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王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子 i 中文摘要 本文中，我们考虑具有部分耗散的随机格子微分方程的解的长期性态： 掣叫u , _ - - 2 u i + u i + i ) + a u , - 删- o ：v = 哆+ q 掣， ( 1 ) 掣一f g v ，+ ：即 ( 2 ) 满足初始条件： “，( o ) = “，v ( o ) = vo ，i z ， ( 3 ) 其中z 表示整数集，“= ( “，) 。，v = ( v ，) 。f 2 ，丑、盯、u 、口、是f 常数，： 是满足特定条件的非线性光滑函数，h = ( 囊) 。、g = ( g a 。、d = ( q ) 。为f 2 中给定 的序列，f 彬：i z 为独立的布朗运动。 本文主要目的在于研究一个紧全局随机吸引子的存在性。首先，我们证明无 穷维随机格子动力系统解的存在唯一性，并且对这个解进行先验估计。然后，通 过论证我们得到了该系统的随机吸收集的存在性，接着，利用对方程解的“尾部” 在时间f 足够大时作的一致小估计来讨论随机格子动力系统的渐近紧性。最后，我 们证明了随机格子系统在，2 f 2 空间中全局随机吸引子的存在性，与确定性格子动 力系统所不同的是，它存在于所有的缓增随机有界集中，而非所有确定的有界集。 第一部分是引言，介绍本文相关工作的背景和发展概况。 第二部分介绍相关预备知识，对本文所涉及到的概念、内容给出解释或说明。 第三部分，我们主要工作是要证明随机微分方程( 1 ) ( 3 ) 能在给定的假设条件f 生成无穷维部分耗散随机格子动力系统。首先对解作一个先验估计，然后说明一 维格子z 上随机格子动力系统的存在性。 第四部分得到了全文的主要结果，也就是全局随机吸引子的存在性定理。主 要通过讨论随机格子动力系统的随机吸收集的存在性以及这个系统的渐近紧性来 证明这个定理。 关键词：随机，格子动力系统，全局随机吸引子，渐近紧性 扬州大学硕士学位论文 一2 r a n d o ma t t r a c t o r sf o rp a r t l yd i s s i p a t i v es t o c h a s t i c l a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h el o n gt i m eb e h a v i o ro ft h ef o l l o w i n gp a r t l y d i s s i p a t i v es t o c h a s t i cl a t t i c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sg i v e nb y 掣一咻。一2 u , ) + 弛叫小口v f = 岛+ q 掣a l ( 1 ) 讲 警+ 吖咿坼= 岛 ( 2 ) w i t h t h e i n i t i a l d a t a ：u i ( o ) = 虬。o ，e ( o ) = y o ，i z ，( 3 ) w h e r ezd e n o t e s t h e i n t e g e rs e t , u = ( q ) ，。z ，v = ( 一) ，。z z 2 ，a 、矿、，、d 、a r e p o s i t i v ec o n s t a n t s ，za r en o n l i n e a rs m o o t hf u n e t i o n ss a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n s ， 而= ( 如) ，。z 、g = ( g ) 。；z 、a = ( q ) i 。z ，2 a r e g i v e n , m ：f z a r ei n d e p e n d e n t b r o w n i a nm o t i o n s t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fac o m p a c tg l o b a l r a n d o ma t t r a c t o r t h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c ei sf i r s tp r o v e df o rt h es o l u t i o no ff i l l i n f i n i t ed i m e n s i o n a lr a n d o md y n a m i c a ls y s t e m ，a n dap r i o r ie s t i m a t ei so b t a i n e do nt h e s o l u t i o n s t h ee x i s t e n c eo far a n d o ma b s o r b i n gs e ti st h e nd i s c u s s e df o rt h es y s t e m s , a n da ne s t i m a t eo nt a i l so f t h es o l u t i o n si sd e r i v e dw h e nt h et i m ei sl a r g ee n o u g h , w h i c h e n , 吼l r g st h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so fs o l u t i o n s f i n a l l y , t h eg l o b a lr a n d o ma t t r a c t o ri s p r o v e dt oe x i s tw i t h i nt h es e to ft e m p e r e dr a n d o mb o u n d e d s e t sr a t h e rt h a na l lb o u n d e d d e t e r m i n i s t i cs e t s ，i e ，t h es t o c h a s t i cl a t t i c es y s t e mh a sag l o b a lr a n d o ma t t r a c t o ri n 1 2 1 2 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子! i ns e c t i o n1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r ya b o u tt h er e l a t e da r eg i v e n i ns e c t i o n2 ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r yr e s u l t st h a ta r en e c e s s a r yi nt h i sd i s s e r t a t i o n s e c t i o n3i sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo fa ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a lr a n d o ml a t t i c d y n a n 删s y s t e mg e n e r a t e db ye q u a t i o n so ) 一( 3 ) u n d e rt h eg i v e na s s u m p t i o n s w e w i l ld e r i v eap r i o r ie s t i m a t e0 1 1t h es o l u t i o n st oe q u a t i o n s ，a n dt h e np r o v et h ee x i s t e n c e o f r a n d o ml a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e mo no n e - d i m e n s i o n a ll a t t i c ez i ns e c t i o n4 ，w eg e to b rm a j o rr e s u l t , i e ，t h ee x i s t e n c eo far a n d o mg l o b a la t t r a c t o r o fs t o c h a s t i cl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m t h ep r o o fi sm a i n l yc o m p o s e do ft w oi m p o r t a n t r e s e t s ，o n ei st h ee x i s t e n c eo fa nr a n d o ma b s o r b i n gs e t ，a n dt h eo t h e ri st h ee s t i m a t eo n t h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so f s o l u t i o n s k e yw o r d s ：s t o c h a s t i c ，l a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m ，g l o b a lr a n d o ma t t r a c t o r , 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子! 具有部分耗散的随机格子动力系统的 全局吸引子 1 引言 格子系统是定义在格子上的微分或差分所组成的一个无穷维动力系统。通过耦 合，格子动力系统展示复杂的时空动力学性质。近三十年来，格子动力系统已受 到广泛关注【l ，3 ，7 ，l o ，1 l ，3 0 3 3 】。这方面的理论已被成功应用于图像处理、 模型识别、脑科学 1 2 ，1 3 ，1 9 ，2 l 】和化工格子【2 0 】等领域。 研究格子动力系统的渐近形态已成为现代数学物理领域最重要的问题之一。对 于具有耗散的确定性格子动力系统而言，处理这个问题的一个有效的办法就是考 虑它的全局吸引子的存在性，也就是要找到一个吸引系统所有有界集的紧不变集。 关于由偏微分方程所生成的具有耗散的无穷维动力系统的研究，已经产生了大量 结果 1 7 ，2 9 。最近，格子动力系统的全局吸引子的问题引起了众多学者的注意。 例如，由b a t e s 等人在 5 0 e 完成了关于确定性格予动力系统的全局吸引子的首个 重要结果。在此基础上，对于一阶、二阶确定性格子系统在一维或者高维格子上 的解的长期行为也已被研究 2 2 ，2 3 ，3 0 ，3 1 ，3 2 。 然而，一个系统通常会受到外界扰动的影响，这种影响在许多情况下具有很大 的不确定性或随机性。这些随机作用它们不但能被用来弥补某些确定模型的不足 之处，两且还能反映这些模型的内在本质现象。因此，在研究这些模型时有必要 将这些随机作用考虑进去，这就是要研究随机格子动力系统 4 ，2 4 ，2 5 】。在【2 8 】中， r u e l l e 首先研究了随机动力系统的全局随机吸引子，然后由c r a u e l 、d e b u s s c h e 、 f l a n d o l i 、$ c t u n a t f u 、i m k e l l e r 等人在( 8 ，9 ，1 6 ，1 8 】中进一步研究了由随枧微分方程 生成的随机动力系统理论。最近，对于随机格子动力系统的全局随机吸引予的研 究引起了许多学者的注意，文献【4 】第一次考虑了一阶随机格子动力系统的全局随 机吸引子的存在性问题。随后，l v 等人把【4 】的结果推广到高维格子z ”上的随机 格子动力系统【2 4 】和随机离散的g i n z b u r g - l a n d a u 方程 2 5 1 的研究中，得到了全局随 机吸引子的存在性。 扬州大学硕士学位论文 6 另一方面，具有部分耗散的连续动力系统： 詈一山讹+ 口f v - - - - g ， 詈砌一肛硝， 通常被用来描绘信号通过轴突( a x o n ) 传播过程或者是f i t z h g u h - n a g u m o 方程在 神经生物学领域【6 ，1 5 ，2 6 1 的- - 个模型。这个具有部分耗散的动力系统的渐近行为 已被【2 7 】等研究。这个系统的空间结构离散化模型，如下： 警一嘶也饥1 ) + 他嘲= 岛， 掣+ 她一叱 它是不含有随机项的具有部分耗散的确定性格子动力系统，这个系统的全局吸引 子的存在性问题已经被【2 2 ，2 3 懈决。 然而，对于具有部分耗散的带有随机影响的格子动力系统而言，它的全局随 机吸引子的问题至今还未被考虑，仍然是一项具有重要意义的并且富有挑战性的 工作。 本文中，我们考虑具有部分耗散的随机格子微分方程： 。掣叫”2 q m ”他v i = + q 丁d w ( t ) ， ( 1 ) 警+ 吖+ q 嘞 ( 2 ) 满足初始条件：m ( o ) = q _ ，v f ( o ) = ，i z ，一 ( 3 ) 其中z 表示整数集，”= ( “，) j | z ，i , - - - - “) m ，2 ，五、盯、u 、口、是正常数，z 是满足特定条件的非线性光滑函数，h = ( 吩) 。、g = ( ) 廊、口= ( q ) j e z 是产中给定 的序列， 坼：i e z 为独立的布朗运动。 本文主要目的在于研究一个紧全局随机吸引子的存在性。首先，我们证明了 无穷维随机格子动力系统解的存在唯一性，并目对这个解进行先验估计。然后， 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子z 通过论证我们得到了该系统的随机吸收集的存在性，接着，利用对方程解的“尾 部”在时间f 足够大时作的一致小估计来讨论随机格子动力系统的渐近紧性。最后， 我们证明了随机格子系统在，2x f 2 空间中全局随机吸引子的存在性，与确定性格子 动力系统所不同的是，它存在于所有的缓增随机有界集中，而非所有确定的有界 集。 扬州大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 随机格子系统的全局随机吸引子理论 在这一部分，我们介绍有关随机动力系统和吸引子的一些基本定义，详细内 容参见【2 ，8 ，1 6 】设( ，| | | l 。) 为一脚髓p 一空间，( q ，只p ) 为概率空间 定义2 1 称，厂，只( a o t r ) 为度量动力系统，若：# ：r x f 2 _ q 是( 舀( 醒) 兀，) 可 测，并且岛是。中的恒等算子，协，r ，包+ 。= 曰。只，曰p = p 定义2 2 称随机过程( 矿( f ) i 卸是( q ，只p ，池) 蚝r ) 上的随机动力系统，若：妒是 ( b o ，o o ) ，x8 ( 日) ，b ( h ) ) 可测，v c o q d ：r + q 日一日 o ，x ) o ，0 3 , x ) ( i ) ( o ，国，) 为h 上恒等算子 ( i i ) 妒( f + s ，c o ，x ) = 妒( f ，见国，妒0 ，国，x ”，v s ，f r + ，x 。 称随机动力系统( f ) ) 脚是连续或可微的，若：( f ，国，) ：日寸h 是连续或可微的 定义2 , 3 称随机有界集b ( 国) ch 关于 l 。r 是缓增( t e m p e r e d ) 的，若： 对口口口q ，v j t 0 ，l ，i r a e “d ( 口( 晓f ) ) = 0 ， 其中d ( b ) = 呷0 x 虬 托d 我们考虑 ，兀职 ) 。r ) 上连续的随机动力系统( f ) ) f 卸，d 是日的所有随机子集 族 定义2 4 称随机集k ( 桫) 是吸收集，若：v b 口，a , e c o q ，3 t 口 ) o ，s v t _ t n ( c o ) ，声( f ，o _ o ，b ( o ，c o ) ) c k ( 珊) 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子! 定义2 5 称4 是随机动力系统( ( r ) ) ，。的随机全局吸引子，若： ( i ) a 是一个随机紧集，即：u d ( x ，4 p ) ) 是可测的，v x e h ，口名q 4 p ) 是紧的 ( “) 4 是严格不变集，即：a e 脚q ，v t 0 ，( r ，4 ) ) = 4 “，) ( i i i ) a 吸引口中所有的集，即：v b 口，口卫m q ， 憋d ( o ，以t w , b ( ot u ) ) ，4 p ) ) = 0 其中：d ( x ，y ) = 8 u p 叭p 忙一训日是t t a u s d o r f f 半度量 距膏征y d 称为4 的吸引域 一一 塑型盔堂堕主堂垡笙壅 一1 0 _ _ 。_ _ ，- _ _ _ _ - _ _ _ - _ - _ _ 。_ _ - _ _ - _ _ 。1 一 一。 3 随机格子系统 3 1 符号说明和假设条件 本文中，我们考虑f 2 x f 2 空间中部分耗散随机格子微分方程的解的渐近性态： 掣一地_t-21ti+it。+1at) 地川咿叫= 琏+ q 掣， ( 3 1 ) “ 掣+ 吖抄坼= 岛， ( 3 2 ) 满足初始条件：坼( o ) = ，h ( o ) = ，z ( 3 3 ) 其中：甜= 。) k z ，v = “) k z e ，2 ，五、o r 、u 、o f 、为正常数，z 表示整数集，彳 为满足一定条件的光滑函数，g = ( 蜀) f | z 、办= ( ) 以、口= ( q ) 越为z 2 中给定的序 列， w j ：i ez 为独立的布朗运动 首先，我们定义，：空间：f ：= “= ( m l l z ：h 1 2 o ， 有s u pl 扎n a x ( 】i ( s ) l f ( ，) ( 日2 ) 协，t e r ，( s ) 一z ( r ) ) 0 一f ) o ( 玛) ( s ) i s q p i ( i s l 2 9 + 1 1 ，q 0 ，p e z + 若z ( s ) = 妻q p ”，q o ，则满足条件( q ) 一( 马) j 卸 我们再定义涅梅茨基算子，( “) = ( z ( q ) ) 。，仍简记为f 易得如下引理： 引理3 1 ，是，2 到f 2 的局部l i p s c h i t z 映射 证明：由( 羁) 知：，( o ) = o ，那么对于v = ( 材。) 。z 2 ，我们有： l i ，( “) 1 1 2 = z l f x u , ) 1 2 = l z ( 约) 一z ( o ) 1 2 = z ) 1 2 i 虬1 2 其中：磊= ，巧e ( o ，1 ) 则垮i j i l 掰8 ， 所以1 1 1 ( “) 1 1 2s i ，t 专) 1 2 l u , 1 2 f 2 ( 1 p i i ) 1 1 “1 1 2 ， 这意味着， ) z 2 又设占为，2 中的有界集，对v “，v b ，存在( 占) = f ( b l l + u v l l ) ， 有：8 厂( 甜) 一，( v ) 1 1 2 = z i s 化) | 2 k 一一j 2 s ，2 ( i l b l l , 1 1 ) l l 站一枷2 ， 贝90 ，( “) 一，( v ) l i 三( b ) 0 “一v 8 ， 这表明s ( u ) 是局部l i p s c h i t z 的 扬州大学硕士学位论文 1 2 对于随机格子微分方程，我们在概率空阋( 0 ，只驴) 上定义肺仿州p _ f 3 t 2 上的 韦纳过程形，设1 2 为第f 个位置为i ，其余位置都为0 的向量，则( q ) 。吐1 2 时，形( f ) = 矿o ，m ) = q m ( r ，彩) e i e z 引进概率空间q = 国c ( r ，z 2 ) ：国( o ) = o ) ，并赋予它紧开拓扑( 见 1 6 ) ， p 是相应的概率测度，：是q 上的b o r e lo - 代数的p 完备化设 q 缈( ) = 珊( + f ) 一( ) ，t e r ， ( 3 5 ) 则( q ，芦，p ，慨) 蝇r ) 是具有过滤一净艺f ( f r ) 的度量动力系统，并且其中的 z = 仃 矿( 2 ) 一矿( f 1 ) ：s q 蔓2 r ) 是由随机变量矽心) 一矽( f 1 ) 生成的最小的函 代数 2 3 2 随机格子微分方程解的存在唯一性 在这部分里，我们要说明方程( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的解的存在唯一性，然后来证明它 在f 2 z 2 空间里生成一个无穷维随机动力系统 首先，我们在f z f ：空间中构造的抽象的随机微分方程，并且说明这个方程在 ，2 ，2 中解的存在唯一性 由上述定义，方程( 3 1 ) 一( 3 3 ) 等价于f 2 空间中初值问题： f i + v a u + r u = ，( ) + 口v + 1 l + 旷， ( 3 6 ) 口+ 卯+ 口“= g ， ( 3 7 ) 满足初值： ， u ( 0 ) - u o = ( 坼m ) ，v ( o ) = v o = ( h o ) e ze 1 2 ， ( 3 8 ) 其中：“= ( 虬) 。z ，v = ( h ) ，吐p ，g = ( 岛) ，z 、 = ( ) ，。嚣ez 2 ，a u = ( ( 4 “) ，) ，。z ， 八甜) = ) ) 廊，名、p 、掰、为正常数 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子旦 方程( 3 6 ) 一( 3 8 ) 还等价于f 2 f 2 空间中的c a u c h y 问题： 痧+ c c 咖= f c 缈，+ 旷，烈。，= 纯= ( 麓) z 2 ，2 ， c s 9 ， 黼矿舫a 力= ( 鲥：篇鲫) 湖力= ( = ( 苫 现在，我们就来证明方程( 3 9 ) 在，2x 1 2 中解的存在唯一性 定理3 1 设q 羁成立，g ， ，2 ，r 0 ，对于口七缈q 。 程( 3 9 ) 存在唯一解伊( f ) r ( g c ( f o ，即) ，2 x 1 2 ) ( i i ) 埘s u 。州po 妒( r ) 旷c ( o 饰1 1 2 + 州s u 。，p ，o 矽( r ) 1 1 2 + r ( 1 l ( r ) 1 1 2 + i i ( r ) r 9 + 2 + l l g l l 2 + o 1 1 2 ) d r ) ， 这里c 是大于0 常数 证明：设z ( f ) = “( f ) 一w c t ) ，则系统( 3 9 ) 可以化为： l = 一d 4 z d 4 一2 z - , t w + f ( z + 形1 + ( r v + h ， ( 3 1 0 ) t = 一鲫一z 矿+ g ( 3 1 1 ) 方程( 3 1 0 ) 一( 3 1 1 ) 等价于1 2 x 1 2 空间中初值问题： 名川加呦叫= 觞= ( 芝 其懒= ( 狲c c 小( 鲥z 删+ l z - ：鲫 川庐( 心+ g w 一) - v a 肛脚 对固定的国q ，这个方程是确定性的，且由引理3 1 可以得知f ( z ) 是从，2 ，2 映 到自身是局部三枷锄汜函数常微分方程解的存在唯一性定理，方程( 3 1 2 ) 存在 唯一的局部解伊c ( 【o ，z k ) ，z 2 ，2 ) ，其中【0 ，z 脚) 为解的最大存在区间下面我们 来证明这个解事实上就是一个全局解 为此，首先，我们对方程( 3 1 0 ) 与口z 在1 2 中作内积： 扬州大学硕士学位论文 ( 1 ，z ) = 一，( 出，p z ) - o ( a w ，z ) 一( 五z ，z ) 一( 胛，z ) 1 4 + ( 厂( z + 矿) ，肪) + ( 口v 肛) + ( 厅，肛) ， ( 3 1 3 ) 田局岛，( 3 4 ) 拥y o u n g 小等瓦，我们有7 ( 南膨) = j ii d 刚1 2 ， ( 3 1 4 ) 叫( 如，z ) = 一印0 瑟0 2 ， ( 3 1 5 ) 一( a z ，z ) - - 一筇l l z l f ， ( 3 1 6 ) ( 洲，z ) = 筇( v z ) ， ( 3 1 7 ) 一( 删，纠硎例i z i i 警黼u + 2 x p l l w l l 2 ， ( 3 1 8 ) ( 例d o h 1 l l z 忙铷1 1 2 + 釉1 2 ， ( 3 1 9 ) 叫( 4 形，纠纠4 训z 8 警w i i + 2 f l r u 2 脚um 2 ， ( 3 2 0 ) ( 厂0 + ) ，f l z ) = f l ( f ( z + w ) ，z ) = p ( 0 + 矽) 一，( 形) ，z ) + ( 厂( ) ，z ) = ( z ( 互十彬) 一厂( 彬) ) ( 匕+ 形) 一( 彬) ) + 卢( 厂( 矿) ，z ) f l ( f ( w ) ，z ) 胁叫铷卜净佃) 1 1 2 s 警w + 警车i z ( 吲2s 警脚i i + c o l l w l l 2 + ”2 ) ， ( 。2 1 ) 其中：c o 为与，a ，q 有关的正常数 由( 3 1 4 ) 一( 3 2 1 ) ，则( 3 1 3 ) 可化为： 三丢黼+ 印8 & 8 2 + 警筇( v ，z ) + c , o ，s t v t ( 奶有妒( r ，晓，扛，b ( e ，珊) ) c k ( o ，r ( 口) ) ， 并且( 0 ，且( 国) ) 是一个缓增( t e m p e r e d ) 闭球 证明：设z = ”一玎 吐，矿= ( ： ；妁为方程c 。9 ，在，2 ，2 中的解 由引理4 3 ，则z ( t ) 满足方程： t = - u a 工一a z u a q + f ( z + r 1 ) + a v + h ， ( 4 3 ) 审= 一。w 肛一叩+ g ， ( 4 4 ) z ( o ，6 0 ，u o ) = u ( o ) - r ( c o ) = z o ，v ( o ，国，v o ) = v o ( 4 5 ) 类似定理s 2 ，不难发现方程( 4 3 ) 生成随机动力系统，记为妒( ，戤) ，= ( ： 鼎慨驴。帆z ( t , c o , 训z o ) = ( “l 瓮絮和卜以扩( 巩料s ， 我们首先来证明由v ( t ，珊，) 所定义的随机动力系统的吸收球的存在性，对 ( 4 3 ) 与肋在r 中取内积，得： 丢卢配1 1 + 2 f l 。( 出，z ) + 2 筇肛1 1 = 2 f l ( f ( = + ，7 ) ，z ) 也加( 却，z ) + 2 f l ( h , z ) + 2 0 e f l ( v ，z ) ， ( 4 7 由蜀马，( 3 4 ) 和y o u n g 不等式，有： f l v ( a z ，z ) ：u 0 毖0 2 ， ( 4 8 ) 扬州大学硕士学位论文 丝 ( 啊z ) p l l h l l l l z 忙等脚+ 鲁m p o ( a 刁，：) m o 悱争0 2 + 譬f 争| f + 譬叮8 2 ， ( 厂( z + 7 7 ) ，z ) = 卢z ( + 巩) z ，z = p ( z ( 互+ 研) 一，( 轨”弓+ ，( 研) 刁 j e z i t z 卢，吼) z ，竿郴+ 刚叩n 玎。州) ， l e z 叶 其中：g 为依赖于五，q ，的正常数 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 由( 4 8 ) 一( 4 1 1 ) ，则( 4 7 ) 可化为： 翱z n 三硎坩2 筇( 邶) + 净矗| 1 2 + 2 c 4 删删4 肿) ( 4 t 2 ) 这里c 4 ：c 3 + 笪晏0 4 9 2 对( 4 4 ) 与鲫在，2 中取内积，得： 丢口u v l l 2 + 2 , z , , l l v l l 2 = 缸) 一郦( 刎) 一2 筇( ”) ， 由c a u e h y s c h w a r z 不等式，我们有： 口( g ，v ) 口i i 卅忙了3 0 r t 7 删2 + 警i i g | 1 2 ， 一筇( ) 筇v 忙擎卅兰生3 a 8 叩8 2 ， 由( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 可将( 4 1 3 ) 化为。 翱v r 叫v 卜1 1 2 + 警孵2 够( z ，v ) ， 将( 4 1 2 ) 与( 4 1 6 ) 相加得： ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子 型 丢( 声肛r + 4 v r ) + g 硎z r 叫础2 ) s g 删制n + 净 n 等o g i l 2 ， ( 4 1 7 ) 其中：g = c + 丝3 0 仍记旬= m i n a ， ，f o = n 瞰 口， ，凡r a i n 2 ，盯 记p ( 例= q ( 1 1 4 2 制r ) + 净a 卜引2 c ：刨2 ， ( 4 j 1 8 ) 去( 晰+ 口+ 每( 郴+ 窿纠包础 ( 4 _ 1 9 ) 由g r o n w a l l 引理有。 眇( f ，) 0 2s e - - 盘z l 0 2 + _ 1f p 蛾口弦专幽， ( 4 2 0 ) 我们将式( 4 2 0 ) 中的国换成晓6 0 来构造吸收集的半径，由引理4 3 有： 嫩f p 印弦和加l ，一i m p 弘皇掣 0 ， 贴对竹岛( 珊) ，有：伊( r ，晓，峨口( 晓，c o ) ) c k ( o ，r ) ) 因为k 是随机吸收集，所以存在r x ) 0t 对于任意的v q ，v t k ) ， 舻( f ，口g o ，k ( 矽，国) ) c k ( o ，r ( ) ) 1 3 扬州大学硕士学位论文 4 2 随机格子系统的渐近紧性 4 2 1 随机微分方程解的“尾部”一致小估计 2 2 为了要证明随机动力系统劬o ) ) m 存在一个随机全局吸引子，一个主要的步骤 就是证明吸收集足 ) 的渐近紧性，也就是随机动力系统( 妒( f ) ) ，z 0 的渐近紧性。首 先我们介绍下面的定理来对解的“尾部”( “t a i l e n d s ”) 对足够大的时间和空间变量 作一致估计 定理4 5 设妨k ( 功) ，定理4 4 中的吸收集，设局坞成立，g , h e l 2 ，则 v t t ( 8 ，c o ) 时， 慨( f ，晓，m ，v o w - ，缈) ) f 2 占 证明：取光滑的截断函数p ( s ) s t p c 1 ( 矿，r ) ，满足： 1 0 p ( s ) 1 ， s 0 p ( j ) = 0，0 s 1 ， l 以d = l ， ，2 2 并存在常数j i l 厶，s 工v s 0 ，p o ) f 五( 奶，有： ，掣薹p 曲m ( 删k ， 眈， 王耀：具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子 等等扩氧r o i i ( 酬) | 1 2 打 等等( e + u 比训1 2 + 肛) e - t ( , - o d a 卜 4 砜v ：肘m o 。j ( t 口，( 晓，防) ) 2e 专( ，一瓦) + 瓮挚芦知_ 又7 。和l ( 晓) e 专州砒 & o sf 。却k ( 钆甜) 。和。每捌r 珞 o i 。和b ( 包。埘) e 每妣 i e 争t ，吒2 ( 口矽r i 2 巴2 ( c 一) ， 这里吃( t o ) 为常数 则瓮挚蝴( 酬 面4 0 t 。m o 戤( 即) 肌每( 心) + 芝警吒2 ( 缈) ， ( 4 4 ，) 所以存在互( 占，口) 靠，l ( 国) o ，s j v t 正( p ，) ，m i ( 占，c o ) 有 等少t 咖讹叫2 d r 0 ，s t m 2 ( t o ) ，有： 篑i 吾以鼽砰埘) 他4 s ， 扬州大学硕士学位论文 。e 竽占。( h ( 色埘+ 峨训州p = e 。e 争磊肌纠+ 鹇) r ) 凼 e l e 争占。( h 彩) 1 2 + h ( 见) 1 4 ，+ 2 声+ e e 争( 慨 彩) + 慨( 只国) i t m ) 出， 其中一部分：e c e 铷珥( 只剃珊) r , i ss e 誓5 p 缈脑 。婚每m ( 俐h 坨 s 百妒弓( 国) 因此，取r ：4 l ，z 掣，对任意的f r + ，有： s o j ：= r e 铷吼( 侧2 + 慨 缈) r ) d s 蔓素， ( 4 4 6 ) 对另一部分，固定，p ，国) ，由l e b e s g u e 定理，则存在虬( g ，c o ) ，s t v m m ( s ，国) e d e 鲁4 否。( 叭最国) 1 2 + h ( 只缈) r 2 ps 素， ( 4 肿) i 双t ( 6 , c o ) = m a x 五( s ，c o ) ，乏( 占，) ，砭( 国) + r ( 占，) ) ， p ，回= m a x ( 占，埘) ，2 ( 占，国 3 p ，功 v t t ( s ，c o ) ，m n ( 6 ，c o ) v ： 磊l 奶c r ，钆乱c e m ) ) 1 2 乏p ( 兽 c 晓肛c 巳) ) 1 2 s g ，c 4 鹏， 王耀： 具有部分耗散的随机格子动力系统的全局吸引子 由( 4 4 2 ) 一( 4 4 8 ) ，这意味着：当( g ，纠，r ( 占，印) 趋于无穷时， 胁( f ，巳国，( 岛国) ) f 怍洲忙一) - 。”是月+ 上的递增序列， 即；一佃，当，l _ 佃 首先，我们证明序列 以 。= 妒以，o ) 。有收敛子序列因为足 ) 为有界 的吸收集，所以当 充分大时，存在予序列 以) 。= 妒以，晓国) ) 。( 我们仍然用 或) 。，= 妒以，晓) 删去记序列 屯) 。一= 妒也，晓 。”的子序列) ，使得 妒( 乇，晓戤) - + x o ，( f 2x 1 2 空间上的弱收敛) ( 4 ，4 9 ) 接下来，我们证明上述( 4 4 9 ) 式的弱收敛序列其实为强收敛序列，即：我 们将验证对任意占 0 ，存在常数n ( e ，们 o ，使得