n i s o t r o p i eh e r z - t y p eh a r d ys p a c e s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h eh o m o g e n e o u sa n i s o t r o p i cw e i g h t e dh e r zs p a c e 砰，p ( a ，u 1 ，u 2 ) a n dt h ec e n t r a l ( n ，q ，w 1 ，w 2 ) b l o c k b yt h e s ed e f i n i t i o n s ，w e e s t a b l i s ht h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r yo fk q b p ( a ，w 1 ，u 2 ) f o ra na p p l i c a t i o n ，w e d i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fs o m el i n e a ro p e r a t o rt o nk p ( a ，u 1 ，_ ( m 2 ) w h i c hi s b o u n d e do nl 己2 ( 舯) f i n a l l y ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so fh o m o g e n e o u sa n i s o t r o p i cw e i g h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e 日孵p ( a ，w 1 ，w 2 ) a n dc e n t r a l ( a ，q ，s ，叫l ，w 2 ) a t o m ，t h e nw e e s t a b l i s ht h em a x i m a lt h e o r e ma n dt h ea t o m i cd e c o m p o s i t i o n a n df o rs o m e l i n e a ro p e r a t o rtw i t hb o u n d e d n e s so nl q ( r n ) ，w eo b t a i nt h a tt i sb o u n d e d o nh o m o g e n e o u sa n i s o t r o p i cw e i g h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e 日留p ( a ，w 1 ，u 2 ) k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i c ；w e i g h t e d ； s p a c e ；c e n t r a la t o m ；d e c o m p o s i t i o n h e r zs p a c e ；h e r z - t y p eh a r d y 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名： 振窿 日期：埘年 万月秒日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密日 ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名： 导师签名： 缀裳 日期：h 谢年月力 日 日期：纱裾年彭月多日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 3 7 青岛大学硕士学位论文 引言 将欧氏空间上调和分析中的经典函数空间拓广到其它域上或非各向齐性设 置中，一直以来是调和分析中的热点问题之一早在1 9 7 0 年代中期，c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y ( 1 ，【2 】) 开创了伴随于某些参数伸缩群的r n 上抛物型h a r d y 空 间的研究此后，与某些特殊矩阵伸缩相关的函数空间理论被许多作者所研究 ( 参见p5 】等) ，他们分别将通常各向齐性二进伸缩替换为更加复杂的非各向 齐性的伸缩结构2 0 0 3 年，b o w i n k f 6 1 引入并研究了伴随非常一般离散伸缩群 的各向异性h a r d y 空间这种h a r d y 空间包括了f e f f e r m a n 和s t e i n ( 7 ，i s ) 建 立的经典的各向齐性h a r d y 空间以及c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y ( 1 】， 2 ) 建立的抛 物型h a r d y 空间近几年来，对于r “上的h e r z 空间和加权的h e r z 型h a r d y 空间( 参见 9 - 1 7 ) 被广泛关注d i n gy 和l a ns h ( 1 8 ， 2 1 】) 引进了各向异性 h e r z 空间和各向异性h e r z 型h a r d y 空间，并讨论了一些性质和应用b o w i n k 等在 1 9 】中引入了各向异性的加权t r i e b e l l i z o r k i n 空间并讨论了原子分解和 分子分解，同时b o w i n k 在 2 0 中讨论了各向异性的加权b e s o v 空间以及一些 主要结果但是，各向异性的加权h e r z 空间j 鳄( a ，u 1 ，“，2 ) 和各向异性的加权 h e r z 型h a r d y 空间日j 曙伊( a ，u 1 ，u 2 ) 的概念和有关性质还未被研究我们知 道，h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间( 参见 9 】，【1 4 】， 2 2 】等) 的原子和分子刻 画，在许多理论和应用中起到了非常重要的作用因此，我们的主要目的是对 各向异性的加权h e r z 空间和各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间进行研究， 分别得到了它们的原子分解理论，并讨论了一类线性算子在这些空间上的有界 性问题 首先介绍一些与本文工作有关的各向异性加权h e r z 空间的背景知识更 详细的内容请参见文献 6 】等 个n n 实矩阵a 称为一个扩张矩阵，或称为一个伸缩，如果a 的所有 特征值a ，满足 1 设入1 a 凡为a 的所有特征值( 按重数计) ，使得l 1 ；记b 为所有关于a 的伸缩球的集合，即 8 = z + b k ：z r n ，k z ) ，设盯为满足2 b oca 9 b o = 玩最小的整数一 个伴随于扩张矩阵a 的齐次拟范数指的是可测映射p a ：r n _ 【0 ，。) ，满足 p a ( x ) 0 ，对z 0 ， p a ( a x ) = i d e t aj p a ( x ) ，对z 舻 ，t p a ( x + y ) c ( p a ( z ) + p a ( 秒) ) ，对z ，y r ， 其中c a 0 为一常数所有伴随于扩张矩阵4 的齐次拟范数都等价( 见文献 【6 ，引理2 4 】) 这里，我们采用孵上由伸缩a 导出的阶梯齐次拟范数p 【6 】： p ( z ) = 爱j a 当当z x ：eb 。j + 1 易 对任意z ，y r “，有 p ( x + y ) 6 9 ( p ( z ) + p ( y ) ) 设入一，a + 为满足1 入一 i 入1 i i a n i 0 ，使得 c - 1 p ( z ) 1 n 一1 n 6 i z l e p ( z ) 1 以+ 1 n 6 ，当p ( x ) l ； ( o 1 ) ( o 2 ) 以下事实 ( o 3 ) c 一1 p ( z ) l n a 十1 n 6 i z l q d ( z ) 1 n 一1 n 6 ，当p ( x ) 1 ( 0 4 ) 称一个定义在r n 上的c o 。复值函数妒属于s c h w a r t z 类s ，如果对所有的多 重指标q 和m n ，有 i l 妒i l 口，m ：= s u pp ( z ) ”i 严妒( z ) i o 。 z r n 对一个n n ，记t 鼾= 【妒s ：忆m 1 ，对l o l l n ，m ) 5 的对偶 空间，即由5 上全体有界线性泛函组成的空间，称为舭上的缓增分布空间或 广义函数空间，记作s 7 对妒s ，忌z ，定义妒按尺度k 的伸缩为 妒南( z ) = b - ( a k ) 特别地，如果取a = 2 1 ，其中j 表示单位矩阵，那么伴随于a 的伸缩就是通 常的各向齐性的二进伸缩 2 一 青岛大学硕士学位论文 设f ，f 关于妒的非切向极大函数定义为 m v f ( x ) ：= s u p i f 丰妒忌( 剪) l ：z _ y b k ，k z ) ，关于妒的径向极大函数定义为 嗍，( z ) ：= s u pi f 牛妒k ( 秒) i k e z 对给定的n n ，f 的非切向g r a n d 极大函数定义为 幻f ( x ) ：= s u pi l l , o f ( x ) 妒曲 ，的径向g r a n d 极大函数定义为 m o f ( x ) ：= s u p 嗍，( z ) 妒5 从文献 6 ，命题3 1 0 】可知，非切向g r a n d 极大函数和径向g r a n d 极大函数 是点态等价的，即对任意整数n 0 ，存在一个常数c = c ( ) ，使得对所有 f f ，成立 m o f ( x ) m n f ( x ) c m d f ( x ) ，对z r ( 0 5 ) 对0 入 l c i v i l l 入，l 1 ( 乏”) ，a o ； i m f l p 唧( p 一1 ) l l f i p ，t e ( r 咒) ，1 p ( 3 0 引理( w i e n e r ) 假设qcr ”，r ：q z 是任意函数若( a ) q 有界，或 ( b ) q 是开集，i q i ( 3 0 ，任一条件成立，对于所有z q ，有z + b ，( z ) cq 则 存在序列 】- cq ，使得球+ b r ( ) 是不交的，且有qcu j ( 巧+ b r ( ) ) - 定理b 假设带有核k ( x ，y ) 的算子t 是m 阶c a l d e r 6 n z y g m u n d 算 子则存在算子序列( 正) t z ，i z ，核k ( z ，y ) c ，i i t , i i 。) c ，使得 正，( z ) = k d z , 可) 厂( 可) 匆，z r “， 其中，l 2 具有紧支撑，且有 正，一t 当i 一一。 进一步，若对i o t i 8 ，有r ( 矿) = 0 ，则同样有( 正) ( z 。) = 0 ，i q i s ， i n 定理c 假设t 是m 阶c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，如果p 满足 0 1 p 一1 面( i n 丽a _ ) 2 仇， 则对于i o e i 8 = 【( 1 p 一1 ) h 1 6 l i l a 一】，只要满足p n ) = 0 ，t 就能扩张成 h p ( r n ) 一h p ( r n ) 的连续线性算子 定理d 假设丁是m 阶c a l d e r s n z y g a n u n d 算子，如果p 满足 。_ 1 p l 丽( 1 n a = ) 2 m ， 则丁能扩张成- ( r n ) 一l ( r - ) 的连续线性算子 4 d i n gy 和l a ns h 建立了各向异性的h e r z 空间和各向异性的h e r z 型 h a r d y 空间，并讨论了它们的分解理论和某些算子的有界性问题这里主要叙 述如下已有的概念和结果( 参见文献 1 8 】，【2 l 】等) 定义a 设o r ，0 p ，q o o ( a ) 伴随伸缩a 的各向异性的齐次h e r z 空间霞芋，p ( a ，r n ) 定义为 霹巾( a ，职) = 【，：f l i o n ( j r ” o 川l 川簖，( a r n ) 。) ， 其中 i l f x k = - o ok ，) 1 p 一 2 咿) l， ( b ) 伴随伸缩a 的各向异性的非齐次h e r z 空间k 孑p ( a ，r ”) 定义为 霸护( a ，r 住) = f l k ( p ) ：i i f l l , 碍, ， ，t 其中 “，”，譬，= = l l f x b o l 艺。r 。，卜喜譬a p i l ，x 。1 1 2 。r 。，) 1 7 p 定义b 设a r ，0 p ，口o 。，n ( a ) 伴随伸缩矩阵a 的各向异性的齐次h e r z 型h a r d y 空间日k 芦( a 础) 定 。义为 日霹p ( a ，r n ) = ，( r ”) ，a ，爿 口o r p ( a ，u ) ) ， 且 i l y l l 蔚，刮m 川嚣肌 ( b ) 伴随伸缩矩阵a 的各向异性的非齐次h e r z 型h a r d y 空间日k ；巾( a ，黔) 定义为 日k 孚巾( a ，r n ) = f s 7 ( r ”) ，m n f e o t 伊( a ，甜) ) ， 且 l i f l l 砖，= i | 州簖儿 定理e 令0 p 。o ，1 g 0 则f r y ( a ，瞅) 的充分必 要条件是 ，( z ) = 入k b k ( x ) ， 引 言 + o o 其中i a 七i p o 。，每一个“( z ) 是中心( q 。g ) 块，进一步有 k = - o vj 一 + o 。 i l f l l 蜡一时( n p ) m ， 七= 一 其中下确界取遍，的所有块分解 定理f 设1 q ，0 a 1 一；1 ，0 p o 。，若对于具有紧支撑的 函数厂l 。( r “) ，从l q ( r ”) 到l q ( r ”) 有界的线性算子丁满足下面的条件 m 胚c 上。端虮细耐 那么t 在孵p ( a ，r ”) 上有界 定理g 假设0 p 。o ，1 q o 。，1 一：q ，以及非负整数 s 【( a + 1 q 一1 ) l n b m 一】，若，( z ) = a 艘七( z ) ，其中每个n 七为一中心 ( a ，q ，s ) 型原子，s u p p a kcb k ，i a 七i p 蔷，则，日砖p ( a ，职) ，且有 啦剐圆划p ) 1 p 其中c 不依赖于， 、 定理h假设0 p 。，1 q 0 0 ，1 一：q 1 一百1 + l n 入一l n b ，则 ，h q p ( a ，r n ) 的充要条件是在分布的意义下 + o 。 其中每个。七为一中，5 - ( q ，q ，o ) 型原子，s u p p a 七cb 七，i 入七f p o o ，且有 k = - o v 啦川n r 僖刈p ) 1 p 其中下确界取遍，的所有分解 6 z0 入 佃一 = z ， 青岛大学硕士学位论文 定理i 假设0 p 。，1 q o o ，1 一：o l 1 一；1 + l 以一h 1 6 若对 于任一中心原子分解，在l q ( r “) 上有界的线性算子丁满足， ，= a t n t ，在5 7 中辛丁厂= t a i ，在5 7 中， ( o 6 ) 且对任一在紧支集b 七上可积的函数厂， f ( x ) d x = 0 ，t 具有尺寸条件： j 酗 i t 胚c 器，徊i n 哪f ，p ( 圳弋1 吲1 啦) 则t 将日蝣巾( a ，p ) 映射于蝣伊( a ，p ) 中 定理j假设1 q o 。，1 1 。n 2 q 1 1 一+ l n a 一h 1 6 ，1 一：1 尾 卢1 1 一+ l i l 入一l i n d ，q 1 一0 2 = 卢1 一伤，0 p t ，仉 。，i = 1 ，2 ，若对于任一中 心原子分解，线性算子t 满足( 0 6 ) 且将日娣硪( a ，r ”) 映射于h 群“仉( a ，p ) 中则丁将日孵巾( a ，舭) 映射于日瑶一( a ，舯) ，其中a = t a l + ( 1 一z ) 0 2 ， = z 岛+ ( 1 一z ) 倪，0 t l ，0 ，y o 。及0 p r a i n ( 1 ，7 ) 在这篇文章中，我们受到文献 1 8 】等的启发，一引进了各向异性的加权h e r z 空间砖，p ( a ，0 3 1 ，u 2 ) 及中心( q ，q ，u 1 ，u 2 ) 块的定义，并建立了螂巾( a ，0 3 1 ，0 3 2 ) 的分解理论，作为应用，又讨论了l 乙( r ”) 上有界且满足一定条件的线性算子 t 在加权h e r z 空间秘，p ( a ，u 1 ，u 2 ) 的有界性也给出了各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间日孵，p ( a ，u 1 ，u 2 ) 及中心( q ，q ，s ，u 1 ，u 2 ) 原子的定义，并得到了 极大定理和空间的原子刻画，作为应用证明了l 乙( p ) 上有界的满足一定条件 的线性算子丁在加权h e r z 型h a r d y 空间日j 曙巾( a ，0 3 1 ，0 3 2 ) 的有界性 注：在整篇文章中，都假设风= a 七，瓯= b k b k 一1 ，特征函数x 七= x c k ， p ( x ) 是由( o 1 ) 式定义的拟范数，c 表示不依赖主要参量的常数，它的值在不 同的式子中可能会变化 7 第一章各向异性加权h e r z 空间及其分解 第一章各向异性的加权h e r z 空间及其分解 已经研究了各向异性的h e r z 空间及其性质，自然的问题是讨论各向异性 的加权h e r z 空间受到文献 1 8 等的启发，在这一章中，我们给出了各向异性 的加权h e r z 空间的概念，借助于加权中心块的定义，得到了各向异性的加权 h e r z 空间的分解，在分解的基础上证明了一类线性算子在其上的有界结果 1 1 各向异性的加权h e r z 空间 各向异性的加权h e r z 空i 司及中心块的定义如f 定义1 1设0 a ，0 p c k ) ，l q c x ) ，w 1 ，w 2 是属于a 1 权的 非负权函数 ( a ) 伴随伸缩矩阵a 的各向异性的齐次加权h e r z 空间k p ( a ，u 1 ，u 2 ) 定义为 曰巾( a ，u 1 - 0 ) 2 ) = ，：，l l ( r “【o ) ，w 2 ) ，i l fl l 蔚，( 舢。砘) o 。) ， 其中 p，cb七，叩ilfxk=-oo川2 ：) 1 加 1 饥屹) - p - ( 仇) 叩崛： l一， ( b ) 伴随伸缩矩阵a 的各向异性的非齐次加权h e r z 空间k 宇p ( a ，u 1 ，u 2 ) 被定 义为 k 善p ( a ，u ，u 2 ) = l 乞( r “) nr 善p ( a ，u ，u 2 ) ， i i f l l , 譬一( a ，屹) = i l f l l l o 。+ i l f l l e z ，( a , w l , w 2 ) 若w 1 三w 2 三1 ，则露巾( a u l ，2 ) 和霸p ( a ，u 1 ，w 2 ) 分别是文献 1 4 】中的 碍巾( ”) 和蚜巾( 胀) ( 定义1 2 设u 1 ，u 2 a 1 ，对于0 0 ， ( a ) 可测函数6 ( z ) 被称为一中一5 - ( a ，q ，w 1 ，w 2 ) 块，指它满足： 青岛大学硕士学位论文 ( 1 ) s u p pb ( x ) cb k ，对于k z ， ( 2 ) i i b l i l o 。p ，( 玩) 】 ( b ) 可测函数b ( x ) 被称为一限制型的中心( q ，g ，w 1 ，u 2 ) 块，若它满足( 2 ) 和 ( 1 7 ) s u p p bcb k ，k 0 1 2 各向异性的加权h e r z 空间的分解 对于上节定义的各向异性齐次加权h e r z 空间砖巾，u ，u 2 ) ，我们有如 下的分解定理： 定理1 1令0 p o o ，1 口 o o ，0 a o o ，u 1 ，u 2 a 1 则 ，霹护( a ，( m 1 ，u 2 ) 的充分必要条件是 + o o 川瑶讹乩忱) 一斌( n p ) 1 加， k = - o o 进一步有 其中下确界取遍，的所有块分解 证明先证必要性 令，r 孑p ( a ，o ：1 ，u 2 ) ，不失一般性，我们假设，( o ) = 0 ， ，( z ) = f ( x ) x k ( x ) k = - o o q - o t d = p 。( 仇) 】a i i f ) c k l l k = - o o + o o = a k b 七 k = - o o 9 f ( x ) x 七( z ) 碍：丙瓦而瓦瓦 妻 = ， 块屹g 心 中是pk个一 每 k 佃一 中其 第一章各向异性加权h e r z 空i 司及其分解 其中a 七= p ，( 巩) h i 厂x 七i i 碍：，b k = f ( x ) x 七( z ) p ，( 仇) 】_ 口h f x i i z 是，容易验 证是( a ，q ，u 1 ，w 2 ) 块，且 。： + + 【i 入七i p ) 1 p = p ( 男七) 】唧i l ，x 七i 瞪5 。) 1 屈= i l 川端，( a 舢，眈) o 。 k - - - o o 再证充分性 k = - c | o + 假设，( z ) = a 七k ( z ) ， k = - o o七= 一 s u p p b kcb k 下证，西p ( a ，u 1 ，u z ) ，对于 入七i p ，b k 是一中心( 0 ：，g ，l d l ，w 2 ) 块， + f x j l 己。= i i ( a k b k ) x j l l k - - - - o o 分两种情况： 0 j 州啪饥屹) - p ，( 岛) ，姚5 ： j 2 一。 - + - ( 3 0 l h , ( p ，( 岛) 】叩i a 知i p p ( b 七) 】- 叩 j = 一。 七 七刁 n p ( b u k _ - - o o r + 1 p 。，令；1 + 歹1 = 1 ， 队 七= 一 动卸矗 由( 1 d ，用h s l d e r 不等式得到 1 0 1 加 ( 1 1 ) + q u lxk 6 k 一 晒 一 叮u l pv 、”-、坳 8 、，一、， 垒仇 ，、一，j 1 1 u u 七一 一 i。 七= 苫 珈 户- fl厂i厂i c 一 一 1p 川。饥屹， + 七 n p k = - o o j = - o o + c k = - o o 涮叫v p 、l l v 划p ， 1 3 线性算子在各向异性加权h e r z 空间的有界性 在这一节，我们利用各向异性的加权h e r z 空间的分解定理来讨论在l 己( r “) 上有界的线性算子在其上的有界性 定理1 2 设1 q o 。，0 口1 一百1 ，0 p o 。，u l ，u 2 a 1 ，若对于 v f 圯( p ) ，且，为具有紧支集的可积函数，在圮( 舯) 上有界的线性算子t 满足； 丁f l c 上。端咖s u p p ， 那么t 在堙p ( a ，u ，u 2 ) 上有界 证明假设，k q 。巾( a ，u 1 ，u 2 ) ，由定理1 1 可知，存在，的分解 + o 。 ，( z ) = a 加t ( z ) ， k = - o o 其中每个b k 是中- l - ( q ，q ，u 1 ，u 2 ) 块，s u p p b k cb k ，且 f l l k 孑，( a ，峨) 注意到 1 1 k = - o o ( 1 2 ) 入知n 1 p 佃 第一章各向异性加权h e r z 空间及其分解 对于如，分两种情况： 0 p 1 ，利用丁的l q ( r n ) 有界性，得 + + p ( 蜀) 】叩( h l = - o o j = l 一口 + + 0 0 p i i t 6 j x z 嵫) p p l ( b j ) 】- 卸) 1 p 0 0 ，令；1 + 专= 1 ，由h s l d e r 不等式及丁的l q 。( r ”) 有界性，有 q 屹 x 幻 丁 佃一 十 o s | 叮s | x x 叻 叻 丁 丁 佃嚣一 ， ， 一 = 丁 p 协 r r 0 佃一 p 。s | _、产 后 恺 + 尸， f 懒 儿 旧 恢 阢 川 删 弛 耿 小 h h 圳 佃班i王匹豆王匹孙一 = 州 洲 r 旷 卵仉 5 i p p “ 批佃繁卧甬帆凰凰卦 尸 口s lx 丁入 佃一 ( j 叩 、 b p 佃一 = k 一 ( j 印 川 b p 一 一 叩 玩一色 舻一p 入 妁争嚯 扫 2 2 观 x 栅一 ( j 胆。心 p 工 x 2 护 入 佃一 、 8 儿 b p 佃一 c 一 疋 青岛大学硕士学位论文 - t - + n p p t ( 马) 】- 印2 ) ( p - ( 易) 】- o 巾, 2 ) j = f 一口 4 - 0 0+ o o c p ，( 马) 】叩7 2 ( i ：jl p p l ( 岛) 】- 叩2 ) c l = - o o + o 。 j 2 一 叱魏0 3 1 铲( 哆1 ) 2 ) 堋。u ，刚啪) 入i f p o o j = z 一盯 下面估计j 1 ，若j f 一伊一1 ，z q ，y b j ，由( 0 2 ) 式可得 p ( z 一矽) 6 一口p ( z ) 一p ( y ) 6 一盯p ( z ) 一6 一仃一1 p ( 秒) = 6 一盯( 1 一吾) p ( z ) 所以 眦t 嗽川羔圹厶咿城删z ( z ) 如 c k q w 2 ( x ) d x 鲴厶筹划小忉，4 c b 一。q u 2 ( b z ) ( 1 l b j l l l $ 。u 2 ( 易) 一1 7 9 b j l ) 9 c b ( j 一2 ) 9 p 1 ( 岛) 】一a 口o _ 2 ( b 1 ) u 。( 易) 对于j 1 ，分两种情况 当0 p 1 时 + o 。z - o - 1 厶= p 1 ( b f ) 】叩( i , x j l i i ( t b j ) x z i l l 。：) p ( 1 3 ) 妻懈l - - 三o - - in p b ( j - t ) p b u 川圳叫【端g ) l p ，( b z ) 】叩( l i p ，( 易) 】_ 叩【三嚣r 7 9 = - o o = 一 一、。 m p ( b q - 烈a + 1 a _ 2 ) p 广? 。 c m p 叩 b p 佃一 c 一 佃一 c 一 剪 d 一、j 一箩 二 h p p 第一章各向异性加权h e r z 空间及其分解 当l p 0 ( 3 时，由( 1 3 ) 式，应用h s l d e r 不等式，得 即 z = - - o o j = 一o 。 +。l-a-1 o j ( 局) 】叩( l = - o o j = - o o b o 一。) - 6 ( 卜j ) 1 q w 1 ( 易) r ) p e ( 6 州) ( 1 1 畔) p l = 一o o + l = - o oj = - o o l - a - 1 卜6 川) ( 1 1 口n ) p 2 ) - ( 扣一) 卜1 7 矿7 2 ) p 加 j = - o o c n p b t j 叫) ( 1 1 q 吨) p 2 j = 一o oz = j + 仃+ l + c i | p + o o t f l i r 芋, p ( 舢蚓c ( j = - o o| p ) 1 加= c v l l 簖，( a ，屹) 定理证毕 注：对于各向异性的非齐次加权h e r z 空间蟛p ( a ，0 j 1 ，u 2 ) ，能够得到类 似的分解，并且对满足上面条件的线性算子t 也能类似得到它在该空间上的有 界性 1 4 尸 叮屹 lb 丁一 一 印 洲 b p 佃 = h 青岛大学硕士学位论文 第二章各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间及其分解 d i n gy 和l a ns h 在文献【1 8 】中已经研究了各向异性的h e r z 型h a r d y 空 间及其分解理论，这里，我们给出了各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间的概 念，并得到了各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间的原子分解，借助于分解讨 论了一类线性算子在其上的有界性问题 2 1各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间 各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间和中心原子分别定义如下 定义2 1假设叫1 ，u 2 a 1 ，0 a o 。，0 p o o ，1 g 。o 及 n ( a ) 伴随伸缩矩阵a 的各向异性的齐次加权h e r z 型h a r d y 空间h k q 伊( a ，w 1 ，w 2 ) ： 定义为 其中 日灭詈p ( 月，u l ，u 2 ) = ，5 ( r n ) ，i i 轴，i i 簖，( a u ，眈) o 。) ， f l l h g 宇，( a ，忱) = i i 知刑嚣，( a , w l , w 2 ) ( b ) 伴随伸缩矩阵a 的各向异性的非齐次加权h e r z 型h a r d y 空i e 月k 芦( a ，w 1 ，w 2 ) 定义为 其中 日霸p ( a ，w 1 ，u 2 ) = ，5 7 ( r ”) ，i l 知厂i l ，( a ，u 。，忱) 。o ) ， f l i h k 孑，( a ，u 。，。也) = i m n f t i k 宇一( a ，。，“1 2 ) 1 5 第二章各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间及其分解 定义2 2设u 1 ，o j 2 a i ，0 p 。，l q o 。，1 一： a l ，叫a 1 ，厂= 妒l o o ( p ) ，i 妒p ) i ( 1 + j d ) ) 1 ) ， 对于1 p 。，f 圮( r ”) ，定义极大函数 m f ( x ) = m ：r f ( x ) ：= s u p 心，( z ) 妒， 则极大函数 红具有弱( 1 ，1 ) 性和强p ，p ) 性，l 入，川 r ) ， 妒7 r ，z y b k 有 1 6 青岛大学硕士学位论文 小m 卜洲鬻如，、 扑川j y + b 。i 化) f l 1 卜州i 豢如k 。， + 6 “曼j = lk 舢。叭列m ( 删i 端出 6 _ 知弛s u pm ( 列赢南z 低i 化) 出 + 6 咄善吼s u 慨p 护，旧p ) l 蕊去翮z 慨，i ，( p p ) d z 0 使得上w ( b k + j o ) l 锄i 形腓膨会斟c = 薹舻) 由z y b k ，y + b k 卅cz + b k + b k + j cz + 2 b k + jcz + b 知卅扣 v z q 殳，r = r ( x ) = k + j o + 盯由w i e n e r 弓i 理得到 u q 殳) - 入i c 上。i f ( z ) p ( z ) 如 对于强( p ，p ) 性，由弱( 1 ，1 ) 性和m a r c i n k i e w i c z 算子插值定理，我们只需 要证明 i i m 列l 铲c i i f l l l 字 因为 l f 木妒知( 剪) i l f ( z ) l l j o k ( z y ) l d z s u pi ，( z ) i 6 一七妒( 4 一( z y ) ) d z 蚝r n j 产“ s u pi ，( z ) i ( 1 + j d ( z ) ) d x 所以取c = ( 1 + p ( z ) ) 一d x ，就有i i m f l i l 孑c i l f l l l 字定理证毕 17 第二章各向异性的加权h e r z 型h a r d y 空间及其分解 对于各向异性的齐次加权h e r z 型h a r d y 空间h k ；，p ( a ，u 1 ，u 2 ) ，我们有 如下的结论： 定理2 2 假设u 1 ，u 2 a 1 ， l 数8 ( q - i - 1 q 一1 ) h 1 6 h l a 一】，若y ( x ) = q ，1 一：a o 。以及非负整 + o 。 a 七。七( z ) ，其中每个。知为一中心 k = - o o + 0 0 ( q g s ，u 1 ，u 2 ) 原子，s u p p a 七cb k ，l 入七i p 0 南o + 口 k = - o o【糕】叩 。u 1 ( b b ) 1c 蔓i 妒c ， i 鲁p ， 七= 一o 。 1 8 0 一pd b p 口s |