（应用数学专业论文）具有非线性恢复力和外力激励的duffingvan+der+pol系统的复杂动态.pdf

摘要 本文应用动力系统的分支理论，二阶平均方法，m e l n i k o v 方法和混沌 理论，研究带非线性恢复力和外力激励的d u 伍n g - v hd e rp o l 方程随系统参 数变化的复杂动态行为，我们给出了谐波介和其分支存在的条件，以及在 周期扰动下系统产生混沌的准则，也给出了在她= 删l + e n = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 的拟周期扰动下平均系统产生混沌的准则，数值模拟验证了理论结果正 确性，而用平均方法不能给出在u = 删。+ e ，n = 6 ，8 ，9 1 5 ( 这里u 。与 不为有理数) 的拟周期扰动下产生混沌的准则，但数值模拟显示了原系 统出现混沌同时，用数值模拟( 包括同宿和异宿分支曲面，动态分支图， 最大l y a p u i l o v 指数图，相图，p o i n c a r e 百映射图) 发现了许多新的复杂动 态我们发现周期倍分支和来自周期一和周期三轨的逆周期倍分支到一 个混沌吸引子或到两个分离的混沌吸引子，混沌行为和周期窗口的交替 出现，混沌的突然出现和突然收敛到周期二轨，带有复杂周期窗口和不 带周期窗口的大范围混沌区域，不带周期窗口的不变环，具有复杂不变 环的混沌区域以及内部危机本文研究具有非线性恢复力和外力激励的 d 皿n g v 觚d e rp o l 方程是前人未研究过的，这研究将丰富动力系统的内 容，并具有一定的应用前景 全文共分三章第一章是关于连续动力系统的分支理论、二阶平均方 法、m e l n i k o v 方法与混沌理论的预备知识。 第二章简单介绍了d 墟i n 哥v | 觚d e rp o l 方程的一些历史背景知识 第三章应用二阶平均方法和m e l n i k o v 理论研究具有非线性恢复力和 外力激励的d u 伍n 分v a nd e rp o l 方程，给出了谐波介和其分支存在条件以及 周期扰动下系统产生混沌的准则，也给出了在u = 删。+ 姒n = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 的拟周期扰动下平均系统产生混沌的准则，而不能给出在u = 删。+ 叱佗= i 6 ，8 ，9 1 5 的拟周期扰动下产生混沌的准则，但数值模拟显示了原系统出 现? 昆沌，用数值模拟我们给出十个系统参数变化时系统动态的变化。 关键词：d u 伍n 争v 觚d e rp o l 方程；m e l n i k o v 方法；二阶平均方法；分支；谐波 介；混沌 a b s t r a c t t h ec o m p l e ) ( d y n a m i c 出b e h 捌o u r sa st h es y s t e m sp a r a m e t r i c sv a r i n gi nd u 伍n 分 v 抽d e rf o le q u a t i o nw i t hn o n l i n e 盯r e 8 t o r i n ga n de x t e r n a le x c i t a t i o i l sa r ei n v e s t i - g a t e db yu s i n gb i f u r c a t i o nt h e o r y ，s e c o n d o r d e ra v e r 孵n gm e t h o d s ，m e l n i k d vm e t h - o d sa n dc h a o t i ct h e o r y w op r o 、，et h a tc o n d i t i o n so fe ) d s t e n c eo fh a r m o n i za n d i t 8b i f u r c a t i o i l 8 a n dt h et h r 到1 0 l dv a l u e so fe 妇t e n c eo fc h a o t i cm o t i o nl l i l d e rt h e p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n b y 印p l y i i 培t h es e c o n d - o r d e ra e r a 百n gi n e t h o da n dm e l - n i l 坨此l o d ，w ep r o v et h ee r i t e r i o no fe 妞s t e n c eo fc h a 0 8i na v e r a g e d8 y s t e mu n d e r ( 1 u 嬲i p e r i o d i cp e r t i l r b a t i o nf 6 r 屹= r w l + e 王，扎= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 ，a n dc 舭l n o tp r o v e t h ec r i t e r i o no fe ) 【i s t e n c eo fc h a o si ns e c o n d - o r d e ra v e r a g e ds y s t e mu n d e rq u a u s i p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o r “忍2 优j 1 + e 正，礼= 6 ，8 ，9 1 5 ，w h e r eu 1i sr a t i o n a lt op ， b u tc a n8 h o wt h eo c c u r r e n c eo fc ：h a 0 8i no r i 舀n a ls y 8 t e mb yi m m e r i c a ls i m u l a t i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o i l si n c l u d i i 培h e t e r o c h n i c 粕dh o r n o c h l l i cb i f u r c a t i o n8 u r f a c 皤， b i f h r c a t i o nd ia | 旷a 肛培，l y a p u 】1 0 ve x p o n e n t ，p h a s ep o r t r a l i t sa n dp o i n c a r e 琶m 印，n o t o i d y8 h a wt h ec o 璐i s t e n e ew i t ht h et h e o r e t i c a la n a 驷i sb u ta k 劬i b i ts o m en e w c o m p l e x 奶m 锄i c s w ef o u n dt h a tp e r i o d i cd o u b l i n gb i f 证c a t i o na i l dt h er e v e 髑e d p e r i o d i cf r o mp e r i o d - o n e - t h r e ed o u b l i n gb i f u r c a t i o n1 e a d i n gt oc h a o s ，a n dt h ei n t e r - l e a 历n go c c u r r e n c e 8o fc h a o t i cb e h a 历o r sa n dp e r i o d i cw i n d 噶，t h eo n s e to fc h a o s a n dc h a o ss u d d e n l yc o i l 、r e n t i n gt op e r i o d i c t w du b i t s ，t h el 舭g ec h a o t i cr e g i o i l sw i t h c o m p l e xp e r i o d - 丽n d o w 8a n d 而t h o u tp e r i o d - w i n d o w s ，t h ec h a o t i cr e 酉o u s 祈t hc o m - p l e xi n v a l r i a 】砖t o r u s ，t h er e 舀o no fi d v a r i a n tt o r 璐w i t h o u tp e r i o d - w i i l d o w s ，a n d 缸l e i i l t e r i o rc r i s i s t h ep 印e rc o i 塔i 8 t 8o ft h r e ec h a p t e r s ，a 8t h ef 0 1 i o w i n g ，c h a p t e r1i 8t h ep r 印印 r a t i o nk n o w l e d g e ab r i e fr e v i e wo f8 e c o n d - 0 r d e ra ：v e r 皤i 培m e t h o i l sa n dm e l n i i 。o v i n e t h o d s ，e h a 0 8a n ds o m er o u t e st oc h a o sf o rc o n t i n u a ld y l l 锄i c a ls y s t e mi sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w eb r i 胡yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dl l i s t o r i 鹤o fd u 伍n g i i i d u 伍n 分v a nd e rp o le q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yd u m n 争v a nd e rp 0 1e q u a t i o n 埘t hn o n l i n e a rr e s t o r i n ga n de ) ( t e r n a le x c i t a t i o i l s w ep r o 、，et h a tt h ec o n d i t i o 璐o fh a r m o i l i za n di t sb i - f u r c a t i o n ，a n dt h et h r e 8 h o l dv m u e so fe ) ( i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o nu n d e rt h ep 争 r i o d i cp e r t u r b a t i o n ，a n dt h ec r i t e r i o no fe ) 【i 8 t e n c eo fc h a o si na _ v e r a g e ds y s t e m u n d e rq u a s i p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o rl ，= 礼l 一1 + e 王，n = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 ，a n dc a i 卜 n o tp r o v et h ec r i t e r i o no fe ) 【i s t e n c eo fc h a o su n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o r “龙= 似一1 + e 工，n = 6 ，8 ，9 1 5 ，b u tc a ns h o wt h eo c c u r r e n c eo fc h a o si no r i g i n a ls y s t e mb ym l m e r i c 址s i i n u l a t i o n w ef i n dm a n yn e wc o m p l e xd y n a m i c 8 嬲t h e t e n - s y s t e m sp a r 锄e t r i c sv | a r i n gb yn u m e r i c a l8 i i i m l a t i o n k e ”r d s ：d u 伍n 皆v a nd e rp o le q u a t i o n ；m e l n i k o vm e t h o d s ；s e c o n d - o r d e ra v e r - a g i n g l e t h o d s ；b i f u r c a t i o n 8 ；h a r m o n i z ；c h a o s 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声呱所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：蠹和 j砷年6 月三日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打 ) 作者签名： 导师签名： 矿， 吨毒嫡 干何君 ， 日期：叩年石月2 日 j 嗍d 7 年汨z 日 具有非线性恢复力和外力激励的d u m n 分v a nd e rp o l 系统的复杂动态 1 预备知识 动力系统是描述动态行为随时间和参数的演化而变化的系统近四 十年非线性动力系统理论有了很大的发展，并且广泛地应用于物理，化学， 数学，生物，医学，经济以及各种工程学科目前动力系统理论中分支理论 和混沌理论已成为活跃的研究领域并且其中有许多挑战性的问题需要我 们去研究 下面给出动力系统的一般性概念：考虑舻中的常微分方程( 组) 圣= ，( z ) ， 其中，z = ( z - ，z 。，z n ) t 形是n 维向量，表示系统的状态，而右端函数 ，：研一舻是伊向量场，l ，它由系统所遵循的一些规律决定对于 任意的z o 研，方程( 1 1 ) 以z ( o ) = 黝为初值的解( 亡，z o ) 在包含t = o 的 某区间上存在如果，( z ) 满足适当条件，则解( t ，知) 可以对于一切亡月 存在且满足 ( i ) 砂( o ，z ) = z ，、矿z j 铲 ( i i ) ( s + 亡，z ) = ( s ，( t ，z ) ) ，v s ，t 冗，z r ， ( i i i ) ( 舌，z ) 对于( 亡，z ) 连续 我们把满足上述条件( i ) ( i i ) ( i i i ) 的映射：r 舻_ 舻称为舻中的 动力系统 若， ) = o ，则称p 是向量场，( z ) 的平衡点，若d ，p ) 的所有特征值 都有非零的实部，则称p 是向量场，的一个双曲平衡点若d ，p ) 有实部 为零的特征值，则称p 是向量场，的一个非双曲平衡点，这时研究此平 衡点的局部性质的一个有效方法是中心流形定理 1 硕士学位论文 1 1 动力系统的分支 在研究动力系统平衡点的局部性质的过程中，一个有效的简化动力系 统的方法是中心流形定理，应用中心流形定理，可以降低系统的维数，简化 所研究的系统 1 中心流形定理 a 向量场的中心流形定理( 【6 2 】) 考虑向量场 孳27 磐，叼( 删) 彤彤， ( 1 1 1 ) 1 7 = b y + g ( z ，可) 、 其中，夕是矿的( r 2 ) ，( o ，o ) = o ，9 ( o ，o ) = o ，d ，( o ，o ) = o ，d 夕( o ，o ) = o a 是c c 矩阵，它的所有特征值具有零实部；b 是s s 矩阵，它的所有特 征值具有负实部 定义1 称一个不变流形是( 1 1 1 ) 的一个中心流形，如果它能局部地 表示为： 。( o ) = ( z ，耖) j 萨j 护i y = 危( z ) ，l z l 正 ( o ) = o ，d ( o ) = o ，6 歹e 分，j 、】 定理1 系统( 1 1 1 ) 存在一个伊中心流形系统( 1 1 1 ) 限制在中心 流形上的动态是由如下c 一维向量场决定的： 也= a 札十，( u ， ( 札) ) ，u 髟充分j 、( 1 1 2 ) 定理1 是中心流形存在定理，下面的定理2 阐明系统( 1 1 1 ) 的零解与 系统( 1 1 2 ) 的零解之间的关系 定理2 1 ) 如果系统( 1 1 2 ) 的零解是稳定( 渐进稳定) ( 不稳定) 的，那 么系统( 1 1 1 ) 的零解也是稳定( 渐进稳定) ( 不稳定) 的； 2 ) 设系统( 1 1 2 ) 的零解是稳定的令( z ( t ) ，( t ) ) 是系统( 1 1 1 ) 的一个解，且初始值( 。( o ) ，夕( o ) ) 充分小，那么存在( 1 1 2 ) 的一个解u ( 亡) ，使 具有非线性恢复力和外力激励的d u 侬n 分v a nd e rp 0 1 系统的复杂动态 得t o 。时满足： 粥舅赫0 2 ) 例为常数 ( t ) = 九( 钍( t ) ) + d ( e 一) 一 注1 ：如果系统( 1 1 1 ) 是含参数的，即有如下形式： z2 箩= ( 1 1 3 ) 其中，g 是c r 白勺( r 2 ) ，( o ，o ，o ) = o ，9 ( o ，o ，o ) = o ，d ，( o ，o ，o ) = o ，d 9 ( o ，o ，o ) = o ，a ，b 同系统( 1 1 1 ) 中 我们将g 当作系统的一个新的动态变量，( 1 1 3 ) 写为 圣= a z + ，( z ，秒，) 套= o ( z ，y ，) 砰j 矿月甲，( 1 1 4 ) 痧= j e 7 z + 夕( z ，秒，e ) 那么系统( 1 1 3 ) 的一个中心流形可局部地表示为： i 矿。( o ) = ( z ，暑，e ) j 铲_ 2 铲j 妒i 暑= ( z ，) ，i z i 正l e i 否， ( o ，o ) = o ，d ( o ，o ) = o ，正否充分小) 系统( 1 1 3 ) 限制在这个中心流形上的动态 由 决定 t j 2 7 缸+ 伽， ( u ，州 ( u ，) 形舻 已= o 、。 2 连续动力系统的分支( 【6 2 1 ) 考虑含参变量的向量场 矽= 夕( 秒，a ) ，秒r ”，a 月p ，( 1 1 5 ) 其中9 ：舻俨_ 舻是伊的设点( 珈，a o ) 是方程( 1 1 5 ) 的不动点，即 夕( 珈，a o ) = o 向量场( 1 1 5 ) 在不动点( 耖，a ) = ( 珈，a o ) 处的线性化方程为： 毒= 上) 掣夕( 秒o ，沁) f r “( 1 1 6 ) 3 矽 疗 酽t u y z s y 鲈 z z ，9 + +m 勘 硕士学位论文 我们假定将方程( 1 1 5 ) 的平衡点( 珈，入o ) 平移到点( o ，o ) ，并且应用中 心流形定理，得到了决定( o ，o ) 附近轨道结构的相应的中心流形方程，我们 考虑带一维参数的中心流形方程在( o ，o ) 处的局部分支 2 a 一个零特征值 假设巩9 ( 珈，知) 有且只有一个零特征值，其它特征值的实部均不为零， 那么，知) 附近的轨道结构由相关的中心流形 奎= ，( z ，p ) ，z r 1 ，p r 1( 1 1 7 ) 所决定 其中p = a 一入o 而且，我们知道( 1 1 7 ) 必须满足 ，( 0 ，o ) = 0 ， 甏( o ，o ) = o 下面我们就给出几类分支产生的条件 ( i ) s a d d k n o d e 分支 定理5 如果 1 ) ，( 0 ，0 ) = 0 ， 2 ) 荔( o ，o ) = o ， 3 ) 甏( o ，o ) o ， 4 ) 象( o ，o ) o ， 那么，在不动点( o ，o ) 处发生s a d d l e n o d e 分支 注：1 对于s a d d l e n o d e 分支，在p = o 的一侧系统没有不动点当弘= o 时系 统有一个不动点在p = o 的另一侧系统存在唯一的平衡点曲线p = p ( z ) ， 对应于每一个p 有两个不动息 2 器( o ，o ) 菇( o ，o ) 的符号决定不动点曲线p ( z ) 在肛= o 的哪一侧 ( i i ) n a 璐c r i t i c a l 分支 4 具有非线性恢复力和外力激励的d u 伍n g v a nd e rp o l 系统的复杂动态 定理6 考虑系统( 1 1 7 ) 如果 1 ) ，( o ，o ) = 0 ， 2 ) 筹( o ，o ) = o ， 3 ) 甏( o ，o ) = o ， 4 ) 赢( o ，o ) o ， 5 ) 貉( o ，o ) o ， 那么，在不动点( o ，o ) 处发生t r a i l s c r i t i c a l 分支 注：1 对于t r a n s c r i t i c a l 分支，在p = o 的两侧同时存在两条不动点曲线 z = o 和p ( z ) ，并且当它们穿过p = o 时，其不动点的稳定性发生改变 2 象( o ，o ) 巍( o ，o ) 的符号决定其中一条不动点曲线p ( z ) 的位置 ( i i i ) p i t c h f o r k 分支 定理7 考虑系统( 1 1 7 ) 如果 1 ) ，( o ，0 ) = 0 ， 2 ) 甏( o ，o ) = o ， 3 ) 甏( o ，o ) = o ， 4 ) 嘉( o ，o ) = o ， 5 ) 彘( o ，o ) o ， 6 ) 嘉( o ，o ) o ， 那么，在不动点( o ，o ) 处发生p i t d 怕r k 分支 注：1 对于p i t c h f o r k 分支，一条不动点曲线z = o 在卢= o 的两侧存在但 不动点的稳定性不同，另一条不动点曲线弘( z ) 只存在于p = o 的一侧，且 p ( z ) 上的不动点的稳定性相同 2 券( o ，o ) 彘( o ，o ) 的符号决定p ( z ) 的位置 2 b 一对纯虚特征值：p o i n c a u r 乒a n d r o n o v h o p f 分支 5 硕士学位论文 如果岛夕( 珈，k ) 仅有一对纯虚根，其余特征值无零实部，则系统( 1 1 5 ) 在 中心流形上可简化为二阶方程 圣= 厂( z ，p )z r 2 ，p r ( 1 1 8 ) 定理8 考虑系统( 1 1 8 ) 如果 1 ) ，( o ，o ) = o ，仇，( o ，o ) 有一对纯虚根， 2 ) 掣b = d o ， 那么，在( o ，o ) 处发生h o p f 分支，并且在肛= o 的小邻域内至少产生一个周 期轨如果周期轨是稳定的，称此h o p f 分支为s u p e r c r i t i c a lh o p f 分支；若周 期轨是不稳定的，称此h o p f 分支为s u b c r i t i c a lh o p f 分支 将系统( 1 1 8 ) 在p = o 时转化为如下形式： ( 喜) = ( 三i - ) ( ：) + ( 5 譬：赛) 得到：口= 去( 厶。+ 厶鲫+ + ) + 击( 岛( 氏十) 一啦( + ) 一厶+ 跏，) 如果n o 时，周期轨是不稳定的 1 2 平均方法 平均方法是研究周期轨分支的一种方法，最早由k r y l o v 和b o g o h u b o v 给出，它对于弱非线性问题或者是线性振子的小扰动问题的周期轨分支 的研究是特别有用的。在一定的条件下，动力系统的一些性质可由平均 方程的性质而获得。 考虑微分方程 宕= 厂( z ，e 王，u t ) + 2 夕( z ，e 工，t ，u t ) ，z = ( t 上， ) t r 2 ，0 1 ，( 1 2 1 ) 6 具有非线性恢复力和外力激励的d u 佑n 分v a nd e rp o l 系统的复杂动态 其中，( z ，l 口) 和9 ( 为丁 口) 是伊，r 3 ，在有界集上有界，且关于7 ，护是以丁 为周期的周期函数系统( 1 2 1 ) 包含一个快时间和一个慢时间射 当= o 时，方程( 1 2 1 ) 成为 壹= e ，( z ，t ) + 2 9 ( z ，t ) ，z = ( 心， ) t r 2 ，o o n + o o b m a u r o t t o 意义下的混沌定义( 【3 7 】) 1 3 硕士学位论文 假设f ：脚一舻为一可微映射令d f ) 表示f 在点x 的j a c o b i 矩阵，i d f ( x ) i 表示d f ) 的行列式，目( x ) 表示以x 为中心，以r 为半径 的闭球设f 在屏( z ) 上可微称z 是f 在耳( z ) 中的扩张的不动点，如 果f ( z ) = z ，任取x 耳( z ) 有d f ) 的所有特征值的模大于1 设z 是 f 在研( z ) 中的扩张的不动点，称z 是f 的s n a p b a c kr e p e l l e r ，如果存在一 个点耳( z ) ，使得z ，对某个正整数m ( 1 ) 有f m ( ) = z ，并且 i d f m ( ) i 0 定义2 如果f 有一个8 n 伞b a c kr e p e l l e r ，那么f 是混沌的也就是说， ( 1 ) 存在某个正整数，使得对每一个正整数p ，f 有周期p 的点； ( 2 ) 存在一个c 8 c r a m b l e d ”集，即f 有一个不含周期点的不可数集s 满足： ( a ) f 【别cs ， ( b ) 任取x ，y sx y ，有 l i m s u pl f 詹( x ) 一f 七( y ) i o ， 詹 ( c ) 任取x s ，及f 的任意周期点y ，有 l i m s u pl f ( x ) 一f 知( y ) l o ； 七_ + ( 3 ) 存在一个不可数子集岛cs ，任取x ，y 岛，有 l i mi n fl f 七( x ) 一f 七( y ) i = o c d e v a n e y 意义下混沌的定义( 【3 】) 设x 是一个度量空间，jcx 先给出拓扑传递和对初值具有敏感依 赖性的两个定义称，：，一j 是拓扑传递的，如果对任意的开集以yc ， 总存在后 o 使得，知( 矿) ny 称，：j _ j 对初始条件具有敏感依赖 性，如果存在6 o 使得对任意的z ，和z 的任一邻域，总存在y 和佗o 满足l 广( z ) 一产( y ) l 6 】4 具有非线性恢复力和外力激励的d u 伍n 争v a nd e rp o l 系统的复杂动态 定义3 设x 是一个度量空间称连续映射，：x x 在x 上是混沌的， 如果 ( 1 ) ，是拓扑传递的， ( 2 ) ，的周期点在x 中是稠密的， ( 3 ) ，对初始条件具有敏感依赖性 d p t o u h e y 意义下混沌的定义( 【5 5 】) 定义4 设x 是一个度量空间称连续映射，：x _ x 在x 上是混沌的， 如果任取x 的两个非空开集和y ，总存在一个周期点p u 和一个非 负整数后使得，七p ) y ，也就是说x 的任意一对非空开子集都包含同一 个周期点的一部分轨道 e w i g g i 璐意义下的混沌( 【6 2 】) 考虑形上的伊( r 1 ) 自治向量场或影射 圣= ，0 )( 1 4 1 ) 或 z h 9 ( z )( l 4 2 ) 设妒( t ，z ) ，亡 o 是由( 1 4 1 ) 生成的流，ac 印是妒( ，。) ( 9 ( z ) ) 下的一个紧 致不变集称妒( t ，z ) ( 9 ( z ) ) 对a 上的初始条件具有敏感依赖性，如果存在 s o 使得对任意的z a 和z 的任意邻域矿，总有y 和t o m o ) 满 足i 妒( 以z ) 一妒( t ，可) i ( 扩( z ) 一旷( 秒) l ) 称一个闭的不变集a 是拓扑传 递的，如果对任意开集阢yca 有 存在r 使得妒( 亡，u ) ny ( 存在佗z 使得矿( u ) ny ) 定义5 称a 是混沌的，如果 ( 1 ) 妒( t ，。) ( 夕( z ) ) 对a 上的初始条件具有敏感依赖性， ( 2 ) 妒( ，z ) ( 9 ( z ) ) 在人上是拓扑传递的 1 5 硕士学位论文 2 通向混沌的道路 a 倍周期分叉道路( 3 8 ，4 5 】) 当参数6 在某一范围内时系统有一个周期为t 的稳定的周期轨，随 着参数的变化，当6 = 6 t 时，发生了倍周期分叉，原来稳定的周期轨失去 了稳定性，产生了新的周期为2 t 的稳定的周期轨随着参数的变化，当 6 = 民，后= 2 ，3 ，。时，出现了无穷序列的倍周期分叉，产生周期为2 七t 的稳定的周期解，当此周期解失去稳定性时，出现了新的周期为2 1 t 的 稳定的周期解随着倍周期分叉的进一步发生，当6 = 如时，系统陷入混 沌状态 b 喘息混沌道路( 【3 8 ，4 5 】) 当参数占小于一个临界过渡值曲时吸引子是一个周期轨，当6 稍大 于曲时，在很长时间内轨道呈现出是周期的而且非常接近6 0 ，耽 z l 0中心：( 0 ，0 ) ， 2 ，0 ) ， 6 执 c 2 0 4 z 3 ( z 3 ，0 )( i ) 1 6 o 鞍点：( z 1 ，0 ) ，( z 4 ，0 ) 五个不动点：( 0 ，0 ) ，”l c 2 抠；一机聒( z 4 ，0 )( i ) 2 钆2 = 一蚂士酒 钆 z 2 o 鞍点：0 1 ，0 ) ，( z 2 ，0 ) 4 = 一雩士压 z 1 瓦一、面 ( z 3 ，o )( i ) 3 勋 以 o鞍点：0 l ，0 ) ，( 瓤，o ) z 1 0 ， z l o 中心：( 0 ，0 ) ，( z 3 ，0 ) ， 厶分1 c 20 观 z 3 鞍点：( z 4 ，o ) 矗 o ( 奶，0 ) ( 歹= 1 ，3 ，4 ) y 1 c 2 沤i鞍点：( 魏，0 ) ，0 4 ，o )( i ) 5 e = q h强4 = 一啄士压 黝 沤i 鞍点：( z 3 ，o ) ，( 双，o )( i ) 6 z 2 c 20 z 4 铂鞍点：( z 4 ，0 ) ( i ) 7 三个不动点：( 0 ，0 ) ， ( z 3 ，4 ，0 ) ，可l o ，o r中心：( o ，o ) 魄4 = 一而哥士沤；暑，l 0 ，铂 o o ， z 2 z l c 2 铂 4 c 2 鞍点：0 1 ，o ) ，( 她，0 ) 6 三1 一62 管l 一扫 中心：( 0 ，o ) ，( z l ，0 ) ， 6 0 沤i 一耵( z 2 ，0 ) ( i i ) 2 五个不动点：( o ，0 ) ，z 2 z 4 o 鞍点：( 船，0 ) ，( 如，o ) ( ，o ) 0 = l 一4 ) 分1 o ， 沤i o 酊 ( z 3 ，0 )( i i ) 3 z 2 0 4 o 鞍点：0 l ，0 ) ，( z 4 ，o ) 0 中心：( o ，o ) ，( z 2 ，0 ) ， 暑， ( 暑，1 6 ) c 2耽 $ 1 0鞍点： i ，0 ) 分支点：( 黝，o )( i i ) 4 q 一y 0( 暑，l + 6 ) 2 ( 1 6 ) = 4 c 22 ! ，l 一6 中心：( o ，0 ) b = 8 | 弋6 暑，l 一6 抠i 鞍点：( z 1 ，0 ) ，( z 2 ，0 )( i i ) 5 c = 伐| 弋 四个不动点：( 0 ，0 ) ，o z 3 z l分支点：( 铂，0 ) ( 巧，0 ) u = 1 ，2 ，3