（应用数学专业论文）响应面法在生物过程优化中的应用.pdf

a p p l i c a t i o no fr e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y o nb i o l o g i c a lp r o c e s so p t i m i z a t i o n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：参彳仁日期：刈年罗月猡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书。 2 不保密耐。 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名 导师签名 日期：劲i 年罗 日期：勘，年j 日 日 9 q 多 月月 响应面法在生物过程优化中的应用 摘要 响应面法是目前最常用的优化方法之一，是数学方法和统计方法结合的产物， 它是利用统计学的综合试验技术解决复杂系统变量与响应之间关系的一种方法， 用来对所感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析的，其最终目的是 优化该响应，广泛应用于生物过程、化学过程、食品工程及其他工程领域的过程 优化。本文对响应面法的基本原理、试验设计的方法、试验数据的处理以及其应 用进行了概述，并以响应面为分析方法，以微生物m a p 3 降解氧化乐果过程和米 曲霉产a 淀粉酶过程为主要研究对象，分别选取了中心组合试验设计( c c d ) 和 b o x b e h n k e n 试验设计( b b d ) 对这两个过程进行了试验设计、过程分析及优化。 在微生物m a p 3 降解氧化乐果过程中，首先选用中心组合试验设计，设计了 4 因素5 水平的试验方案，根据试验数据拟合了影响氧化乐果降解率的二次多项 回归模型。通过方差分析，对模型的显著性、试验因素的显著性、因素间交互作 用的显著性及试验值的可靠性进行了检验；通过响应面优化找到了氧化乐果降解 的最佳条件和最大降解率。模型预测值于试验值非常接近，较优化前有了明显提 高。 在米曲霉产a 淀粉酶发酵培养基的过程中，首先利用p l a c k e t t b u r m a n 试验设 计从影响发酵水平的7 个影响因素中筛选出三个关键因素：豆粕粉、p h 值和 f e s 0 4 7 h 2 0 ；在此基础上，运用b o x b e h n k e n 设计3 因素3 水平共1 7 个试验 点的试验方案，运用响应面法拟合了影响a 淀粉酶的发酵水平的二次多项数学模 型。通过方差分析，模型的显著性、因素的显著性一，因素间交互作用的显著性及 试验值的可靠性得到了有效检验；通过响应面优化获得了米曲霉产a 淀粉酶的最 优发酵培养基最优的发酵水平，预测值与试验验证值为相差微小，模型能很好地 预测实际表达情况。 关键词：响应面法；优化；中心组合试验设计；b o x b e h n k e n 试验设计 i i a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h es t a t i s t i c a ld e s i g no fe x p e r i m e n s t h e r e s p o n s e s u r f a c em e t h o d o l o g y ( r s m ) i s ac o l l e c t i o no fm a t h e m a t i c a la n ds t a t i s t i c a lt e c h n l q u e s u s e f u lf o rt h em o d e l i n ga n da n a l y s i so fp r o b l e m si nw h i c h ar e s p o n s eo fi n t e r e s t1 s i n f l u e n c e d b ys e v e r a lv a r i a b l e sa n dt h eo b j e c t i v e i st oo p t i m i z et h i sr e s p o 溉r s m 1 s w i d e l ya p p l i e di nt h eo p t i m i z a t i o no fi n t h eb i o l o g i c a la n dt h e m i c a lf i e l d s , a n dm f o o da n do t h e re n g i n e e r i n gs c i e n c e s a c c o r d i n g t ot h ep r i n c i p l eo ft h er e s p o n s e s u r f a c ea n a l y s i s ，t h em e t h o d o l o g y o fe x p e r i m e n t a ld e s i g n ，d a t ah a n d l m g a n d a p p l i c a t i o no fr s ma r ed i s c u s s e di n t h i sp a p e r a n di n t h i ss t u d y ，t h er e s p o n s e s u r f a c em e t h o d 0 1 0 9w a se m p l o y e di no p t i m i z a t i o n t w od i f f e r e n tb i o l o g i c a lp r o c e s s e s i no r d e rt 0i m p r o v et h e o m e t h o a t ed e g r a d i n gb yp s e u d o m o n a s m a p _ 3a n dt h e p r o d u c t i o no fa a m y l a s e ，t h ec e n t r a lc o m p o s i t ed e s i g n a n db o x - b e h n k c nd e s l g n w e r ea p p l i e dt oo p t i m i z et h ed e g r a d i n ga n dt h ef e r m e n t a t i o nm e d i a ，r e s p e c t i v e l y i no r d e rt oi m p r o v et h eo m e t h o a t ed e g r a d i n gb ym a p 3 ，r s mb a s e d o na f i v e 1 e v e lf o u r f a c t o rc e n t r a lc o m p o s i t ed e s i g no fe x p e r i m e n t sw a s u s e dt oo p t l m l z e t h eo m e t h o a t ed e g r a d i n go p t i m a ll e v e l so ff o u ri m p o r t a n tf a c t o r s t h es i g l l i f i c a n t o f t h em o d e l ，t h es i g n i f i e a n c eo fe x p e r i m e n t a lf a c t o r s ，t h ei n t e r a e t i o n sb e t w e e n t a c t o r s a n dt e s tt h es i g n i f i c a n c eo ft h er e l i a b i l i t y o ft h et e s tw e r eht e s tb ya n a l y s l s o t v a r i a n c e ( a n o v a ) t h e b e s to m e t h o a t ed e g r a d i n g c o n d i t i o n sa n dm a x l m 哪 o m e t h o a t ed e g r a d a t i o nr a t ew e r ef o u n db y r s m t h ee x p e r i m e n t a ly i e l d o 士t n e o m e t h o a t ed e g r a d i n gr a t ew a si n e x c e l l e n ta g r e e m e n tw i t ht h ep r e d i c t e do m e t h o a t e d e g r a d i n gr a t eb yr s m ，a n d i tm a r k e d l yi m p r o v e da f t e r 。p t i m i z a t i 。n 一 i no r d e rt oi m p r o v et h ep r o d u c t i o n o fa - a m y l a s eb yf e d b a t c hc u l t u r e , t h e p l a c k e t t b u 咖a na n db o x b e h n k e nd e s i g nw e r ea p p l i e d t oo p t i m i z et h ef e 咖e n t a t l o n m e d i a f i r s t l y ，t h r e ef a c t o r s ( s o y b e a np o w e r , p ha n d f e s 0 4 7 h 2 0 ) ，w h i c hh 吖e s i g n i f i c a n te f f e c t so n 仅- a m y l a s ep r o d u c t i o n ，w e r e s e l e c t e df r o ms e v e nv a r l a b l e sb y p l a c k e t t b u r m a nd e s i g n f o rt h et h r e es i g n i f i c a n t f a c t o r s ，at h r e e l e v e lt h r e e - f a c t o r b o x - b e h n k e nd e s i g ne x p e r i m e n t w i t h17r u n sw a se m p l o y e d ，a n da q u a d r a t l c r e g r e s s i o nm o d e lw e r ef i t t i n gb yr s m t h es i g n i f i c a n to f t h em o d e l ，t h es l g i l i t l c a n c e o fe x p e r i m e n t a lf a c t o r s ，t h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nf a c t o r sa n d t e s tt h es l g n i f i c a n c eo f t h er e l i a b i l i t yo ft h et e s tw e r eht e s tb ya n a l y s i so fv a r i a n c e ( a n o v a ) t h eo p t i m a l f e r m e n t a t i o nm e d i u mf o ro p t i m a l f e r m e n t a t i o no fa s p e r g i l l u so r y z a ep r o d u c t l o n i i i 响应面法在生物过程优化中的应用 a a m y l a s ew e r ef o u n db yr s m ，a n dt h ep r e d i c t e dv a l u e sb yr s mw a si ne x c e l l e n t a g r e e m e n tw i t htt h ee x p e r i m e n t a lv a l u e ，i ti l l u s t r a t e dt h a tt h em o d e lc a np r e d i c tt h e a c t u a la - a m y l a s ee x p r e s s i o n k e yw o r d s ：r s m ；o p t i m i z a t i o n ；c e n t r a lc o m p o s i td e s i g n ；b o x b e h n k e nd e s i g n i v 、 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 插图索引v i i 附表索引一v i i i 第l 章绪论1 1 1 引言1 1 2 响应面及其方法1 1 2 1 响应面方法简介1 1 2 2 响应面试验设计方法2 1 2 3 响应面的构造及检验6 1 3 常用的响应面分析软件1 l 1 3 1m a t l a b 11 1 3 2s a s 1 2 1 ：；3 d e s i g n e x p e r t 1 2 1 4 响应面分析在过程优化中的应用1 6 1 4 1 响应面法在化学过程优化中的应用1 6 1 ，4 2 响应面法在生物学过程优化中的应用1 7 1 4 3 响应面法在食品学中的应用1 8 1 4 4 响应面法在工程学中的应用1 8 1 4 5 响应面法在其他领域中的应用1 9 1 5 论文的基本框架及创新点1 9 1 5 1 写作框架1 9 1 5 2 论文的创新点2 0 第2 章基于中心组合试验设计的氧化乐果降解条件优化2 1 2 1 研究背景2 1 2 2 优化方案与过程2 1 2 2 1 优化方案2 1 2 2 2 优化过程与结果分析2 2 2 3 本章小结2 7 第3 章基于b o x b e h n k e n 试验设计的米曲霉产q 一淀粉酶的发酵培养基优化2 8 v 响应面法在生物过程优化中的应用 3 1 研究背景2 8 3 2 优化方案与过程2 8 3 2 1 优化方案2 8 3 2 2 优化过程与结果分析2 9 3 3 本章小结3 6 结论3 7 参考文献3 9 致 谢。4 2 v i 硕士学位论文 插图索引 图1 1 中心组合设计试验点分布图一3 图1 2 三因素b o x b e h n k e n 试验设计试验点分布5 图1 3d e s i g n - e x p e r t 的响应面优化模块1 3 图1 4 中心组合试验设计参数设置1 3 图1 5 试验安排( 真实值) 1 4 图1 6 试验安排( 转为编码值) 1 4 图1 7 方差分析结果1 1 5 图1 8 方差分析结果2 ：1 5 图1 9 优化标准设置1 6 图2 1 因素a 和b 交互作用的等高线和响应面2 4 图2 2 因素a 和c 交互作用的等高线和响应面2 4 图2 图2 图2 图2 图2 7 优化标准设置。2 6 图2 8 响应面法优化结果2 7 图3 1 因素a 和b 交互作用的等高线和响应面3 4 图3 2 因素a 和c 交互作用的等高线和响应面一j 3 4 图3 3 因素b 和c 交互作用的等高线和响应面3 4 图3 4 优化标准设置3 5 图3 5 响应面法优化结果3 5 v i l 5 5 5 6 2 2 2 2 面面面面应应应应响响响响和和和和线线线线高高高高等等等等的的的的用用用用作作作作互互互互交交交交 d c d d 和和和和 a b b c 素素素素因因因因 响应面法在生物过程优化中的应用 附表索引 表1 1 中心组合设计的因素数与试验次数3 表1 2b o x b e h n k e n 试验设计的因素数与试验次数4 表1 3 三因素的b o x b e h n k e n 试验设计4 表1 41 1 因素的p l a c k e t t b u r m a n 试验设计6 表3 1p l a c k e t t b u r m a n 试验设计因素水平及编码一2 9 表3 2p l a c k e t t b u r m a n 设计因素编码水平及响应值3 0 表3 3p l a c k e t t b u r m a n 设计试验安排表( 试验数据已输入) 3 0 表3 4p l a c k e t t b u r m a n 设计中各因素的显著性分析一3 1 表3 5b o x b e h n k e n 响应面设计试验因素水平和编码31 表3 6b o x b e h n k e n 设计试验方案及响应值3 2 表3 7 回归模型的方差分析1 3 3 表3 8 回归模型的方差分析2 3 3 v i i i 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 目前常用的过程优化方法主要有三种：单因素试验、正交试验和响应面法。 单因素试验是在假设因素间不存在交互作用的前提下，每次只改变一个因素 且保证其他因素维持在恒定水平的条件下，研究不同试验水平对响应值的影响， 然后逐因素进行考察，是常用的优化方法之一。然而，大多数过程影响因素相当 复杂，而且因素间通常又存在交互作用，这样通过单因素试验往往无法达到预期 的效果【l i 。另外，当试验因素很多时，需要进行多次试验和较长的试验周期才能 完成各因素的逐个优化。 正交试验较注重科学合理地安排试验，可同时考虑多个因素，以寻找最佳的 因素水平组合。它较单因素试验法更具优越性。试验次数明显少于同因素同水平 的单因素试验，可通过方差分析得到影响试验结果的主次因素，以及考虑因素间 的交互作用等等。但在应用该方法过程中，当考虑因素之间的交互作用时，其试 验次数会大大增加，工作量巨大。 试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最 优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域。为此，响应面分析法 ( 也称响应曲面法) 应运而生。响应面法是通过设计合理的有限次数试验，建立 一个包括各显著因素的一次项、平方项和任何两个因素之间的一级交互作用项的 数学模型 2 】，拟合出因素与响应值之间的全局函数关系，通过对函数响应面和等 高线的分析，精确研究各因素与响应值之间的关系，同时对影响响应值的各因素 及其交互作用进行优化和评价，快速有效地确定多因素系统的最佳条件。该方法 具有试验次数少、周期短、精度高等优点，是一种有效地优化基础试验条件的技 术，在生物学、食品学及医药学等领域有着广泛应用。 1 2 响应面及其方法 1 2 1 响应面方法简介 响应面法( r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y ，简称r s m ) 是试验设计、数理统 计和最优化技术的一种综合应用。它是利用统计学的综合试验技术解决复杂系统 输入( 试验变量) 与输出( 响应或试验指标) 之间关系的一种方法【3 1 。其基本思 路是用显式模型去替代试验变量与试验指标间的隐式功能函数，从而便于优化计 算。其主要过程包括：包括试验设计、响应面拟合及优化计算等步骤。首先利用 响应面法在生物过程优化中的应用 试验设计方法在设计空间中找到试验点，并得到试验变量与试验指标之间的数据。 然后利用试验数据拟合出响应面模型并进行显著性等检验，以确定所构造的响应 面模型满足设计要求。最后利用优化设置进行寻优计算，找到试验变量的最佳组 合及最优响应值。 响应面法的特点和优势是通过设计合理的有限次数试验，建立一个包括各显 著因素的一次项、平方项和任何两个因素之间的一级交互作用项的数学模型【2 】， 从而拟合出因素与响应间的全局函数关系，有助于快速建模，缩短优化时间和提 高应用可信度。然后通过对函数响应面和等高线的分析，对影响响应值的各因素 水平及其交互作用进行优化和评价，快速有效地确定多因素系统的最佳条件【1 1 1 。 应当指出，在运用响应面法进行过程优化的实践中，一般只考虑两因素间的交互 作用，这样通过试验数据得到的数学模型一般为多元二次回归方程。 响应面法最早出现在2 0 世纪五十年代，其历史并不长，但发展迅速，广泛应 用于各领域。1 9 5 1 年，响应面法最先由英国的两位学者b o x 和w i l s o n 年提出【5 】； 1 9 5 7 年b o x 和h u n t e r 等人对其又进行了更为深入的研究【6 】；l9 6 6 年，h i l l 和h u n t e r 对响应面法进行了一些初步应用研究【7 】；b o x 和d r a p e r 8 1 在1 9 8 7 年把响应面法定 义为“一种用于建立经验模型和模型探索的统计方法”； m y e r s 和m o n t g o m e r y 9 】； 在1 9 9 5 年出版的著作中对响应面法及其应用进行了全面阐述，他们将响应面法定 义为“一种用于开发、改进、优化的统计和数学方法”；在1 9 9 6 年，k h u r i 和c o m e l l 1 0 1 又对响应面法进行了比较全面系统的论述。 1 2 2 响应面试验设计方法 响应面试验设计( d e s i g no f e x p e r i m e n t ，简称d o e ) 的目的是通过合理布置 试验点的位置从而利用少量试验点得到较高精度的响应面。试验设计的方法多种 多样，主要有全因素设计、部分因素设计、中心复合设计和拉丁超立方设计等等， 而最常用的是中心组合试验设计和b o x b e h n k e n 试验设计，其中中心组合试验设 计是5 水平试验设计法，b o x b e h n k e n 试验设计是3 水平的试验设计法。 1 2 2 1 中心组合试验设计 中心组合试验设计( c e n t r a lc o m p o s i t ed e s i g n ，也称b o x w i l s o n 法，简称c c d ) 是由b o x 和w i l s o n 开发的、国际上较为常用的响应面试验设计方法，可以通过 最少的试验来拟合响应模型，每个因素通常设置5 个水平。该法能够在有限的试 验次数下，对影响结果的因素及其交互作用进行评价，而且还能对各因素进行优 化，以获得影响过程的最佳条件。 中心组合试验设计是响应面法研究中最常用的二阶设计，其模型见式1 1 ， 其试验点分布见图1 2 。该试验由三个部分组成：2 个立方体点处的试验、m 个 中心点处的试验及2 七个轴点处的试验。 2 硕：l 学位论文 一一多 譬i ，i 量i 二 io i 中心组合设计是用得最为广泛的试验设计，缘于中心组合设计有一些优良性 质： ( 1 ) 恰当地选择中心组合设计的轴点坐标可以使中心组合可旋转设计在各个 方向上提供等精确度的估计； ( 2 ) 恰当地选择中心组合设计中心点试验次数可以使中心组合设计是正交的 或者是一致精度的设计，然后进一步确定最优点的位置。 1 2 2 2b o x b e h n k e n 试验设计 b o x b e h n k e n 试验设计是响应面优化法常用的一种试验设计方法。是由b o x 和b e h n k e n t l 2 】在1 9 6 0 开发的，它可以提供多因素( 一般3 7 个) 3 水平的试验设 计及分析，采用多元二次方程来拟合因素和响应值之间的函数关系，通过对回归 3 方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。 b o x b e h n k e n 试验设计的试验次数与因素数相对应，考察因素越多，试验次 数就越多，其关系如表1 2 。以三因素为例( 三因素用a 、b 、c 表示) ，其设计 安排见表1 3 ，其中0 是中心点，+ ，分别是相应的高值和低值。试验设计的均 一性等性质以三因素为例，如图1 2 。 表1 2b o x b e h n k e n 试验设计的因素数与试验次数 表1 3 三因素的b o x b e h n k e n 试验设计 4 硕士学位论文 图1 2 三因素b o x - b e h n k e n 试验设计试验点分布 如果考察因素增多，试验次数将成倍增长，所以对在b o x b e h n k e n 试验设计 试设计之前，进行析因设计对减少试验次数是很有必要的。如果有许多因素，首 先需要进行一个筛选试验以剔除不重要的因素。这可以通过诸如：分式析因设计， p l a c k e t t - b u r m a n 设计以及非正规正交表等试验设计实现。如果研究初始阶段因素 个数较少，就不必实施筛选试验。本文拟采用p l a c k e t t b u r m a n 试验设计对因素 进行筛选。 1 2 2 3p l a c k e t t b u r m a n 试验设计 p l a c k e t t b u r m a n 设计( p b ) 由p l a c k e t t 和b u r m a n 于1 9 4 6 年提出【1 3 】，它建立 在不完全平衡板块原理的基础上，通过个试验至多可以研究( n 一1 ) 个变量( 一般为4 的倍数) 。p l a c k e t t b u r m a n 试验设计是一种两水平的试验设计方法。该 方法试图用最少的试验次数使因素的主效果得到尽可能精确地估计，适用于从众 多的考察因素中快速有效地筛选出最重要的几个因素，常用在响应面法分析前筛 选显著因素，减少考察的因素和试验次数，供进一步的响应面法优化研究用。 p l a c k e t t b u r m a n 试验设计采用h a d a m a r d 矩阵，设计的准则为【1 3 】： ( 1 ) 对k 个因素，需要进行n = k + 1 个试验，为便于进行方差分析，往往要 求至少包括1 3 个虚构变量，即空项，且k 为奇数； ( 2 ) 每个因素取两水平，即用“+ ”、“一”分别代表其高、低水平，低水平为 原始培养条件，高水平取值约为低水平的1 2 5 倍。 ( 3 ) 矩阵每行含“+ ”的数目为( 后+ 1 ) 2 ，含“一”的数目为( 七一1 ) 2 ，而每列含 “+ ”、“一”的数目相等； ( 4 ) 矩阵第一行任意排列，但必须符合上述要求，最后一行全部为“一”；其 余行以上一行的最后一列为该行的第一列，上一行的第一列为该行的第二列，其 余类推。1 1 个因素( 包含虚拟因素) 的p l a c k e t t b a r m a n 试验设计如表1 4 。试验 响应面法在生物过程优化中的应用 完成后，根据试验结果，计算出各因素的t 值和显著水平或模型贡献率。一般选 择显著水平大于8 0 或模型贡献率大的因素作为重要因素。 表1 41 1 因素的p l a c k e t t b u r m a n 试验设计 x i 1 2 3 晌应面的构造及检验 1 2 3 1 响应面的构造 实际问题中，试验变量( 或因素变量) 与试验指标( 即响应) 之间的关系是 未知的，或者它们之间的关系隐含的，无法用显式表达，给实际应用造成很大困 难。生物过程优化问题正是属于该类问题。目前解决此问题的办法常选用响应面 法，利用最d , - 乘法构造出试验变量和试验指标( 响应) 之间的函数。 考虑只有一个响应结果的情况，设y 是响应变量，毛，恐，t 为试验变量， 它们之间存在如下函数关系： y = f 1 0 + 3 l 仍+ 卢2 仍+ + 卢小+ 8 ( 1 2 ) 其中t p t - - - t p ，( 五，x 2 ，) ，f = 1 ，2 ，m ，表示m 个基函数中的第i 个。为误差， 假设s n ( 0 ，仃2 ) 。 按照前述的试验设计方法，以这k 个试验变量为试验因素进行试验设计，假 设在r 个试验点上进行试验，得到一组响应值，记为y = ( y l ，) ，2 ，y 疗) 7 ，且有 咒= 风+ 卢l 仍l + 应仍2 + + 卢刖够砌+ 岛，f = l ，2 ，k ( 1 3 ) 其中表示第歹个基函数在第f 个试验点上的取值。 写成矩阵形式有： 6 盟，2 3 4 5 6 7 8 9 加n 他 _j_ 硕士学位论文 简记为 其中 型： y 2 m 耽 ： y 。 m 咒 ： y n ，x = 1 识l 1 仍i 1 l 觋m 仍脚 y = x 3 + s 卢l p 2 ： p ， + 仍。) i 瞿脚l ，万： j 反 卢2 ： p n ， s2 g l s 2 ： s h ( 1 4 ) ( 1 5 ) 采用最小二乘法对上式中的系数进行估计，设卢= ( x r x ) 一1 x r y ，于是得到模 夕= 风+ 卢l 仍+ 卢2 + + 卢埘 ( 1 6 ) 上式即为试验变量与响应间的回归方程，叫响应面函数。需要指出的是，上 ：； 述函数中的系数向量卢是m + l 维的，所以至少需要获得m + 1 个试验点的试验数据 才可求得该系数向量。一般情况下试验点的个数应朋+ l 大，以保证足够的剩余自 由度，从而通过最小二乘法减小响应面函数的误差。若试验点恰好是朋+ l ，则拟 合将变为插值，这样就将随机误差纳入了响应面函数，为此将使响应面的误差增 大，预测精度降低。 在实际应用中，响应面函数一般设计为多元低阶方程。如果不存在交互项和 平方项，上式为线性函数，即 夕= 3 0 + 届而+ 展恐+ + 反耳 ( 1 7 ) 其中后为试验变量( 或因素) 的个数。此时需要进行至少尼+ 1 次试验。若只 考虑两个因素间的交互作用及平方项，则响应面函数为 7 吼吼； _1 、，o o( 2 一 一h p 七汹 + t 一v p 七芦 h 闰 + 薯孱 七 + o p l l y 响应面法在生物过程优化中的应用 此时所需的试验次数最少为寺( 七+ 1 ) ( 七+ 2 ) 次。为使响应面函数整体显著性达 二 到最优，可剔除不显著的项。另外指出，响应面函数的阶数越低，函数本身越简 单，可减少试验次数，同时可简化后续的分析。特别是二次多项式模型，既保证 了一定的非线性特征，同时函数形式也较简单，因此在生物过程优化中使用非常 广泛。 1 2 3 2 响应面的拟合检验 响应面的评价指标可以很好地说明响应面函数对试验数据的拟合程度，下面 是几种常见的评价指标【1 4 】： ( 1 ) 复相关系数尺2 r 2 ：s s r ：l 一s s e( 1 9 ) s s 。is s j f 式中 s s t ：总体平方和，表示y 观察值的不均匀程度，其中 s s t = ( 乃- y ) 2 = 乃2 一孵2 ( 1 1 0 ) f f i li = 1 夕：响应值的均值； s s e ：误差平方和，表示由随机误差所引起的y 的不均匀程度； s s e = ( 儿一只) 2 ( 1 11 ) j = 1 只：响应面在对应试验点的值； s s r ：回归平方和，表示由回归方程所引起的y 的不均匀程度，其中 s s r = s s t s s e( 1 1 2 ) 尺2 是一个在 o ，1 】之间变化的量，其值越接近1 说明误差的影响越小，即回归 方程越准确；若r 2 = 1 ，说明回归方程可以精确描述y 的变化，即观测点全部落 在回归方程所确定的曲面上。尺2 可以描述响应面的拟合程度，但它有一个缺陷， 就是其值随回归方程中自变量个数的增加而增加，这样当所有自变量均在回归方 程上时，r 2 达到最大。而冗余参数的存在也会提高尺2 的值，因此不能认为r 2 越 大回归方程的逼近程度就越好。尽管如此，r 2 还是可用于比较具有相同参数个数 的不同回归方程的逼近程度，此时，r 2 越大说明回归方程效果越好。 ( 2 ) 修正的复相关系数e 耐2 8 硕士学位论文 为克服r 2 的缺陷，需要对其进行修正。定义如下： 响斗( 兰) 嚣 称r 乙为修正的复相关系数，它考虑了参数个数k 带来的影响。当参数个数 增加时，尺二不一定增加，因此可以用来比较具有不同参数个数的回归方程的逼 近程度。 ( 3 ) 变异系数c v 变异系数c v 也称样本变异系数( 即c o e f f i c i e n to f v a r i a n c e ，简称c v ) ，它是 衡量样本资料中各试验值变异程度的重要统计量，其值反映了实验值的可靠性。 当进行两个或多个资料变异程度比较时，如果度量单位和平均数相同，可以直接 利用标准差来比较。如果单位和( 或) 平均数不同时，比较其变异程度就不能采 用标准差，而需采用标准差与平均数的比值来比较。其定义为 c v ：s ： x 其中叉= 三n 窆i = i 置代表样本平均数，s = 厅= 差。 1 2 3 2 回归模型的显著性检验 代表样本标准方 由响应面函数的构造知，响应面模型是试验变量与响应函数之间的估计。其 中包括对响应函数的估计、系数向量的估计及拟合回归检验中统计量s s e 、s s t 、 s s r 等得估计。主要检验方法为f 检验法，下面对检验过程做简要介绍。 响应面模型的显著性检验即检验响应值y 与试验变量五，屯，x k 之间是否存 在统计学上的关系。若此关系存在，则可通过最小二乘法求出的系数向量的无偏 估计，否则1 6 式中的关系不存在，也即若响应值y 与试验变量五，x 2 ，吒之间没 有响应面模型所示的关系，则有卢。= f 1 2 = = 尾= o ， 若假设： 风：卢l = f 1 2 = = 凡2 0 对塌：f l , ，卢：，尾不全为0 ( 1 15 ) 若通过式1 15 能够得出与实际相矛盾的结果，就能推翻原假设风，也即证 明了系数向量不全为0 ，从而肯定响应面模型所表达的关系是显著的。 由前述分析，可以证明 9 响应面法在生物过程优化中的应用 ， 罂z ：( n - m - 1 ) f ，i s s ：广t z 2 ( 丹一1 ) t s s r z 2 ( 所) 其中s s e 与s s r 相互独立，于是有 f = 面而s s r 二m 面f ( m , n - m - 1 )鼹e ( 刀一m 一1 ) 、7 对给定的显著性水平a ( 一般a = 0 0 5 或a = 0 0 1 ) ，有 p ( f 艺( m ，聆一m 1 ) ) = a 由式1 2 0 可知，若f c ( 聊，n - m - 1 ) ，则可推翻原假设， 存在显著性。 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 18 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 即认为响应面模型 1 2 3 3 因素的显著性检验 在前述讨论中，若响应面模型的检验结果是显著的，对实际问题的研究才有 意义。但是在此情况下，模型中也可能存在对响应值y 影响不大的项( 及试验因 素) 。这样，就需要对响应模型中的每个项的显著性进行假设检验，即系数的显著 性检验。 假设响应面模型中的第项不显著，即卢，= 0 ，由式1 5 知，声是夕的线性组 合，所以声是m 维正态变量，且 e ( 声) = e 【( x r x ) 一1x r y 】= ( z r x ) 一1x r e ( y ) = ( x r x ) 一1 x7 e ( x 万+ 三) = ( x r x ) 。1x r x 万 = 万 d ( 声) = d 【( x r x ) 一1x r y 】= ( x r x ) 一1x r d ( y ) x ( x r x ) 一1 = ( x r x ) 一1x r d ( x f l 一+ ；一) x ( x r x ) 一1 = 仃2 r x ) 一1 = 万 所以有 房- n ( f l , ，仃2 ) ( 1 2 1 ) 其中是矩阵( x r x ) - 1 的第_ ，个对角元。于是 1 0 硕： = 学位论文 房小脚2 讪掣彳( 1 ) 所以在卢，= 0 的条件下，得到 盎2 c 2面f(1,n-m-1c ) “2 2 ) , s s e - m - 1 ) 0 、7 给定显著性水平a ，则有 尸( e 只( 1 ，刀一m 一1 ) ) = a ( 1 2 3 ) 因此，通过试验数据或查表得c 尼( 1 ，n - m - 1 ) ，则可否定假设卢，= 0 ，即说 明模型1 2 中的第，项是显著的。 1 2 3 4 模型最优值的确定 响应面分析法中，一般采用二阶经验模型对变量的响应行为进行表征： ( 1 2 4 ) 式中】，代表系统响应，励、屏、，分别是偏移项、线性偏移和二阶偏移系数， 盯是交互效应系数，是各因素水平值。为确定响应最优值( 最大或最小) ，通 常对回归方程1 1 0 关于五取一阶偏导数并令导数为零，即 ki - 1 t k 知o y = 屈+ 岛_ + 2 成五= o ( 1 2 5 ) f i = i i = lj = li - - 1 满足1 1 1 式的各疋值的组合即为最优组合。 1 3 常用的响应面分析软件 1 3 1m a t l a b m a t l a b 的含义是矩阵试验室( m a t r i xl a b o r a t o r y ) ，由于其完整的 专业体系和先进的设计开发思路，使得m a t l a b 在多种领域都有广阔的应用空 间，特别是在m a t l a b 的主要应用方向：科学计算、建模仿真以及信息工程系 统的设计开发上已经成为行业内的首选设计工具【1 5 】。 m a t l a b 提供了方便的插值( i n t e r p o l a t i o n ) 和拟合( c u r v e f i t t i n g ) 的功能 函数，m a