（应用数学专业论文）固定资产投资系统的随机最优控制.pdf

宁夏大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本文主要运用动态规划的方法和e k e l a n d 原则，研究了带有随机项干扰的固定资产投资系统的 控制问题 主要内容分为以下几章：第一章介绍了固定资产投资系统的研究现状和随机最优控制的主要 研究方法；第二章介绍了本文中所用到的h j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) 方程，i t 5 公式，e k e l a n d 变分 引理等预备知识；第三章讨论了带时滞的固定资产投资系统的随机最优控制运用动态规划的方 法，由最优原则得到了系统的h j b 方程，进而通过h j b 方程广义解的存在性，得到了系统的最优控 制7 奉，从而证明了最优控制的存在性；第四章研究了带时滞的固定资产投资系统的随机拟最优控 制问题通过寻找控制量，y 的逼近序列，得到了原控制问题的一个辅助控制问题，运用e k e l a n d 原 则、i t 5 公式、和f a t o u 弓i 理等最后证明了系统拟最优控制的存在性：第五章总结了本文的主要结 论及有待于研究的问题 关键词：固定资产投资系统，h j b 方程，i t 5 公式，e k e l a n d 原则，拟最优控制 宁夏大学硕十学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so ff i x e da s s e ti n v e s t m e n ts y s t e mw h i c hi n f l u e n c e db y s t o c h a s t i cf a c t o r sa l ei n v e s t i g a t e db yu s i n gd y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o da n de k e l a n dp r i n c i p l e t h ea r t i c l ei so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h ei n v e s t i g a t i o ns i t u a t i o no ff i x e da s s e t i n v e s t m e n ts y s t e ma n dt h es t u d y i n gm e t h o d so fs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r 0 1 i ns e c t i o n2 ，w ep r e s e n ts o m e n e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e sf o rt h ep a p e r sp r o v i n g ，s u c ha sh j be q u a t i o n ，i t 8f o r m u l a ，a n ds oo n i ns e c t i o n3 ， w es t u d i e dt h es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so ff i x e da s s e ti n v e s t m e n ts y s t e m b yd y n a m i cp r o g r a m r u i n gm e t h o d ，w eg e th j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) e q u a t i o no fs y s t e mv i at h eo p t i m a lp r i n c i p l e ，t h e n ， b a s e do ns o m er e s u l t so fe x i s t e n c eo ft h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so fh j be q u a t i o n s ，t h eo p t i m a lc o n t r o l7 车 i so b t a i n e d ，t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o li sp r o v e d i ns e c t i o n4 ，w ed i s c u s s e dt h es t o c h a s t i cq u a s i o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so ff i x e da s s e ti n v e s t m e n ts y s t e m ，aa u x i l i a r yc o n t r o lp r o b l e mo fo r i g i nc o n t r o l p r o b l e mi so b t a i n e db ys e a r c h i n gt h ea p p r o x i m a t i o ns e q u e n c e a tl a s t ，t h ee x i s t e n c eo fs t o c h a s t i cq u a s i o p t i m a lc o n t r o li sp r o v e dv i ae k e l a n dp r i n c i p l e ，i t bf o r m u l a ，f a t o ul e m m a ，a n ds oo n f i n a l l y ，i ns e c t i o n5 i ts u m m a r i z e st h et h e s i sb r i e f l ya n ds o m eq u e s t i o n so ff u r t h e r m o r er e s e a r c h i n gi nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：f i x e da s s e ti n v e s t m e n ts y s t e m ，h j be q u a t i o n ，i t 6f o r m u l a ，e k e l a n dp r i n c i p l e ，q u a s i o p t i m a l c o n t r 0 1 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时 间：a 留年月；e l 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：。必 导师签名： 时 间：幽谚年月乡日 时 i - j ：历c ，譬年易月e l 宁夏大学硕士学位论文第。章引言 第一章引言弟一早jl 肓 1 1 最优控制理论的发展背景和研究现状 最优控制理论是在2 0 世纪6 0 年代迅速发展起来的现代控制理论中的重要内容之一，它主要 研究的是怎样从解决问题的一切方案中寻找一个最优方案 古典控制理论主要研究的是系统的反馈控制，把系统的输出值和给定的目标值进行比较，然后 根据比较结果作 j 控制动作，以消除偏差，使系统被控制在目标值附近近几十年来，实际生活中要 求在使某种指标达到最优时完成控制过程，有最短时间，最小消耗等美国著名学者贝尔曼的”动 态规划”和原苏联著名学者庞特里亚金的”最人值原理”是在最优控制理论的形成和发展过程中， 最具开创性的研究成果，并开辟了求解最优控制问题的新途径此外，库恩和图克共同推导的关于” 不等式约束条件下的非线性最优必要条件( 库恩一图克定理) 及卡尔曼的关于”随机控制系统最优 滤波器”等是构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表作目前，解决最优控制问题的 方法主要有两大类：一类是”动态规划原理”，文献【4 】中第二章介绍了控制问题的动态规划方法， 并且详细介绍了由最优原则从系统得到一个h j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) 方程的方法，进而求出 最优控制另一类就是利用”最大值原理”研究最优控制问题 控制论在发展过程中涵盖了人类社会和自然的很多方面，控制论这些成就和思想方法，吸引了 许多不同行业技术专家和社会科学家，他们用控制论的思想方法，去研究他们各自所从事的科学， 又形成了许多新的科学分支，如经济控制论、人口控制论、生物控制论和生态环境控制论等等 如文献【1 0 】用积分方程的理论和泛函分析方法对固定资产投资系统的解的存在性，唯一性，稳定性 和最优控制问题进行了讨论研究，并得到了相应结论；文献【3 3 】和文献【3 4 】将林木总和长消率作 为控制变量，分别讨论了非线性森林发展系统和时变森林发展的最小范数控制问题特别是控制论 和社会科学的结合，造福于人类是无法估量的拿人口控制论来说，1 9 7 8 年开始，我国著名的控制 论科学家宋健和他的助手于景元用控制论方法。研究我国人口增长规律，不仅为正确制定我国人口 政策提供科学依据，也为控制世界人口盲目增长做出卓越的贡献 1 2 固定资产投资系统的研究现状 经济增长问题是宏观经济理论研究的一个重要内容，经济增长是经济繁荣和国民福利提高的 前提在宏观经济意义下，经济增长依赖于资本投入，劳动力投入，全要素生产率和科技进步等因 素生产性固定资产作为国民经济的第一推动力，它也是生产中一种必不可少的投入要素，在经济增 长中具有十分重要的地位，更在宏观经济模型的生产函数和生产模块中起着举足轻重的作用近年 来，由于系统科学的发展和对生灭过程的研究，为研究经济投资系统提供了思路和方法，对经济投 资发展系统的研究也取得大量的成果如文献【1 0 】通过l y a p u n o v 函数对带时滞的一类固定资产模 型的稳定性进行了分析，并且讨论了系统积累率的最优控制问题文献 2 6 用边界比较法讨论了 以c e s 生产函数作为反馈的定常经济系统控制模型的稳定性文献【2 7 研究了与环境相关的非线 性投资发展系统，作者运用泛函分析和积分方程的理论证明了系统解的性质，为实际问题的研究提 供理论基础文献【3 7 将劳动力增长方程引入资产投资控制系统模型，研究了系统的等价系统模型 一1 一 宁夏大学硕+ 学位论文第章引言 解的存在性和唯一性但对于带随机扰动的资产投资模型的研究还不够在许多实际问题中随机扰 动是客观存在的，凶此研究随机资产投资系统具有普遍的现实意义 1 3 随机微分方程最优控制问题概述 随机微分方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的而随 机控制理论作为现代控制理论与随机优化理论的重要组成部分，近二十多年来有了迅速发展由于 其自身的特点和广泛的应用背景，使得愈来愈多相关领域的专家学者从事这一工作并取得了大量 成果它主要研究随机系统受控状态过程在随机控制作用下的特征，以及在一定费用结构下最佳随 机控制的存在性及其作用形态较之确定性微分方程，随机微分方程因为考虑随机因素而显得更 加贴近实际生活 对于随机微分方程最优控制问题，很多学者综合运用随机过程、随机分析、最优控制、随机 微分方程以及变分方程的理论解决了卫星遥控跟踪、金融决策、证券投资、风险管理、信号处理 等领域的实际问题文献【6 】、【1 1 】、【2 1 、 3 1 和文献【3 2 】运用了动态规划方法研究最优控制问 题 文献【6 】运用经典的动态规划方法，通过讨论h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程广义解的存在唯一 性，得到了在h i l b e r t 空问中随机微分方程的随机最优控制问题；文献【1l 】研究了伊藤泊松型随 机微分方程的线性二次控制问题，利用动态规划方法，伊藤公式，通过解h j b 方程，得到了r i c c a t i 方程及另外两个微分方程，求出控制变量，解决了线性二次最优控制问题文献【2 1 】讨论了带跳消 费投资问题的随机最优控制问题，运用随机最大值原理得到了最优控制的充分必要条件 而文献【1 4 通过研究h j b 方程及h j b 解的存在唯一性，在空间x 中讨论了随机半线性方程的 随机最优控制问题；而文献【1 8 】运用e k e l a n d 原则得到了最小价值函数的一个逼近，进而得到了随 机微分方程的拟最优控制；文献【2 0 】用鞅方法讨论了有随意停时的随机控制问题( 最大值原理) 得到充分必要条件；文献【2 7 讨论了l i n e a r q u a r d r a t i c ( l q 问题) 的最优控制问题，得到了随机最 大值原理和r i c c a t i 方程的有关结论 1 4 本文研究内容 本文共分为五章第一章主要介绍了固定资产投资系统的研究现状和随机最优控制的主要方 法：第二章介绍了本文中所用到的h j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) 方程，i t 5 公式，e k e l a n d 变分引理等 预备知识；第三章主要运用动态规划的方法，讨论了固定资产投资系统的随机最优控制问题，首先 介绍了系统的模型，然后由最优原则得到系统的h j b 方程，最后通过h j b 方程得出系统的一个最优 控制：第四章讨论了固定资产投资系统的随机拟最优控制问题，先运用e k e l a n d 变分原则得到目标 泛函的一个逼近序列，然后由f a t o u 弓i 理，i t 6 公式等证明了系统的拟最优控制第五章总结了本 文的主要结论及有待于研究的问题 一2 一 宁夏大学硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 确定性系统的h j b ( h a m i l t o n j a c o b i - b e l l m a n ) 方程 设受控系统的状态方程为下列微分方程组 譬：m ，u ，) ， ( 2 1 ) 面2 八z ，u ， ， 【1 ) 其中x 为n 维状态向量，u 为r 维控制向量，f 为n 维向量，初始状态向量x ( t o ) = z o ，求最优控制向 量u + 使目标泛函 ，= 1 舯 咖m 川a 】 ( 2 2 ) 取最小值令v ( x o ，t o ) 三在初始时刻t o 系统处于状态x o ，在 t o ，t l 】时间区间内使用最优控制后， 目标泛函( 2 2 ) 的最小值( 称最优价格函数) ，于是，由最优原则，对于任意一个状态x 和t 【t o ，t 1 ， 有 y 0 ，t ) = r a i n 【l o p ( s ) ，u ( s ) ，s d s + y 0 ( - i - ) ，t + t ) 】， ( 2 3 ) 1 工 ， 其中a t 是充分小的时间增量 由 z ( t + t ) = z ( 亡) + 生d t t + 。( ) = z ( t ) - - i - f ( z ，u ，t ) a t + 。( t ) ， 假定y ( z ，t ) 对x 和t 的偏导数存在，则有 y p ( t + t ) ，t + 胡= y k ( t ) ，纠+ 【掣】t ，。，t t ，) t + 掣t + 。( t ) ( 2 4 ) 又因 连同上式代入( 2 3 ) 得 ，t + 知i x ( s ) ，u ( s ) ，s d s = ，o p ( t ) ，乱( ) ，t a t + o ( a t ) ， ，t y ( z ，) = m u i 州如k ( ) ，t 正 ) ，t 】t + y 。( t ) ，t ) + 【瓦o v c 】t ， ，u ，t ) + 罾t + 。( t ) 】 ulu l 右边的y ( t ) ，t ) 与u 无关，可移至r a i n 之外，两边再除以厶并令t _ 0 ，使得 一3 一 宁夏大学硕士学位论文 第二章预备知识 m u i 佗v o ( z ，u ，t ) + ( 瓦o v ) t f ( x ，u , t ) + 瓦o v 】- 。， 或 一罾= 啊n g o ( 州瓦o v ) t f ( z , u , t ) 】 ( 2 - 5 ) 边界条件为y ( z ( t 1 ) ，t 1 ) = g ( x ( t 1 ) ，t 1 ) 它表示在【t o , t 1 】任一时刻t ，最优控制i t * ( t ) 和相应的最优轨线z + ( t ) 与v ( x + ( ) ，t ) 问的关系，, - y p a 写成 ! 掣= ：7 0 k + ( t ) ，u 4 ( t ) ，t 】+ 【掣】r ，( z + ( t ) ，u + ( ) ，t ) ( 2 6 ) 方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) 称为h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程，是最优控制t + 要满足的条件 2 2 随机系统的h j b 方程 对于随机微分方程 d x ( t ) = f ( x ，t ) d t4 - g ( x ，t ) d w ， 定义它的泛函指标为 ，t j = e 妒( t ，x ) d s + 妒 ，t ) ，t 设容许控制集为玩d ，其价值函数为 又由 y ( x ，t ) = 搿= i n 加 j 厂t t 妒( t ，x ) d s + 北t ) )c ，口d i n f e d i n f e 玩d i n f e c d f t t + a t - o ( t ，删s + 丘。，删s + 始，t ) ) f t + t 妒( t ，x ) d s + v ( x ( t + a t ) ，t 十t ) ) ) f t + a t 妒( t ，x ) d s + v ( x ( t + a t ) ，t + a t ) ， y ( 即+ 删，t + 叫：忡卅+ 瓦o v 尝+ 警汁三9 2 罴， 一4 一 宁夏大学硕十学位论文第二章预备知识 代入得 v ( x ，t ) = 于是得到 r t + a t e 妒( t ，x ) d s ) + v ( x ( t + t ) ，t + a t ) ， d s + v ( x ，t ) + 酉o v t + 丽o v 脚+ 三9 。筹一 ，。t + a t +罾+尝皿+三9z丽02v，infx)ds a t = 0 u ( t ，+ + 云，+ 言9 2 五f f ，= u 0 d ，t u 【，a二一a 这样就得到了i - i j b 方程 2 3i t 5 公式 若f ( z ，可) 凋- h - 疋：五t t ，巧连续，对于( 。绲) b f 0 w n 运动b 而言，x 是t s 上i t 6 过程 d x t = a t d b t + b t d t ， 又g = ( g t ) t o 是【s ，+ o 。) 上连续的有限变差玩适应过程，那么 d f ( x t ，g 。) = ( x 。，g t ) d x t + 三吃盯；d 亡+ 巧( 咒，g t ) d g t 2 4e k e l a n d 变分引理 ( kp ) 是一个紧的度量空间t ，：y _ ( 一，o o ) 是一个下半连续函数对任意的e 0 ，如果对 任意的t 。v ，有j ( u 。) i n f j ( v ) + g 那么对于v ( f 0 ，我们可以找到某些，6 v ，有如下性 t ，v 质 ( a ) j ( ，6 ) sj ( u 。) ； ( b ) p ( u 。，魄，6 ) 6 ； ( c ) ，( t ，) j ( v ) + 善p ( t k ，6 ，t ，) ， v v v v 。，占 另外，当取6 = 压时，存在v ，有 ( a ) j ( ) i n f j ( v ) + ； 1 ，v ( b ) j ( ) 0 其中，b 表示固定资产的役龄，即固定资产已使用的时间；b 表示最大役龄；表示时间；k ( b ，) 表 示t 时刻一个国家或区域生产性固定资产按役龄6 的分布密度函数；y ( t ) 是时刻t 在【0 ，b 】上的固 定资产总量的密度；弘l ( b ，t ) 表示固定资产按役龄b 的相对折旧率；k o ( b ) 表示初始状态，资产初始 分布密度；k ( o ，) 表示t 时刻新增固定资产；，( t ，k ) 表示环境影响函数，如科技进步与消费总量等 的影响；9 1 d w t 表示随机扰动；w t 表示b r a w n 运动a ( t ) l 口( ) 【fk ( b ，t 一丁) d b q 表示t 一下时刻国民 生产总值，其中a ( t ) 表示t 时刻综合要素生产率；l ( ) 表示劳动力函数；q ，p 分别是资产弹性系数和劳 动力弹性系数，0 q ，p l ，且a + p = 1 ；7 ( t ) i 为t 时刻资产积累率，0 0 本文中我们选取资产积累率7 l ( ) 为控制变量，系统中的k ( b ，t ) 非线形地依赖于7 l ( ) ，i t t f , - - i 记为k ( b ，t ，7 ) ，设+ ( 6 ，) 是人们追求的理想分布密度函数，我们的目的在于选取适当的7 l ( ) ， 使得对于给定的固定资产投资系统的分布密度尽可能的逼近理想分布考虑到以上因素我们将系 统( 3 3 ) 的相应目标泛函定义为 ，( 一y t ) = e 丢z 1 ( i l k ( 6 ，z ，y t ) 一+ ( 6 ，圳1 2 + i i y - ( 圳1 2 ) 班】( 3 4 ) 由于有 r b 可( t ) = k ( 6 ，t ) d b ， ，( 7 ) = 三。e z ti i y ( t ，y ) 一+ ( 6 ，t ) 1 1 2 d t + o ri i ，y ( ) 1 1 2 ) d t ) ( 3 5 ) g - 统( 3 3 ) 中的方程可以写成 d 虬= 一掣班叫吼脚印+ 加阎协帆 上式对t 积分可得 虬= 一z 。( 塑甏型+ p ( 6 ，8 ) k ( 6 ，s ) ) d s + o 。 ( s ，虬) 幽+ t g l ( s ，虬) 砒 当r o t 寸，则系统( 3 3 ) 变为 善_ + 、t , ( t ) v - a ) p 气功“炉，( 幻切妣 ( 3 6 ) 【3 ，( o ) = y o 、 其中 p ( ) = ( z bp - ( 6 ，t ) k ( 6 ，力d 6 ) ( z bk ( 6 d 6 ) ， 弛) = z b 加聃 一8 一 t umk ，、10 m 幻 一 k “ k t 萨 ，川 弧 一 徊力 一 俨叫鬻黼 + = = 胪 盐幻= 蔫梨 宁夏大学硕+ 学位论文第：章固定资产投资系统的随机最优控制 g = 卜哦 固定资产积累率的控制问题归结为数学问题就是，寻求满足等式j ( 7 4 ) = i n fj ( 7 ) 的 rcvdd 7 + u a d ，其中观d 为闭的凸集 3 2 固定资产投资系统的h j b 方程 对于系统( 3 6 ) 的性能指标泛函 j ( ，y ) = 三e z ti i s ， ，7 ) 一+ ( 6 ，t ) 1 1 2 d t + o ti i ，y ( t ) 1 1 2 ) d t ) ， 它的价值函数为 v ( y ，t ) = i 礼，j ( ，y ) = i n ，寺e | i 可( t ，y ) 一n + ( 6 ，t ) 1 1 2 d t + 1 1 7 ( t ) 1 1 2 ) d t ) = 轨，寺e l i 可( t ，y ) 一n + ( 6 ，t ) 1 1 2 d t + 1 1 7 ( t ) 1 1 2 ) d r + ib(t)llt t 2 ) 出 1，+ ， 一y 巩d z，0，争j r + a t = n ，寺e y ( y + a t ) ，t + a t ) + i b ( t ) 1 1 2 d r 由i t 5 公式得 嘞( t + a t ) h 删= 啪卅瓦o v 蚺哥象叭互1 9 2 酽0 2 v ( 3 7 ) 将y ( y ( t + t ) ，t + a t ) 代入v ( y ，t ) 有 咐) = 裂。m ) _ 7 i 乩n fe 卅罾叭茜秘+ 三9 2 可0 2 v + 件越| | 2 毗( 3 8 ) 则 两边同时除以a t 有 俩i n s 。互1 e 瓦o v 蚺筹缸印12 等例m - 0 ( 3 9 ) 似i n f 。掣1 瓦o v + 面o v 面d y + - 9 12 筹州) - 0 ( 3 1 0 ) 一9 一 宁夏大学硕七学位论文 第j ：章固定资产投资系统的随机最优控制 又因为 面d y = 一p ( ) 耖+ a ( t ) p 口( t ) 7 ( t ) 秒+ ，( ) + 夕d 加， 所以有 型。互1 e 面o v + ( 州咖+ 邱) 以帅矽+ 邢) + 咖面o v + 互1 9 2 等+ 7 ) _ 瓠( 3 1 1 ) 现在需要找到，y ( 木) 使得上式达到最小值，即 一罾二( 一警鬯+ a ( ) p 繁 ? 咖+ m ) + 9 d 伽 、盟o y + i 1 9 2 酽0 2 v + 7 ( 巩( 3 1 2 ) 【v ( y ，t ) = 怕( 正，y ) 一n + ( ) j f 2 、7 令t = t t ，则( 3 1 2 ) 可以转化为以下初值问题 嚣三嚣；?：a(t)mpz(一t)7(沁t)y)lf+。fy l y ( t n ”辔心矿譬 l ( 3 1 3 ) i 讥= 妒( o ，) = l，y ) 一+ ( t ) l f 2 、7 ( 3 1 3 ) 式是f h ( 3 3 ) 式和目标泛函所得到的日了b ( 日o m 砒帆j a c o b i b e z f m n n ) 方程 3 3 预备知识 ( 1 ) 空间 ( i ) h 是一个可分的h i l b e r t 空间，其范数和内积分别定义为i i ，( ，) ( i i ) 对任意一个b a n a c h 空间x 和它的对偶空问x + ，对偶积定义为( y ，。) x ，x = ( z ，秒) x 。，x ，其中 z x ，y x 对任意一对b a n a c h 空间x ，y 乡( x ，y ) 表示从空问x 到y 的有界线性算子表 示x 的b o r e d 代数，( z ，) 是可测空间 ( i i i ) 5 彩 = 工2 ( ep ) ，少= w 1 , 2 ( 日，p ) ，少。为少的对偶空间，弘是h i l b e r t 空间h 上 的测度i i i i 少 i - i 韶分别定义为少和形空间的范数少q 澎是紧的，且 有：少q ? 纩q 少4 z ( 少，少+ ) ，a ：少_ 少。，其对偶映射为，a - 1 ：少_ 少 缈= 1 f ，：妒l 2 ( i ，少) ，妒l 2 ( i ，少) ) l l 妒1 1 矽= - - i i 妒i i 笔。( j ，y ) + i i 妒i l 笔：( j ，y 。) ( 2 ) 假设条件，令 ( ) 地卜础) + ，州) = 三9 2 警， 二( y ，瓦o v ) = ( 邱) 他) 夕，面o v ) ，日( ，苗) = 町l = ( 邱) ，y ) 玑。口v ) ， 一1 0 宁夏大学硕十学位论文第i 章固定资产投资系统的随机最优控制 舅( 卟( 蹴苗) = ( 删+ ， ( v ) x u j ：有界线性算子2 ( 少，少+ ) ，令 磊( y ) = 地面o v ) = ( 删矽( 州面o v ) o ( 砂，妒) = 一( ( 妒，妒) = 一( 。( 妒) ，妒) ( v i ) 假设以下强制条件成立，其中a 为常数 n ( 妒，妒) + 6 i 妒l q i 妒i 参 3 4 固定资产投资系统的h j b 方程广义解的存在唯一性 引理3 1 【6 】假设d 是从少+ 到少的映射，那么存在一个正常数k q ，使得 ( d 1 ) 对所有的少，有 0d ) 少七( 1 + 0 莓0 少) ， ( d 2 ) 对所有的，r 少，有 0d ) 一d ( r ) 0 少k0 毒一叩l l 吵， 那么，对每一个和f l 2 ( i ，少+ ) ，方程( 3 1 3 ) 在矽中存在唯一解 证明详见【7 】 引理3 2 【6 】假设d 是从乡垆到y 的映射，那么存在一个正常数k o 是由巩，0 s t 生 成的盯- 代数，w t 是和 巩) t o 有关的鞅给定k 空间任意一个标准正交基 e i ，i 1 ) ，序列 = 厮= 眦( 龟) ；t 【0 ，t i ，i 1 定义为相互独立的标准维纳过程，当为有限维空间时，我们有 慨= 羼i ( e ) ，t 【0 ，卅 i 设算子d 彤2 ( k ；日) ，l id 旧表示d 的范数，满足 0 0 d i | ；= i d ( e t ) 1 2 = t r d + d = t r d d 0 0 t = 1 一1 8 一 宁夏大学硕士学位论文第四章固定资产