（信号与信息处理专业论文）水平递推声线模型及声速剖面建模与研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究海洋声场中的一种声线模型，此模型可应用于水下声纳、海 洋资源开发和海洋环境监测等多个技术领域。这种模型以声速为基础，构造海 洋中声能的传播路径、声衰减、延时等。 本文提出用b 一样条构造声速剖面的方法，克服了常规三次样条内插法对 含有较大拐点曲线内插的不是，为声线模型的构造建立了良好的基础。为了合 理地构造声线传播路径需要在声线模型中使用较为准确的声速剖面。在常规的 内插法中，如果存在有较大拐点，会使内插得到的曲线在与拐点左右相邻的两 个样点之间产生明显波动，造成曲线非单调分布，这与实际声速有很大的差异， 另外还会产生尖锐的凸起。三次样条内插虽然能较好的平滑内插曲线，但面对 波动现象只能丢弃这一个奇异样点来保证曲线整体的单调性，然而丢弃的同时 会在这个样点的位置上出现大的内插偏移量。由于b 一样条曲线可通过调整参数 来改变益线形状，因而采用b 一样条内插后，能够保持每个采样点的完整性且在 样点处无偏差，这样可以在曲线上保留每个样点而无须为了平滑曲线丢弃部分 样点，兼顾了平滑性和一致性的要求。文中通过分析研究，找到合理调整b 一样 条参数的方法将内插的曲线进行平滑，且满足了声线模型对曲线导数的要求。 本文采用沿水平方向递推的声线模型，并将其与b 一样条内插的声速剖面 相结合。在翻阅大量当今声线模型的资料后发现，采用水平方向递推的声线模 型很少，大部分是按声线轨迹进行递推。从原理上讲两者是从不同的角度出发， 得到了相似的结论，不过由于 在国内流传广 泛影响深远，后者获得的关注更多一些。一般海洋声场分析中将声速设定为深 度的函数。在此条件下，最原始的声线构造法是将声介质按深度进行分割，分 割出的分段长度由计算的步长决定。每个分段内声速为线性变化，而后按照程 函方程描绘出段内声线轨迹，段与段之间的声线在边界上按s n e l l 定律连接。 这种方法涉及分层的选取，如今为了避免分层对声线造成的偏移，一般采用在 声线轨迹坐标下展开迭代的声线算法。这种办法虽然在完全利用声速剖面上取 得了进步，然而在每次迭代后需要转换出水平坐标和深度坐标来判断是否存在 界面反射的情况。采用了沿水平方向迭代的声线算法后，每次递推后的各个元 素：传输时间、出射角、波前坐标，都与水平距离直接相关联，因而在每次迭 代后无需进行坐标转换就可以很方便的直接对照海底地形进行声线反射操作。 本文的成果包括：分析水平递推方法中对声速剖面的特殊要求，详细介绍 如何采用b 一样条构造符合导数、连续性阶数要求的声速剖面； b 一样条同时提 摘要 供了任意位置内插点的计算，这使得在递推过程中只需要计算所需深度的声速 而不必描绘出整个声速剖面，降低了计算开销；最后，本文做了水平递推声线 模型的仿真实验，本征声线提取，传播时间计算等。 关键词：声线模型水平递推b 一样条三次样条声速剖面 内插算法 a b s t r a c t t h i s p a p e rt r i e s t ob u i l dar a n g er e l a t i v er a y t r a c i n gm o d e lf o ro c e a n e n g i n e e r i n gr e s e a r c h e s ，s u c ha st h es o n a r , t h eo c e a n sr e s o u r c ee x p l o i t a t i o na n d t h e o c e a n se n v i r o n m e n ts u r v e i l l a n c e t h i sm o d e li sb a s e do nt h eb u i l d i n go fs o u n d p r o f i l e ，a n di sc o m p o s e db yt h er a yr o u t e s ，t h ea c o u s t i c a la t t e n u a t i o n ，t h et r a n s t i m e ， a n ds of o r t h t h es o u n dp r o f i l ei sb u i l db yt h eb s p l i n ei n t e r p o l a t i o nm e t h o dh e r e i tt a k e s s o m ea d v a n t a g e so v e rt h ec u b i cs p l i n ed a t ai n t e r p o l a t i o n ，a n d s u p p l i e sag o o d g u a r a n t e ef o rt h ea c c u r a c yo ft h er a y t r a c i n g i nt h eo c e a ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o na g o o ds o u n dp r o f i l em a k e s t h em o d e lm o r em a t c h e dt ot h er e a la c o u s t i cp r o p a g a t i o n t h eo r d i n a r yi n t e r p o l a t i o n sm a yt u r no u tt ob ec r u m p l e da n dw a g g l e d ，o nt h e c o n d i t i o nt h a ts o m es o u n ds a m p l e ss t a n d so nac u r v ew h i tas h a r pi n f l e x i o n t h e b u i l tc h i v ew i l lb em i s m a t c ht ot h ee x p e c t e ds o u n dp r o f i l e t h e r ei sa n o t h e rw a y t o i n t e r p o t a t et h es o u n dp r o f i l e ，t h ec u b i cs p l i n e i ti sw e l lu s e da m o n g m o s tr a y t r a c l n g m o d e l s t h ec u b i cs p l i n ew o r k sw e l lf o rc u r v ec r u m p li n gb u tc o u l dn o ta d j u s tt h e c o n v e xp a r tw e l l a ni m p r o v e dm e t h o df o rt h ec u b i cs p l i n ei st od i s c a r dt h eo d d l y s a m p l e s 。a f t e rd i s c a r d i n g ，n oc o n v e xa p p e a r s ，b u tt h ec u r v ew i l ld e v i a t ef r o mt h e d i s c a r d e ds a m p l e s t h eb s p l i n ec o u l dh e l po u to ft h et r o u b l e i nb s p l i n et h ec u r v e s s h a p ec o u l db ec h a n g e do p t i o n a ll yb yc h a n g i n gt h ep o s i t i o no fc o n t r o l l i n gp o i n t s w i t hi t se f f o r t w ec a nf i n dab a l a n c eb e t w e e ns m o o t h i n ga n di n t e g r i t yo fs a m p l e s i n t h i sp a p e r , o n ec a nf i n dt h ew a yt or e s h a p et h ec u r v eb ya d j u s t i n gs o m ep a r a m e t e r s i nb s p l i n ei n t e r p o l a t i o n a f t e ra d j u s t i n g ，t h ec u r v es a t i s f i e st h ed e s i r eo fd e r i v a t i v e r e q u i r e db yt h er a y t r a c i n gm o d e l t h i sp a p e rb u i l d sah o r i z o n t a l l yi t e r a t i v er a y t r a c i n gm o d e l ，l i n k e dw i t ht h e b - s p l i n ei n t e r p o l a t i o n s o u n dp r o f i l e i nm o s tr a y t r a c i n gm o d e l s ，t h ei t e r a t i v ei s m o s t l vf o l l o wt h ed i r e c t i o no ft h ew a yt h a tt h er a yt r a v e l e d ，a n dl e s so f h o r i z o n t a l i t e r a t i o n t h et w oi d e a sd e d u c et h er a y t r a c i n gf r o md i f f e r e n tv i e w s ，b u td r a w s i m i l a r c o n c l u s i o n b e c a u s eo ft h ew e l ls p r e a do fab o o kn a m e d i n t e r i o r l y , t h ef o r m e rh a sb e e nw e l ls t u d i e d i nt h e o c e a ne n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s ，t h es o u n dp r o f i l ei ss u p p o s e dt ob ed e p t hr e l a t i v eo n l y u n d e rt h i s c o n d i t i o n t h ep r o f i l ei sa l w a y sd e l a m i n a t e di nd e p t hf o rs i m p l ec a l c u l a t i o n ，t h e r a y t r a c i n gi st h e ni o i n e df o l l o wt h es n e l ll a w t oa v o i dt h eb i a si n t r o d u c e db yt h e s t r a t i f i e ds o u n dp r o f i l e ，t h er a yt r a v e l i n gt r a c i n gm o d e lt a k e st h ep l a c eo f s n e l ll a w a b s t r a c t t h o u g hi tm a k e st h em o s tu s eo fs o u n dp r o f i l e ，i tn e e dt a k ec o o r d i n a t e st r a n s f o r m i n g a f t e re v e r ys t e pt of i n di ft h er a yh a st o u c h e dt h eb a t h m e t e r y b y u s i n gt h e h o r i z o n t a l l yi t e r a t i v er a y t r a c i n g ，e v e r ye l e m e n to fw a v e f r o n ti ss c a l e db yh o r i z o n t a l c o o r d i n a t e o n ec a ne a s i l yf i n dw h e r et h er a yt ot o u c ht h eb a t h m e t e r ya f t e re v e r y s t e po fi t e r a t i o n t h ew o r kd o n ei nt h i sp a p e ra sf o l l o w s ：ar e q u i r e m e n ta n a l y s i so fh o r i z o n t a l l y i t e r a t i v er a y t r a c i n gm o d e l c o m e sf i r s t t h e n ，t h ep a p e rd r a w st h ed e t a i l so fb u i l d i n g s o u n dp r o f i l eu s i n gb - s p l i n et of u l f i l lt h er e q u i r e m e n to ft h em o d e l a + m e t h o do f h o wt of i n das o u n do nt h ep r o f i l ef r o mag i v e nd e p t hi si n t r o d u c e dh e r e i tc a nh e l p s a v i n gal o to ft i m et oc a l c u l a t er a y t r a c i n gu s i n gt h i sm e t h o d a tl a s t ，e m u l a t i o ni s s h o w e d i nt h i se m u l a t i o n ，t h eh o r i z o n t a l l yi t e r m i v er a y t r a c i n gm o d e li sf i r s t l yd r i v e n b yb s p l i n ei n t e r p o l a t i o ns o u n dp r o f i l e ，s h o w i n gt r a v e l i n gt i m e ，e i g e n r a y t h e nt h e r a y t r a c i n go nt h eb a s eo fc u b i cs p l i n es o u n dp r o f i l ei sc o m p a r et ot h eb - s p l i n e s ，a n d p r o v e dt h el a t e rw o r k sb e r e r t h a nt h ef o r m e ri nt h er a y t r a c i n gm o d e l k e yw o r d s ：r a y t r a c i n gm o d e l ，h o r i z o n t a li t e r a t i o n ，b s p l i n e ，c u b i cs p l i n e ， s o u n dp r o f i l e ，i n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：趣拯 签字日期：上型簟丝 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 ， 回公开口保密( 年) 作者签名：童生鱼导师签名：立堇毖 签字日期：竺：翌：兰：三! 签字日期： 第l 章绪论 1 1 声线模型的研究背景 第1 章绪论 在海洋工程研究中，常用的声学模型有如下五类：声线模型、简正波模型、 快速场模型、抛物线模型、多途扩展模型。它们是在对波动方程进行一定程度 的近似得到的针对不同频率、不同距离、不同参数选取、不同目标函数的模型。 声线模型是从几何声学上考虑进行的近似，它认为在传播过程中即便是有声能 衰减但并不影响声线的存在。声线可以直观、形象地描绘出声场中能量的传播 路径，是研究声场中的一种重要方法。 声线模型很早就应用于水声学的研究当中，在上世纪6 0 年代的时候，声线 模型是和简正波模型同受瞩目的研究手段，因为在当时计算复杂度的限制导致 简正波无法更深入地进行研究。现如今，随着计算机计算能力的极大提高，后 者在对场精确描述的优越性使得其更加得到青睐。然而，复杂度问题并没有随 着计算能力的提高而得到充分地解决。声线模型在计算速度上的优势使得在需 要交互分析的领域，例如多参数的匹配场分析中依然占据着主导地位。当今正 在兴起的水声通讯研究中，水声信道的复杂多样使研究者面临着巨大挑战 ( n i c h o l a sr ，e ta l2 0 0 8 ) 。从传播介质多样性、多变性到传播多径，都对信 号的分析过程带来很大影响。用声线模型分析声能的传播，可以抓住声能传播 的主要部分，相应计算传播损耗，传播延时，从时间和空间上解决声传播问题。 在如今应用较为广泛的匹配场处理问题当中，声线模型有着很重要的地位。 在浅海环境中，海水声速剖面和海底声学参数对声波的传播起着决定性的作用。 对于声速的反演，采用声线模型是一种最直接的手段，它不考虑声波频率，以 声速及声速一阶导数为参量直接参与声场中能量传播的刻画。因而在初步拟合 海底地形结构、沉积层厚度分析、沉积层声速拟合上，有时先采用声线模型对 最敏感的声速进行反演来优化目标函数，这样做可以降低计算复杂度。 另外，声线模型中还涉及了声线在不同介质中的反射透射，因而可以通过 不同声线的衰减状况来对介质层的折射率n 进行估计。在声线模型中，声线的 行程是明确的，在剔除了行程能量损耗之后就可以得到在沉积层中声能损耗状 况。 1 2 声线理论概要 第l 章绪论 在海洋声学中，声线理论借助直观、计算简单的特点得以广泛应用。对于 一个声传播的过程，可以将它理解为声波的能量沿着某一个特定的几何路径， 通过一定形状的几何面向外传播。这里引入波阵面定义：在某一时刻t ，声场中 存在一些具有相同振动相位的质点，它们的空间坐标集合构成的面被称为波阵 面，或等相位面。声波的能量便是通过波阵面向空间传播的，而传播的方向是 沿着波阵面上的法线方向，因而实际上声能量的传播路径为波阵面上的法线轨 迹，声线也就是垂直波阵面的射线。 在传播的过程中，传播介质的特性影响了传播路径的选择。在声传播的研 究中，声线这种选择的规律可以用光线理论中应用的s n e l l 定律来解释。在对光 波的研究中，人们最先提出射线理论并依照s n e l l 定律进行分析可以追溯到1 6 2 6 年，而实际上基于m a x w e l l 方程的波动理论所进行的更基础的研究己到了1 9 世纪，此时的光线模型已是波动方程的简化，虽然外形上依然有“射线 的形 状，但同时被赋予了能量、相位等信息。同样，声场中的声线模型也是起源于 s n e l l 定律。但s n e l l 定律应用背景为非连续介质，这对连续介质声场，例如海 洋环境，来说基本无法使用。因而需要从波动理论上推导出连续声介质适用的 声线方程。 声波的能量起始于声源，在空间中声能是沿着声线透过的波阵面进行传 输，从声源出发的所有声线在接收点上的能量是各条声线传播到接收点处的声 能叠加。为了确定能量的传播来源以及传播的量，需要确认声线的行程。另一 方面，每条声线所携带的能量在传播路径上会产生衰减。所以声线理论需要得 到描述声线走向的方程，以及声能量随着声线传输时所服从的方程，前者被称 为程函方程，而后者被称为强度方程。 1 2 1 程函方程 在声线的构造中程函；h - 程占据了重要的地位。在连续介质中声波的传播服 从h e l m h o l t z 方程，其在频域的表达x - 默j ( j e n s e n ，1 9 9 2 ) ： 妒p + p 一砸训 ( 1 1 ) 其中t 是声源所在坐标，c ) 是为声速p 为声压。由此方程推出声线方程需要 从h e l m h o l t z 方程的解入手： p 。喜筹 2 ， 这个解是一系列频率声线的集合，又成为声线集，对声线集求x 的导数，生成 2 第1 章绪沦 一系列同阶角频率删的等式组。取其中的2 阶等式，即将声线集做到二阶近似 的情况下，有如下关系： 1 f 乳1 2 2 赢 1 3 ) 其中_ r 为声场中质点振动的相位，这一等式又被称为e i k o n a l 方程，它描述了声 线传播的轨迹，实际上就是一种程函方程。引入声线传播的自由坐标系，e i k o n a l 方程将变成一个简单的线性微分方程。声线沿波阵面行进，即等相位面按定值 i v r l 传播。同时v r 为一个梯度矢量，它与等提位葱正交。将e i k o n a 方程变换 到自由坐标系下，需要建立弧长微量倦和笛卡尔坐标的关系； 宰：c v f( 1 4 ) 础 这里的c 暂时定义为一个归一化系数使得d , v d s 织一化到单位长度，将上式两边 平方后可以发现和e i k o n a l 方程达到了一致。为了得到声线的实际轨迹方程对 x 图1 j 声波波前示意图 ( 1 4 ) 式进行弧长微元的求导得到： 旦怛蚓：旦f 塑1 - 塑垒+ 盟塑 d s icd s jd s i 觎j锹2d s叙a ) ，西 再将( 1 ，4 ) 代入等式左边得到： 鲱d st , c 球d s ) 恪氛0 2 ro r ) = c 尜+ 酬 将中括号中的部分用e i k o n a l 方程替换后则有： ( i ，5 ) ( 1 ，6 ) 第1 章绪论 罢【! c 查d s 卜三杀【爿c = 一专塞 n 乃 一t 一一t = 一一l l = 一 i ，l 凼lj2 觎i 2 j c 2 苏 ”7 这样就建立了声线自由坐标系弧长微元和笛卡尔坐标系微元的微分关系，由此 可以拓展到声线的矢量方程： 丢b 塑卜j , 剐of c 2 j , d s = 一与c v c ( 1 | 8 ) 一l 一一i ；。 = 一 v c 1 1 矗 凼lcj2 出i c 2j 2 ” 在海洋声场中一般采用柱坐标系，同时假定在不同角度坐标下如果空间点拥有 相同的水平坐标和深度坐标，则这些点处于同一波阵面上。此时在构造声线的 过程当中可以不考虑角度的问题。从( 1 8 ) 式可以写出柱坐标( ，- ，z ) 下的声线轨迹 方程组： _ d r a s = ) ，攀a s = 一吉李a rc 去= c f c 咖警= 一吉老 n 9 ， d sc 谯c c l z 上式中为了将方程写为一阶形式引入中间变量f ( j ) ，f ( j ) 。一阶的好处是在数值 计算中的运算量要明显低于二阶，同时一阶导数表达式清晰实现上简单易于纠 错。递推过程中涉及的变量包括本地声速c ，距离和深度上的声速一阶导 d c l d r ，d c l d z 。递推的步长幽没有定量要求，可以根据需要自行选择。 要指出的是，在实际计算时需要给出初始值才能进行递推。初始值包括声 源坐标( ，z o ) ，声源处声速，声线初始出射角o o 代入( 1 9 ) 中构造出初始条件 为： ，：吃，喜0 c o s 6 1 0 岛 z ：z d ，厶：s i n o o( 1 1 0 ) 这里面临出射角选取的问题。在匹配场拟合的应用中，声线的出射角选取并非 是固定的，特别是在多径的情况下。如果存在多径效应，那么实际上两根出射 角相差很大的声线经不同路径会到达相同的接收区域，这一点在后文的仿真实 验中可以看到。因而在应用中，例如声源定位，需要对半平面内的所有出射声 线进行追踪，此时需要选择的是出射角间隔。在探测海底地形的应用中，如果 声源带有指向性，那么出射角可以选在其主瓣内来进行声线追踪。总之，出射 角的选取和应用背景有关，而在理论上没有约束。 1 2 2 强度方程 4 第1 章绪沦 在声线模型中声能被认定沿着声线进行传播，那么声能的强度由声线的密 集程度来表征。空间某处声线密度越大意味着能量越集中，即单位时间内通过 单位波阵面面积的能量越大则声强越高。引入一个矢量7 来表示空间声场强度， 它的方向与声线方向厶一致，它的模表示对应空间坐标点的声强。在物理意义 上，场强与振幅因子么的平方成正比，对于声线模型来说又和声线疏密有关， 反映到相关物理量上即声强和折射率即成正比，再引入单位常数k ，可以得到： ，= a 2 n k t o ( 1 1 1 ) 另一方面能量的传播涉及到波动概念，结合波动方程和它的一般解可以碍到： v 7 a 一劈彳( v f ) 7 + 鳄n 2 a + i 2 k o v a v f + k o a v e r l = d ( 1 1 2 ) 其中心是波数。将( 1 1 2 ) 式中的实部虚部分别单列，可以得到： 俨肛制乳) 2 + k o n a a = 0 v r l 2 一嘉卅2 划 ( 1 1 3 ) 2 k o v a v r + k o a v 2 r = 0 令2 v a v r + a v 2 f = d 号v ( 么2 v s 卜0 ( 1 1 4 ) 如果式( 1 1 3 ) 满足v 2 a 么碍，即满足声波线性模型的要求，它和e i k o n a l 方程 是一致的，也就是( 1 1 2 ) 式的实部代表了程函方程。对于虚部，将( 1 1 1 ) 代入( 1 1 4 ) 可以得到： v r o = 0 【1 1 5 ) 这意味着声强场为一管量场，它无源无漏，如果一个声源以起始角o o 向空间发 射声线，声线包含在d q 的立体角范围内，那么声源辐射的声能也全部集中在 以立体角d q 为界的声线管内。 r 4 n刃 ，_ - _ 一 毛卜一 ( a 二 z ， 图1 , 2 声线管示意图 第l 章绪论 射出的角增量为a a o ，以a o o + a o 为内截面。它们所包含的空间立体角是d q 。 d q ：2 x r c o 面s o o r d o o ：幼c 。s 岛织 ( 1 1 6 ) 州力胛蚓岍s i n 耿力 ( 1 忉 讹垆丽w o f l2 耩2 赫m 1 8 ) 1 3 本文的研究内容 本文第2 章描述了在以水平递推的声线模型的建立，包括原理分析、与s n e l l 定律的关系分析、对声速剖面的要求。第3 章为本文的重点，其中介绍b 样条 内插法构造声速剖面的过程。由于声速剖面对声线模型构造有着重要的影响， 因而在构造声速剖面的时候力求精准，尽可能地表征声速抽样点所涵盖的信息。 在此章节中详细介绍了按照声线模型要求对曲线参数的选择，按照期望对曲线 形状的调整方法，计算任意深度对应声速的方法。在第4 章钟比对了b 样条、 三次样条内插法的内插效果。在第5 章中介绍声线模型中的损耗问题。第6 章 将综合前几章的内容，完整展示声线模型的应用实例，以及不同内插方法生成 的声速剖面对声线模型的影响。第7 章对全文做一总结，并对水平递推声线法 的发展做一展望。 第2 章水平递推声线模型 2 1 声线模型概述 第2 章水平递推声线模型 现如今对声传播问题已经有简正波、参数方程、几何声线追踪等多种模型， 其中有些方法以建立全波概念下的本征声线管为目标。这种考虑启发人们在高 频占据主要成分的声传播研究中，用几何声线法描述的波前传播较为快速有效， 同时对低频声波传播特性的研究能起到指导参照的作用。声线法的思路是排除 声源的频率和带宽影响，仅从环境参数、收发几何位置等具体情况来生成波前， 构造从同一个源点出发到达相同接收点的多条具有不同出射角的声线。其中波 前是指：以出射角为自变量以声线的深度、到达时间、接收端声线角为因变量 的一条声线。声线模型以声速为输入参数，精准计算声线的路径构造尽可能平 滑的波前，它可以用来计算声线集在远距离处的近似解。其重点是建立以声速 剖面、地形线为输入，计算多径声波能量的传播模型，确立指定的源点和接收 点之阎声能的传播路径。 2 2 理论推导 与从波动方程出发推导声线解有所不同，水平递推的声线模型是由 f e y n m a n ( 1 9 6 5 ) 理论推导出的，其内容如下：声线在传播中产生的任意一类微小 扰动，在整个传播时间内积分为零。其中任意的扰动可以是声线的任意属性。 它可以是福位、幅度、坐标偏移等。引入一个声线位置的微小扰动6 ，写成积 分表达式为： 口= f6 d t = 0 ( 2 1 ) ， 在声线中引入折射率的概念砟= d t d s = 1 1c ，其中出为沿声线的单位弧长，f 为 声速，f 为时间量，折射率从一个方面反映了声介质的传播特性，从物理意义上， 它暗示着声线传播将以最短的时间在介质中传播尽可能长的距离。将其代入( 2 1 ) 中得到： 万r = f8 n d s = j ( 8 n , + n s ，) d s ( 2 2 ) 其中正是扰动在弧长上的分量，刀，是折射率在弧长上的变化分量。考虑到弧长 微元与笛卡尔坐标下的微元有这样的关系：d s = 似。止；) 2 ，其中l 表示笛卡尔 坐标系下任意一个方向矢量，这样就可以将笛卡尔坐标转换到以声线为参照的 自由坐标系中： 第2 章水平递推声线模型 8 d s ：姚如倒：拿万譬西 ( 2 3 ) q sc l s 将( 2 3 ) 代入( 2 2 ) ，同时折射率写成的分量= x s o n 氓，此时可以将( 2 2 ) 式在一个笛卡尔坐标下五分量上展开为： 万歹= ，( 艿强+ 憾泌= ，( 如安+ 以鲁6 - 鲁s ) d s ( 2 q 另一方面，通过分步积分将沿曲线的微小量转为笛卡尔系下的微小量： 丢 妄氓) = 如旦d s 警) + 嚎万害 ( 2 5 ) 将( 2 4 ) 代x ( 2 5 ) 整理得： 卯= j f 如毒州忑d 。- 塞6 x j m i d ( ，z ， = ，如( 罢一丢伽鲁 ) 西+ 嗉如 一 考虑到刀譬如是微小量，可以将最后一项忽略掉而对( 2 6 ) 式进行化简。现在回 头考虑对于任意的变化量子要求( 2 。1 ) 成立则必须有： 娶：旦加鸟 (27)d 融：s d s 7p “7 将右边展开，然后调整一下位置得到： 粤d s = 旦n o x , 一生d s ( 生d s 去) ) 一= 一一i i f ，x l 。 、 胛如。7 、。 考虑二维坐标下的声线，水平矢量r 垂直矢量三声线与水平夹角0 的关系为： 塑：；s p + 三s i0c0 r l = ，s 十z sl z 9 ) 将置替换成秒，将( 2 ，8 ) 式按照0 展开得到： 杯( 一；s i n 秒+ ；c 。s p ) 掣 ：；瓦o , ，；0 沈n 一( ；c 。a 。s 乡+ ；。i n 矽) ( c 。p 雾+ s i n 臼o 出n ) q j 这个矢量方程包含了两个分量。为了得到声线按水平方向传播的表达式，可以 取其中包含，的项： 一心n 曰警= 害一c 。s 郇。s 秒害+ s i n 噻，= 窑s i n 2 目+ c 。s 觚n 矽塞 = 争 第2 章水平递推声线模型 捍d o ：妻s i n 口+ 罢c 。s 0 ( 2 1 i ) 捍 = s l n + 一c o s l z 1 i l d s 研8 z 、 又由d o ( i s = c o s o d o d r 以及锄n = 0 ( 1 c ) ( 1 c ) = 一o c c ，有 - - d o d r = 去c u 俨宴c o z 一【一塞) r ld r d z7 这就是水平递推模型中的关键公式，从中可以看到声线相对水平方向的夹角随 声线的推移将正比于折射率，但同时又和声速的水平梯度和深度梯度有关，对 于整个递推过程来说，声速和声速一阶导数是必须存在且有限的。另外递推中 还需要用到坐标变换的简单关系出d r = t g o 。为了后续工作的方便，最后在模 型中加入声线传播时间的计算。在一个递推单元内，传播路径d s = 西c ，而从 上图的几何关系可以知道d s = d r c o s 0 。则d t = d r ( c d o ) 。最终得到水平递 推声线模型方程组： ， d oo ca c d r2 面t g o - 瓦 _ d z ：t g o( 2 1 3 ) mlj 。一 d rcc o s 曰 尸 图2 1 单根声线示意图 而在声速是仅为深度的函数时，( 2 1 3 ) 式第一个等式改写成掌：一娶： d rc d z 9 第2 章水平递推声线模型 d oo c d rc a z _ d z ：t g o( 2 1 4 ) a ， d tll d r cc o s p 对于递推的每一步，需要记录的变量含有：水平夹角9 ，下一步夹角增量 d 护，当前深度坐标z ，当前时间累计量f 以及当前水平坐标，。递推过程中将 这些变量都作为上一步水平坐标的函数。对于声速的引用采用间接方式： 通过当前水平坐标，对应的深度z ，在声速剖面中找对应的声速。递推的初始值 包括：声线初始射角岛，声源处声速，声源处声速导数己，水平步长，。 2 3 声线模型的计算 2 3 。1 三角前向展开法 求解声线方程的方法有两类方法。第一类方法采用一个拥有简单声速分布 的三角微元区域，在这个区域内展开声线追踪，得到声线轨迹方程以及相关参 数。这类方法被称为三角前向展开法。下面介绍在声场计算中常用的一种三角 展开方式，它建立在s n e l l 定律的基础上，假设空间三点构成的三角区间内声速 为线性变化：c ( x ，y ) = c ，x + c y y + c o 。在选定了声线入射点和入射角后，按照预 定的声线轨迹步长进行递推。三角展开方法中声线的轨迹如图2 1 所示。其中 ( ，) 、( ，y 一) 分别对应声线的入射位置和入射声线方向矢量与底边的交点， 它们对应着等腰三角形的顶点和底边中点。( 4 ，彳。) 为三角单元内声线的初始方 向矢量，h 为沿着声线轨迹的一次递推步长。这样( ，y a ) 和声线的底边顶点 ( 葺，m ) 、( 恐，y 2 ) 的坐标分别表示为： ( ，y a ) = ( + 4 h ，虼+ 彳，h ) ( ，y 1 ) = ( 硝+ 么，t 2 ，n 一4 t 2 ) ( 2 1 5 ) ( 恐，儿) = ( x , 4 4 ，t 2 ，y a + a x t 2 ) 在推导中x 的方向始终沿着波阵面的法向，而y 的方向始终与波阵面相切，为 了引入( 而，m ) 、( x 2 ，儿) 两点的声速，需要将坐标转换到，一z 平面来寻找相应的 声速c 。假定对应的声速为q ，c 2 ，由线性声速分布可以得到： 第2 章水平递推声线模型 ( 而，m ) c 2c i x 砸+ c y y 油+ c o q2 乞五+ 0 乃+ c 22q 屯+ 0 此+ c o ( 黾，)y ( 2 1 6 ) 图z 2 三角前向展开图 解这个方程组可以得到三角区域内的声速系数： l q = ( c l c 2 ) 么。t + ( a + 厶一2 q 。) 4 ( 2 h a , y、i6 ) 1 勺：( c 2 一q ) 4 丁+ ( c l + 吃一2 ) 4 ( 2 ) 亿1 7 ) 经过一系列推导可以得出声线在三角区域内的轨迹为一个圆弧，圆的半径为 只= r ( c l c 2 ) ，圆心在( x o ，( - c ，x o - c o ) c ，) ，同时圆心落在声速为零的直线上： c ，x + c y y + c o = 0 ，这样就可以推出其中的。 声线在三角形底边上的出射位置 1 d = h 2 了；专 ( 2 1 8 ) r + 火一h 其中d 是声线与底边的交点到底边中点的距离。为了确定声线出射方向，再定 义一个与声线入射方向矢量正交的方向矢量( z ，m ) = ( 一4 ，4 ) 。则声线出射点方 向矢量为： 这样就确定了在三角区域内声线的轨迹以及递推所需的声线的节点坐标和声线 4 4 志赢 最 髟 第2 章水平递推声线模型 的节点方向。 另外需要计算一下声波传播的重要参数，传播时间。这是因为传播时间关 系到声波相位计算，在讨论声波干涉时不可或缺，另外在多径分析中也是声波 模式识别的一个重要参数。假设入射点上声线与水平夹角为q ，在出射点上声 线与水平夹角为0 2 ，那么波阵面的传播时间 虻j f 易e , e , c r 。d 目o ，。f o i r v d o 霸 ：喜k 型 2 丽i 砌五面 ( 2 2 0 ) 整个声线的传播时间由每个三角单元传播时间的叠加而成。至此完成了三角法 的一整套计算。 2 3 2 微分方程数值解法 第二类方法采用积分法，采用微分方程的数值解法将递推公式一步步迭代 下去，例如采用龙格库塔积分法。在获得初始条件的情况下使用龙格库塔法， 在给定的边界条件下按照声速剖面作为重要的输入进行计算。这种方法也被称 为直接积分法。本文将采用龙格库塔法直接积分法对声线进行追踪。龙格库 塔法是将函数进行泰勒展开，保留一定阶次项( 到2 阶或4 阶) 而对一阶导数 进行近似，通过这种方法来解微分方程。 对( 2 1 4 ) 式的关系采用龙格库塔法可以按照固定水平方向步长来迭代得到 声线的轨迹。 其中，为步长，龙格库塔系数为： k l = t 9 8 n 7 心= t g ( o + 专a r l l k 3 = t g ( 8 n + 之心l 2 k 4 = t g ( o + 心l i i = 丁( 乙) 乞= 聊。+ 雠，) 1 3 = t ( z n + 之厶r k 0 q 2 2 ) 1 4 = 醌+ a r k s ) 酢卜箍 通过如上的计算便得到了每一步的出射角和深度坐标。对于传输时间，可由( 2 1 4 ) 一 k + j 夸 “ 豚 汁 托 弘 磁 t 0 即 什 缸一6缸一6 第2 章水平递推声线模型 中的第三等式直接带入相应的值计算得出，不需要在递推过程中再加一项。和 三角展开相比较，直接积分法将微分方程直接展开进行数值计算，无须三角展 开中那样对坐标进行变换来保证声速剖面和海底地形线的引入，也不需要进行 方向矢量的纪录。三角展开的方法适用于一般的按声线弧长递推的声线模型， 而直接积分法可适用于弧长递推也适用于水平递推。从实现上来讲，直接积分 法与水平递推法相结合消除了计算上坐标变换的开销，同时保证每个变量在递 推过程中完全与水平坐标直接对应。 在水平递推的龙格库塔法中，本地声速以及声速一阶导数的选择是一个重 点。一般来讲，海洋声速剖面要么是假定的线性分布或者二次曲线分别，要么 需要从手头上的声速样点进行内插，在实际中后者在应用需求上更为突出。因 而声线模型离不开声速剖面的构造。另外从( 2 2 2 ) 来看，声速剖面所带来的误差 较之数值近似的误差更大，因而合理的声速剖面构造法尤为重要。 2 4 界面匹配 2 4 1 水平递推模型与s h ei i 定律 声线在海洋中的传播由三个部分组成，在海水这种声速连续变化的声介质 中传播占主要部分，其次是海底介质私海水交界层的反射折射，再次是海水表 面的反射。对于海洋表面，由于海浪的缘故使得反射面不再是水平的，造成本 应完全反射的声线出现偏移。风速、浪高对偏移都有很明显的影响。对于射线 模型来说，海洋表面的反射过于复杂，一般来说都认为海洋表面的反射为全反 射：轨迹相对法线对称。另外，由于声线模型是一种全波分析的方法而不考虑 频率影响，故而由风浪造成的海洋表面反射这种对频率依赖很大的因素不宜引 入。 在海底反射中，由于海底地形线较为稳定且有规律可循，因而可以进行定 量分析。声线模型中都会引入海底地形线作为海底分析的输入数据，由于海底 的倾斜角存在，故而反射应根据声线与地形线交点处的斜率定出法线并计算出 入射角而后根据s n e l l 定律进行声线在分界面上的传播分析。由于要用到s n e l l 定律，那么要求声线模型中声线的传播应该能够符合s n e l l 定律。现在来分析一 下按水平递推的声线模型和s n e l l 定律的关系。 从( 2 1 4 ) 式的第一个等式看，在水平无关的情况下出射角目的增量仅与本地 声速和声速一阶导楣关。如果采用分屡声速，显然存在声速一阶导的不连续闳 题。而当声线行进到海底时，这里存在着更极端的情况：声速出现不连续。在 第2 章水平递推声线模型 处理介质分界面上声线的传播特性时，采用的s n e l l 定律可以描述成： cc + d e 2 g ( 2 2 3 ) 其中c 为声速，够是