（应用数学专业论文）半序banach空间中非线性算子的若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 非线性泛函分析已成为现代数学中的重要研究方向之一，而非线性算子理 论又是非线性泛函分析的重要内容自二十世纪八十年代初以来，郭大钧、孙经 先、杜一宏、刘兆理、朱传喜、李福义等利用半序方法研究了缺乏紧性或缺乏 连续性条件的非线性问题，并获得一系列新的结果本文分别对半序b a n a c h 空间 中非线性算子一些问题进行了研究 全文分四章在第一章中，主要介绍了半序b a n a c h 空间非线性算子的研究历 史背景、现状以及半序b a n a c h 空间中的预备知识：在第二章中，我们利用半序方 法研究了b a n a c h 乘积空间中严格集压缩减算子不动点存在唯一性问题，在弱连 续的条件下，得到了不动点的存在唯一性和迭代收敛性，同时。给出了它们的一 些应用：在第三章中，我们建立了拟弱连续减算子的正不动点定理，并证明了算子 c = a + 曰，c = d a 的正不动点存在唯一性定理：在第四章中，我们得到了半序 b a n a c h 空间中混合单调算子的不动点存在性及唯一性定理 关键词：锥：减算子：严格集压缩算子：拟弱连续算子：混合单调算子：不动点 a b s t r a c t a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n td i r e c t i o no fr e s e a r c hi n m o d e r nm a t h e m a t i c s , n o n l i n e a ro p e r a t o rt h e o r yi sa l s oa l li m p o r t a n tp a r to f n o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i s s i n c et h ee a r l y1 9 8 0 s ，g u od a j u n ，s u nf i n g x i a n ，d uy i h o n g , l i u z h a o l i ，z h uc h u a n x ia n dl if u y ih a v e b e e nr e s e a r c h e dt h en o n l i n e a rp r o b l e m sw h i c h l a c ko fc o m p a c t n e s so rl a c ko fc o n t i n u i t y ，a n do b t a i n e ds o m en e wr e s u l t s i nt h i s p a p e r , w em a i n l ys t u d ys o m ep r o b l e m si ns e m i o r d e r e db a n a c hs p a c ea n do b t a i na f e wn e wr e s u l t s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t s i nc h a p t e ro l q 旧, t h eb a c k g r o u n d sa n dc u r r e n ts i t u a t i o no fo p e r a l o rt h e o 哆i n b a n a c hs p a c ea r ei n t r o d u c e da n dt h ep r e l i m i n a r i e so fb a n a c hs p a c ea l eg i v e n i n c h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n tf o rd e c r e a s i n g s t r i c t - s e t - c o n t r a c t i o n o p e r a t o r i n p r o d u c ts p a c e u n d e r t h ew e a kc o n t i n u o u s c o n d i t i o n , w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n tf o rd e c r e a s i n g o p e r a t o ra n dw eg i v ea na p p l i c a t i o no ft h e s er e s u l t s , i nc h a p t e rt h r e e ，w eg e ts e v e r a l p o s i t i v e f i x e d p o i n tt h e o r e m so fd e c r e a s i n go p e r a t o ra n dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s st h e o r e m so f p o s r i v ef i x e dp o i n tf o ro p e r a t o rc = a + 曰c = d 一i n r e a lb a n a c hs p a c ew h e r et h eo r d e ri sd e c i d e db yan o r m a lc o n e ；i nc h a p t e rf o u r , w e o b t a i n e ds o m ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m so ff i x e dp o i n tf o rs o m em i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r si ns e m i o r d e r e db a n a c hs p a c e k e yw o r d s ：c o n e ；d e c r e a s i n go p e r a t o r ；s t r i c t - s e t - c o n t r a c t i o no p e r a t o r ；q u a s i - w e a k l y c o n t i n u o u so p e r a t o r , m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s ；m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s ；f i x e d p o i n t 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：孙秤 签字+ 日期：哆年协月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：孙卑手 签字日期：沏矽年溯刁日 导师签名 褂醐：吵棚7 日 l 1 第1 章引论 第1 章引论 各种各样的非线性问题引起人们的广泛重视，非线性分析己成为现代数学中的重 要研究方向之一而非线性算子理论又是非线性分析的重要内容，同时在对各种各样 的数学方程，如微积分方程及数值理论的研究和探讨中人们常把问题归结为某种算子 方程加以讨论不动点问题是迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与 近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立各类方程解的存在唯一性问题中 起着重要的作用抽象空间中的大量微分积分方程最终都可归结为非线性算子方程问 题或不动点问题加以研究 1 1 非线性算子理论及其应用产生的历史背景与现状 非线性泛函分析的内容大都可追溯到二三十年代自上世纪八十年代初以来，郭 大钧和他的学生孙经先，杜一宏等利用半序方法来研究缺乏紧性或缺乏连续性条件的 非线性问题，并获得一系列新的结果，主要有：( 一) 在完全不考虑紧性的条件下，仅使 用有关序的某种不等式，获得了增算子，减算子以及混合单调算子的不动点的存在唯 一性以及迭代序列的收敛性，并应用于无界区域上的非线性积分方程( 二) 在完全不 考虑连续性的条件下，仅使用弱紧性条件，获得了增算子的若干新的不动点定理，并应 用于右端有间断项的非线性微分方程( 三) 将半序方法系统地应用于b a n a e h 空间非线 性积分一微分方程( 包括脉冲型方程) 近十几年来张志涛，许绍元，李福义等人都在研 究带有凹凸性的单调算子( 主要是减算子) 的不动点的存在唯一性和迭代序列收敛问 题，并且获得了不少很好的结果 1 9 8 7 年，郭大钧和l a k s h m i k a n t h a m v 提出了混合单调算子的概念近几年来国内 外有关此方面的文章频频发表，由于它对非线性泛函分析的理论研究有重要意义。而 且对核物理研究及传染病模型研究等具体问题有广泛应用，因此研究势头至今仍在发 展目前研究的比较多的带有凹凸性的混合单调算子，其次还有人在研究序对称或非对 称压缩的混合单调算子 关于算子的凹凸性常见的有：一般的凹凸，口一凹凸及一凹凸最初郭大钧他们 讨论的混合单调算子a ( x ，j ，) 关于x ，y 具有同一种类型的凹凸性随后在1 9 9 6 年，张志 涛得到了具有不同种类型的凹凸性混合单调算子a ( x , y ) 即：例如对固定的y ，一( ，y ) 第1 章引论 是凹的，对固定的x ，4 ( t ) 是( 一瑾) 一凸的，或者是其它的匹配关系，同样获得存在唯一 不动点及迭代序列收敛的结果2 0 0 3 年许绍元在郭大钧与张志涛的结果的基础上通过 引入凹( 一力凸算子获得了解决定义在序区间上的带有凹凸性的混合单调算子的不 动点问题的一般方法2 0 0 6 年，朱传喜推广了k r a s n o s e l s k i i 定理和p e t r y s h y n 定理，并将 其应用到信息科学的具体方程中本文主要利用半序方法研究了b a n a c h 空间中非线性 算子的若干问题，推广了朱传喜的一些结果 1 2 预备知识 为叙述方便起见，我们先引进半序b a n a c h 空间中的一些基本定义，符号 定义1 2 1 1 1 l 设x 为实b a n a c h 空间，0 表示x 中的零元，非空凸闭集p 为x 中的 锥是指若满足： ( 1 ) 垤p a 0 j 触p ： ( 2 ) x p ，一x p x = 口： 用p 表p 的内点集：如果尸非空，则称p 是一个体锥 定义1 2 2 1 1 i 给定x 中一个锥p 后，则可在x 中的元素间引入半序：r y ，其中 x ，y x ，如果y x p 定义1 2 3 【1 0 设z 为实b a n a c h 空间，s 是j 中有界集令 m a ( s ) = i n fp o i s 可表为有限个集的并：s = u s ，使每个s 的直径d ) 都s 6 ) 显然，0 口( 砷 8 则称锥尸是正规的锥_ p 是正规的充分必要条件是： ( 1 ) 存在常数n 0 使得当口s x s y 时，恒有蔓| l m ( 此性质称为范数关于p 是半单调的，满足此式的最小的称为p 的正规常数) ( 2 ) 任何区问【五，】= 缸i 而x 屯) 都是有界的，这里五，吃p ( 3 ) 乙只，k 寸x ，儿斗r j z 。专x ，这里，以，乙，x p 2 第l 章引论 定义1 2 6 嗍设x 和y 是两个实b a n a c h 空间，分别赋予范数k 和i r ，乘积空 间x x y 中范数定义如下：如对任何l s p y 2j4 “，朋) 彳( 屯，乃) ) ，则称4 是混合单调的 ( i i ) 如果a c x * , y + ) d | d 满足x + = 彳( ，) ，y = 4 ( j ，+ ，) ，则称( ，y ) 是彳 的一个藕合不动点 ( i i i ) 如果x d 满足x = 彳( 功，则称x 是4 的一个不动点 定义1 2 1 6 1 2 i 算子a ：p 寸p 称为凹( 凸) 算子，如果 a ( t r + 0 一f ) 力d z + ( 1 一t ) a y ：( 一( i 譬+ ( 1 一f ) y ) 口，如果 i ) 对于任何j 0 ，都存在口= 口( x ) 0 ，= f l ( 力 0 使 ( ：i f 0 a x 肛o ； i i ) 对于任何满足出属甜。的j 户( 这里q = 听 0 属= 届( 曲 o ) 以及0 t o 存在，使 4 ( 血) ( 1 + r ) t a x ， 成立 定义1 2 1 8 1 1 1 设p 是x 中一锥或体锥假定d = p 或d = p ，0 o l l 为一实数， 算子a ：d - - - - h d 被称为盯一凹( ( _ 嚼) 一凸) 算子，若它满足： 彳( 血) t a a x ，( a c t v ) t - a a x ) ， v t ( o ，1 ) ，v x d 定义1 2 1 9 1 2 2 1 若x j ，x j ，则记为x 定义1 2 2 1 1 1 i 如果任何z x 都可表成x = y z 的形式，其中j ，p z p ：则称 4 第1 章引论 锥p 是再生的 定义1 2 2 2 1 2 1 称锥p 是完全的，如果x 可表为砑 定义1 2 2 3 1 1 i 若j 中任二元素x , y 都存在上确界s u p x , y l ，则称锥p 是极小的： 若x 中任何有上界的集d 都具有上确界s u p d ，则称锥p 是强极小的 引理1 2 1 嘲设( x ，只) 和( y ，e ) 是两个半序的b a n a c h 空间，令h = “，舅) ，w 2 = ( 而，乃) ，且，x y ，则m 当且仅当墨s 而且儿咒 引理1 2 2 嘲设( x ，尸) 是一半序b a n a e h 空间，如果 ) 是x 中一弱相对紧( 相 对紧) 单调序列，则存在x 使l ( 寸) ，进一步，如果 是增的( 减 的) 序列，则有甜。i 0 ( 2 ) ，开n 5 第2 章b a n a c h 乘积空问中减算子的不动点问题 第2 章b a n a c h 乘积空间中减算子的不动点问题 在第一章中我们给出了b a n a c h 乘积空间的定义，设x 和j r 是两个实b a n a c h 空间，按照通常的线性空间的加法和数乘及第一章中定义的两个范数x y 均成 为b a n a c h 空间单调迭代法对于研究非线性微分方程的解是一种重要的方法， 因此可以用单调迭代法也来研究乘积空间中的不动点问题兰坤泉和丁协平于 1 9 9 2 年在文献 5 】中研究了乘积空间中一些非减凝聚算子的极大极小不动点定 理，并推广了一些定理朱传喜在文献【8 】中研究了乘积空间中严格集压缩映象 的极大极小不动点问题，在弱连续的条件下讨论了严格集压缩的增算子在乘积 空间中的不动点问题 在本章中，我们利用半序方法研究了b a n a c h 乘积空间中严格集压缩减算子 不动点存在唯一性问题，在弱连续的条件下，得到了不动点的存在唯一性和序列 迭代收敛性定理，并给出了它的应用 2 1b a n a c h 乘积空间中减算子的不动点存在唯一性定理 文【5 】的主要的结果是以下定理： 定理2 1 1 嗍 设( z ，暑) 和( 1 ，最) 是两个具有半序的b a n a c h 空间，且存在 ( ，) ，( x o ，) x x y 使得( ，v o ) - ( x o ，y o ) b ：【( ，v o ) ，( x o ，儿) 】( = d ) - + x x y 是非减凝聚映像。如果下面条件成立： ( h 1 ) b ( d ) 有界： ) ( n o ，v o ) b 心，v 0 ) ；b ( x o ，y o ) - ( x o ，y o ) ： ( h 3 ) 如果- - + x ，则对任何y y ，b ( 吒，j ，) 一烈x ：y ) 且如果只j y 。，则 对任何x e x ，占 只) _ 占( x ，v 9 则a ) b 有极大极小不动点饥，l 广) 和( r ，儿) ，即 占( 虬，v ) = ( 虬，1 ，) ，烈x ，只) = ( r ，只) ， 且对曰的任何不动点( ；，歹) 【( ，v o ) ，( x o ，儿) 】，t 1 ；r + 且只歹v ”虬= l i r a ，矿= l i m ：! i r a 毛= ，j i m y = 只，其中， ( ，k ) = 曰( ”。，o 。) ，( ，儿) = 曰( 铂，y - 。) 0 = 1 2 ，) ， 6 第2 章b a u a c h 乘积空间中减算子的不动点问题 ( c ) u o 巩h 。 y o 舅j _ k h v o 可以看出这里的算子是非减的凝聚映象 本节讨论的则是减的严格集压缩算子条件下b a n a c h 乘积空问的不动点存 在问题，并且得到的是唯一性不动点定理 首先给出引理，以便证明定理2 1 2 引理2 1 1 设( x ，日) 和( 】，最) 是两个具有半序的b a n a c h 空间，且存在 ( ，) ，( ，儿) x x y 使得( 甜。，v o ) ( ，y o ) ，a ：【( u o ，v o ) ，( x o ，x 0 ) ( - - o ) 一x x y 是严格集压缩的增算子，且满足： ( da ( d 1 有界且a 是一个弱连续算子： ( ) ( u o ，) a ( u o ，) ；彳( ，y o ) - ( ，y o ) ： ( i i i ) l i + 巴m a “( ，y o ) 一a “( “。，1 ，o ) 1 - - e ，刀- 则彳在【，v o ) ，瓴，y o ) 】中存在唯一不动点( ；，歹) ，且迭代序列 ( t - n , 屹) = 4 ( t ，卜。，一。) ，( k ，j _ ) = 彳( 吒4 ，y , - 。) ( 打= l 2 ，) ， ( 其中，v ( ，) ，( ，以) 【 。，v o ) ，( ，) 】) 都有 ( ，) 一( ；，歹) ，( ，只) 一( _ ，歹) 证明： 由a 是增算子，又由引理1 2 1 条件( ) 知 t * o q i i n s 吒而， y os y l 圪h v 0 ， ( 3 ) 其中 ( ，k ) = 彳( 。，- o 。) ，( 矗，只) = 彳( + 只一。) 0 = l ，2 ，) 由( i ) 知s = ( 。，k 。) i 疗 有界，易知 s = “甜。，) ) u 彳( s ) ，且口( s ) = a ( 彳( s ) ) 而a 是严格集压缩算子， 口( s ) = 口( 爿( s ) ) 口( s ) ，后( o ，1 ) 7 第2 章b a n a e h 乘积空阃中减算子的不动点问题 而 即 则有 故口( s ) = 0 于是s 是一个相对紧集且彳p ) c s ，由s 是相对紧集知存在子序列 “，、) 使得( ，k ) 斗( ，) 由( 1 ) 式知 甜 一巩，k 一矿 再由( 3 ) 和引理1 2 2 可证得： l i m 甜。= 玑，l i m = v ，且。 - - l t ， ，k ，刀n ， 因此( ) ( 巩，v ) 而a 是增算子，于是 a ( u 。，屹) 4 ( 玑，矿) ，即( “。，嵋。) 彳( 地，v ) 因而 ( 以，v ) 4 ( 矿) 由上述证明及( 1 ) 式知 ( 1 1 n , 匕) ，( 虬，v ) ，即有( ，) 三寸( 虬，矿) 由( i ) 彳是弱连续算子可知： 彳( ，) j o 爿( 虬，v ) ， 彳( ，) = ( ，。) 一( 以，v ) ， 4 ( t i n , k ) = ( 。，v n + 。) 三号( 以，矿) 再由弱极限的唯一性知： 彳( 以，v ) = ( 巩，矿) 类似可证 i _ 恐mx=，lira只=儿，且4(x，弘)=(x，弘)n-j-+-。ot l - - , k 4 , 。 、， ， 再l 扫( i i i ) 知 1 一i m ：x ，只) 一( ，匕) 】= 口 ( x + ，弘) = ( 巩，v - ) ，4 ( 以，v ) = ( x ，弘) ，彳( ，弘) = ( 机，v ) 8 第2 章b a n a c h 乘积空问中减算子的不动点问题 令 ( , p n j - - - - i x , 弘) = ( ；，歹) 对a 的任一不动点( j ，) ，必有 ( 虬，矿) ( tj ，) ，( j ，) ( z ，弘) ， 故彳在【，) ，( ，儿) 】中的不动点唯一，且迭代序列 ( h s , ) = 彳( ， o 。) ，( ，只) = 彳( 。，y - ) 扣= l ，2 ) ， 有 ( 嵋) ( - ，歹) ，( ，儿) 寸( ；，歹) 证毕 定理2 1 2 设( x ，层) 和( 】，e ) 是两个具有半序的b a n a c h 空间，存在 ( ，) ，( ，y o ) e x x y ，使得( ，) ( ，y o ) ，若彳：【( ，v o ) ，( x o ，儿) 】( = d ) 斗 x x y 是严格集压缩的减算子，且满足： 固a ( d 1 有界且4 是一个弱连续算子： ( i d ( u o ，v o ) 4 ( ，儿) ；爿( ，v o ) ( 而，) ： ( i i i ) 里蝉4 2 ”( ，) 一a “u o ，) 】= 0 ： 则( a ) 彳有唯一不动点( - ，刁，e pa ( i ，刁= ( - ，刁： o ) 以= 。l i m u , ，矿= 热心；墨巴= x 。l i m 只= 儿，( x ，弘) = ( 巩，矿) = ( - ，v 3 ( u n , ) = 彳( 】：，y - ) ，( ，儿) = a ( u ，。，屹_ ) ( 甩= l 2 , ) 证明： 由a 是减算子，( 以) = 4 ( z 。，咋。) ，k ，以) = 彳( “。，。) 及( i d 可得 五 y o 咒只s 匕h ( 4 ) 由( i ) 知 s = “，。，k 一。) i 打) 有界，r = “讳，只) i r ) 有界， 而 s = “甜。，v 0 ) ) u 彳( 丁) 且a ( s ) = 口( 爿( r ) ) ，口( r ) = 瑾( 一( s ) ) 又a 是严格集压缩算子， 口( s ) = 口( 彳( r ) ) 口( r ) = t 口( 4 ( s ) ) j 2 口( s ) ，七( o ，1 ) q 第2 章b a n a c h 乘积空间中减算子的不动点问题 所以 同样有 d ( s ) 三o 口( r ) ；0 于是s ，r 也均为相对紧集，存在子序列 ( ) ) 使得 ( ，v j - + ，矿) ， 由( 1 ) 式知 m - 虬，k 寸， 再由( 4 ) 和引理1 2 2 可证得： 。1 i r a 。甜。2 以，里器2 ，r u 。s 虬，v 。心，甩 ，- 且 因而 即 因此 同样可以证得 ( 屹) ( 甜，矿) j i m = ，。l i m 以2 y o ，n 忡 f x 。，y ，s y ，n n 因而有 ( ，弘) ( ，只) 因a 是减算子，由( 6 ) 式有 彳( ，弘) 彳( k ，儿) 即彳( ，弘) ( t t a - i , k ) ， 4 ( x ，弘) ( 虬，矿) 由( 1 ) 式知 ( 甜。，v n + 。) 一( 以，v ) ，从而( 。，v 斛。) 二专“，v ) 再由( i ) 彳是弱连续算子知 4 ( 。， 肿1 ) ! 彳( 巩，v ) 而 彳( 。) = ( k ：，：) 寸( ，弘) ， 1 0 第2 章b a n a c h 乘积空间中减算子的不动点问题 爿( ，k ，) b ( ，且) 由弱极限的唯一性可知： 4 ( 虬，v ) = ( ，弘) 类似可以得到 爿( ，儿) = ( 虬，v ) ， ( 7 ) 于是 ( 虬，v ) = 彳2 ( ，) 。( ，弘) = ( x + ，且) 下证( x ，只) = ( 虬，矿) 易知彳2 是增的，由( i i ) 及a 的单调性可知 ( o ，v o ) a 2 ( ，v o ) ；a 2 ( ，甄) ( 而，风) ， 即a 2 满足弓 理2 1 i 中条件0 i ) ，再由定理条件( i x m ) 知4 2 代替引理2 1 1 中彳后 所有条件均满足，从而4 2 的不动点存在唯一，即 ( ，弘) = ( 以，v ) 记 ，；) = ( ，弘) = “，矿) ，由( 7 ) 知a 在【纸，) ，( x o ，咒) 1 中存在不动点 ( 一4 , 刁 再证不动点的唯一性事实上，设( 甜，v ) 为a 在【，v o ) ，( x o ，) 】中的不动点， 考虑【，v o ) ，( x o ，) 】，应用( b ) 和( 4 ) 式可得到： 玑，且 ，sv ，即( 以，v ) s ( 甜，d 类似地考虑i ( u o ，v o ) ，( x o ，) 】，有 ，v ) ( ，弘) ， 而( ，弘) = 以， ，) ，故唯一性得证 注l ：定理2 1 2 没有要求毋，只都是正规锥，以往的讨论都是在增算子的条 件下得到的极大极小不动点定理本文在弱连续的条件下，得到了严格集压缩的 减算子在b a n a c h 乘积空间中的不动点存在唯一性定理 以下给出相关的推论： 推论2 1 1 设( x ，墨) 和( y ，只) 是两个具有半序的b a n a c h 空眠存在 ( ，) ，( 毛，) x y 使得( ，v 0 ) ( ，儿) 彳：【( ，v o ) ( x o ，儿) 】( = d ) 一x 】， ，是减弱连续算子，且满足： ( i ) a ( d ) 有界且爿( d ) 名e x x y 中相对紧： ( i d ( 4 0 ，) s 4 ( ，) ；4 ( ，) ( x o ，y o ) ： 第2 章b a n a e h 乘积空间中减算子的不动点问题 ( 1 i d 曼n 【一2 “( ，) 一彳2 ”( ，) 】= 曰： 则_ 在【，) ，( x o ，) 】中存在唯一不动点( ；，歹) ，且迭代序列 ( ，屹) = 彳( x 。，只一) ，( ，儿) = a ( u ，屹。) 加= l ，2 ，) ， ( 其中，v ( u o ，v o ) ，( ，y o ) 【( u o ，v o ) ，( x o ，) 1 ) 都有( ，) 一( ；，歹) ，( k ，只) 一( ；，歹) 证明： 由( ) 及爿的单调性可得到( 4 ) 式，再由条 8 ( - ( i ) u - j i i e 得 ( u n , ) 一( 虬，v ) ，( ，只) 寸( x + ，弘) ， 接下来的证明同定理2 1 2 类似，可得推论结论 推论2 1 2 设( x ，弓) 和( y ，最) 是两个具有半序的b a n a c h 空间， ( ，) ，( ，y o ) x x y 使得( ，v o ) ( 而，y o ) ，a ：【( u o ，v o ) ，( x o ，y o ) l ( = d ) _ x x y 是减的严格集压缩算子，且满足： “ ( d a ( d ) 有界且一是一个弱连续算子： ( ) ( ，) 彳( ，) ；4 ( ，v o ) ( x o ，儿) ： 0 1 1 ) ! 禽亭4 “( x o ，甄) 一彳2 4 ( ，) 】= 曰 则爿2 在d 中存在唯一的不动点 证明：由定理2 1 2 证明过程可知推论结论成立 引理2 1 2 嘲设( x ，p ) 是一半序b a n a e h 空间，u o ，v o e x ，且v o ，假设 a ： u o ，v o 】【，v 0 卜x 是一个映像，令 觑，) = ( ( x ，y ) ，x l v ，的) ( tj ， u o ，】) 则下列结论成立： 1 ) 如果是混合单调映像，则b ：【( u o ，v o ) ，( v o ，o ) 】_ x z 是增的映像： 2 ) 如果a 是严格集压缩映像，则曰也是严格集压缩映像： 3 ) 如果彳是弱连续映像，则占也是弱连续映像 引理2 1 3 设( x ，p ) 是一半序b a n a e h 空间，v o x ，且i o v o ，假设 a ： u o ，v o 】x u o ，v o 卜是一个算子，令 占( j ，) = ( 4 ，x ) ，彳( 薯j ，) ) ( x ，y 阻。，v o ) ， 则下列结论成立： 1 ) 如果一是混合单调算子，则曰：l ( w o ，) ，( v o ，) 卜+ x x 是减的算子： 2 ) 如果a 是严格集压缩算子，则占也是严格集压缩算子： 3 1 如果4 是弱连续算子，则曰也是弱连续算子 1 2 第2 章b a n a c h 乘积空间中减算子的不动点问题 证明：1 ) 要证曰是减的算子，就要证明当( 耳，咒) ( 屯，y 2 ) 时，有 b ( x 2 ，y 2 ) b “，咒) 事实上，当“，m ) ( 毛，儿) 时，由引理1 2 1 知道有儿咒，毛 0 。存在n n ，使得 i ，( 彳饥，) 一4 0 , 0 ，x o ) ，0 ) i 8 2o ) ， 且 l f ( o ，4 ( 矗，y ) - a ( x o ，y o ) ) 1 o 使得 口杪( f ，d ) ) k ( d ) 。 ( h 3 ) 存在却( f ) ， ，( f ) 尸，使得 材( f ) s 厂( ，v ( f ) ) ，( ，”( f ) ) ，( f ) ， 则方程( 8 ) 在只中有唯一解，且 只( f ) = 而+ j ：h + r ，( 善，靠( 善) ) 菇p ( 胛= 垤) ， 在j 上依范数收敛到r ( f ) 证明：对固定的，墨，考察二阶微分方程“。= ，( f ，) ，直接验证可知 甜( ，) = 而+ j ：卜+ j ：北，y ( 劝霹p 是该方程的唯一解，定义算子彳：日寸只如下 a y = + j ：卜+ j ：础，孵) ) 霹p 要证彳，= ，对有界可列集c = 仉i 刀= k 2 , ) ，由文献 7 可知c 为只的相对 紧集 在推论2 1 1 中，令以= e = 尸，【掣。，x o = l ，又由推论2 1 ，3 可知结论成立 1 5 第3 章拟弱连续减算子的正不动点的存在性和唯一性问题 第3 章拟弱连续减算子的正不动点的存在性和唯一性问题 研究非线性方程的可解性，有时会遇到缺乏紧性这一困难，例如研究无界区 域上的积分方程或无穷维b a n a c h 空间微分方程时，所出现的算子往往就没有紧 性，尤其是关于半序b a n a c h 空间无紧性条件紧算子的研究困难较大，目前结果不 是很多 在本章中我们讨论了拟弱连续减算子的正不动点存在性问题，在锥不是正 规锥的条件下，得到了正不动点的唯一性定理，并给出了算子c = 4 + 占， c = d a 的正不动点存在唯一性定理，这里a 是减算子，曰是次线性算子，d 为 第一章中定义的西算子在本章中x 是实b a n a c h 空间 3 1 拟弱连续减算子的有关概念和引理 关于减算子的不动点存在唯一性问题一直有很多人在研究，也得到了很多 好的结果在文e l i 中作者讨论了p 为正规锥，a ：p j p 为凝聚映象的减算子的 情况下，正不动点的存在唯一性问题，得到了正不动点的存在唯一性定理还讨 论了正规锥中减算子的正不动点存在唯一性问题，算子没有凝聚映像的限制，得 到了更好的结果1 9 9 8 年张志涛在文【4 】中分别对两类不同的非紧减算子进行了 研究，得到了正不动点的存在唯一性定理文 3 2 】中讨论了无紧性和无连续的减 算子的正不动点存在唯一性定理。并应用到非线性积分方程当中 多数讨论半序b a n a c h 空间中减算子不动点存在的问题时，锥都是正规的， 例如下面的定理： 定理3 1 1 1 1 ix 为实b a n a c h 空间，p 为z 中的锥设 ( i ) 锥尸是正规的，a ：p 斗p 是减算子； ( i i ) a o 0 ，4 2 口s o a o ，其中晶 0 ； ( i i i ) 对任何0 口 口，a 2 曰岛朋其中岛 0 ； ( i i i ) 对任何0 x a o 及0 一，彳2 口e o a o 其中 0 为常数： ( i i i ) 对任何工 占及o 口，a 冶8 0 a b ，其中0 o ，对任何x 口及岛“ 日，屯 占是4 2 的任何两个正不动点 由 五= 爿2 五a 2 曰毛朋，( 9 ) 屯= a 2 屹= a ( a x 2 ) 朋，0 0 ) “l o ) 式的证明见文【6 1 ) 知 6 0 a b 气屯， 令f o = s u p t i 毛 x 2 ) ，则 0 6 0 t o 佃且屯 下证乇1 若0 目矛盾因此 p 由条件c ) 知道，存在口 0 ，使得： 地) 志舭， 即 a y o t o + 口( 1 一t o ) l a ( t o y o ) 0 2 ) 因而，用0 2 ) 式可以得到 毛= 以攒( f o 而) = 删( f o ) ) 2 爿譬如) = 矾 【t o + 口( 1 t o ) a ( t o y o ) = t o + a ( 1 一t o ) 1 4 ( t o ( 丢a x 0 ) = t o + a ( 1 - t o ) a 2 x 2 = t o + 盯( 1 一，o ) 】而，